Në lidhje me futjen e sasive, duhet të merren parasysh sa vijon:

1. Një formulë logjike e kallëzuesit nuk mund të përmbajë të njëjtën ndryshore objektive, e cila do të ishte e lidhur në një pjesë të formulës dhe e lirë në një tjetër.

2. E njëjta ndryshore nuk mund të jetë në rajonin e kuantifikuesve që janë të dyfishtë me njëri-tjetrin.

Shkelja e këtyre kushteve quhet përplasje e ndryshueshme.

Si përcaktohet vlera e së vërtetës së një deklarate me një sasior?

Për të vërtetuar një pohim me një sasior të përgjithshëm duhet të siguroheni që kur zëvendësoni secilën nga vlerat X në një kallëzues P(x) kjo e fundit kthehet në një deklaratë të vërtetë. Nëse bashkësia X është e fundme, atëherë kjo mund të bëhet duke numëruar të gjitha rastet; nëse grupi X është i pafund, atëherë është e nevojshme të kryhet arsyetimi në një formë të përgjithshme.

Deklaratë (x) P(x) false nëse një vlerë e tillë mund të specifikohet AX, në të cilën P(x) shndërrohet në deklaratë të rreme R(a). Prandaj, për të hedhur poshtë një deklaratë me një sasior të përgjithshëm Mjafton të japim një shembull.

Deklaratë (x) P(x) e vërtetë nëse një vlerë e tillë mund të specifikohet AX, në të cilën P(x) kthehet në një deklaratë të vërtetë R(a). Prandaj, me rregull verifikoni vërtetësinë e një deklarate me një kuantifikues ekzistencës , mjafton të japim një shembull dhe kështu ta vërtetojmë.

Në mënyrë që verifikoni falsitetin e një deklarate me kuantifikues ekzistencës (x) P(x),është e nevojshme të verifikohet falsiteti i secilit P(x), P(x), …, P(x). Nëse grupi X Sigurisht, kjo mund të bëhet me forcë brutale. Nëse ka shumë X pafundësisht, atëherë është e nevojshme të kryhet arsyetimi në një formë të përgjithshme.

Shembuj.

1. Gjeni vlerën e së vërtetës "ndër numrat" 1, 2, 3, 4 ka një numër të thjeshtë."

Zgjidhja: Deklarata përmban një sasior ekzistencial dhe për këtë arsye mund të përfaqësohet si një ndarje e pohimeve: " 1 - numri kryesor" ose " 2 - numri kryesor" ose " 3 - numri kryesor" ose " 4 - Numri kryesor". Për të vërtetuar të vërtetën e një ndarjeje, mjafton vërtetësia e të paktën një deklarate, për shembull, " 3 është një numër i thjeshtë që është i vërtetë. Prandaj, deklarata origjinale është gjithashtu e vërtetë.

2. Le të vërtetojmë se çdo katror është drejtkëndësh.

Zgjidhja: Deklarata përmban një sasior të përgjithshëm. Prandaj, mund të paraqitet si lidhëz: "katror - drejtkëndësh" dhe "katror - drejtkëndësh" dhe "katror - drejtkëndësh", etj. Meqenëse të gjitha këto pohime janë të vërteta, atëherë lidhja e këtyre pohimeve është e vërtetë, prandaj, fjalia origjinale është e vërtetë.

3. "Çdo trekëndësh është dykëndësh". Kjo është një deklaratë e rreme. Për ta vërtetuar këtë mjafton të vizatoni një trekëndësh që nuk është dykëndësh.a

Të ndërtojë mohimin e një pohimi me kuantifikues nevojshme:

1) të zëvendësojë kuantifikuesin e përgjithësisë me sasiorin e ekzistencës, dhe kuantifikuesin e ekzistencës me kuantifikuesin e përgjithësisë;

2) zëvendësojë kallëzuesin me mohimin e tij.

Shembull. Le të formulojmë një mohim për pohimet e mëposhtme:

a) të gjithë elementët e grupit Z madje; b) disa folje i përgjigjen pyetjes “çfarë duhet bërë?”.

Zgjidhja: a) Le të zëvendësojmë kuantifikuesin e gjeneralitetit me sasiorin e ekzistencës dhe pohimin e tij me mohimin e tij: disa elementë të grupit Z i çuditshëm.

b) Le të zëvendësojmë kuantifikuesin e ekzistencës me një sasior të përgjithësisë dhe shprehjen e tij me mohim: të gjitha foljet nuk i përgjigjen pyetjes "çfarë të bëjmë?"

Kallëzues (lat. praedicatum- deklaruar, përmendur, thënë) - çdo deklaratë matematikore në të cilën ka të paktën një ndryshore. Kallëzuesi është objekti kryesor i studimit në logjikën e rendit të parë.

Një kallëzues është një shprehje me ndryshore logjike që kanë kuptim për çdo vlerë të lejuar të këtyre variablave.

Shprehjet: x > 5, x > y – kallëzues.

Kallëzues ( n-lokale, ose n-ary) është një funksion me një grup vlerash (0,1) (ose "false" dhe "e vërtetë"), të përcaktuara në grup. Kështu, çdo grup elementësh të grupit M karakterizohet si "e vërtetë" ose "e rreme".

Një kallëzues mund të shoqërohet me një lidhje matematikore: nëse n-ka i përket relacionit, atëherë kallëzuesi do të kthejë mbi të 1. Në veçanti, një kallëzues unar përcakton relacionin e anëtarësimit me një grup të caktuar.

Kallëzuesi është një nga elementët e logjikës së rendit të parë dhe të lartë. Duke u nisur nga logjika e rendit të dytë, kuantifikuesit mund të vendosen në kallëzues në formula.

Kallëzuesi quhet identike e vërtetë dhe shkruani:

nëse në ndonjë grup argumentesh merr vlerën 1.

Kallëzuesi quhet në mënyrë identike të rreme dhe shkruani:

nëse në ndonjë grup argumentesh merr vlerën 0.

Kallëzuesi quhet e realizueshme, nëse merr vlerën 1 në të paktën një grup argumentesh.

Meqenëse kallëzuesit marrin vetëm dy kuptime, të gjitha veprimet e algjebrës së Bulit janë të zbatueshme për to, për shembull: mohimi, nënkuptimi, lidhja, disjunksioni, etj.

Kuantifikuesi është një emër i përgjithshëm për veprimet logjike që kufizojnë fushën e së vërtetës së një kallëzuesi. Më shpesh përmenden:

Kuantifikues universal(emërtimi: lexohet: "për të gjithë...", "për të gjithë..." ose "çdo...", "çdo...", "për çdo...").

Kuantifikues i ekzistencës(emërtimi: , lexohet: "ekziston..." ose "do të gjendet...").

Shembuj

Le të shënojmë P(x) kallëzues " x pjesëtueshëm me 5." Duke përdorur sasinë e përgjithshme, ne mund të shkruajmë zyrtarisht pohimet e mëposhtme (e rreme, natyrisht):

çdo numër natyror plotpjesëtohet me 5;

çdo numër natyror është shumëfish i 5;

të gjithë numrat natyrorë janë shumëfish të 5;

në mënyrën e mëposhtme:

.

Deklaratat e mëposhtme (tashmë të vërteta) përdorin kuantifikuesin ekzistencial:

ka numra natyrorë që janë shumëfish të 5;

ekziston një numër natyror që është shumëfish i 5;

të paktën një numër natyror plotpjesëtohet me 5.

Shënimi i tyre zyrtar:

.Hyrje në koncept

Le të jepet kallëzuesi P(x) në bashkësinë X të numrave të thjeshtë: "Numri i thjeshtë x është tek." Le të zëvendësojmë fjalën "ndonjë" përpara këtij kallëzuesi. Marrim pohimin e rremë "çdo numër i thjeshtë x është tek" (ky pohim është i rremë, pasi 2 është numër i thjeshtë çift).

Duke zëvendësuar fjalën "ekziston" përpara kallëzuesit të dhënë P(x), marrim pohimin e vërtetë "Ka një numër të thjeshtë x që është tek" (për shembull, x = 3).

Kështu, ju mund ta ktheni një kallëzues në një pohim duke vendosur para kallëzuesit fjalët "gjithçka", "ekziston" etj., të quajtura kuantifikues në logjikë.

Kuantifikuesit në logjikën matematikore

Deklarata do të thotë se diapazoni i ndryshores x përfshihet në fushën e së vërtetës së kallëzuesit P(x).

("Për të gjitha vlerat e (x), deklarata është e vërtetë.")

Pohimi do të thotë se fusha e së vërtetës së kallëzuesit P(x) është jo bosh.

("Ka një (x) për të cilën pohimi është i vërtetë").

Pyetja 31 Grafiku dhe elementet e tij. Konceptet bazë. Incidenca, shumëfishimi, laku, afërsia. Llojet e grafikëve. Rruga në grafik dhe gjatësia e saj. Klasifikimi i rrugëve. Matricat e fqinjësisë së grafëve të drejtuar dhe të padrejtuar.

Në teorinë matematikore të grafikëve dhe shkencën kompjuterike, një grafik është një koleksion i një grupi jo bosh kulmesh dhe një grupi çiftesh kulmesh.

Objektet përfaqësohen si kulme, ose nyje, të një grafi, dhe lidhjet përfaqësohen si harqe ose skaje. Për fusha të ndryshme aplikimi, llojet e grafikëve mund të ndryshojnë në drejtim, kufizime në numrin e lidhjeve dhe të dhëna shtesë rreth kulmeve ose skajeve.

Një shteg (ose zinxhir) në një grafik është një sekuencë e fundme kulmesh në të cilën çdo kulm (përveç të fundit) është i lidhur me tjetrin në sekuencën e kulmeve nga një skaj.

Një shteg i drejtuar në një digraf është një sekuencë e fundme kulmesh v i, për të cilën të gjitha çiftet ( v i,v i+ 1) janë skaje (të orientuara).

Një cikël është një shteg në të cilin kulmi i parë dhe i fundit përputhen. Në këtë rast, gjatësia e një shtegu (ose cikli) është numri i përbërësve të tij brinjët. Vini re se nëse kulmet u Dhe v janë skajet e ndonjë skaji, atëherë sipas këtij përkufizimi, sekuenca ( u,v,u) është një cikël. Për të shmangur raste të tilla "degjeneruese", futen konceptet e mëposhtme.

Një shteg (ose cikël) quhet i thjeshtë nëse skajet e tij nuk përsëriten; elementare nëse është e thjeshtë dhe kulmet e saj nuk përsëriten. Është e lehtë të shihet se:

Çdo shteg që lidh dy kulme përmban një shteg elementar që lidh të njëjtat dy kulme.

Çdo e thjeshtë jo elementare rruga përmban elementare ciklit.

Çdo thjeshtë një cikël që kalon nëpër një kulm (ose buzë) përmban elementare(nën-)cikli që kalon nëpër të njëjtin kulm (ose buzë).

Një lak është një cikël elementar.

Grafiku ose grafiku i padrejtuar Gështë një çift i porositur G: = (V,E

V

E ky është një grup çiftesh (në rastin e një grafi të padrejtuar, të parenditur) kulmesh, të quajtura skaje.

V(dhe për këtë arsye E, përndryshe do të ishte një shumëbashkësi) zakonisht konsiderohen bashkësi të fundme. Shumë rezultate të mira të marra për grafikët e fundëm nuk janë të vërteta (ose ndryshojnë në një farë mënyre). grafikët e pafund. Kjo është për shkak se një numër konsideratash bëhen të rreme në rastin e grupeve të pafundme.

Kulmet dhe skajet e një grafi quhen edhe elemente grafiku, numri i kulmeve në grafik | V| - renditja, numri i skajeve | E| - madhësia e grafikut.

Majat u Dhe v quhen kulme (ose thjesht skaje) fundore të një skaji e = {u,v). Një skaj, nga ana tjetër, lidh këto kulme. Dy kulme fundore të së njëjtës skaj quhen ngjitur.

Dy skaje thuhet se janë ngjitur nëse kanë një kulm të përbashkët fundor.

Dy skaje quhen të shumëfishta nëse bashkësitë e kulmeve të tyre fundore përkojnë.

Një skaj quhet lak nëse skajet e tij përkojnë, d.m.th e = {v,v}.

gradë deg V majat V thirrni numrin e skajeve që bien në të (në këtë rast, sythe numërohen dy herë).

Një kulm thuhet se është i izoluar nëse nuk është fundi i ndonjë skaji; varur (ose fletë) nëse është fundi i saktësisht një skaji.

Grafiku i drejtuar (digrafi i shkurtuar) Gështë një çift i porositur G: = (V,A), për të cilat plotësohen kushtet e mëposhtme:

Vështë një grup jo bosh kulmesh ose nyjesh,

Aështë një grup çiftesh (të renditura) kulmesh të dallueshme, të quajtura harqe ose skaje të drejtuara.

Arcështë një çift i renditur kulmesh (v, w), ku është kulmi v quhet fillimi dhe w- fundi i harkut. Mund të themi se harku të çon nga lart v ne krye w.

Grafik i përzier

Grafik i përzier Gështë një grafik në të cilin disa skaje mund të drejtohen dhe disa mund të jenë të padrejtuara. Shkruar si treshe e porositur G: = (V,E,A), Ku V, E Dhe A përcaktuar njësoj si më sipër.

Grafikët e drejtuar dhe të padrejtuar janë raste të veçanta të grafëve të përzier.

Grafikët izomorfikë (?)

Grafiku G quhet izomorfik në grafik H, nëse ka një bijeksion f nga bashkësia e kulmeve të grafikut G te bashkësia e kulmeve të grafikut H, e cila ka vetinë e mëposhtme: nëse në grafik G ka një buzë nga kulmi A ne krye B, pastaj në grafik H f(A) ne krye f(B) dhe anasjelltas - nëse në grafik H ka një buzë nga kulmi A ne krye B, pastaj në grafik G duhet të ketë një buzë nga kulmi f − 1 (A) ne krye f − 1 (B). Në rastin e një grafiku të drejtuar, kjo bijeksion duhet të ruajë edhe orientimin e skajit. Në rastin e një grafiku të peshuar, bijeksioni duhet të ruajë gjithashtu peshën e skajit.

Matrica e afërsisë së grafikut G me një numër të kufizuar kulmesh n(të numëruar nga 1 në n) është një matricë katrore A madhësia n, në të cilën vlera e elementit një ij e barabartë me numrin e skajeve nga i kulmi i grafikut në j- maja.

Ndonjëherë, veçanërisht në rastin e një grafi të padrejtuar, një lak (një skaj nga i kulmi në vetvete) llogaritet si dy skaje, domethënë vlera e elementit diagonal a ii në këtë rast është e barabartë me dyfishin e numrit të sytheve përreth i maja e th.

Matrica e fqinjësisë së një grafiku të thjeshtë (që nuk përmban sythe ose skaje të shumta) është një matricë binare dhe përmban zero në diagonalen kryesore.

Pyetja 32 Funksioni. Metodat e caktimit. Klasifikimi i funksioneve. Funksionet elementare bazë dhe grafikët e tyre. Përbërja e funksioneve. Funksionet elementare.

Funksioni është një koncept matematikor që pasqyron marrëdhëniet midis elementeve të grupeve. Mund të themi se një funksion është një "ligj" sipas të cilit çdo element i një grupi (i quajtur fusha e përkufizimit ) vihet në korrespondencë me ndonjë element të një grupi tjetër (i quajtur varg vlerash ).

Koncepti matematikor i një funksioni shpreh idenë intuitive se si një sasi përcakton plotësisht vlerën e një sasie tjetër. Pra vlera e ndryshores x përcakton në mënyrë unike kuptimin e një shprehjeje x 2, dhe vlera e muajit përcakton në mënyrë unike vlerën e muajit pas tij, gjithashtu çdo person mund të krahasohet me një person tjetër - babain e tij. Në mënyrë të ngjashme, disa algoritëm të paramenduar prodhojnë të dhëna të caktuara dalëse bazuar në të dhëna të ndryshme hyrëse.

Metodat për specifikimin e një funksioni

Metoda analitike

Një funksion është një objekt matematikor që është një lidhje binare që plotëson disa kushte. Një funksion mund të specifikohet drejtpërdrejt si një grup çiftesh të renditura, për shembull: ekziston një funksion . Sidoqoftë, kjo metodë është plotësisht e papërshtatshme për funksionet në grupe të pafundme (që janë funksionet e zakonshme reale: fuqia, lineare, eksponenciale, logaritmike, etj.).

Për të specifikuar një funksion, përdorni shprehjen: . ku, xështë një variabël që kalon nëpër domenin e përkufizimit të funksionit, dhe y- varg vlerash. Kjo hyrje tregon praninë e një marrëdhënie funksionale midis elementeve të grupeve. X Dhe y mund të kalojë nëpër çdo grup objektesh të çdo natyre. Këto mund të jenë numra, vektorë, matrica, mollë, ngjyra të ylberit. Le të shpjegojmë me një shembull:

Le të ketë një grup mollë, aeroplan, dardhë, karrige dhe shumë njeri, lokomotivë, katror. Le të përcaktojmë funksionin f si më poshtë: (mollë, person), (aeroplan, lokomotivë), (dardhë, katror), (karrige, person). Nëse prezantojmë një ndryshore x që kalon nëpër grup dhe një ndryshore y që kalon nëpër grup, funksioni i specifikuar mund të specifikohet në mënyrë analitike si: .

Funksionet numerike mund të specifikohen në mënyrë të ngjashme. Për shembull: ku x kalon nëpër bashkësinë e numrave realë dhe përcakton një funksion f. Është e rëndësishme të kuptohet se vetë shprehja nuk është një funksion. Një funksion si objekt është një grup (çiftesh të renditura). Dhe kjo shprehje si objekt është barazia e dy ndryshoreve. Ai përcakton një funksion, por nuk është një.

Megjithatë, në shumë degë të matematikës, është e mundur të shënojmë me f(x) si vetë funksionin ashtu edhe shprehjen analitike që e përcakton atë. Kjo konventë sintaksore është jashtëzakonisht e përshtatshme dhe e justifikuar.

Metoda grafike

Funksionet numerike mund të specifikohen gjithashtu duke përdorur një grafik. Le të jetë një funksion real i n ndryshoreve.

Le të shqyrtojmë një hapësirë ​​lineare (n+1)-dimensionale mbi fushën e numrave realë (pasi funksioni është real). Le të zgjedhim çdo bazë () në këtë hapësirë. Çdo pikë e funksionit shoqërohet me një vektor: . Kështu, do të kemi një grup vektorësh hapësinorë linearë që korrespondojnë me pikat e një funksioni të caktuar sipas rregullit të specifikuar. Pikat e hapësirës afine përkatëse do të formojnë një sipërfaqe të caktuar.

Nëse e marrim hapësirën Euklidiane të vektorëve të lirë gjeometrikë (segmente të drejtuara) si një hapësirë ​​lineare, dhe numri i argumenteve të funksionit f nuk kalon 2, grupi i pikave të specifikuara mund të përshkruhet vizualisht në formën e një vizatimi (grafiku ). Nëse, përveç kësaj, baza origjinale merret si ortonormale, marrim përkufizimin "shkollë" të grafikut të një funksioni.

Për funksionet me 3 argumente ose më shumë, kjo paraqitje nuk është e zbatueshme për shkak të mungesës së intuitës gjeometrike të hapësirave shumëdimensionale nga një person.

Sidoqoftë, për funksione të tilla mund të arrihet me një paraqitje vizuale gjysmë gjeometrike (për shembull, çdo vlerë e koordinatës së katërt të një pike mund të shoqërohet me një ngjyrë të caktuar në grafik)

Sasi proporcionale. Nëse variablat y Dhe x janë drejtpërdrejt proporcionale

y = k x,

Ku k- Vlera konstante ( faktor proporcionaliteti).

Orari proporcionaliteti i drejtpërdrejtë– një vijë e drejtë që kalon nga origjina e koordinatave dhe që formon një vijë me boshtin X këndi tangjenta e të cilit është e barabartë me k: tan = k(Fig. 8). Prandaj quhet edhe koeficienti i proporcionalitetit shpat. Figura 8 tregon tre grafikë për k = 1/3, k= 1 dhe k = 3 .

Funksioni linear. Nëse variablat y Dhe x lidhen me ekuacionin e shkallës së parë:

A x + B y = C ,

ku të paktën një nga numrat A ose B nuk është e barabartë me zero, atëherë grafiku i kësaj varësie funksionale është vijë e drejtë. Nëse C= 0, pastaj kalon nga origjina, përndryshe nuk kalon. Grafikët e funksioneve lineare për kombinime të ndryshme A,B,C janë paraqitur në Fig.9.

Proporcionaliteti i anasjelltë. Nëse variablat y Dhe x janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë marrëdhënia funksionale ndërmjet tyre shprehet me ekuacionin:

y = k / x,

Ku k- vlerë konstante.

Grafiku proporcional i anasjelltë - hiperbolë(Fig. 10). Kjo kurbë ka dy degë. Hiperbolat fitohen kur një kon rrethor kryqëzohet me një plan (për seksionet konike, shihni seksionin "Koni" në kapitullin "Stereometria"). Siç tregohet në figurën 10, prodhimi i koordinatave të pikave të hiperbolës është një vlerë konstante, në shembullin tonë e barabartë me 1. Në rastin e përgjithshëm, kjo vlerë është e barabartë me k, e cila rrjedh nga ekuacioni i hiperbolës: xy = k.

Karakteristikat dhe vetitë kryesore të hiperbolës:

x 0, diapazoni: y 0 ;

Funksioni është monoton (në rënie) në x< 0 dhe në x> 0, por jo

në përgjithësi monotonike për shkak të pikës së thyerjes x = 0);

Funksion i pakufizuar, i ndërprerë në një pikë x= 0, tek, jo periodike;

- Funksioni nuk ka zero.

Funksioni kuadratik. Ky është funksioni: y = sëpatë 2 + bx + c, Ku a, b, c- të përhershme, a b=c= 0 dhe y = sëpatë 2. Grafiku i këtij funksioni parabola katrore - OY, e cila quhet boshti i parabolës.Pikë O kulmi i parabolës.

Funksioni kuadratik. Ky është funksioni: y = sëpatë 2 + bx + c, Ku a, b, c- të përhershme, a 0. Në rastin më të thjeshtë kemi: b=c= 0 dhe y = sëpatë 2. Grafiku i këtij funksioni parabola katrore - një kurbë që kalon nga origjina e koordinatave (Fig. 11). Çdo parabolë ka një bosht simetrie OY, e cila quhet boshti i parabolës.Pikë O kryqëzimi i një parabole me boshtin e saj quhet kulmi i parabolës.

Grafiku i një funksioni y = sëpatë 2 + bx + c- gjithashtu një parabolë katrore e të njëjtit lloj si y = sëpatë 2, por kulmi i tij nuk qëndron në origjinë, por në një pikë me koordinata:

Forma dhe vendndodhja e një parabole katrore në sistemin koordinativ varet tërësisht nga dy parametra: koeficienti a në x 2 dhe diskriminues D:D=b 2 – 4ac. Këto veti rrjedhin nga analiza e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik (shih seksionin përkatës në kapitullin "Algjebra"). Të gjitha rastet e ndryshme të mundshme për një parabolë katrore janë paraqitur në Fig. 12.

Karakteristikat dhe vetitë kryesore të një parabole katrore:

Shtrirja e funksionit:  < x+ (d.m.th. x R), dhe zonën

vlerat: … (Ju lutemi përgjigjuni kësaj pyetjeje vetë!);

Funksioni në tërësi nuk është monoton, por në të djathtë ose në të majtë të kulmit

sillet si monoton;

Funksioni është i pakufizuar, i vazhdueshëm kudo, edhe kur b = c = 0,

dhe jo periodike;

- në D< 0 не имеет нулей.

Funksioni eksponencial. Funksioni y = një x, Ku a- quhet një numër pozitiv konstant funksioni eksponencial.Argumenti x pranon çdo vlerë të vlefshme; funksionet konsiderohen si vlera vetëm numra pozitivë, pasi përndryshe kemi një funksion me shumë vlera. Po, funksioni y = 81x ka në x= 1/4 katër vlera të ndryshme: y = 3, y = 3, y = 3 i Dhe y = 3 i(Kontrollo, të lutem!). Por ne e konsiderojmë vetëm vlerën e funksionit y= 3. Grafikët e funksionit eksponencial për a= 2 dhe a= 1/2 janë paraqitur në figurën 17. Ata kalojnë nëpër pikën (0, 1). Në a= 1 kemi një grafik të një drejtëze paralele me boshtin X, d.m.th. funksioni kthehet në një vlerë konstante të barabartë me 1. Kur a> 1 funksioni eksponencial rritet, dhe në 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Shtrirja e funksionit:  < x+ (d.m.th. x R);

diapazoni: y> 0 ;

Funksioni është monoton: rritet me a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1;

- Funksioni nuk ka zero.

Funksioni logaritmik. Funksioni y=log një x, Ku a– quhet një numër pozitiv konstant jo i barabartë me 1 logaritmike. Ky funksion është inversi i funksionit eksponencial; grafiku i tij (Fig. 18) mund të merret duke rrotulluar grafikun e funksionit eksponencial rreth përgjysmuesit të këndit të 1-rë koordinativ.

Karakteristikat dhe vetitë kryesore të funksionit logaritmik:

Shtrirja e funksionit: x> 0, dhe diapazoni i vlerave:  < y+

(d.m.th. y R);

Ky është një funksion monoton: rritet si a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1;

Funksioni është i pakufizuar, i vazhdueshëm kudo, jo periodik;

Funksioni ka një zero: x = 1.

Funksionet trigonometrike. Gjatë ndërtimit të funksioneve trigonometrike përdorim radian masa e këndeve.Pastaj funksioni y= mëkat x paraqitet me një grafik (Fig. 19). Kjo kurbë quhet sinusoid.

Grafiku i një funksioni y=cos x paraqitur në Fig. 20; kjo është gjithashtu një valë sinus që rezulton nga lëvizja e grafikut y= mëkat x përgjatë boshtit X majtas nga 2

Nga këta grafikë, karakteristikat dhe vetitë e këtyre funksioneve janë të dukshme:

Domeni:  < x+ gama e vlerave: 1 y +1;

Këto funksione janë periodike: periudha e tyre është 2;

Funksione të kufizuara (| y| , e vazhdueshme kudo, jo monotonike, por

duke pasur të ashtuquajturat intervalet e monotonisë, brenda së cilës ndodhen

sillen si funksione monotonike (shih grafikët në Fig. 19 dhe Fig. 20);

Funksionet kanë një numër të pafund zerosh (për më shumë detaje, shihni seksionin

"Ekuacionet trigonometrike").

Grafikët e funksioneve y= tan x Dhe y=krevat x janë paraqitur përkatësisht në Fig. 21 dhe Fig. 22.

Nga grafikët shihet qartë se këto funksione janë: periodike (periudha e tyre ,

të pakufizuara, përgjithësisht jo monotonike, por kanë intervale monotonie

(cilat?), të ndërprera (çfarë pikash ndërprerjeje kanë këto funksione?). Rajon

përkufizimet dhe diapazoni i vlerave të këtyre funksioneve:

Funksione y= Arcin x(Fig.23) dhe y= Arccos x(Fig. 24) me shumë vlera, të pakufizuara; domeni i tyre i përkufizimit dhe diapazoni i vlerave, përkatësisht: 1 x+1 dhe  < y+. Meqenëse këto funksione janë me shumë vlera, mos e bëni këtë

të konsideruara në matematikën elementare, vlerat e tyre kryesore konsiderohen si funksione trigonometrike të anasjellta: y= harksin x Dhe y= harqe x; Grafikët e tyre janë theksuar në figurën 23 dhe 24 me vija të trasha.

Funksione y= harksin x Dhe y= harqe x kanë karakteristikat dhe vetitë e mëposhtme:

Të dy funksionet kanë domenin e njëjtë të përkufizimit: 1 x +1 ;

vargu i vlerave të tyre:  /2 y/2 për y= harksin x dhe 0 y Për y= harqe x;

(y= harksin x– funksion në rritje; y= harqe x - në rënie);

Çdo funksion ka një zero ( x= 0 për funksionin y= harksin x Dhe

x= 1 për funksionin y= harqe x).

Funksione y= Arktan x(Fig.25) dhe y= Arccot x(Fig. 26) - funksione me shumë vlera, të pakufizuara; fusha e tyre e përkufizimit:  x+ . Kuptimi i tyre kryesor y= arctan x Dhe y= arkot x konsiderohen si funksione trigonometrike të anasjellta; grafikët e tyre janë theksuar në figurën 25 dhe 26 me degë të theksuara.

Funksione y= arctan x Dhe y= arkot x kanë karakteristikat dhe vetitë e mëposhtme:

Të dy funksionet kanë domenin e njëjtë të përkufizimit:  x + ;

vargu i vlerave të tyre:  /2<y < /2 для y= arctan x dhe 0< y < для y= harqe x;

Funksionet janë të kufizuara, jo periodike, të vazhdueshme dhe monotonike

(y= arctan x– funksion në rritje; y= arkot x - në rënie);

Vetëm funksion y= arctan x ka një zero të vetme ( x= 0);

funksionin y= arkot x nuk ka zero.

Përbërja e funksioneve

Nëse jepen dy harta dhe , ku , atëherë ka kuptim “harta nga fundi në fund” nga në , e dhënë me formula , e cila quhet përbërja e funksioneve dhe dhe shënohet me .

Fig. 1.30 Shfaq nga fundi në fund nga në

Në logjikën e kallëzuesit konsiderohen dy veprime që shndërrojnë një kallëzues njëvendësh në një pohim; për këtë qëllim përdoren fjalë të veçanta që vendosen para kallëzuesit. Në logjikë quhen kuantifikues.

Ekzistojnë dy lloje të kuantifikuesve:

1. Kuantifikues i përgjithshëm;

2. Kuantifikues i ekzistencës.

1. Kuantifikues i përgjithshëm.

Le të jetë një kallëzues P(x) i përcaktuar në bashkësinë M

Simboli quhet kuantifikues universal(bashkësi). Kjo është shkronja e parë e përmbysur e fjalës angleze All - gjithçka. Ata lexojnë "të gjithë", "të gjithë", "çdo", "të gjithë". Variabli x in kallëzues P(x) quhet falas ( mund t'i jepen kuptime të ndryshme nga M), tek deklaratë ata e quajnë x të lidhura sasior universal.

Shembulli nr. 1: P(x) - "Numri i thjeshtë x është tek"

Le të shtojmë një sasior të përgjithshëm - "Çdo numër i thjeshtë x është tek" - një deklaratë e rreme.

Një shprehje është një pohim që është i vërtetë kur P(x) është e vërtetë për çdo element x nga bashkësia M dhe e gabuar përndryshe. Ky pohim nuk varet më nga x.

2. Kuantifikues i ekzistencës.

Le të P(x) - kallëzues të përcaktuara në bashkësinë M. Me shprehje kuptojmë deklaratë, e cila është e vërtetë nëse ka një element për të cilin P(x) është e vërtetë, dhe e gabuar ndryshe. Ky pohim nuk varet më nga x. Shprehja verbale përkatëse është: "Ka një x të tillë që P(x) është e vërtetë." Simboli quhet sasior i ekzistencës. Në një deklaratë, ndryshorja x është e lidhur nga ky sasior (një sasior i bashkëngjitet asaj).

(Lexoni: "Ka një x në M të tillë që P në x është e vërtetë")

Një shprehje është një pohim që është i vërtetë nëse ka një element x€M (të paktën një) për të cilin P(x) është e vërtetë, dhe e gabuar përndryshe.

Shembulli nr. 2: P(x) "Numri x është shumëfish i 5"

Çdo numër natyror është shumëfish i 5"

Çdo numër natyror është një shumëfish i pohimeve të rreme 5".

Të gjithë numrat natyrorë janë shumëfish të 5."

Ekziston një numër natyror i pjesëtueshëm me 5

Gjeni një numër natyror të pjesëtueshëm me 5 pohime të vërteta

Të paktën një numër natyror plotpjesëtohet me 5

Operacionet sasiore zbatohen gjithashtu për kallëzuesit shumëvendësh. Le të jepet, për shembull, një kallëzues me dy vende P(x,y) në bashkësinë M. Zbatimi i një operacioni sasior në kallëzuesin P(x,y) në lidhje me ndryshoren x vendos në korrespondencë me kallëzuesin dyvendësh P(x,y) një kallëzues me një vend (ose kallëzues me një vend) në varësi të ndryshorja y dhe jo në varësi të ndryshores x. Ju mund të aplikoni operacione sasiore ndaj tyre në variablin y, i cili do të çojë në deklarata të llojeve të mëposhtme:

Për të ndërtuar negacione me kuantifikues ju nevojiten:

1) të zëvendësojë kuantifikuesin e përgjithësisë me një sasior të ekzistencës dhe të zëvendësojë kuantifikuesin e ekzistencës me një sasior të përgjithshëm;

2) zëvendësojë kallëzuesin me mohimin e tij.

Kështu, formulat e mëposhtme janë të vlefshme:

Mohimi i një fjalie duhet të shkruhet si , dhe mohimi i një fjalie si . Është e qartë se fjalia ka të njëjtin kuptim, dhe për rrjedhojë të njëjtën vlerë të vërtetë, si fjalia, dhe fjalia ka të njëjtin kuptim si . Me fjalë të tjera, është ekuivalente me ; ekuivalente

SHEMBULL Nr. 3. Ndërtoni një mohim të pohimit "Disa numra dyshifrorë janë të pjesëtueshëm me 12".

Zgjidhje.Të zëvendësojmë sasiorin e ekzistencës (shprehet me fjalën "disa") me sasiorin e përgjithësisë "të gjithë" dhe të ndërtojmë mohimin e fjalisë pas fjalës "disa", duke vendosur grimcën "jo" përpara. të foljes. Marrim deklaratën "Të gjithë numrat dyshifrorë nuk janë të pjesëtueshëm me 12".

SHEMBULL Nr. 4. Formuloni mohimin e pohimit "Në çdo klasë të paktën një student ka dështuar në test".

Zgjidhja: Ky pohim përmban një kuantifikues të përgjithshëm të shprehur me fjalën "secili" dhe një sasior të ekzistencës të shprehur me fjalët "të paktën një". Sipas rregullit për ndërtimin e mohimeve të pohimeve me kuantifikues, është e nevojshme të zëvendësohet kuantifikuesi i përgjithësisë me një sasior të ekzistencës, dhe sasia e ekzistencës me një kuantifikues i përgjithësisë dhe të hiqet pjesëza "jo" nga folja. Ne marrim: "Ka një klasë në të cilën të gjithë studentët e kaluan testin."

Gjatë studimit të formave shprehëse (kallëzuesit), u tregua një nga mënyrat për të marrë pohime: zëvendësimi i një vlere të një ndryshoreje në P(x) nga një grup i caktuar A. Për shembull,

P(x): "x është një numër i thjeshtë." Duke zëvendësuar x = 7, marrim deklaratën

"7 është një numër i thjeshtë." Do të njihemi me dy operacione të tjera logjike: bashkëngjitjen e një sasiore të përgjithshme dhe një sasiore ekzistence, të cilat na lejojnë të marrim deklarata nga forma shprehëse.

Le të zëvendësojmë fjalën "çdo" përpara formës shprehëse P(x): "çdo x është një numër i thjeshtë". Kemi marrë një deklaratë të rreme. Le të zëvendësojmë fjalën "disa" përpara P(x): "disa numra x janë të thjeshtë". Kemi marrë një deklaratë të vërtetë.

Në matematikë fjalët “ndonjë”, “disa” dhe sinonimet e tyre quhen kuantifikues, të cilët respektivisht quhen sasior i përgjithshëm (") dhe sasior i ekzistencës ($). Kuantifikuesi i përgjithshëm zëvendësohet në formulimet foljore me fjalët: çdo , të gjitha, secili, çdo etj.. Kuantifikuesi i ekzistencës në formulimin foljor zëvendësohet me fjalët: ekziston, të paktën një, ka disa etj.

Le të jetë P(x) një formë shprehëse në M. Shënim

("ХОМ) Р(х)

do të thotë: për çdo element x (nga bashkësia M) vlen P(x), i cili tashmë është një pohim. Për të vërtetuar se pohimi ("x)P(x) është i vërtetë, ju duhet të kaloni nëpër të gjithë elementët a, b, c, etj. nga M dhe të siguroheni që P(a), P(b), P( c) ,... janë të vërteta, dhe nëse është e pamundur të numërohen elementet e M, ata duhet të vërtetojnë duke arsyetuar se për çdo a nga M pohimi P(a) është i vërtetë. Për të verifikuar se ("x)P( x) është false, mjafton të gjesh vetëm një element të AOM për të cilin P(a) është false.

SHEMBULL. Forma shprehëse e dhënë

B(x): "është një numër i thjeshtë".

B(1): 2 2 + 1 = 5 - numri i thjeshtë;

B(2): = 17 - numri i thjeshtë;

B(3): = 257 - numri i thjeshtë;

B(4): = 65537 është një numër i thjeshtë.

A mund të themi se ("x)B(x)? Kjo duhet të vërtetohet. Leonard Euler vërtetoi se B(5) është e rreme, d.m.th. + 1 = 2 32 + 1 pjesëtohet me 641 dhe, si rrjedhim, (" x) B(x) - e rreme.

SHEMBULL. Merrni parasysh pohimin ("x)C(x), ku më N dhënë C(x): "x 3 + 5x pjesëtohet me 6."

Natyrisht, C(1), C(2), C(3), C(4) janë të vërteta. Por nëse kontrollojmë qoftë edhe një milion vlera të x, ekziston gjithmonë rreziku që për milionat e para të vlerave të x, pohimi C(x) të rezultojë i rremë.

Ju mund ta vërtetoni atë, për shembull, si kjo:

x 3 + 5x = x 3 - x + 6x = x(x 2 - 1) + 6x = (x - 1)x(x + 1) + 6x

Shprehja (x - 1)x(x + 1) është e pjesëtueshme me 3, pasi nga tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm të paktën një pjesëtohet me 3; edhe kjo shprehje plotpjesëtohet me 2, pasi nga tre numra të njëpasnjëshëm një ose dy numra janë çift. Termi i dytë 6x pjesëtohet me 6, prandaj e gjithë shuma pjesëtohet me 6, d.m.th. ("x)C(x) - e vërtetë.

Le të jetë C(x) një formë shprehëse. Regjistro

do të thotë: ekziston një element x nga bashkësia M për të cilin vlen C(x). ($x)C(x) është tashmë një deklaratë. Nëse në bashkësinë M mund të gjendet një element a për të cilin C(a) është e vërtetë, atëherë pohimi ($x)C(x) është i vërtetë. Nëse nuk ka asnjë element të vetëm a në M për të cilin C(a) është e vërtetë, deklarata ($x)C(x) është e rreme.

SHEMBULL. Në set N dhënë nga C(x):" ". C(1) - e rreme, C(2) - e rreme, C(5) - e vertete. Prandaj, ($x)C(x) është një pohim i vërtetë.

SHEMBULL. Në set N dhënë nga K(x): “x 2 + 2x + 3 pjesëtohet me 7”. K(1) = 6, 6 nuk pjesëtohet me 7; K(2) = 11, 11 nuk pjesëtohet me 7, etj.

Hipoteza: ($x)K(x) - e rreme.

Le ta vërtetojmë. Sipas teoremës së pjesëtimit me mbetje, çdo numër natyror mund të paraqitet si n = 7q + r, ku r< 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Pra, numri n 2 + 2n + 3 pjesëtohet me 7 nëse dhe vetëm nëse r 2 + 2r + 3 pjesëtohet me 7. Mbetja është r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Duke përdorur metodën e forcës brutale, do të sigurohemi që r 2 + 2r + 3 të mos pjesëtohet me 7. Pra, ($x)K(x) është false.

Si të ndërtohet mohimi i një deklarate me një kuantifikues?

Për të ndërtuar mohimin e një deklarate me një sasior, është e nevojshme të zëvendësohet sasia e përgjithshme (") me sasinë ekzistenciale ($) dhe, anasjelltas, sasia ekzistenciale me sasinë e përgjithshme, dhe fjalia që vjen pas sasisë. me mohimin e tij, d.m.th.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Për shembull, supozoni se jepen dy deklarata:

Përgjigje: "çdo numër i thjeshtë është tek";

Pyetje: "Çdo numër i thjeshtë është çift."

A do të jetë B mohimi i A-së? Jo, sepse asnjë nga deklaratat nuk është e vërtetë. Në këtë rast

Përgjigje: “jo çdo numër i thjeshtë është tek, d.m.th. ka një numër të thjeshtë çift” është një pohim i vërtetë.

Në të ardhmen, konsiderojmë se mohimi i një fjalie është ndërtuar nëse mohimi i saj nuk shkruhet thjesht, por fjalia që rezulton shndërrohet në një formë ku shenjat mohuese shfaqen para shprehjeve më të thjeshta. Për shembull, mohimi i një fjalie të formës A Ù B do të konsiderohet jo (A Ù B), por ekuivalenti i saj: A Ú B.

Le të jetë A(x,y) një formë shprehëse me dy ndryshore.

Atëherë ("x)A(x,y), ($x)A(x,y), ("x)A(x,y), ($x)A(x,y) janë gjithashtu forma shprehëse por me një variabël. Në këtë rast, kuantifikuesi thuhet se lidh një ndryshore. Për të marrë një deklaratë nga forma shprehëse A(x,y), është e nevojshme të lidhen të dy variablat. Për shembull, ("x)($y)A(x,y) është një deklaratë.

Për trajtën shprehëse P(x,y): “ x< y”, заданной на Z, merrni parasysh të gjitha rastet e marrjes së një deklarate duke shtuar (duke pasur) sasiorë:

1) ("x)("y)P(x,y) Û l - "Për çdo x dhe për çdo y x< y”;

2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("x)($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($y) ("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($x) ("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

Kushtojini vëmendje pohimeve (1) dhe (2), (3) dhe (4). Strukturat e këtyre deklaratave ndryshojnë vetëm në rendin e matësit me të njëjtin emër, por kuptimi dhe vlerat e vërteta të pohimeve nuk ndryshojnë.

Deklaratat (5) dhe (6), (7) dhe (8) ndryshojnë në rendin në të cilin shfaqen sasiorët e kundërt, gjë që çon në një ndryshim në kuptimin dhe, ndoshta, në vlerën e së vërtetës së pohimit. Deklarata (7) pohon praninë në Z numri më i vogël, i cili është i rremë. (8) deklaron se nuk ka gjë të tillë si të vërtetë.

Pyetje teorike:

1. Koncepti i një kallëzuesi nga një ose disa ndryshore.

2. Shembuj të kallëzuesit njëvendësh dhe dyvendësh. 3. Fusha e së vërtetës së kallëzuesit.

4. Kuantifikuesit e përgjithësisë dhe ekzistencës. Variabla të lira dhe të lidhura. Veprimet mbi kallëzuesit. Cili është fusha e së vërtetës; ; ; ? Jepni interpretime gjeometrike.

5. Shndërrimi i formulave logjike të kallëzuesit. Përkufizimi i një kallëzuesi identikisht të vërtetë dhe identikisht të rremë, lidhje me fushën e së vërtetës. Ekuivalencat bazë.

Ushtrime

5.1. Specifikoni disa vlera të variablave për të cilat kallëzuesit e mëposhtëm janë të vërteta ose të gabuara:

1. x 2, x О N; 9. = - x, x О R;

2. x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3, xÎZ; 11. sin x = - , xО R;

4. x + 3x +6 = 0 , x О R; 12. cos x = , x ОR;

5. = 0, xÎR; 13. x ³ y , x, y О R;

6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x,yÎR;

8. = x, x О R; 16. x + y =4, x, y ОR.

5.2. Gjeni fushën e së vërtetës së kallëzuesve në ushtrimin 5.1. Vizatoni rastet 13 - 16 në rrafshin koordinativ.

5.3.

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;

3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.

5.4. Gjeni fushën e së vërtetës së kallëzuesve:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5 x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x - 5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );

Artikuj të ngjashëm

Si të ndihmoni një të dashur nga distanca?

Si të bëni një pasqyrë magjike Ritual për krijimin e një pasqyre magjike

Çfarë duhet të jetë në tryezën e Vitit të Ri

Sesionet fotografike të Vitit të Ri në studio: foto dhe ide