Derivat i një funksioni kompleks. Derivat total

Le të jetë z=ƒ(x;y) një funksion i dy ndryshoreve x dhe y, secila prej të cilave është funksion i një ndryshoreje të pavarur t: x = x(t), y = y(t). Në këtë rast, funksioni z = f(x(t);y(t)) është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur t; variablat x dhe y janë ndryshore të ndërmjetme.

Nëse z = ƒ(x;y) është një funksion i diferencueshëm në pikën M(x;y) є D dhe x = x(t) dhe y = y(t) janë funksione të diferencueshme të ndryshores së pavarur t, atëherë derivati i funksionit kompleks z(t ) = f(x(t);y(t)) llogaritet duke përdorur formulën

Le t'i japim variablit të pavarur t një rritje Δt. Atëherë funksionet x = = x(t) dhe y = y(t) do të marrin përkatësisht rritje Δx dhe Δy. Ata, nga ana tjetër, do të bëjnë që funksioni z të rritet Az.

Meqenëse sipas kushtit funksioni z - ƒ(x;y) është i diferencueshëm në pikën M(x;y), rritja totale e tij mund të paraqitet në formën

ku a→0, β→0 në Δх→0, Δу→0 (shih paragrafin 44.3). Le të ndajmë shprehjen Δz me Δt dhe të shkojmë te kufiri në Δt→0. Pastaj Δх→0 dhe Δу→0 për shkak të vazhdimësisë së funksioneve x = x(t) dhe y = y(t) (sipas kushteve të teoremës janë të diferencueshëm). Ne marrim:

Rast i veçantë: z=ƒ(x;y), ku y=y(x), pra z=ƒ(x;y(x)) është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur x. Ky rast zvogëlohet në atë të mëparshëm, dhe roli i ndryshores t luhet nga x. Sipas formulës (44.8) kemi:

Formula (44.9) quhet formula totale e derivatit.

Rasti i përgjithshëm: z=ƒ(x;y), ku x=x(u;v), y=y(u;v). Atëherë z= f(x(u;v);y(u;v)) është një funksion kompleks i variablave të pavarur u dhe v. Derivatet e tij të pjesshme mund të gjenden duke përdorur formulën (44.8) si më poshtë. Duke fiksuar v, ne e zëvendësojmë atë me derivatet përkatëse të pjesshme

Derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite.
Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht

Në këtë artikull do të shikojmë dy detyra më tipike që gjenden shpesh në testet e matematikës së lartë. Për të zotëruar me sukses materialin, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Ju mund të mësoni të gjeni derivate praktikisht nga e para në dy mësime bazë dhe Derivat i një funksioni kompleks. Nëse aftësitë tuaja të diferencimit janë në rregull, atëherë le të shkojmë.

Derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite

Ose, me pak fjalë, derivati i një funksioni të nënkuptuar. Çfarë është një funksion i nënkuptuar? Le të kujtojmë fillimisht vetë përkufizimin e një funksioni të një ndryshoreje:

Funksioni me një ndryshore të vetmeështë një rregull sipas të cilit çdo vlerë e ndryshores së pavarur i përgjigjet një dhe vetëm një vlere të funksionit.

Ndryshorja quhet ndryshore e pavarur ose argument.
Ndryshorja quhet ndryshore e varur ose funksionin .

Deri më tani ne kemi parë funksionet e përcaktuara në eksplicite formë. Çfarë do të thotë? Le të bëjmë një përmbledhje duke përdorur shembuj specifikë.

Merrni parasysh funksionin

Ne shohim që në të majtë kemi një "lojtar" të vetëm dhe në të djathtë - vetëm "X". Kjo është, funksioni në mënyrë eksplicite shprehur përmes ndryshores së pavarur.

Le të shohim një funksion tjetër:

Këtu janë të përziera variablat. Për më tepër e pamundur në asnjë mënyrë shprehni "Y" vetëm përmes "X". Cilat janë këto metoda? Transferimi i termave nga një pjesë në pjesë me ndryshim të shenjës, zhvendosja e tyre jashtë kllapave, hedhja e faktorëve sipas rregullit të përpjesëtimit, etj. Rishkruani barazinë dhe përpiquni të shprehni “y” në mënyrë eksplicite: . Ju mund ta ktheni dhe ktheni ekuacionin për orë të tëra, por nuk do të keni sukses.

Më lejoni t'ju prezantoj: - shembull funksioni i nënkuptuar.

Gjatë analizës matematikore u vërtetua se funksioni i nënkuptuar ekziston(megjithatë, jo gjithmonë), ai ka një grafik (ashtu si një funksion "normal"). Funksioni i nënkuptuar është saktësisht i njëjtë ekziston derivati i parë, derivati i dytë etj. Siç thonë ata, të gjitha të drejtat e pakicave seksuale respektohen.

Dhe në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite. Nuk është aq e vështirë! Të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare mbeten në fuqi. Dallimi është në një moment të veçantë, të cilin do ta shohim tani.

Po, dhe unë do t'ju them lajmin e mirë - detyrat e diskutuara më poshtë kryhen sipas një algoritmi mjaft të rreptë dhe të qartë pa një gur përpara tre pistave.

Shembulli 1

1) Në fazën e parë, ne bashkojmë goditje në të dy pjesët:

2) Përdorim rregullat e linearitetit të derivatit (dy rregullat e para të mësimit Si të gjeni derivatin? Shembuj zgjidhjesh):

3) Diferencimi i drejtpërdrejtë.
Si të dalloni është plotësisht e qartë. Çfarë duhet të bëni aty ku ka "lojëra" nën goditje?

- vetëm deri në turp, derivati i një funksioni është i barabartë me derivatin e tij: .

Si të dalloni
Këtu kemi funksion kompleks. Pse? Duket se nën sinus ka vetëm një shkronjë "Y". Por fakti është se ekziston vetëm një shkronjë "y" - ËSHTË VETË NJË FUNKSION(shih përkufizimin në fillim të mësimit). Kështu, sinusi është një funksion i jashtëm dhe është një funksion i brendshëm. Ne përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks :

Ne e diferencojmë produktin sipas rregullit të zakonshëm :

Ju lutemi vini re se - është gjithashtu një funksion kompleks, çdo "lojë me këmbanat dhe bilbilat" është një funksion kompleks:

Vetë zgjidhja duhet të duket diçka si kjo:

Nëse ka kllapa, atëherë zgjeroni ato:

4) Në anën e majtë mbledhim termat që përmbajnë një "Y" me një kryeministër. Lëvizni gjithçka tjetër në anën e djathtë:

5) Në anën e majtë nxjerrim derivatin nga kllapat:

6) Dhe sipas rregullit të proporcionit, ne i hedhim këto kllapa në emëruesin e anës së djathtë:

Derivati është gjetur. Gati.

Është interesante të theksohet se çdo funksion mund të rishkruhet në mënyrë implicite. Për shembull, funksioni mund të rishkruhet kështu: . Dhe dalloni atë duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Në fakt, frazat "funksion i nënkuptuar" dhe "funksion i nënkuptuar" ndryshojnë në një nuancë semantike. Fraza "funksion i specifikuar në mënyrë implicite" është më i përgjithshëm dhe i saktë, – ky funksion specifikohet në mënyrë implicite, por këtu mund të shprehni “lojën” dhe ta paraqisni funksionin në mënyrë eksplicite. Fjalët "funksion i nënkuptuar" më shpesh nënkuptojnë funksionin e nënkuptuar "klasik", kur "loja" nuk mund të shprehet.

Duhet të theksohet gjithashtu se një "ekuacion i nënkuptuar" mund të specifikojë në mënyrë implicite dy ose edhe më shumë funksione në të njëjtën kohë, për shembull, ekuacioni i një rrethi përcakton në mënyrë implicite funksionet , , që përcaktojnë gjysmërrethët. Por, në kuadër të këtij neni, ne nuk do të bëjë një dallim të veçantë midis termave dhe nuancave, ishte vetëm informacion për zhvillim të përgjithshëm.

Zgjidhja e dytë

Kujdes! Ju mund të njiheni me metodën e dytë vetëm nëse dini të gjeni me besim derivatet e pjesshme. Fillestare dhe bedeleve te llogaritjes, ju lutem mos e lexoni dhe anashkaloni këtë pikë, përndryshe koka juaj do të jetë një rrëmujë e plotë.

Le të gjejmë derivatin e funksionit të nënkuptuar duke përdorur metodën e dytë.

Ne i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Dhe merrni parasysh një funksion të dy variablave:

Pastaj derivati ynë mund të gjendet duke përdorur formulën
Le të gjejmë derivatet e pjesshme:

Kështu:

Zgjidhja e dytë ju lejon të kryeni një kontroll. Por nuk këshillohet që ata të shkruajnë versionin përfundimtar të detyrës, pasi derivatet e pjesshme zotërohen më vonë, dhe një student që studion temën "Derivati i një funksioni të një ndryshoreje" nuk duhet të dijë ende derivatet e pjesshme.

Le të shohim disa shembuj të tjerë.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Shtoni goditje në të dy pjesët:

Ne përdorim rregullat e linearitetit:

Gjetja e derivateve:

Hapja e të gjitha kllapave:

Ne i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë, pjesën tjetër në anën e djathtë:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës në fund të mësimit.

Nuk është e pazakontë që thyesat të lindin pas diferencimit. Në raste të tilla, ju duhet të hiqni qafe fraksionet. Le të shohim edhe dy shembuj të tjerë.

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Ne i mbyllim të dy pjesët nën goditje dhe përdorim rregullin e linearitetit:

Diferenconi duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks dhe rregulla e diferencimit të herësve :

Zgjerimi i kllapave:

Tani duhet të heqim qafe fraksionin. Kjo mund të bëhet më vonë, por është më racionale ta bëni atë menjëherë. Emëruesi i thyesës përmban . shumohen në . Në detaje, do të duket kështu:

Ndonjëherë pas diferencimit shfaqen 2-3 fraksione. Nëse do të kishim një fraksion tjetër, për shembull, atëherë operacioni do të duhej të përsëritej - shumëzoje çdo term të secilës pjesë në

Në anën e majtë e vendosim jashtë kllapave:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. E vetmja gjë është se para se të heqësh qafe fraksionin, së pari do të duhet të heqësh qafe strukturën trekatëshe të vetë fraksionit. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht

Le të mos stresohemi, gjithçka në këtë paragraf është gjithashtu mjaft e thjeshtë. Ju mund të shkruani formulën e përgjithshme për një funksion të përcaktuar parametrikisht, por për ta bërë të qartë, unë do të shkruaj menjëherë një shembull specifik. Në formën parametrike, funksioni jepet me dy ekuacione: . Shpesh ekuacionet shkruhen jo nën kllapa kaçurrela, por në mënyrë sekuenciale: , .

Ndryshorja quhet parametër dhe mund të marrë vlera nga "minus pafundësi" në "plus pafundësi". Merrni, për shembull, vlerën dhe zëvendësojeni atë në të dy ekuacionet: . Ose në terma njerëzorë: "nëse x është e barabartë me katër, atëherë y është e barabartë me një." Ju mund të shënoni një pikë në planin koordinativ dhe kjo pikë do të korrespondojë me vlerën e parametrit. Në mënyrë të ngjashme, mund të gjeni një pikë për çdo vlerë të parametrit "te". Sa i përket një funksioni "të rregullt", për indianët amerikanë të një funksioni të përcaktuar parametrikisht, të gjitha të drejtat respektohen gjithashtu: mund të ndërtoni një grafik, të gjeni derivate, etj. Nga rruga, nëse keni nevojë të vizatoni një grafik të një funksioni të përcaktuar parametrikisht, mund të përdorni programin tim.

Në rastet më të thjeshta, është e mundur të përfaqësohet funksioni në mënyrë eksplicite. Le të shprehim parametrin: – nga ekuacioni i parë dhe ta zëvendësojmë me ekuacionin e dytë: . Rezultati është një funksion i zakonshëm kub.

Në raste më "të rënda", ky truk nuk funksionon. Por nuk ka rëndësi, sepse ekziston një formulë për gjetjen e derivatit të një funksioni parametrik:

Gjejmë derivatin e "lojës në lidhje me ndryshoren te":

Të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve janë të vlefshme, natyrisht, për shkronjën, pra, nuk ka asnjë risi në procesin e gjetjes së derivateve. Thjesht zëvendësoni mendërisht të gjitha "X"-të në tabelë me shkronjën "Te".

Gjejmë derivatin e "x në lidhje me ndryshoren te":

Tani gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë derivatet e gjetura në formulën tonë:

Gati. Derivati, si vetë funksioni, varet gjithashtu nga parametri.

Sa i përket shënimit, në vend që ta shkruani atë në formulë, mund ta shkruani thjesht pa një nënshkrim, pasi ky është një derivat "i rregullt" "në lidhje me X". Por në literaturë ka gjithmonë një opsion, kështu që nuk do të devijoj nga standardi.

Shembulli 6

Ne përdorim formulën

Në këtë rast:

Kështu:

Një tipar i veçantë i gjetjes së derivatit të një funksioni parametrik është fakti se në çdo hap është e dobishme për të thjeshtuar rezultatin sa më shumë që të jetë e mundur. Kështu, në shembullin e konsideruar, kur e gjeta, hapa kllapat nën rrënjë (edhe pse mund të mos e kisha bërë këtë). Ka një shans të mirë që kur zëvendësohet në formulë, shumë gjëra do të reduktohen mirë. Edhe pse, sigurisht, ka shembuj me përgjigje të ngathët.

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni të specifikuar në mënyrë parametrike

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Në artikull Problemet tipike më të thjeshta me derivatet shikuam shembuj në të cilët na duhej të gjenim derivatin e dytë të një funksioni. Për një funksion të përcaktuar parametrikisht, mund të gjeni edhe derivatin e dytë, dhe ai gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme: . Është mjaft e qartë se për të gjetur derivatin e dytë, së pari duhet të gjeni derivatin e parë.

Shembulli 8

Gjeni derivatin e parë dhe të dytë të një funksioni të dhënë parametrikisht

Së pari, le të gjejmë derivatin e parë.
Ne përdorim formulën

Në këtë rast:

Dihet se funksioni y= f(x) mund të specifikohet në mënyrë implicite duke përdorur një ekuacion që lidh variablat x dhe y:

F(x,y)=0.

Le të formulojmë kushtet në të cilat ekuacioni F(x,y)=0 përcakton njërën nga variablat si funksion të tjetrës. Sa më poshtë është e vërtetë

Teorema (ekzistenca e një funksioni të nënkuptuar) Le të jetë funksioni F(x,y)=0 plotëson kushtet e mëposhtme:

1) ka një pikë P˳(x˳,y˳) , ku F(x˳,y˳)=0

2) F'y(x˳,y˳)≠ 0

3) funksionet F’x (x ,y)dhe F'y (x,y) të vazhdueshme në ndonjë lagje të pikës

P 0 (x 0 ,y 0).

Pastaj ekziston një funksion unik y =f (x), i përcaktuar në një interval që përmban një pikë dhe që plotëson ekuacionin F(x,y)=0 për çdo x nga ky interval, në mënyrë që f(x 0)=y0

Nëse y ka një funksion të nënkuptuar nga X, domethënë, përcaktohet nga ekuacioni F ( X, në) = 0, atëherë, duke supozuar se në ka një funksion nga X, ne marrim identitetin F (X, në(X)) = 0, i cili mund të konsiderohet si një funksion konstant. Duke diferencuar këtë funksion konstant, marrim:

Nëse në këtë raport, atëherë mund të gjeni.

Duke diferencuar relacionin (1) përsëri, marrim:

Marrëdhënia (2) mund të konsiderohet si një ekuacion për përcaktimin e derivatit të dytë. Përsëri, duke diferencuar relacionin (2), marrim një ekuacion për përcaktimin e derivatit të tretë, etj.

Derivati i drejtimit. Vektori i drejtimit për rastin e dy dhe tre ndryshoreve (kosinuset e drejtimit). Rritja e një funksioni në një drejtim të caktuar. Përkufizimi i derivatit të drejtuar, shprehja e tij nëpërmjet derivateve të pjesshme. Gradient i funksionit. Pozicioni relativ i gradientit dhe vijës së nivelit në një pikë të caktuar për një funksion të dy ndryshoreve.

Derivati z'I në drejtimin I të një funksioni të dy ndryshoreve z=f(x;y) quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit në këtë drejtim me madhësinë e zhvendosjes ∆I me tendencën e këtij të fundit. në 0: z'i=lim∆iz /∆I

Derivati z’ I karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të funksionit në drejtimin i.

Nëse funksioni z=f(x;y) ka derivate të pjesshëm të vazhdueshëm në pikën М(x;y), atëherë në këtë pikë ka një derivat në çdo drejtim që buron nga pika М(x;y), i cili llogaritet me formulën z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, ku cosα, cosβ janë boshtet e drejtimit të vektorit.

Gradienti i funksionit z=f(x,y) është vektor me koordinata f’x, f’y. Shënohet me z=(f’x,f’y) ose .

Derivati i drejtimit është i barabartë me produktin skalar të gradientit dhe vektorit njësi që përcakton drejtimin I.

Vektori z në secilën pikë drejtohet normalisht në vijën e nivelit që kalon nëpër këtë pikë në drejtim të funksionit në rritje.

Derivatet e pjesshëm f’x dhe f’y janë derivate të funksionit z=f(x,y) përgjatë dy drejtimeve të pjesshme të boshteve Ox dhe Oy.

Le të jetë z=f(x,y) një funksion i diferencueshëm në një fushë D, M(x,y). Le të jetë I një drejtim (vektor me origjinë në pikën M), dhe =(cosα;cosβ).

Kur lëviz në një drejtim të caktuar I pika M(x,y) në pikën M1(x+∆x;y+∆y), funksioni z do të marrë një rritje ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) quhet rritja e funksionit z në një drejtim të caktuar I.

Nëse MM1=∆I atëherë ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, pra, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Një funksion Z= f(x; y) quhet i nënkuptuar nëse jepet nga ekuacioni F(x,y,z)=0 i pazgjidhur në lidhje me Z. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit Z të dhënë në mënyrë implicite. Për ta bërë këtë, duke zëvendësuar funksionin f(x;y) në ekuacion në vend të Z, marrim identitetin F(x,y, f(x,y))=0. Derivatet e pjesshëm të një funksioni identikisht të barabartë me zero në lidhje me x dhe y janë gjithashtu të barabartë me zero.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (konsiderohet konstante)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xkonsiderohet konstante)

Ku
Dhe

Shembull: Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit Z të dhëna nga ekuacioni
.

Këtu F(x,y,z)=
;
;
;
. Sipas formulave të mësipërme kemi:

Dhe

Derivati i drejtimit

Le të jetë dhënë një funksion i dy ndryshoreve Z= f(x; y) në një fqinjësi të caktuar të pikës M (x,y). Konsideroni disa drejtime të përcaktuara nga vektori njësi
, Ku
(shih foton).

Në një vijë të drejtë që kalon në këtë drejtim përmes pikës M, marrim pikën M 1 (
) në mënyrë që gjatësia
segmenti MM 1 është i barabartë me
. Rritja e funksionit f(M) përcaktohet nga relacioni, ku
të lidhura nga marrëdhëniet. Kufiri i raportit në
do të quhet derivat i funksionit
në pikën
drejt dhe të caktohet .

Nëse funksioni Z është i diferencueshëm në pikë
, atëherë rritja e tij në këtë pikë duke marrë parasysh marrëdhëniet për
mund të shkruhet në formën e mëposhtme.

duke i ndarë të dyja pjesët me

dhe duke kaluar në kufirin në
marrim një formulë për derivatin e funksionit Z= f(x; y) në drejtimin:

Gradient

Konsideroni një funksion prej tre ndryshoresh
të diferencueshme në një moment
.

Gradienti i këtij funksioni
në pikën M është një vektor, koordinatat e të cilit janë përkatësisht të barabarta me derivatet e pjesshme
në këtë pikë. Për të treguar një gradient, përdorni simbolin
.
=
.

.Gradienti tregon drejtimin e rritjes më të shpejtë të funksionit në një pikë të caktuar.

Duke qenë se vektori njësi ka koordinata (
), atëherë derivati i drejtimit për rastin e funksionit të tre ndryshoreve shkruhet në formën, d.m.th. ka formulën për prodhimin skalar të vektorëve Dhe
. Le të rishkruajmë formulën e fundit si më poshtë:

, Ku - këndi ndërmjet vektorit Dhe
. Sepse
, atëherë rrjedh se derivati i funksionit në drejtim merr vlerën maksimale në =0, d.m.th. kur drejtimi i vektorëve Dhe
përputhen. ku
Kjo është, në fakt, gradienti i një funksioni karakterizon drejtimin dhe madhësinë e shkallës maksimale të rritjes së këtij funksioni në një pikë.

Ekstremumi i një funksioni të dy ndryshoreve

Konceptet max, min, ekstremum të një funksioni të dy ndryshoreve janë të ngjashme me konceptet përkatëse të një funksioni të një ndryshoreje. Le të jetë i përcaktuar funksioni Z= f(x; y) në një fushë D, etj. M
i përket kësaj zone. Pika M
quhet pika max e funksionit Z= f(x; y) nëse ka një fqinjësi të tillë δ të pikës
, që për çdo pikë nga kjo lagje pabarazia
. Pika min përcaktohet në mënyrë të ngjashme, vetëm shenja e pabarazisë do të ndryshojë
. Vlera e funksionit në pikën max(min) quhet maksimum (minimum). Maksimumi dhe minimumi i një funksioni quhen ekstreme.

Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem

Teorema:(Kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse në pikën M
funksioni i diferencueshëm Z= f(x; y) ka një ekstrem, atëherë derivatet e tij të pjesshëm në këtë pikë janë të barabartë me zero:
,
.

Dëshmi: Duke fiksuar një nga ndryshoret x ose y, transformojmë Z = f(x; y) në funksion të një ndryshoreje, për ekstremin e së cilës duhet të plotësohen kushtet e mësipërme. Barazitë gjeometrike
Dhe
do të thotë që në pikën ekstreme të funksionit Z= f(x; y), rrafshi tangjent me sipërfaqen që përfaqëson funksionin f(x,y)=Z është paralel me rrafshin OXY, sepse ekuacioni i planit tangjent është Z = Z 0. Pika në të cilën derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit Z = f (x; y) janë të barabarta me zero, d.m.th.
,
, quhen pika stacionare e funksionit. Një funksion mund të ketë një ekstrem në pikat ku të paktën një nga derivatet e pjesshme nuk ekziston. Për shembullZ=|-
| ka max në pikën O(0,0), por nuk ka derivate në këtë pikë.

Quhen pikat stacionare dhe pikat në të cilat të paktën një derivat i pjesshëm nuk ekziston pikat kritike. Në pikat kritike, funksioni mund ose nuk mund të ketë një ekstrem. Barazia e derivateve të pjesshme me zero është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi. Për shembull, kur Z=xy, pika O(0,0) është kritike. Megjithatë, funksioni Z=xy nuk ka një ekstrem në të. (Sepse në tremujorët I dhe III Z>0, dhe në tremujorët II dhe IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Kusht i mjaftueshëm për ekstreme). Lëreni në një pikë të palëvizshme
dhe në një lagje të caktuar funksioni f(x; y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në renditjen e 2-të përfshirëse. Le të llogarisim në pikën
vlerat
,
Dhe
. Le të shënojmë

Nëse
, ekstrem në pikë
mund të jetë ose jo. Nevojiten më shumë kërkime.

Pa dyshim, në mendjen tonë imazhi i një funksioni shoqërohet me barazinë dhe vijën përkatëse - grafikun e funksionit. Për shembull, - një varësi funksionale, grafiku i së cilës është një parabolë kuadratike me një kulm në origjinë dhe degë të drejtuara lart; është një funksion sinus i njohur për valët e tij.

Në këta shembuj, ana e majtë e barazisë është y, dhe ana e djathtë është një shprehje në varësi të argumentit x. Me fjalë të tjera, ne kemi një ekuacion të zgjidhur për y. Paraqitja e një varësie funksionale në formën e një shprehjeje të tillë quhet duke specifikuar në mënyrë eksplicite funksionin(ose funksionojnë në mënyrë eksplicite). Dhe ky lloj caktimi i funksionit është më i njohuri për ne. Në shumicën e shembujve dhe problemeve, na paraqiten funksione eksplicite. Ne kemi folur tashmë në detaje për diferencimin e funksioneve të një ndryshoreje, të specifikuar në mënyrë eksplicite.

Sidoqoftë, një funksion nënkupton një korrespondencë midis një grupi vlerash të x dhe një grupi vlerash y, dhe kjo korrespondencë NUK përcaktohet domosdoshmërisht nga ndonjë formulë ose shprehje analitike. Kjo do të thotë, ka shumë mënyra për të specifikuar një funksion përveç atij të zakonshëm.

Në këtë artikull do të shikojmë funksionet e nënkuptuara dhe metodat për gjetjen e derivateve të tyre. Shembujt e funksioneve që janë specifikuar në mënyrë implicite përfshijnë ose .

Siç e keni vënë re, funksioni i nënkuptuar përcaktohet nga relacioni. Por jo të gjitha marrëdhëniet e tilla midis x dhe y përcaktojnë një funksion. Për shembull, asnjë çift i numrave realë x dhe y nuk e plotëson barazinë, prandaj, kjo lidhje nuk përcakton një funksion të nënkuptuar.

Mund të përcaktojë në mënyrë implicite ligjin e korrespondencës midis sasive x dhe y, dhe secila vlerë e argumentit x mund të korrespondojë ose me një (në këtë rast kemi një funksion me një vlerë të vetme) ose me disa vlera të funksionit (në këtë rast funksioni quhet me shumë vlera). Për shembull, vlera x = 1 korrespondon me dy vlera reale y = 2 dhe y = -2 të funksionit të specifikuar në mënyrë implicite.

Nuk është gjithmonë e mundur të sillni një funksion të nënkuptuar në një formë eksplicite, përndryshe nuk do të kishte nevojë të diferencoheshin vetë funksionet e nënkuptuara. Për shembull, - nuk konvertohet në një formë eksplicite, por - është konvertuar.

Tani tek pika.

Për të gjetur derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite, është e nevojshme të diferencohen të dyja anët e barazisë në lidhje me argumentin x, duke e konsideruar y si funksion të x, dhe më pas të shprehet.

Diferencimi i shprehjeve që përmbajnë x dhe y(x) kryhet duke përdorur rregullat e diferencimit dhe rregullin për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks. Le të shohim menjëherë disa shembuj në detaje në mënyrë që të mos ketë pyetje të mëtejshme.

Shembull.

Të dallojë shprehjet në x, duke e konsideruar y një funksion të x.

Zgjidhje.

Sepse y është një funksion i x, atëherë është një funksion kompleks. Mund të përfaqësohet në mënyrë konvencionale si f(g(x)), ku f është funksioni i kubit dhe g(x) = y. Pastaj, sipas formulës për derivatin e një funksioni kompleks, kemi: .

Kur diferencojmë shprehjen e dytë, ne nxjerrim konstanten nga shenja e derivatit dhe veprojmë si në rastin e mëparshëm (këtu f është funksioni sinus, g(x) = y):

Për shprehjen e tretë, ne aplikojmë formulën për derivatin e produktit:

Duke zbatuar vazhdimisht rregullat, ne dallojmë shprehjen e fundit:

Tani mund të vazhdoni në gjetjen e derivatit të një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite, për këtë ju keni të gjitha njohuritë.

Shembull.

Gjeni derivatin e një funksioni të nënkuptuar.

Zgjidhje.

Derivati i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite përfaqësohet gjithmonë si një shprehje që përmban x dhe y: . Për të arritur në këtë rezultat, ne dallojmë të dyja anët e barazisë: