Derivatet dhe diferencialet e pjesshme. Derivat i pjesshëm, FNP diferencial i plotë

Derivat i pjesshëm funksionet z = f(x, y nga ndryshorja x Derivati i këtij funksioni në një vlerë konstante të ndryshores y quhet, shënohet me ose z" x.

Derivat i pjesshëm funksionet z = f(x, y) nga ndryshorja y quhet derivat në lidhje me y në një vlerë konstante të ndryshores y; është caktuar ose z" y.

Derivati i pjesshëm i një funksioni të disa ndryshoreve në lidhje me një ndryshore përcaktohet si derivat i atij funksioni në lidhje me variablin përkatës, me kusht që variablat e mbetur të mbahen konstante.

Diferencial i plotë funksioni z = f(x, y) në një moment M(X, y) quhet shprehje

Ku dhe janë llogaritur në pikën M(x, y), dhe dx = , dy = y.

Shembulli 1

Llogaritni diferencialin total të funksionit.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 në pikën M(1; 2)

Zgjidhja:

1) Gjeni derivatet e pjesshme:

2) Llogaritni vlerën e derivateve të pjesshme në pikën M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Pyetje për vetëkontroll:

1. Çfarë quhet antiderivativ? Listoni vetitë e antiderivativit.

2. Çfarë quhet integral i pacaktuar?

3. Listoni vetitë e integralit të pacaktuar.

4. Listoni formulat bazë të integrimit.

5. Çfarë metodash integrimi dini?

6. Cili është thelbi i formulës Njuton-Leibniz?

7. Jepni përkufizimin e një integrali të caktuar.

8. Cili është thelbi i llogaritjes së një integrali të caktuar duke përdorur metodën e zëvendësimit?

9. Cili është thelbi i metodës së llogaritjes së një integrali të caktuar sipas pjesëve?

10. Cili funksion quhet funksion i dy ndryshoreve? Si është caktuar?

11. Cili funksion quhet funksion i tre variablave?

12. Cila bashkësi quhet domeni i përkufizimit të një funksioni?

13. Duke përdorur cilat pabarazi mund të përcaktoni një rajon të mbyllur D në një rrafsh?

14. Cili është derivati i pjesshëm i funksionit z = f(x, y) në lidhje me ndryshoren x? Si është caktuar?

15. Cili është derivati i pjesshëm i funksionit z = f(x, y) në lidhje me ndryshoren y? Si është caktuar?

16. Cila shprehje quhet diferencial total i një funksioni

Tema 1.2 Ekuacionet diferenciale të zakonshme.

Problemet që çojnë në ekuacione diferenciale. Ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme. Zgjidhje të përgjithshme dhe specifike. Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë. Ekuacione lineare homogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Mësimi praktik nr. 7 “Gjetja e zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta të ekuacioneve diferenciale me ndryshore të ndashme”*

Mësimi praktik nr.8 “Ekuacione diferenciale lineare dhe homogjene”

Mësimi praktik nr.9 “Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë me koeficientë konstante”*

L4, kapitulli 15, f. 243 – 256

Udhëzimet

Lëreni funksionin të përcaktohet në ndonjë domen (të hapur). D pikë
hapësirë dimensionale, dhe
– një pikë në këtë zonë, d.m.th.
D.

Rritja e pjesshme e funksionit e shumë variablave për çdo variabël është rritja që do të marrë funksioni nëse i japim një rritje kësaj ndryshoreje, duke supozuar se të gjitha ndryshoret e tjera kanë vlera konstante.

Për shembull, rritja e pjesshme e një funksioni sipas ndryshoreve do

Derivat i pjesshëm në lidhje me variablin e pavarur në pikën
i një funksioni quhet kufiri (nëse ekziston) i raportit të rritjes së pjesshme
funksionet në rritje
e ndryshueshme duke u përpjekur
në zero:

Derivati i pjesshëm shënohet me një nga simbolet:

;
.

Komentoni. Indeksi më poshtë në këto shënime tregon vetëm se cili nga variablat është marrë derivati dhe nuk lidhet me cilën pikë
llogaritet ky derivat.

Llogaritja e derivateve të pjesshme nuk është asgjë e re në krahasim me llogaritjen e derivatit të zakonshëm; thjesht duhet të mbani mend se kur diferenconi një funksion në lidhje me çdo ndryshore, të gjitha ndryshoret e tjera merren si konstante. Le ta tregojmë këtë me shembuj.

Shembulli 1.Gjeni derivatet e pjesshme të një funksioni
.

Zgjidhje. Kur njehsohet derivati i pjesshëm i një funksioni
me argument konsideroni funksionin si funksion i vetëm një ndryshoreje , d.m.th. ne besojmë se ka një vlerë fikse. Në fikse funksionin
është një funksion fuqie i argumentit . Duke përdorur formulën për diferencimin e një funksioni fuqie, marrim:

Në mënyrë të ngjashme, gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm supozojmë se vlera është fikse , dhe merrni parasysh funksionin
si funksion eksponencial i argumentit . Si rezultat marrim:

Shembulli 2. NDerivatet e pjesshme të TI-së Dhe funksione
.

Zgjidhje. Gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm në lidhje me funksioni i dhënë do ta konsiderojmë si funksion të një ndryshoreje , dhe shprehjet që përmbajnë , do të jenë faktorë konstant, d.m.th.
vepron si një koeficient konstant me një funksion fuqie (
). Duke e diferencuar këtë shprehje nga , marrim:

Tani, përkundrazi, funksioni konsiderohet si funksion i një ndryshoreje , ndërsa shprehjet që përmbajnë , vepron si koeficient
(
).Diferencues sipas rregullave të diferencimit të funksioneve trigonometrike marrim:

Shembulli 3. Llogaritni derivatet e pjesshme të funksioneve
në pikën
.

Zgjidhje. Ne fillimisht gjejmë derivatet e pjesshme të këtij funksioni në një pikë arbitrare
fusha e tij e përkufizimit. Gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm në lidhje me ne besojmë se
janë të përhershme.

kur diferencohet nga do të jetë i përhershëm
:

dhe kur llogariten derivatet e pjesshme në lidhje me dhe nga , në mënyrë të ngjashme, do të jetë konstante, përkatësisht,
Dhe
, d.m.th.:

Tani le të llogarisim vlerat e këtyre derivateve në pikë
, duke zëvendësuar vlerat specifike të variablave në shprehjet e tyre. Si rezultat marrim:

11. Funksionet diferenciale të pjesshme dhe të plota

Nëse tani në rritje të pjesshme
zbatoni teoremën e Lagranzhit në rritje të fundme në një ndryshore , atëherë, duke marrë parasysh të vazhdueshme, marrim marrëdhëniet e mëposhtme:

Ku
,
- një vlerë pafundësisht e vogël.

Funksioni diferencial i pjesshëm sipas ndryshores quhet pjesa kryesore lineare e rritjes së pjesshme
, e barabartë me produktin e derivatit të pjesshëm në lidhje me këtë ndryshore dhe rritjen e kësaj ndryshoreje, dhe shënohet

Natyrisht, një diferencial i pjesshëm ndryshon nga një rritje e pjesshme me një infinitimale të rendit më të lartë.

Rritja e funksionit të plotë e shumë variablave quhet rritja që do të marrë kur u japim një rritje të gjithë variablave të pavarur, d.m.th.

ku janë të gjithë
, varen dhe së bashku me to priren në zero.

Nën diferenciale të variablave të pavarur ranë dakord të nënkuptojnë arbitrare rritjet
dhe caktoni ato
. Kështu, shprehja për diferencialin e pjesshëm do të marrë formën:

Për shembull, diferencial i pjesshëm Nga përkufizohet kështu:

Diferencial i plotë
një funksion i disa ndryshoreve quhet pjesa kryesore lineare e rritjes totale
, e barabartë, d.m.th. shuma e të gjitha diferencave të tij të pjesshme:

Nëse funksioni
ka derivate të pjesshme të vazhdueshme

në pikën
pastaj ajo të diferencueshëm në një pikë të caktuar.

Kur mjaft i vogël për një funksion të diferencueshëm
ka barazi të përafërta

me të cilat mund të bëni llogaritje të përafërta.

Shembulli 4.Gjeni diferencialin e plotë të një funksioni
tre variabla
.

Zgjidhje. Para së gjithash, gjejmë derivatet e pjesshme:

Duke vënë re se ato janë të vazhdueshme për të gjitha vlerat
, ne gjejme:

Për diferencialet e funksioneve të shumë ndryshoreve, të gjitha teoremat për vetitë e diferencialeve, të vërtetuara për rastin e funksioneve të një ndryshoreje, janë të vërteta, për shembull: nëse Dhe – funksionet e vazhdueshme të ndryshoreve
, duke pasur derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me të gjitha variablat, dhe Dhe janë konstante arbitrare, atëherë:

(6)

Le të shqyrtojmë ndryshimin e një funksioni kur specifikojmë një rritje në vetëm një nga argumentet e tij - x i, dhe le ta quajmë atë.

Përkufizimi 1.7.Derivat i pjesshëm funksionon me argument x i thirrur .

Emërtimet: .

Kështu, derivati i pjesshëm i një funksioni të disa variablave në të vërtetë përcaktohet si derivat i funksionit një ndryshore – x i. Prandaj, të gjitha vetitë e derivateve të vërtetuara për një funksion të një ndryshoreje janë të vlefshme për të.

Komentoni. Në llogaritjen praktike të derivateve të pjesshme, ne përdorim rregullat e zakonshme për diferencimin e një funksioni të një ndryshoreje, duke supozuar se argumenti me të cilin kryhet diferencimi është i ndryshueshëm dhe argumentet e mbetura janë konstante.

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Interpretimi gjeometrik i derivateve të pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve.

Merrni parasysh ekuacionin e sipërfaqes z = f(x,y) dhe vizatoni një aeroplan x = konst. Le të zgjedhim një pikë në vijën e kryqëzimit të rrafshit dhe sipërfaqes M(x,y). Nëse ju jepni argumentin në rritje Δ në dhe konsideroni pikën T në kurbë me koordinata ( x, y+Δ y, z+Δy z), pastaj tangjentja e këndit të formuar nga sekanti MT me drejtim pozitiv të boshtit O në, do të jetë e barabartë me . Duke kaluar në kufirin në , ne gjejmë se derivati i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me lakoren që rezulton në pikën M me drejtim pozitiv të boshtit O u. Prandaj, derivati i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit me boshtin O X tangjente me lakoren e përftuar si rezultat i prerjes së sipërfaqes z = f(x,y) aeroplan y = konst.

Përkufizimi 2.1. Rritja e plotë e një funksioni u = f(x, y, z) quhet

Përkufizimi 2.2. Nëse rritja e funksionit u = f (x, y, z) në pikën (x 0 , y 0 , z 0) mund të paraqitet në formën (2.3), (2.4), atëherë funksioni quhet i diferencueshëm në kjo pikë, dhe shprehja quhet pjesa kryesore lineare e rritjes ose diferencialit total të funksionit në fjalë.

Emërtimet: du, df (x 0, y 0, z 0).

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferencialet e variablave të pavarur konsiderohen si rritje arbitrare të tyre, prandaj

Vërejtje 1. Pra, pohimi “funksioni është i diferencueshëm” nuk është ekuivalent me pohimin “funksioni ka derivate të pjesshme” - për diferencibilitet kërkohet edhe vazhdimësia e këtyre derivateve në pikën në fjalë.

4. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Lëreni funksionin z = f (x, y)është i diferencueshëm në një lagje të pikës M (x 0 , y 0). Atëherë derivatet e tij të pjesshëm janë koeficientët këndorë të tangjentëve në vijat e kryqëzimit të sipërfaqes z = f (x, y) me avionë y = y 0 Dhe x = x 0, e cila do të jetë tangjente me vetë sipërfaqen z = f (x, y). Le të krijojmë një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër këto rreshta. Vektorët e drejtimit tangjentë kanë formën (1; 0; ) dhe (0; 1; ), kështu që normalja me rrafshin mund të përfaqësohet si prodhimi i tyre vektor: n = (- ,- , 1). Prandaj, ekuacioni i aeroplanit mund të shkruhet si më poshtë:

Ku z 0 = .

Përkufizimi 4.1. Rrafshi i përcaktuar nga ekuacioni (4.1) quhet rrafshi tangjent në grafikun e funksionit z = f (x, y) në një pikë me koordinata (x 0, y 0, z 0).

Nga formula (2.3) për rastin e dy variablave del se rritja e funksionit f në afërsi të një pike M mund të përfaqësohet si:

Rrjedhimisht, diferenca midis aplikimeve të grafikut të një funksioni dhe planit tangjent është një infinitimal i një renditjeje më të lartë se ρ, në ρ→ 0.

Në këtë rast, diferenciali i funksionit f ka formën:

që korrespondon me Rritja e aplikimeve të një plani tangjent në grafikun e një funksioni. Ky është kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Përkufizimi 4.2. Vektor jozero pingul me planin tangjent në një pikë M (x 0 , y 0) sipërfaqeve z = f (x, y), thirri normale në sipërfaqe në këtë pikë.

Është e përshtatshme për të marrë vektorin -- n = { , ,-1}.

Linearizimi i një funksioni. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen.

Derivatet dhe diferencialet e rendit te larte.

1. Derivatet e pjesshme të FNP *)

Merrni parasysh funksionin Dhe = f(P), РÎDÌR n ose, çfarë është e njëjta,

Dhe = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Le të rregullojmë vlerat e variablave X 2 , ..., x n, dhe ndryshoren X 1 le të japim rritjen D X 1 . Pastaj funksioni Dhe do të marrë një rritje të përcaktuar nga barazia

= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Kjo rritje quhet rritje private funksione Dhe sipas ndryshores X 1 .

Përkufizimi 7.1. Funksioni derivator i pjesshëm Dhe = f(X 1 , X 2 , ..., x n) sipas ndryshores X 1 është kufiri i raportit të rritjes së pjesshme të një funksioni me rritjen e argumentit D X 1 në D X 1 ® 0 (nëse ekziston ky kufi).

Derivati i pjesshëm në lidhje me X 1 karaktere

Kështu, sipas përkufizimit

Derivatet e pjesshme në lidhje me variablat e tjerë përcaktohen në mënyrë të ngjashme X 2 , ..., x n. Nga përkufizimi është e qartë se derivati i pjesshëm i një funksioni në lidhje me një ndryshore x iështë derivati i zakonshëm i një funksioni të një ndryshoreje x i, kur variablat e tjerë konsiderohen konstante. Prandaj, të gjitha rregullat e studiuara më parë dhe formulat e diferencimit mund të përdoren për të gjetur derivatin e një funksioni të disa ndryshoreve.

Për shembull, për funksionin u = x 3 + 3xy – z 2 kemi

Kështu, nëse një funksion i disa ndryshoreve jepet në mënyrë eksplicite, atëherë pyetjet për ekzistencën dhe gjetjen e derivateve të tij të pjesshme reduktohen në pyetjet përkatëse në lidhje me funksionin e një ndryshoreje - atë për të cilën është e nevojshme të përcaktohet derivati.

Le të shqyrtojmë një funksion të përcaktuar në mënyrë implicite. Le të jetë ekuacioni F( x, y) = 0 përcakton një funksion të nënkuptuar të një ndryshoreje X. E drejtë

Teorema 7.1.

Le të F( x 0 , y 0) = 0 dhe funksionet F( x, y), F¢ X(x, y), F¢ në(x, y) janë të vazhdueshme në disa lagje të pikës ( X 0 , në 0), dhe F¢ në(x 0 , y 0) ¹ 0. Më pas funksioni në, dhënë në mënyrë implicite nga ekuacioni F( x, y) = 0, ka në pikën ( x 0 , y 0) derivat, i cili është i barabartë me

Nëse kushtet e teoremës plotësohen në çdo pikë të rajonit DÌ R 2, atëherë në secilën pikë të këtij rajoni .

Për shembull, për funksionin X 3 –2në 4 + Uau+ 1 = 0 gjejmë

Le tash ekuacionin F( x, y, z) = 0 përcakton një funksion implicit të dy variablave. Le të gjejmë dhe. Që nga llogaritja e derivatit në lidhje me X prodhuar në një (konstante) fikse në, atëherë në këto kushte barazia F( x, y=konst, z) = 0 përcakton z si funksion i një ndryshoreje X dhe sipas teoremës 7.1 marrim