Pikat e referencës gjatë studimit të funksioneve dhe ndërtimit të grafikëve të tyre janë pikat karakteristike - pikat e ndërprerjes, ekstremit, lakimit, kryqëzimit me boshtet koordinative. Duke përdorur llogaritjen diferenciale, është e mundur të përcaktohen tiparet karakteristike të ndryshimeve në funksione: rritja dhe zvogëlimi, maksimalet dhe minimumet, drejtimi i konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut, prania e asimptotave.

Një skicë e grafikut të funksionit mund (dhe duhet) të vizatohet pasi të gjenden asimptotat dhe pikat ekstreme, dhe është e përshtatshme të plotësoni tabelën përmbledhëse të studimit të funksionit ndërsa studimi përparon.

Zakonisht përdoret skema e mëposhtme e studimit të funksionit.

1.Gjeni domenin e përkufizimit, intervalet e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes së funksionit.

2.Ekzaminoni funksionin për barazi ose çuditshmëri (simetria boshtore ose qendrore e grafikut.

3.Gjeni asimptota (vertikale, horizontale ose të zhdrejtë).

4.Gjeni dhe studioni intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit, pikat ekstreme të tij.

5.Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të kurbës, pikat e lakimit të saj.

6.Gjeni pikat e kryqëzimit të kurbës me boshtet e koordinatave, nëse ato ekzistojnë.

7.Hartoni një tabelë përmbledhëse të studimit.

8.Ndërtohet një grafik, duke marrë parasysh studimin e funksionit të kryer sipas pikave të përshkruara më sipër.

Shembull. Funksioni i eksplorimit

dhe ndërtoni grafikun e tij.

7. Të përpilojmë një tabelë përmbledhëse për studimin e funksionit, ku do të fusim të gjitha pikat karakteristike dhe intervalet ndërmjet tyre. Duke marrë parasysh paritetin e funksionit, marrim tabelën e mëposhtme:

				Karakteristikat e grafikut
[-1, 0[			Në rritje	Konveks
				(0; 1) - pikë maksimale
]0, 1[			Duke zbritur	Konveks
				Pika e lakimit formon me boshtin kau kënd i mpirë

Së pari, përpiquni të gjeni domenin e funksionit:

A ia dolët? Le të krahasojmë përgjigjet:

A është gjithçka në rregull? Te lumte!

Tani le të përpiqemi të gjejmë gamën e vlerave të funksionit:

E gjetur? Le të krahasojmë:

E kuptova? Te lumte!

Le të punojmë përsëri me grafikë, vetëm tani është pak më e ndërlikuar - gjeni si domenin e përkufizimit të funksionit ashtu edhe gamën e vlerave të funksionit.

Si të gjeni domenin dhe gamën e një funksioni (i avancuar)

Ja çfarë ndodhi:

Unë mendoj se i keni kuptuar grafikët. Tani le të përpiqemi të gjejmë domenin e përkufizimit të një funksioni në përputhje me formulat (nëse nuk dini si ta bëni këtë, lexoni seksionin rreth):

A ia dolët? Le të kontrollojmë përgjigjet:

1. , pasi shprehja radikale duhet të jetë më e madhe ose e barabartë me zero.
2. , pasi nuk mund të pjesëtosh me zero dhe shprehja radikale nuk mund të jetë negative.
3. , pasi, respektivisht, për të gjithë.
4. , pasi nuk mund të pjesëtosh me zero.

Megjithatë, kemi ende një pikë pa përgjigje...

Do ta përsëris edhe një herë përkufizimin dhe do ta theksoj:

E keni vënë re? Fjala "single" është një element shumë, shumë i rëndësishëm i përkufizimit tonë. Do të përpiqem t'jua shpjegoj me gishtat e mi.

Le të themi se kemi një funksion të përcaktuar nga një vijë e drejtë. . Në, ne e zëvendësojmë këtë vlerë në "rregullin" tonë dhe e marrim atë. Një vlerë korrespondon me një vlerë. Ne madje mund të bëjmë një tabelë të vlerave të ndryshme dhe të grafikojmë këtë funksion për ta parë vetë.

"Shiko! - ju thoni, "" ndodh dy herë!" Pra, ndoshta një parabolë nuk është një funksion? Jo, është!

Fakti që “ ” shfaqet dy herë nuk është arsye për të akuzuar parabolën për paqartësi!

Fakti është se, kur llogaritëm për, morëm një lojë. Dhe kur llogaritëm me, morëm një lojë. Pra, kjo është e drejtë, një parabolë është një funksion. Shikoni grafikun:

E kuptova? Nëse jo, ja një shembull jete që është shumë larg matematikës!

Le të themi se kemi një grup aplikantësh që u takuan gjatë dorëzimit të dokumenteve, secili prej të cilëve tha në një bisedë se ku jeton:

Pajtohem, është mjaft e mundur që disa djem të jetojnë në një qytet, por është e pamundur që një person të jetojë në disa qytete në të njëjtën kohë. Kjo është si një paraqitje logjike e "parabolës" tonë - Disa X të ndryshme korrespondojnë me të njëjtën lojë.

Tani le të dalim me një shembull ku varësia nuk është një funksion. Le të themi se të njëjtët djem na thanë se për cilat specialitete aplikuan:

Këtu kemi një situatë krejtësisht të ndryshme: një person mund të paraqesë lehtësisht dokumente për një ose disa drejtime. Kjo eshte një element grupet futen në korrespondencë disa elemente turmave. Përkatësisht, ky nuk është një funksion.

Le të testojmë njohuritë tuaja në praktikë.

Përcaktoni nga figurat se çfarë është një funksion dhe çfarë jo:

E kuptova? Dhe ja ku është përgjigjet:

• Funksioni është - B, E.
• Funksioni nuk është - A, B, D, D.

Ju pyesni pse? Po, ja pse:

Në të gjitha fotot përveç NË) Dhe E) Ka disa për një!

Jam i sigurt që tani mund të dalloni lehtësisht një funksion nga një jofunksion, të thoni se çfarë është një argument dhe çfarë është një ndryshore e varur, si dhe të përcaktoni gamën e vlerave të lejueshme të një argumenti dhe gamën e përkufizimit të një funksioni . Le të kalojmë në seksionin tjetër - si të vendosni një funksion?

Metodat për përcaktimin e një funksioni

Çfarë mendoni se do të thotë fjalët? "vendos funksionin"? Ashtu është, kjo do të thotë t'i shpjegojmë të gjithëve se për çfarë funksioni po flasim në këtë rast. Për më tepër, shpjegojeni në atë mënyrë që të gjithë t'ju kuptojnë saktë dhe grafikët e funksioneve të nxjerra nga njerëzit në bazë të shpjegimit tuaj janë të njëjta.

Si mund ta bëj këtë? Si të vendosni një funksion? Metoda më e thjeshtë, e cila tashmë është përdorur më shumë se një herë në këtë artikull, është duke përdorur formulën. Ne shkruajmë një formulë dhe duke zëvendësuar një vlerë në të, ne llogarisim vlerën. Dhe siç e mbani mend, një formulë është një ligj, një rregull me të cilin na bëhet e qartë për ne dhe për një person tjetër se si një X kthehet në një Y.

Zakonisht, kjo është pikërisht ajo që ata bëjnë - në detyra shohim funksione të gatshme të specifikuara nga formula, megjithatë, ka mënyra të tjera për të vendosur një funksion që të gjithë e harrojnë, dhe për këtë arsye pyetja "si tjetër mund të vendosni një funksion?" ngatërresat. Le të kuptojmë gjithçka në rregull, dhe le të fillojmë me metodën analitike.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni

Metoda analitike është të specifikoni një funksion duke përdorur një formulë. Kjo është metoda më universale, gjithëpërfshirëse dhe e paqartë. Nëse keni një formulë, atëherë dini absolutisht gjithçka për një funksion - mund të bëni një tabelë vlerash prej tij, mund të ndërtoni një grafik, të përcaktoni se ku rritet funksioni dhe ku zvogëlohet, në përgjithësi, ta studioni atë. në mënyrë të plotë.

Le të shqyrtojmë funksionin. Cili është ndryshimi?

"Çfarë do të thotë?" - ju pyesni. Unë do të shpjegoj tani.

Më lejoni t'ju kujtoj se në shënim shprehja në kllapa quhet argument. Dhe ky argument mund të jetë çdo shprehje, jo domosdoshmërisht e thjeshtë. Prandaj, cilido qoftë argumenti (shprehja në kllapa), ne do ta shkruajmë atë në shprehje.

Në shembullin tonë do të duket kështu:

Le të shqyrtojmë një detyrë tjetër që lidhet me metodën analitike të specifikimit të një funksioni, që do të keni në provim.

Gjeni vlerën e shprehjes në.

Jam i sigurt që në fillim u trembët kur patë një shprehje të tillë, por nuk ka absolutisht asgjë të frikshme në të!

Gjithçka është e njëjtë si në shembullin e mëparshëm: cilido qoftë argumenti (shprehja në kllapa), ne do ta shkruajmë atë në shprehje. Për shembull, për një funksion.

Çfarë duhet bërë në shembullin tonë? Në vend të kësaj ju duhet të shkruani, dhe në vend të kësaj -:

shkurtoni shprehjen që rezulton:

Kjo eshte e gjitha!

Punë e pavarur

Tani përpiquni të gjeni vetë kuptimin e shprehjeve të mëposhtme:

1. , Nëse
2. , Nëse

A ia dolët? Le të krahasojmë përgjigjet tona: Jemi mësuar me faktin që funksioni ka formën

Edhe në shembujt tanë, ne e përcaktojmë funksionin pikërisht në këtë mënyrë, por në mënyrë analitike është e mundur të specifikohet funksioni në një formë të nënkuptuar, për shembull.

Provoni ta ndërtoni vetë këtë funksion.

A ia dolët?

Kështu e ndërtova.

Çfarë ekuacioni kemi nxjerrë përfundimisht?

E drejtë! Linear, që do të thotë se grafiku do të jetë një vijë e drejtë. Le të bëjmë një tabelë për të përcaktuar se cilat pika i përkasin rreshtit tonë:

Pikërisht për këtë po flisnim... Njëra korrespondon me disa.

Le të përpiqemi të vizatojmë atë që ndodhi:

A është funksion ajo që kemi?

Është e drejtë, jo! Pse? Përpiquni t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje me ndihmën e një vizatimi. Çfarë more?

"Sepse një vlerë korrespondon me disa vlera!"

Çfarë përfundimi mund të nxjerrim nga kjo?

Kjo është e drejtë, një funksion nuk mund të shprehet gjithmonë në mënyrë eksplicite, dhe ajo që "maskuar" si funksion nuk është gjithmonë një funksion!

Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni

Siç sugjeron emri, kjo metodë është një shenjë e thjeshtë. Po Po. Si ajo që ju dhe unë kemi bërë tashmë. Për shembull:

Këtu keni vënë re menjëherë një model - Y është tre herë më i madh se X. Dhe tani detyra për të "menduar me shumë kujdes": a mendoni se një funksion i dhënë në formën e një tabele është i barabartë me një funksion?

Le të mos flasim për një kohë të gjatë, por le të vizatojmë!

Kështu që. Ne vizatojmë funksionin e specifikuar nga sfondi në mënyrat e mëposhtme:

A e shihni ndryshimin? Nuk ka të bëjë vetëm me pikat e shënuara! Hidhni një vështrim më të afërt:

E keni parë tani? Kur përcaktojmë një funksion në mënyrë tabelare, shfaqim në grafik vetëm ato pika që kemi në tabelë dhe vija (si në rastin tonë) kalon vetëm nëpër to. Kur përcaktojmë një funksion në mënyrë analitike, mund të marrim çdo pikë dhe funksioni ynë nuk kufizohet vetëm në to. Kjo është e veçanta. Mbani mend!

Metoda grafike e ndërtimit të një funksioni

Metoda grafike e ndërtimit të një funksioni nuk është më pak e përshtatshme. Ne vizatojmë funksionin tonë dhe një person tjetër i interesuar mund të gjejë se me çfarë është e barabartë y në një x të caktuar e kështu me radhë. Metodat grafike dhe analitike janë ndër më të zakonshmet.

Sidoqoftë, këtu duhet të mbani mend atë për të cilën folëm që në fillim - jo çdo "skuqje" e tërhequr në sistemin koordinativ është një funksion! Të kujtohet? Për çdo rast, unë do të kopjoj këtu përkufizimin se çfarë është një funksion:

Si rregull, njerëzit zakonisht emërtojnë saktësisht tre mënyrat e specifikimit të një funksioni që kemi diskutuar - analitike (duke përdorur një formulë), tabelare dhe grafike, duke harruar plotësisht se një funksion mund të përshkruhet verbalisht. Si kjo? Po, shumë e thjeshtë!

Përshkrimi verbal i funksionit

Si të përshkruani një funksion verbalisht? Le të marrim shembullin tonë të fundit - . Ky funksion mund të përshkruhet si "çdo vlerë reale e x korrespondon me vlerën e tij të trefishtë". Kjo eshte e gjitha. Asgjë e komplikuar. Ju, sigurisht, do të kundërshtoni - "ka funksione kaq komplekse që është thjesht e pamundur të specifikohen verbalisht!" Po, ka të tilla, por ka funksione që janë më të lehta për t'u përshkruar verbalisht sesa për t'u përcaktuar me një formulë. Për shembull: "çdo vlerë natyrore e x korrespondon me ndryshimin midis shifrave nga të cilat përbëhet, ndërsa minuend merret si shifra më e madhe që përmbahet në shënimin e numrit." Tani le të shohim se si përshkrimi ynë verbal i funksionit zbatohet në praktikë:

Shifra më e madhe në një numër të caktuar është, përkatësisht, minuend, atëherë:

Llojet kryesore të funksioneve

Tani le të kalojmë në pjesën më interesante - le të shohim llojet kryesore të funksioneve me të cilat keni punuar/punoni dhe do të punoni në kursin e matematikës shkollore dhe fakultetit, domethënë le t'i njohim ato, si të thuash. , dhe jepini atyre një përshkrim të shkurtër. Lexoni më shumë për secilin funksion në seksionin përkatës.

Funksioni linear

Një funksion i formës ku, janë numrat realë.

Grafiku i këtij funksioni është një vijë e drejtë, kështu që ndërtimi i një funksioni linear zbret në gjetjen e koordinatave të dy pikave.

Pozicioni i drejtëzës në planin koordinativ varet nga koeficienti këndor.

Shtrirja e një funksioni (aka sfera e vlerave të vlefshme të argumentit) është .

Gama e vlerave - .

Funksioni kuadratik

Funksioni i formularit, ku

Grafiku i funksionit është një parabolë; kur degët e parabolës janë të drejtuara poshtë, kur degët drejtohen lart.

Shumë veti të një funksioni kuadratik varen nga vlera e diskriminuesit. Diskriminuesi llogaritet duke përdorur formulën

Pozicioni i parabolës në planin koordinativ në lidhje me vlerën dhe koeficientin është paraqitur në figurë:

Domeni

Gama e vlerave varet nga ekstremi i funksionit të dhënë (pika e kulmit të parabolës) dhe koeficienti (drejtimi i degëve të parabolës)

Proporcionaliteti i anasjelltë

Funksioni i dhënë nga formula, ku

Numri quhet koeficienti i proporcionalitetit të anasjelltë. Në varësi të vlerës, degët e hiperbolës janë në katrorë të ndryshëm:

Domeni - .

Gama e vlerave - .

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

1. Një funksion është një rregull sipas të cilit çdo element i një grupi shoqërohet me një element të vetëm të grupit.

• - kjo është një formulë që tregon një funksion, domethënë varësinë e një ndryshoreje nga një tjetër;
• - vlerë e ndryshueshme, ose argument;
• - sasia e varur - ndryshon kur ndryshon argumenti, domethënë sipas ndonjë formule specifike që pasqyron varësinë e një sasie nga një tjetër.

2. Vlerat e vlefshme të argumentit, ose domeni i një funksioni, është ajo që lidhet me mundësitë në të cilat funksioni ka kuptim.

3. Gama e funksionit- këto janë vlerat që merr, duke pasur parasysh vlerat e pranueshme.

4. Ka 4 mënyra për të vendosur një funksion:

• analitike (duke përdorur formula);
• tabelare;
• grafike
• përshkrim verbal.

5. Llojet kryesore të funksioneve:

• : , ku, janë numra realë;
• : , Ku;
• : , Ku.

ABSTRAKT

"Studimi i plotë i një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij."

PREZANTIMI

Studimi i vetive të një funksioni dhe vizatimi i grafikut të tij është një nga aplikimet më të mrekullueshme të derivateve. Kjo metodë e studimit të funksionit i është nënshtruar vazhdimisht analizave të kujdesshme. Arsyeja kryesore është se në aplikimet e matematikës ishte e nevojshme të merreshim me funksione gjithnjë e më komplekse që shfaqeshin gjatë studimit të fenomeneve të reja. U shfaqën përjashtime nga rregullat e zhvilluara nga matematika, u shfaqën raste kur rregullat e krijuara nuk ishin aspak të përshtatshme, u shfaqën funksione që nuk kishin derivat në asnjë moment.

Qëllimi i studimit të kursit të algjebrës dhe analizës elementare në klasat 10-11 është studimi sistematik i funksioneve, zbulimi i vlerës së aplikuar të metodave të përgjithshme të matematikës që lidhen me studimin e funksioneve.

Zhvillimi i koncepteve funksionale gjatë studimit të algjebrës dhe fillimet e analizës në nivelin e lartë të arsimit i ndihmon nxënësit e shkollave të mesme të marrin ide vizuale për vazhdimësinë dhe ndërprerjet e funksioneve, të mësojnë për vazhdimësinë e çdo funksioni elementar në fushën e zbatimin e tij, të mësojnë të ndërtojnë grafikët e tyre dhe të përgjithësojnë informacionin për funksionet kryesore elementare dhe të kuptojnë rolin e tyre në studimin e fenomeneve të realitetit, në praktikën njerëzore.

Funksioni rritës dhe pakësues

Zgjidhja e problemeve të ndryshme nga fushat e matematikës, fizikës dhe teknologjisë çon në vendosjen e një marrëdhënie funksionale midis variablave të përfshirë në këtë fenomen.

Nëse një varësi e tillë funksionale mund të shprehet në mënyrë analitike, domethënë në formën e një ose më shumë formulave, atëherë bëhet e mundur studimi i saj me anë të analizës matematikore.

Kjo i referohet mundësisë së qartësimit të sjelljes së një funksioni kur ndryshon një ose një variabël tjetër (ku funksioni rritet, ku zvogëlohet, ku arrin një maksimum, etj.).

Zbatimi i llogaritjes diferenciale për studimin e një funksioni bazohet në një lidhje shumë të thjeshtë që ekziston midis sjelljes së një funksioni dhe vetive të derivatit të tij, kryesisht derivateve të tij të parë dhe të dytë.

Le të shqyrtojmë se si mund të gjejmë intervale të funksionit në rritje ose në ulje, domethënë intervale të monotonitetit të tij. Bazuar në përkufizimin e një funksioni monotonik në rënie dhe rritje, është e mundur të formulojmë teorema që na lejojnë të lidhim vlerën e derivatit të parë të një funksioni të caktuar me natyrën e monotonitetit të tij.

Teorema 1.1. Nëse funksioni y = f ( x ) , i diferencueshëm në interval( a , b ) , rritet në mënyrë monotone në këtë interval, pastaj në çdo pikë
( x ) >0; nëse zvogëlohet në mënyrë monotonike, atëherë në çdo pikë të intervalit ( x )<0.

Dëshmi. Lëreni funksioniny = f ( x ) në mënyrë monotone rritet me( a , b ) , Kjo do të thotë se për këdo mjaft të vogël > 0 vlen pabarazia e mëposhtme:

f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Fig. 1.1).

Oriz. 1.1

Merrni parasysh kufirin

.

Nëse > 0, atëherë > 0 nëse< 0, то

< 0.

Në të dyja rastet, shprehja nën shenjën e kufirit është pozitive, që do të thotë se kufiri është pozitiv, d.m.th ( x )>0 , që ishte ajo që duhej vërtetuar. Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë e teoremës, e lidhur me uljen monotonike të funksionit.

Teorema 1.2. Nëse funksioni y = f ( x ) , e vazhdueshme në segment[ a , b ] dhe është i dallueshëm në të gjitha pikat e brendshme të tij, dhe, përveç kësaj, ( x ) >0 për këdo x ϵ ( a , b ) , atëherë ky funksion rritet në mënyrë monotonike me( a , b ) ; Nëse

( x ) <0 për këdo xϵ ( a , b ), atëherë ky funksion zvogëlohet në mënyrë monotonike me( a , b ) .

Dëshmi. Le ta marrim ϵ ( a , b ) Dhe ϵ ( a , b ) , dhe< . Sipas teoremës së Lagranzhit

( c ) = .

Por ( c )>0 dhe > 0, që do të thotë ( > 0, domethënë

(. Rezultati i marrë tregon një rritje monotonike të funksionit, që ishte ajo që duhej vërtetuar. Pjesa e dytë e teoremës vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Ekstreme e funksionit

Gjatë studimit të sjelljes së një funksioni, një rol të veçantë luajnë pikat që ndajnë nga njëra-tjetra intervalet e rritjes monotonike nga intervalet e uljes monotonike të tij.

Përkufizimi 2.1. Pika quhet pika maksimale e funksionit

y = f ( x ) , nëse për ndonjë, sado i vogël , ( < 0 , а точка quhet pikë minimale nëse ( > 0.

Pikat minimale dhe maksimale quhen së bashku pikat ekstreme. Funksioni monoton pjesë-pjesë i pikave të tilla ka një numër të fundëm në një interval të fundëm (Fig. 2.1).

Oriz. 2.1

Teorema 2.1 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi). Nëse diferencohet në interval( a , b ) funksioni ka në pikë nga ky interval është maksimumi, atëherë derivati ​​i tij në këtë pikë është i barabartë me zero. E njëjta gjë mund të thuhet për pikën minimale .

Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh nga teorema e Rolle, në të cilën u tregua se në pikat minimale ose maksimale = 0, dhe tangjentja e tërhequr në grafikun e funksionit në këto pika është paralele me boshtinOK .

Nga teorema 2.1 rrjedh se nëse funksioniy = f ( x ) ka një derivat në të gjitha pikat, atëherë mund të arrijë një ekstrem në ato pika ku = 0.

Megjithatë, ky kusht nuk është i mjaftueshëm, pasi ka funksione për të cilat plotësohet kushti i specifikuar, por nuk ka ekstrem. Për shembull, funksioniy= në një pikë x = 0 derivati ​​është zero, por nuk ka ekstrem në këtë pikë. Për më tepër, ekstremi mund të jetë në ato pika ku derivati ​​nuk ekziston. Për shembull, funksioniy = | x | ka një minimum në një pikëx = 0 , megjithëse derivati ​​nuk ekziston në këtë pikë.

Përkufizimi 2.2. Pikat në të cilat derivati ​​i një funksioni zhduket ose ka një ndërprerje quhen pika kritike të këtij funksioni..

Prandaj, teorema 2.1 nuk është e mjaftueshme për përcaktimin e pikave ekstreme.

Teorema 2.2 (kusht i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi). Lëreni funksionin y = f ( x ) e vazhdueshme në interval( a , b ) , e cila përmban pikën e saj kritike , dhe është i diferencueshëm në të gjitha pikat e këtij intervali, me përjashtim të mundshëm të vetë pikës . Atëherë, nëse, kur lëvizni këtë pikë nga e majta në të djathtë, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, atëherë kjo është një pikë maksimale, dhe, anasjelltas, nga minus në plus - një pikë minimale.

Dëshmi. Nëse derivati ​​i një funksioni ndryshon shenjën e tij kur kalon një pikë nga e majta në të djathtë nga plus në minus, atëherë funksioni kalon nga rritja në zvogëlim, domethënë arrin në pikën maksimumin e tij dhe anasjelltas.

Nga sa më sipër, një skemë për studimin e një funksioni në një ekstrem vijon:

1) gjeni domenin e përkufizimit të funksionit;

2) llogarit derivatin;

3) gjeni pikat kritike;

4) duke ndryshuar shenjën e derivatit të parë, përcaktohet karakteri i tyre.

Detyra e studimit të një funksioni për një ekstrem nuk duhet të ngatërrohet me detyrën e përcaktimit të vlerave minimale dhe maksimale të një funksioni në një segment. Në rastin e dytë, është e nevojshme të gjesh jo vetëm pikat ekstreme në segment, por edhe t'i krahasosh ato me vlerën e funksionit në skajet e tij.

Intervalet e funksioneve konvekse dhe konkave

Një karakteristikë tjetër e grafikut të një funksioni që mund të përcaktohet duke përdorur derivatin është konveksiteti ose konkaviteti i tij.

Përkufizimi 3.1. Funksioni y = f ( x ) quhet konveks në interval( a , b ) , nëse grafiku i tij ndodhet nën çdo tangjente të tërhequr ndaj tij në një interval të caktuar, dhe anasjelltas, ai quhet konkav nëse grafiku i tij është mbi çdo tangjente të tërhequr ndaj tij në një interval të caktuar..

Le të vërtetojmë një teoremë që na lejon të përcaktojmë intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të një funksioni.

Teorema 3.1. Nëse në të gjitha pikat e intervalit( a , b ) derivati ​​i dytë i funksionit ( x ) është e vazhdueshme dhe negative, pastaj funksioniy = f ( x ) është konveks dhe anasjelltas, nëse derivati ​​i dytë është i vazhdueshëm dhe pozitiv, atëherë funksioni është konkav.

Ne kryejmë vërtetimin për intervalin e konveksitetit të funksionit. Le të marrim një pikë arbitrareϵ ( a , b ) dhe vizatoni një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikëy = f ( x ) (Fig. 3.1).

Teorema do të vërtetohet nëse tregohet se të gjitha pikat e lakores në interval( a , b ) shtrihen nën këtë tangjente. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të vërtetohet se për të njëjtat vlerax ordinatat e lakoresy = f ( x ) më e vogël se ordinata e tangjentes së tërhequr ndaj saj në pikë .

Oriz. 3.1

Për definicion, shënojmë ekuacionin e kurbës: = f ( x ) , dhe ekuacioni i tangjentes me të në pikë :

- f ( ) = ( )( x - )

ose

= f ( ) + ( )( x - ) .

Le të bëjmë dallimin Dhe:

- = f(x) – f( ) - ( ) (x- ).

Aplikoni për dalliminf ( x ) – f ( ) Teorema e vlerës mesatare të Lagranzhit:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

Ku ϵ ( , x ).

Le të zbatojmë tani teoremën e Lagranzhit për shprehjen në kllapa katrore:

- = ( )( - )( x - ) , Ku ϵ ( , ).

Siç shihet nga figura,x > , Pastaj x - > 0 Dhe - > 0 . Për më tepër, sipas teoremës, ( )<0.

Duke shumëzuar këta tre faktorë, marrim atë , që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Përkufizimi 3.2. Pika që ndan intervalin konveks nga intervali konkav quhet pika e përkuljes.

Nga përkufizimi 3.1 rrjedh se në një pikë të caktuar tangjentja e pret kurbën, domethënë nga njëra anë kurba ndodhet poshtë tangjentes, dhe nga ana tjetër, sipër.

Teorema 3.2. Nëse në pikën derivati ​​i dytë i funksionit

y = f ( x ) është e barabartë me zero ose nuk ekziston, dhe kur kalon nëpër një pikë shenja e derivatit të dytë ndryshon në të kundërtën, atëherë kjo pikë është një pikë lakimi.

Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh nga fakti se shenjat ( x ) në anët e kundërta të pikës janë të ndryshme. Kjo do të thotë se në njërën anë të pikës funksioni është konveks, dhe nga ana tjetër është konkav. Në këtë rast, sipas përkufizimit 3.2, pika është pika e përkuljes.

Studimi i një funksioni për konveksitet dhe konkavitet kryhet sipas të njëjtës skemë si studimi për një ekstremum.

4. Asimptotat e funksionit

Në paragrafët e mëparshëm, u diskutuan metodat për studimin e sjelljes së një funksioni duke përdorur derivatin. Megjithatë, ndër pyetjet që lidhen me studimin e plotë të një funksioni, ka edhe nga ato që nuk lidhen me derivatin.

Kështu, për shembull, është e nevojshme të dihet se si sillet një funksion kur një pikë në grafikun e tij largohet pafundësisht nga origjina. Ky problem mund të lindë në dy raste: kur argumenti i një funksioni shkon në pafundësi dhe kur, gjatë një ndërprerjeje të llojit të dytë në pikën fundore, vetë funksioni shkon në pafundësi. Në të dyja këto raste, mund të lindë një situatë kur funksioni priret në një vijë të drejtë, e quajtur asimptota e tij.

Përkufizimi . Asimptota e grafikut të një funksioniy = f ( x ) është një vijë e drejtë që ka vetinë që distanca nga grafiku në këtë vijë të drejtë priret në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjina.

Ka dy lloje asimptotesh: vertikale dhe të zhdrejtë.

Asimptotat vertikale përfshijnë vija të drejtax = , të cilat kanë vetinë që grafiku i funksionit në afërsi të tyre të shkojë në pafundësi, pra të plotësohet kushti: .

Natyrisht, kërkesa e përkufizimit të specifikuar plotësohet këtu: distanca nga grafiku i kurbës në vijën e drejtë.x = priret në zero, dhe vetë kurba shkon në pafundësi. Pra, në pikat e ndërprerjes së llojit të dytë, funksionet kanë asimptota vertikale, për shembull,y= në një pikë x = 0 . Rrjedhimisht, përcaktimi i asimptotave vertikale të një funksioni përkon me gjetjen e pikave të ndërprerjes së llojit të dytë.

Asimptotat e zhdrejta përshkruhen nga ekuacioni i përgjithshëm i një vije të drejtë në një plan, d.m.thy = kx + b . Kjo do të thotë se, ndryshe nga asimptotat vertikale, këtu është e nevojshme të përcaktohen numratk Dhe b .

Pra, le të kurbë = f ( x ) ka një asimptotë të zhdrejtë, pra nëx pikat e kurbës i afrohen drejtëzës sa të dëshirohet = kx + b (Fig. 4.1). Le M ( x , y ) - një pikë e vendosur në një kurbë. Distanca e saj nga asimptota do të karakterizohet nga gjatësia e pingules| MN | .

Ndërtimi i funksionit

Ne ofrojmë në vëmendjen tuaj një shërbim për ndërtimin e grafikëve të funksioneve në internet, të gjitha të drejtat e të cilave i përkasin kompanisë Desmos. Përdorni kolonën e majtë për të futur funksione. Mund të futni manualisht ose duke përdorur tastierën virtuale në fund të dritares. Për të zmadhuar dritaren me grafikun, mund të fshehni kolonën e majtë dhe tastierën virtuale.

Përfitimet e hartimit në internet

• Shfaqja vizuale e funksioneve të futura
• Ndërtimi i grafikëve shumë kompleks
• Ndërtimi i grafikëve të specifikuar në mënyrë implicite (për shembull, elipsi x^2/9+y^2/16=1)
• Mundësia për të ruajtur grafikët dhe për të marrë një lidhje me to, e cila bëhet e disponueshme për të gjithë në internet
• Kontrolli i shkallës, ngjyra e linjës
• Mundësia e paraqitjes së grafikëve sipas pikave, duke përdorur konstante
• Hartimi i disa grafikëve të funksioneve në të njëjtën kohë
• Vizatimi në koordinata polare (përdor r dhe θ(\theta))

Me ne është e lehtë të ndërtosh në internet tabela me kompleksitet të ndryshëm. Ndërtimi bëhet në çast. Shërbimi është i kërkuar për gjetjen e pikave të kryqëzimit të funksioneve, për paraqitjen e grafikëve për zhvendosjen e mëtejshme të tyre në një dokument Word si ilustrime gjatë zgjidhjes së problemeve dhe për analizimin e veçorive të sjelljes së grafikëve të funksioneve. Shfletuesi optimal për të punuar me grafikët në këtë faqe uebsajti është Google Chrome. Funksionimi i duhur nuk garantohet kur përdorni shfletues të tjerë.

Nëse problemi kërkon një studim të plotë të funksionit f (x) = x 2 4 x 2 - 1 me ndërtimin e grafikut të tij, atëherë do ta shqyrtojmë këtë parim në detaje.

Për të zgjidhur një problem të këtij lloji, duhet të përdorni vetitë dhe grafikët e funksioneve themelore elementare. Algoritmi i kërkimit përfshin hapat e mëposhtëm:

Gjetja e fushës së përkufizimit

Meqenëse hulumtimi kryhet në fushën e përcaktimit të funksionit, është e nevojshme të fillohet me këtë hap.

Shembulli 1

Shembulli i dhënë përfshin gjetjen e zerove të emëruesit në mënyrë që të përjashtohen ato nga ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Si rezultat, ju mund të merrni rrënjë, logaritme, etj. Pastaj ODZ mund të kërkohet për një rrënjë të një shkalle çift të tipit g (x) 4 nga pabarazia g (x) ≥ 0, për logaritmin log a g (x) nga pabarazia g (x) > 0.

Studimi i kufijve të ODZ dhe gjetja e asimptotave vertikale

Ka asimptota vertikale në kufijtë e funksionit, kur kufijtë e njëanshëm në pika të tilla janë të pafundme.

Shembulli 2

Për shembull, merrni parasysh pikat kufitare të barabarta me x = ± 1 2.

Pastaj është e nevojshme të studiohet funksioni për të gjetur kufirin e njëanshëm. Atëherë marrim se: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Kjo tregon se kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëzat x = ± 1 2 janë asimptota vertikale të grafikut.

Studimi i një funksioni dhe nëse është çift apo tek

Kur kushti y (- x) = y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet çift. Kjo sugjeron që grafiku ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me Oy. Kur kushti y (- x) = - y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet tek. Kjo do të thotë se simetria është relative me origjinën e koordinatave. Nëse të paktën një pabarazi nuk plotësohet, marrim një funksion të formës së përgjithshme.

Barazia y (- x) = y (x) tregon se funksioni është çift. Gjatë ndërtimit, është e nevojshme të merret parasysh se do të ketë simetri në lidhje me Oy.

Për të zgjidhur pabarazinë, përdoren intervalet e rritjes dhe zvogëlimit me kushtet f " (x) ≥ 0 dhe f " (x) ≤ 0, përkatësisht.

Përkufizimi 1

Pikat e palëvizshme- këto janë pikat që e kthejnë derivatin në zero.

Pikat kritike- këto janë pika të brendshme nga fusha e përkufizimit ku derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

Kur merrni një vendim, duhet të merren parasysh shënimet e mëposhtme:

• për intervalet ekzistuese të pabarazive në rritje dhe në ulje të formës f " (x) > 0, pikat kritike nuk përfshihen në zgjidhje;
• pikat në të cilat funksioni është përcaktuar pa një derivat të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit (për shembull, y = x 3, ku pika x = 0 e bën funksionin të përcaktuar, derivati ​​ka vlerën e pafundësisë në këtë pika, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 përfshihet në intervalin në rritje);
• Për të shmangur mosmarrëveshjet, rekomandohet përdorimi i literaturës matematikore të rekomanduar nga Ministria e Arsimit.

Përfshirja e pikave kritike në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit nëse ato plotësojnë domenin e përcaktimit të funksionit.

Përkufizimi 2

Për Përcaktimi i intervaleve të rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme të gjendet:

• derivat;
• pikat kritike;
• ndani domenin e përkufizimit në intervale duke përdorur pikat kritike;
• përcaktoni shenjën e derivatit në secilin nga intervalet, ku + është një rritje dhe - është një rënie.

Shembulli 3

Gjeni derivatin në domenin e përkufizimit f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Zgjidhje

Për të zgjidhur ju duhet:

• gjeni pika të palëvizshme, ky shembull ka x = 0;
• gjeni zerot e emëruesit, shembulli merr vlerën zero në x = ± 1 2.

Vendosim pika në vijën numerike për të përcaktuar derivatin në çdo interval. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo pikë nga intervali dhe të kryesh një llogaritje. Nëse rezultati është pozitiv, ne përshkruajmë + në grafik, që do të thotë se funksioni po rritet dhe - do të thotë se po zvogëlohet.

Për shembull, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, që do të thotë se intervali i parë në të majtë ka një shenjë +. Merrni parasysh vijën numerike.

Përgjigje:

• funksioni rritet në intervalin - ∞; - 1 2 dhe (- 1 2 ; 0 ] ;
• ka një ulje të intervalit [0; 1 2) dhe 1 2 ; + ∞ .

Në diagram, duke përdorur + dhe -, përshkruhen pozitiviteti dhe negativiteti i funksionit, dhe shigjetat tregojnë ulje dhe rritje.

Pikat ekstreme të një funksioni janë pikat ku përcaktohet funksioni dhe përmes të cilave derivati ​​ndryshon shenjën.

Shembulli 4

Nëse marrim parasysh një shembull ku x = 0, atëherë vlera e funksionit në të është e barabartë me f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kur shenja e derivatit ndryshon nga + në - dhe kalon në pikën x = 0, atëherë pika me koordinata (0; 0) konsiderohet pika maksimale. Kur shenja ndryshon nga - në +, marrim një pikë minimale.

Konveksiteti dhe konkaviteti përcaktohen duke zgjidhur pabarazitë e formës f "" (x) ≥ 0 dhe f "" (x) ≤ 0. Më pak i përdorur është emri konveksitet poshtë në vend të konkavitetit, dhe konveksitet lart në vend të konveksitetit.

Përkufizimi 3

Për përcaktimi i intervaleve të konkavitetit dhe konveksitetit nevojshme:

• gjeni derivatin e dytë;
• gjeni zerot e funksionit të dytë derivat;
• ndani zonën e përkufizimit në intervale me pikat që shfaqen;
• përcaktoni shenjën e intervalit.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e dytë nga fusha e përkufizimit.

Zgjidhje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Gjejmë zerot e numëruesit dhe të emëruesit, ku në shembullin tonë kemi se zerot e emëruesit x = ± 1 2

Tani ju duhet të vizatoni pikat në vijën numerike dhe të përcaktoni shenjën e derivatit të dytë nga çdo interval. Ne e kuptojmë atë

Përgjigje:

• funksioni është konveks nga intervali - 1 2 ; 12 ;
• funksioni është konkav nga intervalet - ∞ ; - 1 2 dhe 1 2; + ∞ .

Përkufizimi 4

Pika e lakimit– kjo është një pikë e formës x 0 ; f (x 0) . Kur ka një tangjente me grafikun e funksionit, atëherë kur kalon në x 0 funksioni ndryshon shenjën në të kundërtën.

Me fjalë të tjera, kjo është një pikë nëpër të cilën kalon derivati ​​i dytë dhe ndryshon shenjën, dhe në vetë pikat është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Të gjitha pikat konsiderohen të jenë domeni i funksionit.

Në shembull, ishte e qartë se nuk kishte pika lakimi, pasi derivati ​​i dytë ndryshon shenjën ndërsa kalon nëpër pikat x = ± 1 2. Ata, nga ana tjetër, nuk përfshihen në fushën e përkufizimit.

Gjetja e asimptotave horizontale dhe të zhdrejta

Kur përcaktoni një funksion në pafundësi, duhet të kërkoni asimptota horizontale dhe të zhdrejta.

Përkufizimi 5

Asimptota të zhdrejta janë paraqitur duke përdorur drejtëza të dhëna nga ekuacioni y = k x + b, ku k = lim x → ∞ f (x) x dhe b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Për k = 0 dhe b jo të barabartë me pafundësinë, gjejmë se asimptota e zhdrejtë bëhet horizontale.

Me fjalë të tjera, asimptotat konsiderohen si vija të cilave grafiku i një funksioni afrohet në pafundësi. Kjo lehtëson ndërtimin e shpejtë të një grafiku funksioni.

Nëse nuk ka asimptota, por funksioni është i përcaktuar në të dyja pafundësitë, është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit në këto pafundësi për të kuptuar se si do të sillet grafiku i funksionit.

Shembulli 6

Le ta konsiderojmë si shembull atë

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

është një asimptotë horizontale. Pasi të keni ekzaminuar funksionin, mund të filloni ta ndërtoni atë.

Llogaritja e vlerës së një funksioni në pikat e ndërmjetme

Për ta bërë grafikun më të saktë, rekomandohet të gjeni disa vlera funksioni në pikat e ndërmjetme.

Shembulli 7

Nga shembulli që shqyrtuam, është e nevojshme të gjejmë vlerat e funksionit në pikat x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Meqenëse funksioni është i barabartë, marrim që vlerat përkojnë me vlerat në këto pika, domethënë, marrim x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Le të shkruajmë dhe zgjidhim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Për të përcaktuar maksimumin dhe minimumin e funksionit, pikat e lakimit dhe pikat e ndërmjetme, është e nevojshme të ndërtohen asimptota. Për përcaktim të përshtatshëm, regjistrohen intervalet e rritjes, zvogëlimit, konveksitetit dhe konkavitetit. Le të shohim foton më poshtë.

Është e nevojshme të vizatoni linja grafike nëpër pikat e shënuara, të cilat do t'ju lejojnë t'i afroheni asimptotave duke ndjekur shigjetat.

Kjo përfundon eksplorimin e plotë të funksionit. Ka raste të ndërtimit të disa funksioneve elementare për të cilat përdoren shndërrime gjeometrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Artikuj të ngjashëm