Formulat e interpolimit të Lagranzhit, Njutonit dhe Stirlingut, etj. kur përdoren një numër i madh nyjesh interpolimi në të gjithë segmentin [ a, b] shpesh çojnë në një përafrim të dobët për shkak të akumulimit të gabimeve gjatë procesit të llogaritjes. Përveç kësaj, për shkak të divergjencës së procesit të interpolimit, rritja e numrit të nyjeve nuk çon domosdoshmërisht në rritjen e saktësisë. Për të reduktuar gabimet, i gjithë segmenti [ a, b] ndahet në segmente të pjesshme dhe në secilin prej tyre funksioni zëvendësohet afërsisht me një polinom të shkallës së ulët. Quhet interpolimi polinomial pjesë-pjesë.

Një nga metodat e interpolimit në të gjithë segmentin [ a, b] është interpolimi spline.

Splineështë një funksion polinomi pjesë-pjesë i përcaktuar në intervalin [ a, b] dhe ka një numër të caktuar derivatesh të vazhdueshme në këtë segment. Përparësitë e interpolimit spline në krahasim me metodat konvencionale të interpolimit janë konvergjenca dhe qëndrueshmëria e procesit llogaritës.

Le të shqyrtojmë një nga rastet më të zakonshme në praktikë - interpolimin e një funksioni splin kub.
Lëreni segmentin [ a, b] është specifikuar një funksion i vazhdueshëm. Le të prezantojmë një ndarje të segmentit:

dhe tregoni, .

Një spline që korrespondon me një funksion të caktuar dhe nyje interpolimi (6) është një funksion që plotëson kushtet e mëposhtme:

1) në çdo segment, funksioni është një polinom kub;

2) funksioni, si dhe derivatet e tij të parë dhe të dytë, janë të vazhdueshëm në intervalin [ a, b] ;

Kushti i tretë quhet gjendja e interpolimit. Një spline i përcaktuar nga kushtet 1) – 3) thirret spline kubike interpoluese.

Le të shqyrtojmë një metodë për ndërtimin e një spline kub.

Në secilin nga segmentet, Ne do të kërkojmë një funksion spline në formën e një polinomi të shkallës së tretë:

(7)

Ku koeficientët e kërkuar.

Le të dallojmë (7) tre herë në lidhje me X:

prej nga vijon

Nga kushti i interpolimit 3) marrim:

Ai rrjedh nga kushtet e vazhdimësisë së funksionit.

2.2 Interpolimi duke përdorur spline kubike

Një spline kub interpolimi që korrespondon me një funksion të caktuar f(x) dhe nyjet e dhëna x i është një funksion S(x) që plotëson kushtet e mëposhtme:

1. Në çdo segment , i = 1, 2, ..., N, funksioni S(x) është një polinom i shkallës së tretë,

2. Funksioni S(x), si dhe derivatet e tij të parë dhe të dytë, janë të vazhdueshëm në interval,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Në secilin nga segmentet , i = 1, 2, ..., N, do të kërkojmë funksionin S(x) = S i (x) në formën e një polinomi të shkallës së tretë:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i ,

ku a i, b i, c i, d i janë koeficientë që përcaktohen në të gjitha n segmentet elementare. Që një sistem ekuacionesh algjebrike të ketë një zgjidhje, numri i ekuacioneve duhet të jetë saktësisht i barabartë me numrin e të panjohurave. Prandaj duhet të marrim 4n ekuacione.

2n ekuacionet e para i marrim nga kushti që grafiku i funksionit S(x) të kalojë nëpër pikat e dhëna, d.m.th.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Këto kushte mund të shkruhen si:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i ,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Ekuacionet e mëposhtme 2n - 2 rrjedhin nga kushti i vazhdimësisë së derivateve të parë dhe të dytë në nyjet e interpolimit, d.m.th., gjendja e butësisë së kurbës në të gjitha pikat.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Duke barazuar në secilën nyje të brendshme x = x i vlerat e këtyre derivateve, të llogaritura në intervalet majtas dhe djathtas të nyjës, marrim (duke marrë parasysh h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

nëse x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

Në këtë fazë kemi 4n të panjohura dhe 4n - 2 ekuacione. Prandaj, duhen gjetur edhe dy ekuacione të tjera.

Kur skajet janë të siguruara lirshëm, lakimi i vijës në këto pika mund të vendoset në zero. Nga kushtet e lakimit zero në skajet rrjedh se derivatet e dytë në këto pika janë të barabarta me zero:

S 1 (x 0) = 0 dhe S n (x n) = 0,

c i = 0 dhe 2 c n + 6 d n h n = 0.

Ekuacionet përbëjnë një sistem ekuacionesh algjebrike lineare për përcaktimin e 4n koeficientëve: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, . . ., n).

Ky sistem mund të sillet në një formë më të përshtatshme. Nga kushti mund të gjeni menjëherë të gjithë koeficientët a i.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Duke zëvendësuar, marrim:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Nga ekuacioni përjashtojmë koeficientët b i dhe d i. Së fundi, marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve vetëm për koeficientët me i:

c 1 = 0 dhe c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Nga koeficientët e gjetur me i është e lehtë të llogaritet d i,b i.

Llogaritja e integraleve duke përdorur metodën Monte Carlo

Ky produkt softuer zbaton aftësinë për të vendosur kufizime shtesë në zonën e integrimit nga dy sipërfaqe dydimensionale splin (për një funksion integrues të dimensionit 3)...

Interpolimi i funksionit

Le të jepet një tabelë e vlerave të funksionit f(xi) = yi (), në të cilën ato janë renditur në rend rritës të vlerave të argumentit: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Interpolimi spline

Le të njihemi me algoritmin e programit. 1. Llogaritni vlerat dhe 2. Bazuar në këto vlera, llogaritni koeficientët e ekzekutimit dhe o. 3. Në bazë të të dhënave të marra, llogarisim koeficientët 4...

Modelimi matematikor i objekteve teknike

Funksionet e integruara të MathCAD lejojnë interpolimin të vizatojë kthesa me shkallë të ndryshme kompleksiteti përmes pikave eksperimentale. Interpolimi linear...

Metodat e përafrimit të funksioneve

Në çdo segment, polinomi i interpolimit është i barabartë me një konstante, domethënë vlerën e majtë ose të djathtë të funksionit. Për interpolimin linear të majtë pjesë-pjesë F(x)= fi-1, nëse xi-1 ?x

Metodat e përafrimit të funksioneve

Në çdo interval funksioni është linear Fi(x)=kix+li. Vlerat e koeficientit gjenden duke plotësuar kushtet e interpolimit në skajet e segmentit: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Marrim një sistem ekuacionesh: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, nga ku gjejmë ki=li= fi- kixi...

Metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare. Interpolimi

Paraqitja e problemit të interpolimit. Një sistem pikash (nyje interpolimi) xi, i=0,1,…,N është specifikuar në interval; a? x i ? b, dhe vlerat e funksionit të panjohur në këto nyje fn i=0,1,2,…,N. Mund të vendosen këto detyra: 1) Ndërtoni funksionin F (x)...

Ndërtimi i një modeli matematikor që përshkruan procesin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial

3.1 Ndërtimi i polinomit të interpolimit të Lagranzhit dhe kondensimi i vlerave Metoda e dukshme për zgjidhjen e këtij problemi është llogaritja e vlerave të ѓ(x) duke përdorur vlerat analitike të funksionit ѓ. Për këtë qëllim – sipas informacioneve fillestare...

Nëse ato janë fuqi (1, x, x2, ..., xn), atëherë flasim për interpolim algjebrik, dhe funksioni quhet polinom interpolimi dhe shënohet si: (4) Nëse () (5), atëherë mund të ndërtoni një polinom interpolimi të shkallës n dhe, për më tepër, vetëm një...

Zbatimi praktik i interpolimit të funksioneve të lëmuara

Le të shqyrtojmë një shembull të interpolimit për elementët e grupeve. Për thjeshtësi dhe shkurtësi, le të marrim =[-1;1], . Lërini pikat të jenë të ndryshme nga njëra-tjetra. Le të parashtrojmë problemin e mëposhtëm: (12) ndërtoni një polinom që plotëson këto kushte...

Zbatimi i metodave numerike për zgjidhjen e problemeve matematikore

Metodat numerike

Pra, siç u përmend më lart, detyra e interpolimit është gjetja e një polinomi grafiku i të cilit kalon nëpër pikat e dhëna. Le të specifikohet funksioni y=f(x) duke përdorur një tabelë (Tabela 1)...

Metodat numerike për zgjidhjen e problemeve matematikore

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE

Institucioni Arsimor Autonom Shtetëror Federal

arsimin e lartë profesional

"Universiteti Federal Ural i emëruar pas Presidentit të parë të Rusisë B.N. Yeltsin"

Instituti i Radio-Elektronikës dhe Teknologjive të Informacionit - RTF

Departamenti Automatizimi dhe teknologjia e informacionit

Interpolimi spline

UDHËZIME METODOLOGJIKE TË PUNËS LABORATORE NË DISIPLINËN “Metodat numerike”

Përpiluar nga I.A.Selivanova, mësuese e lartë.

NDËRPOSHTJA ME SPLINES: Udhëzime për orët praktike në disiplinën "Metoda numerike"

Udhëzimet janë të destinuara për studentët e të gjitha formave të studimit në drejtimin 230100 - "Informatikë dhe Shkenca Kompjuterike".

Ó Institucioni Arsimor Autonom Shtetëror Federal i Arsimit të Lartë Profesional "Universiteti Federal Ural i emëruar pas Presidentit të parë të Rusisë B.N. Yeltsin", 2011

1. INTERPOLACIONI ME SHPILAT. 4

1.1. Viza kubike. 4

1.2. Një formë e veçantë e shkrimit të një spline. 5

1.3. Viza kuadratike. 13

1.4. Detyrë praktike. 18

1.5. Opsionet për detyrat. 19

Referencat 21

1. Interpolimi spline.

Në rastet kur intervali [ a,b] në të cilin dëshironi të zëvendësoni funksionin f(x) është i madh, mund të aplikohet interpolimi spline.

1.1. Viza kubike.

Vizat e interpolimit 3 rendi - këto janë funksione të përbëra nga copa polinomesh 3 th urdhëroj. Në nyjet e ndërfaqes, sigurohet vazhdimësia e funksionit dhe derivateve të tij të parë dhe të dytë. Funksioni i përafërt përbëhet nga polinome individuale, zakonisht me shkallë po aq të vogël, secili i përcaktuar në pjesën e vet të segmentit.

Lëreni segmentin [ a, b] boshti real x specifikohet një rrjet, në nyjet e të cilit përcaktohen vlerat
funksione f(x). Kërkohet të ndërtohet në segmentin [ a, b] funksioni i vijës së vazhdueshme S(x), që plotëson kushtet e mëposhtme:

Për të ndërtuar vijën e dëshiruar, duhet të gjeni koeficientët
polinomet
,i=1,… n, d.m.th. 4 n koeficientët e panjohur që plotësojnë 4 n-2 ekuacionet (1), (2), (3). Në mënyrë që sistemi i ekuacioneve të ketë zgjidhje, shtohen dy kushte shtesë (kufitare). Përdoren tre lloje të kushteve kufitare:

Kushtet (1), (2), (3) dhe një nga kushtet (4), (5), (6) formojnë një SLAE të porosisë 4 n. Sistemi mund të zgjidhet duke përdorur metodën Gaussian. Sidoqoftë, duke zgjedhur një formë të veçantë të shkrimit të polinomit kub, mund të zvogëloni ndjeshëm rendin e sistemit të ekuacioneve që zgjidhen.

1.2. Një formë e veçantë e shkrimit të një spline.

Merrni parasysh segmentin
. Le të prezantojmë shënimet e variablave të mëposhtëm:

Këtu
- gjatësia e segmentit
,

,
- variablat ndihmës,

x– pika e ndërmjetme në segment
.

Kur x kalon nëpër të gjitha vlerat në interval
, e ndryshueshme varion nga 0 në 1, dhe
varion nga 1 në 0.

Lëreni polinomin kub
në segment
ka formën:

Variablat Dhe
përcaktohen në lidhje me një segment specifik interpolimi.

Le të gjejmë vlerën e spline
në skajet e segmentit
. Pika
është pika e fillimit për segmentin
, Kjo është arsyeja pse =0,
=1 dhe në përputhje me (3.8):
.

Në fund të segmentit
=1,
=0 dhe
.

Për intervalin
pika
është e fundme, pra =1,
=0 dhe nga formula (9) marrim:
. Kështu, plotësohet kushti i vazhdimësisë së funksionit S(x) në pikat e bashkimit të polinomeve kub, pavarësisht nga zgjedhja e numrave  i.

Për të përcaktuar koeficientët  i, i=0,… n Le të dallojmë (8) dy herë si funksion kompleks i x. Pastaj

Le të përcaktojmë derivatet e dytë të spline
Dhe
:

Për një polinom
pika është fillimi i segmentit të interpolimit dhe =0,
= 1, pra

Nga (15) dhe (16) rrjedh se në intervalin [ a,b]funksioni spline, "i ngjitur së bashku" nga pjesët e polinomeve të rendit të tretë, ka një derivat të rendit të dytë të vazhdueshëm.

Për të marrë vazhdimësinë e derivatit të parë të një funksioni S(x), Le të kërkojmë që kushtet e mëposhtme të plotësohen në nyjet e interpolimit të brendshëm:

Për një splin kub natyral
Prandaj, sistemi i ekuacioneve do të duket si ky:

dhe sistemi i ekuacioneve (17) do të duket si ky:

Shembull.

Të dhënat fillestare:

Funksioni i zëvendësimit
një vijë kub interpoluese, vlerat e së cilës në pikat e dhëna nyje (shih tabelën) përkojnë me vlerat e funksionit në të njëjtat pika. Merrni parasysh kushte të ndryshme kufitare.

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikat nyjore. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat nga tabela në funksionin e dhënë.

Për kushte të ndryshme kufitare (4), (5), (6) gjejmë koeficientët e splinave kubike.

Le të shqyrtojmë kushtet e para kufitare.

Në rastin tonë n=3,
,
,
. Per te gjetur
ne përdorim sistemin e ekuacioneve (3.18):

Le të llogarisim Dhe , duke përdorur formulat (7) dhe (11):

Le të zëvendësojmë vlerat e marra në sistemin e ekuacioneve:

Zgjidhja e sistemit:

Duke marrë parasysh kushtet e para kufitare, koeficientët e vijës janë:

Le të shqyrtojmë përkufizimin e koeficientëve të vijës duke marrë parasysh kushtet kufitare (3.5):

Le të gjejmë derivatin e funksionit
:

Le të llogarisim
Dhe
:

Le të zëvendësojmë në sistemin e ekuacioneve (21) vlerat Dhe :

Duke përdorur formulën (20) ne përcaktojmë  0 dhe  3:

Duke marrë parasysh vlerat specifike:

dhe vektori i koeficientëve:

Le të llogarisim vlerat e vijës kubike S(x) në mes të segmenteve të interpolimit.

Pikat e mesit të segmenteve:

Për të llogaritur vlerën e vijës kubike në mes të segmenteve të interpolimit, ne përdorim formulat (7) dhe (9).

3.1.

Ne do të gjejmë Dhe
:

Në formulën (3.9) zëvendësojmë koeficientët

3.2.

Ne do të gjejmë Dhe
:

, për kushtet kufitare (4), (5), (6):

3.3.

Ne do të gjejmë Dhe
:

Në formulën (9) zëvendësojmë koeficientët
, për kushtet kufitare (4), (5), (6):

Le të bëjmë një tabelë:

(1 kr.kond.)	(2 kredite)	(3 kredite)

Le të jepet një tabelë e vlerave të funksionit y i në nyje X 0 < х 1 < ... < х п .Shënoni h i = x i – x i -1 , i= 1, 2, ... , P.

Spline- një kurbë e qetë që kalon nëpër pika të dhëna ( x i, y i), i = 0, 1, ... , P. Interpolimi spline është se në çdo segment [ x i -1 , x i]përdoret një polinom i një shkalle të caktuar. Më shpesh përdoret polinomi i shkallës së tretë, më rrallë i dyti ose i katërt. Në këtë rast, për të përcaktuar koeficientët e polinomeve, përdoren kushtet e vazhdimësisë së derivateve në nyjet e interpolimit.

Interpolimi me splina kubike përfaqëson interpolimin lokal, kur në çdo segment [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , P përdoret një kurbë kubike që plotëson disa kushte të butësisë, përkatësisht, vazhdimësinë e vetë funksionit dhe derivatet e tij të parë dhe të dytë në pikat nyjore. Përdorimi i funksionit kub është për shkak të konsideratave të mëposhtme. Nëse supozojmë se kurba e interpolimit korrespondon me një sundimtar elastik të fiksuar në pika ( x i, y i), më pas nga kursi i forcës së materialeve dihet se kjo kurbë është përcaktuar si zgjidhje e ekuacionit diferencial. f(IV) ( x) = 0 në intervalin [ x i -1 , x i](për thjeshtësinë e paraqitjes, ne nuk marrim parasysh çështjet që lidhen me dimensionet fizike). Zgjidhja e përgjithshme për një ekuacion të tillë është një polinom i shkallës 3 me koeficientë arbitrar, i cili shkruhet në mënyrë të përshtatshme në formën
S i(x) = edhe une + b i(X - x i -1) +me i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ X £ x i, i = 1, 2, ... , P.(4.32)

Koeficientët e funksionit S i(x)përcaktohen nga kushtet e vazhdimësisë së funksionit dhe derivateve të tij të parë dhe të dytë në nyjet e brendshme x i,i= 1, 2,..., P - 1.

Nga formulat (4.32) në X = x i-1 marrim

S i(x i- 1) = y i -1 = ai, i = 1, 2,..., P,(4.33)

dhe kur X = x i

S i(x i) = edhe une + b i h i +me i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., n.

Kushtet e vazhdimësisë për funksionin e interpolimit shkruhen si S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , n- 1 dhe nga kushtet (4.33) dhe (4.34) rezulton se ato janë të kënaqshme.

Le të gjejmë derivatet e funksionit S i(x):

S" i(x) =b i + 2me i(X - x i -1) + 3di(X – x i -1) 2 ,

S" i(x) = 2c i + 6d i(x - xi -1).

Në x = x i-1, kemi S" i(x i -1) = b i, S" (x i -1) = 2me i, dhe kur X = x i marrim

S" i(x i) = b i+ 2me i h i+ 3dih i 2 , S" (x i) = 2me i+ 6d i h i.

Kushtet për vazhdimësinë e derivateve çojnë në ekuacione

S" i(x i) =S" i +1 (x i) Þ b i+ 2me i h i+ 3dih i 2 = b i +1 ,

i= l, 2,... , P - 1. (4.35)

S" i (x i) = S" i +1 (x i) Þ 2 me i+ 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2,..., n- 1. (4.36)

Në total kemi 4 n– 2 ekuacione për të përcaktuar 4 n i panjohur. Për të marrë dy ekuacione të tjera, përdoren kushte shtesë kufitare, për shembull, kërkesa që kurba e interpolimit të ketë lakimin zero në pikat fundore, d.m.th., që derivati i dytë të jetë i barabartë me zero në skajet e segmentit [ A, b]A = X 0 , b= x n:

S" 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ Me 1 = 0,

S"n(x n) = 2me n + 6d n h n = 0 Þ me n + 3d n h n = 0. (4.37)

Sistemi i ekuacioneve (4.33)–(4.37) mund të thjeshtohet dhe mund të merren formula të përsëritura për llogaritjen e koeficientëve të spline.

Nga kushti (4.33) kemi formula eksplicite për llogaritjen e koeficientëve a i:

a i = y i -1 , i= 1,..., n. (4.38)

Le të shprehemi d i përmes c i duke përdorur (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Le të vendosim me n+1 = 0, pastaj për d i marrim një formulë:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Le të zëvendësojmë shprehjet për edhe une Dhe d i në barazi (4.34):

, i= 1, 2,..., n.

dhe shprehin b i, përmes me i:

, i= 1, 2,..., n. (4.40)

Le të përjashtojmë koeficientët nga ekuacionet (4.35) b i Dhe d i duke përdorur (4.39) dhe (4.40):

i= 1, 2,..., n -1.

Nga këtu marrim një sistem ekuacionesh për përcaktimin me i:

Sistemi i ekuacioneve (4.41) mund të rishkruhet si

Këtu futet shënimi

, i =1, 2,..., n- 1.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve (4.42) duke përdorur metodën e fshirjes. Nga ekuacioni i parë shprehim Me 2 përmes Me 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2 , , . (4.43)

Le të zëvendësojmë (4.43) në ekuacionin e dytë (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2( h 2 + h 3)c 3 +h 3 c 4 = g 2 ,

dhe shprehin Me 3 përmes Me 4:

Me 3 = a 3 Me 4 + b 3 , (4.44)

Duke supozuar se me i-1 = a i -1 c i+b i-1 nga i ekuacionin (4.42) marrim

c i= a unë me i+1+b i

, i = 3,..., n- 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a unë me i+1+b i, i= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Llogaritja e koeficientëve edhe une, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., n.

4. Llogaritni vlerën e një funksioni duke përdorur një spline. Për ta bërë këtë, gjeni vlerën e mëposhtme i, që vlera e dhënë e ndryshores X i përket segmentit [ x i -1 , x i] dhe llogarisni

S i(x) = edhe une + b i(X - x i -1) +me i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

Detyra kryesore interpolimi- gjetja e vlerës së një funksioni të specifikuar nga tabela në ato pika brenda një intervali të caktuar ku nuk është specifikuar. Të dhënat fillestare tabelare mund të merren si eksperimentalisht (në këtë rast nuk ka në thelb të dhëna të ndërmjetme pa punë shtesë) ose me llogaritje duke përdorur varësi komplekse (në këtë rast është më e lehtë të gjesh vlerën e një funksioni kompleks duke përdorur interpolim sesa me llogaritje të drejtpërdrejtë duke përdorur një formulë komplekse)

Koncepti i interpolimit

Zgjidhja e problemeve të interpolimit dhe ekstrapolimit sigurohet duke ndërtuar një funksion interpolimi L(x), përafërsisht duke zëvendësuar origjinalin f(x), të specifikuara në një tabelë dhe duke kaluar nëpër të gjitha pikat e dhëna - nyjet e interpolimit. Duke përdorur këtë funksion, mund të llogaritni vlerën e dëshiruar të funksionit origjinal në çdo moment.

Tre probleme kryesore konsiderohen në lidhje me interpolimin.

1) përzgjedhja e funksionit të interpolimit L(x);

2) vlerësimi i gabimit të interpolimit R(x);

3) vendosja e nyjeve të interpolimit për të siguruar saktësinë më të lartë të mundshme të rivendosjes së funksionit ( x 1 , x 2 ,…,x n).

Metodat speciale të interpolimit ju lejojnë të përcaktoni vlerën e dëshiruar të një funksioni pa ndërtuar drejtpërdrejt një funksion interpolimi. Në parim, të gjitha metodat e interpolimit të bazuara në përdorimin e polinomeve si funksion interpolimi japin të njëjtat rezultate, por me kosto të ndryshme. Kjo shpjegohet me faktin se polinomi n shkalla e th që përmban n+1 parametri dhe duke kaluar nëpër të gjitha të specifikuara n+1 pikë, - i vetmi. Përveç kësaj, polinomi mund të përfaqësohet si një seri e cunguar Taylor në të cilën zgjerohet funksioni origjinal i diferencueshëm. Ky është ndoshta një nga avantazhet kryesore të polinomit si funksion interpolimi. Prandaj, më shpesh problemi i parë i interpolimit zgjidhet duke zgjedhur një polinom si funksion interpolimi, megjithëse mund të përdoren funksione të tjera (për shembull, polinomet trigonometrike, funksionet e tjera të zgjedhura nga kushtet joformale të problemit kuptimplotë).

Oriz. 3.2 Ilustrimi i interpolimit

Zgjedhja e llojit të funksionit të interpolimit është, në përgjithësi, një detyrë e rëndësishme, veçanërisht nëse mbani mend se çdo numër funksionesh mund të vizatohen përmes pikave të dhëna (Fig. 3.2). Duhet të theksohet se ekziston një mënyrë e qartë për të ndërtuar një funksion interpolimi: nga gjendja e funksionit që kalon nëpër të gjitha pikat, përpilohet një sistem ekuacionesh, nga zgjidhja e të cilit gjenden parametrat e tij. Sidoqoftë, kjo rrugë është larg nga më efikasja, veçanërisht me një numër të madh pikësh.

Është e zakonshme të bëhet dallimi midis interpolimit lokal dhe global. Në rastin kur polinomi është i njëjtë për të gjithë zonën e interpolimit, thuhet se interpolimi globale. Në rastet kur polinomet janë të ndryshëm ndërmjet nyjeve të ndryshme, flasim për pjesë-pjesë ose interpolimi lokal.

Interpolimi linear

Lloji më i thjeshtë dhe më i përdorur i interpolimit lokal është interpolimi linear. Ai konsiston në faktin se pikat e dhëna M(x i, y i) (i = 0, 1, ..., n) janë të lidhura me segmente të drejta, dhe funksioni f(x) i afrohet një vije të thyer me kulme në këto pika (Fig. 3.3) .

Oriz. 3.3 Interpolimi linear

Ekuacionet e secilit segment të një vije të thyer janë përgjithësisht të ndryshme. Meqenëse ka n intervale (x i, x i + 1), pastaj për secilën prej tyre si një ekuacion

Një polinom interpolimi përdor ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika. Në veçanti për une - intervali i th, ne mund të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pika ( x i, y i) Dhe ( x i + 1 , y i + 1), si:

(3.2)

Prandaj, kur përdorni interpolimin linear, së pari duhet të përcaktoni intervalin në të cilin bie vlera e argumentit x, dhe më pas zëvendësojeni atë në formulën (3.2) dhe gjeni vlerën e përafërt të funksioneve në këtë pikë.

Figura 3.4 tregon një shembull të përdorimit të interpolimit linear në programin MathCAD. Për interpolim linear, përdorni funksionin linterp (x,y,z). Këtu x, y- të dhënat fillestare, z– pika në të cilën ndodhet vlera e funksionit.

Oriz. 3.4. Interpolimi linear

Interpolimi kuadratik

Kur interpolimi kuadratik si një funksion interpolimi në segment ( x i - 1 ,x i + 1) pranohet një trinom kuadratik. Ekuacioni i trinomit kuadratik ka formën

y = a i x 2 + b i x + c i, x i - 1 x x i + 1 , (3.3)

Interpolimi për çdo pikë x [x 0 , xn] kryhet në tre pikat më të afërta.

Interpolimi i vijës kubike

Vitet e fundit, një degë e re e matematikës kompjuterike moderne është zhvilluar intensivisht - teoria splinat. Splines bëjnë të mundur zgjidhjen në mënyrë efektive të problemeve të përpunimit të varësive eksperimentale midis parametrave që kanë një strukturë mjaft komplekse.

Metodat lokale të interpolimit të diskutuara më sipër janë në thelb splineja më e thjeshtë e shkallës së parë (për interpolimin linear) dhe e shkallës së dytë (për interpolimin kuadratik).

Për shkak të thjeshtësisë së tyre, vijat kubike kanë gjetur aplikimin më të gjerë praktik. Idetë themelore të teorisë së shiritave kubikë u formuan si rezultat i përpjekjeve për të përshkruar matematikisht pllakat fleksibël të bëra nga materiali elastik (vija mekanike), të cilat janë përdorur prej kohësh nga hartuesit në rastet kur kishte nevojë të vizatohej një kurbë mjaft e lëmuar. përmes pikave të dhëna. Dihet se një rrip materiali elastik, i fiksuar në pika të caktuara dhe në një pozicion ekuilibri, merr një formë në të cilën energjia e tij është minimale. Kjo veti themelore bën të mundur përdorimin efektiv të splines në zgjidhjen e problemeve praktike të përpunimit të informacionit eksperimental.

Në përgjithësi, për funksionin y = f(x) kërkohet të gjendet një përafrim y=j(x) Në atë mënyrë që f(x i)= j(x i) në pika x = x i , a në pika të tjera të segmentit [ a, b] vlerat

funksione f(x) Dhe j(x) ishin afër njëri-tjetrit. Me një numër të vogël pikash eksperimentale (për shembull, 6-8), një nga metodat për ndërtimin e polinomeve të interpolimit mund të përdoret për të zgjidhur problemin e interpolimit. Megjithatë, me një numër të madh nyjesh, polinomet e interpolimit bëhen praktikisht të papërdorshëm. Kjo për faktin se shkalla e polinomit të interpolimit është vetëm një më pak se numri i vlerave eksperimentale të funksioneve. Është e mundur, sigurisht, që segmenti në të cilin është përcaktuar funksioni të ndahet në seksione që përmbajnë një numër të vogël pikash eksperimentale dhe për secilën prej tyre të ndërtohen polinome interpolimi. Sidoqoftë, në këtë rast, funksioni i përafërt do të ketë pika ku derivati nuk është i vazhdueshëm, domethënë, grafiku i funksionit do të përmbajë pika "break".

Vizat kubike nuk e kanë këtë pengesë. Studimet e teorisë së rrezes kanë treguar se një rreze e hollë fleksibël midis dy nyjeve përshkruhet mjaft mirë nga një polinom kub, dhe duke qenë se nuk shembet, funksioni i përafërt duhet të jetë të paktën vazhdimisht i diferencueshëm. Kjo do të thotë se funksionet j(x), j'(x), j"(x) duhet të jetë i vazhdueshëm në segmentin [ a, b].

Splinja e interpolimit kub , që i përgjigjet këtij funksioni f(x) dhe këto nyje xi, i quajtur funksion y(x), duke plotësuar kushtet e mëposhtme:

1. në çdo segment [ x i - 1 , xi], i = 1, 2, ..., n funksionin y(x) është një polinom i shkallës së tretë,

Funksioni y(x), dhe gjithashtu derivatet e tij të parë dhe të dytë janë të vazhdueshëm në intervalin [ a,b],

Vizë kubikeështë ngjitur së bashku nga polinomet e shkallës së tretë, të cilat për i- seksioni shkruhen si më poshtë:

Për të gjithë intervalin do të jetë në përputhje me rrethanat P polinomet kub të ndryshëm në koeficientë Ai, b i, c i, d i. Më shpesh, nyjet gjatë interpolimit spline vendosen në mënyrë të barabartë, d.m.th. Xi +1 -Xi = konst = h (edhe pse kjo nuk është e nevojshme).

Është e nevojshme të gjenden katër koeficientë me kusht që çdo polinom të kalojë nëpër dy pika (x i, y i) dhe (x i +1 , y i +1 ) , e cila rezulton në ekuacionet e mëposhtme të dukshme:

Kushti i parë korrespondon me kalimin e polinomit përmes pikës së fillimit, i dyti - përmes pikës fundore. Është e pamundur të gjenden të gjithë koeficientët nga këto ekuacione, pasi ka më pak kushte sesa parametrat e kërkuar. Prandaj, këto kushte plotësohen me kushtet e butësisë së funksionit (d.m.th., vazhdimësia e derivatit të parë) dhe butësia e derivatit të parë (d.m.th., vazhdimësia e derivatit të dytë) në nyjet e interpolimit. Matematikisht, këto kushte shkruhen si barazi, përkatësisht, të derivatit të parë dhe të dytë në fund. i te dhe ne fillim ( i+1 )-th parcela.

Që nga viti , Kjo

(y’ (x i +1 ) në fund i- komploti është i barabartë me ju(Xi +1 ) ne fillim ( i+1 )-th),

(y"(Xi +1 ) në fund i- komploti është i barabartë me y" (xi +1 ) ne fillim ( i+1)th).

Rezultati është një sistem ekuacionesh lineare (për të gjitha seksionet) që përmban 4n - 2 ekuacione me 4n të panjohura (të panjohura a 1, a 2,..., a n, b 1,..., d n - koeficientët spline). Për të zgjidhur sistemin, shtoni dy kushte kufitare të një prej llojeve të mëposhtme (më shpesh përdoret 1):

Zgjidhja e përbashkët e ekuacioneve 4n ju lejon të gjeni të gjithë koeficientët 4n.

Për të rivendosur derivatet, mund të dalloni polinomin kub përkatës në çdo seksion. Nëse është e nevojshme të përcaktohen derivatet në nyje, ekzistojnë teknika të veçanta që reduktojnë përcaktimin e derivateve në zgjidhjen e një sistemi më të thjeshtë ekuacionesh për derivatet e dëshiruara të rendit të dytë ose të parë. Përparësitë e rëndësishme të interpolimit të splinës kubike përfshijnë marrjen e një funksioni që ka lakimin minimal të mundshëm. Disavantazhet e interpolimit spline përfshijnë nevojën për të marrë një numër relativisht të madh parametrash.

Le të zgjidhim problemin e interpolimit duke përdorur programin MathCAD. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim funksionin e integruar interp(VS,x,y,z) . Variablat x Dhe y specifikoni koordinatat e pikave nodale, z është një argument funksioni, VS përcakton llojin

kushtet kufitare në skajet e intervalit.

Le të përcaktojmë funksionet e interpolimit për tre lloje spline kubike

Këtu cspline (VX , VY) kthen një vektor VS derivatet e dyta kur i afrohemi një polinomi kub në pikat e referencës;

pspline(VX, VY) kthen një vektor VS derivatet e dyta kur afrohen pikat e referencës në një kurbë parabolike;

lspline(VX, VY) kthen një vektor VS derivatet e dyta kur afrohen pikat e referencës së drejtëzës;

interp(VS, VX, VY, x) kthen vlerën y(x) për vektorët e dhënë VS, VX, VY dhe vendos vlerën x.

Ne llogarisim vlerat e funksioneve të interpolimit në pikat e dhëna dhe krahasojmë rezultatet me vlerat e sakta

Ju lutemi vini re se rezultatet e interpolimit nga lloje të ndryshme të splinave kub janë praktikisht të njëjta në pikat e brendshme të intervalit dhe përkojnë me vlerat e sakta të funksionit. Pranë skajeve të intervalit, ndryshimi bëhet më i dukshëm dhe kur ekstrapolohet përtej një intervali të caktuar, lloje të ndryshme splinash japin rezultate dukshëm të ndryshme. Për qartësi më të madhe, le t'i paraqesim rezultatet në një grafik (Fig. 3.5)

Oriz. 3.5 Interpolimi kub i vijës

Nëse funksioni specifikohet në mënyrë diskrete, atëherë matricat e të dhënave specifikohen për interpolim.

Në interpolimin global, më së shpeshti përdoret interpolimi polinomial. n-interpolimi i shkallës së Lagranzhit.

Qasja klasike bazohet në kërkesën e përputhjes strikte të vlerave f(X) Dhe j(X) në pika x i(i = 0, 1, 2, … n).

Do të kërkojmë funksionin e interpolimit j(X) në formën e një polinomi të shkallës n.

Ky polinom ka n+ 1 koeficient. Është e natyrshme të supozohet se n+ 1 kushte

j(x 0) = y 0 , j(x 1) = y 1 , . . ., j(x n) = y n (3.4)

mbivendosur mbi polinomin

bëjnë të mundur përcaktimin e paqartë të koeficientëve të tij. Në të vërtetë, kërkuese për j(X) përmbushja e kushteve (3.4) , marrim një sistem n+ 1 ekuacione me n+ 1 e panjohur:

(3.6)

Zgjidhja e këtij sistemi për të panjohurat a 0 , a 1 , …, një n marrim një shprehje analitike për polinomin (3.5). Sistemi (3.6) ka gjithmonë një zgjidhje unike , sepse përcaktues i saj

i njohur në algjebër si Përcaktor vandermonde jo zero . kjo nënkupton , se polinomi i interpolimit j(X) për funksionin f(X), e dhënë në një tabelë, ekziston dhe është unike.

Ekuacioni i lakores që rezulton kalon saktësisht nëpër pikat e dhëna. Jashtë nyjeve të interpolimit, modeli matematik mund të ketë një gabim domethënës

Formula e interpolimit të Lagranzhit

Le të dihen vlerat e disa funksioneve f(X) V n+ 1 pika të ndryshme arbitrare y i = f(x i) , i = 0,…, P. Për të interpoluar (rivendosur) një funksion në çdo pikë X, që i përkasin segmentit [ x 0, x n], është e nevojshme të ndërtohet një polinom interpolimi i rendit të n-të, i cili në metodën e Lagranzhit paraqitet si më poshtë:

Për më tepër, është e lehtë të vërehet se Q j(x i) = 0, Nëse i¹ j, Dhe Q j(x i) =1, Nëse i= j. Nëse zgjerojmë prodhimin e të gjitha kllapave në numërues (në emërues të gjitha kllapat janë numra), marrim një polinom të rendit të ntë në X, meqenëse numëruesi përmban n faktorë të rendit të parë. Rrjedhimisht, polinomi i interpolimit të Lagranzhit nuk është asgjë më shumë se një polinom i zakonshëm i rendit të n-të, pavarësisht nga forma specifike e shënimit.

Vlerësoni gabimin e interpolimit në një pikë X nga [ x 0, xn] (d.m.th., zgjidhni të dytën

problemi i interpolimit) mund të bëhet duke përdorur formulën

Në formulë - vlera maksimale e derivatit (n+1) të funksionit origjinal f(X) në segmentin [ x 0, xn]. Prandaj, për të vlerësuar gabimin e interpolimit, nevojiten disa informacione shtesë për funksionin origjinal (kjo duhet të jetë e kuptueshme, pasi një numër i pafund funksionesh të ndryshme mund të kalojnë nëpër pikat e dhëna fillestare, për të cilat gabimi do të jetë i ndryshëm). Një informacion i tillë është derivati i rendit n+1, i cili nuk është aq i lehtë për t'u gjetur. Më poshtë do të tregojmë se si të dilni nga kjo situatë. Vini re gjithashtu se aplikimi i formulës së gabimit është i mundur vetëm nëse funksioni është i diferencueshëm n +1 herë.