Objektivat e mësimit:

• Mësoni studentët të zgjidhin ekuacione të shkallëve më të larta duke përdorur skemën e Hornerit;
• të zhvillojë aftësinë për të punuar në çifte;
• të krijojë, në lidhje me seksionet kryesore të lëndës, një bazë për zhvillimin e aftësive të studentëve;
• ndihmoni studentin të vlerësojë potencialin e tij, të zhvillojë interes për matematikën, aftësinë për të menduar dhe për të folur për këtë temë.

Pajisjet: letra për punë në grup, poster me diagramin e Hornerit.

Metoda e mësimdhënies: leksion, tregim, shpjegim, kryerja e ushtrimeve stërvitore.

Forma e kontrollit: kontrollimi i problemeve të zgjidhjes së pavarur, punë e pavarur.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ

2. Përditësimi i njohurive të nxënësve

Cila teoremë ju lejon të përcaktoni nëse një numër është rrënja e një ekuacioni të caktuar (formuloni një teoremë)?

Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me binomin x-c është e barabartë me P(c), numri c quhet rrënja e polinomit P(x) nëse P(c)=0. Teorema lejon që, pa kryer operacionin e pjesëtimit, të përcaktohet nëse një numër i caktuar është rrënja e një polinomi.

Cilat deklarata e bëjnë më të lehtë gjetjen e rrënjëve?

a) Nëse koeficienti kryesor i një polinomi është i barabartë me një, atëherë rrënjët e polinomit duhet të kërkohen midis pjesëtuesve të termit të lirë.

b) Nëse shuma e koeficientëve të një polinomi është 0, atëherë njëra prej rrënjëve është 1.

c) Nëse shuma e koeficientëve në vendet çift është e barabartë me shumën e koeficientëve në vendet tek, atëherë njëra prej rrënjëve është e barabartë me -1.

d) Nëse të gjithë koeficientët janë pozitivë, atëherë rrënjët e polinomit janë numra negativë.

e) Një polinom me shkallë tek ka të paktën një rrënjë reale.

3. Mësimi i materialit të ri

Kur zgjidhni ekuacione të tëra algjebrike, duhet të gjeni vlerat e rrënjëve të polinomeve. Ky operacion mund të thjeshtohet ndjeshëm nëse llogaritjet kryhen duke përdorur një algoritëm të veçantë të quajtur skema Horner. Ky qark mban emrin e shkencëtarit anglez William George Horner. Skema e Hornerit është një algoritëm për llogaritjen e herësit dhe të mbetjes së pjesëtimit të polinomit P(x) me x-c. Shkurtimisht si funksionon.

Le të jepet një polinom arbitrar P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Pjestimi i këtij polinomi me x-c është paraqitja e tij në formën P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Pjesshme g(x)=në 0 x n-1 + në n x n-2 +...+në n-2 x + në n-1, ku në 0 =a 0, në n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Mbetja r(x)= st n-1 +a n. Kjo metodë llogaritjeje quhet skema Horner. Fjala "skemë" në emrin e algoritmit është për faktin se zbatimi i tij zakonisht formatohet si më poshtë. Së pari, vizatoni tabelën 2 (n+2). Në qelizën e poshtme majtas shkruani numrin c, dhe në rreshtin e sipërm koeficientët e polinomit P(x). Në këtë rast, qeliza e sipërme e majtë lihet bosh.

	në 0 =a 0	në 1 =st 1 +a 1	në 2 = sv 1 + A 2		në n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Numri që pas ekzekutimit të algoritmit rezulton i shkruar në qelizën e poshtme djathtas është pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me x-c. Numrat e tjerë në 0, në 1, në 2,... në fund janë koeficientët e herësit.

Për shembull: Pjestoni polinomin P(x)= x 3 -2x+3 me x-2.

Marrim se x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidimi i materialit të studiuar

Shembulli 1: Faktoroni polinomin P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 në faktorë me koeficientë të plotë.

Po kërkojmë rrënjë të tëra midis pjesëtuesve të termit të lirë -1: 1; -1. Le të bëjmë një tabelë:

X = -1 – rrënjë

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Le të kontrollojmë 1/2.

					X=1/2 - rrënjë

Prandaj, polinomi P(x) mund të paraqitet në formë

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Meqenëse shuma e koeficientëve të polinomit të shkruar në anën e majtë të ekuacionit është e barabartë me zero, atëherë njëra prej rrënjëve është 1. Le të përdorim skemën e Hornerit:

						X=1 - rrënjë

Marrim P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Ne do të kërkojmë rrënjë midis pjesëtuesve të termit të lirë 2.

Zbuluam se nuk kishte më rrënjë të paprekura. Le të kontrollojmë 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - rrënjë

Përgjigje: 1; -1/2.

Shembulli 3: Zgjidheni ekuacionin 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Ne do të kërkojmë rrënjët e këtij ekuacioni midis pjesëtuesve të termit të lirë 5: 1;-1;5;-5. x=1 është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve është zero. Le të përdorim skemën e Horner:

Le ta paraqesim ekuacionin si produkt të tre faktorëve: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik 5x 2 -7x+5=0, kemi marrë D=49-100=-51, nuk ka rrënjë.

Karta 1

1. Faktoroni polinomin: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Zgjidheni ekuacionin: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Karta 2

1. Faktoroni polinomin: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Zgjidhe ekuacionin: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Karta 3

1. Faktori në: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Zgjidheni ekuacionin: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Karta 4

1. Faktori në: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Zgjidheni ekuacionin: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Duke përmbledhur

Testimi i njohurive gjatë zgjidhjes në dyshe kryhet në klasë duke njohur mënyrën e veprimit dhe emrin e përgjigjes.

Detyre shtepie:

Zgjidh ekuacionet:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Letërsia

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algjebra dhe fillimet e analizës, klasa 10 (studim i thelluar i matematikës): Iluminizmi, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Zgjidhja e ekuacioneve të shkallëve më të larta: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Sistemet e numrave dhe aplikimi i tyre.

2 Skema Horner

3 Funksionet e formës së lirë

4 Gjetja e rrënjëve të polinomeve

Lista e burimeve të informacionit të përdorura

1 Gjetja e rrënjëve të ekuacioneve (Ekuacioni Seksioni 1)

Një nga metodat më të zakonshme për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve është metoda e Njutonit dhe modifikimet e saj. Supozoni se duhet të zgjidhim ekuacionin

. Do të supozojmë se x është një zgjidhje e ekuacionit. Le ta zgjerojmë funksionin f(x) në një seri në një pikë x0 afër pikës x dhe të kufizohemi vetëm në dy termat e parë të zgjerimit.

Meqenëse x është rrënja e ekuacionit, atëherë

. Prandaj,

Kështu, nëse e dimë vlerën e përafërt të rrënjës së ekuacionit, atëherë ekuacioni që rezulton na lejon ta përsosim atë. Është e qartë se procesi i përsosjes mund të përsëritet shumë herë derisa vlera e funksionit të ndryshojë nga zero me një shumë më të vogël se saktësia e specifikuar e kërkimit. Përafrimi tjetër kth gjendet me formulën

Duke e kufizuar zgjerimin vetëm në dy termat e parë, ne në fakt e zëvendësuam funksionin f(x) me një tangjente të drejtëz në pikën x0, prandaj metoda e Njutonit quhet edhe metoda tangjente. Nuk është gjithmonë e përshtatshme të gjesh një shprehje analitike për derivatin e një funksioni. Sidoqoftë, kjo nuk është veçanërisht e nevojshme: meqenëse në çdo hap marrim një vlerë të përafërt të rrënjës, mund të përdorim vlerën e përafërt të derivatit për ta llogaritur atë.

Si një sasi e vogël

ju mund të merrni, për shembull, një saktësi të caktuar llogaritjeje, atëherë formula e llogaritjes do të marrë formën (1.1)

Nga ana tjetër, për të llogaritur derivatin, mund të përdorni vlerat e funksionit të marra në dy hapat e mëparshëm,

(1.2)

Në këtë formë, metoda quhet metoda sekante. Në këtë rast, megjithatë, lind një problem me llogaritjen e përafrimit të parë. Zakonisht besohet se

, domethënë, hapi i parë i llogaritjeve kryhet duke përdorur formulën (1.1), dhe të gjitha hapat pasues kryhen duke përdorur formulën (1.2). Është kjo skemë llogaritëse që zbatohet në paketën Mathcad. Duke përdorur metodën sekant, ne nuk mund të garantojmë që rrënja qëndron midis dy përafrimeve të fundit. Megjithatë, është e mundur të llogaritet përafrimi tjetër duke përdorur kufijtë e intervalit mbi të cilin funksioni ndryshon shenjën. Kjo metodë quhet metoda e akordit (metoda e pozicionit të rremë).

Ideja e metodës sekante është zhvilluar në metodën Muller. Megjithatë, në këtë metodë, tre pikat e mëparshme përdoren për të gjetur përafrimin tjetër. Me fjalë të tjera, metoda nuk përdor interpolim linear, por kuadratik të një funksioni. Formulat e llogaritjes së metodës janë si më poshtë:

Shenja përpara rrënjës zgjidhet në mënyrë që vlera absolute e emëruesit të jetë maksimale.

Sepse kërkimi i rrënjës përfundon kur plotësohet kushti

, atëherë mund të shfaqen rrënjë të rreme. Për shembull, për një ekuacion, një rrënjë false do të shfaqet nëse saktësia e kërkimit është vendosur në më pak se 0.0001. Duke rritur saktësinë e kërkimit, mund të shpëtoni nga rrënjët e rreme. Megjithatë, kjo qasje nuk funksionon për të gjitha ekuacionet. Për shembull, për ekuacionin , i cili padyshim nuk ka rrënjë reale, për ndonjë saktësi, sado e vogël qoftë, ka një vlerë x që plotëson kriterin për përfundimin e kërkimit. Shembujt e mësipërm tregojnë se rezultatet e llogaritjeve kompjuterike duhet të trajtohen gjithmonë në mënyrë kritike dhe të analizohen për besueshmëri. Për të shmangur grackat kur përdorni ndonjë paketë standarde që zbaton metoda numerike, duhet të keni të paktën një kuptim minimal se cila metodë numerike zbatohet për të zgjidhur një problem të caktuar.

Në rastin kur dihet intervali në të cilin ndodhet rrënja, mund të përdorni metoda të tjera për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin.

Metoda e Ridder llogarit vlerën e një funksioni në mes të intervalit

. Më pas kërkoni një funksion eksponencial të tillë që Më pas aplikoni metodën e kordës duke përdorur vlerat e . Vlera tjetër llogaritet duke përdorur formulën (1.5)

Metoda Brent kombinon shpejtësinë e metodës Ridder dhe konvergjencën e garantuar të metodës së përgjysmimit. Metoda përdor interpolim kuadratik të anasjelltë, domethënë kërkon x si funksion kuadratik të y. Në çdo hap, kontrollohet vendndodhja e rrënjës. Formulat e metodës janë mjaft të rënda dhe ne nuk do t'i paraqesim ato.

Për të gjetur rrënjët e një polinomi përdoren metoda të veçanta. Në këtë rast, të gjitha rrënjët mund të gjenden. Pasi të gjendet një nga rrënjët e polinomit, shkalla e polinomit mund të ulet, pas së cilës kërkimi i rrënjës përsëritet.

Metoda e Lobachevskit, një metodë për zgjidhjen e përafërt (numerike) të ekuacioneve algjebrike, e gjetur në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri nga matematikani belg J. Dandelin, matematikani rus N. I. Lobachevsky (në 1834 në formën e tij më të përsosur) dhe matematikani zviceran C. Greffe. Thelbi i metodës lineare është të ndërtohet ekuacioni f1(x) = 0, rrënjët e të cilit janë rrënjët në katror të ekuacionit origjinal f(x) = 0. Më pas ndërtohet ekuacioni f2(x) = 0, rrënjët e të cilave janë rrënjët në katror të ekuacionit f1(x) = 0. Përsëritja e këtij procesi disa herë prodhon një ekuacion, rrënjët e të cilit janë shumë të ndara. Nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit origjinal janë reale dhe të ndryshme në vlerë absolute, ekzistojnë skema të thjeshta llogaritëse për metoda lineare për gjetjen e vlerave të përafërta të rrënjëve. Në rastin e rrënjëve të barabarta në vlerë absolute, si dhe të rrënjëve komplekse, skemat llogaritëse të njehsorëve linearë janë shumë komplekse.

Metoda e Laguerre bazohet në relacionet e mëposhtme për polinomet

Shenja përpara rrënjës zgjidhet në atë mënyrë që të merret vlera më e madhe e emëruesit.

Një metodë tjetër që përdoret për të gjetur rrënjët e polinomeve është metoda e matricës shoqëruese. Mund të vërtetohet se matrica

quhet matrica shoqëruese për polinomin

, ka vlera vetjake të barabarta me rrënjët e polinomit. Kujtoni se eigenvlerat e një matrice janë ata numra  për të cilët barazia ose . Ekzistojnë metoda shumë efektive për gjetjen e vlerave vetjake, disa prej të cilave do t'i diskutojmë më tej. Kështu, problemi i gjetjes së rrënjëve të një polinomi mund të reduktohet në problemin e gjetjes së vlerave vetjake të matricës shoqëruese.

2 Skema Horner

Llogaritja duke përdorur skemën e Horner rezulton të jetë më efikase dhe nuk është shumë e ndërlikuar. Kjo skemë bazohet në paraqitjen e mëposhtme të një polinomi:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Le të marrim një polinom të përgjithshëm të formës:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Do të supozojmë se të gjithë koeficientët an, ..., a0 janë të njohur, konstant dhe të ruajtur në një grup. Kjo do të thotë që e vetmja hyrje për të vlerësuar polinomin është vlera e x, dhe dalja e programit duhet të jetë vlera e polinomit në pikën x.

Vetitë

ku janë (në rastin e përgjithshëm kompleks) rrënjët e një polinomi, mundësisht me përsëritje, dhe nëse midis rrënjëve të një polinomi ka të barabarta, atëherë vlera e përbashkët e tyre quhet rrënjë e shumëfishtë.

Gjetja e rrënjëve

Metoda e gjetjes së rrënjëve të polinomeve lineare dhe kuadratike, domethënë metoda e zgjidhjes së ekuacioneve lineare dhe kuadratike, ishte e njohur në botën e lashtë. Kërkimi për një formulë për zgjidhjen e saktë të një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së tretë vazhdoi për një kohë të gjatë (duhet përmendur metoda e propozuar nga Omar Khayyam) derisa u kurorëzua me sukses në gjysmën e parë të shekullit të 16-të në punë. të Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia dhe Gerolamo Cardano. Formulat për rrënjët e ekuacioneve kuadratike dhe kubike e bënë relativisht të lehtë marrjen e formulave për rrënjët e ekuacioneve të shkallës së katërt.

Fakti që rrënjët e një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së pestë dhe më të lartë nuk mund të shprehen duke përdorur funksione racionale dhe radikale të koeficientëve u vërtetua nga matematikani norvegjez Niels Abel në 1826. Kjo nuk do të thotë aspak se nuk mund të gjenden rrënjët e një ekuacioni të tillë. Së pari, në raste të veçanta, për kombinime të caktuara koeficientësh, rrënjët e ekuacionit mund të përcaktohen me njëfarë zgjuarsie. Së dyti, ekzistojnë formula për rrënjët e ekuacioneve të shkallës 5 dhe më të lartë, të cilat, megjithatë, përdorin funksione të veçanta - eliptike ose hipergjeometrike (shih, për shembull, rrënjën Bring).

Nëse të gjithë koeficientët e një polinomi janë racionalë, atëherë gjetja e rrënjëve të tij çon në gjetjen e rrënjëve të një polinomi me koeficientë të plotë. Për rrënjët racionale të polinomeve të tilla, ekzistojnë algoritme për gjetjen e kandidatëve duke kërkuar duke përdorur skemën e Hornerit, dhe kur gjenden rrënjë të tëra, kërkimi mund të reduktohet ndjeshëm duke pastruar rrënjët. Gjithashtu në këtë rast, ju mund të përdorni algoritmin polinom LLL.

Për të gjetur përafërsisht (me çdo saktësi të kërkuar) rrënjët reale të një polinomi me koeficientë realë, përdoren metoda përsëritëse, për shembull, metoda e sekantit, metoda e përgjysmimit, metoda e Njutonit. Numri i rrënjëve reale të një polinomi në një interval mund të vlerësohet duke përdorur teoremën e Sturm.

Shiko gjithashtu

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010.

• Kanalizime
• Fjalor i termave të veksillologjisë

Shihni se çfarë është "Rrënja e një polinomi" në fjalorë të tjerë:

Rrënja e ekuacionit algjebrik

Rrënja e ekuacionit- Rrënja e një polinomi mbi fushën k është një element që, pasi e zëvendëson me x, e kthen ekuacionin në identitet. Vetitë Nëse c është një rrënjë e polinomit p(x ... Wikipedia

Sillni rrënjë- Kontrolloni informacionin. Është e nevojshme të kontrollohet saktësia e fakteve dhe besueshmëria e informacionit të paraqitur në këtë artikull. Duhet të ketë një shpjegim në faqen e diskutimit. Në algjebër, rrënja Bring ose ultraradikali është një funksion analitik i tillë që për... ... Wikipedia

Rrënja (paqartësi)- Rrënja: Wiktionary ka një artikull “rrënjë” Rrënja (në botanikë) është një organ boshtor nëntokësor vegjetativ i një bime që ka sp ... Wikipedia

Rrënja (në matematikë)- Rrënja në matematikë, 1) K. shkalla n e numrit a ≈ numri x (shënohet), shkalla e n-të e të cilit është e barabartë me a (d.m.th. xn = a). Veprimi i gjetjes së K. quhet nxjerrja e rrënjës. Për një ¹ 0 ka n vlera të ndryshme të K. (në përgjithësi, ... ...

Rrënja- Rrënja I (radix) është një nga organet kryesore vegjetative të bimëve me gjethe (me përjashtim të myshqeve), që shërben për ngjitjen me nënshtresën, përthithjen e ujit dhe lëndëve ushqyese prej tij, transformimin parësor të një numri substancash të absorbuara,.. ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

RRËNJA- 1) K. shkalla n nga numri a numër n dhe shkalla i x n te numri është e barabartë me a. 2) Ekuacioni i një ekuacioni algjebrik mbi një fushë K, elementi i cili, pasi e zëvendëson atë në vend, e kthen ekuacionin në një identitet. K. i këtij ekuacioni quhet. gjithashtu K. polinomi Nëse duket... ... Enciklopedia Matematikore

Rrënjë e shumëfishtë- polinomi f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, një numër c i tillë që f (x) të ndahet pa mbetje me fuqinë e dytë ose më të lartë të binomit (x c). Në këtë rast, c quhet rrënja e shumëzimit nëse f (x) pjesëtohet me (x c) k, por jo... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Rrënja e konjuguar- Nëse jepet një polinom i pakalueshëm mbi një unazë dhe zgjidhen disa nga rrënjët e tij në shtrirje, atëherë rrënja e konjuguar për një rrënjë të caktuar të polinomit quhet çdo rrënjë e polinomit ... Wikipedia

Rrënja katrore e 2- e barabartë me gjatësinë e hipotenuzës në një trekëndësh kënddrejtë me gjatësi të këmbës 1. Rrënja katrore e numrit 2 është pozitive ... Wikipedia

Nëse funksioni f(x) është një polinom, atëherë të gjitha rrënjët e tij mund të përcaktohen duke përdorur funksionin e integruar

ku v është një vektor i përbërë nga koeficientët e polinomit.

Meqenëse një polinom i shkallës së nëntë ka saktësisht n rrënjë (disa prej tyre mund të jenë shumëfish), vektori v duhet të përbëhet nga n+1 elementë. Rezultati i funksionit polyroots() është një vektor i përbërë nga n rrënjë të polinomit në fjalë. Në këtë rast, nuk ka nevojë të prezantohet ndonjë përafrim fillestar, si për funksionin root(). Një shembull i kërkimit të rrënjëve të një polinomi të shkallës së katërt është paraqitur në Fig. 4.6:

Oriz. 4.6. Gjetja e rrënjës së një polinomi

Koeficientët e polinomit të konsideruar në shembull shkruhen si një vektor kolone duke filluar me termin e lirë dhe duke përfunduar me koeficientin në fuqinë më të lartë x n.

Për funksionin polyroots(), mund të zgjidhni një nga dy metodat numerike - metodën polinomiale Lagger (është e instaluar si parazgjedhje) ose metodën e matricës së çiftit. Për të ndryshuar metodën, duhet të thirrni menunë e kontekstit duke klikuar me të djathtën mbi fjalën polyroots dhe zgjidhni LaGuerre ose Companion Matrix në krye të menysë së kontekstit. Pastaj ju duhet të klikoni jashtë funksionit të polyroots - dhe nëse modaliteti i llogaritjes automatike është i aktivizuar, rrënjët e polinomit do të rillogariten në përputhje me metodën e zgjedhur rishtazi.

Për t'ia lënë Mathcad-it zgjedhjen e metodës së zgjidhjes, duhet të kontrolloni kutinë AutoSelect duke zgjedhur artikullin me të njëjtin emër në të njëjtën meny të kontekstit.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare

Konsideroni zgjidhjen e një sistemi prej n ekuacionesh jolineare me m të panjohura

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,...,x m) = 0,

Këtu f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) janë disa funksione skalare të ndryshoreve skalare x 1 ,... ,х m dhe, ndoshta , nga çdo variabël tjetër. Mund të ketë ose më shumë ose më pak variabla në ekuacione. Vini re se sistemi i mësipërm mund të rishkruhet zyrtarisht si

ku x është një vektor i përbërë nga ndryshore x 1,...,x m, dhe f (x) është funksioni vektorial përkatës.

Për të zgjidhur sistemet, ekziston një njësi e veçantë llogaritëse, e përbërë nga tre pjesë, që vijnë në mënyrë sekuenciale njëra pas tjetrës:

E dhënë - kryefjalë;

Një sistem i shkruar duke përdorur operatorë Boolean në formën e barazive dhe ndoshta pabarazive;

Find(x 1,...,x m) - funksion i integruar për zgjidhjen e sistemit në lidhje me ndryshoret x 1,...,x m.

Blloku Given/Find përdor metoda përsëritëse për të gjetur një zgjidhje, prandaj, si funksioni root(), kërkohet të vendosen vlerat fillestare për të gjitha x 1,...,x m. Kjo duhet bërë përpara se të shkruani fjalën kyçe Given. Vlera e funksionit Find është një vektor i përbërë nga zgjidhja për secilën ndryshore. Kështu, numri i elementeve vektoriale është i barabartë me numrin e argumenteve Find.

Le të shohim një shembull. Zgjidh një sistem me dy ekuacione me dy të panjohura:

me një saktësi prej 0.01. Ndani rrënjët grafikisht.

Le të paraqesim ekuacionet e sistemit në formën e funksioneve të mëposhtme të një ndryshoreje:

Le të zgjedhim vlerat diskrete të variablave:

Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit duke përdorur bllokun Given – Find():

Në Fig. 4.7 tregon një shembull tjetër të zgjidhjes së një sistemi me dy ekuacione:

Oriz. 4.7. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh

Së pari, Fig. 4.7 janë paraqitur funksionet që përcaktojnë sistemin e ekuacioneve. Më pas variablave x dhe y, në lidhje me të cilat do të zgjidhet, u caktohen vlera fillestare. Kjo pasohet nga fjala kyçe Given dhe dy operatorë të barazisë Boolean që shprehin sistemin e ekuacioneve në fjalë. Blloku llogaritës plotësohet nga funksioni Find, vlera e të cilit i është caktuar vektorit v. Pastaj shtypet përmbajtja e vektorit v, pra zgjidhja e sistemit. Elementi i parë i vektorit është argumenti i parë i funksionit Find, elementi i dytë është argumenti i dytë i tij. Në fund u kontrollua korrektësia e zgjidhjes së ekuacioneve. Vini re se ekuacionet mund të përcaktohen drejtpërdrejt brenda njësisë llogaritëse.

Një interpretim grafik i sistemit të konsideruar është paraqitur në Fig. 4.8. Secili prej ekuacioneve paraqitet në rrafshin xy me një grafik. Ekuacioni i parë përfaqësohet nga një kurbë, i dyti me një vijë të fortë. Dy pikat e kryqëzimit të kurbave korrespondojnë me ekzekutimin e njëkohshëm të të dy ekuacioneve, d.m.th., me rrënjët reale të dëshiruara të sistemit. Siç mund të shihet lehtë, në Fig. 4.7, u gjet vetëm një nga dy zgjidhjet - e vendosur në pjesën e poshtme djathtas të grafikut. Për të gjetur zgjidhjen e dytë, duhet të përsërisni llogaritjet, duke ndryshuar vlerat fillestare në mënyrë që ato të qëndrojnë më afër një pikë tjetër të kryqëzimit të grafikët, për shembull x = -1, y = -1.

Oriz. 4.8. Zgjidhja grafike e një sistemi me dy ekuacione

U shqyrtua një shembull i një sistemi me dy ekuacione dhe të njëjtin numër të panjohurash, i cili ndodh më shpesh. Megjithatë, ka raste kur numri i ekuacioneve dhe të panjohurave mund të mos përkojë. Për më tepër, kushte shtesë në formën e pabarazive mund të shtohen në njësinë llogaritëse. Për shembull, futja e një kufizimi për të kërkuar vetëm vlerat negative të x në shembullin e diskutuar më sipër do të çojë në gjetjen e një zgjidhjeje të ndryshme, siç tregohet në Fig. 4.9:

Oriz. 4.9. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh dhe pabarazish

Pavarësisht nga të njëjtat vlera fillestare si në Fig. 4.8, në Fig. 4.9 fitohet një rrënjë tjetër. Kjo ndodhi pikërisht për shkak të futjes së një pabarazie shtesë, e cila është përcaktuar në bllokun e dhënë (x< 0).

Nëse përpiqeni të zgjidhni një sistem të papajtueshëm, Mathcad do të shfaqë një mesazh gabimi që nuk është gjetur zgjidhje dhe duhet të provoni të ndryshoni vlerat fillestare ose vlerën e gabimit.

Njësia llogaritëse përdor konstantën CTOL për të vlerësuar gabimin në zgjidhjen e ekuacioneve të futura pas fjalës kyçe Given. Për shembull, nëse CTOL=0.001, atëherë ekuacioni x=10 do të konsiderohet i kënaqur si në x=10.001 ashtu edhe në x=9.999. Një TOL tjetër konstante përcakton kushtin për ndalimin e përsëritjeve nga algoritmi numerik. Vlera CTOL mund të specifikohet nga përdoruesi në të njëjtën mënyrë si TOL, për shembull, CTOL:=0.01. Si parazgjedhje, supozohet se CTOL=TOL=0.001, por ju mund t'i anashkaloni ato nëse dëshironi.

Kujdes i veçantë duhet treguar gjatë zgjidhjes së sistemeve me më shumë të panjohura sesa numri i ekuacioneve. Për shembull, mund të hiqni një nga dy ekuacionet nga figura që shqyrtuam. 4.7, duke u përpjekur për të zgjidhur të vetmin ekuacion g(x,y)=0 me dy të panjohura x dhe y. Në këtë formulim, problemi ka një numër të pafund rrënjësh: për çdo x dhe, në përputhje me rrethanat, y = -x/2, kushti që përcakton ekuacionin e vetëm është i plotësuar. Megjithatë, edhe nëse ka një numër të pafund rrënjësh, metoda numerike do të kryejë vetëm llogaritjet derisa të plotësohen shprehjet logjike në njësinë llogaritëse (brenda kufirit të gabimit). Pas kësaj, përsëritjet do të ndërpriten dhe një zgjidhje do të kthehet. Si rezultat, vetëm një palë vlerash (x, y) do të gjendet, e zbuluar së pari.

Blloku llogaritës me funksionin Find gjithashtu mund të gjejë rrënjën e një ekuacioni me një të panjohur. Veprimi Find në këtë rast është plotësisht i ngjashëm me shembujt e diskutuar tashmë në këtë seksion. Problemi i gjetjes së rrënjës konsiderohet si zgjidhja e një sistemi të përbërë nga një ekuacion. Dallimi i vetëm është se numri i kthyer nga funksioni Find() është një tip skalar dhe jo vektor. Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit nga seksioni i mëparshëm është paraqitur në Fig. 4.10.

Oriz. 4.10. Gjetja e rrënjës së një ekuacioni në një të panjohur duke përdorur funksionin Find().

Mathcad ofron tre lloje të ndryshme të metodave të gradientit për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh jolineare duke përdorur bllokun Given – Find(). Për të ndryshuar metodën numerike, duhet:

Klikoni me të djathtën mbi emrin e funksionit Find;

Zgjidhni artikullin Jolinear në menynë e kontekstit që shfaqet;

Zgjidhni një nga tre metodat: Gradient i konjuguar (parazgjedhja), Quasi-Newton ose Levenberg-Marquardt.

§ 13. Funksione të tëra (polinome) dhe vetitë themelore të tyre. Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike në bashkësinë e numrave kompleks 165

13.1. Përkufizimet bazë 165

13.2. Vetitë themelore të polinomeve me numër të plotë 166

13.3. Vetitë themelore të rrënjëve të një ekuacioni algjebrik 169

13.4. Zgjidhja e ekuacioneve bazë algjebrike në bashkësinë e numrave kompleksë 173

13.5. Ushtrime për punë të pavarur 176

Pyetje për vetëtestim 178

Fjalori 178

1. Përkufizimet bazë

Një funksion i tërë algjebrik ose polinom algjebrik (polinom )argument x quhet një funksion i tipit të mëposhtëm

Këtu n–shkalla e polinomit ( numër natyror ose 0), x - variabël (reale ose komplekse), a 0 , a 1 , …, a n –koeficientët polinom (numra real ose kompleks), a 0  0.

Për shembull,

;
;
,
– trinomi katror;

,
;.

Numri X 0 e tillë që P n (x 0)0, i quajtur funksioni zero P n (x) ose rrënja e ekuacionit
.

Për shembull,

rrënjët e tij
,
,
.

sepse
Dhe
.

Vërejtje (për përcaktimin e zerove të një funksioni të tërë algjebrik)

Në literaturë, funksionet zero janë shpesh
quhen rrënjët e saj. Për shembull, numrat
Dhe
quhen rrënjët e funksionit kuadratik
.

1. Vetitë themelore të polinomeve me numër të plotë

 Identiteti (3) është i vlefshëm për  x 
(ose x  ), prandaj, është e vlefshme për
; duke zëvendësuar
, marrim A n = b n. Le të anulojmë reciprokisht kushtet në (3) A n Dhe b n dhe ndajini të dyja pjesët me x:

Ky identitet është i vërtetë edhe për  x, duke përfshirë kur x= 0, duke supozuar kështu x= 0, marrim A n – 1 = b n – 1 .

Le të anulojmë reciprokisht kushtet në (3") A n- 1 dhe b n– 1 dhe ndajini të dyja anët me x, si rezultat marrim

Duke vazhduar arsyetimin në mënyrë të ngjashme, ne marrim atë A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Kështu, është vërtetuar se nga barazia identike e dy polinomeve të plota rezulton se koeficientët e tyre përkojnë për të njëjtat fuqi. x.

Pohimi i kundërt është mjaft i qartë, domethënë, nëse dy polinome kanë të gjithë koeficientët e njëjtë, atëherë ato janë të njëjtat funksione të përcaktuara në grup.
Prandaj, vlerat e tyre përkojnë për të gjitha vlerat e argumentit
, që nënkupton barazinë e tyre identike. Vetia 1 është vërtetuar plotësisht.

Shembull (barazi identike e polinomeve)

.

 Le të shkruajmë formulën e pjesëtimit me mbetje: P n (x) = (x – X 0)∙P n – 1 (x) + A,

Ku P n – 1 (x) - polinomi i shkallës ( n – 1), A- pjesa e mbetur, e cila është një numër për shkak të algoritmit të mirënjohur për pjesëtimin e një polinomi me një binom "në një kolonë".

Kjo barazi është e vërtetë për  x, duke përfshirë kur x = X 0 ; duke besuar
, marrim

P n (x 0) = (x 0 – x 0)P n – 1 (x 0) + A  A = P n (X 0) 

Një pasojë e vetive të vërtetuara është një deklaratë për ndarjen pa mbetje të një polinomi nga një binom, i njohur si teorema e Bezout.

Teorema e Bezout (mbi pjesëtimin e një polinomi të plotë me një binom pa mbetje)

Nëse numri është zero e polinomit , atëherë ky polinom është i pjesëtueshëm pa mbetje me diferencën , pra barazia është e vërtetë  (5)

 Vërtetimi i teoremës së Bezout mund të kryhet pa përdorur vetinë e provuar më parë të pjesëtimit të një polinomi të plotë
nga binomi
. Në të vërtetë, le të shkruajmë formulën për pjesëtimin e polinomit
nga binomi
me mbetje A=0:

Tani le të marrim parasysh atë është zero e polinomit
, dhe shkruani barazinë e fundit për
:

Shembuj (faktorizimi i një polinomi duke përdorur të ashtuquajturin Bezout)

1) sepse P 3 (1)0;

2) sepse P 4 (–2)0;

3) sepse P 2 (–1/2)0.

Vërtetimi i kësaj teoreme është përtej qëllimit të kursit tonë. Prandaj, ne e pranojmë teoremën pa prova.

Le të punojmë këtë teoremë dhe teoremën e Bezout me polinomin P n (x):

pas n-Zbatimi i shumëfishtë i këtyre teoremave fitojmë se

Ku a 0 është koeficienti në x n në shënimin polinom P n (x).

Nëse në barazi (6) k numrat nga grupi X 1 ,X 2 , …X n përkojnë me njëri-tjetrin dhe me numrin , atëherë në prodhimin në të djathtë marrim faktorin ( x–) k. Pastaj numri x= quhet rrënja k-fish e polinomit P n (x ) , ose rrënja e shumësisë k . Nëse k= 1, pastaj numri
thirrur rrënja e thjeshtë e një polinomi P n (x ) .

Shembuj (faktorizimi linear polinomial)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - rrënjë e thjeshtë, x 2 = 4 - rrënjë e trefishtë;

2) P 4 (x) = (x – i) 4  x = i- rrënja e shumëfishimit 4.

Artikuj të ngjashëm