I. Një grup është një koleksion i disa objekteve ose numrave, të përbërë sipas disa vetive ose ligjeve të përgjithshme (shumë shkronja në një faqe, shumë thyesa të duhura me një emërues 5 , shumë yje në qiell, etj.).

Për të shkruar një grup, përdorni mbajtëset kaçurrelë: «{ "- hapet seti; "}" — shumë po mbyllen. Dhe vetë grupi quhet me shkronja të mëdha latine: A, B, C e kështu me radhë.

Shembuj.

1 . Shkruani grup A, i përbërë nga të gjitha zanoret në fjalë "matematikë".

Zgjidhje. A=(a, e, i). Shihni: pavarësisht se në fjalë "matematikë" janë tre shkronja "A"- Përsëritjet e shumta nuk lejohen në regjistrim dhe shkronjë "A" regjistrohet vetëm një herë. Një tufë me A përbëhet nga tre elementë.

2. Shkruani bashkësinë e të gjitha thyesave të duhura me emërues 5 .

Zgjidhje. Le të kujtojmë: një thyesë e duhur është një thyesë e zakonshme, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj. Le të shënojmë me NË grupin e dëshiruar. Pastaj:

Një tufë me NË përbëhet nga katër elementë.

II. Kompletet përbëhen nga elemente dhe mund të jenë të fundme ose të pafundme. Një grup që nuk përmban një element të vetëm quhet bashkësi boshe dhe shënohet me Ø.

III. Një tufë me NË quhet një nëngrup i një bashkësie A, nëse të gjithë elementët e grupit NË janë elementë të grupit A.

3. Cila nga dy grupet e dhëna NË Dhe ME TE,

Nëse NË={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Zgjidhje. Të gjithë elementët e kompletit ME janë gjithashtu elementë të kompletit TE, pra, shumë MEështë një nëngrup i grupit TE. Shkruani:

IV. Kryqëzimi i grupeve A Dhe NËështë një bashkësi elementet e të cilit i përkasin grupit A dhe shumë NË.

4. Tregoni kryqëzimin e dy grupeve M Dhe F duke përdorur rrathët e Euler-it.

Zgjidhje.

Koncepti i grupit është një nga konceptet themelore matematikore. Është një koncept i papërcaktuar dhe mund të përshkruhet ose shpjegohet vetëm përmes shembujve. Kështu, mund të flasim për grupin e shkronjave në alfabetin latin, grupin e të gjithë librave në një bibliotekë të caktuar, grupin e studentëve në një grup të caktuar, grupin e të gjitha pikave në një rresht të caktuar. Për të përcaktuar një grup, thjesht rendisni elementet ose specifikoni karakteristike vetitë e elementeve, d.m.th. një veti që zotërohet nga të gjithë elementët e një grupi të caktuar dhe vetëm ata.

Përkufizimi 1.1. Sendet (objektet) që përbëjnë një bashkësi të caktuar quhen të saj elementet.

Është e zakonshme të shënohet një grup me shkronja të mëdha latine, dhe elementët e grupit - me shkronja të vogla. Çfarë xështë një element i grupit A, shkruhet kështu: x A(x i takon A). Lloji i regjistrimit x A(x A) do të thotë se x nuk bëjnë pjesë A, d.m.th. nuk është një element i grupit A.

Elementet e një grupi zakonisht shkruhen me kllapa kaçurrelë. Për shembull, nëse A - grup i përbërë nga tre shkronjat e para të alfabetit latin, atëherë shkruhet si më poshtë: A={a,b,c} .

Një grup mund të përmbajë një numër të pafund elementësh (bashkësia e pikave në një vijë, bashkësia e numrave natyrorë), një numër i kufizuar elementesh (bashkësia e nxënësve të shkollës në një klasë), ose të mos përmbajë fare element (bashkësia të nxënësve në një klasë bosh).

Përkufizimi 1.2. Një grup që nuk përmban një element të vetëm quhet grup bosh, e shënuar me Ø.

Përkufizimi 1.3. Një tufë me A thirrur nëngrup grupe B, nëse çdo element i grupit A i takon shumë B. Kjo tregohet A B(A - nëngrup B).

Grupi bosh konsiderohet një nëngrup i çdo grupi. Nëse grupi A nuk është një nëngrup i grupit B, pastaj shkruajnë A B.

Përkufizimi 1.4. Dy komplete A Dhe B thirrur të barabartë, nëse janë nëngrupe të njëra-tjetrës. Cakto A = B. Kjo do të thotë se nëse x A, Kjo xB dhe anasjelltas, d.m.th. nëse dhe , atëherë .

Përkufizimi 1.5.Kryqëzimi grupe A Dhe B telefononi një grup M, elementet e të cilit janë njëkohësisht elementë të të dy grupeve A Dhe B. Cakto M=A B. Ato. x A B, Kjo x A Dhe x B.

Shkruani A B={x | x A Dhe xB). (Në vend të një bashkimi Dhe - shenjat, &).

Përkufizimi 1.6. Nëse A B=Ø, pastaj thonë se grupet A Dhe B nuk kryqëzohen.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni kryqëzimin e 3, 4 dhe çdo numër të kufizuar grupesh.

Përkufizimi 1.7.Shoqata grupe A Dhe B telefononi një grup M, elementet e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive M=A B. Se. A B={x | x A ose xB). (Në vend të një bashkimi ose - vendoset shenja).

Kompleti është përcaktuar në mënyrë të ngjashme A 1 A 2 … Një n . Ai përbëhet nga elementë, secila prej të cilave i përket të paktën njërës prej grupeve A 1,A 2,…,Një n(dhe ndoshta disa në të njëjtën kohë) .

Shembulli 1.8. 1) nëse A=(1;2;3;4;5) dhe B=(1;3;5;7;9), atëherë A B=(1;3;5) dhe A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) nëse A=(2;4) dhe B=(3; 7), atëherë A B=Ø dhe A B={2;3;4;7}.

3) nëse A=(muajt e verës) dhe B=(muaj me 30 ditë), pastaj A B=(qershor) dhe A B=(prill; qershor; korrik; gusht; shtator; nëntor).

Përkufizimi 1.9.Natyrore quhen numrat 1,2,3,4,... që përdoren për numërimin e objekteve.

Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Është e pafundme, ka elementin më të vogël 1 dhe nuk ka element më të madh.

Shembulli 1.10. A– bashkësia e pjesëtuesve natyrorë të numrit 40. Renditni elementet e kësaj bashkësie. A është e vërtetë që 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Shembulli 1.11. Listoni elementet e bashkësive të përcaktuara nga vetitë karakteristike.

Këtu, ajo që del në pah është pikërisht ajo që kemi lënë mënjanë deri më tani, domethënë, çështja se si marrëdhëniet e rendit që ekzistojnë në grupe të të njëjtit kardinalitet i dallojnë këto grupe. Në fund të fundit, ato pasqyrime një-për-një të formës më të përgjithshme që ne kemi supozuar deri më tani shkelin të gjitha këto marrëdhënie - thjesht mbani mend paraqitjen e një katrori në një segment! Unë do të doja të theksoja veçanërisht rëndësinë e këtij seksioni të dytë të doktrinës së grupeve; në fund të fundit, ky mësim nuk mund të ketë si synim eliminimin, nëpërmjet futjes së koncepteve të reja, më të përgjithshme, të atyre dallimeve që përdoren prej kohësh në matematikë; përkundrazi, ky mësim mund dhe duhet të shërbejë për njohjen e këtyre dallimeve në thelbin e tyre më të thellë me ndihmën e koncepteve të përgjithshme.

Llojet rendore të bashkësive të numërueshme.

Qëllimi ynë tani është të ilustrojmë, me disa shembuj të mirënjohur, konceptin e rregullimeve të ndryshme të mundshme të elementeve të një grupi në një rend të caktuar. Nëse fillojmë me grupe të numërueshme, atëherë dimë tashmë tre shembuj krejtësisht të ndryshëm të renditjes së elementeve në grupe të tilla, aq të ndryshme nga njëri-tjetri sa që barazia e kardinaliteteve të tyre përbënte, siç pamë, një të veçantë dhe në asnjë rast të vetëkuptueshëm. teorema; këto janë grupet e mëposhtme:

1) bashkësia e numrave natyrorë;

2) bashkësia e të gjithë numrave të plotë (negativë dhe pozitivë);

3) bashkësia e të gjithë numrave racionalë dhe bashkësia e të gjithë numrave algjebrikë.

Rregullimi i elementeve në të tre këto grupe ka një veti të përbashkët, për shkak të së cilës quhet rend linear në bashkësi. Kjo veti është si më poshtë: nga çdo dy element, njëri gjithmonë i paraprin tjetrit, d.m.th., i shprehur në mënyrë algjebrike, gjithmonë dihet se cili element është më i vogël dhe cili është më i madh, dhe, më tej, nëse nga tre elementët a, b, c elementi a i paraprin elementit b, dhe elementi b i paraprin elementit c, atëherë a gjithmonë i paraprin elementit c (nëse , atëherë

Por, nga ana tjetër, në shembujt e shqyrtuar ka dallime të tilla karakteristike: në grupin e parë ka një element të parë (zero), i cili i paraprin të gjithë të tjerëve, por nuk ka element të fundit që pason të gjithë të tjerët; grupi i dytë nuk ka as elementin e parë dhe as të fundit. Por të dyja këto grupe kanë këtë të përbashkët, që çdo element pasohet menjëherë nga një element i caktuar më i afërt dhe çdo elementi paraprihet menjëherë nga një element tjetër i caktuar.

Në të kundërt, grupi i tretë ka gjithmonë, siç e pamë më lart, midis çdo dy elementësh një pafundësisht shumë elementë të tjerë; Ne e shënuam një veti të tillë të një bashkësie me termin "bashkësi kudo e dendur", kështu që, në veçanti, midis të gjithë numrave racionalë ose algjebrikë që shtrihen midis a dhe b, përveç vetë këtyre numrave, nuk ka as më të voglin dhe as më të madhin. numri. Kështu, mënyrat e renditjes së elementeve në këto tre grupe, d.m.th., llojet e tyre rendore, janë të ndryshme nga njëra-tjetra, megjithëse vetë grupet kanë të njëjtat kardinalitete. Dikush mund të lidhet me këtë - dhe kjo në fakt bëhet nga përfaqësuesit e teorisë së grupeve - çështjen e të gjitha llojeve rendore përgjithësisht të mundshme të grupeve të numërueshme.

Vazhdimësia e vazhdimësisë. Le t'i drejtohemi tani shqyrtimit të grupeve të fuqisë së vazhdueshme; këtu ne njohim një grup me një rend linear në të, domethënë, vazhdimësinë e të gjithë numrave realë. Por së bashku me të, në rastet dydimensionale dhe shumëdimensionale, kemi shembuj të grupeve me një renditje elementesh të ndryshme nga ajo që ne e quajtëm "lineare". Kështu, në rastin e një bashkësie, për të përcaktuar pozicionin relativ të dy pikave, nevojiten jo një, por dy marrëdhënie të llojit të pabarazive.

Këtu është më e rëndësishme të analizohet koncepti i vazhdimësisë së një vazhdimësie njëdimensionale; zbulimi se ky koncept bazohet në të vërtetë vetëm në vetitë e thjeshta të rendit të natyrshëm në një grup është merita e parë e shquar e doktrinës së grupeve në sqarimin e koncepteve themelore matematikore, domethënë, rezulton se të gjitha vetitë e rrjedhës së vazhdueshme nga fakti se ky i fundit është një bashkësi lineare dhe e renditur me dy vetitë e mëposhtme:

1. Nëse grupin e ndajmë në dy pjesë A, B, por në atë mënyrë që çdo element t'i përkasë ndonjërës prej këtyre pjesëve dhe që të gjithë elementët e përfshirë në pjesën A të paraprijnë të gjitha elementet e pjesës B, atëherë në këtë rast ose A ka elementin e fundit ose B ka elementin e parë.

Duke kujtuar përkufizimin e Dedekindit për numrat irracionalë, ne mund ta shprehim këtë veti në këtë mënyrë: çdo "seksion" në grupin tonë prodhohet nga një prej elementeve të tij.

2. Midis çdo dy elementi të një grupi ka pafundësisht shumë elementë të tjerë.

Kjo veti e dytë zotërohet jo vetëm nga vazhdimësia, por edhe nga bashkësia e numërueshme e të gjithë numrave racionalë; vetia e parë tregon një ndryshim domethënës midis këtyre grupeve të renditura. Çdo bashkësi e renditur në mënyrë lineare që ka të dyja këto veti quhet e vazhdueshme në teorinë e bashkësive për arsye se për të është vërtet e mundur të vërtetohen të gjitha teoremat që qëndrojnë për një vazhdimësi për shkak të vazhdimësisë së tij.

Dua gjithashtu të theksoj se këto veti të vazhdimësisë mund të formulohen edhe disi ndryshe, domethënë, bazuar në të ashtuquajturën seri "bazë" Cantor. Seria kryesore është një sekuencë e tillë e numërueshme e elementeve të një grupi të caktuar që në vetë grupin ose ose disa elementë a të grupit quhet element limit i serisë kryesore nëse - në rastin e parë - në serinë kryesore ka gjithmonë elemente më të mëdha se çdo element që shtrihet në grupin e dhënë deri në a, por nuk ka fare elementë, bblpih të paktën një element i vendosur pasi elementi kufi në rastin e dytë përcaktohet në mënyrë të ngjashme. Nëse një grup ka vetinë që çdo seri bazë e përfshirë në përbërjen e tij t'i korrespondojë një elementi limit, atëherë grupi quhet i mbyllur; nëse, përkundrazi, çdo element i grupit është një element kufi i ndonjë serie bazë të izoluar prej tij, atëherë grupi quhet i dendur. Vazhdimësia e grupeve që kanë fuqinë e vazhdimësisë konsiston në thelb në kombinimin e të dyja këtyre vetive.

Gjatë rrugës, dua t'ju kujtoj këtu se kur flasim për llogaritjet diferenciale dhe integrale, ne folëm edhe për një vazhdimësi tjetër - vazhdimësinë.

Veronese, e cila lind nga vazhdimësia e zakonshme përmes shtimit të sasive në fakt pafundësisht të vogla. Edhe pse në këtë mënyrë fitohet një grup i rendit linear, megjithatë kjo vazhdimësi ka, natyrisht, një lloj rregullimi krejtësisht të ndryshëm nga vazhdimësia e zakonshme; teorema që çdo seri bazë ka një element kufi nuk vlen më këtu.

Kompleti është një koncept themelor në matematikë dhe për këtë arsye nuk përcaktohet përmes të tjerëve.

Zakonisht, një grup kuptohet si një koleksion objektesh të bashkuara nga një karakteristikë e përbashkët. Pra, mund të flasim për shumë studentë në një grup, shumë shkronja të alfabetit rus, etj. Në jetën e përditshme, në vend të fjalës “komplet” përdoren fjalët “grup”, “koleksion”, “grup” etj. Kompletet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, NË, ME, ..., Z.

Për grupet numerike në matematikë, miratohen shënime të veçanta:

N– bashkësia e numrave natyrorë;

N 0 – grup i numrave të plotë jo negativë;

Z– grup i numrave të plotë;

P– grup numrash racionalë;

R– grup numrash realë.

Objektet nga të cilat formohet një grup quhen elementë të tij. Për shembull, shtatori është një element i grupit të muajve të vitit, numri 5 është një element i grupit të numrave natyrorë. Elementet e një grupi zakonisht shënohen me shkronja të vogla të alfabetit latin. Elementet e një grupi mund të jenë grupe. Kjo mund të thuhet për shumë grupe në institut. Elementet e këtij grupi janë grupe, të cilat nga ana e tyre janë grupe studentësh.

Lidhja midis një grupi dhe elementit të tij shprehet duke përdorur fjalën "i përket". Deklarata "Element A i përket grupit A" është shkruar kështu: A  A, dhe kjo hyrje mund të lexohet ndryshe: A– elementi i kompletit A", "një tufë me A përmban një element A" Deklarata "Element A nuk i përket grupit A" është shkruar kështu: A  A(përndryshe: " A nuk është një element i grupit A", "një tufë me A nuk përmban element A»).

Nëse në të folurit e përditshëm fjala "grup" shoqërohet me një numër të madh objektesh, atëherë në matematikë kjo nuk kërkohet. Një grup mund të përmbajë një element ose të mos përmbajë asnjë element.

Një grup që nuk përmban një element të vetëm quhet bosh dhe shënohet me simbolin . Ka vetëm një grup bosh. Shembuj të një grupi bosh janë grupi i njerëzve në Diell, grupi i rrënjëve natyrore të ekuacionit X+ 8 = 0.

Kompletet mund të jenë të fundme ose të pafundme.

Një bashkësi quhet e fundme nëse ka një numër natyror P, i tillë që të gjithë elementët e grupit mund të numërohen nga 1 në P. përndryshe bashkësia quhet e pafundme. Një shembull i një grupi të fundëm është bashkësia e shifrave, dhe një shembull i një grupi të pafundëm është bashkësia e numrave natyrorë.

§ 2. Metodat për përcaktimin e grupeve

Një grup konsiderohet i dhënë nëse është e mundur të thuhet për ndonjë objekt nëse i përket këtij grupi apo nuk i përket.

Një grup mund të përcaktohet duke renditur të gjithë elementët e tij. Regjistro ME= (a, b, c, d) do të thotë se bashkësia ME përmban elementet a, b, c, d.

Çdo element shfaqet në grup vetëm një herë. Për shembull, shumë shkronja të ndryshme në fjalën "matematikë" do të shkruhen kështu: (m, a, t, e, i, k).

Kjo metodë është e zbatueshme për grupe të fundme që përmbajnë një numër të vogël elementësh.

Ndonjëherë, duke përdorur këtë metodë, mund të specifikoni një grup të pafund. Për shembull, grupi i numrave natyrorë mund të përfaqësohet si: N= (1, 2, 3, 4, ...). Kjo metodë e regjistrimit është e mundur vetëm kur është e qartë nga pjesa e regjistruar e grupit se çfarë fshihet nën elipsë.

Një mënyrë tjetër për të përcaktuar grupet është si më poshtë: tregoni vetinë karakteristike të elementeve të saj. Një veti karakteristike është një veti që ka çdo element që i përket një grupi dhe asnjë element që nuk i përket atij.

Ndodh që i njëjti grup mund të përcaktohet duke treguar veti të ndryshme karakteristike të elementeve të tij. Për shembull, bashkësia e numrave dyshifrorë të pjesëtueshëm me 11 dhe bashkësia e numrave natyrorë të qindëshit të parë, të shkruar me dy shifra identike, përmbajnë të njëjtat elemente.

Me këtë metodë të specifikimit, një grup mund të shkruhet kështu: fillimisht shkruani emërtimin e elementit në kllapa kaçurrela, pastaj vizatoni një vijë vertikale, pas së cilës shkruani vetinë që kanë elementet e këtij grupi. Për shembull, shumë A numrat natyrorë më të vegjël se 5 do të shkruhen si më poshtë: A = {X XN, X < 5}.

Turma. Operacionet në grupe.
Afishimi i grupeve. Fuqia e kompletit

Ju mirëpres në mësimin e parë mbi algjebrën më të lartë, i cili u shfaq... në prag të përvjetorit të pestë të faqes, pasi kisha krijuar më shumë se 150 artikuj mbi matematikën dhe materialet e mia filluan të përpilohen në një kurs të përfunduar. Sidoqoftë, shpresoj që të mos vonohem - në fund të fundit, shumë studentë fillojnë të thellohen në leksione vetëm për provimet shtetërore =)

Një kurs universitar vyshmat bazohet tradicionalisht në tre shtylla:

– analiza matematikore (kufijtë, derivatet etj.)

– dhe në fund, sezoni i vitit akademik 2015/16 hapet me mësime Algjebër për Dummies, Elemente të logjikës matematikore, mbi të cilin do të analizojmë bazat e seksionit, si dhe do të njihemi me konceptet themelore matematikore dhe shënimet e zakonshme. Më duhet të them që në artikujt e tjerë nuk e teproj me "kërpudhat" , megjithatë, ky është vetëm një stil, dhe, natyrisht, ato duhet të njihen në çdo kusht =). I informoj lexuesit e sapoardhur se mësimet e mia janë të orientuara drejt praktikës dhe materiali i mëposhtëm do të prezantohet në këtë frymë. Për informacion më të plotë dhe akademik, ju lutemi referojuni literaturës arsimore. Shko:

Një tufë me. Shembuj të grupeve

Kompleti është një koncept themelor jo vetëm i matematikës, por i gjithë botës përreth. Merrni çdo objekt në dorë tani. Këtu keni një grup të përbërë nga një element.

Në një kuptim të gjerë, grupi është një koleksion objektesh (elementesh) që kuptohen si një tërësi e vetme(sipas karakteristikave, kritereve apo rrethanave të caktuara). Për më tepër, këto nuk janë vetëm objekte materiale, por edhe shkronja, numra, teorema, mendime, emocione, etj.

Kompletet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha (opsionale, me abonime: etj.), dhe elementet e tij shkruhen me kllapa kaçurrelë, për shembull:

- shumë shkronja të alfabetit rus;
– bashkësia e numrave natyrorë;

Epo, është koha të njihemi pak me njëri-tjetrin:
– shumë studentë në rreshtin e parë

... Më vjen mirë që shoh fytyrat tuaja serioze dhe të përqendruara =)

Kompletet janë përfundimtar(i përbërë nga një numër i kufizuar elementësh), dhe një grup është një shembull e pafundme turmave. Përveç kësaj, të ashtuquajturat grup bosh:

– një grup në të cilin nuk ka asnjë element të vetëm.

Shembulli është i njohur mirë për ju - grupi në provim është shpesh bosh =)

Anëtarësia e një elementi në një grup tregohet nga simboli, për shembull:

- shkronja "be" i përket shumë shkronjave të alfabetit rus;
- shkronja "beta" Jo i përket shumë shkronjave të alfabetit rus;
– numri 5 i përket grupit të numrave natyrorë;
- por numri 5.5 nuk është më;
– Voldemar nuk ulet në rreshtin e parë (dhe, për më tepër, nuk i përket turmës ose =)).

Në algjebër abstrakte dhe jo shumë, elementët e një grupi shënohen me shkronja të vogla latine dhe, në përputhje me rrethanat, fakti i pronësisë zyrtarizohet në stilin e mëposhtëm:

– elementi i përket grupit.

Kompletet e mësipërme janë të shkruara transferim direkt elemente, por kjo nuk është e vetmja mënyrë. Është i përshtatshëm për të përcaktuar shumë grupe duke përdorur disa shenjë (s), e cila është e natyrshme të gjithë elementët e tij. Për shembull:

– bashkësia e të gjithë numrave natyrorë më të vegjël se njëqind.

Mbani mend: një shkop i gjatë vertikal shpreh foljen “që”, “të tillë”. Shumë shpesh në vend të tij përdoret dy pika: - le ta lexojmë hyrjen më formalisht: "bashkësia e elementeve që i përkasin grupit të numrave natyrorë, sikurse » . Te lumte!

Ky grup mund të shkruhet edhe me numërim të drejtpërdrejtë:

Më shumë shembuj:
- dhe nëse ka mjaft studentë në rreshtin e parë, atëherë një hyrje e tillë është shumë më e përshtatshme sesa t'i rendisni drejtpërdrejt.

– një grup numrash që i përkasin segmentit . Ju lutemi vini re se kjo do të thotë shumëfish e vlefshme numrat (më shumë për to më vonë), të cilat nuk janë më të mundshme të listohen të ndara me presje.

Duhet të theksohet se elementët e një grupi nuk duhet të jenë "homogjenë" ose të ndërlidhur logjikisht. Merrni një çantë të madhe dhe filloni të vendosni rastësisht sende të ndryshme në të. Nuk ka asnjë model në këtë, por, megjithatë, ne po flasim për një sërë temash. Në mënyrë figurative, një grup është një "paketë" e veçantë në të cilën "me vullnetin e fatit" përfundoi një koleksion i caktuar objektesh.

Nëngrupet

Pothuajse gjithçka është e qartë nga vetë emri: një grup është nëngrup set nëse çdo element i grupit i përket grupit. Me fjalë të tjera, grupi është i përfshirë në grup:

Një ikonë quhet ikonë përfshirjes.

Le të kthehemi te shembulli, në të cilin ky është një grup shkronjash të alfabetit rus. Le të shënojmë me – bashkësinë e zanoreve të saj. Pastaj:

Ju gjithashtu mund të zgjidhni një nëngrup shkronjash bashkëtingëllore dhe, në përgjithësi, një nëngrup arbitrar që përbëhet nga çdo numër shkronjash cirilike të marra rastësisht (ose jo rastësisht). Në veçanti, çdo shkronjë cirilike është një nëngrup i grupit.

Është i përshtatshëm për të përshkruar marrëdhëniet midis nëngrupeve duke përdorur një diagram gjeometrik konvencional të quajtur Rrathët e Euler-it.

Le të jetë grupi i studentëve në rreshtin e parë, grupi i studentëve në grup dhe grupi i studentëve të universitetit. Pastaj lidhja e përfshirjes mund të përshkruhet si më poshtë:

Grupi i studentëve nga një universitet tjetër duhet të përshkruhet si një rreth që nuk e kryqëzon rrethin e jashtëm; shumë studentë të vendit – rreth që i përmban të dyja këto rrathë etj.

Ne shohim një shembull tipik të përfshirjeve kur shqyrtojmë grupet numerike. Le të përsërisim materialin shkollor që është i rëndësishëm për t'u mbajtur parasysh kur studiojmë matematikën e lartë:

Kompletet e numrave

Siç e dini, historikisht të parët që u shfaqën ishin numrat natyrorë të destinuar për numërimin e objekteve materiale (njerëz, pula, dele, monedha, etj.). Ky grup tashmë është hasur në artikull, e vetmja gjë është se ne tani po modifikojmë pak përcaktimin e tij. Fakti është se grupet numerike zakonisht shënohen me shkronja të theksuara, të stilizuara ose të trasha. Unë preferoj të përdor font të theksuar:

Ndonjëherë zero përfshihet në grupin e numrave natyrorë.

Nëse bashkësisë i shtojmë të njëjtët numra me shenjën e kundërt dhe zero, marrim grup numrash të plotë:

Inovatorët dhe dembelët i shkruajnë elementet e tij me ikona "plus minus":))

Është mjaft e qartë se bashkësia e numrave natyrorë është një nëngrup i grupit të numrave të plotë:
– meqenëse çdo element i grupit i përket grupit. Kështu, çdo numër natyror mund të quhet me siguri një numër i plotë.

Emri i grupit është gjithashtu "tregues": numra të plotë - kjo do të thotë, pa thyesa.

Dhe, duke qenë se janë numra të plotë, le të kujtojmë menjëherë shenjat e rëndësishme të pjesëtueshmërisë së tyre me 2, 3, 4, 5 dhe 10, të cilat do të kërkohen në llogaritjet praktike pothuajse çdo ditë:

Një numër i plotë pjesëtohet me 2 pa mbetje, nëse përfundon me 0, 2, 4, 6 ose 8 (dmth çdo numër çift). Për shembull, numrat:
400, -1502, -24, 66996, 818 - i ndashëm me 2 pa mbetje.

Dhe le të shohim menjëherë shenjën "e lidhur": një numër i plotë pjesëtohet me 4, nëse një numër përbëhet nga dy shifrat e fundit të tij (sipas renditjes që shfaqen) pjesëtueshëm me 4.

400 - pjesëtohet me 4 (pasi 00 (zero) pjesëtohet me 4);
-1502 - i papjesëtueshëm me 4 (pasi 02 (dy) nuk pjesëtohet me 4);
-24, natyrisht, pjesëtohet me 4;
66996 - i pjesëtueshëm me 4 (pasi 96 pjesëtohet me 4);
818 - i papjesëtueshëm me 4 (pasi 18 nuk pjesëtohet me 4).

Bëni vetë një vërtetim të thjeshtë të këtij fakti.

Pjesëtueshmëria me 3 është pak më e vështirë: një numër i plotë pjesëtohet me 3 pa mbetje nëse shuma e shifrave të përfshira në të pjesëtueshëm me 3.

Le të kontrollojmë nëse numri 27901 ndahet me 3. Për ta bërë këtë, përmblidhni shifrat e tij:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - e papjesëtueshme me 3
Përfundim: 27901 nuk pjesëtohet me 3.

Le të përmbledhim shifrat e -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - ndahet me 3
Përfundim: numri -825432 ndahet me 3

Numër i plotë i pjesëtueshëm me 5, nëse përfundon me një pesë ose një zero:
775, -2390 - ndahet me 5

Numër i plotë i pjesëtueshëm me 10 nëse përfundon me zero:
798400 - pjesëtohet me 10 (dhe padyshim me 100). Epo, të gjithë ndoshta e mbajnë mend që për të pjesëtuar me 10, thjesht duhet të hiqni një zero: 79840

Ekzistojnë gjithashtu shenja të pjesëtueshmërisë me 6, 8, 9, 11, etj., Por praktikisht nuk ka asnjë përdorim praktik prej tyre =)

Duhet të theksohet se shenjat e listuara (në dukje kaq të thjeshta) janë vërtetuar rreptësisht teoria e numrave. Ky seksion i algjebrës është përgjithësisht mjaft interesant, por teoremat e tij... janë njësoj si një ekzekutim modern kinez =) Dhe kjo mjaftoi për Voldemarin në tavolinën e fundit... por është në rregull, së shpejti do të bëjmë fizike jetëdhënëse ushtrime =)

Kompleti tjetër numerik është grup numrash racionalë:
– pra, çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë me një numër të plotë numërues dhe natyrale emërues.

Natyrisht, grupi i numrave të plotë është nëngrup grup numrash racionalë:

Dhe në fakt, çdo numër i plotë mund të përfaqësohet si një fraksion racional, për shembull: etj. Kështu, një numër i plotë mund të quhet në mënyrë mjaft legjitime një numër racional.

Një tipar karakteristik "identifikues" i një numri racional është fakti se kur pjesëtohet numëruesi me emëruesin, rezultati është ose
- numër i plotë,

ose
– përfundimtar dhjetore,

ose
– pafund periodike dhjetore (përsëritja mund të mos fillojë menjëherë).

Shijoni ndarjen dhe përpiquni ta bëni këtë veprim sa më pak të jetë e mundur! Në artikullin organizativ Matematikë e lartë për dummies dhe në mësimet e tjera kam përsëritur vazhdimisht, përsëris dhe do ta përsëris këtë mantrën:

Në matematikën e lartë ne përpiqemi të kryejmë të gjitha veprimet në thyesa të zakonshme (të duhura dhe të pahijshme).

Pajtohu që të merresh me një thyesë është shumë më i përshtatshëm se sa me numrin dhjetor 0.375 (për të mos përmendur thyesat e pafundme).

Le të vazhdojmë. Përveç numrave racionalë, ka shumë numra irracionalë, secili prej të cilëve mund të përfaqësohet si një i pafund. JO PERIODIKE thyesë dhjetore. Me fjalë të tjera, nuk ka asnjë model në "bishtat e pafund" të numrave irracionalë:
("viti i lindjes së Leo Tolstoit" dy herë)
etj.

Ka shumë informacione për konstantet e famshme "pi" dhe "e", kështu që nuk do të ndalem në to.

Formohet kombinimi i numrave racionalë dhe irracionalë grup numrash realë:

- ikona shoqatat grupe.

Interpretimi gjeometrik i një grupi është i njohur për ju - kjo është vija e numrave:

Çdo numër real korrespondon me një pikë të caktuar në rreshtin numerik, dhe anasjelltas - secila pikë në vijën numerike domosdoshmërisht korrespondon me një numër të caktuar real. Në thelb, tani e kam formuluar pronë e vazhdimësisë numra realë, gjë që edhe pse duket qartë, vërtetohet rreptësisht gjatë analizës matematikore.

Vija numerike shënohet gjithashtu me një interval të pafund, dhe shënimi ose shënimi ekuivalent simbolizon faktin që i përket grupit të numrave realë. (ose thjesht "x" është një numër real).

Me ngulitje gjithçka është transparente: grupi i numrave racionalë është nëngrup grupe numrash realë:
, pra, çdo numër racional mund të quhet me siguri një numër real.

Shumë numra irracionalë janë gjithashtu nëngrup numra realë:

Në të njëjtën kohë, nëngrupet dhe mos kryqëzohen- domethënë, asnjë numër i vetëm irracional nuk mund të paraqitet si thyesë racionale.

A ka sisteme të tjera numrash? Egziston! Kjo është, për shembull, numra komplekse, me të cilin rekomandoj të njiheni fjalë për fjalë në ditët apo edhe orët e ardhshme.

Ndërkohë, kalojmë në studimin e operacioneve në grupe, fryma e të cilave tashmë është materializuar në fund të këtij seksioni:

Veprimet në grupe. Diagramet e Venit

Diagramet e Venit (të ngjashme me rrathët e Euler-it) janë një paraqitje skematike e veprimeve me grupe. Përsëri, ju paralajmëroj se nuk do t'i konsideroj të gjitha operacionet:

1) Kryqëzimi DHE dhe tregohet nga ikona

Kryqëzimi i grupeve është një grup, secili element i të cilit i përket Dhe shumë, Dhe per shume. Përafërsisht, kryqëzimi është pjesa e përbashkët e grupeve:

Kështu, për shembull, për grupet:

Nëse grupet nuk kanë elementë identikë, atëherë kryqëzimi i tyre është bosh. Sapo hasëm në këtë shembull kur shqyrtojmë grupet numerike:

Bashkësitë e numrave racionalë dhe irracionalë mund të paraqiten skematikisht nga dy rrathë të ndarë.

Operacioni i kryqëzimit është gjithashtu i zbatueshëm për një numër më të madh grupesh; në veçanti, Wikipedia ka një të mirë një shembull i kryqëzimit të grupeve të shkronjave të tre alfabeteve.

2) Një shoqatë grupet karakterizohen nga një lidhje logjike OSE dhe tregohet nga ikona

Një bashkim grupesh është një bashkësi, çdo element i së cilës i përket grupit ose per shume:

Le të shkruajmë bashkimin e bashkësive:
– përafërsisht, këtu duhet të renditni të gjithë elementët e grupeve dhe , dhe të njëjtat elementë (në këtë rast, njësia është në kryqëzimin e grupeve) duhet të specifikohet një herë.

Por grupet, natyrisht, mund të mos kryqëzohen, siç është rasti me numrat racionalë dhe irracionalë:

Në këtë rast, mund të vizatoni dy rrathë me hije që nuk kryqëzohen.

Operacioni i bashkimit është gjithashtu i zbatueshëm për një numër më të madh grupesh, për shembull, nëse , atëherë:

Në këtë rast, numrat nuk duhet të renditen në rend rritës. (Këtë e bëra thjesht për arsye estetike). Pa zgjatje të mëtejshme, rezultati mund të shkruhet kështu:

3) Nga dallimi Dhe nuk i përket grupit:

Dallimi lexohet si më poshtë: "një pa qenë". Dhe ju mund të arsyetoni saktësisht në të njëjtën mënyrë: merrni parasysh grupet . Për të shkruar ndryshimin, duhet të "hedhni" nga grupi të gjithë elementët që janë në grup:

Shembull me grupe numrash:
- këtu të gjithë numrat natyrorë përjashtohen nga bashkësia e numrave të plotë, dhe vetë hyrja lexohet kështu: "një grup numrash të plotë pa një grup numrash natyrorë".

Pasqyruar: ndryshim grupe dhe quhen një bashkësi, çdo element i së cilës i përket grupit Dhe nuk i përket grupit:

Për të njëjtat grupe
– ajo që ndodhet në komplet “hedhet” nga kompleti.

Por ky ndryshim rezulton të jetë bosh: . Dhe në fakt, nëse përjashtoni numra të plotë nga grupi i numrave natyrorë, atëherë, në fakt, asgjë nuk do të mbetet :)

Përveç kësaj, ndonjëherë konsiderohet simetrike dallimi, i cili bashkon të dy "gjysmëhënës":
- me fjalë të tjera, kjo është "gjithçka përveç kryqëzimit të grupeve".

4) Produkt kartezian (i drejtpërdrejtë). vendos dhe quhet bashkësi të gjithë porositurçifte në cilin element , dhe element

Le të shkruajmë produktin kartezian të grupeve:
– është i përshtatshëm për të numëruar çiftet duke përdorur algoritmin e mëposhtëm: “së pari, ne bashkojmë në mënyrë sekuenciale secilin element të grupit në elementin e parë të grupit, më pas çdo element të grupit i bashkojmë elementit të dytë të grupit, pastaj bashkojmë çdo element i grupit në elementin e 3-të të grupit”:

Pasqyruar: Produkt kartezian grupe dhe grupi i të gjithave quhet porositurçifte në të cilat Në shembullin tonë:
- këtu skema e regjistrimit është e ngjashme: së pari shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjithë elementët e grupit në "minus një", pastaj në "de" shtojmë të njëjtat elementë:

Por kjo është thjesht për lehtësi - në të dyja rastet, çiftet mund të renditen në çdo mënyrë - është e rëndësishme të shkruani këtu Të gjithaçiftet e mundshme.

Dhe tani pika kryesore e programit: produkti kartezian nuk është asgjë më shumë se grupi i pikave të vendasit tonë Sistemi i koordinatave karteziane .

Ushtrimi për vetë-fiksimin e materialit:

Kryeni operacione nëse:

Një tufë me Është e përshtatshme për ta përshkruar atë duke renditur elementet e tij.

Dhe një gjë e vogël me intervalet e numrave realë:

Më lejoni t'ju kujtoj se kllapa katrore do të thotë përfshirjes numrat në interval, dhe ai i rrumbullakët - i tij mospërfshirje, domethënë, "minus një" i përket grupit, dhe "tre" Jo i përket grupit. Mundohuni të kuptoni se cili është produkti kartezian i këtyre grupeve. Nëse keni ndonjë vështirësi, ndiqni vizatimin ;)

Një zgjidhje e shkurtër e problemit në fund të mësimit.

Afishimi i grupeve

Ekrani shumë në shumë është rregull, sipas të cilit çdo element i grupit shoqërohet me një element (ose elementë) të grupit. Në rast se bëhet korrespondenca i vetmi element, atëherë ky rregull quhet të përcaktuara qartë funksion ose thjesht funksionin.

Një funksion, siç e dinë shumë njerëz, më së shpeshti shënohet me një shkronjë - e vendos në korrespondencë ndaj secilit elementi ka një vlerë të vetme që i përket grupit.

Epo, tani do të shqetësoj përsëri shumë studentë të rreshtit të parë dhe do t'u ofroj atyre 6 tema për ese (shumë):

Instaluar (vullnetar ose i detyruar =)) Rregulli i cakton çdo studenti të grupit një temë të vetme të esesë së grupit.

...dhe ndoshta as që mund ta imagjinonit se do të luanit rolin e një argumenti funksioni =) =)

Elementet e grupit formojnë domain funksionet (të shënuara me ), dhe elementet e grupit janë varg funksionet (të shënuara me ).

Hartëzimi i ndërtuar i grupeve ka një karakteristikë shumë të rëndësishme: është nje pas nje ose bijektiv(bijeksion). Në këtë shembull kjo do të thotë se ndaj secilit nxënësi përputhet një unik tema e esesë dhe mbrapa - per secilin Tema e esesë i është caktuar një dhe vetëm një studenti.

Megjithatë, nuk duhet menduar se çdo hartë është bijektiv. Nëse shtoni një student të 7-të në rreshtin e parë (në grup), atëherë korrespodenca një-për-një do të zhduket - ose një nga studentët do të mbetet pa temë (nuk do të ketë fare shfaqje), ose ndonjë temë do t'u shkojë dy studentëve njëherësh. Situata e kundërt: nëse grupi i shtohet një temë e shtatë, atëherë do të humbasë edhe hartëzimi një-për-një - një nga temat do të mbetet e padeklaruar.

Të dashur studentë në rreshtin e parë, mos u mërzitni - 20 personat e mbetur pas orëve të mësimit do të shkojnë për të pastruar territorin e universitetit nga gjethja e vjeshtës. Kujdestari do të japë njëzet golik, pas së cilës do të vendoset një korrespodencë një me një midis pjesës kryesore të grupit dhe fshesave... dhe Voldemar gjithashtu do të ketë kohë të vrapojë në dyqan =)). zona e përkufizimit korrespondon me të tijën unike"y" dhe anasjelltas - për çdo vlerë të "y" ne mund të rivendosim pa mëdyshje "x". Pra është një funksion bijektiv.

! Për çdo rast, unë do të eliminoj çdo keqkuptim të mundshëm: rezervimi im i vazhdueshëm për shtrirjen e përkufizimit nuk është i rastësishëm! Një funksion mund të mos përcaktohet për të gjitha "X"-të dhe, për më tepër, mund të jetë një me një edhe në këtë rast. Shembull tipik:

Por për funksionin kuadratik nuk vërehet asgjë e ngjashme, së pari:
- domethënë, u shfaqën vlera të ndryshme të "x". njëjtë që do të thotë "po"; dhe së dyti: nëse dikush ka llogaritur vlerën e funksionit dhe na thotë se , atëherë nuk është e qartë nëse kjo "y" është marrë në ose në ? Eshtë e panevojshme të thuhet, këtu nuk ka as edhe një aluzion të paqartësisë reciproke.

Detyra 2: pamje grafikët e funksioneve elementare bazë dhe shkruani funksionet bijektive në një copë letër. Lista kontrolluese në fund të këtij mësimi.

Fuqia e kompletit

Intuita sugjeron që termi karakterizon madhësinë e një grupi, përkatësisht numrin e elementeve të tij. Dhe intuita jonë nuk na mashtron!

Kardinaliteti i një grupi bosh është zero.

Kardinaliteti i grupit është gjashtë.

Fuqia e grupit të shkronjave të alfabetit rus është tridhjetë e tre.

Dhe në përgjithësi - fuqia e çdo përfundimtar i një grupi është i barabartë me numrin e elementeve të një grupi të caktuar.

...ndoshta jo të gjithë e kuptojnë plotësisht se çfarë është përfundimtar set – nëse filloni të numëroni elementet e këtij grupi, herët a vonë numërimi do të përfundojë. Siç thonë ata, kinezët përfundimisht do të mbarojnë.

Sigurisht, grupet mund të krahasohen për nga kardinaliteti dhe barazia e tyre në këtë kuptim quhet fuqi të barabartë. Ekuivalenca përcaktohet si më poshtë:

Dy grupe kanë kardinalitet të barabartë nëse mund të krijohet një korrespondencë një-për-një ndërmjet tyre.

Grupi i studentëve është i barabartë me grupin e temave të esesë, grupi i shkronjave të alfabetit rus është i barabartë me çdo grup prej 33 elementësh, etj. Vini re se çfarë saktësisht kushdo grup prej 33 elementësh - në këtë rast, vetëm numri i tyre ka rëndësi. Shkronjat e alfabetit rus mund të krahasohen jo vetëm me shumë numra
1, 2, 3, …, 32, 33, por përgjithësisht me një tufë prej 33 lopësh.

Situata me grupe të pafundme është shumë më interesante. Edhe pafundësitë janë të ndryshme! ...jeshile dhe e kuqe Kompletet më të vogla të pafundme janë duke numëruar turmave. Thjesht, elementët e një grupi të tillë mund të numërohen. Shembulli i referencës është një grup numrash natyrorë . Po - është i pafund, por secili prej elementeve të tij, në PARIM, ka një numër.

Ka shumë shembuj. Në veçanti, grupi i të gjithë numrave natyrorë çift është i numërueshëm. Si ta vërtetojmë këtë? Ju duhet të vendosni korrespondencën e tij një-për-një me grupin e numrave natyrorë ose thjesht të numëroni elementët:

Është krijuar një korrespodencë një-për-një; prandaj, grupet janë me kardinalitet të barabartë dhe grupi është i numërueshëm. Paradoksalisht, nga pikëpamja e fuqisë, ka po aq numra natyrorë çift sa ka edhe numra natyrorë!

Bashkësia e numrave të plotë është gjithashtu e numërueshme. Elementet e tij mund të numërohen, për shembull, si kjo:

Për më tepër, grupi i numrave racionalë është gjithashtu i numërueshëm . Meqenëse numëruesi është një numër i plotë (dhe ato, siç u tregua sapo, mund të numërohen), dhe emëruesi është një numër natyror, atëherë herët a vonë do të "arrijmë" në çdo thyesë racionale dhe do t'i caktojmë një numër asaj.

Por grupi i numrave realë është tashmë i panumërueshëm, d.m.th. elementet e tij nuk mund të numërohen. Ky fakt, megjithëse i dukshëm, vërtetohet rreptësisht në teorinë e grupeve. Quhet edhe kardinaliteti i bashkësisë së numrave realë vazhdimësi, dhe në krahasim me grupet e numërueshme ky është një grup "më i pafund".

Meqenëse ekziston një korrespondencë një-për-një midis grupit dhe vijës numerike (Shiko lart), atëherë bashkësia e pikave në vijën numerike është gjithashtu i panumërueshëm. Dhe për më tepër, ka të njëjtin numër pikash në segmentin kilometër dhe milimetër! Shembull klasik:

Duke e rrotulluar rrezen në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përafrohet me rrezen, ne do të vendosim një korrespondencë një me një midis pikave të segmenteve blu. Kështu, ka po aq pika në segment sa ka në segment dhe !

Ky paradoks me sa duket është i lidhur me gjëegjëzën e pafundësisë... por tani nuk do ta shqetësojmë veten me problemet e universit, sepse hapi tjetër është

Detyra 2 Funksionet një-për-një në ilustrimet e mësimit