Leksioni 2. Rrafshi si sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacionet e planit dhe studimi i tyre. Një vijë e drejtë në hapësirë, pozicioni relativ i drejtëzave në hapësirë, një rrafsh dhe një vijë e drejtë në hapësirë. Një vijë e drejtë në një plan, ekuacionet e një vijë të drejtë në një plan, distanca nga një pikë në një vijë të drejtë në një plan. Kurbat e rendit të dytë; nxjerrja e ekuacioneve kanonike, studimi i ekuacioneve dhe ndërtimi i kurbave. Sipërfaqet e rendit të dytë, studimi i ekuacioneve kanonike të sipërfaqeve. Metoda e seksionit. 1

Elemente të gjeometrisë analitike § 1. Rrafsh. Kemi OXYZ dhe disa sipërfaqe S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Përkufizim 1: një ekuacion me tre ndryshore quhet ekuacion i sipërfaqes S në hapësirë ​​nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e secilit. pikë e shtrirë në sipërfaqe dhe e pa kënaqur nga koordinatat as edhe një pikë e vetme që shtrihet mbi të. 2

Shembull. Ekuacioni (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) përcaktojmë një sferë me qendër në pikën C(a, b, c) dhe rreze R. M M (x , y, z) – pika e ndryshueshme M ϵ (S) |CM| = R C 3

Përkufizimi 2: Një sipërfaqe S quhet një sipërfaqe e rendit të n-të nëse në një sistem koordinativ kartezian jepet nga një ekuacion algjebrik i shkallës së n-të F(x, y, z) = 0 (1) Në shembullin (S) - një rreth, një sipërfaqe e rendit të dytë. Nëse S është një sipërfaqe e rendit të n-të, atëherë F(x, y, z) është një polinom i shkallës së n-të në lidhje me (x, y, z) Konsideroni sipërfaqen e vetme të rendit të parë - një rrafsh. Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikën M (x, y, z), me një vektor normal 4

Le të jetë M(x, y, z) një pikë arbitrare (aktuale) e rrafshit. M M 0 O α ose në formë koordinative: (2) Ekuacioni (2) është ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën M me një vektor normal të dhënë. 5

D (*) (3) - ekuacion i plotë i rrafshit Ekuacion jo i plotë i rrafshit. Nëse në ekuacionin (3) disa koeficientë (por jo A, B, C në të njëjtën kohë) = 0, atëherë ekuacioni quhet jo i plotë dhe rrafshi α ka veçori në vendndodhjen e tij. Për shembull, nëse D = 0, atëherë α kalon përmes origjinës. 6

Distanca nga pika M 1 në rrafshin α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 zbatohet në pikën M 0 K 7

- distanca nga pika M 1 në rrafshin α Ekuacioni i rrafshit "në segmente" Le të krijojmë një ekuacion të rrafshit duke prerë segmente jo zero në boshtet e koordinatave me vlera C(0, 0, c) a, b, c. Le të marrim si vlerë B(0, b, 0) Le të krijojmë një ekuacion për pikën A me A(a, 0, 0) 8

-ekuacioni i rrafshit α "në segmente" -ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën A, pingul me vektorin normal 9

§ 2. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës. Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përcaktohet nga kryqëzimi i 2 planeve. (1) ekuacioni i një vije të drejtë Një sistem i tipit (1) përcakton një vijë të drejtë në hapësirë ​​nëse koeficientët A 1, B 1, C 1 janë njëkohësisht në disproporcion me A 2, B 2, C 2. 10

Ekuacionet parametrike dhe kanonike të një drejtëze - pika arbitrare e një drejtëze pikë M M 0 Ekuacioni parametrik t - parametri 11

Duke eliminuar t, marrim: - ekuacioni kanonik Sistemi (3) përcakton lëvizjen e një pike materiale, drejtvizore dhe uniforme nga pozicioni fillestar M 0 (x 0, y 0, z 0) me shpejtësi në drejtim të vektorit. 12

Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit. Le të jenë dy drejtëza L 1, L 2 në hapësirë ​​të dhëna nga ekuacionet e tyre kanonike: Atëherë detyra e përcaktimit të këndit ndërmjet këtyre vijave reduktohet në përcaktimin e këndit

vektorët e drejtimit të tyre: Duke përdorur përkufizimin e produktit skalar dhe shprehjen në koordinata të produktit skalar të specifikuar dhe gjatësitë e vektorëve q 1 dhe q 2, marrim të gjejmë: 15

Kushti për paralelizmin e drejtëzave l 1 dhe l 2 korrespondon me kolinearitetin e q 1 dhe q 2, qëndron në proporcionalitetin e koordinatave të këtyre vektorëve, d.m.th. ka formën: Kushti i pingulitetit rrjedh nga përkufizimi i produkti skalar dhe barazia e tij në zero (në cos = 0) dhe ka formën : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi: kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi Shqyrtoni rrafshin P, të përcaktuar nga ekuacioni i përgjithshëm: Ax + By + Cz + D = 0, dhe drejtëza L, e përcaktuar nga ekuacioni kanonik: 17

Meqenëse këndi ndërmjet drejtëzës L dhe planit P është plotësues me këndin ndërmjet vektorit drejtues të drejtëzës q = (l, m, n) dhe vektorit normal të rrafshit n = (A, B, C) , atëherë nga përkufizimi i produktit skalar q n = q n cos dhe barazia cos = sin (= 90 -), marrim: 18

Kushti i paralelizmit të drejtëzës L dhe rrafshit П (duke përfshirë faktin që L i përket П) është ekuivalent me kushtin e pingulitetit të vektorëve q dhe n dhe shprehet me = 0 produkt skalar të këtyre vektorëve: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Kushti i pingulitetit të drejtëzës L dhe rrafshit P është ekuivalent me kushtin e paralelizmit të vektorëve n dhe q dhe shprehet me proporcionalitetin e koordinatave të këtyre vektorëve: 19.

Kushtet që dy drejtëza t'i përkasin të njëjtit rrafsh Dy drejtëza në hapësirën L 1 dhe L 2 mund: 1) të kryqëzohen; 2) të jetë paralel; 3) kryqëzohen. Në dy rastet e para, linjat L 1 dhe L 2 shtrihen në të njëjtin plan. Le të vendosim kushtin që dy drejtëza të përcaktuara nga ekuacionet kanonike t'i përkasin të njëjtit rrafsh: 20

Natyrisht, që dy linjat e treguara t'i përkasin të njëjtit rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që tre vektorë = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) dhe q 2 = (l 2, m 2, n 2), ishin koplanare, për të cilat, nga ana tjetër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që produkti i përzier i këtyre tre vektorëve = 0. 21

Duke shkruar prodhimet e përziera të vektorëve të treguar në koordinata, marrim një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm që dy drejtëza L 1 dhe L 2 t'i përkasin të njëjtit rrafsh: 22

Kushti që një drejtëz t'i përkasë një rrafshi Le të jetë një drejtëz dhe një rrafsh Ax + Bi + Cz + D = 0. Këto kushte kanë formën: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 dhe Al + Bm + Cn = 0, e para nga e cila do të thotë se pika M 1(x1, y1, z 1) nëpër të cilën kalon drejtëza i përket rrafshit, dhe e dyta është kushti i paralelizmit të drejtëzës dhe rrafshit. 23

Kurbat e rendit të dytë. § 1. Koncepti i ekuacionit të drejtëzës në rrafsh. Ekuacioni f (x, y) = 0 quhet ekuacion i drejtëzës L në sistemin koordinativ të zgjedhur nëse plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në drejtëzë dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në të. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Shembull: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Drejtëza L quhet drejtëz e rendit të n-të nëse në ndonjë sistem koordinativ kartezian jepet nga një ekuacion algjebrik i shkallës së n-të në lidhje me x dhe y. Ne e dimë vijën e vetme të rendit të parë - një vijë e drejtë: Ax + By + D = 0 Do të shqyrtojmë kthesat e rendit të dytë: elips, hiperbolë, parabolë. Ekuacioni i përgjithshëm i rreshtave të rendit të dytë është: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipse (E) Përkufizim. Elipsa është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e distancave në dy pika fikse të planit F 1 dhe F 2, të quajtura vatra, është një vlerë konstante dhe një distancë e madhe midis vatrave. Le ta shënojmë konstanten si 2 a, distancën ndërmjet vatrave si 2 c. Vizato boshtin X nëpër vatër, (a > c, a > 0, c > 0). Boshti Y përmes mesit të gjatësisë fokale. Le të jetë M një pikë arbitrare e elipsës, t. M ε E r 1 + r 2 = 2 a (1), ku r 1, r 2 janë 27 rrezet fokale të E.

Le të shkruajmë (1) në formën e koordinatave: (2) Ky është ekuacioni i një elipsi në sistemin koordinativ të zgjedhur. Duke thjeshtuar (2) marrim: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ekuacioni kanonik i elipsës. Mund të tregohet se (2) dhe (3) janë ekuivalente: 28

Studimi i formës së një elipse duke përdorur ekuacionin kanonik 1) Elipsa është një kurbë e rendit të dytë 2) Simetria e elipsës. meqenëse x dhe y përfshihen në (3) vetëm në fuqi çift, elipsa ka 2 boshte dhe 1 qendër simetrie, të cilat në sistemin e zgjedhur të koordinatave përkojnë me boshtet e zgjedhura të koordinatave dhe pikën O. 29

3) Vendndodhja e elipsit Domethënë, e gjithë E-ja ndodhet brenda një drejtkëndëshi, brinjët e të cilit janë x = ± a dhe y = ± b. 4) Kryqëzimi me akset. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: kulmet e elipsës C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Për shkak të simetrisë së elipsës, sjelljen e saj (↓) do ta konsiderojmë vetëm në tremujorin e parë. tridhjetë

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Duke zgjidhur (3) në lidhje me y marrim: në tremujorin e parë x > 0 dhe elipsin zvogëlohet."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hiperbola (Г) Përkufizim: Г është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, moduli i diferencës në distancë deri në 2 pika fikse të planit F 1, F 2 është një vlerë konstante dhe

Thjeshtimi (1): (2) është ekuacioni kanonik i G. (1) dhe (2) janë ekuivalent. Studimi i hiperbolës duke përdorur ekuacionin kanonik 1) Г është një vijë e rendit të dytë 2) Г ka dy boshte dhe një qendër simetrie, të cilat në rastin tonë përkojnë me boshtet koordinative dhe origjinën. 3) Vendndodhja e hiperbolës. 34

Hiperbola ndodhet jashtë shiritit ndërmjet vijave x = a, x = -a. 4) Pikat e kryqëzimit me akset. OX: OY: nuk ka zgjidhje A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – kulmet reale Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – kulme imagjinare Г 2 a – bosht real Г 2 b – bosht imagjinar Г 35

5) Asimptotat e një hiperbole. Për shkak të simetrisë së Г, konsiderojmë pjesën e saj në tremujorin e parë. Pasi të kemi zgjidhur (2) në lidhje me y, marrim: ekuacionin Г në tremujorin e parë x ≥ 0 Konsideroni drejtëzën: pasi në tremujorin e parë x>0, pra në tremujorin e parë me të njëjtën abshisë, ordinata. i drejtëzës > ordinoni pikën përkatëse Г, pra në tremujorin e parë Г shtrihet nën këtë drejtëz. I gjithë G-ja shtrihet brenda një këndi vertikal me brinjë 36

6) Mund të tregohet se në pjesën e parë G rritet 7) Plani për ndërtimin e G a) ndërtoni një drejtkëndësh 2 a, 2 b b) vizatoni diagonalet e tij c) shënoni A 1, A 2 - kulmet reale të G dhe 38 shkruani këto degë

Parabola (P) Konsideroni d (directrix) dhe F (fokus) në aeroplan. Përkufizimi. П – grup i të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga drejtëza d dhe pika F (fokus) 39

d-directrix F-fokusimi XOY pika М П pastaj, |MF| = |MN| (1) ekuacioni i P, i zgjedhur në sistemin koordinativ. Duke thjeshtuar (1) marrim y 2 = 2 px (2) - ekuacioni kanonik i P. (1) dhe (2) janë ekuivalent 40

Studimi i P-së duke përdorur ekuacionin kanonik x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cilindra. Sipërfaqet cilindrike me gjenerata paralele me boshtet koordinative Nëpër pikën x të drejtëzës L vizatojmë një drejtëz paralele me boshtin OZ. Sipërfaqja e formuar nga këto vija të drejta quhet sipërfaqe cilindrike ose cilindër (C). Çdo vijë e drejtë paralele me boshtin OZ quhet gjenerator. l është udhëzuesi i sipërfaqes cilindrike të rrafshit XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Le të jetë M(x, y, z) një pikë arbitrare e një sipërfaqe cilindrike. Le ta projektojmë atë në L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 që është , koordinatat M plotësojnë (1), është e qartë se nëse M C, atëherë ajo nuk është projektuar në pikën M 0 ϵ L dhe për rrjedhojë, koordinatat e M nuk do të plotësojnë ekuacionin (1), i cili përcakton C me një gjenerator paralele në boshtin OZ në hapësirë. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se: Ф(x, z) = 0 në hapësirën Г || OY 43 (y, z) = 0 përcakton në hapësirën C || OK

Projeksioni i një vije hapësinore në një plan koordinativ Një vijë në hapësirë ​​mund të përcaktohet në mënyrë parametrike dhe nga kryqëzimi i sipërfaqeve. E njëjta linjë mund të përkufizohet si ∩ e sipërfaqeve të ndryshme. Le të jepet drejtëza hapësinore L ∩ e dy sipërfaqeve α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ekuacioni L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Le të gjejmë projeksionin e L në rrafshin XOY nga ekuacioni (1) dhe të përjashtojmë Z. Marrim ekuacionin: Z(x, y) = 0 – në hapësirë ​​ky është ekuacioni Ε me gjeneratorin || OZ dhe udhëzuesi L. 46

Projeksion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Sipërfaqe të rendit të dytë Elipsoid - ekuacioni kanonik i një sipërfaqeje ka formën: 1) Elipsoid - sipërfaqe e rendit të dytë. 2) X, Y, Z hyjnë në ekuacion vetëm në fuqi çift => sipërfaqja ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie, të cilat në sistemin e zgjedhur koordinativ përkojnë me rrafshet koordinative dhe origjinën. 47

3) Vendndodhja e elipsoidit Sipërfaqja është e mbyllur ndërmjet || plane me ekuacione x = a, x = -a. Në mënyrë të ngjashme, d.m.th., e gjithë sipërfaqja gjendet brenda një paralelepipedi drejtkëndor. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Sipërfaqen do ta shqyrtojmë duke përdorur metodën e prerjeve - prerja e sipërfaqes me plane koordinative || koordinoj. Në seksion do të marrim vija, nga forma e të cilave do të gjykojmë formën e sipërfaqes. 48

Le të kryqëzojmë sipërfaqen me rrafshin XOY. Në seksion kemi një vijë. - elipsa a dhe b – gjysmë boshtet Ngjashëm me rrafshin YOZ - elipsa me gjysmëboshte b dhe c Rrafshi || XOY Nëse h(0, c), atëherë boshtet e elipseve zvogëlohen nga a dhe b në 0. 49

a = b = c - Paraboloidet e sferës a) Paraboloidi hiperbolik - një sipërfaqe me një ekuacion kanonik: 1) Sipërfaqja e rendit të dytë 2) Meqenëse x, y hyjnë në ekuacion vetëm në fuqi çift, sipërfaqja ka rrafshe simetrie, të cilat përkojnë për një zgjedhje të caktuar të koordinatave me 50 plane XOZ, YOZ.

3) ne ekzaminojmë sipërfaqen duke përdorur metodën e seksionit të shalës. XOZ Në prerje tërthore, parabola është simetrike me boshtin OZ, në ngjitje. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" zona ||XOY për h > 0 hiperbola, me gjysmë-bosht real përgjatë OX, për h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Hiperboloid me dy fletë 1) sipërfaqe e rendit të dytë 2) ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie 3) vendndodhjen e sipërfaqes x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Sipërfaqja përbëhet nga dy pjesë të vendosura jashtë shiritit midis rrafsheve me ekuacionet x = a, x = -a 4) studiojmë metodën e seksioneve (Vetë!) 57

Koni i rendit të dytë Koni i rendit të dytë është një sipërfaqe, ekuacioni kanonik i së cilës ka formën: 1) një sipërfaqe të rendit të dytë 2) ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie 3) studiojmë metodën e seksioneve katrore. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" katror ||XOY |h| –>∞ nga 0 në ∞ katror YOZ palë vijash të drejta, duke kaluar nëpër"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

Në paragrafët vijues konstatohet se sipërfaqet e rendit të parë janë rrafshe dhe vetëm rrafshe, dhe trajtohen forma të ndryshme të shkrimit të ekuacioneve të planeve.

198. Teorema 24. Në koordinatat karteziane, çdo plan përcaktohet nga një ekuacion i shkallës së parë.

Dëshmi. Duke supozuar se është dhënë një sistem i caktuar koordinativ drejtkëndor Kartezian, ne konsiderojmë një plan arbitrar a dhe vërtetojmë se ky plan përcaktohet nga një ekuacion i shkallës së parë. Le të marrim një pikë M në rrafshin a 0 (d: 0; y 0; z0); Le të zgjedhim, përveç kësaj, çdo vektor (vetëm jo i barabartë me zero!), pingul me rrafshin a. Vektorin e zgjedhur e shënojmë me shkronjën p, projeksionet e tij në boshtet koordinative- shkronjat A, B, C.

Le të jetë M(x; y; z) një pikë arbitrare. Ai shtrihet në plan nëse dhe vetëm nëse vektori MqM është pingul me vektorin n. Me fjalë të tjera, pika Ж e shtrirë në rrafshin a karakterizohet nga kushti:

Ekuacionin e rrafshit a e marrim nëse këtë gjendje e shprehim me koordinatat x, y, z. Për këtë qëllim, ne shkruajmë koordinatat e vektorëve M 0M dhe th:

M 0M=(x-x 0; y-y 0; z-z0), P=(A; B; C).

Sipas paragrafit 165 një shenjë e pingulitetit të dy vektorëve është barazia me zero e produktit skalar të tyre, domethënë shuma e produkteve në çift të koordinatave përkatëse të këtyre vektorëve. Kështu që M 0M J_ p nëse dhe vetëm nëse

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Ky është ekuacioni i dëshiruar i planit a, pasi plotësohet nga koordinatat lz, y, z pika M nëse dhe vetëm nëse M shtrihet në rrafshin a (d.m.th. kur J_«).

Duke hapur kllapat, paraqesim ekuacionin(1) si

Ax + By + Cz + (- A x 0 - Nga 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Ne shohim se rrafshi a është vërtet i përcaktuar nga një ekuacion i shkallës së parë. Teorema është vërtetuar.

199. Çdo vektor (jo zero) pingul me një rrafsh të caktuar quhet vektor normal me të. Duke përdorur këtë emër, mund të themi se ekuacioni

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

është ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën M 0 (x 0; y 0; z0) dhe ka një vektor normal n- (A; B; ME). Ekuacioni i formës

Ax + Bu-\- Cz + D = 0

quhet ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit.

200. Teorema 25. Në koordinatat karteziane, çdo ekuacion i shkallës së parë përcakton një plan.

Dëshmi. Duke supozuar se është dhënë një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, merrni parasysh një ekuacion arbitrar të shkallës së parë

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Kur themi ekuacion “arbitrar”, nënkuptojmë se koeficientët A, B, C, D mund të jetë çdo numër, por, natyrisht, duke përjashtuar

rasti i barazisë së njëkohshme me zero të të tre koeficientëve A, B, C. Duhet të vërtetojmë se ekuacioni(2) është ekuacioni i disa planeve.

Le të jetë lg 0, y 0, r 0- disa zgjidhje të ekuacionit(2), d.m.th., një trefish i numrave që plotëson këtë ekuacion*). Zëvendësimi i numrave në 0, z0 në vend të koordinatave aktuale në anën e majtë të ekuacionit(2), marrim identitetin aritmetik

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Zbrisni nga ekuacioni(2) identiteti (3). Ne marrim ekuacionin

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

i cili, sipas atij të mëparshëm, është ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën M 0 (jc0; y 0; z0) dhe ka një vektor normal n - (A; B; C). Por ekuacioni(2) është ekuivalente me ekuacionin(1), që nga ekuacioni(1) të marra nga ekuacioni(2) me zbritje term pas termi të identitetit(3) dhe ekuacioni (2) nga ana tjetër është marrë nga ekuacioni(1) me shtimin term pas afati të identitetit(3). Prandaj ekuacioni(2) është një ekuacion i të njëjtit rrafsh.

Ne kemi vërtetuar se një ekuacion arbitrar i shkallës së parë përcakton një plan; Kështu vërtetohet teorema.

201. Sipërfaqet që përcaktohen me ekuacione të shkallës së parë në koordinatat karteziane, siç e dimë, quhen sipërfaqe të rendit të parë. Duke përdorur këtë terminologji, rezultatet e vendosura mund t'i shprehim si më poshtë:

Çdo rrafsh është një sipërfaqe e rendit të parë; çdo sipërfaqe e rendit të parë është një plan.

Shembull. Shkruani një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër pikë Afe(l; 1; 1) pingul me vektorin i*=( 2; 2; 3}.

Zgjidhje.Sipas paragrafit 199 ekuacioni i kërkuar është

2(*- 1) + 2 (y -1) + 3 (y -1) = 0,

ose

2x+2y+3g- 7 = 0.

*) Ekuacioni (2), si çdo ekuacion i shkallës së parë me tre të panjohura, ai ka pafundësisht shumë zgjidhje. Për të gjetur ndonjë prej tyre, duhet të caktoni vlera numerike për dy të panjohura, dhe më pas të gjeni të panjohurën e tretë në ekuacion.

202. Për të përfunduar këtë pjesë, ne vërtetojmë propozimin e mëposhtëm: nëse dy ekuacione Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 dhe A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 përcaktojnë të njëjtin rrafsh, atëherë koeficientët e tyre janë proporcional.

Në të vërtetë, në këtë rast vektorët nx = (A 1; Bx\ dhe p 2 - (/42; B 2 ; Cr) janë pingul me të njëjtin rrafsh, pra, kolinear me njëri-tjetrin. Por më pas, sipas paragrafit 154 numra Аъ В 2, С 2 proporcional me numrat A1g B1gCx; duke treguar faktorin e proporcionalitetit me p, kemi: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Le të M 0 (x 0; y 0 ; ^-çdo pikë e aeroplanit; koordinatat e tij duhet të plotësojnë secilin nga ekuacionet e dhëna, kështu që Axx 0 + Vxu 0

Cxz0 = 0 dhe A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Le të shumëzojmë të parën nga këto barazi me p. dhe zbres nga e dyta; marrim D2-Djp = 0. Prandaj, D%-Dx\i dhe

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1 ^

Kështu pohimi ynë vërtetohet.

1.7.1. Aeroplan.

Konsideroni në bazë karteziane një plan arbitrar P dhe një vektor normal (pingulor) me të `n (A, B, C). Le të marrim një pikë fikse arbitrare M0(x0, y0, z0) dhe një pikë aktuale M(x, y, z) në këtë plan.

Është e qartë se ?`n = 0 (1.53)

(shih (1.20) për j = p /2). Ky është ekuacioni i një rrafshi në formë vektori. Duke kaluar te koordinatat, marrim ekuacionin e përgjithshëm të planit

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Mund të tregohet se në koordinatat karteziane, çdo plan përcaktohet nga një ekuacion i shkallës së parë dhe, anasjelltas, çdo ekuacion i shkallës së parë përcakton një rrafsh (d.m.th., një rrafsh është një sipërfaqe e rendit të parë dhe një sipërfaqe e rendi i parë është një aeroplan).

Le të shqyrtojmë disa raste të veçanta të vendndodhjes së aeroplanit të specifikuar nga ekuacioni i përgjithshëm:

A = 0 – paralel me boshtin Ox; B = 0 – paralel me boshtin Oy; C = 0 - paralel me boshtin Oz. (Rafshe të tilla pingul me një nga rrafshet koordinative quhen plane projektuese); D = 0 – kalon nga origjina; A = B = 0 – pingul me boshtin Oz (paralel me rrafshin xOy); A = B = D = 0 – përkon me rrafshin xOy (z = 0). Të gjitha rastet e tjera analizohen në mënyrë të ngjashme.

Nëse D? 0, pastaj duke pjesëtuar të dyja anët e (1.54) me -D, mund ta sjellim ekuacionin e rrafshit në formën: (1.55),

a = – D /A, b = –D/ B, c = –D /C. Marrëdhënia (1.55) quhet ekuacioni i rrafshit në segmente; a, b, c – abshisa, ordinata dhe zbatohen pikat e prerjes së rrafshit me akset Ox, Oy, Oz dhe |a|, |b|, |c| – gjatësitë e segmenteve të prera nga rrafshi në boshtet përkatëse nga origjina e koordinatave.

Duke shumëzuar të dyja anët (1.54) me një faktor normalizues (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

ku cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm janë kosinuset e drejtimit të normales me rrafshin, p është distanca nga rrafshi nga origjina.

Le të shqyrtojmë marrëdhëniet bazë të përdorura në llogaritjet. Këndi ndërmjet rrafsheve A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dhe A2x + B2y + C2z + D2 = 0 mund të përcaktohet lehtësisht si këndi midis normaleve të këtyre planeve `n1 (A1, B1, C1) dhe

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Nga (1.57) është e lehtë të merret kushti i pingulitetit

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

dhe paralelizmi (1.59) avionët dhe normalet e tyre.

Largësia nga një pikë arbitrare M0(x0, y0, z0) në rrafshin (1.54)

përcaktohet nga shprehja: (1.60)

Ekuacioni i një plani që kalon nëpër tre pika të dhëna M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) shkruhet më së miri duke përdorur kushtin e bashkëplanaritetit (1.25) të vektorëve ku M(x, y , z) – pika aktuale e rrafshit.

(1.61)

Le të paraqesim ekuacionin e një tufe planesh (d.m.th.

Komplete avionësh që kalojnë nëpër një vijë të drejtë) - është i përshtatshëm për t'u përdorur në një numër problemesh.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Ku l О R, dhe në kllapa janë ekuacionet e çdo dy rrafshe të rrezes.

Pyetje kontrolli.

1) Si të kontrolloni që një pikë e caktuar shtrihet në sipërfaqen e përcaktuar nga ky ekuacion?

2) Cila është tipari karakteristik që e dallon ekuacionin e një rrafshi në sistemin koordinativ kartezian nga ekuacioni i sipërfaqeve të tjera?

3) Si ndodhet rrafshi në raport me sistemin koordinativ nëse ekuacioni i tij nuk përmban: a) një term të lirë; b) një nga koordinatat; c) dy koordinata; d) një nga koordinatat dhe një term i lirë; e) dy koordinata dhe një term i lirë?

1) Janë dhënë pikat M1(0,-1,3) dhe M2(1,3,5). Shkruani ekuacionin e një rrafshi që kalon në pikën M1 dhe pingul me vektorin Zgjidh pergjigjen e sakte:

A) ; b) .

2) Gjeni këndin midis rrafsheve dhe . Zgjidh pergjigjen e sakte:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Drejt. Planet normalet e të cilëve nuk janë kolineare ose kryqëzohen, duke përcaktuar pa mëdyshje vijën e drejtë si vijën e kryqëzimit të tyre, e cila shkruhet si më poshtë:

Një numër i pafund planesh mund të vizatohet përmes kësaj linje (pako e planeve (1.62)), duke përfshirë ato që e projektojnë atë në plane koordinative. Për të marrë ekuacionet e tyre, mjafton të transformoni (1.63), duke eliminuar një të panjohur nga çdo ekuacion dhe duke i reduktuar ato, për shembull, në formën (1.63`).

Le të vendosim detyrën - të vizatojmë përmes pikës M0(x0,y0,z0) një vijë të drejtë paralele me vektorin `S (l, m, n) (quhet vijë drejtuese). Le të marrim një pikë arbitrare M(x,y,z) në vijën e dëshiruar. Vektorët dhe duhet të jetë kolinear, nga i cili marrim ekuacionet kanonike të drejtëzës.

(1.64) ose (1.64`)

ku cosa, cosb, cosg janë kosinuset e drejtimit të vektorit `S. Nga (1.64) është e lehtë të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër pikat e dhëna M1(x1, y1, z1) dhe M2(x2, y2, z2) (është paralele )

Ose (1,64``)

(Vlerat e thyesave në (1.64) janë të barabarta për secilën pikë të vijës dhe mund të shënohen me t, ku t R. Kjo ju lejon të futni ekuacionet parametrike të vijës

Çdo vlerë e parametrit t korrespondon me një grup koordinatash x, y, z të një pike në një vijë ose (ndryshe) - vlerat e të panjohurave që plotësojnë ekuacionet e një linje).

Duke përdorur vetitë tashmë të njohura të vektorëve dhe veprimet mbi to dhe ekuacionet kanonike të vijës së drejtë, është e lehtë të merren formulat e mëposhtme:

Këndi ndërmjet vijave të drejta: (1.65)

Kushti i paralelizmit (1.66).

pinguliteti l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) drejtëza.

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit (përftohet lehtësisht duke gjetur këndin midis vijës së drejtë dhe normales me rrafshin, i cili shtohet në p/2 të dëshiruar)

(1.68)

Nga (1.66) marrim kushtin e paralelizmit Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

dhe pinguliteti (1.70) i ​​drejtëzës dhe rrafshit. Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që dy drejtëza të jenë në të njëjtin rrafsh mund të merret lehtësisht nga kushti i bashkëplanaritetit (1.25).

(1.71)

Pyetje kontrolli.

1) Cilat janë mënyrat për të përcaktuar një vijë të drejtë në hapësirë?

1) Shkruani ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër pikën A(4,3,0) dhe paralel me vektorin Tregoni përgjigjen e saktë:

A) ; b) .

2) Shkruani ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(2,-1,3) dhe B(2,3,3). Tregoni përgjigjen e saktë.

A) ; b) .

3) Gjeni pikën e prerjes së drejtëzës me rrafshin: , . Tregoni përgjigjen e saktë:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Sipërfaqet e rendit të dytë. Nëse një ekuacion linear në një bazë karteziane tredimensionale përcakton në mënyrë unike një plan, çdo ekuacion jolinear që përmban x, y, z përshkruan një sipërfaqe tjetër. Nëse ekuacioni është i formës

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, pastaj përshkruan një sipërfaqe të rendit të dytë (ekuacioni i përgjithshëm i një sipërfaqe të rendit të dytë). Duke zgjedhur ose transformuar koordinatat karteziane, ekuacioni mund të thjeshtohet sa më shumë që të jetë e mundur, duke çuar në një nga format e mëposhtme që përshkruan sipërfaqen përkatëse.

1. Ekuacionet kanonike të cilindrave të rendit të dytë, gjeneratorët e të cilëve janë paralelë me boshtin Oz dhe kurbat përkatëse të rendit të dytë që shtrihen në rrafshin xOy shërbejnë si udhërrëfyes:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

cilindra eliptik, hiperbolik dhe parabolik përkatësisht.

(Kujtojmë se një sipërfaqe cilindrike është një sipërfaqe e përftuar duke lëvizur një vijë të drejtë, të quajtur gjenerator, paralel me vetveten. Vija e kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje me një rrafsh pingul me gjeneratorin quhet udhërrëfyes - përcakton formën e siperfaqja).

Për analogji, ne mund të shkruajmë ekuacionet e të njëjtave sipërfaqe cilindrike me gjenerata paralele me boshtin Oy dhe boshtin Ox. Udhëzuesi mund të përkufizohet si vija e kryqëzimit të sipërfaqes së cilindrit dhe planit koordinativ përkatës, d.m.th. sistemi i ekuacioneve të formës:

2. Ekuacionet e një koni të rendit të dytë me një kulm në origjinë:

(1.75)

(boshtet e konit janë akset Oz, Oy dhe Ox, përkatësisht)

3. Ekuacioni kanonik i elipsoidit: (1.76);

Raste të veçanta janë elipsoidet e revolucionit, për shembull – sipërfaqja e fituar nga rrotullimi i një elipsi rreth aksit Oz (Në

a > c elipsoidi është i ngjeshur, me një x2 + y2+ z2 + = r2 – ekuacioni i një sfere me rreze r me qendër në origjinë).

4. Ekuacioni kanonik i hiperboloidit me një fletë

(shenja “–” mund të shfaqet para ndonjë prej tre termave në anën e majtë - kjo ndryshon vetëm pozicionin e sipërfaqes në hapësirë). Raste të veçanta janë hiperboloidet me një fletë të revolucionit, për shembull – sipërfaqja e fituar nga rrotullimi i një hiperbole rreth boshtit Oz (boshti imagjinar i hiperbolës).

5. Ekuacioni kanonik i një hiperboloidi me dy fletë

(shenja “–” mund të shfaqet përpara cilitdo prej tre termave në anën e majtë).

Raste të veçanta janë hiperboloidet me dy fletë të rrotullimit, për shembull, një sipërfaqe e marrë duke rrotulluar një hiperbolë rreth boshtit Oz (boshti real i hiperbolës).

6. Ekuacioni kanonik i një paraboloidi eliptik

(p >0, q >0) (1.79)

7. Ekuacioni kanonik i një paraboloidi hiperbolik

(p >0, q >0) (1.80)

(ndryshorja z mund të ndryshojë vendet me cilindo nga variablat x dhe y - pozicioni i sipërfaqes në hapësirë ​​do të ndryshojë).

Vini re se një ide e veçorive (formës) të këtyre sipërfaqeve mund të merret lehtësisht duke marrë në konsideratë seksionet e këtyre sipërfaqeve sipas planeve pingul me boshtet koordinative.

Pyetje kontrolli.

1) Cili grup pikash në hapësirë ​​përcakton ekuacionin?

2) Cilat janë ekuacionet kanonike të cilindrave të rendit të dytë; kon i rendit të dytë; elipsoid; hiperboloid me një fletë; hiperboloid me dy fletë; paraboloid eliptik; paraboloid hiperbolik?

1) Gjeni qendrën dhe rrezen e sferës dhe tregoni përgjigjen e saktë:

a) C(1.5;-2.5;2), ; b) C(1.5;2.5;2), ;

2) Përcaktoni llojin e sipërfaqes të dhënë nga ekuacionet: . Tregoni përgjigjen e saktë:

a) hiperboloid me një fletë; paraboloid hiperbolik; paraboloid eliptik; kon.

b) hiperboloid me dy fletë; paraboloid hiperbolik; paraboloid eliptik; kon.

§7. Plani si sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit. Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar Le të prezantojmë një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor Oxyz në hapësirë ​​dhe të shqyrtojmë një ekuacion të shkallës së parë (ose ekuacioni linear) për x, y, z: (7.1) Ax  Nga  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorema 7.1. Çdo plan mund të specifikohet në një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor kartezian me një ekuacion të formës (7.1). Pikërisht në të njëjtën mënyrë si në rastin e një drejtëze në një plan, anasjellta e teoremës 7.1 është e vlefshme. Teorema 7.2. Çdo ekuacion i formës (7.1) përcakton një rrafsh në hapësirë. Vërtetimi i teoremave 7.1 dhe 7.2 mund të kryhet në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e teoremave 2.1, 2.2. Nga teorema 7.1 dhe 7.2 rezulton se rrafshi dhe vetëm ai është një sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacioni (7.1) quhet ekuacioni i planit të përgjithshëm. Koeficientët e tij  A, B, C interpretohen gjeometrikisht si koordinata të vektorit n pingul me rrafshin e përcaktuar nga ky ekuacion. Ky vektor  n(A, B, C) quhet vektor normal në rrafshin e dhënë. Ekuacioni (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 për të gjitha vlerat e mundshme të koeficientëve A, B, C përcakton të gjitha rrafshet që kalojnë nëpër pikën M 0 ( x0, y0, z0). Quhet ekuacioni i një tufe planesh. Zgjedhja e vlerave specifike të A, B, C në (7.2) nënkupton zgjedhjen e planit P nga lidhja që kalon nëpër pikën M 0 pingul me vektorin e dhënë n(A, B, C) (Fig. 7.1 ). Shembulli 7.1. Shkruani ekuacionin e rrafshit P që kalon në pikën   A(1, 2, 0) paralel me vektorët a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Vektori normal n në P është ortogonal me vektorët e dhënë a dhe b (Fig. 7.2),   prandaj për n mund të marrim vektorin n prodhim të tyre: A    P i j k    ​​  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n     a  4k. Le të zëvendësojmë koordinatat e Fig. 7.2. Për shembull, 7.1 P M0  pika M 0 dhe vektori n në ekuacionin (7.2), marrim Fig. 7.1. Tek ekuacioni i rrafshit të një tufe planesh P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 ose P: 2x  3y  4z  4  0 nëse dy koeficientët 1. A, B, C të ekuacionit (7.1) janë të barabarta me zero, ai specifikon një plan paralel me një nga rrafshet koordinative. Për shembull, kur A  B  0, C  0 – plani P1: Cz  D  0 ose P1: z   D / C (Fig. 7.3). Ai është paralel me rrafshin Oxy, sepse vektori i tij normal  n1(0, 0, C) është pingul me këtë rrafsh. Për A  C  0, B  0 ose B  C  0, A  0, ekuacioni (7. 1) përcakton rrafshet P2: Me  D  0 dhe P3: Ax  D  0, paralel me planet koordinative Oxz dhe Oyz, pasi   vektorët e tyre normalë n2(0, B, 0) dhe n3(A, 0 , 0 ) janë pingul me to (Fig. 7.3). Nëse vetëm një nga koeficientët A, B, C të ekuacionit (7.1) është i barabartë me zero, atëherë ai specifikon një rrafsh paralel me një nga boshtet e koordinatave (ose që e përmban atë nëse D  0). Kështu, plani P: Ax  Nga  D  0 është paralel me boshtin Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plani P: Ax  B y  D  0, paralel me boshtin Oz Fig. 7.3. Planet janë paralele me planet koordinative  pasi vektori i tij normal n(A, B, 0) është pingul me boshtin Oz. Vini re se ai kalon nëpër drejtëzën L: Ax  Nga  D  0 që shtrihet në rrafshin Oxy (Fig. 7.4). Për D  0, ekuacioni (7.1) specifikon një plan që kalon nga origjina. Shembulli 7.2. Gjeni vlerat e parametrit  për të cilin ekuacioni x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 përcakton rrafshin P me një: të planeve koordinative; b) paralel me një nga boshtet koordinative; c) duke kaluar nga origjina e koordinatave. Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Për çdo vlerë , ekuacioni (7.3) përcakton një plan të caktuar, pasi koeficientët e x, y, z në (7.3) nuk zhduken njëkohësisht. a) Për   0, ekuacioni (7.3) përcakton një plan P paralel me rrafshin Oxy, P: z  3 / 2, dhe për   2 përcakton një plan P 2 paralel me rrafshin Oyz, P: x  5/ 2. Për asnjë vlerë të  rrafshi P i përcaktuar nga ekuacioni (7.3) është paralel me rrafshin Oxz, pasi koeficientët e x, z në (7.3) nuk zhduken njëkohësisht. b) Për   1, ekuacioni (7.3) përcakton një plan P paralel me boshtin Oz, P: x  3y  2  0. Për vlerat e tjera të parametrit , ai nuk përcakton një rrafsh paralel me vetëm një nga boshtet e koordinatave. c) Për   3, ekuacioni (7.3) përcakton rrafshin P që kalon nga origjina, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Shembulli 7.3. Shkruani ekuacionin e rrafshit P që kalon nëpër: a) pikën M (1,  3, 2) paralel me boshtin e rrafshit Oxy; b) boshti Ox dhe pika M (2, – 1, 3).   a) Për vektorin normal n në P këtu mund të marrim vektorin k (0, 0,1) - vektorin njësi të boshtit Oz, pasi ai është pingul me rrafshin Oxy. Zëvendësojmë koordinatat e pikës  M (1,  3, 2) dhe vektorit n në ekuacionin (7.2), marrim ekuacionin e planit P: z 3  0.   b) Vektori normal n në P është ortogonal me vektorët i (1, 0, 0) dhe OM (2,  1, 3) ,  prandaj produktin e vektorit të tyre mund ta marrim si n:    i j k      n OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Zëvendësojmë koordinatat e pikës O dhe vektorit n në ekuacionin (7.2), marrim ekuacionin e planit P:  3(y  0)  (z  0)  0 ose P: 3 y  z  0 .◄ 3

Artikuj të ngjashëm