Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë

Institucion arsimor

Universiteti Shtetëror i Brestit me emrin A.S. Pushkin

Fakulteti i Fizikës

Departamenti i Metodave të Mësimdhënies së Fizikës dhe OTD

PUNA KURSI

LËKUNDJET JOLINEARE DHE SINKRONIZIMI I LËKUNDJEVE

Realizuar nga një student i grupit FI-51

Pashkevich A.Ya.

Këshilltar shkencor:

Ph.D. Sc., Profesor i Asociuar N.N. Vorsin

Brest, 2012

Prezantimi

1.1 Lëkundjet lineare në prani të një force të jashtme deterministe

2. Dridhjet e lira të sistemeve konservatore me forca rikuperuese jolineare

2.1 Lëkundjet e lira jolineare të sistemeve me forcë amortizuese dhe jolineare rivendosëse

2.2 Lloje të ndryshme karakteristikash0

3. Lëkundje të pamposhtura dhe relaksuese

3.1 Analiza cilësore e ekuacionit van der Pol

3.2 Lëkundjet jolineare të shoqëruara, marrësi rigjenerues i bllokuar në fazë dhe parimi i sinkronizimit

3.3 Ekuacionet bazë

3.4 Lëkundjet me detonim të madh

3.5 Lëkundjet e kombinuara të amplitudës konstante

3.6 Problemet elektrike që çojnë në ekuacionin Hill

konkluzioni

Bibliografi

Prezantimi

Nuk është për t'u habitur që një fizikant duhet të jetë në gjendje të gjejë zgjidhje për problemet jolineare, pasi shumë dukuri që ndodhin në botën rreth tij kontrollohen nga varësi jolineare. Në procesin e zhvillimit të shkencave matematikore, vështirësitë e analizës jolineare penguan formulimin e ideve për lëvizjet jolineare që do të lejonin një kuptim më të thellë të fenomeneve të tilla.

Nëse hedhim një vështrim prapa në historinë e arritjeve shkencore, është e habitshme që përpjekjet kryesore të studiuesve u përqendruan vetëm në studimin e sistemeve lineare dhe koncepteve lineare. Nëse në të njëjtën kohë i hidhni një sy botës përreth nesh, fjalë për fjalë në çdo hap hasni në fenomene që janë jolineare në natyrë. Konceptet lineare ofrojnë vetëm një kuptim sipërfaqësor të pjesës më të madhe të asaj që ndodh në natyrë. Për ta bërë analizën më realiste, është e nevojshme të arrihet një nivel më i lartë dhe lehtësi më e madhe në kuptimin dhe përdorimin e paraqitjeve jolineare.

Vitet e fundit janë zhvilluar metoda të analizës kompjuterike dhe në shumë raste është besuar se zgjidhjet që rezultojnë mund të ofrojnë një kuptim më të mirë të manifestimeve të jolinearitetit. Në përgjithësi, është zbuluar se një kërkim i thjeshtë i zgjidhjeve numerike çon vetëm në një kuptim pak më të madh të proceseve jolineare sesa, për shembull, vëzhgimi i vetë natyrës, "bluarja" e zgjidhjeve për një problem të tillë specifik jolinear siç është moti. Duket se kuptimi ynë nuk bazohet në ekuacione apo zgjidhje të tyre, por në koncepte themelore dhe të mësuara mirë. Në mënyrë tipike, ne e kuptojmë mjedisin tonë vetëm kur mund ta përshkruajmë atë në terma të koncepteve që janë aq të thjeshta sa mund të kuptohen mirë dhe aq të gjera sa mund të operojmë me to pa iu referuar një situate specifike. Lista e koncepteve të tilla është e gjerë dhe përfshin, për shembull, terma të tillë si rezonanca, histereza, valët, reagimet, shtresat kufitare, turbulencat, valët goditëse, deformimi, frontet e motit, imuniteti, inflacioni, depresioni, etj. Shumica e më të dobishmeve proceset janë të natyrës jolineare dhe paaftësia jonë për të përshkruar me një gjuhë të saktë matematikore dukuri të tilla të përditshme si rrjedha e ujit në një ulluqe ose rrotullimi i tymit nga një cigare qëndron pjesërisht në mosgatishmërinë tonë për të zhytur më parë dhe kuptuar matematikën jolineare.

Fenomeni i rezonancës, siç dihet, ndodh shpesh në materien e gjallë. Pas Wiener, Szent-Györgyi propozoi rëndësinë e rezonancës për strukturën e muskujve. Rezulton se substancat me veti të forta rezonante zakonisht kanë një aftësi të jashtëzakonshme për të ruajtur energjinë dhe informacionin, dhe një akumulim i tillë padyshim ndodh në muskul.

Lëkundjet jolineare, lëkundjet jolineare të rastësishme dhe lëkundjet jolineare të çiftëzuara (të sinkronizuara në fazë) përbëjnë vetë thelbin e dukurive në shumë fusha të shkencës dhe teknologjisë, si komunikimi dhe energjia; proceset ritmike zhvillohen në sistemet biologjike dhe fiziologjike. Biofizikan, meteorolog, gjeofizik, fizikan bërthamor, sizmolog - të gjithë kanë të bëjnë me lëkundjet jolineare, shpesh të bllokuara me faza në një formë ose në një tjetër. Për shembull, një inxhinier energjetik merret me problemin e qëndrueshmërisë së makinave sinkrone, një inxhinier komunikimi merret me paqëndrueshmërinë e përzgjedhjes ose sinkronizimit të kohës, një fiziolog merret me klonusin, një neurolog merret me ataksi, një meteorolog merret me frekuencën e luhatjeve në presioni atmosferik, një kardiolog merret me luhatjet e shkaktuara nga puna e zemrës, një biolog - me luhatjet e shkaktuara nga rrjedha e orës biologjike.

Qëllimi kryesor i tezës është të shqyrtojë një sërë problemesh në teorinë e lëkundjeve jolineare që lidhen me koncepte të tilla themelore si kapja (ose sinkronizimi), gjurmimi, demodulimi dhe sistemet e komunikimit koherent në faza. Do të bëhet një përpjekje për të dhënë një pasqyrë të problemeve jolineare me interes praktik, zgjidhjet e të cilave janë shkruar në një formë të arritshme. Rishikimi nuk është shterues, por përfshin shembuj të problemeve që shërbejnë për të ilustruar konceptet bazë të nevojshme për të kuptuar vetitë jolineare të sistemeve të bllokuara me fazë. Çështja e ekzistencës dhe unike e zgjidhjeve preket vetëm sipërfaqësisht; fokusi kryesor është në metodat për marrjen e zgjidhjeve.

Materiali i shqyrtuar mund të grupohet në tre tema kryesore. Tema e parë përfshin një prezantim të rezultateve të teorisë së lëkundjeve lineare në sisteme me një shkallë lirie dhe me parametra konstante. Ky material përdoret si referencë dhe për krahasim me rezultatet e marra nga teoria e lëkundjeve jolineare. Tema e dytë i kushtohet sistemeve jolineare lehtësisht të integruara që nuk ndikohen nga forcat e jashtme të varura nga koha. Këtu, duke përdorur aparatin e planit fazor, studiohen në detaje lëkundjet e lira të sistemeve jolineare. Është dhënë një përmbledhje e shkurtër e teorisë së Poincare-së për pikat singulare të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë. Dobia e konceptit të një pike njëjës ilustrohet duke zgjidhur një sërë problemesh fizike. Së fundi, tema e tretë mbulon lëkundjet e detyruara, të vetëqëndrueshme (vetë-lëkundjet) dhe lëkundjet jolineare relaksuese. Në veçanti, aplikimi i teorisë van der Pol për problemet e sinkronizimit dhe gjurmimit do të diskutohet dhe kapitulli do të përfundojë me një diskutim të ekuacionit Hill.

1. Dridhjet e lira në sistemet lineare

Duket e vlefshme dhe interesante të përmbledhen tiparet kryesore të lëkundjeve lineare. Ka një sërë arsyesh për ta bërë këtë këtu. Një nga detyrat tona themelore është të krahasojmë metodat lineare dhe jolineare për studimin e lëkundjeve. Përveç kësaj, është bërë praktikë që të zbatohet, sa më shumë që të jetë e mundur, terminologjia e përdorur në problemet lineare ndaj atyre jolineare. Së fundi, është e dobishme të kemi një përmbledhje të ideve dhe formulave kryesore të teorisë lineare për referencë të lehtë.

Ndoshta shembulli më i thjeshtë i një problemi të lëkundjeve lineare është dhënë nga një qark elektrik i thjeshtë i përbërë nga një induktivitet i lidhur në seri me një kondensator dhe një rezistencë (Fig. 1). Analogu mekanik i paraqitur në Fig. 1, përbëhet nga një trup me masë i lidhur me një sustë që zhvillon një forcë (të quajtur forcë rivendosëse) në përpjesëtim me zhvendosjen e trupit. Për këtë sistem elektrik, duke përdorur ligjin e Kirchhoff, kemi

Nëse supozojmë se një trup në një sistem mekanik lëviz në një mjedis që siguron rezistencë proporcionale me shpejtësinë (fërkimi viskoz), atëherë ekuacioni i lëvizjes për dridhjet e sistemit mekanik jepet nga relacioni

Për analogji kemi se; ; dhe, për më tepër, është një analog i zhvendosjes.

Oriz. 1.Sistemet elektrike dhe mekanike lineare

Duke supozuar tani për tani se forca e jashtme dhe duke futur shënimin

reduktojmë (1.2) në formë

Sepse lëkundjet e përcaktuara nga ky ekuacion linear homogjen quhen lëkundje lineare të lira. Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear me koeficientë konstante është një kombinim linear i dy funksioneve eksponenciale:

ku dhe janë konstante arbitrare që përcaktohen nga kushtet fillestare, a dhe janë rrënjët e ekuacionit karakteristik

Kështu, dhe janë dhënë nga marrëdhëniet

Nëse duam ta paraqesim zgjidhjen (1.5) në formë reale, konsiderojmë tre raste kur sasia është: a) reale, b) zero, c) imagjinare. Është e lehtë të tregohet se zgjidhjet marrin formën

ku dhe janë reale; dhe janë konstante arbitrare, të cilat përcaktohen duke specifikuar vlerat e zhvendosjes (rrymës) dhe shpejtësisë në një moment fillestar.

Ekuacioni (1.8 - a) lind në praktikë më shpesh. Siç shihet lehtë nga (1.3), ky rast ndodh nëse koeficienti i amortizimit është i vogël në krahasim me. Ekuacioni (1.8 - a) në këtë rast përshkruan një lëvizje të tillë lëkundëse që çdo dy maksimum dhe zhvendosje të njëpasnjëshme plotësojnë relacionin

Per. nga anglishtja Boldova B. A. dhe Gusev G. G. Redaktuar nga V. E. Bogolyubov. - M.: Mir, 1968. - 432 f.
UDC 534 (Vibrimet mekanike. Akustika). Ekziston një shtresë teksti (d.m.th. teksti kopjohet lehtësisht).
Monografia e shkencëtarit të famshëm japonez T. Hayashi i kushtohet teorisë së proceseve osciluese jolineare që ndodhin në një shumëllojshmëri të gjerë sistemesh fizike.
Libri është një botim i rishikuar dhe i zgjeruar i një prej veprave të mëparshme të autorit, i njohur për lexuesin sovjetik nga përkthimi rusisht (T. Hayashi, Lëkundjet e detyruara në sistemet jolineare, Il, M., 1957). Megjithatë, pas përpunimit dhe shtesave, rezultati ishte në fakt një libër i ri.
Ai ndryshon nga ai i mëparshmi jo vetëm në seksionet e reja, por edhe në një metodë të përmirësuar dukshëm të prezantimit. Libri është me interes si për fizikanët dhe inxhinierët e specialiteteve të ndryshme që merren me teorinë e lëkundjeve jolineare dhe aplikimet e saj, ashtu edhe për matematikanët që merren me teorinë e ekuacioneve diferenciale.
Tabela e përmbajtjes.
Parathënie e botimit rus.
Parathënie.
Prezantimi.
Pjesa i. Metodat themelore të analizës së lëkundjeve jolineare.
Kapitulli i.
Metodat analitike.
Prezantimi.
Metoda e perturbimit.
Metoda e përsëritjes.
Metoda e mesatares.
Parimi i ekuilibrit harmonik.
Shembuj numerik të zgjidhjes së ekuacionit të Duffing-ut.
Kapitulli II.
Metodat topologjike dhe zgjidhjet grafike.
Prezantimi.
Kurbat integrale dhe pikat singulare në rrafshin e gjendjes.
Lakoret integrale dhe pikat singulare në hapësirën e gjendjes.
Metoda Isoclin.
Metoda Lienard.
Metoda delta.
Metoda e linjave të pjerrëta.
Kapitulli iii.
Stabiliteti i sistemeve jolineare.
Përcaktimi i stabilitetit sipas Lyapunov.
Kriteri Routh-Hurwitz për sistemet jolineare.
Kriteri i stabilitetit të Lyapunov.
Qëndrueshmëria e lëkundjeve periodike.
ekuacioni i Mathieu.
ekuacioni i Hill-it.
Përafrim i përmirësuar i eksponentit karakteristik për.
Ekuacionet e kodrës.
Pjesa ii, Lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme.
Kapitulli iy.
Stabiliteti i lëkundjeve periodike në sistemet e rendit të dytë.
Prezantimi.
Kushti i qëndrueshmërisë për tretësirat periodike.
Kushtet e përmirësuara të stabilitetit.
Shënime shtesë për kushtet e stabilitetit.
Kapitulli y.
Dridhjet harmonike.
Lëkundjet harmonike me karakteristikë jolineare simetrike.
Lëkundjet harmonike me karakteristikë jolineare asimetrike.

Kapitulli Yi.
Dridhjet ultraharmonike.
Dridhjet ultraharmonike c.
qarqe rezonante serike.
Studim eksperimental.
Lëkundjet ultraharmonike në qarqet rezonante paralele.
Studim eksperimental.
Kapitulli Yii.
Dridhjet subharmonike.
Prezantimi.
Marrëdhënia midis karakteristikës jolineare dhe rendit.
dridhjet subharmonike.

karakteristikë e përfaqësuar nga një funksion kub.
Lëkundjet nënharmonike janë të rendit 1/3 me jolineare.
karakteristikë e përfaqësuar nga një polinom i shkallës së pestë.
Studim eksperimental.

karakteristikë e përfaqësuar nga një polinom i shkallës së tretë.
Lëkundjet nënharmonike janë të rendit 1/2 kur janë jolineare.
karakteristikë e përfaqësuar nga një kuadratik simetrik.
funksionin.
Studim eksperimental.
Pjesa iii. Proceset kalimtare të lëkundjeve të detyruara.
Kapitulli Yiii.
Dridhjet harmonike.
Prezantimi.
Zgjidhjet periodike dhe qëndrueshmëria e tyre.
Analiza e dridhjeve harmonike duke përdorur ato integrale.
Kthesa.
Analiza e lëkundjeve harmonike në rrafshin fazor.
Analiza gjeometrike e kurbave integrale për sistemet konservatore.
Analiza gjeometrike e kurbave integrale për sistemet disipative.
Studim eksperimental.
Kapitulli ix.
Dridhjet subharmonike.
Analiza e dridhjeve subharmonike duke përdorur kthesa integrale.
Analiza e lëkundjeve subharmonike të rendit 1/3 në rrafshin fazor.
Studim eksperimental.
Dridhjet subharmonike të rendit 1/5.
Dridhjet subharmonike janë të rendit 1/2.
Analiza e lëkundjeve subharmonike të rendit 1/2 në fazën e parë.
aeroplan.
Hulumtimi në një kompjuter analog.
Kapitulli x.
Kushtet fillestare që çojnë në lloje të ndryshme.
lëkundjet periodike.
Metoda e analizës.
Sistemet simetrike.

luhatjet janë rreth 1/3.
Sistemet asimetrike.
Zonat e tërheqjes për harmonike dhe subharmonike.
dridhje të rendit 1/2 dhe 1/3.
Studime eksperimentale.
Kapitulli Xi.

Prezantimi.
Lëkundjet pothuajse periodike në një qark rezonant me paragjykim DC.
Tabela e përmbajtjes.
Studim eksperimental.
Lëkundjet pothuajse periodike në mënyrë parametrike.
qark i ngacmuar.
Pjesa iv. Sistemet vetëlëkundëse nën ndikimin periodik të forcës së jashtme.
Kapitulli Xii.
Mbyllja e frekuencës.
Prezantimi.

Kapja harmonike.
Kapja ultraharmonike.
Kapja subharmonike.
Zonat e mbylljes së frekuencës.
Analiza duke përdorur një kompjuter analog.

Sistem vetëlëkundës me forcë rikuperuese jolineare.
Kapitulli XIII.
Lëkundje pothuajse periodike.
Ekuacioni Van der Pol me një term imponues.

dridhjet harmonike.
Shqyrtimi gjeometrik i kthesave integrale në.
kufiri i kapjes harmonike.
Lëkundjet pothuajse periodike që lindin nga.
dridhjet ultraharmonike.
Lëkundjet pothuajse periodike që lindin nga.
dridhjet subharmonike.
Sistem vetëlëkundës me forcë rikuperuese jolineare.
Shtojca i. Zgjerimet e funksioneve Mathieu.
Shtojca ii. Zgjidhje të paqëndrueshme të ekuacionit Hill.
Shtojca iii. Zgjidhje të paqëndrueshme të ekuacionit të përgjithësuar Hill.
Shtojca iv. Kriteri i qëndrueshmërisë i marrë duke përdorur metodën.
shqetësimet.
Shtojca v. Vërejtje në lidhje me kthesat integrale dhe pikat njëjës.
Aplikacioni Vi. Komutator elektronik sinkron.
Detyrat.
Letërsia.
Treguesi.
T. Hayashi.
Lëkundjet jolineare në sistemet fizike.

Redaktori N. Pluzhnakova Artisti A. Shklovskaya.
Redaktori i artit V. Shapovalov Redaktor teknik N. Tursukova.
Vënë në prodhim më 9/X 1967. Nënshkruar për shtypje më 25/W 1968.
Letër 60х90у1в-= 13,5 letër. l. 27.0 pc. l.
Uch. -ed. l. 24,
0. Ed. nr 1/3899.
Çmimi 1 rubla. 91 k. Zak. 907.
Templan 1968, Shtëpia botuese Mir, por. nr 38.
Shtëpia botuese "Mir", Moskë, 1 Rizhsky per. , 2.
Shtypshkronja nr. 2 e Leningradit me emrin Evgenia Sokolova e Komitetit Glavpoligrafprom.
për shtypin nën Këshillin e Ministrave të BRSS. Izmailovsky pr., 29.

Shiko gjithashtu

Andrianov I.V., Danishevsky V.V., Ivankov A.O. Metoda asimptotike në teorinë e dridhjeve të trarëve dhe pllakave

• formati i skedarit: pdf
• madhësia: 5.53 MB
• shtoi: 25 shtator 2011

Dnepropetrovsk: Akademia Shtetërore e Ndërtimit dhe Arkitekturës Pridneprovsk, 2010, 217 f. Monografia diskuton metoda asimptotike për zgjidhjen e problemeve të dridhjeve të trarëve dhe pllakave. Vëmendja kryesore i kushtohet metodës së perturbimit të homotopisë, e cila bazohet në futjen e një parametri të vogël artificial. Dridhjet lineare të strukturave me kushte kufitare të përziera, si dhe dridhjet jolineare të sistemeve me...

Dridhjet në teknologji. Vëllimi 6. Mbrojtja ndaj dridhjeve dhe goditjeve

• formati i skedarit: djvu
• madhësia: 7.28 MB
• shtuar: 27 tetor 2009

Frolov K.V. Vëllimi i gjashtë përshkruan metodat për reduktimin e aktivitetit të dridhjeve të burimeve të dridhjeve dhe rregullimin e amortizatorëve dinamikë. Shqyrtohen çështjet e balancimit të pjesëve rrotulluese të makinerive, makinerive dhe mekanizmave balancues, zgjedhjes së ligjeve racionale për lëvizjen e pjesëve të punës të makinave, pajisjeve izoluese dhe bazave, si dhe problemi i mbrojtjes së njerëzve nga dridhjet. Libri i referencës është menduar për punëtorët inxhinierikë dhe teknikë të përfshirë në llogaritjet,...

Ganiev R.F., Kononenko V.O. Dridhjet e trupave të ngurtë

• formati i skedarit: djvu
• madhësia: 8.89 MB
• shtuar: 27 tetor 2011

M.: Nauka, 1976, 432 f. Janë studiuar lëkundjet jolineare në lëvizjen hapësinore, në veçanti kushtet për shfaqjen e rezonancave. Puna është e rëndësishme kur krijohen sisteme amortizimi për aviacionin dhe teknologjinë hapësinore. Ganiev R.F. - akademik RAS, Kononenko V. O. - akademik. Akademia e Shkencave e Ukrainës. Amortizator elastik 39 Amortizimi i dridhjeve 145, 41, 7 Izolimi i dridhjeve 145, 417 Ngacmimi kinematik 134, 358 Xhiroskopi biaksial 343 Xhiroskopi triaksial 353 Xhiroskopi astatik...

Den-Hartog D.P. Dridhjet mekanike

• formati i skedarit: djvu
• madhësia: 7.5 MB
• shtuar: 25 maj 2010

M. Fizmatgiz. 1960 574 fq. Kinematika e lëkundjeve. Sisteme me një shkallë lirie. Dy shkallë lirie. Sisteme me një numër arbitrar të shkallëve të lirisë. Motorë me shumë cilindra. Pjesë makine rrotulluese. Vetë-lëkundjet. Lëkundjet kuazi-harmonike dhe jolineare të sistemeve.

Migulin V.V. Bazat e teorisë së dridhjeve

• formati i skedarit: djvu
• madhësia: 3.88 MB
• shtuar: 10 janar 2010

Libri e prezanton lexuesin me vetitë e përgjithshme të proceseve osciluese që ndodhin në inxhinierinë radio, sisteme optike dhe sisteme të tjera, si dhe me metoda të ndryshme cilësore dhe sasiore për studimin e tyre. Vëmendje e konsiderueshme i kushtohet shqyrtimit të sistemeve parametrike, vetëlëkundëse dhe të tjera jolineare osciluese. Studimi i sistemeve osciluese dhe proceseve në to të përshkruara në libër është paraqitur duke përdorur metoda të njohura të teorisë së lëkundjeve pa detaje...

Obmorshev A.N. Hyrje në teorinë e lëkundjeve

• formati i skedarit: pdf
• madhësia: 8.75 MB
• shtuar: 23 shkurt 2010

Efektet jolineare mund të shfaqen në mënyra të ndryshme. Shembulli klasik është një sustë jolineare, në të cilën forca rivendosëse ndryshon në mënyrë jolineare me shtrirjen. Në rastin e jolinearitetit simetrik (e njëjta përgjigje nën shtypje dhe tension), ekuacioni i lëvizjes merr formën

Nëse nuk ka amortizues dhe ka zgjidhje periodike në të cilat frekuenca natyrore rritet me amplitudë.

Oriz. 1.7. Kurba klasike e rezonancës së një oshilatori jolinear me një sustë të ngurtë në rastin kur lëkundjet janë periodike dhe kanë të njëjtën periudhë me forcën lëvizëse (dhe janë të përcaktuara në ekuacionin (1.2.4)).

Ky model shpesh quhet ekuacioni i Duffing-ut, i quajtur sipas matematikanit që e studioi atë.

Nëse një sistem i nënshtrohet një force periodike, atëherë në teorinë klasike besohet se përgjigja do të jetë gjithashtu periodike. Rezonanca e një sustë jolineare në një frekuencë përgjigjeje që përputhet me frekuencën e forcës është paraqitur në Fig. 1.7. Siç tregohet në këtë figurë, kur amplituda e forcës lëvizëse është konstante, ekziston një varg frekuencash lëvizëse brenda të cilave janë të mundshme tre amplituda të ndryshme të përgjigjes. Mund të tregohet se vija e ndërprerë në Fig. 1.7 është e paqëndrueshme, dhe histereza ndodh kur frekuenca rritet dhe zvogëlohet. Ky fenomen quhet tejkalim dhe vërehet në eksperimentet me shumë sisteme mekanike dhe elektrike.

Ka zgjidhje të tjera periodike, të tilla si lëkundjet subharmonike dhe superharmonike. Nëse forca lëvizëse ka formën , atëherë lëkundjet subharmonike mund të kenë formën plus harmonikë më të lartë ( - një numër i plotë). Siç do të shohim më poshtë, subharmonikët luajnë një rol të rëndësishëm në lëkundjet prekaotike.

Teoria e rezonancës jolineare bazohet në supozimin se një stimul periodik shkakton një përgjigje periodike. Megjithatë, është pikërisht ky postulat që sfidohet nga teoria e re e lëkundjeve kaotike.

Lëkundjet e vetë-ngacmuara janë një tjetër klasë e rëndësishme e fenomeneve jolineare. Këto janë lëvizje osciluese që ndodhin në sisteme pa ndikime periodike të jashtme ose forca periodike. Në Fig. 1.8 tregon disa shembuj.

Oriz. 1.8. Shembuj të lëkundjeve të ngacmuara nga vetja: a - fërkimi i thatë ndërmjet një mase dhe një trupi në lëvizje; b - forcat aeroelastike që veprojnë në një krah të hollë; c - rezistenca negative në qark me elementin aktiv.

Në shembullin e parë, dridhja shkaktohet nga fërkimi i krijuar nga lëvizja relative e masës dhe rripit lëvizës. Shembulli i dytë ilustron një klasë të tërë vibrimesh aeroelastike, në të cilat dridhjet e palëvizshme shkaktohen nga një rrjedhje e palëvizshme e lëngut pas një trupi të ngurtë në një pezullim elastik. Në shembullin klasik elektrik të paraqitur në Fig. 1.9 dhe i studiuar nga Van der Pol, një tub vakum është përfshirë në qark.

Në të gjithë këta shembuj, sistemi përmban një burim të palëvizshëm të energjisë dhe një burim shpërndarjeje, ose një mekanizëm jolinear amortizimi. Në rastin e oshilatorit Van der Pol, burimi i energjisë është një tension konstant.

Oriz. 1.9. Diagrami i një qarku me një tub vakum që lëkundet në një cikël limit të të njëjtit lloj i studiuar nga Van der Pol.

Në modelin matematikor të këtij qarku, burimi i energjisë përfshihet në formën e rezistencës negative:

Energjia mund të hyjë në sistem në amplituda të vogla, por ndërsa amplituda rritet, rritja e saj kufizohet nga zbutja jolineare.

Në rastin e një lavjerrës Froude (shih, për shembull, ), energjia furnizohet nga rrotullimi i palëvizshëm i boshtit. Për lëkundjet e vogla, fërkimi jolinear luan rolin e amortizimit negativ; Ndërkohë, me lëkundje të forta, amplituda e lëkundjeve kufizohet nga termi jolinear.

Lëvizjet osciluese të sistemeve të tilla shpesh quhen cikle kufitare. Në Fig. Figura 1.10 tregon trajektoret e oshilatorit Van der Pol në planin fazor. Lëkundjet e vogla zbërthehen në një spirale, duke iu afruar një trajektoreje asimptotike të mbyllur dhe lëvizjet me amplitudë të madhe kontraktohen në një spirale në të njëjtin cikël kufi (shih Fig. 1.10 dhe 1.11, ku ).

Kur studiohen probleme të tilla, shpesh lindin dy pyetje. Cila është amplituda dhe frekuenca e lëkundjeve në ciklin kufi? Për cilat vlera parametrash ekzistojnë cikle të qëndrueshme kufitare?

Oriz. 1.10. Zgjidhja e ciklit kufitar për oshilatorin Van der Pol, e paraqitur në planin fazor.

Oriz. 1.11. Lëkundjet e relaksimit të oshilatorit Van der Pol.

Në rastin e ekuacionit van der Pol, është e përshtatshme të normalizohet ndryshorja hapësinore me dhe koha me, në mënyrë që ekuacioni të marrë formën

Ku . Për vlera të vogla, cikli kufi është një rreth me rreze 2 në planin fazor, d.m.th.

ku shënohen harmonitë e rendit të tretë dhe të lartë. Kur është e madhe, lëvizja merr formën e lëkundjeve të relaksimit të treguar në Fig. 1.11, me një periudhë pa dimension prej rreth 1.61 në

Problemi me forcën periodike në sistemin van der Pol është më kompleks:

Meqenëse ky sistem është jolinear, parimi i mbivendosjes së lëkundjeve të lira dhe të detyruara nuk është i zbatueshëm. Në vend të kësaj, lëvizja periodike që rezulton kapet në frekuencën e drejtimit kur kjo e fundit është afër frekuencës së ciklit kufi. Me një ndikim të dobët të jashtëm, ekzistojnë tre zgjidhje periodike, por vetëm njëra prej tyre është e qëndrueshme (Fig. 1.12). Për amplituda të mëdha të forcës, ekziston vetëm një zgjidhje. Në çdo rast, me një rritje të detonifikimit - në një fikse, zgjidhja periodike e kapur rezulton të jetë e paqëndrueshme dhe lloje të tjera lëvizjesh bëhen të mundshme.

Oriz. 1.12. Lakoret e amplitudës për lëvizjen e detyruar të oshilatorit Van der Pol (1.2.9).

Kur ka dallime të mëdha midis frekuencave lëvizëse dhe natyrore, një fenomen i ri shfaqet në sistemin Van der Pol - lëkundjet e kombinuara, të quajtura ndonjëherë zgjidhje pothuajse periodike ose kuaziperiodike. Lëkundjet e kombinimit kanë formën

Kur frekuencat dhe janë të pakrahasueshme, d.m.th., është një numër irracional, zgjidhja quhet kuaziperiodike. Për ekuacionin van der Pol, ku është frekuenca e ciklit kufitar të lëkundjeve të lira (shih, për shembull,).

Larg nga të gjitha lëkundjet, forca rivendosëse është proporcionale me devijimin (d.m.th., ajo ndryshon sipas ligjit (- kh)). Konsideroni, për shembull, pranverën e paraqitur në figurën 2.74. Ai përbëhet nga disa pllaka. Për deformime të vogla, vetëm pllakat e gjata përkulen. Nën ngarkesa më të larta, pllakat më të shkurtra (dhe më të forta) janë gjithashtu subjekt i përkuljes. Forca e rivendosjes tani mund të përshkruhet si më poshtë:

modaliteti i betejës kalon në periodike, kur dridhjet zhduken dhe trupi thjesht i afrohet ngadalë pozicionit të ekuilibrit (Fig. 2.72, b, c).

Futni në vend të vijës ku janë vendosur pikat (t, x), rreshti ku do të vendosen pikat ( x, v), dhe merrni portrete fazore të lëkundjeve të lagura në fërkime të ndryshme. Ju gjithashtu mund të përdorni një nga programet e gatshme Faspdem* ose Phport * nga ato që disponohen në paketën PAKPRO. Ju duhet të merrni diagrame si ato të paraqitura në Figurën 2.73.

Kështu që po kthehet, d.m.th. F Dhe X gjithmonë ka pasur shenja të ndryshme, duhet të zgjerohet në një seri në fuqi teke X. Që nga energjia potenciale U lidhur me forcën sipas formulës F = - dU/dx, do të thotë se

domethënë, lëkundjet ndodhin në një pus potencial me mure më të pjerrëta se ato të një parabole (Fig. 2.75, a). Fërkimi i pllakave kundër njëra-tjetrës siguron amortizimin e nevojshëm për të zbutur dridhjet.

Lëkundjet janë gjithashtu të mundshme në një gropë asimetrike kur

(Fig. 2.75, b). Forca rivendosëse do të jetë e barabartë me

Gjatë zgjidhjes së problemeve që përfshijnë dridhje jolineare, përdorimi i një kompjuteri është i pashmangshëm, pasi nuk ka zgjidhje analitike. Në një kompjuter, zgjidhja nuk është aspak e vështirë. Nevojitet vetëm në linjën ku rritet shpejtësia (v = v + F At/m), shkruani shprehjen e plotë për F, për shembull -gh-gh 2 - px 3.

Shembull. Programi për vizatimin e grafikut të lëkundjeve jolineare jepet në paketën PAKPRO me emrin Nlkol. Vëreni në punë. Ju duhet të merrni një seri kthesash për devijime të ndryshme fillestare. Kur x 0 është më e madhe se një vlerë e caktuar, grimca lëkundëse largohet nga pusi potencial, duke kapërcyer pengesën potenciale.

Testoni gjithashtu programet Nlcol* Dhe Nlosc.*, disponohen në paketën PAKPRO, si dhe programet me të cilat mund të merrni portrete fazore të lëkundjeve jolineare: Phaspnl.*, Phportnl*.

Vini re se, në mënyrë rigoroze, pothuajse çdo lëkundje është jolineare. Vetëm në amplituda të vogla ato mund të konsiderohen lineare (neglizhoni termat me x 2, x 3, etj. në formula si (2.117)).

Lëreni që oshilatori, përveç forcës rivendosëse që siguron lëkundjet e veta me një frekuencë Co, të ndikohet nga një forcë e jashtme, e cila ndryshon periodikisht me një frekuencë co, të barabartë ose jo të barabartë me (Oo). Kjo forcë do të lëkundë trupin. me një bashkë frekuencë.Lëkundjet që lindin në këtë rast quhen i detyruar.

Ekuacioni i lëvizjes në këtë rast do të jetë si më poshtë:

Së pari, ndodh procesi i vendosjes së lëkundjeve. Nga goditja e parë, trupi fillon të lëkundet me frekuencën e tij nga 0. Pastaj gradualisht lëkundjet natyrore shuhen dhe forca lëvizëse fillon të kontrollojë procesin. Lëkundjet e detyruara vendosen jo me frekuencë (O0), por me frekuencën e forcës lëvizëse co. Procesi i tranzicionit është shumë kompleks, nuk ka zgjidhje analitike. Kur problemi zgjidhet duke përdorur metodën numerike, programi nuk do të jetë më i komplikuar se, le të themi, një program për lëkundjet e amortizuara Është e nevojshme vetëm që në vijën ku, në përputhje me ekuacionin e lëvizjes, shpejtësia është rritur, të shtohet një forcë lëvizëse në formën FobiH = Focos(cot).

Shembull. Paketa PAKG1RO ofron një shembull të një programi për marrjen e një grafiku të dridhjeve të detyruara në një ekran kompjuteri. Shihni gjithashtu programet Ustvcol.pas Dhe UstvcoW.pas. Diagrami x(?) që rezulton dhe diagrami fazor v(x) janë paraqitur në figurën 2.76. Me një përzgjedhje të suksesshme të parametrave, është qartë e dukshme se si krijohen gradualisht lëkundjet e detyruara. Është gjithashtu interesante të vëzhgohet vendosja e lëkundjeve të detyruara në diagramin fazor (program Phpforc.pas).

Kur lëkundjet me frekuencë co janë vendosur tashmë, një zgjidhje për ekuacionin (2.118) mund të gjendet në formën

Këtu Jo është amplituda e lëkundjeve në gjendje të qëndrueshme. Nëse e zëvendësojmë (2.119) me (2.118), pasi kemi gjetur fillimisht derivatet kohore X" Dhe X" dhe duke pasur parasysh se për të= coo 2 tn, atëherë rezulton se (2.119) do të jetë një zgjidhje e ekuacionit (2.118) me kusht që

Fërkimi nuk është marrë parasysh, koeficienti A supozohej të ishte zero. Mund të shihet se amplituda e lëkundjeve rritet ndjeshëm kur co i afrohet C0 (Fig. 2.77). Ky fenomen quhet rezonancë.

Nëse vërtet nuk do të kishte fërkime, amplituda në с = (Оо do të ishte pafundësisht e madhe. Në realitet, kjo nuk ndodh. E njëjta Figura 2.77 tregon se si ndryshon kurba e rezonancës me rritjen e fërkimit. Por megjithatë, nëse co dhe bashkë përkojnë, amplituda mund të bëhet dhjetëra e qindra herë më shumë se me F SOo. Në teknologji, ky fenomen është i rrezikshëm, pasi dridhjet detyruese të motorit mund të rezonojnë me frekuencën natyrore të çdo pjese të makinës dhe mund të shkatërrohet.

LËKUNDJET JOLINEARE

Lëkundjet në fizike sistemet e përshkruara nga sistemet jolineare të ekuacioneve diferenciale të zakonshme

Ku përmban terma të paktën të shkallës së 2-të në komponentët vektorial - funksioni vektorial i kohës - parametër i vogël (ose dhe ). Përgjithësimet e mundshme shoqërohen me marrjen në konsideratë të sistemeve të ndërprera, ndikimet me karakteristika të ndërprera (për shembull, si histereza), ndikimet e vonuara dhe të rastit, ekuacionet integro-diferenciale dhe diferenciale të operatorëve, sistemet osciluese me parametra të shpërndarë të përshkruar nga ekuacione diferenciale të pjesshme, si dhe si përdorimi i metodave të kontrollit optimal të sistemeve osciluese jolineare. Detyrat kryesore të përgjithshme të N.K.: gjetja e pozicioneve të ekuilibrit, regjimet stacionare, në veçanti ato periodike. lëvizjet, vetëlëkundjet dhe studimi i qëndrueshmërisë së tyre, problemet e sinkronizimit dhe stabilizimit të N.K.

E gjitha fizike sistemet, në mënyrë rigoroze, janë jolineare. Një nga tiparet më karakteristike të NC-ve është shkelja e tyre e parimit të mbivendosjes së lëkundjeve: rezultati i secilit prej ndikimeve në prani të tjetrit rezulton të jetë i ndryshëm sesa në mungesë të ndikimit tjetër.

Sisteme kuazilineare - sisteme (1) për . Metoda kryesore e hulumtimit është metoda me parametra të vegjël. Para së gjithash, kjo është metoda Poincaré-Lindstedt për përcaktimin e periodicitetit. zgjidhjet e sistemeve kuazilineare që janë analitike në parametrat për vlera mjaftueshëm të vogla, qoftë në formën e serive në fuqi (shih Kapitullin IX), ose në formën e serive në fuqi dhe - shtesa në vlerat fillestare të përbërësve të vektorit (shih Kapitullin III). Për zhvillimin e mëtejshëm të kësaj metode, shihni, për shembull, në -.

Një tjetër metodë e vogël parametrash është metoda mesatarja. Në të njëjtën kohë, metodat e reja depërtuan edhe në studimin e sistemeve kuazilineare: asimptotike. metodat (shih,), metoda e funksioneve K (shih), bazuar në rezultatet themelore të A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva, etj.

Sisteme në thelb jolineare, në të cilat nuk ka asnjë parametër të vogël të paracaktuar. Për sistemet Lyapunov

dhe midis vlerave vetjake të matricës nuk ka shumëfisha të rrënjës - analitike funksioni vektor X, zgjerimi fillon me terma të paktën të rendit të dytë, dhe ekziston një analitik i një lloji të veçantë; A. M. Lyapunov (shih § 42) propozoi një metodë për gjetjen e atyre periodike. zgjidhje në formën e një serie në fuqi të një konstante arbitrare c (për të cilën mund të merret vlera fillestare e një prej dy ndryshoreve kritike).

Për sistemet afër sistemeve Lyapunov,

ku të së njëjtës formë si në (2), - analitike. funksion vektorial dhe parametër i vogël, i vazhdueshëm dhe -periodik in t, propozohet gjithashtu një metodë për përcaktimin e periodicitetit. vendimet (shih Kapitullin VIII). Sistemet e tipit Lyapunov (2), në të cilat ka l zero eigenvlera me pjesëtues të thjeshtë elementar, dy eigenvlera thjesht imagjinare dhe nuk ka vlera vetjake që janë shumëfisha të - njësoj si në (2), mund të reduktohet në sistemet Lyapunov (shih IV.2). N.K. u studiuan gjithashtu në sistemet Lyapunov dhe në të ashtuquajturat. Sistemet Lyapunov me amortizimin, dhe gjithashtu zgjidhën problemin e përgjithshëm të pompimit të energjisë në to (shih Kapitujt I, III, IV).

Le të reduktohet thelbësisht jolinearja në formën Jordan të pjesës së saj lineare

ku vektori sipas supozimit ka të paktën një komponent jozero; , janë të barabartë me zero ose një, përkatësisht, në mungesë ose prani të pjesëtuesve elementarë kompleksë të matricës së pjesës lineare, - koeficientët; Vlerat e një vektori me përbërës të plotë janë si më poshtë:

Pastaj ka një transformim normalizues:

duke çuar (3) në formën normale të ekuacioneve diferenciale

dhe të tilla që, nëse . Kështu, (5) përmban vetëm, d.m.th., koeficientët mund të jenë të ndryshëm nga zero vetëm për ata për të cilët plotësohet ekuacioni i rezonancës

duke luajtur një rol të rëndësishëm në teorinë e lëkundjeve. Është studiuar konvergjenca dhe divergjenca e transformimit normalizues (4) (shih Pjesën I, Kapitujt II, III); jepet llogaritja e koeficientëve (me anë të simetrizimit të tyre) (shih § 5.3). Në një sërë problemesh mbi formën jolineare të sistemeve autonome në thelb jolineare, metoda e formave normale ka rezultuar të jetë efektive (shih kapitujt VI-VIII).

Ndër metodat e tjera për studimin e sistemeve në thelb jolineare, përdoret metoda e paraqitjes së pikave (shih), stroboskonik. metoda dhe funksionale-analitike. metodat.

Metodat cilësore të ekuacioneve diferenciale jolineare Pika fillestare këtu është studimi i formës së kurbave integrale të ekuacioneve diferenciale jolineare të zakonshme të kryera nga A. Poincare (N. Poincare, shih). Aplikimet për problemet N.K të përshkruara nga sistemet autonome të rendit të dytë, shih. Janë studiuar çështjet e ekzistencës së periodicitetit. zgjidhjet dhe qëndrueshmëria e tyre në sistemet e mëdha për shumëdimensionale; merren parasysh ekuacionet pothuajse periodike jo periodike Zbatimet e teorisë së ekuacioneve diferenciale të zakonshme me një parametër të vogël për derivate të caktuara në problemet e ekuacioneve jolineare të relaksimit, shih.

Aspekte të rëndësishme të N. k. dhe lit. shikoni artikujt Perturbacionet, teoria e lëkundjeve.

Ndezur.: Poincaré A., Izbr. vepra, përkth. nga frëngjishtja, vëll.1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, 2nd ed., M., 1959; Bulgakov B.V., Lëkundjet, M., 1954; Malkin I.G., Disa probleme të teorisë së lëkundjeve jolineare, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. vepra, vëll.1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Metodat asimptotike në teorinë e lëkundjeve jolineare, botimi i 4-të, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. vepra, vëll.1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Koleksion. soch., vëll 2, M.-L., 195B, f. 7-263; Starzhinsky V.M., Metodat e aplikuara të lëkundjeve jolineare, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moska Mathematical Society", 1971, vëll 25, f. 119-262; 1972, vëll 26, f. 199-239; Neimark Yu. I., Metoda e paraqitjes së pikave në teorinë e lëkundjeve jolineare, M., 1972; Minorsky N., Hyrje në mekanikën jolineare, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Lëkundjet jolineare pothuajse periodike, M., 1970; Poincaré A., Në kthesat e përcaktuara nga ekuacionet diferenciale, përkth. nga frengjishtja, M. -L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Hyrje në teorinë e lëkundjeve jolineare, M., 1976; Plise V.A., Probleme jolokale të teorisë së lëkundjeve, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Ekuacionet diferenciale me një parametër të vogël dhe lëkundjet e relaksimit, M., 1975.

V. M. Starzhinsky.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë janë "LEKUNDIMET JOLINEARE" në fjalorë të tjerë:

lëkundjet jolineare- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Fjalori anglisht-rusisht i inxhinierisë elektrike dhe inxhinierisë së energjisë, Moskë, 1999] Temat e inxhinierisë elektrike, konceptet themelore EN lëkundjet jolineare ... Udhëzues teknik i përkthyesit

lëkundjet jolineare- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. lëkundjet jo lineare; dridhje jo lineare vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. lëkundjet jolineare, n pranc. lëkundjet jo lineare, f … Fizikos terminų žodynas

Një term që përdoret ndonjëherë për të nënkuptuar lëkundjet në sistemet jolineare (Shih Sistemet jolineare) ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Lëkundjet jolineare Vibrime jolineare Specializimi ... Wikipedia

Proceset në lëkundje. dhe sistemet valore që nuk plotësojnë parimin e mbivendosjes. Lëkundjet ose valët jolineare në përgjithësi ndërveprojnë me njëra-tjetrën dhe karakteristikat e tyre (frekuenca, forma e vibrimit, shpejtësia e përhapjes, lloji i profilit... ... Enciklopedia fizike

Sistemet osciluese varen fuqishëm nga proceset që ndodhin në to. Lëkundjet e sistemeve të tilla përshkruhen me ekuacione jolineare. Dukuritë jolineare: mekanike. sistemet ku modulet elastike të trupave varen nga deformimet e këtyre të fundit ose nga koeficientët. fërkimi...... Enciklopedia fizike

Artikuj të ngjashëm