1. Linjat e rendit të dytë në rrafshin Euklidian.

2. Invariantet e ekuacioneve të vijës së rendit të dytë.

3. Përcaktimi i llojit të vijave të rendit të dytë nga invariantet e ekuacionit të tij.

4. Linjat e rendit të dytë në planin afin. Teorema e unike.

5. Qendrat e linjave të rendit të dytë.

6. Asimptotat dhe diametrat e vijave të rendit të dytë.

7. Reduktimi i ekuacioneve të drejtëzave të rendit të dytë në më të thjeshtat.

8. Drejtimet kryesore dhe diametrat e linjave të rendit të dytë.

BIBLIOGRAFI

1. Vijat e rendit të dytë në rrafshin Euklidian.

Përkufizimi:

rrafshi Euklidianështë një hapësirë e dimensionit 2,

(hapësirë reale dydimensionale).

Vijat e rendit të dytë janë vijat e kryqëzimit të një koni rrethor me rrafshet që nuk kalojnë nëpër kulmin e tij.

Këto rreshta gjenden shpesh në pyetje të ndryshme të shkencës natyrore. Për shembull, lëvizja e një pike materiale nën ndikimin e fushës qendrore të gravitetit ndodh përgjatë njërës prej këtyre linjave.

Nëse rrafshi i prerjes kryqëzon të gjitha gjeneratat drejtvizore të një kaviteti të konit, atëherë seksioni do të prodhojë një vijë të quajtur elips(Fig. 1.1, a). Nëse rrafshi i prerjes kryqëzon gjeneratat e të dy zgavrave të konit, atëherë seksioni do të prodhojë një vijë të quajtur hiperbolë(Fig. 1.1,6). Dhe së fundi, nëse rrafshi i prerjes është paralel me një nga gjeneratat e konit (në 1.1, V- ky është gjeneratori AB), atëherë seksioni do të prodhojë një linjë të quajtur parabolë. Oriz. 1.1 jep një paraqitje vizuale të formës së vijave në fjalë.

Figura 1.1

Ekuacioni i përgjithshëm i një linje të rendit të dytë është si më poshtë:

(1)

(1*)

Elipsa është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat shuma e distancave në dypika fikseF 1 DheF 2 ky plan, i quajtur vatra, është një vlerë konstante.

Në këtë rast, rastësia e vatrave të elipsit nuk përjashtohet. Natyrisht nëse vatrat përkojnë, atëherë elipsa është një rreth.

Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të elipsës, ne zgjedhim origjinën O të sistemit koordinativ kartezian në mes të segmentit F 1 F 2 , dhe sëpatat Oh Dhe OU Le ta drejtojmë siç tregohet në Fig. 1.2 (nëse truket F 1 Dhe F 2 përkon, atëherë O përkon me F 1 Dhe F 2, dhe për boshtin Oh ju mund të merrni çdo aks që kalon RRETH).

Lëreni gjatësinë e segmentit F 1 F 2 F 1 Dhe F 2 përkatësisht kanë koordinatat (-с, 0) dhe (с, 0). Le të shënojmë me 2a konstanta e përmendur në përkufizimin e një elipsi. Natyrisht, 2a > 2c, d.m.th. a > c ( Nëse M- pika e elipsës (shih Fig. 1.2), pastaj | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a, dhe meqenëse shuma e dy anëve M.F. 1 Dhe M.F. 2 trekëndëshi M.F. 1 F 2 më shumë palë e tretë F 1 F 2 = 2c, pastaj 2a > 2c. Është e natyrshme të përjashtohet rasti 2a = 2c, që atëherë pika M të vendosura në segment F 1 F 2 dhe elipsa degjeneron në një segment. ).

Le M (x, y)(Fig. 1.2). Le të shënojmë me r 1 dhe r 2 distancat nga pika M tek pikat F 1 Dhe F 2 përkatësisht. Sipas përkufizimit të një elipsi barazisë

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e pikës M (x, y) në një elipsë të dhënë.

Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, marrim

(1.2)

Nga (1.1) dhe (1.2) rrjedh se raport

(1.3)

paraqet kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për vendndodhjen e një pike M me koordinata x dhe y në një elips të dhënë. Prandaj, relacioni (1.3) mund të konsiderohet si ekuacioni i elipsit. Duke përdorur metodën standarde të "shkatërrimit të radikalëve", ky ekuacion reduktohet në formë

(1.4) (1.5)

Meqenëse ekuacioni (1.4) është përfundim algjebrike ekuacioni i elipsit (1.3), pastaj koordinatat x dhe yçdo pikë M elipsi do të plotësojë gjithashtu ekuacionin (1.4). Meqenëse gjatë transformimeve algjebrike që lidhen me heqjen e radikalëve, mund të shfaqen "rrënjë shtesë", duhet të sigurohemi që çdo pikë M, koordinatat e të cilit plotësojnë ekuacionin (1.4), ndodhet në këtë elips. Për ta bërë këtë, padyshim, mjafton të vërtetohet se vlerat e r 1 dhe r 2 për çdo pikë plotësoni relacionin (1.1). Pra, lërini koordinatat X Dhe në pikë M plotësojnë ekuacionin (1.4). Zëvendësimi i vlerës në 2 nga (1.4) në anën e djathtë të shprehjes (1.2) për r 1, pas transformimeve të thjeshta gjejmë se në mënyrë të ngjashme gjejmë se (1.6)

dmth. r 1 + r 2 = 2a, prandaj pika M ndodhet në një elips. Quhet ekuacioni (1.4). ekuacioni kanonik i një elipsi. Sasitë A Dhe b thirren në përputhje me rrethanat gjysmëboshtet kryesore dhe të vogla të elipsës(Emrat "i madh" dhe "i vogël" shpjegohen me faktin se a>b).

Koment. Nëse gjysmëboshtet e elipsës A Dhe b janë të barabarta, atëherë elipsa është një rreth, rrezja e të cilit është e barabartë me R = a = b, dhe qendra përkon me origjinën.

Hiperbola është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është vlera absolute e diferencës në largësi në dy pika fikseF 1 DheF 2 i këtij plani, i quajtur vatra, ka një vlerë konstante ( Truket F 1 Dhe F 2 është e natyrshme të konsiderohen hiperbolat të ndryshme, sepse nëse konstanta e treguar në përkufizimin e një hiperbole nuk është e barabartë me zero, atëherë nuk ka asnjë pikë të vetme të planit nëse ato përkojnë. F 1 Dhe F 2 , e cila do të plotësonte kërkesat për përcaktimin e një hiperbole. Nëse kjo konstante është zero dhe F 1 përkon me F 2 , atëherë çdo pikë në rrafsh i plotëson kërkesat për përcaktimin e hiperbolës. ).

Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të një hiperbole, ne zgjedhim origjinën e koordinatave në mes të segmentit F 1 F 2 , dhe sëpatat Oh Dhe OU Le ta drejtojmë siç tregohet në Fig. 1.2. Lëreni gjatësinë e segmentit F 1 F 2 e barabartë me 2s. Pastaj në sistemin e zgjedhur të koordinatave pikat F 1 Dhe F 2 përkatësisht të kenë koordinatat (-с, 0) dhe (с, 0) Le të shënojmë me 2 A konstanta e përmendur në përkufizimin e një hiperbole. Natyrisht 2a< 2с, т. е. a< с.

Le M- pika e rrafshit me koordinata (x, y)(Fig. 1,2). Le të shënojmë me r 1 dhe r 2 distancat M.F. 1 Dhe M.F. 2 . Sipas përkufizimit të hiperbolës barazisë

(1.7)

është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e pikës M në një hiperbolë të caktuar.

Duke përdorur shprehjet (1.2) për r 1 dhe r 2 dhe relacionin (1.7), marrim sa vijon kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e një pike M me koordinata x dhe y në një hiperbolë të caktuar:

. (1.8)

Duke përdorur metodën standarde të "shkatërrimit të radikalëve", ne reduktojmë ekuacionin (1.8) në formën

(1.9) (1.10)

Duhet të sigurohemi që ekuacioni (1.9), i marrë nga shndërrimet algjebrike të ekuacionit (1.8), të mos ketë marrë rrënjë të reja. Për ta bërë këtë, mjafton të vërtetohet se për çdo pikë M, koordinatat X Dhe në të cilat plotësojnë ekuacionin (1.9), vlerat e r 1 dhe r 2 kënaqin relacionin (1.7). Duke kryer argumente të ngjashme me ato që janë bërë gjatë nxjerrjes së formulave (1.6), gjejmë shprehjet e mëposhtme për sasitë me interes për ne r 1 dhe r 2:

(1.11)

Kështu, për pikën në fjalë M ne kemi

, dhe për këtë arsye ndodhet në një hiperbolë.

Ekuacioni (1.9) quhet ekuacioni kanonik i një hiperbole. Sasitë A Dhe b quhen përkatësisht reale dhe imagjinare gjysmëboshtet e hiperbolës.

Parabola është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është distanca deri në një pikë fikseFky plan është i barabartë me distancën nga një vijë e drejtë fikse, e vendosur gjithashtu në rrafshin në shqyrtim.

Shkarkoni nga Depositfiles

Leksioni nr 9. Tema 3: Linjat e rendit të dytë

Le të jepet një vijë e përcaktuar nga një ekuacion i shkallës së dytë në disa DSC

ku janë koeficientët
nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Kjo linjë quhet kurbë ose linjë e rendit të dytë.

Mund të ndodhë që të mos ketë pikë
me koordinata reale që kënaqin ekuacionin (1). Në këtë rast, besohet se ekuacioni (1) përcakton një vijë imagjinare të rendit të dytë. Për shembull,
 Ky është ekuacioni i një rrethi imagjinar.

Le të shqyrtojmë tre raste të veçanta të rëndësishme të ekuacionit (1).

3.1. Elipsa

Elipsa përcaktohet nga ekuacioni

(2)

Shanset A Dhe b quhen përkatësisht boshtet gjysmë të mëdha dhe gjysmë të vogla, dhe ekuacioni (2) është kanonike ekuacioni i elipsës.

Le të vendosim
dhe shënoni në bosht RRETH Xpikë

thirrur truket elips. Atëherë elipsa mund të përkufizohet si

vendndodhja e pikave, shuma e distancave nga e cila deri te vatra është një vlerë konstante e barabartë me 2A.

në

M K

— AF 1 O F 2 a x

— b

Le ta tregojmë. Lëreni pikën
 pika aktuale e elipsës. Në këtë rast marrim Atëherë barazia duhet të mbahet

Le të paraqesim shprehjen (3) në formë

dhe katrore të dyja anët e shprehjes

Nga këtu marrim

Edhe një herë, le ta vendosim në katror këtë shprehje dhe të përdorim relacionin
, Pastaj

(4)

Pjesëtimi i të dy anëve të shprehjes (4) me
, përfundimisht marrim ekuacionin kanonik të elipsës

Le të shqyrtojmë ekuacionin (2). Nëse e zëvendësojmë në ekuacion, atëherë ekuacioni (2) nuk do të ndryshojë. Kjo do të thotë që elipsa është simetrike në lidhje me boshtet e koordinatave. Prandaj, le të shqyrtojmë në detaje pjesën e elipsës që ndodhet në tremujorin e parë. Përcaktohet nga ekuacioni
Është e qartë se elipsa kalon nëpër pika
. Pas përfundimit të ndërtimit skematik në tremujorin e parë, ne do të shfaqim në mënyrë simetrike grafikun e tij në të gjithë tremujorët. Kështu, elipsa është një kurbë e mbyllur e vazhdueshme. Pikat quhen kulmet e elipsës.

Qëndrimi
thirrurekscentricitetelips. Për elips
.

Direkt
quhen drejtimet e elipsës.

Vetia e mëposhtme e direktrikave është e vërtetë::

Raporti i distancave nga fokusi dhe drejtimi për pikat e elipsës është një vlerë konstante e barabartë me ekscentricitetin, d.m.th.

Vërtetohet në të njëjtën mënyrë si barazia (3).

Shënim 1. Rretho
është një rast i veçantë i një elipsi. Për të

3.2. Hiperbola

Ekuacioni kanonik i hiperbolës ka formën

ato. në ekuacionin (1) duhet të vendosim

Shanset A Dhe b quhen përkatësisht gjysmëboshtet reale dhe imagjinare.

Duke vënë
, shënoni në bosht RRETH Xpikë
thirrur truket hiperbolë. Atëherë një hiperbolë mund të përkufizohet si

vendndodhja e pikave, diferenca në distancat nga e cila në vatrat në vlerë absolute është 2A, d.m.th.

në

TE M

F 1 —A RRETH AF 2 X

Prova është e ngjashme me atë për elipsin. Në bazë të formës së ekuacionit të hiperbolës, arrijmë gjithashtu në përfundimin se grafiku i saj është simetrik në lidhje me boshtet e sistemit të koordinatave. Pjesa e hiperbolës që shtrihet në tremujorin e parë ka ekuacionin
Nga ky ekuacion është e qartë se për mjaftueshëm të mëdhaXhiperbola është afër vijës së drejtë
. Pas ndërtimit skematik në tremujorin e parë, ne e shfaqim grafikun në mënyrë simetrike në të gjithë tremujorët.

Pikat
quhen majat hiperbolë. Direkt
quhen asimptota - këto janë drejtëzat drejt të cilave priren degët e hiperbolës pa i ndërprerë ato.

Marrëdhënia quhetekscentricitethiperbolë. Për hiperbolën
.

Linjat e drejtpërdrejta quhen drejtoresha hiperbolë. Për direktriksat e një hiperbole, vlen një veti e ngjashme me atë të direktriksave të një elipse.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një elipse, kulmet e së cilës janë në vatrat, dhe vatrat janë në kulmet e hiperbolës
.

Sipas kushteve
A

Më në fund arrijmë

10.3. Parabola

Parabola përcaktohet nga ekuacioni kanonik
ato. në ekuacionin (1) duhet të vendosim

TE KoeficientR thirrur TEnë

parametri fokal. M

Le të shënojmë në boshtin O Xpikë

quajtur fokus

- elips;

- parabolë;

- hiperbolë.

Kurbat e rendit të dytë në një rrafsh janë vija të përcaktuara nga ekuacionet në të cilat variabla koordinon x Dhe y përfshihen në shkallën e dytë. Këto përfshijnë elipsin, hiperbolën dhe parabolën.

Forma e përgjithshme e ekuacionit të kurbës së rendit të dytë është si më poshtë:

Ku A, B, C, D, E, F- numrat dhe të paktën një nga koeficientët A, B, C jo e barabartë me zero.

Gjatë zgjidhjes së problemeve me kthesa të rendit të dytë, më së shpeshti merren parasysh ekuacionet kanonike të elipsës, hiperbolës dhe parabolës. Është e lehtë të kalosh tek ata nga ekuacionet e përgjithshme; shembulli 1 i problemeve me elipsat do t'i kushtohet kësaj.

Elipsa e dhënë nga ekuacioni kanonik

Përkufizimi i një elipsi. Një elipsë është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit për të cilat shuma e distancave në pikat e quajtura vatra është një vlerë konstante më e madhe se distanca midis vatërve.

Fokuset tregohen si në figurën më poshtë.

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën:

Ku a Dhe b (a > b) - gjatësitë e gjysmëboshteve, d.m.th., gjysma e gjatësisë së segmenteve të prera nga elipsi në boshtet koordinative.

Vija e drejtë që kalon nëpër vatrat e elipsës është boshti i saj i simetrisë. Një bosht tjetër i simetrisë së një elipsi është një vijë e drejtë që kalon nga mesi i një segmenti pingul me këtë segment. Pika RRETH kryqëzimi i këtyre vijave shërben si qendër simetrie e elipsës ose thjesht qendër e elipsës.

Boshti i abshisës i elipsës kryqëzohet në pikat ( a, RRETH) Dhe (- a, RRETH), dhe boshti i ordinatave është në pika ( b, RRETH) Dhe (- b, RRETH). Këto katër pika quhen kulme të elipsës. Segmenti midis kulmeve të elipsës në boshtin x quhet boshti i tij kryesor, dhe në boshtin e ordinatave - boshti i tij i vogël. Segmentet e tyre nga maja në qendër të elipsës quhen gjysmë boshte.

Nëse a = b, atëherë ekuacioni i elipsës merr formën . Ky është ekuacioni i një rrethi me rreze a, dhe një rreth është një rast i veçantë i një elipsi. Një elipsë mund të merret nga një rreth me rreze a, nëse e ngjesh në a/b herë përgjatë boshtit Oy .

Shembulli 1. Kontrolloni nëse një vijë e dhënë nga një ekuacion i përgjithshëm është , elips.

Zgjidhje. Ne transformojmë ekuacionin e përgjithshëm. Ne përdorim transferimin e termit të lirë në anën e djathtë, ndarjen term pas termi të ekuacionit me të njëjtin numër dhe reduktimin e thyesave:

Përgjigju. Ekuacioni i marrë si rezultat i shndërrimeve është ekuacioni kanonik i elipsës. Prandaj, kjo linjë është një elips.

Shembulli 2. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse gjysmëboshtet e saj janë përkatësisht 5 dhe 4.

Zgjidhje. Ne shikojmë formulën për ekuacionin kanonik të një elipse dhe zëvendësojmë: boshti gjysmë i madh është a= 5, boshti gjysëmminor është b= 4. Ne marrim ekuacionin kanonik të elipsës:

Pikat dhe , të treguara me të gjelbër në boshtin kryesor, ku

quhen truket.

thirrur ekscentricitet elips.

Qëndrimi b/a karakterizon "shtresën" e elipsës. Sa më i vogël ky raport, aq më shumë zgjatet elipsa përgjatë boshtit kryesor. Megjithatë, shkalla e zgjatjes së një elipsi shprehet më shpesh përmes ekscentricitetit, formula për të cilën është dhënë më sipër. Për elipsa të ndryshme, ekscentriciteti varion nga 0 në 1, duke mbetur gjithmonë më pak se uniteti.

Shembulli 3. Hartoni ekuacionin kanonik të elipsës nëse distanca midis vatrave është 8 dhe boshtit kryesor është 10.

Zgjidhje. Le të bëjmë disa përfundime të thjeshta:

Nëse boshti kryesor është i barabartë me 10, atëherë gjysma e tij, d.m.th., gjysmë-boshti a = 5 ,

Nëse distanca midis vatrave është 8, atëherë numri c e koordinatave fokale është e barabartë me 4.

Zëvendësojmë dhe llogarisim:

Rezultati është ekuacioni kanonik i elipsës:

Shembulli 4. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse boshti i saj kryesor është 26 dhe ekscentriciteti i tij është .

Zgjidhje. Siç del si nga madhësia e boshtit kryesor ashtu edhe nga ekuacioni i ekscentricitetit, boshti gjysmë i madh i elipsit a= 13. Nga ekuacioni i ekscentricitetit shprehim numrin c, e nevojshme për të llogaritur gjatësinë e gjysmë-boshtit të vogël:

Ne llogarisim katrorin e gjatësisë së gjysmëboshtit të vogël:

Ne hartojmë ekuacionin kanonik të elipsës:

Shembulli 5. Përcaktoni vatrat e elipsës të dhëna nga ekuacioni kanonik.

Zgjidhje. Gjeni numrin c, i cili përcakton koordinatat e para të vatrave të elipsës:

Ne marrim fokuset e elipsit:

Shembulli 6. Fokuset e elipsës janë të vendosura në bosht kau në mënyrë simetrike për origjinën. Hartoni ekuacionin kanonik të elipsës nëse:

1) distanca midis fokuseve është 30, dhe boshti kryesor është 34

2) boshti i vogël 24, dhe një nga fokuset është në pikën (-5; 0)

3) ekscentriciteti, dhe një nga fokuset është në pikën (6; 0)

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet e elipsit së bashku

Nëse është një pikë arbitrare e elipsës (e treguar me ngjyrë të gjelbër në pjesën e sipërme djathtas të elipsës në vizatim) dhe është distanca deri në këtë pikë nga vatrat, atëherë formulat për distancat janë si më poshtë:

Për çdo pikë që i përket elipsit, shuma e distancave nga vatrat është një vlerë konstante e barabartë me 2 a.

Vijat e përcaktuara me ekuacione

quhen drejtoresha elips (në vizatim ka vija të kuqe përgjatë skajeve).

Nga dy ekuacionet e mësipërme rezulton se për çdo pikë të elipsës

ku dhe janë distancat e kësaj pike me drejtimet dhe .

Shembulli 7. Jepet një elips. Shkruani një ekuacion për direktrikat e tij.

Zgjidhje. Ne shikojmë ekuacionin direktriks dhe zbulojmë se duhet të gjejmë ekscentricitetin e elipsës, d.m.th. Ne kemi të gjitha të dhënat për këtë. Ne llogarisim:

Marrim ekuacionin e drejtimeve të elipsës:

Shembulli 8. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse vatra të saj janë pika dhe drejtimet janë vija.

Linjat e rendit të dytë.
Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik. Rretho

Pas një studimi të plotë vijat e drejta në aeroplan Ne vazhdojmë të studiojmë gjeometrinë e botës dy-dimensionale. Aksionet janë dyfishuar dhe ju ftoj të vizitoni një galeri piktoreske elipsash, hiperbolash, parabolash, të cilat janë përfaqësuese tipike linjat e rendit të dytë. Ekskursioni tashmë ka filluar, dhe së pari një informacion i shkurtër për të gjithë ekspozitën në kate të ndryshme të muzeut:

Koncepti i një linje algjebrike dhe renditja e saj

Një vijë në një aeroplan quhet algjebrike, nëse në sistemi i koordinatave afinale ekuacioni i tij ka formën , ku është një polinom i përbërë nga termat e formës ( – numër real, – numra të plotë jo negativë).

Siç mund ta shihni, ekuacioni i një linje algjebrike nuk përmban sinus, kosinus, logaritme dhe beau monde të tjera funksionale. Vetëm X dhe Y janë brenda numra të plotë jo negativë gradë.

Rendi i linjës e barabartë me vlerën maksimale të termave të përfshirë në të.

Sipas teoremës përkatëse, koncepti i një linje algjebrike, si dhe rendi i saj, nuk varen nga zgjedhja sistemi i koordinatave afinale, prandaj, për lehtësinë e ekzistencës, supozojmë se të gjitha llogaritjet e mëvonshme bëhen në Koordinatat karteziane.

Ekuacioni i përgjithshëm rreshti i rendit të dytë ka formën , ku – numra realë arbitrarë (Është zakon ta shkruajmë me një faktor dy), dhe koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Nëse , atëherë ekuacioni thjeshtohet në , dhe nëse koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, atëherë kjo është saktësisht ekuacioni i përgjithshëm i një vije "të sheshtë"., që përfaqëson linjë e rendit të parë.

Shumë e kanë kuptuar kuptimin e termave të rinj, por, megjithatë, për të zotëruar 100% materialin, ne i fusim gishtat në prizë. Për të përcaktuar rendin e rreshtit, duhet të përsërisni të gjitha kushtet ekuacionet e tij dhe gjeni për secilën prej tyre shuma e gradave variablat hyrëse.

Për shembull:

termi përmban "x" në fuqinë 1;
termi përmban "Y" në fuqinë e parë;
Nuk ka variabla në term, kështu që shuma e fuqive të tyre është zero.

Tani le të kuptojmë pse ekuacioni përcakton vijën e dyta porosit:

termi përmban "x" deri në fuqinë e 2-të;
mbledhja ka shumën e fuqive të ndryshoreve: 1 + 1 = 2;
termi përmban "Y" në fuqinë e dytë;
të gjitha kushtet e tjera - më pak gradë.

Vlera maksimale: 2

Nëse shtojmë shtesë, të themi, në ekuacionin tonë, atëherë ai tashmë do të përcaktojë linjë e rendit të tretë. Është e qartë se forma e përgjithshme e ekuacionit të linjës së rendit të tretë përmban një "bashkësi të plotë" termash, shuma e fuqive të ndryshoreve në të cilat është e barabartë me tre:
, ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Në rast se shtoni një ose më shumë terma të përshtatshëm që përmbajnë , atëherë do të flasim tashmë Linjat e rendit të 4-të, etj.

Do të duhet të hasim linja algjebrike të rendit të tretë, të katërt dhe më të lartë më shumë se një herë, veçanërisht kur të njihemi me sistemi i koordinatave polar.

Megjithatë, le të kthehemi te ekuacioni i përgjithshëm dhe të kujtojmë variacionet e tij më të thjeshta shkollore. Si shembuj, lind një parabolë, ekuacioni i së cilës mund të reduktohet lehtësisht në një formë të përgjithshme, dhe një hiperbolë me një ekuacion ekuivalent. Sidoqoftë, jo gjithçka është aq e qetë ...

Një pengesë e rëndësishme e ekuacionit të përgjithshëm është se pothuajse gjithmonë nuk është e qartë se cilën linjë përcakton. Edhe në rastin më të thjeshtë, nuk do ta kuptoni menjëherë se kjo është një hiperbolë. Paraqitjet e tilla janë të mira vetëm në një maskaradë, kështu që një problem tipik konsiderohet në rrjedhën e gjeometrisë analitike duke sjellë ekuacionin e vijës së rendit të dytë në formën kanonike.

Cila është forma kanonike e një ekuacioni?

Kjo është forma standarde e pranuar përgjithësisht e një ekuacioni, kur brenda pak sekondash bëhet e qartë se çfarë objekti gjeometrik përcakton. Për më tepër, forma kanonike është shumë e përshtatshme për zgjidhjen e shumë detyrave praktike. Kështu, për shembull, sipas ekuacionit kanonik "i sheshtë" drejt, së pari, është menjëherë e qartë se kjo është një vijë e drejtë, dhe së dyti, pika që i përket dhe vektori i drejtimit janë lehtësisht të dukshëm.

Është e qartë se çdo Linja e rendit të parëështë një vijë e drejtë. Në katin e dytë, nuk është më roja që na pret, por një shoqëri shumë më e larmishme prej nëntë statujash:

Klasifikimi i linjave të rendit të dytë

Duke përdorur një grup të veçantë veprimesh, çdo ekuacion i një rreshti të rendit të dytë reduktohet në një nga format e mëposhtme:

(dhe janë numra realë pozitivë)

1) – ekuacioni kanonik i elipsës;

2) – ekuacioni kanonik i hiperbolës;

3) – ekuacioni kanonik i një parabole;

4) – imagjinare elips;

5) - një palë vija të kryqëzuara;

6) – çift imagjinare vija kryqëzuese (me një pikë të vetme të vlefshme kryqëzimi në origjinë);

7) - një palë vija paralele;

8) – çift imagjinare vija paralele;

9) - një palë vijash që përputhen.

Disa lexues mund të kenë përshtypjen se lista nuk është e plotë. Për shembull, në pikën nr. 7, ekuacioni specifikon çiftin e drejtpërdrejtë, paralel me boshtin dhe lind pyetja: ku ndodhet ekuacioni që përcakton drejtëzat paralele me boshtin e ordinatës? Përgjigje: ajo nuk konsiderohet kanonike. Vijat e drejta përfaqësojnë të njëjtin rast standard, të rrotulluar me 90 gradë, dhe futja shtesë në klasifikim është e tepërt, pasi nuk sjell asgjë thelbësisht të re.

Kështu, ekzistojnë nëntë dhe vetëm nëntë lloje të ndryshme të linjave të rendit të dytë, por në praktikë janë më të zakonshmet elipsa, hiperbola dhe parabola.

Le të shohim së pari elipsin. Si zakonisht, përqendrohem në ato pika që kanë një rëndësi të madhe për zgjidhjen e problemeve, dhe nëse keni nevojë për një derivim të detajuar të formulave, vërtetimeve të teoremave, ju lutemi referojuni, për shembull, tekstit shkollor nga Bazylev/Atanasyan ose Aleksandrov.

Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik

Drejtshkrimi... ju lutemi mos përsëritni gabimet e disa përdoruesve të Yandex të cilët janë të interesuar "si të ndërtoni një elipsë", "dallimi midis një elipsi dhe një ovale" dhe "ekscentriciteti i një elipsi".

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën , ku janë numra realë pozitivë dhe . Do të formuloj vetë përkufizimin e një elipsi më vonë, por tani për tani është koha për të marrë një pushim nga dyqani që flet dhe për të zgjidhur një problem të zakonshëm:

Si të ndërtoni një elips?

Po, thjesht merrni dhe vizatoni. Detyra ndodh shpesh dhe një pjesë e konsiderueshme e studentëve nuk e përballojnë saktë vizatimin:

Shembulli 1

Ndërtoni elipsin e dhënë nga ekuacioni

Zgjidhje: Së pari, le ta sjellim ekuacionin në formën kanonike:

Pse të sjellë? Një nga avantazhet e ekuacionit kanonik është se ju lejon të përcaktoni menjëherë kulmet e elipsës, të cilat ndodhen në pika. Është e lehtë të shihet se koordinatat e secilës prej këtyre pikave plotësojnë ekuacionin.

Në këtë rast :

Segmenti i linjës thirrur boshti kryesor elips;
segmenti i linjës – aks i vogël;
numri thirrur bosht gjysmë i madh elips;
numri – aks i vogël.
në shembullin tonë: .

Për të imagjinuar shpejt se si duket një elips i veçantë, thjesht shikoni vlerat e "a" dhe "be" të ekuacionit të saj kanonik.

Gjithçka është në rregull, e qetë dhe e bukur, por ka një paralajmërim: e bëra vizatimin duke përdorur programin. Dhe mund ta bëni vizatimin duke përdorur çdo aplikacion. Sidoqoftë, në realitetin e ashpër, ka një copë letre me kuadrate në tryezë dhe minjtë kërcejnë në rrathë në duart tona. Njerëzit me talent artistik, natyrisht, mund të debatojnë, por ju keni edhe minj (ndonëse më të vegjël). Nuk është e kotë që njerëzimi shpiku sundimtarin, busullën, raportin dhe pajisje të tjera të thjeshta për vizatim.

Për këtë arsye, nuk ka gjasa të jemi në gjendje të vizatojmë me saktësi një elips duke ditur vetëm kulmet. Është në rregull nëse elipsa është e vogël, për shembull, me gjysmë akse. Përndryshe, ju mund të zvogëloni shkallën dhe, në përputhje me rrethanat, dimensionet e vizatimit. Por në përgjithësi, është shumë e dëshirueshme të gjesh pika shtesë.

Ekzistojnë dy qasje për ndërtimin e një elipsi - gjeometrike dhe algjebrike. Nuk më pëlqen ndërtimi duke përdorur një busull dhe vizore, sepse algoritmi nuk është më i shkurtër dhe vizatimi është shumë i rrëmujshëm. Në rast urgjence, ju lutemi referojuni tekstit shkollor, por në realitet është shumë më racionale të përdoren mjetet e algjebrës. Nga ekuacioni i elipsës në draft shprehim shpejt:

Më pas ekuacioni ndahet në dy funksione:
– përcakton harkun e sipërm të elipsës;
– përcakton harkun e poshtëm të elipsës.

Elipsa e përcaktuar nga ekuacioni kanonik është simetrik në lidhje me boshtet koordinative, si dhe në lidhje me origjinën. Dhe kjo është e shkëlqyeshme - simetria është pothuajse gjithmonë një pararojë e lirive. Natyrisht, mjafton të merremi me tremujorin e 1-rë të koordinatave, ndaj na duhet funksioni . Kërkon të gjenden pikë shtesë me abshisa . Le të prekim tre mesazhe SMS në kalkulator:

Sigurisht, është gjithashtu mirë që nëse bëhet një gabim serioz në llogaritjet, do të bëhet menjëherë e qartë gjatë ndërtimit.

Le të shënojmë pikat në vizatim (e kuqe), pikat simetrike në harqet e mbetura (blu) dhe të lidhim me kujdes të gjithë kompaninë me një vijë:

Është më mirë të vizatoni skicën fillestare shumë hollë, dhe vetëm atëherë të bëni presion me laps. Rezultati duhet të jetë një elips mjaft i mirë. Nga rruga, do të dëshironit të dini se çfarë është kjo kurbë?

Përkufizimi i një elipsi. Vatra elipsore dhe ekscentriciteti i elipseve

Një elipsë është një rast i veçantë i një ovali. Fjala "ovale" nuk duhet kuptuar në kuptimin filistin ("fëmija vizatoi një ovale", etj.). Ky është një term matematikor që ka një formulim të detajuar. Qëllimi i këtij mësimi nuk është të shqyrtojë teorinë e ovaleve dhe llojet e ndryshme të tyre, të cilave praktikisht nuk u kushtohet vëmendje në kursin standard të gjeometrisë analitike. Dhe, në përputhje me nevojat më aktuale, ne kalojmë menjëherë në përkufizimin e rreptë të një elipsi:

Elipsaështë bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e largësive në secilën prej të cilave nga dy pika të dhëna, të quajtura truket elipsa, është një sasi konstante, numerikisht e barabartë me gjatësinë e boshtit kryesor të kësaj elipse: .
Në këtë rast, distancat ndërmjet fokuseve janë më të vogla se kjo vlerë: .

Tani gjithçka do të bëhet më e qartë:

Imagjinoni që pika blu "udhëton" përgjatë një elipsi. Pra, pavarësisht nga pika e elipsës që marrim, shuma e gjatësive të segmenteve do të jetë gjithmonë e njëjtë:

Le të sigurohemi që në shembullin tonë vlera e shumës të jetë vërtet e barabartë me tetë. Vendosni mendërisht pikën "um" në kulmin e djathtë të elipsës, pastaj: , që është ajo që duhet të kontrollohet.

Një metodë tjetër e vizatimit të saj bazohet në përkufizimin e një elipsi. Matematika e lartë ndonjëherë është shkaku i tensionit dhe stresit, kështu që është koha për të pasur një seancë tjetër shkarkimi. Ju lutemi merrni letrën whatman ose një fletë të madhe kartoni dhe ngjiteni në tryezë me dy gozhdë. Këto do të jenë truket. Lidhni një fije jeshile në kokat e thonjve të dalë dhe tërhiqeni deri në fund me një laps. Plumbi i lapsit do të përfundojë në një pikë të caktuar që i përket elipsit. Tani filloni të lëvizni lapsin përgjatë fletës së letrës, duke e mbajtur fillin e gjelbër fort të tendosur. Vazhdoni procesin derisa të ktheheni në pikën fillestare... shumë mirë... vizatimi mund të kontrollohet nga mjeku dhe mësuesi =)

Si të gjeni vatrat e një elipsi?

Në shembullin e mësipërm, unë përshkrova pika fokale "të gatshme", dhe tani do të mësojmë se si t'i nxjerrim ato nga thellësitë e gjeometrisë.

Nëse një elipsë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë vatrat e saj kanë koordinata , ku eshte distanca nga çdo fokus në qendrën e simetrisë së elipsës.

Llogaritjet janë më të thjeshta se të thjeshta:

! Koordinatat specifike të vatrave nuk mund të identifikohen me kuptimin e "tse"! E përsëris se kjo është DISTANCA nga çdo fokus në qendër(që në rastin e përgjithshëm nuk ka pse të gjendet pikërisht në origjinë).
Dhe, prandaj, distanca midis vatrave gjithashtu nuk mund të lidhet me pozicionin kanonik të elipsit. Me fjalë të tjera, elipsa mund të zhvendoset në një vend tjetër dhe vlera do të mbetet e pandryshuar, ndërsa vatrat natyrisht do të ndryshojnë koordinatat e tyre. Ju lutemi, merrni parasysh këtë ndërsa eksploroni më tej temën.

Ekscentriciteti i elipsit dhe kuptimi i tij gjeometrik

Ekscentriciteti i një elipsi është një raport që mund të marrë vlera brenda intervalit.

Në rastin tonë:

Le të zbulojmë se si forma e një elipsi varet nga ekscentriciteti i saj. Për këtë rregulloni kulmet majtas dhe djathtas e elipsës në shqyrtim, pra vlera e boshtit gjysmë të madh do të mbetet konstante. Atëherë formula e ekscentricitetit do të marrë formën: .

Le të fillojmë ta afrojmë vlerën e ekscentricitetit më pranë unitetit. Kjo është e mundur vetëm nëse. Çfarë do të thotë? ...kujtoni truket . Kjo do të thotë që vatrat e elipsës do të "lëvizin larg" përgjatë boshtit të abshisës në kulmet anësore. Dhe, meqenëse "segmentet e gjelbra nuk janë gome", elipsa në mënyrë të pashmangshme do të fillojë të rrafshohet, duke u shndërruar në një sallam më të hollë dhe më të hollë të lidhur në një bosht.

Kështu, sa më afër unitetit të jetë vlera e ekcentricitetit të elipsit, aq më e zgjatur është elipsa.

Tani le të modelojmë procesin e kundërt: vatrat e elipsës ecën drejt njëri-tjetrit, duke iu afruar qendrës. Kjo do të thotë që vlera e "ce" bëhet gjithnjë e më pak dhe, në përputhje me rrethanat, ekscentriciteti tenton në zero: .
Në këtë rast, "segmentet e gjelbra", përkundrazi, "do të bëhen të mbushura me njerëz" dhe ata do të fillojnë të "shtyjnë" vijën e elipsit lart e poshtë.

Kështu, Sa më afër zeros të jetë vlera e ekscentricitetit, aq më e ngjashme është elipsa... shikoni rastin kufizues kur vatrat ribashkohen me sukses në origjinë:

Një rreth është një rast i veçantë i një elipsi

Në të vërtetë, në rastin e barazisë së gjysmëboshteve, ekuacioni kanonik i elipsës merr formën , i cili në mënyrë refleksive shndërrohet në ekuacionin e një rrethi me qendër në origjinën e rrezes "a", i njohur mirë nga shkolla.

Në praktikë më shpesh përdoret shënimi me shkronjën “e folur” “er”: . Rrezja është gjatësia e një segmenti, me secilën pikë të rrethit të hequr nga qendra me një distancë rreze.

Vini re se përkufizimi i një elipsi mbetet plotësisht i saktë: vatrat përkojnë dhe shuma e gjatësive të segmenteve që përputhen për secilën pikë në rreth është një konstante. Meqenëse distanca midis vatrave është , atëherë ekscentriciteti i çdo rrethi është zero.

Ndërtimi i një rrethi është i lehtë dhe i shpejtë, thjesht përdorni një busull. Sidoqoftë, ndonjëherë është e nevojshme të zbulohen koordinatat e disa pikave të saj, në këtë rast ne shkojmë në mënyrën e njohur - e sjellim ekuacionin në formën e gëzuar Matanov:

– funksioni i gjysmërrethit të sipërm;
– funksioni i gjysmërrethit të poshtëm.

Pastaj gjejmë vlerat e kërkuara, dallojnë, integrohen dhe bëni gjëra të tjera të mira.

Artikulli, natyrisht, është vetëm për referencë, por si mund të jetoni në botë pa dashuri? Detyrë krijuese për zgjidhje të pavarur

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse dihet një nga vatra dhe boshti gjysmë i vogël (qendra është në origjinë). Gjeni kulme, pika shtesë dhe vizatoni një vijë në vizatim. Llogaritni ekscentricitetin.

Zgjidhje dhe vizatim në fund të orës së mësimit

Le të shtojmë një veprim:

Rrotulloni dhe përktheni paralelisht një elipsë

Le të kthehemi te ekuacioni kanonik i elipsës, domethënë, te kushti, misteri i së cilës ka munduar mendjet kureshtare që nga përmendja e parë e kësaj kurbë. Kështu që ne shikuam elipsin , por a nuk është e mundur në praktikë të përmbushet ekuacioni ? Në fund të fundit, megjithatë, edhe këtu duket se është një elips!

Ky lloj ekuacioni është i rrallë, por haset. Dhe në fakt përcakton një elips. Le të çmitizojmë:

Si rezultat i ndërtimit, u përftua elipsa jonë amtare, e rrotulluar me 90 gradë. Kjo eshte, - Kjo hyrje jokanonike elips . Regjistro!- ekuacioni nuk përcakton asnjë elipsë tjetër, pasi nuk ka pika (vatra) në bosht që do të kënaqnin përkufizimin e një elipsi.

Le të shqyrtojmë linjat e përcaktuara nga ekuacioni i shkallës së dytë në lidhje me koordinatat aktuale

Koeficientët e ekuacionit janë numra realë, por të paktën njëri nga numrat A, B ose C është i ndryshëm nga 0. drejtëza të tilla quhen drejtëza (lakore) të rendit të dytë. Më poshtë do të tregojmë se ekuacioni (1) përcakton një Elipsë, një hiperbolë ose një parabolë në një plan.

Rretho

Kurba më e thjeshtë e rendit të dytë është një rreth. Kujtojmë se një rreth me rreze R me qendër në pikën M 0 quhet bashkësia e pikave M të rrafshit që plotëson kushtin MM 0 =R. Le të jetë pika M 0 në sistemin Oxy koordinata x 0 , y 0 , dhe M(x,y) të jetë një pikë arbitrare në rreth. Pastaj ose

-ekuacioni kanonik i një rrethi . Duke supozuar x 0 =y 0 =0 marrim x 2 +y 2 =R 2

Le të tregojmë se ekuacioni i një rrethi mund të shkruhet si një ekuacion i përgjithshëm i shkallës së dytë (1). Për ta bërë këtë, ne katrorejmë anën e djathtë të ekuacionit të rrethit dhe marrim:

Në mënyrë që ky ekuacion të korrespondojë me (1) është e nevojshme që:

1) koeficienti B=0,

2) . Pastaj marrim: (2)

Ekuacioni i fundit quhet ekuacioni i përgjithshëm i një rrethi . Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me A ≠0 dhe duke shtuar termat që përmbajnë x dhe y në një katror të plotë, marrim:

(2)

Duke e krahasuar këtë ekuacion me ekuacionin kanonik të një rrethi, gjejmë se ekuacioni (2) është me të vërtetë një ekuacion i një rrethi nëse:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Nëse plotësohen këto kushte, qendra e rrethit ndodhet në pikën O, dhe rrezja e tij .

Elipsa

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

Sipas përkufizimit 2 >2c, domethënë >c. Për të nxjerrë ekuacionin e elipsës, do të supozojmë se vatrat F 1 dhe F 2 shtrihen në boshtin Ox, dhe t.O përkon me mesin e segmentit F 1 F 2 , pastaj F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

Le të jetë M(x,y) një pikë arbitrare e elipsës, atëherë, sipas përkufizimit të elipsës MF 1 +MF 2 =2 që është

Ky është ekuacioni i një elipsi. Mund ta konvertoni në një formë më të thjeshtë si më poshtë:

Sheshoni atë:

katrore atë

Meqenëse 2 -c 2 >0 vendosim 2 -c 2 =b 2

Atëherë ekuacioni i fundit do të marrë formën:

është ekuacioni i një elipsi në formë kanonike.

Forma e elipsës varet nga raporti: kur b= elipsa kthehet në rreth. Ekuacioni do të marrë formën . Raporti përdoret shpesh si një karakteristikë e një elipsi. Kjo sasi quhet ekscentricitet i elipses dhe 0< <1 так как 0

Studimi i formës së një elipsi.

1) ekuacioni i elipsës përmban x dhe y, vetëm në një shkallë çift, prandaj elipsa është simetrike në lidhje me boshtet Ox dhe Oy, si dhe në lidhje me TO (0,0), e cila quhet qendër të elipsës.

2) gjeni pikat e prerjes së elipsës me boshtet koordinative. Duke vendosur y=0 gjejmë A 1 ( ,0) dhe A 2 (- ,0), në të cilat elipsa pret Ox. Duke vendosur x=0, gjejmë B 1 (0,b) dhe B 2 (0,-b). Pikat A 1 , A 2 , B 1 , B 2 quhen kulme të elipsës. Segmentet A 1 A 2 dhe B 1 B 2, si dhe gjatësitë e tyre 2 dhe 2b, quhen përkatësisht boshtet kryesore dhe të vogla të elipsës. Numrat dhe b janë përkatësisht gjysmëboshtet e mëdha dhe të vogla.

A 1 (,0)

A2 (- ,0)

B 2 (0,b)

Rrjedhimisht, të gjitha pikat e elipsës shtrihen brenda drejtkëndëshit të formuar nga drejtëzat x=± ,y=±b. (Fig. 2.)

4) Në ekuacionin e elipsit, shuma e termave jonegativë është e barabartë me një. Rrjedhimisht, me rritjen e një termi, tjetri do të ulet, domethënë nëse |x| rritet, pastaj |y| - zvogëlohet dhe anasjelltas. Nga gjithçka që u tha, rezulton se elipsa ka formën e treguar në figurën 2. (lakore e mbyllur ovale).