Në këtë artikull do të analizojmë në detaje përkufizimin e rrethit të numrave, do të zbulojmë pronën kryesore të tij dhe do të rregullojmë numrat 1,2,3, etj. Rreth asaj se si të shënoni numra të tjerë në rreth (për shembull, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) kupton .

Rrethi i numrave quhet rrethi me rreze njësi pikat e të cilit korrespondojnë , të rregulluar sipas rregullave të mëposhtme:

1) Origjina është në pikën e djathtë ekstreme të rrethit;

2) Në drejtim të kundërt - drejtim pozitiv; në drejtim të akrepave të orës - negative;

3) Nëse e vendosim distancën \(t\) në rreth në drejtim pozitiv, atëherë do të arrijmë në një pikë me vlerën \(t\);

4) Nëse e vizatojmë distancën \(t\) në rreth në një drejtim negativ, atëherë do të arrijmë në një pikë me vlerën \(–t\).

Pse rrethi quhet rreth numëror?
Sepse ka numra mbi të. Në këtë mënyrë, rrethi është i ngjashëm me boshtin e numrave - në rreth, si në bosht, ka një pikë specifike për çdo numër.

Pse e dini se çfarë është një rreth numrash?
Duke përdorur rrethin e numrave, përcaktohen vlerat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve. Prandaj, për të njohur trigonometrinë dhe për të kaluar Provimin e Unifikuar të Shtetit me 60+ pikë, duhet të kuptoni se çfarë është rrethi me numra dhe si të vendosni pika në të.

Çfarë nënkuptojnë në përkufizim fjalët "...e rrezes së njësisë..."?
Kjo do të thotë se rrezja e këtij rrethi është e barabartë me \(1\). Dhe nëse ndërtojmë një rreth të tillë me qendër në origjinë, atëherë ai do të kryqëzohet me boshtet në pikat \(1\) dhe \(-1\).

Nuk duhet të vizatohet i vogël; mund të ndryshoni "madhësinë" e ndarjeve përgjatë akseve, atëherë fotografia do të jetë më e madhe (shih më poshtë).

Pse rrezja është saktësisht një? Kjo është më e përshtatshme, sepse në këtë rast, kur llogaritim perimetrin duke përdorur formulën \(l=2πR\), marrim:

Gjatësia e rrethit të numrave është \(2π\) ose afërsisht \(6.28\).

Çfarë do të thotë "...pikat e të cilave korrespondojnë me numrat realë"?
Siç thamë më lart, në rrethin e numrave për çdo numër real do të jetë patjetër "vendi" i tij - një pikë që korrespondon me këtë numër.

Pse të përcaktoni origjinën dhe drejtimin në rrethin e numrave?
Qëllimi kryesor i rrethit të numrave është të përcaktojë në mënyrë unike pikën e tij për çdo numër. Por si mund të përcaktoni se ku të vendosni pikën nëse nuk dini nga të numëroni dhe ku të lëvizni?

Këtu është e rëndësishme të mos ngatërroni origjinën në vijën e koordinatave dhe në rrethin e numrave - këto janë dy sisteme të ndryshme referimi! Dhe gjithashtu mos e ngatërroni \(1\) në boshtin \(x\) dhe \(0\) në rreth - këto janë pika në objekte të ndryshme.

Cilat pika korrespondojnë me numrat \(1\), \(2\), etj.?

Mos harroni, ne supozuam se rrethi i numrave ka një rreze prej \(1\)? Ky do të jetë segmenti ynë njësi (për analogji me boshtin e numrave), të cilin do ta vizatojmë në rreth.

Për të shënuar një pikë në rrethin e numrave që korrespondon me numrin 1, duhet të shkoni nga 0 në një distancë të barabartë me rrezen në drejtim pozitiv.

Për të shënuar një pikë në rrethin që korrespondon me numrin \(2\), ju duhet të udhëtoni një distancë të barabartë me dy rreze nga origjina, në mënyrë që \(3\) të jetë një distancë e barabartë me tre rreze, etj.

Kur shikoni këtë foto, mund të keni 2 pyetje:
1. Çfarë ndodh kur rrethi "mbaron" (d.m.th. ne bëjmë një revolucion të plotë)?
Përgjigje: le të shkojmë në raundin e dytë! Dhe kur të përfundojë i dyti, do të shkojmë te i treti e kështu me radhë. Prandaj, një numër i pafund numrash mund të vizatohen në një rreth.

2. Ku do të jenë numrat negativë?
Përgjigje: po aty! Ato gjithashtu mund të rregullohen, duke numëruar nga zero numrin e kërkuar të rrezeve, por tani në një drejtim negativ.

Fatkeqësisht, është e vështirë të shënosh numra të plotë në rrethin e numrave. Kjo për faktin se gjatësia e rrethit të numrave nuk do të jetë e barabartë me një numër të plotë: \(2π\). Dhe në vendet më të përshtatshme (në pikat e kryqëzimit me boshtet) do të ketë gjithashtu fraksione, jo numra të plotë

Perimetriështë vendndodhja e pikave në rrafshin në distancë të barabartë nga një pikë fikse e quajtur qendër.

Le të jetë pika qendra, dhe pika
, është një pikë arbitrare në rreth. Pastaj

ku quhet R rreze rrethi, ose i zgjeruar

Ekuacioni (4) quhet kanonike ekuacioni i një rrethi.

Komentoni. Nëse në barazimin (4) shënojmë
,
dhe ndajini të dyja pjesët me
, marrim ekuacionin
. Se. një rreth është një rast i veçantë i një elipse me gjysmëboshte të barabartë.

7.1.3. Hiperbola

Hiperbolaështë vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafsh, për secilën prej të cilave moduli i diferencës në largësi nga dy pika fikse, i quajtur truket, është një vlerë konstante.

Le
, - fokusohet, distanca
,Mështë një pikë arbitrare e hiperbolës. Pastaj, sipas përkufizimit, kemi

, (5)

Ku A- vlera e specifikuar.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ duke përdorur metodën e treguar më poshtë në figurë.

atëherë relacioni (5) pas transformimeve algjebrike dhe eliminimit të irracionalitetit mund të përfaqësohet si:

(6)

që quhet ekuacioni kanonik i një hiperbole. Në këtë sistem koordinativ dhe në ekuacionin e specifikuar (6), grafiku i hiperbolës ka formën:

Nëse ekuacioni i hiperbolës ka formën

(7)

atëherë, në përputhje me rrethanat, grafiku i tij duket si:

Opsione Dhe të quajtura gjysmë boshte - e vlefshme, - eksplicite. Parametri

(8)

thirrur ekscentricitet. Karakterizon formën e një hiperbole.

Le të vëmë re disa veti të hiperbolës.

1) Një hiperbolë ka të paktën dy boshte simetrie dhe një qendër simetrie.

Në të vërtetë, periudhë (0;0) për çdo vendndodhje të grafikut të hiperbolës në sistemin e koordinatave kanonik, ai është qendra e simetrisë. Rolin e boshteve të simetrisë e luajnë boshtet Oh Dhe OU.

2) Një hiperbolë kryqëzon një nga boshtet e simetrisë në dy pika të quajturamajat , hiperbola nuk kryqëzohet me boshtin tjetër të simetrisë.

Të tilla, në grafikun e parë, kulmet e hiperbolës (6) ndodhen në bosht Oh, këto janë pikat
Dhe
, në grafikun e dytë (7) - në bosht OU, - Kjo
Dhe
.

3) Një hiperbolë ka asimptota, domethënë vija të drejta të cilave hiperbola afrohet pa kufi., nëse një pikë që rrëshqet përgjatë saj shkon në pafundësi.

Për një hiperbolë me ekuacion kanonik
asimptotat përshkruhen nga ekuacionet

Dhe
. (9)

Për një hiperbolë të dhënë nga ekuacioni
asimptotat jepen me vija të drejta

. (10)

Truket hiperbolike
(ose
Për
) ndodhen në të njëjtin bosht me kulmet e tij. Këtu

. (11)

Vetia optike e hiperbolës. Një rreze që del nga një nga fokuset e hiperbolës, pas reflektimit të saj nga kurba, udhëton sikur të kishte dalë nga fokusi i dytë.

7.1.4. Parabola

Parabolaështë vendndodhja e pikave në rrafshin në distancë të barabartë nga një pikë fikse, e quajtur fokusi, dhe kjo linjë, e cila quhet drejtoreshë.

Le të jetë e drejtë l, - drejtoresha, - fokus dhe distancuar nga drejtoresha fq, dhe pikë M, është një pikë arbitrare e parabolës. Pastaj

Le të zgjedhim një sistem koordinativ siç tregohet më poshtë.

.

Atëherë ekuacioni i parabolës, pasi të eliminojë irracionalitetin, do të marrë formën

,
(12)

që quhet ekuacioni kanonik i parabolës. Në këtë sistem koordinativ dhe në ekuacionin e specifikuar (12), grafiku i parabolës ka formën:

Për ekuacionin e gjetur kanonik të parabolës, ekuacioni i drejtpërdrejtë

,
(13)

dhe fokus ndodhet në pikën
.

Le të vërejmë një nga vetitë.

Një parabolë ka një bosht simetrie.

Në sistemin koordinativ të zgjedhur më sipër, boshti i simetrisë së parabolës është Oh.

Komentoni. 1. Nëse fokusi ka koordinata
, dhe direktriksi përshkruhet nga ekuacioni
, atëherë ekuacioni i parabolës merr formën

. (14)

Nëse fokusi vendoset në bosht 0v, atëherë ekuacioni merr formën

ose
, (15)

në varësi të vendndodhjes së drejtoreshës (
ose
, respektivisht). Këto ekuacione quhen gjithashtu kanonike. Karakteristikat e vërejtura bëjnë të mundur përcaktimin e paqartë të vendndodhjes së parabolës dhe veçorive të saj karakteristike (koordinatat e fokusit, ekuacioni direktriks).

Optikeproneparabola. Rrezet paralele me boshtin e parabolës, pas reflektimit nga kurba, kalojnë nëpër fokusin e saj.

Rretho- një figurë gjeometrike e përbërë nga të gjitha pikat e rrafshit të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Kjo pikë (O) quhet qendra e rrethit.
Rrezja e rrethit- ky është një segment që lidh qendrën me çdo pikë të rrethit. Të gjitha rrezet kanë të njëjtën gjatësi (sipas përkufizimit).
Akord- një segment që lidh dy pika në një rreth. Një akord që kalon në qendër të një rrethi quhet diametri. Qendra e një rrethi është mesi i çdo diametri.
Çdo dy pika në një rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet harku i një rrethi. Harku quhet gjysmërreth, nëse segmenti që lidh skajet e tij është një diametër.
Gjatësia e një gjysmërrethi njësi shënohet me π .
Shuma e masave të shkallës së dy harqeve të një rrethi me skaje të përbashkëta është e barabartë me 360º.
Pjesa e rrafshit e kufizuar me rreth quhet përreth.
Sektori rrethor- një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një hark dhe dy rreze që lidhin skajet e harkut me qendrën e rrethit. Harku që kufizon sektorin quhet harku i sektorit.
Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.
Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta ortogonale.

Pozicioni relativ i vijës së drejtë dhe rrethit

1. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e vogël se rrezja e rrethit ( d), atëherë drejtëza dhe rrethi kanë dy pika të përbashkëta. Në këtë rast linja quhet sekant në raport me rrethin.
2. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me rrezen e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Kjo linjë quhet tangjente me rrethin, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika e tangjences midis një vije dhe një rrethi.
3. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e madhe se rrezja e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta
.

Kënde qendrore dhe të brendashkruara

Këndi qendrorështë një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit.
Këndi i brendashkruar- një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe brinjët e të cilit e ndërpresin rrethin.

Teorema e këndit të brendashkruar

Një kënd i brendashkruar matet me gjysmën e harkut mbi të cilin shtrihet.

• Përfundimi 1.
  Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë të barabartë.


• Përfundimi 2.
  Një kënd i brendashkruar i nënshtruar nga një gjysmërreth është një kënd i drejtë.

Teorema mbi produktin e segmenteve të kordave të kryqëzuara.

Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Formulat bazë

• Perimetri:

C = 2∙π∙R

• Gjatësia e harkut rrethor:

R = С/(2∙π) = D/2

• Diametri:

D = C/π = 2∙R

• Gjatësia e harkut rrethor:

l = (π∙R) / 180∙α,
Ku α - masa e shkallës së gjatësisë së një harku rrethor)

• Zona e një rrethi:

S = π∙R 2

• Zona e sektorit rrethor:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ekuacioni i një rrethi

• Në një sistem koordinativ drejtkëndor, ekuacioni i një rrethi me rreze është r të përqendruar në një pikë C(x o;y o) ka formën:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

• Ekuacioni i një rrethi me rreze r me qendër në origjinë ka formën:

x 2 + y 2 = r 2

DHE rrethi- forma gjeometrike të ndërlidhura. ka një vijë të thyer kufiri (lakore) rrethi,

Përkufizimi. Rrethi është një kurbë e mbyllur, secila pikë e së cilës është e barabartë nga një pikë e quajtur qendra e rrethit.

Për të ndërtuar një rreth, zgjidhet një pikë arbitrare O, merret si qendër e rrethit dhe vizatohet një vijë e mbyllur duke përdorur një busull.

Nëse pika O e qendrës së rrethit është e lidhur me pika arbitrare në rreth, atëherë të gjithë segmentet që rezultojnë do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe segmente të tilla quhen rreze, të shkurtuara me shkronjën latine të vogël ose të madhe "er" ( r ose R). Ju mund të vizatoni aq rreze në një rreth sa ka pika në gjatësinë e rrethit.

Një segment që lidh dy pika në një rreth dhe kalon nga qendra e tij quhet diametër. Diametri përbëhet nga dy rrezet, i shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Diametri tregohet me shkronjën latine të vogël ose të madhe "de" ( d ose D).

Rregulli. Diametri një rreth është i barabartë me dy prej tij rrezet.

d = 2r
D=2R

Perimetri i një rrethi llogaritet me formulë dhe varet nga rrezja (diametri) e rrethit. Formula përmban numrin ¶, i cili tregon se sa herë perimetri është më i madh se diametri i tij. Numri ¶ ka një numër të pafund vendesh dhjetore. Për llogaritjet, është marrë ¶ = 3.14.

Perimetri i një rrethi shënohet me shkronjën e madhe latine "tse" ( C). Perimetri i një rrethi është proporcional me diametrin e tij. Formulat për llogaritjen e perimetrit të një rrethi bazuar në rrezen dhe diametrin e tij:

C = ¶d
C = 2¶r

• Shembuj
• Jepet: d = 100 cm.
• Perimetri: C=3.14*100cm=314cm
• Jepet: d = 25 mm.
• Perimetri: C = 2 * 3.14 * 25 = 157 mm

Sekant rrethor dhe hark rrethor

Çdo sekant (vijë e drejtë) pret një rreth në dy pika dhe e ndan atë në dy harqe. Madhësia e harkut të një rrethi varet nga distanca midis qendrës dhe sekantit dhe matet përgjatë një kurbë të mbyllur nga pika e parë e kryqëzimit të sekantit me rrethin në të dytën.

harqe rrathët janë të ndarë sekant në një të madh dhe një minor nëse sekanti nuk përkon me diametrin dhe në dy harqe të barabarta nëse sekanti kalon përgjatë diametrit të rrethit.

Nëse një sekant kalon nëpër qendrën e një rrethi, atëherë segmenti i tij i vendosur midis pikave të kryqëzimit me rrethin është diametri i rrethit, ose korda më e madhe e rrethit.

Sa më larg sekanti ndodhet nga qendra e rrethit, aq më e vogël është masa e shkallës së harkut më të vogël të rrethit dhe aq më i madh është harku më i madh i rrethit, dhe segmenti i sekantit, i quajtur akord, zvogëlohet ndërsa sekanti largohet nga qendra e rrethit.

Përkufizimi. Një rreth është një pjesë e një aeroplani të shtrirë brenda një rrethi.

Qendra, rrezja dhe diametri i një rrethi janë njëkohësisht qendra, rrezja dhe diametri i rrethit përkatës.

Meqenëse një rreth është pjesë e një rrafshi, një nga parametrat e tij është zona.

Rregulli. Sipërfaqja e një rrethi ( S) është e barabartë me produktin e katrorit të rrezes ( r 2) në numrin ¶.

• Shembuj
• Jepet: r = 100 cm
• Zona e një rrethi:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31,400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Jepet: d = 50 mm
• Zona e një rrethi:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1,963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Nëse vizatoni dy rreze në një rreth në pika të ndryshme të rrethit, atëherë formohen dy pjesë të rrethit, të cilat quhen sektorët. Nëse vizatoni një akord në një rreth, atëherë pjesa e rrafshit midis harkut dhe kordës quhet segment rrethi.

Artikuj të ngjashëm