Unë do të jem i shkurtër. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta është i barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre. Kështu, nëse arrini të gjeni koordinatat e vektorëve të drejtimit a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dhe b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), atëherë mund të gjeni këndin. Më saktësisht, kosinusi i këndit sipas formulës:

Le të shohim se si funksionon kjo formulë duke përdorur shembuj specifikë:

Detyrë. Në kubin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, shënohen pikat E dhe F - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. Gjeni këndin midis drejtëzave AE dhe BF.

Meqenëse skaji i kubit nuk është i specifikuar, le të vendosim AB = 1. Ne prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshtet x, y, z drejtohen përkatësisht përgjatë AB, AD dhe AA 1. Segmenti njësi është i barabartë me AB = 1. Tani le të gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit për vijat tona.

Le të gjejmë koordinatat e vektorit AE. Për këtë na duhen pikat A = (0; 0; 0) dhe E = (0.5; 0; 1). Meqenëse pika E është mesi i segmentit A 1 B 1, koordinatat e saj janë të barabarta me mesataren aritmetike të koordinatave të skajeve. Vini re se origjina e vektorit AE përkon me origjinën e koordinatave, kështu që AE = (0.5; 0; 1).

Tani le të shohim vektorin BF. Në mënyrë të ngjashme, ne analizojmë pikat B = (1; 0; 0) dhe F = (1; 0.5; 1), sepse F është mesi i segmentit B 1 C 1. Ne kemi:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Pra, vektorët e drejtimit janë gati. Kosinusi i këndit ndërmjet drejtëzave është kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve të drejtimit, pra kemi:

Detyrë. Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA 1 B 1 C 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, pikat D dhe E janë shënuar - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. Gjeni këndin midis drejtëzave AD dhe BE.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshti x drejtohet përgjatë AB, z - përgjatë AA 1. Le ta drejtojmë boshtin y në mënyrë që rrafshi OXY të përputhet me rrafshin ABC. Segmenti njësi është i barabartë me AB = 1. Le të gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit për vijat e kërkuara.

Së pari, le të gjejmë koordinatat e vektorit AD. Merrni parasysh pikat: A = (0; 0; 0) dhe D = (0.5; 0; 1), sepse D - mesi i segmentit A 1 B 1. Meqenëse fillimi i vektorit AD përkon me origjinën e koordinatave, marrim AD = (0.5; 0; 1).

Tani le të gjejmë koordinatat e vektorit BE. Pika B = (1; 0; 0) është e lehtë për t'u llogaritur. Me pikën E - mesi i segmentit C 1 B 1 - është pak më e ndërlikuar. Ne kemi:

Mbetet për të gjetur kosinusin e këndit:

Detyrë. Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, janë shënuar pikat K dhe L - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. . Gjeni këndin midis drejtëzave AK dhe BL.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard për një prizëm: ne vendosim origjinën e koordinatave në qendër të bazës së poshtme, boshti x drejtohet përgjatë FC, boshti y drejtohet përmes mesit të segmenteve AB dhe DE, dhe z boshti drejtohet vertikalisht lart. Segmenti njësi është përsëri i barabartë me AB = 1. Le të shkruajmë koordinatat e pikave të interesit për ne:

Pikat K dhe L janë përkatësisht mesi i segmenteve A 1 B 1 dhe B 1 C 1, kështu që koordinatat e tyre gjenden përmes mesatares aritmetike. Duke ditur pikat, gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit AK dhe BL:

Tani le të gjejmë kosinusin e këndit:

Detyrë. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, shënohen pikat E dhe F - përkatësisht mesi i anëve SB dhe SC. Gjeni këndin midis drejtëzave AE dhe BF.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshtet x dhe y janë të drejtuar përkatësisht përgjatë AB dhe AD, dhe boshti z drejtohet vertikalisht lart. Segmenti i njësisë është i barabartë me AB = 1.

Pikat E dhe F janë përkatësisht mesi i segmenteve SB dhe SC, kështu që koordinatat e tyre gjenden si mesatare aritmetike e skajeve. Le të shkruajmë koordinatat e pikave me interes për ne:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Duke ditur pikat, gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit AE dhe BF:

Koordinatat e vektorit AE përkojnë me koordinatat e pikës E, pasi pika A është origjina. Mbetet për të gjetur kosinusin e këndit:

KËNDI MIDIS PLANEVE

Konsideroni dy plane α 1 dhe α 2, të përcaktuara përkatësisht nga ekuacionet:

Nën këndi ndërmjet dy rrafsheve do të kuptojmë një nga këndet diedrale që formojnë këto rrafshe. Është e qartë se këndi midis vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose . Kjo është arsyeja pse . Sepse Dhe , Kjo

.

Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.

Kushti për paralelizmin e dy rrafsheve.

Dy plane α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe për këtë arsye .

Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët e koordinatave përkatëse janë proporcionale:

ose

Gjendja e pingulitetit të planeve.

Është e qartë se dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe për këtë arsye, ose .

Kështu,.

Shembuj.

DREJT NË HAPËSIRË.

EKUACIONI VEKTORI PËR NJË DREJTË.

EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE

Pozicioni i një linje në hapësirë ​​përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.

Një vektor paralel me një drejtëzë quhet udhërrëfyes vektori i kësaj linje.

Pra, le vijën e drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1), i shtrirë në një vijë paralele me vektorin .

Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura duket qartë se .

Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet një parametër. Duke caktuar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni i një vije të drejtë. Tregon se për çdo vlerë parametri t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M, i shtrirë në një vijë të drejtë.

Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formë koordinative. Vini re se, dhe nga këtu

Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet e një drejtëze.

Kur ndryshoni një parametër t koordinatat ndryshojnë x, y Dhe z dhe periudha M lëviz në vijë të drejtë.

EKUACIONET KANONIKE TË DIREKTET

Le M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, Dhe është vektori i drejtimit të tij. Le të marrim përsëri një pikë arbitrare në vijë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.

Është e qartë se vektorët janë gjithashtu kolinearë, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj,

– kanonike ekuacionet e një drejtëze.

Shënim 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ato parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim ose .

Shembull. Shkruani ekuacionin e drejtëzës në formë parametrike.

Le të shënojmë , nga këtu x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Shënim 2. Lëreni drejtëzën të jetë pingul me një nga boshtet koordinative, për shembull boshtin kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau, prandaj, m=0. Rrjedhimisht, ekuacionet parametrike të drejtëzës do të marrin formën

Duke përjashtuar parametrin nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë

Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të rreshtit në formë . Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, kjo do të thotë se vija e drejtë është pingul me boshtin koordinativ përkatës.

Ngjashëm me ekuacionet kanonike korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau Dhe Oy ose paralel me boshtin Oz.

Shembuj.

EKUACIONET E PËRGJITHSHME TË NJË VJËZE TË DREJTË SI VIJAT E KRYQËZIMIT TË DY RAFSHËVE

Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë ​​ka aeroplanë të panumërt. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Rrjedhimisht, ekuacionet e çdo dy planesh të tilla, të konsideruara së bashku, paraqesin ekuacionet e kësaj linje.

Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të dhëna nga ekuacionet e përgjithshme

përcaktoni vijën e drejtë të kryqëzimit të tyre. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt.

Shembuj.

Ndërtoni një vijë të dhënë nga ekuacionet

Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me plane koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e drejtëzës, duke supozuar z= 0:

Pasi e kemi zgjidhur këtë sistem, gjejmë pikën M 1 (1;2;0).

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:

Nga ekuacionet e përgjithshme të një vije të drejtë mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë ju duhet të gjeni një pikë M 1 në një vijë të drejtë dhe vektori i drejtimit të një vije të drejtë.

Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë Dhe . Prandaj, përtej vektorit të drejtimit të vijës së drejtë l ju mund të merrni produktin vektorial të vektorëve normalë:

.

Shembull. Jepni ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës në formën kanonike.

Le të gjejmë një pikë të shtrirë në një vijë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë

. Prandaj, l: .

KËNDI MIDIS TË DREJTAVE

Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy rreshta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy rreshta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave janë ekuivalente me kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe:

Dy drejt paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, d.m.th. l 1 paralele l 2 nëse dhe vetëm nëse është paralel me .

Dy drejt pingul nëse dhe vetëm nëse shuma e prodhimeve të koeficientëve përkatës është e barabartë me zero: .

U objektivi midis vijës dhe planit

Le të jetë e drejtë d- jo pingul me rrafshin θ;
d′− projeksioni i një vije d në rrafshin θ;
Këndi më i vogël ndërmjet vijave të drejta d Dhe d"Ne do të thërrasim këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit.
Le ta shënojmë si φ=( d,θ)
Nëse d⊥θ, atëherë ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem koordinativ drejtkëndor.
Ekuacioni i planit:

θ: Sëpatë+Nga+Cz+D=0

Supozojmë se vija e drejtë përcaktohet nga një pikë dhe një vektor drejtimi: d[M 0,fq→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Pastaj mbetet për të gjetur këndin midis vektorëve n→ dhe fq→, le ta shënojmë si γ=( n→,fq→).

Nëse këndi γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Nëse këndi është γ>π/2, atëherë këndi i dëshiruar është φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Pastaj, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit mund të llogaritet duke përdorur formulën:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√fq 21+fq 22+fq 23

Pyetja 29. Koncepti i formës kuadratike. Përcaktimi i shenjës së formave kuadratike.

Forma kuadratike j (x 1, x 2, …, x n) n ndryshore reale x 1, x 2, …, x n quhet shuma e formës, (1)

Ku një ij – disa numra të quajtur koeficientë. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se një ij = një ji.

Forma kuadratike quhet e vlefshme, Nëse një ij Î GR. Matrica e formës kuadratike quhet matricë e përbërë nga koeficientët e saj. Forma kuadratike (1) korrespondon me një matricë të vetme simetrike, d.m.th. A T = A. Rrjedhimisht, forma kuadratike (1) mund të shkruhet në formën e matricës j ( X) = x T Ah, Ku x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Dhe, anasjelltas, çdo matricë simetrike (2) korrespondon me një formë kuadratike unike deri në shënimin e variablave.

Rangu i formës kuadratike quhet rangu i matricës së tij. Forma kuadratike quhet jo i degjeneruar, nëse matrica e saj është jo njëjës A. (kujtoni se matrica A quhet jo i degjeneruar nëse përcaktorja e tij nuk është e barabartë me zero). Përndryshe, forma kuadratike është e degjeneruar.

definitiv pozitiv(ose rreptësisht pozitive) nëse

j ( X) > 0 , për këdo X = (X 1 , X 2 , …, x n), përveç X = (0, 0, …, 0).

Matricë A forma kuadratike e caktuar pozitive j ( X) quhet edhe definitive pozitive. Prandaj, një formë kuadratike e përcaktuar pozitive korrespondon me një matricë unike të përcaktuar pozitive dhe anasjelltas.

Forma kuadratike (1) quhet të përcaktuara negativisht(ose rreptësisht negative) nëse

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), përveç X = (0, 0, …, 0).

Ngjashëm si më sipër, një matricë e formës kuadratike të përcaktuar negative quhet gjithashtu definitive negative.

Rrjedhimisht, forma kuadratike e caktuar pozitive (negative) j ( X) arrin vlerën minimale (maksimale) j ( X*) = 0 në X* = (0, 0, …, 0).

Vini re se shumica e formave kuadratike nuk janë të përcaktuara me shenjë, domethënë nuk janë as pozitive as negative. Forma të tilla kuadratike zhduken jo vetëm në origjinën e sistemit të koordinatave, por edhe në pika të tjera.

Kur n> 2, kërkohen kritere të veçanta për të kontrolluar shenjën e një formulari kuadratik. Le t'i shikojmë ato.

Të mitur të mëdhenj forma kuadratike quhen të mitur:

domethënë, këta janë të mitur të rendit 1, 2, ..., n matricat A, e vendosur në këndin e sipërm të majtë, e fundit prej tyre përkon me përcaktuesin e matricës A.

Kriteri i Përcaktimit Pozitiv (Kriteri Silvester)

X) = x T Ah ishte pozitive e përcaktuar, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret kryesore të matricës A ishin pozitive, pra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Kriteri negativ i sigurisë Në mënyrë që forma kuadratike j ( X) = x T Ah ishte e caktuar negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të miturit kryesorë të rendit çift të jenë pozitivë, dhe të rendit tek - negativ, d.m.th. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Duke përdorur këtë kalkulator në internet mund të gjeni këndin midis vijave të drejta. Jepet një zgjidhje e detajuar me shpjegime. Për të llogaritur këndin midis vijave të drejta, vendosni dimensionin (2 nëse merret parasysh një vijë e drejtë në një plan, 3 nëse merret parasysh një vijë e drejtë në hapësirë), futni elementet e ekuacionit në qeliza dhe klikoni në "Zgjidh" butonin. Shihni pjesën teorike më poshtë.

×

Paralajmërim

Të pastrohen të gjitha qelizat?

Mbylle Pastro

Udhëzime për futjen e të dhënave. Numrat futen si numra të plotë (shembuj: 487, 5, -7623, etj.), dhjetore (p.sh. 67., 102.54, etj.) ose thyesa. Thyesa duhet të futet në formën a/b, ku a dhe b (b>0) janë numra të plotë ose dhjetorë. Shembujt 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etj.

1. Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan

Linjat përcaktohen me ekuacione kanonike

1.1. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta

Lërini vijat në hapësirën dy-dimensionale L 1 dhe L

Kështu, nga formula (1.4) mund të gjejmë këndin midis drejtëzave L 1 dhe L 2. Siç mund të shihet nga Fig. 1, vijat e kryqëzuara formojnë kënde ngjitur φ Dhe φ 1 . Nëse këndi i gjetur është më i madh se 90°, atëherë mund të gjeni këndin minimal midis vijave të drejta L 1 dhe L 2: φ 1 =180-φ .

Nga formula (1.4) mund të nxjerrim kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e dy drejtëzave.

Shembulli 1. Përcaktoni këndin ndërmjet vijave

Le të thjeshtojmë dhe zgjidhim:

1.2. Kushti për drejtëza paralele

Le φ =0. Pastaj cosφ=1. Në këtë rast, shprehja (1.4) do të marrë formën e mëposhtme:

,

,

Shembulli 2: Përcaktoni nëse drejtëzat janë paralele

Barazia (1.9) plotësohet, prandaj vijat (1.10) dhe (1.11) janë paralele.

Përgjigju. Drejtëzat (1.10) dhe (1.11) janë paralele.

1.3. Kushti për pingulitetin e drejtëzave

Le φ =90°. Pastaj cosφ=0. Në këtë rast, shprehja (1.4) do të marrë formën e mëposhtme:

Shembulli 3. Përcaktoni nëse drejtëzat janë pingule

Kushti (1.13) është i plotësuar, prandaj vijat (1.14) dhe (1.15) janë pingul.

Përgjigju. Vijat (1.14) dhe (1.15) janë pingul.

Linjat përcaktohen me ekuacione të përgjithshme

1.4. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta

Lërini dy vija të drejta L 1 dhe L 2 jepen me ekuacione të përgjithshme

Nga përkufizimi i produktit skalar të dy vektorëve, kemi:

Shembulli 4. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave

Vlerat zëvendësuese A 1 , B 1 , A 2 , B 2 në (1.23), marrim:

Ky kënd është më i madh se 90°. Le të gjejmë këndin minimal midis vijave të drejta. Për ta bërë këtë, zbritni këtë kënd nga 180:

Nga ana tjetër, gjendja e drejtëzave paralele L 1 dhe L 2 është ekuivalente me kushtin e kolinearitetit të vektorëve n 1 dhe n 2 dhe mund të përfaqësohet si kjo:

Barazia (1.24) është e plotësuar, prandaj vijat (1.26) dhe (1.27) janë paralele.

Përgjigju. Drejtëzat (1.26) dhe (1.27) janë paralele.

1.6. Kushti për pingulitetin e drejtëzave

Kushti për pingulitetin e drejtëzave L 1 dhe L 2 mund të nxirret nga formula (1.20) duke zëvendësuar cos(φ )=0. Pastaj produkti skalar ( n 1 ,n 2)=0. Ku

Barazia (1.28) është e plotësuar, prandaj vijat (1.29) dhe (1.30) janë pingul.

Përgjigju. Vijat (1.29) dhe (1.30) janë pingul.

2. Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë

2.1. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta

Le të ketë vija të drejta në hapësirë L 1 dhe L 2 jepen me ekuacione kanonike

ku | q 1 | dhe | q 2 | modulet e vektorit të drejtimit q 1 dhe q 2 respektivisht, φ -kënd midis vektorëve q 1 dhe q 2 .

Nga shprehja (2.3) marrim:

.

Le të thjeshtojmë dhe zgjidhim:

.

Le të gjejmë këndin φ

Përkufizimi. Nëse jepen dy drejtëza y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atëherë këndi i mprehtë ndërmjet këtyre drejtëzave do të përcaktohet si

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul nëse k 1 = -1 / k 2.

Teorema. Drejtëzat Ax + Bу + C = 0 dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 janë paralele kur koeficientët A 1 = λA, B 1 = λB janë proporcional. Nëse gjithashtu C 1 = λC, atëherë linjat përkojnë. Si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve të këtyre drejtëzave gjenden koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar

pingul me një vijë të caktuar

Përkufizimi. Një drejtëz që kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y ​​= kx + b përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga pika në vijë

Teorema. Nëse është dhënë një pikë M(x 0, y 0), atëherë distanca në drejtëzën Ax + Bу + C = 0 përcaktohet si

.

Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e pingulit të rënë nga pika M në një drejtëz të dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:

(1)

Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar M 0 pingul me një drejtëz të caktuar. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është vërtetuar.

Shembull. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x – 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y – 3 = 0 janë pingul.

Zgjidhje. Gjejmë: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, pra, vijat janë pingule.

Shembull. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Gjeni ekuacionin e lartësisë të nxjerrë nga kulmi C.

Zgjidhje. Gjejmë ekuacionin e anës AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ekuacioni i lartësisë së kërkuar ka formën: Ax + By + C = 0 ose y = kx + b. k = . Atëherë y = . Sepse lartësia kalon nëpër pikën C, atëherë koordinatat e saj plotësojnë këtë ekuacion: nga ku b = 17. Gjithsej: .

Përgjigje: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave. Përcaktimi i pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

1. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar A(x 1 , y 1) në një drejtim të caktuar, të përcaktuar nga pjerrësia k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ky ekuacion përcakton një laps me vija që kalojnë nëpër një pikë A(x 1 , y 1), e cila quhet qendra e rrezes.

2. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: A(x 1 , y 1) dhe B(x 2 , y 2), e shkruar kështu:

Koeficienti këndor i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna përcaktohet nga formula

3. Këndi midis vijave të drejta A Dhe Bështë këndi me të cilin duhet të rrotullohet drejtëza e parë A rreth pikës së kryqëzimit të këtyre vijave në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me vijën e dytë B. Nëse dy drejtëza jepen me ekuacione me pjerrësi

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

atëherë këndi ndërmjet tyre përcaktohet me formulë

Duhet të theksohet se në numëruesin e thyesës, pjerrësia e vijës së parë zbritet nga pjerrësia e vijës së dytë.

Nëse ekuacionet e një drejtëze jepen në formë të përgjithshme

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

këndi ndërmjet tyre përcaktohet nga formula

4. Kushtet për paralelizmin e dy drejtëzave:

a) Nëse drejtëzat jepen nga ekuacionet (4) me një koeficient këndor, atëherë kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e tyre është barazia e koeficientëve të tyre këndorë:

k 1 = k 2 . (8)

b) Për rastin kur drejtëzat jepen me ekuacione në formën e përgjithshme (6), kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e tyre është që koeficientët për koordinatat e rrymës përkatëse në ekuacionet e tyre të jenë proporcionale, d.m.th.

5. Kushtet për pingulitetin e dy drejtëzave:

a) Në rastin kur drejtëzat jepen nga ekuacionet (4) me koeficient këndor, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e tyre është që koeficientët këndorë të tyre të jenë të kundërt në madhësi dhe të kundërt në shenjë, d.m.th.

Ky kusht mund të shkruhet edhe në formë

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Nëse ekuacionet e drejtëzave janë dhënë në formën e përgjithshme (6), atëherë kushti për pingulitetin e tyre (i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm) është që të plotësojnë barazinë.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (6). Drejtëzat (6) priten nëse dhe vetëm nëse

1. Shkruani ekuacionet e drejtëzave që kalojnë në pikën M, njëra prej të cilave është paralele dhe tjetra pingul me drejtëzën e dhënë l.

Artikuj të ngjashëm