1. Cila nga matjet e mëposhtme i përket klasës së emrave të peshoreve matëse:
a) numrat që kodojnë temperamentin;
d) numrat e telefonit.
2. Cila nga matjet e mëposhtme i përket klasës së rendit të shkallëve matëse:
b) gradën akademike si masë e avancimit në karrierë;
c) sistemi i matjes së distancës metrike;
d) numrat e telefonit.
3. Cila nga matjet e mëposhtme i përket klasës së raporteve të shkallëve matëse:
a) numrat që kodojnë temperamentin;
b) gradën akademike si masë e avancimit në karrierë;
c) sistemi i matjes së distancës metrike;
d) numrat e telefonit.
4. Cila nga karakteristikat e mëposhtme i përket specieve sasiore:
b) lidhjet familjare të anëtarëve të familjes;
c) gjinia dhe mosha e personit;
d) statusi social i depozituesit;
e) numri i fëmijëve në familje;
f) qarkullimi me pakicë i ndërmarrjeve tregtare.
5. Cilat nga karakteristikat e mëposhtme i përkasin llojeve cilësore:
a) numrin e punonjësve në shoqëri;
b) lidhjet familjare të anëtarëve të familjes;
c) gjinia dhe mosha e personit;
d) statusi social i depozituesit;
e) numri i fëmijëve në familje;
f) qarkullimi me pakicë i ndërmarrjeve tregtare.
6. Çfarë shkalle përdoret për të matur nivelin e inteligjencës së një personi:
a) emrat;
b) rendore;
c) intervali;
d) marrëdhëniet.
7. Devijimi standard është:
a) katrori i diapazonit të serisë së variacionit;
b) rrënjën katrore të variancës;
c) koeficienti i variacionit në katror;
d) rrënja katrore e madhësisë së diapazonit të variacionit.
8. Koeficienti i variacionit të një serie përcaktohet nga raporti:
a) devijimi standard ndaj vlerës mesatare aritmetike të serisë;
b) variancë ndaj medianës së serisë;
c) dispersion në vlerën maksimale të serisë;
d) treguesi absolut i ndryshimit të vlerës mesatare aritmetike të serisë.
9. Moda e kësaj serie variacioni
x 10 15 35
n 1 2 3
Kjo:
a) 20;
b) 16;
në 3;
d) 35.
10. Mesatarja aritmetike e popullsisë është:
a) vlera e karakteristikës në mes të serisë së variacionit;
b) gjysmë-diferenca midis vlerave maksimale dhe minimale të serisë së variacionit;
c) gjysma e shumës së vlerave maksimale dhe minimale të serisë së variacionit;
d) raportin e shumës së të gjitha sasive në popullatë me numrin e përgjithshëm të tyre.
11. Të dhënat për përvojën e punës së shtatë shitësve të dyqaneve janë të njohura: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1 vjet Gjeni vlerën mesatare të përvojës së tyre të punës.
a) 4.3 vjet;
b) 5 vjet;
c) 3 vjet;
d) 3.8 vjet.
12. Seria e shpërndarjes është:
a) sekuenca e të dhënave të mostrës;
b) renditjen e renditur të të dhënave sipas karakteristikave sasiore;
c) sekuenca numerike e të dhënave;
d) një sekuencë vlerash, të renditura sipas karakteristikave cilësore.
13. Frekuenca e varianteve të një serie variacionesh quhet:
a) madhësia e mostrës;
b) kuptimin e varianteve të serisë së variacioneve;
c) numrin e varianteve individuale ose grupeve të një serie variacionesh;
d) numrin e grupeve të serisë së variacioneve.
14. Moda është:
a) vlerën maksimale të atributit të popullsisë;
b) vlerën më të zakonshme të atributit;
c) mesataren aritmetike të popullsisë.
15. Të dhënat për kohëzgjatjen e shërbimit të shitësve të dyqaneve janë të njohura: 2; 3; 2; 5; 10; 7; 1. Gjeni mesataren e përvojës së tyre të punës:
a) 4.5 vjet;
b) 4.3 vjet;
c) 3 vjet;
d) 5 vjet.
16. Gama e variacioneve të kësaj serie variacionesh:
x 10 15 20 30
n 1 2 3 2
Kjo:
a) 15;
b) 10;
c) 30;
d) 20.
17. Numri i serive të porositura ndahet në gjysmë:
a) moda;
b) mesatare aritmetike;
c) mesatare harmonike;
d) mesatare.
18. Grupimi statistikor është:
a) kombinimin ose ndarjen e të dhënave sipas karakteristikave thelbësore;
b) organizimin shkencor të vëzhgimit statistikor;
c) llojet e raportimit;
d) grumbullimi i drejtpërdrejtë i të dhënave masive.
19. Koeficienti i lëkundjes është:
a) tregues absolut;
b) mesatare;
c) treguesi relativ i variacionit.
20. Dispersioni i një serie variacionesh karakterizon:
a) vlera mesatare e karakteristikave individuale;
b) shpërndarjen e vlerave individuale të karakteristikave nga vlera mesatare;
c) devijimi standard.
21. Ekuacioni i funksionit të regresionit linear pasqyron dinamikën e zhvillimit:
a) me nxitim të ndryshueshëm;
c) uniforme;
d) i përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme.
22. Nëse vlera e koeficientit të korrelacionit është 0.6, atëherë në shkallën Chedd.ka:
a) praktikisht nuk ka asnjë lidhje;
b) lidhja është e dobët;
c) lidhja është e moderuar;
d) lidhja është e fortë.
23. Të dhënat përfaqësojnë rezultatet e të rriturve në Stanford-Binet IQ Test 104, 87, 101, 130, 148, 92, 97, 105, 134, 121. Gjeni gamën e variacionit:
a) 61;
b) 60;
c) 75.
24. Gjeni mesataren aritmetike të ponderuar për seritë e mëposhtme të intervalit:
li ni
10-14 1
15-19 1
20-24 4
25-29 2
30-34 4
a) 24;
b) 24,92;
c) 25.38.
25. Njehsoni medianën e serisë së ardhshme 2.1; 1,5; 1.6; 2.1; 2.4:
a) 2;
b) 1.5;
c) 2.1.
26. Llogaritni modalitetin e serisë së intervalit të ardhshëm
frekuenca 5-7 8-10 11-13 14-16
intervali 4 7 26 41
a) 14;
b) 14,54;
c) 15,23;
27. Cilat nga matjet e mëposhtme i përkasin klasës së emrave të peshoreve matëse:
a) diagnoza e pacientit;
b) targat;
c) fortësinë e mineralit;
d) koha kalendarike;
e) peshën e një personi.
28. Cila nga matjet e mëposhtme i përket klasës së shkallëve matëse rendore:
a) diagnoza e pacientit;
b) targat;
c) fortësinë e mineralit;
d) koha kalendarike;
e) peshën e një personi.
29. Cila nga matjet e mëposhtme i përket klasës së shkallëve matëse të intervalit:
a) diagnoza e pacientit;
b) targat;
c) fortësinë e mineralit;
d) koha kalendarike;
e) peshën e një personi.
30. Cilat nga matjet e mëposhtme i përkasin klasës së raporteve të peshoreve matëse:
a) diagnoza e pacientit;
b) targat;
c) fortësinë e mineralit;
d) koha kalendarike;
e) peshën e një personi.
31. Çfarë peshore përdoret gjatë matjes së kohës:
a) intervali;
b) marrëdhëniet;
c) Chaddock.
32. Llojet sasiore përfshijnë karakteristikat e mëposhtme:
a) lartësia e njeriut;
b) çmimet për merita;
c) ngjyra e syve;
d) targa.
33. Llojet cilësore përfshijnë karakteristikat e mëposhtme:
a) lartësia e njeriut;
b) çmimet për merita;
c) ngjyra e syve;
d) targa
34. Mënyra e llogaritjes
xi 5 8 10 13 14
ni 7 4 5 9 1
a) 10;
b) 11;
c) 13
35. Në një numër të madh nxënësish në klasa, ka më pak sukses në marrjen e njohurive në një të katërtën sesa në klasat e vogla. Cila është një shenjë efektive?
a) numri i nxënësve në klasë;
b) suksesi në marrjen e njohurive,
c) numrin e nxënësve me sukses në përvetësimin e njohurive.
36. Gjatësia e një intervali në një seri intervali është:
a) diapazoni i variacionit të ndarë me mesataren aritmetike;
b) diapazoni i variacionit pjesëtuar me numrin e grupeve;
c) variancën e ndarë me madhësinë e kampionit.
37. Një shembull i korrelacionit në çift: studentët që mësojnë të lexojnë më herët se të tjerët priren të kenë performancë më të lartë akademike. Cili nga këta tregues: aftësia për leximin e hershëm apo arritjet e larta të nxënësve është tregues faktor?
a) aftësia për të lexuar herët;
b) performancë e lartë akademike;
c) asnjë prej tyre.
38. Cila nga metodat e mëposhtme mund të përdoret kur krahasohen mesataret e tre ose më shumë mostrave:
a) Testi i studentit;
b) Testi Fisher;
c) analiza e variancës.
39. Madhësia e mostrës së serisë së variacionit
xi 10 15 20 30
ni 1 2 3 2
a) 5;
b) 8;
në 12;
d) 30.
40. Moda e serive variacion
xi 10 15 20 25
ni 1 5 4 3
a) 15;
b) 5;
c) 23;
d) 3.
41. Ekuacioni i funksionit të regresionit parabolik pasqyron dinamikën e zhvillimit:
a) me nxitim të ndryshueshëm;
b) me një ngadalësim të rritjes në fund të periudhës;
c) uniforme;
d) i përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme.
42.Koeficienti i regresionit B tregon:
a) vlera e pritur e variablës së varur me një vlerë zero të parashikuesit
b) vlerën e pritur të ndryshores së varur kur parashikuesi ndryshon me një
c) probabiliteti i gabimit të regresionit
d) kjo çështje ende nuk është zgjidhur përfundimisht
43. Marrja e mostrave është:
a) të gjithë grupin e objekteve mbi të cilat bazohet arsyetimi i studiuesit;
b) një shumëllojshmëri objektesh të disponueshme për kërkime empirike;
c) të gjitha vlerat e mundshme të dispersionit;
d) njësoj si randomizimi.
44. Cili nga koeficientët e mëposhtëm të korrelacionit demonstron lidhjen më të madhe midis variablave:
a) -0,90;
b) 0;
c) 0,07;
d) 0,01.
45. Popullsia e përgjithshme është:
a) të gjithë grupin e objekteve mbi të cilat bazohet arsyetimi i studiuesit;
b) një shumëllojshmëri objektesh të disponueshme për kërkime empirike;
c) të gjitha vlerat e mundshme të pritshmërisë matematikore;
d) shpërndarje normale.
46. Si krahasohen madhësitë e kampionit dhe popullata e përgjithshme:
a) kampioni është zakonisht dukshëm më i vogël se popullata e përgjithshme;
b) popullsia është gjithmonë më e vogël se kampioni;
c) mostra dhe popullata pothuajse gjithmonë përputhen;
d) nuk ka përgjigje të saktë.
47. Koeficienti i korrelacionit pikë-biserial është një rast i veçantë i koeficientit të korrelacionit:
a) Shtizëri;
b) Pearson;
c) Kendal;
d) të gjitha përgjigjet janë të sakta.
48. Në cilin nivel minimal të rëndësisë është zakon të refuzohet hipoteza zero?
a) niveli 5%.
b) niveli 7%.
c) niveli 9%.
d) niveli 10%.
49. Cila nga metodat e mëposhtme përdoret zakonisht kur krahasohen mjetet në dy mostra normale:
a) Testi i studentit;
b) Testi Fisher;
c) analiza njëkahëshe e variancës;
d) analiza e korrelacionit.
50. Si testohen hipotezat statistikore?
a) statisticien;
b) parametrat;
c) eksperimente;
d) vëzhgimet.
51. Cila nga vlerat e mëposhtme të koeficientit të korrelacionit është e pamundur:
a) -0,54;
b) 2.18;
c) 0; d) 1.
52. Çfarë transformimi duhet bërë kur krahasohen dy koeficientë korrelacioni:
një student;
b) Fischer;
c) Pearson;
d) Spearman.
53. Sa është mesatarja e një shpërndarjeje:
a) njësoj si përgjysmuesja;
b) njësoj si moda;
c) mesatare aritmetike;
d) kuantili 50% i shpërndarjes;
d) nuk ka përgjigje të saktë.
54. Koeficienti i korrelacionit pikë-biserial është një rast i veçantë i koeficientit të korrelacionit:
a) Shtizëri;
b) Pearson;
c) Kendall;
d) të gjitha përgjigjet janë të sakta.
55. Cili nga variablat e mëposhtëm është diskret:
a) lloji i temperamentit;
b) niveli i inteligjencës;
c) koha e reagimit;
d) të gjitha përgjigjet janë të sakta.
56. Në çfarë diapazoni mund të ndryshojë koeficienti i korrelacionit:
a) nga -1 në 1;
b) nga 0 në 1;
c) nga 0 në 100;
d) në çdo.
57. Për cilat janë hipotezat statistikore të paraqitura:
a) konceptet;
b) statisticien;
c) mostrat;
d) parametrat.
58. Si quhet analogu joparametrik i analizës së variancës:
a) Testi i studentit;
b) Metoda Kruskal-Wallis;
c) testi Wilcoxon;
d) Testi Mann-Whitney.
59. Koncepti i koeficientit të korrelacionit u zhvillua për herë të parë në punimet:
a) Fischer;
b) Testi i studentit;
c) Pearson;
d) Spearman.
60. Cila nga statistikat e mëposhtme është një vlerësim i paanshëm i vlerës së pritur:
a) mesatarja aritmetike;
b) moda;
c) mesatarja;
d) të gjitha përgjigjet janë të sakta.
61. Si krahasohen koeficientët e korrelacionit Pearson dhe Spearman:
a) koeficienti Pearson është një rast i veçantë i Spearman;
b) koeficienti Spearman është një rast i veçantë i Pearson;
c) këta koeficientë kanë logjikë të ndryshme ndërtimi;
d) është e njëjta gjë.
62. Sipas supozimeve teorike të analizës së variancës, raporti F nuk mund të jetë:
a) është e barabartë me 1;
b) më shumë se 1;
c) më pak se 1;
d) nuk ka përgjigje të saktë.
Marrëdhënia midis variablave X dhe Y mund të përshkruhet në mënyra të ndryshme. Në veçanti, çdo formë e lidhjes mund të shprehet me një ekuacion të përgjithshëm y= f(x), ku y konsiderohet si një ndryshore e varur, ose një funksion i një ndryshoreje tjetër - të pavarur x, e quajtur argument. Korrespondenca midis një argumenti dhe një funksioni mund të specifikohet nga një tabelë, formulë, grafik etj. Një ndryshim në një funksion në varësi të ndryshimeve në një ose më shumë argumente quhet regresioni.
Afati "regresion"(nga latinishtja regressio - lëvizje prapa) u prezantua nga F. Galton, i cili studioi trashëgiminë e tipareve sasiore. Ai e mori vesh. që pasardhësit e prindërve të gjatë dhe të shkurtër kthehen (regresohen) 1/3 drejt nivelit mesatar të këtij tipari në një popullatë të caktuar. Me zhvillimin e mëtejshëm të shkencës, ky term humbi kuptimin e tij të mirëfilltë dhe filloi të përdoret për të përcaktuar korrelacionin midis variablave Y dhe X.
Ka shumë forma dhe lloje të ndryshme të korrelacioneve. Detyra e studiuesit zbret në identifikimin në çdo rast specifik të formës së lidhjes dhe shprehjes së saj me ekuacionin e duhur të korrelacionit, i cili lejon që dikush të parashikojë ndryshimet e mundshme në një karakteristikë Y bazuar në ndryshimet e njohura në një X tjetër, e cila është e ndërlidhur me të parën. .
Ekuacioni i një parabole të llojit të dytë
Ndonjëherë lidhjet ndërmjet variablave Y dhe X mund të shprehen përmes formulës së parabolës
Ku a,b,c janë koeficientë të panjohur që duhen gjetur, duke pasur parasysh matjet e njohura të Y dhe X
Ju mund ta zgjidhni duke përdorur metodën e matricës, por tashmë ka formula të llogaritura që do t'i përdorim
N - numri i termave të serisë së regresionit
Y - vlerat e ndryshores Y
X - vlerat e ndryshores X
Nëse e përdorni këtë bot përmes një klienti XMPP, atëherë sintaksa është si më poshtë
regresi rreshti X; rreshti Y;2
Ku 2 - tregon se regresioni llogaritet si jolinear në formën e një parabole të rendit të dytë
Epo, është koha për të kontrolluar llogaritjet tona.
Pra, ka një tryezë
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 18.2 |
| 2 | 20.1 |
| 3 | 23.4 |
| 4 | 24.6 |
| 5 | 25.6 |
| 6 | 25.9 |
| 7 | 23.6 |
| 8 | 22.7 |
| 9 | 19.2 |
Të dhënat e mëposhtme janë të disponueshme nga vende të ndryshme për indeksin e çmimeve të ushqimeve me pakicë (x) dhe indeksin e prodhimit industrial (y).
| Indeksi i çmimeve të ushqimit me pakicë (x) | Indeksi i prodhimit industrial (y) | |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 |
| 2 | 105 | 79 |
| 3 | 108 | 85 |
| 4 | 113 | 84 |
| 5 | 118 | 85 |
| 6 | 118 | 85 |
| 7 | 110 | 96 |
| 8 | 115 | 99 |
| 9 | 119 | 100 |
| 10 | 118 | 98 |
| 11 | 120 | 99 |
| 12 | 124 | 102 |
| 13 | 129 | 105 |
| 14 | 132 | 112 |
Kërkohet:
1. Për të karakterizuar varësinë e y nga x, llogaritni parametrat e funksioneve të mëposhtme:
A) lineare;
B) qetësues;
B) një hiperbolë barabrinjës.
3. Vlerësoni rëndësinë statistikore të parametrave të regresionit dhe korrelacionit.
4. Bëni një parashikim të vlerës së indeksit të prodhimit industrial y me vlerën e parashikuar të indeksit të çmimit të ushqimit me pakicë x=138.
Zgjidhja:
1. Për të llogaritur parametrat e regresionit linear
Ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve normale për a dhe b:
Le të ndërtojmë një tabelë të të dhënave të llogaritura, siç tregohet në Tabelën 1.
Tabela 1 Të dhënat e vlerësuara për vlerësimin e regresionit linear
| Nr. | X | në | xy | x 2 | y 2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 7000 | 10000 | 4900 | 74,26340 | 0,060906 |
| 2 | 105 | 79 | 8295 | 11025 | 6241 | 79,92527 | 0,011712 |
| 3 | 108 | 85 | 9180 | 11664 | 7225 | 83,32238 | 0,019737 |
| 4 | 113 | 84 | 9492 | 12769 | 7056 | 88,98425 | 0,059336 |
| 5 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
| 6 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
| 7 | 110 | 96 | 10560 | 12100 | 9216 | 85,58713 | 0,108467 |
| 8 | 115 | 99 | 11385 | 13225 | 9801 | 91,24900 | 0,078293 |
| 9 | 119 | 100 | 11900 | 14161 | 10000 | 95,77849 | 0,042215 |
| 10 | 118 | 98 | 11564 | 13924 | 9604 | 94,64611 | 0,034223 |
| 11 | 120 | 99 | 11880 | 14400 | 9801 | 96,91086 | 0,021102 |
| 12 | 124 | 102 | 12648 | 15376 | 10404 | 101,4404 | 0,005487 |
| 13 | 129 | 105 | 13545 | 16641 | 11025 | 107,1022 | 0,020021 |
| 14 | 132 | 112 | 14784 | 17424 | 12544 | 110,4993 | 0,013399 |
| Total: | 1629 | 1299 | 152293 | 190557 | 122267 | 1299,001 | 0,701866 |
| Vlera mesatare: | 116,3571 | 92,78571 | 10878,07 | 13611,21 | 8733,357 | X | X |
| 8,4988 | 11,1431 | X | X | X | X | X | |
| 72,23 | 124,17 | X | X | X | X | X |
Vlera mesatare përcaktohet nga formula:
Ne llogarisim devijimin standard duke përdorur formulën:
dhe vendosni rezultatin në tabelën 1.
Duke vendosur në katror vlerën që rezulton, marrim variancën:
Parametrat e ekuacionit mund të përcaktohen gjithashtu duke përdorur formulat:
Pra, ekuacioni i regresionit është:
Prandaj, me një rritje të indeksit të çmimeve të ushqimeve me pakicë me 1, indeksi i prodhimit industrial rritet mesatarisht me 1.13.
Le të llogarisim koeficientin e korrelacionit të çiftit linear:
Lidhja është e drejtpërdrejtë dhe mjaft e ngushtë.
Le të përcaktojmë koeficientin e përcaktimit:
Variacioni në rezultat është 74.59% i shpjeguar nga ndryshimi në faktorin x.
Duke zëvendësuar vlerat aktuale të x në ekuacionin e regresionit, ne përcaktojmë vlerat teorike (të llogaritura).
prandaj parametrat e ekuacionit përcaktohen drejt.
Le të llogarisim gabimin mesatar të përafrimit - devijimin mesatar të vlerave të llogaritura nga ato aktuale:
Mesatarisht, vlerat e llogaritura devijojnë nga ato aktuale me 5.01%.
Ne do të vlerësojmë cilësinë e ekuacionit të regresionit duke përdorur testin F.
F-testi konsiston në testimin e hipotezës H 0 për papërfillshmërinë statistikore të ekuacionit të regresionit dhe treguesit të afërsisë së marrëdhënies. Për ta bërë këtë, bëhet një krahasim midis faktit aktual F dhe vlerave kritike (tabelore) të tabelës F të kriterit Fisher F.
Fakti F përcaktohet nga formula:
ku n është numri i njësive të popullsisë;
m është numri i parametrave për variablat x.
Vlerësimet e marra të ekuacionit të regresionit lejojnë që ai të përdoret për parashikim.
Nëse vlera e parashikuar e indeksit të çmimeve të ushqimit me pakicë është x = 138, atëherë vlera e parashikuar e indeksit të prodhimit industrial do të jetë:
2. Regresioni i fuqisë ka formën:
Për të përcaktuar parametrat, kryhet logaritmi i funksionit të fuqisë:
Për të përcaktuar parametrat e funksionit logaritmik, ndërtohet një sistem ekuacionesh normale duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël:
Le të ndërtojmë një tabelë të të dhënave të llogaritura, siç tregohet në Tabelën 2.
Tabela 2 Të dhënat e llogaritura për vlerësimin e regresionit të fuqisë
| Nr. | X | në | lg x | lg y | lg x*lg y | (log x) 2 | (log y) 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 2,000000 | 1,845098 | 3,690196 | 4,000000 | 3,404387 |
| 2 | 105 | 79 | 2,021189 | 1,897627 | 3,835464 | 4,085206 | 3,600989 |
| 3 | 108 | 85 | 2,033424 | 1,929419 | 3,923326 | 4,134812 | 3,722657 |
| 4 | 113 | 84 | 2,053078 | 1,924279 | 3,950696 | 4,215131 | 3,702851 |
| 5 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
| 6 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
| 7 | 110 | 96 | 2,041393 | 1,982271 | 4,046594 | 4,167284 | 3,929399 |
| 8 | 115 | 99 | 2,060698 | 1,995635 | 4,112401 | 4,246476 | 3,982560 |
| 9 | 119 | 100 | 2,075547 | 2,000000 | 4,151094 | 4,307895 | 4,000000 |
| 10 | 118 | 98 | 2,071882 | 1,991226 | 4,125585 | 4,292695 | 3,964981 |
| 11 | 120 | 99 | 2,079181 | 1,995635 | 4,149287 | 4,322995 | 3,982560 |
| 12 | 124 | 102 | 2,093422 | 2,008600 | 4,204847 | 4,382414 | 4,034475 |
| 13 | 129 | 105 | 2,110590 | 2,021189 | 4,265901 | 4,454589 | 4,085206 |
| 14 | 132 | 112 | 2,120574 | 2,049218 | 4,345518 | 4,496834 | 4,199295 |
| Total | 1629 | 1299 | 28,90474 | 27,49904 | 56,79597 | 59,69172 | 54,05467 |
| Vlera mesatare | 116,3571 | 92,78571 | 2,064624 | 1,964217 | 4,056855 | 4,263694 | 3,861048 |
| 8,4988 | 11,1431 | 0,031945 | 0,053853 | X | X | X | |
| 72,23 | 124,17 | 0,001021 | 0,0029 | X | X | X |
Vazhdimi i Tabelës 2 Të dhënat e llogaritura për vlerësimin e regresionit të fuqisë
| Nr. | X | në | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 74,16448 | 17,34292 | 0,059493 | 519,1886 |
| 2 | 105 | 79 | 79,62057 | 0,385112 | 0,007855 | 190,0458 |
| 3 | 108 | 85 | 82,95180 | 4,195133 | 0,024096 | 60,61728 |
| 4 | 113 | 84 | 88,59768 | 21,13866 | 0,054734 | 77,1887 |
| 5 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
| 6 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
| 7 | 110 | 96 | 85,19619 | 116,7223 | 0,11254 | 10,33166 |
| 8 | 115 | 99 | 90,88834 | 65,79901 | 0,081936 | 38,6174 |
| 9 | 119 | 100 | 95,52408 | 20,03384 | 0,044759 | 52,04598 |
| 10 | 118 | 98 | 94,35840 | 13,26127 | 0,037159 | 27,18882 |
| 11 | 120 | 99 | 96,69423 | 5,316563 | 0,023291 | 38,6174 |
| 12 | 124 | 102 | 101,4191 | 0,337467 | 0,005695 | 84,90314 |
| 13 | 129 | 105 | 107,4232 | 5,872099 | 0,023078 | 149,1889 |
| 14 | 132 | 112 | 111,0772 | 0,85163 | 0,00824 | 369,1889 |
| Total | 1629 | 1299 | 1296,632 | 446,4152 | 0,703074 | 1738,357 |
| Vlera mesatare | 116,3571 | 92,78571 | X | X | X | X |
| 8,4988 | 11,1431 | X | X | X | X | |
| 72,23 | 124,17 | X | X | X | X |
Duke zgjidhur një sistem ekuacionesh normale, ne përcaktojmë parametrat e funksionit logaritmik.
Ne marrim një ekuacion linear:
Pasi kemi kryer fuqizimin e tij, marrim:
Duke zëvendësuar vlerat aktuale të x në këtë ekuacion, marrim vlerat teorike të rezultatit. Në bazë të tyre, ne do të llogarisim treguesit: ngushtësia e lidhjes - indeksi i korrelacionit dhe gabimi mesatar i përafrimit.
Lidhja është mjaft e ngushtë.
Mesatarisht, vlerat e llogaritura devijojnë nga ato aktuale me 5.02%.
Kështu, H 0 - hipoteza për natyrën e rastësishme të karakteristikave të vlerësuara hidhet poshtë dhe njihet rëndësia dhe besueshmëria e tyre statistikore.
Vlerësimet e marra të ekuacionit të regresionit lejojnë që ai të përdoret për parashikim. Nëse vlera e parashikuar e indeksit të çmimeve të ushqimit me pakicë është x = 138, atëherë vlera e parashikuar e indeksit të prodhimit industrial do të jetë:
Për të përcaktuar parametrat e këtij ekuacioni, përdoret një sistem ekuacionesh normale:
Le të bëjmë një ndryshim të variablave
dhe marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve normale:
Duke zgjidhur një sistem ekuacionesh normale, ne përcaktojmë parametrat e hiperbolës.
Le të krijojmë një tabelë të të dhënave të llogaritura, siç tregohet në Tabelën 3.
Tabela 3 Të dhëna të llogaritura për vlerësimin e varësisë hiperbolike
| Nr. | X | në | z | yz | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 70 | 0,010000000 | 0,700000 | 0,0001000 | 4900 |
| 2 | 105 | 79 | 0,009523810 | 0,752381 | 0,0000907 | 6241 |
| 3 | 108 | 85 | 0,009259259 | 0,787037 | 0,0000857 | 7225 |
| 4 | 113 | 84 | 0,008849558 | 0,743363 | 0,0000783 | 7056 |
| 5 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
| 6 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
| 7 | 110 | 96 | 0,009090909 | 0,872727 | 0,0000826 | 9216 |
| 8 | 115 | 99 | 0,008695652 | 0,860870 | 0,0000756 | 9801 |
| 9 | 119 | 100 | 0,008403361 | 0,840336 | 0,0000706 | 10000 |
| 10 | 118 | 98 | 0,008474576 | 0,830508 | 0,0000718 | 9604 |
| 11 | 120 | 99 | 0,008333333 | 0,825000 | 0,0000694 | 9801 |
| 12 | 124 | 102 | 0,008064516 | 0,822581 | 0,0000650 | 10404 |
| 13 | 129 | 105 | 0,007751938 | 0,813953 | 0,0000601 | 11025 |
| 14 | 132 | 112 | 0,007575758 | 0,848485 | 0,0000574 | 12544 |
| Total: | 1629 | 1299 | 0,120971823 | 11,13792 | 0,0010510 | 122267 |
| Vlera mesatare: | 116,3571 | 92,78571 | 0,008640844 | 0,795566 | 0,0000751 | 8733,357 |
| 8,4988 | 11,1431 | 0,000640820 | X | X | X | |
| 72,23 | 124,17 | 0,000000411 | X | X | X |
Vazhdimi i Tabelës 3 Të dhënat e llogaritura për vlerësimin e varësisë hiperbolike
Le të shqyrtojmë një model të çiftëzuar të regresionit linear të marrëdhënies midis dy ndryshoreve, për të cilat funksioni i regresionit φ(x) lineare. Le të shënojmë me y x mesatare e kushtëzuar e karakteristikës Y në popullatë me një vlerë fikse x e ndryshueshme X. Atëherë ekuacioni i regresionit do të duket si ky:
y x = sëpatë + b, Ku a–koeficienti i regresionit(tregues i pjerrësisë së vijës së regresionit linear) . Koeficienti i regresionit tregon se sa njësi ndryshon mesatarisht ndryshorja Y kur ndryshoni një ndryshore X për një njësi. Duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, fitohen formula që mund të përdoren për të llogaritur parametrat e regresionit linear:
Tabela 1. Formulat për llogaritjen e parametrave të regresionit linear
|
Anëtar i lirë b |
Koeficienti i regresionit a |
Koeficienti i përcaktimit |
|
|
||
|
Testimi i hipotezës për rëndësinë e ekuacionit të regresionit |
||
|
N 0 : |
N 1 : |
|
|
, ,, Shtojca 7 (për regresionin linear p = 1) |
||
Drejtimi i marrëdhënies ndërmjet variablave përcaktohet në bazë të shenjës së koeficientit të regresionit. Nëse shenja e koeficientit të regresionit është pozitive, marrëdhënia ndërmjet ndryshores së varur dhe variablit të pavarur do të jetë pozitive. Nëse shenja e koeficientit të regresionit është negative, lidhja ndërmjet ndryshores së varur dhe variablit të pavarur është negative (inversi).
Për të analizuar cilësinë e përgjithshme të ekuacionit të regresionit, përdoret koeficienti i përcaktimit R 2 , i quajtur edhe katrori i koeficientit të korrelacionit të shumëfishtë. Koeficienti i përcaktimit (një masë sigurie) është gjithmonë brenda intervalit. Nëse vlera R 2 afër unitetit, kjo do të thotë se modeli i ndërtuar shpjegon pothuajse të gjithë ndryshueshmërinë në variablat përkatëse. Në të kundërt, kuptimi R 2 afër zeros do të thotë cilësi e dobët e modelit të ndërtuar.
Koeficienti i përcaktimit R 2 tregon se me çfarë përqindje funksioni i regresionit të gjetur përshkruan marrëdhënien midis vlerave origjinale Y Dhe X. Në Fig. Figura 3 tregon variacionin e shpjeguar nga modeli i regresionit dhe variacionin total. Prandaj, vlera tregon se sa për qind e ndryshimit të parametrit Y për shkak të faktorëve që nuk përfshihen në modelin e regresionit.
Me një vlerë të lartë të koeficientit të përcaktimit prej 75%), mund të bëhet një parashikim për një vlerë specifike brenda intervalit të të dhënave fillestare. Kur parashikohen vlera jashtë gamës së të dhënave fillestare, vlefshmëria e modelit që rezulton nuk mund të garantohet. Kjo shpjegohet me faktin se mund të shfaqet ndikimi i faktorëve të rinj që modeli nuk i merr parasysh.
Rëndësia e ekuacionit të regresionit vlerësohet duke përdorur kriterin Fisher (shih Tabelën 1). Me kusht që hipoteza zero të jetë e vërtetë, kriteri ka një shpërndarje Fisher me numrin e shkallëve të lirisë , (për regresionin linear të çiftuar p = 1). Nëse hipoteza zero hidhet poshtë, atëherë ekuacioni i regresionit konsiderohet statistikisht i rëndësishëm. Nëse hipoteza zero nuk hidhet poshtë, atëherë ekuacioni i regresionit konsiderohet statistikisht i parëndësishëm ose jo i besueshëm.
Shembulli 1. Në makineri analizohet struktura e kostove të produktit dhe pjesa e komponentëve të blerë. Është vërejtur se kostoja e komponentëve varet nga koha e dorëzimit të tyre. Distanca e përshkuar u zgjodh si faktori më i rëndësishëm që ndikon në kohën e dorëzimit. Kryeni analizën e regresionit të të dhënave të furnizimit:
|
Largësia, milje | ||||||||||
|
Koha, min |
Për të kryer analizën e regresionit:
ndërtoni një grafik të të dhënave fillestare, përcaktoni afërsisht natyrën e varësisë;
zgjidhni llojin e funksionit të regresionit dhe përcaktoni koeficientët numerikë të modelit duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël dhe drejtimin e marrëdhënies;
të vlerësojë fuqinë e varësisë së regresionit duke përdorur koeficientin e përcaktimit;
të vlerësojë rëndësinë e ekuacionit të regresionit;
bëni një parashikim (ose një përfundim për pamundësinë e parashikimit) duke përdorur modelin e miratuar për një distancë prej 2 miljesh.
2. Llogaritni shumat e nevojshme për llogaritjen e koeficientëve të ekuacionit të regresionit linear dhe të koeficientit të përcaktimitR 2 :
;
;
;
.
Varësia e kërkuar e regresionit ka formën: 
. Ne përcaktojmë drejtimin e marrëdhënies midis variablave: shenja e koeficientit të regresionit është pozitive, prandaj, marrëdhënia është gjithashtu pozitive, gjë që konfirmon supozimin grafik.
3. Le të llogarisim koeficientin e përcaktimit: 
ose 92%. Kështu, modeli linear shpjegon 92% të ndryshimit në kohën e dorëzimit, që do të thotë se faktori (distanca) është zgjedhur saktë. 8% e variacionit kohor nuk shpjegohet, gjë që është për shkak të faktorëve të tjerë që ndikojnë në kohën e dorëzimit, por që nuk përfshihen në modelin e regresionit linear.
4. Le të kontrollojmë rëndësinë e ekuacionit të regresionit:
Sepse– ekuacioni i regresionit (modeli linear) është statistikisht i rëndësishëm.
5. Le të zgjidhim problemin e parashikimit. Që nga koeficienti i përcaktimitR 2 ka një vlerë mjaft të lartë dhe distanca prej 2 miljesh për të cilën do të bëhet parashikimi është brenda intervalit të të dhënave hyrëse, atëherë parashikimi mund të bëhet:
Analiza e regresionit mund të kryhet me lehtësi duke përdorur aftësitë Excel. Mënyra e funksionimit "Regresioni" përdoret për të llogaritur parametrat e ekuacionit të regresionit linear dhe për të kontrolluar përshtatshmërinë e tij për procesin në studim. Në kutinë e dialogut, plotësoni parametrat e mëposhtëm:
Shembulli 2. Plotësoni detyrën e shembullit 1 duke përdorur modalitetin "Regresion".Excel.
|
PËRFUNDIMI I REZULTATEVE | |||||
|
Statistikat e regresionit |
|||||
|
Shumësi R | |||||
|
R-katror | |||||
|
R-katrore e normalizuar | |||||
|
Gabim standard | |||||
|
Vëzhgimet | |||||
|
Shanset |
Gabim standard |
t-statistika |
P-Vlera |
||
|
Kryqëzimi Y | |||||
|
Variabli X 1 | |||||
Le të shohim rezultatet e analizës së regresionit të paraqitur në tabelë.
MadhësiaR-katror , i quajtur edhe masa e sigurisë, karakterizon cilësinë e vijës së regresionit që rezulton. Kjo cilësi shprehet me shkallën e korrespondencës ndërmjet të dhënave burimore dhe modelit të regresionit (të dhënat e llogaritura). Në shembullin tonë, masa e sigurisë është 0.91829, e cila tregon një përshtatje shumë të mirë të linjës së regresionit me të dhënat origjinale dhe përkon me koeficientin e përcaktimitR 2 , llogaritur me formulë.
Shumësi R - koeficienti i korrelacionit të shumëfishtë R - shpreh shkallën e varësisë së variablave të pavarur (X) dhe ndryshores së varur (Y) dhe është i barabartë me rrënjën katrore të koeficientit të përcaktimit. Në analizën e thjeshtë të regresionit linearkoeficienti i shumëfishtë Re barabartë me koeficientin linear të korrelacionit (r = 0,958).
Koeficientët e modelit linear:Y -kryqëzimi printon vlerën e termit dummyb, Avariabli X1 – koeficienti i regresionit a. Atëherë ekuacioni i regresionit linear është:
y = 2,6597x+ 5,9135 (që përputhet mirë me rezultatet e llogaritjes në shembullin 1).
Më pas, le të kontrollojmë rëndësinë e koeficientëve të regresionit:aDheb. Krahasimi i vlerave të kolonës në çifte Shanset Dhe Gabim standard Në tabelë shohim se vlerat absolute të koeficientëve janë më të mëdha se gabimet standarde të tyre. Për më tepër, këta koeficientë janë të rëndësishëm, siç mund të gjykohet nga vlerat e treguesit të vlerës P, të cilat janë më pak se niveli i rëndësisë së specifikuar α = 0.05.
|
Vrojtim |
Parashikoi Y |
Të mbetura |
Bilancet standarde |
|
Tabela tregon rezultatet e daljesmbetjet. Duke përdorur këtë pjesë të raportit, ne mund të shohim devijimet e secilës pikë nga vija e ndërtuar e regresionit. Vlera më e madhe absolutembetjenë këtë rast - 1,89256, më e vogla - 0,05399. Për të interpretuar më mirë këto të dhëna, vizatoni të dhënat origjinale dhe vijën e regresionit të ndërtuar. Siç shihet nga konstruksioni, linja e regresionit është "përshtatur" mirë me vlerat e të dhënave fillestare dhe devijimet janë të rastësishme.
Një lloj tjetër i regresionit me një faktor është përafrimi nga polinomet e fuqisë së formës:
Është e natyrshme të dëshirojmë të marrim varësinë më të thjeshtë të mundshme, duke u kufizuar në polinomet e fuqisë së shkallës së dytë, d.m.th. varësia parabolike: 
(5.5.2)
Le të llogarisim derivatet e pjesshme në lidhje me koeficientët b 0 , b 1 Dhe b 2 :
(5.5.3)
Duke barazuar derivatet me zero, marrim një sistem normal ekuacionesh:
(5.5.4)
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve normale (5.5.2) për një rast të caktuar vlerash x i *
,
y i *
;
marrim
vlerat optimale b 0
,
b 1
Dhe b 2
.
Për përafrimin sipas varësisë (5.5.2) dhe aq më tepër (5.5.1), formula të thjeshta për llogaritjen e koeficientëve nuk janë marrë dhe, si rregull, ato llogariten duke përdorur procedura standarde në formën e matricës:
(5.5.5)
Figura 5.5.1 tregon një shembull tipik të përafrimit nga një varësi parabolike: 
9 (5;9)
(1;1)
1
1 2 3 4 5 x
Fig.5.5.1. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta
varësia e tyre parabolike
Shembulli 5.1. Përafroni rezultatet eksperimentale të dhëna në tabelën 5.1.1 me një ekuacion të regresionit linear 
.
Tabela 5.1.1
|
|
|
Le të ndërtojmë pika eksperimentale sipas koordinatave të treguara në tabelën 5.1.1 në grafikun e paraqitur në figurën 5.1.1.
në
9
4
1 2 3 4 5 x
Sipas figurës 5.1.1, në të cilën do të vizatojmë një vijë të drejtë për një vlerësim paraprak, do të konkludojmë se ekziston një jolinearitet i shprehur qartë në vendndodhjen e pikave eksperimentale, por nuk është shumë domethënës dhe për këtë arsye ka kuptim. për t'i përafruar ato me një varësi lineare. Vini re se për të marrë një përfundim të saktë matematikor, është e nevojshme të ndërtohet një vijë e drejtë duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël.
Para se të kryeni analizën e regresionit, këshillohet të llogaritni
koeficienti linear i korrelacionit ndërmjet variablave X Dhe në:
Rëndësia e marrëdhënies së korrelacionit përcaktohet nga vlera kritike e koeficientit të korrelacionit linear, e llogaritur duke përdorur formulën:
Vlera kritike e testit të Studentit t Kreta gjetur sipas tabelave statistikore për nivelin e rekomanduar të rëndësisë α=0,05 dhe për n-2 shkallët e lirisë. Nëse vlera e llogaritur r xy jo më pak se vlera kritike r Kreta, pastaj korrelacioni ndërmjet variablave x Dhe y konsiderohet thelbësore. Le të bëjmë llogaritjet:
Për faktin se 
arrijmë në përfundimin se korrelacioni ndërmjet variablave X Dhe nëështë domethënëse dhe mund të jetë lineare.
Le të llogarisim koeficientët e ekuacionit të regresionit:
Kështu, kemi marrë një ekuacion të regresionit linear:
Duke përdorur ekuacionin e regresionit, ne vizatojmë një vijë të drejtë në Fig. 5.1.2.
y (5;9.8)
9
4
(0;-0.2) 1 2 3 4 5 x
Fig.5.1.2. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta
varësia e tyre lineare 
Duke përdorur ekuacionin e regresionit, ne llogarisim vlerat e funksionit bazuar në pikat eksperimentale të tabelës 5.1.1 dhe diferencën midis vlerave eksperimentale dhe të llogaritura të funksionit, të cilat i paraqesim në tabelën 5.1.2.
Tabela 5.1.2
|
|
|
|
|
|
Le të llogarisim gabimin mesatar katror dhe raportin e tij me vlerën mesatare:
Për sa i përket raportit të gabimit standard me vlerën mesatare, është arritur një rezultat jo i kënaqshëm, pasi është tejkaluar vlera e rekomanduar prej 0.05.
Le të vlerësojmë nivelin e rëndësisë së koeficientëve të ekuacionit të regresionit duke përdorur T-testin Student:
Nga tabela statistikore për 
3 shkallë lirie, le të shkruajmë rreshtat me nivelin e rëndësisë - 
dhe vlera e kriterit të Studentit –
t në tabelën 5.1.3. 
Tabela 5.1.3
|
| ||||||
|
|
Niveli i rëndësisë së koeficientëve të ekuacionit të regresionit:
Vini re se sipas nivelit të rëndësisë për koeficientin 
është marrë një rezultat i kënaqshëm dhe për koeficientin 
e pakënaqshme.
Le të vlerësojmë cilësinë e ekuacionit të regresionit që rezulton duke përdorur tregues të llogaritur në bazë të analizës së variancës:
Ekzaminimi:
Rezultati i kontrollit është pozitiv, gjë që tregon korrektësinë e llogaritjeve të kryera.
Le të llogarisim kriterin Fisher:
me dy shkallë lirie: 
Duke përdorur tabelat statistikore, gjejmë vlerat kritike të kriterit Fisher për dy shkallëzime të rekomanduara të nivelit të rëndësisë:
Meqenëse vlera e llogaritur e testit Fisher tejkalon vlerën kritike për nivelin e rëndësisë prej 0.01, do të supozojmë se niveli i rëndësisë sipas testit Fisher është më i vogël se 0.01, i cili do të konsiderohet i kënaqshëm.
Le të llogarisim koeficientin e përcaktimit të shumëfishtë:
për dy shkallë lirie
Duke përdorur tabelën statistikore për nivelin e rekomanduar të rëndësisë prej 0.05 dhe dy shkallë lirie të gjetura, gjejmë vlerën kritike të koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë: 
Meqenëse vlera e llogaritur e koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë tejkalon vlerën kritike për nivelin e rëndësisë 
, pastaj niveli i rëndësisë sipas koeficientit të përcaktimit të shumëfishtë 
dhe rezultati i marrë për treguesin e paraqitur do të konsiderohet i kënaqshëm.
Kështu, parametrat e përllogaritur të përftuar për sa i përket raportit të gabimit standard me vlerën mesatare dhe nivelit të rëndësisë sipas testit të Studentit janë të pakënaqshëm, prandaj këshillohet të zgjidhet një varësi tjetër e përafërt për përafrim.
Shembulli 5.2. Përafrimi i shpërndarjes eksperimentale të numrave të rastit nga një varësi matematikore 
Shpërndarja eksperimentale e numrave të rastësishëm të dhëna në tabelën 5.1.1, kur përafrohet nga një varësi lineare, nuk çoi në një rezultat të kënaqshëm, përfshirë. për shkak të parëndësisë së koeficientit të ekuacionit të regresionit me një term të lirë, prandaj, për të përmirësuar cilësinë e përafrimit, ne do të përpiqemi ta kryejmë atë duke përdorur një varësi lineare pa një term të lirë:
Le të llogarisim vlerën e koeficientit të ekuacionit të regresionit:
Kështu, kemi marrë ekuacionin e regresionit: 
Duke përdorur ekuacionin e regresionit që rezulton, ne llogarisim vlerat e funksionit dhe diferencën midis vlerave eksperimentale dhe të llogaritura të funksionit, të cilat i paraqesim në formën e tabelës 5.2.1.
Tabela 5.2.1
|
x i |
|
|
|
|
Sipas ekuacionit të regresionit 
në figurën 5.2.1 do të vizatojmë një vijë të drejtë.
y (5; 9.73
)
(0;0) 1 2 3 4 5 x
Fig.5.2.1. Koordinatat e pikave eksperimentale dhe të përafërta
varësia e tyre lineare 
Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet e treguesve të cilësisë të ngjashme me llogaritjet e dhëna në shembullin 5.1.
(mbetet i vjetër);
me 4 shkallë lirie;
Për 
Bazuar në rezultatet e përafrimit, vërejmë se për sa i përket nivelit të rëndësisë së koeficientit të ekuacionit të regresionit, është marrë një rezultat i kënaqshëm; Raporti i gabimit standard me mesataren është përmirësuar, por është ende mbi vlerën e rekomanduar prej 0.05, prandaj rekomandohet të përsëritet përafrimi me një marrëdhënie matematikore më komplekse.
Shembulli 5.3. Për të përmirësuar cilësinë e përafrimit të shembujve 5.1 dhe 5.2, ne do të kryejmë një përafrim jolinear nga varësia 
. Për ta bërë këtë, fillimisht do të bëjmë llogaritjet e ndërmjetme dhe do t'i vendosim rezultatet e tyre në tabelën 5.3.1.
vlerat
Tabela 5.3.1|
X 2 | ||||||
|
(lnX) 2 | ||||||
|
lnX lnY |
Le të llogarisim shtesë: 
Le të përafrojmë varësinë 
. Duke përdorur formulat (5.3.7), (5.3.8) llogarisim koeficientët b 0
Dhe b 1
:
Duke përdorur formulat (5.3.11) llogarisim koeficientët A 0 Dhe A 1 :
Për llogaritjen e gabimit standard, janë kryer llogaritjet e ndërmjetme, të paraqitura në tabelën 5.3.2.
Tabela 5.3.2
|
Y i |
y i |
|
|
Shuma: 7.5968
Gabimi standard i përafrimit doli të ishte shumë më i madh se në dy shembujt e mëparshëm, kështu që ne i konsiderojmë rezultatet e përafrimit të papërdorshme.
Shembulli 5.4. Le të përpiqemi të përafrojmë me një varësi tjetër jolineare 
. Duke përdorur formulat (5.3.9), (5.3.10) sipas tabelës 5.3.1, ne llogarisim koeficientët b 0
Dhe b 1
:
Ne kemi një varësi të ndërmjetme:
Duke përdorur formulat (5.3.13) llogarisim koeficientët C 0 Dhe C 1 :
Ne morëm varësinë përfundimtare:
Për të llogaritur gabimin standard, ne do të kryejmë llogaritjet e ndërmjetme dhe do t'i vendosim në tabelën 5.4.1.
Tabela 5.4.1
|
Y i |
y i |
|
|
Shuma: 21.83152
Le të llogarisim gabimin standard:
Gabimi standard i përafrimit doli të ishte shumë më i madh se në shembullin e mëparshëm, kështu që ne i konsiderojmë rezultatet e përafrimit të papërdorshme.
Shembulli 5.5. Përafrimi i shpërndarjes eksperimentale të numrave të rastit nga një varësi matematikore y = b · lnx
Të dhënat fillestare, si në shembujt e mëparshëm, janë paraqitur në Tabelën 5.4.1 dhe Fig. 5.4.1.
Tabela 5.4.1
|
|
|
Bazuar në analizën e Fig. 5.4.1 dhe tabelës 5.4.1, vërejmë se me vlera më të vogla të argumentit (në fillim të tabelës) funksioni ndryshon më shumë sesa me vlera më të mëdha (në fund të tabela), prandaj duket e këshillueshme që të ndryshohet shkalla e argumentit dhe të futet një funksion logaritmik në ekuacionin e regresionit prej tij dhe të përafrohet me varësinë matematikore të mëposhtme:
. Duke përdorur formulën (5.4.3) llogarisim koeficientin b:
Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet e ndërmjetme të paraqitura në tabelën 5.4.2, nga të cilat do të llogarisim madhësinë e gabimit dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare.
Tabela 5.4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Meqenëse raporti i gabimit standard me vlerën mesatare tejkalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, rezultati do të konsiderohet i pakënaqshëm. Në veçanti, vërejmë se devijimi më i madh jepet nga vlera x=1, pasi me këtë vlerë lnx=0. Prandaj, ne do të përafrojmë varësinë y = b 0 +b 1 lnx
Llogaritjet ndihmëse i paraqesim në formën e tabelës 5.4.3.
Tabela 5.4.3
|
|
|
|
|
|
|
Duke përdorur formulat (5.4.6) dhe (5.4.7) llogarisim koeficientët b 0 dhe b 1 :
9 (5;9.12)
4
1 (1;0.93)
1 2 3 4 5 x
Për të vlerësuar cilësinë e përafrimit, ne do të kryejmë llogaritjet ndihmëse dhe do të përcaktojmë nivelin e rëndësisë së koeficientëve të gjetur dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare.
Niveli i rëndësisë 
pak mbi vlerën e rekomanduar prej 0.05 ( 
).
Për shkak të faktit se sipas treguesit kryesor - raporti i gabimit standard me vlerën mesatare - u mor një tepricë pothuajse e dyfishtë e nivelit të rekomanduar prej 0.05, ne do t'i konsiderojmë rezultatet të pranueshme. Vini re se vlera e llogaritur e testit të Studentit t b 0
=2,922
të ndryshme nga kritike 
me një sasi relativisht të vogël.
Shembulli 5.6. Le të përafrojmë të dhënat eksperimentale të Shembullit 5.1 me varësinë hiperbolike 
. Për të llogaritur koeficientët b 0 dhe b 1
Le të bëjmë llogaritjet paraprake të dhëna në tabelën 5.6.1.
Tabela 5.6.1
|
X i |
x i =1/X i |
|
x i 2 |
x i y i |
|
Bazuar në rezultatet e Tabelës 5.6.1 duke përdorur formulat (5.4.8) dhe (5.4.9), ne llogarisim koeficientët b 0 dhe b 1 :
Kështu, fitohet një ekuacion i regresionit hiperbolik
.
Rezultatet e llogaritjeve ndihmëse për vlerësimin e cilësisë së përafrimit janë dhënë në tabelën 5.6.2.
Tabela 5.6.2
|
X i |
|
|
|
|
Bazuar në rezultatet e tabelës 5.6.2, ne llogarisim gabimin standard dhe raportin e gabimit standard me vlerën mesatare:
Për shkak të faktit se raporti i gabimit standard me vlerën mesatare e kalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, konkludojmë se rezultatet e përafrimit janë të papërshtatshme.
Shembulli 5.7.
Për të llogaritur vlerat specifike të të ardhurave nga funksionimi i vinçave me fije në varësi të kohës së punës së mirëmbajtjes, është e nevojshme të merret një varësi parabolike.
Le të llogarisim koeficientët e kësaj varësie b 0 , b 1 , b 11 në formë matrice sipas formulës:
Ekuacionet jolineare të regresionit që lidhin treguesin efektiv me vlerat optimale për kryerjen e mirëmbajtjes parandaluese të vinçave të kullës janë marrë duke përdorur procedurën e regresionit të shumëfishtë të paketës së aplikimit Statistica 6.0. Në vijim, paraqesim rezultatet e analizës së regresionit për treguesin efektiv të performancës sipas tabelës 5.7.1.
Tabela 5.7.1
|
|
|
|
|
Tabela 5.7.2 tregon rezultatet e regresionit jolinear për treguesin efektiv të performancës dhe Tabela 5.7.3 tregon rezultatet e analizës së mbetjeve.
Tabela 5.7.2
Tabela 5.7.3
Oriz. 3.7.36. Analiza e mbetjeve.
Kështu, kemi marrë një ekuacion të regresionit të shumëfishtë për variablin 
:
Raporti i gabimit standard me kuptimin:
14780/1017890=0,0145 < 0,05.
Meqenëse raporti i gabimit standard me vlerën mesatare nuk e kalon vlerën e rekomanduar prej 0.05, rezultatet e përafrimit mund të konsiderohen të pranueshme. Si pengesë sipas tabelës 5.7.2, duhet theksuar se të gjithë koeficientët e llogaritur tejkalojnë nivelin e rekomanduar të rëndësisë prej 0.05.
Artikuj të ngjashëm
