Nga pikëpamja praktike, interesi më i madh është përdorimi i derivatit për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Me çfarë lidhet kjo? Maksimizimi i fitimeve, minimizimi i kostove, përcaktimi i ngarkesës optimale të pajisjeve... Me fjalë të tjera, në shumë fusha të jetës ne duhet të zgjidhim problemet e optimizimit të disa parametrave. Dhe këto janë detyrat për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Duhet të theksohet se vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni zakonisht kërkohen në një interval të caktuar X, i cili është ose i gjithë domeni i funksionit ose pjesë e fushës së përkufizimit. Vetë intervali X mund të jetë një segment, një interval i hapur , një interval i pafund.

Në këtë artikull do të flasim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të përcaktuar në mënyrë eksplicite të një ndryshoreje y=f(x).

Navigimi i faqes.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni - përkufizime, ilustrime.

Le të shohim shkurtimisht përkufizimet kryesore.

Vlera më e madhe e funksionit atë për këdo pabarazia është e vërtetë.

Vlera më e vogël e funksionit y=f(x) në intervalin X quhet vlerë e tillë atë për këdo pabarazia është e vërtetë.

Këto përkufizime janë intuitive: vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni është vlera më e madhe (më e vogël) e pranuar në intervalin në shqyrtim në abshisë.

Pikat e palëvizshme- këto janë vlerat e argumentit në të cilin derivati ​​i funksionit bëhet zero.

Pse na duhen pikat stacionare kur gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla? Përgjigjen për këtë pyetje e jep teorema e Fermatit. Nga kjo teoremë del se nëse një funksion i diferencueshëm ka një ekstrem (minimum lokal ose maksimum lokal) në një pikë, atëherë kjo pikë është e palëvizshme. Kështu, funksioni shpesh merr vlerën e tij më të madhe (më të vogël) në intervalin X në një nga pikat stacionare nga ky interval.

Gjithashtu, një funksion shpesh mund të marrë vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla në pikat në të cilat derivati ​​i parë i këtij funksioni nuk ekziston dhe vetë funksioni është i përcaktuar.

Le t'i përgjigjemi menjëherë një prej pyetjeve më të zakonshme për këtë temë: "A është gjithmonë e mundur të përcaktohet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni"? Jo jo gjithmonë. Ndonjëherë kufijtë e intervalit X përkojnë me kufijtë e fushës së përcaktimit të funksionit, ose intervali X është i pafund. Dhe disa funksione në pafundësi dhe në kufijtë e fushës së përkufizimit mund të marrin vlera pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla. Në këto raste, nuk mund të thuhet asgjë për vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Për qartësi, ne do të japim një ilustrim grafik. Shikoni fotot dhe shumëçka do të bëhet më e qartë.

Në segmentin

Në figurën e parë, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare të vendosura brenda segmentit [-6;6].

Merrni parasysh rastin e paraqitur në figurën e dytë. Le ta ndryshojmë segmentin në . Në këtë shembull, vlera më e vogël e funksionit arrihet në një pikë të palëvizshme, dhe më e madhja në pikën me abshisën që korrespondon me kufirin e djathtë të intervalit.

Në figurën 3, pikat kufitare të segmentit [-3;2] janë abshisat e pikave që korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Në një interval të hapur

Në figurën e katërt, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare të vendosura brenda intervalit të hapur (-6; 6).

Në intervalin , nuk mund të nxirren përfundime për vlerën më të madhe.

Në pafundësi

Në shembullin e paraqitur në figurën e shtatë, funksioni merr vlerën më të madhe (max y) në një pikë të palëvizshme me abshisë x=1, dhe vlera më e vogël (min y) arrihet në kufirin e djathtë të intervalit. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3.

Gjatë intervalit, funksioni nuk arrin as vlerën më të vogël dhe as më të madhe. Ndërsa x=2 afrohet nga e djathta, vlerat e funksionit priren në minus pafundësi (rreshti x=2 është një asimptotë vertikale), dhe ndërsa abshisa tenton në plus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3. Një ilustrim grafik i këtij shembulli është paraqitur në Figurën 8.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment.

Le të shkruajmë një algoritëm që na lejon të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.

1. Gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit dhe kontrollojmë nëse ai përmban të gjithë segmentin.
2. I gjejmë të gjitha pikat në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston dhe që përmbahen në segment (zakonisht pika të tilla gjenden në funksionet me argument nën shenjën e modulit dhe në funksionet e fuqisë me një eksponent thyesor-racional). Nëse nuk ka pika të tilla, atëherë kaloni në pikën tjetër.
3. Ne përcaktojmë të gjitha pikat e palëvizshme që bien brenda segmentit. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe zgjedhim rrënjët e përshtatshme. Nëse nuk ka pika të palëvizshme ose asnjëra prej tyre nuk bie në segment, atëherë kaloni në pikën tjetër.
4. Ne llogarisim vlerat e funksionit në pikat e zgjedhura të palëvizshme (nëse ka), në pikat në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston (nëse ka), si dhe në x=a dhe x=b.
5. Nga vlerat e marra të funksionit, ne zgjedhim më të madhin dhe më të voglin - ato do të jenë respektivisht vlerat më të mëdha dhe më të vogla të kërkuara të funksionit.

Le të analizojmë algoritmin për zgjidhjen e një shembulli për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.

Shembull.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni

• në segment;
• në segmentin [-4;-1].

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit të një funksioni është tërësia e numrave realë, me përjashtim të zeros, d.m.th. Të dy segmentet bien në domenin e përkufizimit.

Gjeni derivatin e funksionit në lidhje me:

Natyrisht, derivati ​​i funksionit ekziston në të gjitha pikat e segmenteve dhe [-4;-1].

Ne përcaktojmë pikat stacionare nga ekuacioni. Rrënja e vetme reale është x=2. Kjo pikë e palëvizshme bie në segmentin e parë.

Për rastin e parë, ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikën e palëvizshme, domethënë për x=1, x=2 dhe x=4:

Prandaj, vlera më e madhe e funksionit arrihet në x=1, dhe vlera më e vogël – në x=2.

Për rastin e dytë, ne llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit [-4;-1] (pasi nuk përmban një pikë të vetme të palëvizshme):

Zgjidhje.

Le të fillojmë me domenin e funksionit. Trinomi katror në emëruesin e thyesës nuk duhet të zhduket:

Është e lehtë të kontrollohet që të gjitha intervalet nga deklarata e problemit i përkasin domenit të përkufizimit të funksionit.

Le të dallojmë funksionin:

Natyrisht, derivati ​​ekziston në të gjithë fushën e përkufizimit të funksionit.

Le të gjejmë pika të palëvizshme. Derivati ​​shkon në zero në . Kjo pikë e palëvizshme bie brenda intervaleve (-3;1] dhe (-3;2).

Tani mund të krahasoni rezultatet e marra në çdo pikë me grafikun e funksionit. Vijat blu me pika tregojnë asimptota.

Në këtë pikë mund të përfundojmë me gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit. Algoritmet e diskutuara në këtë artikull ju lejojnë të merrni rezultate me një minimum veprimesh. Sidoqoftë, mund të jetë e dobishme që fillimisht të përcaktohen intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit dhe vetëm pas kësaj të nxirren përfundime për vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në çdo interval. Kjo jep një pasqyrë më të qartë dhe justifikim rigoroz për rezultatet.

§ Vlerat ekstreme, maksimale dhe minimale të funksioneve të disa variablave - faqja nr. 1/1

§ 8. Ekstrema Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të disa variablave.

1. Ekstrema e funksioneve të disa variablave.

aeroplan
,
është një pikë në këtë fushë.

Pika
thirrur pikë maksimale funksione
, nëse për ndonjë pikë

pabarazia qëndron

.

Po kështu pikë
thirrur pikë minimale funksione
, nëse për ndonjë pikë
nga ndonjë lagje e një pike
pabarazia qëndron

.

Shënime. 1) Sipas përcaktimeve, funksioni
duhet të përcaktohet në ndonjë lagje të pikës
. ato. pikët maksimale dhe minimale të funksionit
mund të ketë vetëm pika të brendshme të rajonit
.

2) Nëse ka një fqinjësi të pikës
, në të cilën për çdo pikë
i ndryshëm nga
pabarazia qëndron

(

), pastaj pika
thirrur pikë maksimale strikte (përkatësisht pikë minimale strikte ) funksione
. Në këtë drejtim, pikat maksimale dhe minimale të përcaktuara më sipër quhen ndonjëherë pikë maksimale dhe minimale jo të rrepta.

Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen të tij pika ekstreme . Vlerat e funksionit në pikat maksimale dhe minimale thirren përkatësisht lartësitë Dhe minimale , ose shkurtimisht, ekstremet këtë funksion.

Konceptet e ekstremeve janë të natyrës lokale: vlera e një funksioni në një pikë
krahasohet me vlerat e funksionit në pika mjaft të afërta. Në një zonë të caktuar, një funksion mund të mos ketë fare ekstreme, ose mund të ketë disa minima, disa maksimum, madje edhe një numër të pafund të të dyjave. Për më tepër, disa minimume mund të jenë më të mëdha se disa nga maksimalet e tij. Mos ngatërroni vlerat maksimale dhe minimale të një funksioni me vlerat maksimale dhe minimale të tij.

Le të gjejmë kushtin e nevojshëm për një ekstrem. Le, për shembull,
– pika maksimale e funksionit
. Pastaj, sipas përkufizimit, ekziston një gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-lagja e pikës
sikurse
për çdo pikë
nga kjo afërsi. Veçanërisht,

(1)

Ku
,
, Dhe

(2)

Ku
,
. Por (1) do të thotë se një funksion i një ndryshoreje
ka në pikën maksimale ose është në interval
konstante. Prandaj,

ose
- nuk ekziston,

⇒
ose
- nuk ekziston.

Në mënyrë të ngjashme nga (2) marrim atë

ose
- nuk ekziston.

Pra, teorema e mëposhtme është e vlefshme.

TEOREMA 8.1. (kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse funksioni
në pikën
ka një ekstrem, atëherë në këtë pikë ose të dy derivatet e tij të pjesshëm të rendit të parë janë të barabartë me zero, ose të paktën njëri prej këtyre derivateve të pjesshëm nuk ekziston.

Gjeometrikisht, Teorema 8.1 do të thotë se nëse
– pika ekstreme e funksionit
, atëherë rrafshi tangjent me grafikun e këtij funksioni në pikë është ose paralel me rrafshin
, ose nuk ekziston fare. Për ta verifikuar këtë, mjafton të kujtojmë se si të gjejmë ekuacionin e një plani tangjent në një sipërfaqe (shih formulën (4.6)).

Quhen pikat që plotësojnë kushtet e teoremës 8.1 pikat kritike funksione
. Ashtu si për një funksion të një ndryshoreje, kushtet e nevojshme për një ekstrem nuk janë të mjaftueshme. ato. jo çdo pikë kritike e një funksioni do të jetë pika e tij ekstreme.

SHEMBULL. Merrni parasysh funksionin
. Pika
është kritike për këtë funksion, pasi në këtë pikë të dy derivatet e tij të pjesshëm të rendit të parë
Dhe
janë të barabarta me zero. Megjithatë, nuk do të jetë një pikë ekstreme. Vërtet,
, por në çdo lagje të pikës
ka pika në të cilat funksioni merr vlera pozitive dhe pika në të cilat funksioni merr vlera negative. Kjo është e lehtë për t'u verifikuar nëse ndërtoni një grafik të funksionit - një paraboloid hiperbolik.

Për një funksion të dy ndryshoreve, kushtet e mjaftueshme më të përshtatshme jepen nga teorema e mëposhtme.

TEOREMA 8.2. (kushte të mjaftueshme për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve). Le
– pika kritike e funksionit
dhe në ndonjë lagje të pikës
funksioni ka derivate të pjesshëm të vazhdueshëm deri dhe duke përfshirë rendin e dytë. Le të shënojmë

,
,
.

Pastaj 1) nëse
, pastaj tregoni
nuk është një pikë ekstreme;


Nëse përdorim teoremën 8.2 për të hetuar pikën kritike
dështoi (d.m.th. nëse
ose funksioni nuk ka fare pikë në lagje
derivatet e vazhdueshme të pjesshme të rendit të kërkuar), përgjigja e pyetjes për praninë në një pikë
extremum do të japë shenjën e rritjes së funksionit në këtë pikë.

Në të vërtetë, nga përkufizimi del se nëse funksioni
ka në pikën
maksimumi i rreptë atëherë

për të gjitha pikat
nga ndonjë lagje e një pike
, ose ndryshe

për të gjithë mjaftueshëm të vogla
Dhe
. Po kështu, nëse
është një pikë minimale strikte, atëherë për të gjithë mjaftueshëm e vogël
Dhe
pabarazia do të plotësohet
.

Pra, për të zbuluar nëse pika kritike është
pikë ekstreme, është e nevojshme të ekzaminohet rritja e funksionit në këtë pikë. Nëse për të gjithë mjaftueshëm i vogël
Dhe
do të ruajë shenjën, pastaj në pikën
funksioni ka një ekstrem të rreptë (minimumi nëse
, dhe maksimumi nëse
).

Komentoni. Rregulli mbetet i vërtetë për një ekstrem jo të rreptë, por me ndryshimin që për disa vlera
Dhe
rritja e funksionit do të jetë zero
SHEMBULL. Gjeni ekstremet e funksioneve:

1)
; 2)
.

1) Funksioni

Dhe
ekzistojnë gjithashtu kudo. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh
,
gjeni dy pika kritike
Dhe
.

Për të studiuar pikat kritike, zbatojmë teoremën 8.2. Ne kemi:

,
,
.

Le të shqyrtojmë pikën
:

,
,
,

;
.

Prandaj, në pikën
ky funksion ka një minimum, domethënë
.

Eksplorimi i pikës kritike
:

,
,
,


.

Prandaj, pika e dytë kritike nuk është pika ekstreme e funksionit.

2) Funksioni
të përcaktuara kudo. Derivatet e tij të pjesshme të rendit të parë
dhe ato gjithashtu ekzistojnë kudo. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh
,
gjeni pikën e vetme kritike
.

Për të studiuar pikën kritike, zbatojmë teoremën 8.2. Ne kemi:

,
,
,

,
,
,

.

Përcaktoni praninë ose mungesën e një ekstremi në një pikë
përdorimi i Teoremës 8.2 dështoi.

Le të shqyrtojmë shenjën e rritjes së funksionit në pikë
:

Nëse
, Kjo
;

Nëse
, Kjo
.

Sepse
nuk ruan shenjën në një lagje të një pike
, atëherë në këtë pikë funksioni nuk ka një ekstrem.

Përkufizimet e maksimumit dhe minimumit dhe kushtet e nevojshme për një ekstrem transferohen lehtësisht në funksionet e tre ose më shumë ndryshoreve. Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem për një funksion (
) variablat nuk merren parasysh në këtë lëndë për shkak të kompleksitetit të tyre. Në këtë rast, natyrën e pikave kritike do ta përcaktojmë me shenjën e rritjes së funksionit.

2. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Lëreni funksionin e dy ndryshoreve
të përcaktuara në disa zona
aeroplan
,
,
– pikat e kësaj zone. Vlera e funksionit në një pikë
thirrur me e madhja , nëse për ndonjë pikë
nga rajoni
pabarazia qëndron

.

Në mënyrë të ngjashme, vlera e funksionit në pikë
thirrur më i vogli , nëse për ndonjë pikë
nga rajoni
pabarazia qëndron

.

Më herët, kemi thënë tashmë se nëse një funksion është i vazhdueshëm dhe zona
– është i mbyllur dhe i kufizuar, atëherë funksioni merr vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla në këtë zonë. Në të njëjtën kohë, pikë
Dhe
mund të shtrihet si brenda zonës
, dhe në kufirin e saj. Nëse pika
(ose
) shtrihet brenda rajonit
, atëherë kjo do të jetë pika maksimale (minimale) e funksionit
, d.m.th. pika kritike e një funksioni brenda një rajoni
. Prandaj, për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit
në zonë
duhet:
.

Një ekstrem i një funksioni është një veti e një natyre lokale, lokale (shih përkufizimin). Maksimumi (minimumi) nuk duhet të ngatërrohet me vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni në një zonë të mbyllur. D.

Përkufizimi. Le të themi funksionin z = f(x, y) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në disa rajone D, ka derivate të pjesshme të fundme në këtë rajon. Pastaj në këtë rajon do të ketë pika në të cilat arrin funksioni më i madhi dhe më i vogli vlerat e vlerave të mbetura. Këto pika mund të shtrihen brenda rajonit ose në kufirin e tij.

Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, ju duhet:

1) Gjeni pikat stacionare të vendosura brenda rajonit dhe llogaritni vlerat e funksionit në këto pika.

Komentoni. Bashkangjitni pikave të palëvizshme në të cilat derivatet janë të pafundme ose nuk ekzistojnë (nëse ka).

2) Gjeni pika të palëvizshme në kufirin e rajonit dhe llogaritni vlerat e funksionit në këto pika.

3) Gjeni vlerat e funksionit në pikat e qosheve - pikat e kryqëzimit të vijave kufitare.

4) Nga të gjitha vlerat e gjetura, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Shembulli 1.22. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni

z = 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x në një zonë të mbyllur D: –3 x 3, –3 y 3 (Fig. 1.3).

Oriz. 1.3. Fusha e studimit D

Zgjidhje. 1) Gjeni pika të palëvizshme

Nga këtu në = –1, X= –2, pikë e palëvizshme M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Studiojmë funksionin në kufirin e rajonit, i cili përbëhet nga segmente AB, DC, CB, AD.

a) Në vijë të drejtë AB: në= 3, dhe funksioni ka formën

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ky është një funksion i një ndryshoreje të pavarur.

Le të përcaktojmë pikat stacionare të këtij funksioni:

prandaj, X = –2,5.

Ne përcaktojmë z në X = –2.5, si dhe në skajet e segmentit [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

do të thotë = 3,5, a = 57.

b) Merrni parasysh segmentin dielli:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; në [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y = 3/2.

Ne gjejme z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Në një segment CD: y = 3, z = 2x 2 + 4x+ 9; në [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Vlerat më të larta dhe më të ulëta

Një funksion i kufizuar në një rajon të mbyllur të kufizuar arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale ose në pika të palëvizshme ose në pika që shtrihen në kufirin e rajonit.

Për të gjetur vlerat më të mëdha ose më të vogla të një funksioni, duhet të:

1. Gjeni pika të palëvizshme që ndodhen brenda kësaj zone dhe llogaritni vlerën e funksionit në to.

2. Gjeni vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në kufirin e rajonit.

3. Krahasoni të gjitha vlerat e funksionit të fituara: më e madhja (më e vogla) do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit në këtë zonë.

Shembulli 2. Gjeni vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit: në një rreth.

Zgjidhje.

pikë e palëvizshme; .

2 .Kufiri i kësaj zone të mbyllur është një rreth ose , ku .

Funksioni në kufirin e rajonit bëhet funksion i një ndryshoreje: , ku . Le të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të këtij funksioni.

Kur x=0 ; (0,-3) dhe (0,3) janë pika kritike.

Le të llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit

3 . Duke krahasuar vlerat me njëra-tjetrën marrim,

Në pikat A dhe B.

Në pikat C dhe D.

Shembulli 3. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një rajon të mbyllur të përcaktuar nga pabarazia:

Zgjidhje. Sipërfaqja është një trekëndësh i kufizuar nga boshtet e koordinatave dhe drejtëza x+y=1.

1. Ne gjejmë pika të palëvizshme brenda rajonit:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Pika e palëvizshme nuk i përket rajonit në shqyrtim, kështu që vlera z në të nuk llogaritet.

2 .Studiojmë funksionin në kufi. Meqenëse kufiri përbëhet nga tre seksione të përshkruara nga tre ekuacione të ndryshme, ne studiojmë funksionin në secilin seksion veç e veç:

A) në seksionin 0A: y=0 - ekuacioni 0A, atëherë ; nga ekuacioni del qartë se funksioni rritet me 0A nga 0 në 1. Kjo do të thotë .

b) në seksionin 0B: x=0 - ekuacioni 0B, atëherë ; –6y+1=0; - pikë kritike.

V) në drejtëzën x+y = 1: y=1-x, atëherë marrim funksionin

Llogaritni vlerën e funksionit z në pikën B(0,1).

3 .Duke krahasuar numrat marrim se

Në të drejtën AB.

Në pikën B.

Teste për vetëkontrollin e njohurive.

1 . Ekstremumi i funksionit është

a) derivatet e tij të rendit të parë

b) ekuacioni i tij

c) orarin e saj

d) maksimumi ose minimumi i tij

2. Ekstremumi i një funksioni të disa variablave mund të arrihet:

a) vetëm në pikat që ndodhen brenda domenit të tij të përkufizimit, në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë më të mëdha se zero

b) vetëm në pikat që ndodhen brenda domenit të tij të përkufizimit, në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë më pak se zero

c) vetëm në pikat që ndodhen brenda domenit të tij të përkufizimit, në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë nuk janë të barabartë me zero

d) vetëm në pikat që ndodhen brenda domenit të tij të përkufizimit, në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero

3. Një funksion që është i vazhdueshëm në një rajon të mbyllur të kufizuar arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale:

a) në pika të palëvizshme

b) ose në pika stacionare ose në pika që shtrihen në kufirin e rajonit

c) në pikat që shtrihen në kufirin e rajonit

d) në të gjitha pikat

4. Pikat stacionare për një funksion të disa ndryshoreve janë pikat:

a) në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë nuk janë të barabartë me zero

b) në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë më të mëdha se zero

c) në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero

d) në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë janë më të vogla se zero

Le të jetë funksioni y=f(x) i vazhdueshëm në segment. Siç e dini, ky funksion arrin potencialin e tij më të madh. dhe emri vlerat. Funksioni mund t'i marrë këto vlera ose në pikën e brendshme të segmentit ose në kufirin e segmentit, d.m.th. kur =a ose =b. Nëse , atëherë pika duhet të kërkohet ndër pikat kritike të këtij funksioni.

Ne marrim rregullin e mëposhtëm për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në:

1) gjeni pikat kritike të funksionit në intervalin (a,b);

2) llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike të gjetura;

3) llogaritni vlerat e funksionit në skajet e segmentit, d.m.th. në pikat x=a dhe x=b;

4) midis të gjitha vlerave të llogaritura të funksionit, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Shënime:

1. Nëse një funksion y=f(x) në një segment ka vetëm një pikë kritike dhe ajo është pikë maksimale (minimale), atëherë në këtë pikë funksioni merr vlerën më të madhe (më të vogël).

2. Nëse funksioni y=f(x) në një segment nuk ka pika kritike, atëherë kjo do të thotë se funksioni në mënyrë monotonike rritet ose zvogëlohet në të. Rrjedhimisht, funksioni merr vlerën e tij më të madhe (M) në njërin skaj të segmentit dhe vlerën e tij më të vogël (m) në anën tjetër.

60. Numrat kompleks. formulat e Moivre.
Numri kompleks emri shprehja e formës z = x + iy, ku x dhe y janë numra realë, dhe i është i ashtuquajturi. njësi imagjinare,. Nëse x=0, atëherë thirret numri 0+iy=iy. një numër imagjinar; nëse y=0, atëherë numri x+i0=x identifikohet me numrin real x, që do të thotë se bashkësia R e të gjithëve është reale. numri i dukurive një nëngrup i bashkësisë C të të gjithë numrave kompleksë, d.m.th. . Numri x emri pjesa reale z,. Dy numra kompleks quhen të barabartë (z1=z2) nëse dhe vetëm nëse pjesët reale të tyre janë të barabarta dhe pjesët e tyre imagjinare janë të barabarta: x1=x2, y1=y2. Në veçanti, numri kompleks Z=x+iy është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse x=y=0. Konceptet e "më shumë" dhe "më pak" nuk janë prezantuar për numrat kompleks. Dy numra komplekse z=x+iy dhe , që ndryshojnë vetëm në shenjën e pjesës imagjinare, quhen të konjuguar.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks.

Çdo numër kompleks z = x + iy mund të përfaqësohet me një pikë M(x,y) të rrafshit Oxy të tillë që x=Re z, y=Im z. Dhe, anasjelltas, çdo pikë M(x;y) e planit koordinativ mund të konsiderohet si imazh i një numri kompleks z = x + iy. Rrafshi në të cilin paraqiten numrat kompleks quhet plan kompleks, sepse mbi të shtrihen numrat realë z = x + 0i = x. Boshti i ordinatave quhet bosht imagjinar, pasi mbi të shtrihen numrat kompleksë thjesht imagjinarë z = 0 + iy. Numri kompleks Z=x+iy mund të specifikohet duke përdorur vektorin e rrezes r=OM=(x,y). Gjatësia e vektorit r që përfaqëson një numër kompleks z quhet modul i këtij numri dhe shënohet me |z| ose r. Madhësia e këndit ndërmjet Drejtimi i boshtit real dhe vektorit r që përfaqëson një numër kompleks quhet argument i këtij numri kompleks, i shënuar me Arg z ose . Argumenti i numrit kompleks Z=0 është i padefinuar. Argumenti i një numri kompleks është një sasi me shumë vlera dhe përcaktohet deri në termin ku arg z është vlera kryesore e argumentit që gjendet në intervalin (), d.m.th. - (nganjëherë një vlerë që i përket intervalit (0; ) merret si vlera kryesore e argumentit).

Shkrimi i numrit z në trajtën z=x+iy quhet forma algjebrike e një numri kompleks.

Veprimet me numra kompleks

Shtesa. Shuma e dy numrave kompleks z1=x1+iy1 dhe z2=x2+iy2 është një numër kompleks i përcaktuar nga barazia: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Mbledhja e numrave kompleks ka veti komutative dhe kombinuese: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Zbritja. Zbritja përcaktohet si inversi i mbledhjes. Dallimi i numrave kompleks z1 dhe z2 është një numër kompleks z i cili, kur i shtohet z2, jep numrin z1, d.m.th. z=z1-z2, nëse z+z2=z1. Nëse z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, atëherë nga ky përkufizim është e lehtë të merret z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Shumëzimi. Prodhimi i numrave kompleks z1=x1+iy1 dhe z2=x2+iy2 është numri kompleks i përcaktuar nga barazia z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Nga këtu, në veçanti, vijon: . Nëse numrat janë dhënë në formë trigonometrike: .

Gjatë shumëzimit të numrave kompleksë, modulet e tyre shumëzohen dhe argumentet e tyre shtohen. formula e Moivre(nëse ka n faktorë dhe janë të gjithë të njëjtë): .

Artikuj të ngjashëm