1. Andra ordningens linjer på det euklidiska planet.

2. Invarianter av andra ordningens linjeekvationer.

3. Bestämning av typen av andra ordningens linjer från invarianterna i dess ekvation.

4. Andra ordningens rader på affint plan. Unikitetsteorem.

5. Centrum av andra ordningens linjer.

6. Asymptoter och diametrar för andra ordningens linjer.

7. Reducera ekvationerna för andra ordningens linjer till det enklaste.

8. Huvudriktningar och diametrar för andra ordningens linjer.

BIBLIOGRAFI

1. Andra ordningens linjer i det euklidiska planet.

Definition:

Euklidiskt planär ett utrymme av dimension 2,

(tvådimensionellt verkligt utrymme).

Andra ordningens linjer är skärningslinjerna för en cirkulär kon med plan som inte passerar genom dess vertex.

Dessa rader återfinns ofta i olika naturvetenskapliga frågor. Till exempel rörelse materiell punkt under påverkan av det centrala gravitationsfältet sker längs en av dessa linjer.

Om skärplanet skär alla de rätlinjiga generatriserna i en kavitet i konen, kommer sektionen att producera en linje som kallas ellips(Fig. 1.1, a). Om skärplanet skär generatriserna för båda kaviteterna i konen, kommer sektionen att producera en linje som kallas överdrift(Fig. 1.1,6). Och slutligen, om skärplanet är parallellt med en av konens generatriser (vid 1.1, V- det här är generatorn AB), då kommer sektionen att producera en linje som kallas parabel. Ris. 1.1 ger en visuell representation av formen på linjerna i fråga.

Figur 1.1

Den allmänna ekvationen för en andra ordningens linje är som följer:

(1)

(1*)

Ellips är uppsättningen av punkter på planet för vilka summan av avstånden till tvåfasta punkterF 1 OchF 2 detta plan, som kallas foci, är ett konstant värde.

I det här fallet är sammanträffandet av ellipsens foci inte uteslutet. Självklart om brännpunkterna sammanfaller är ellipsen en cirkel.

För att härleda ellipsens kanoniska ekvation väljer vi ursprunget O Kartesiskt system koordinater i mitten av segmentet F 1 F 2 , och yxorna Åh Och OU Låt oss rikta det som visas i fig. 1.2 (om tricks F 1 Och F 2 sammanfalla, då sammanfaller O med F 1 Och F 2, och för axeln Åh du kan ta vilken axel som helst som passerar HANDLA OM).

Låt längden på segmentet F 1 F 2 F 1 Och F 2 har koordinater (-с, 0) respektive (с, 0). Låt oss beteckna med 2a konstanten som avses i definitionen av en ellips. Uppenbarligen är 2a > 2c, dvs. a > c ( Om M- ellipsens punkt (se fig. 1.2), sedan | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a, och eftersom summan av två sidor M.F. 1 Och M.F. 2 triangel M.F. 1 F 2 mer tredje part F 1 F 2 = 2c, sedan 2a > 2c. Det är naturligt att utesluta fallet 2a = 2c, eftersom då punkten M placerad på segmentet F 1 F 2 och ellipsen degenererar till ett segment. ).

Låta M (x, y)(Fig. 1.2). Låt oss beteckna med r 1 och r 2 avstånden från punkten M till poäng F 1 Och F 2 respektive. Enligt definitionen av en ellips jämlikhet

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för placeringen av punkten M (x, y) på en given ellips.

Med hjälp av formeln för avståndet mellan två punkter får vi

(1.2)

Av (1.1) och (1.2) följer att förhållande

(1.3)

är nödvändigt och tillräckligt skick platsen för punkten M med koordinaterna x och y på en given ellips. Därför kan relation (1.3) betraktas som ellipsekvationen. Genom att använda standardmetoden för "förstörelse av radikaler" reduceras denna ekvation till formen

(1.4) (1.5)

Eftersom ekvation (1.4) är algebraisk följd ellipsekvation (1.3), sedan koordinaterna x och y någon punkt M ellips kommer också att uppfylla ekvation (1.4). Eftersom under algebraiska transformationer förknippade med att bli av med radikaler kan "extra rötter" dyka upp, måste vi se till att någon punkt M, vars koordinater uppfyller ekvation (1.4), ligger på denna ellips. För att göra detta är det uppenbarligen tillräckligt att bevisa att värdena för r 1 och r 2 för varje punkt tillfredsställ relation (1.1). Så låt koordinaterna X Och på poäng M tillfredsställ ekvation (1.4). Ersätter värdet vid 2 från (1.4) till höger sida av uttrycket (1.2) för r 1, efter enkla transformationer finner vi att på samma sätt finner vi att (1.6)

dvs. r 1 + r 2 = 2a, och därför ligger punkt M på en ellips. Ekvation (1.4) kallas kanonisk ekvation ellips. Kvantiteter A Och b kallas i enlighet därmed stora och mindre halvaxlar av ellipsen(namnen "stor" och "liten" förklaras av det faktum att a>b).

Kommentar. Om ellipsens halvaxlar A Och bär lika, då är ellipsen en cirkel vars radie är lika med R = a = b, och mitten sammanfaller med ursprunget.

Överdrift är den uppsättning punkter i planet för vilken det absoluta värdet av skillnaden i avstånd till två fasta punkter ärF 1 OchF 2 för detta plan, som kallas foci, finns det ett konstant värde ( Knep F 1 Och F 2 det är naturligt att betrakta hyperboler olika, för om konstanten som anges i definitionen av en hyperbel inte är lika med noll, så finns det inte en enda punkt i planet om de sammanfaller F 1 Och F 2 , som skulle uppfylla kraven för definitionen av en hyperbel. Om denna konstant är noll och F 1 sammanfaller med F 2 , då uppfyller vilken punkt som helst på planet kraven för definitionen av en hyperbel. ).

För att härleda den kanoniska ekvationen för en hyperbel väljer vi ursprunget för koordinaterna i mitten av segmentet F 1 F 2 , och yxorna Åh Och OU Låt oss rikta det som visas i fig. 1.2. Låt längden på segmentet F 1 F 2 lika med 2s. Sedan i det valda koordinatsystemet punkterna F 1 Och F 2 har koordinater (-с, 0) respektive (с, 0) Låt oss beteckna med 2 A konstanten som avses i definitionen av en hyperbel. Uppenbarligen 2a< 2с, т. е. a< с.

Låta M- planets punkt med koordinater (x, y)(Fig. 1,2). Låt oss beteckna avstånden med r 1 och r 2 M.F. 1 Och M.F. 2 . Enligt definitionen av hyperbel jämlikhet

(1.7)

är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för placeringen av punkt M på en given hyperbel.

Med hjälp av uttryck (1.2) för r 1 och r 2 och relation (1.7) får vi följande nödvändigt och tillräckligt villkor för placeringen av en punkt M med koordinaterna x och y på en given hyperbel:

. (1.8)

Genom att använda standardmetoden för "förstörelse av radikaler" reducerar vi ekvation (1.8) till formen

(1.9) (1.10)

Vi måste se till att ekvation (1.9), erhållen genom algebraiska transformationer av ekvation (1.8), inte har fått nya rötter. För att göra detta räcker det att bevisa det för varje punkt M, koordinater X Och på som uppfyller ekvation (1.9), uppfyller värdena för r 1 och r 2 relation (1.7). Genom att utföra argument som liknar dem som gjordes när vi härledde formler (1.6), hittar vi följande uttryck för de mängder som är intressanta för oss r 1 och r 2:

(1.11)

Alltså för punkten i fråga M vi har

, och därför ligger den på en hyperbel.

Ekvation (1.9) kallas den kanoniska ekvationen för en hyperbel. Kvantiteter A Och b kallas verkliga respektive imaginära hyperbelns halvaxlar.

Parabel är den uppsättning punkter på planet för vilken avståndet till någon fast punkt ärFdetta plan är lika med avståndet till någon fast rät linje, också belägen i det aktuella planet.

Ladda ner från Depositfiles

Föreläsning nr 9. Ämne 3: Andra ordningens rader

Låt en linje definierad av en andragradsekvation ges i någon DSC

var är koefficienterna
är inte lika med noll samtidigt. Denna linje kallas kurva eller andra orderraden.

Det kan hända att det inte finns några poäng
med reella koordinater som uppfyller ekvation (1). I detta fall tror man att ekvation (1) definierar en imaginär linje av andra ordningen. Till exempel,
 Detta är ekvationen för en imaginär cirkel.

Låt oss betrakta tre viktiga specialfall av ekvation (1).

3.1. Ellips

Ellipsen definieras av ekvationen

(2)

Odds A Och b kallas semi-major respektive semi-mollaxel, och ekvation (2) är kanonisk ellipsens ekvation.

Låt oss sätta
och markera på axeln HANDLA OM Xpoäng

kallad knep ellips. Då kan ellipsen definieras som

lokus av punkter, summan av avstånden från vilka till brännpunkterna är ett konstant värde lika med 2A.

på

b

M K

— AF 1 O F 2 a x

— b

Låt oss visa det. Låt poängen
 ellipsens nuvarande punkt. I det här fallet får vi Då måste jämställdheten hålla

Låt oss representera uttryck (3) i formen

och kvadrera båda sidor av uttrycket

Härifrån får vi

Återigen, låt oss kvadrera detta uttryck och använda relationen
, Då

(4)

Dela båda sidor av uttrycket (4) med
, får vi slutligen den kanoniska ekvationen för ellipsen

Låt oss undersöka ekvation (2). Om vi ​​ersätter i ekvationen kommer ekvation (2) inte att ändras. Detta innebär att ellipsen är symmetrisk med avseende på koordinataxlar. Låt oss därför i detalj överväga den del av ellipsen som ligger under det första kvartalet. Det bestäms av ekvationen
Det är uppenbart att ellipsen passerar genom punkterna
. Efter att ha slutfört den schematiska konstruktionen under det första kvartalet kommer vi att symmetriskt visa dess graf i alla kvartal. Således är ellipsen en kontinuerlig stängd kurva. Punkterna kallas ellipsens hörn.

Attityd
kalladexcentricitetellips. För ellips
.

Direkt
kallas ellipsens riktlinjer.

Följande egenskap hos riktlinjer är sann::

Förhållandet mellan avstånden från fokus och riktningen för ellipsens punkter är ett konstant värde lika med excentriciteten, d.v.s.

Det bevisas på samma sätt som jämlikhet (3).

Anteckning 1. Cirkel
är ett specialfall av en ellips. För henne

3.2. Hyperbel

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen

de där. i ekvation (1) måste vi sätta

Odds A Och b kallas de reella respektive imaginära halvaxlarna.

Att sätta
, markera på axeln HANDLA OM Xpoäng
kallad knep överdrift. Då kan en hyperbel definieras som

lokus av punkter, skillnaden i avstånd från vilken till brännpunkterna absolutvärdeär lika med 2A, dvs.

på

TILL M

F 1 —A HANDLA OM AF 2 X

Beviset liknar det för ellipsen. Baserat på formen av hyperbolekvationen drar vi också slutsatsen att dess graf är symmetrisk med avseende på koordinatsystemets axlar. Den del av hyperbeln som ligger i första kvartalet har ekvationen
Från denna ekvation är det tydligt att för tillräckligt storXhyperbel är nära en rak linje
. Efter schematisk konstruktion under första kvartalet visar vi grafen symmetriskt i alla kvartal.

Poäng
kallas toppar överdrift. Direkt
kallas asymptoter - det här är de raka linjerna som hyperbelns grenar tenderar mot utan att skära dem.

Relationen kallasexcentricitetöverdrift. För överdrift
.

Direktlinjer kallas föreståndarinnor överdrift. För riktlinjerna för en hyperbel gäller en egenskap som liknar den för riktningarna för en ellips.

Exempel. Hitta ekvationen för en ellips vars hörn är i brännpunkterna och brännpunkterna är vid hyperbelns hörn
.

Efter tillstånd
A

Äntligen får vi

10.3. Parabel

Parabeln definieras av den kanoniska ekvationen
de där. i ekvation (1) måste vi sätta

TILL koefficientR kallad TILLpå

fokal parameter. M

Låt oss markera på O-axeln Xpunkt

kallas fokus

- ellips;

- parabel;

- överdrift.

Andra ordningens kurvor på ett plan är linjer definierade av ekvationer där variabeln koordinerar x Och y finns i andra graden. Dessa inkluderar ellipsen, hyperbeln och parabeln.

Den allmänna formen av andra ordningens kurvekvation är följande:

Var A, B, C, D, E, F- tal och minst en av koefficienterna A, B, C inte lika med noll.

När man löser problem med andra ordningens kurvor beaktas oftast de kanoniska ekvationerna för ellipsen, hyperbeln och parabeln. Det är lätt att gå vidare till dem från allmänna ekvationer; exempel 1 på problem med ellipser kommer att ägnas åt detta.

Ellips ges av den kanoniska ekvationen

Definition av en ellips. En ellips är mängden av alla punkter i planet för vilka summan av avstånden till de punkter som kallas brännpunkter är ett konstant värde större än avståndet mellan brännpunkterna.

Fokusen anges som i figuren nedan.

Den kanoniska ekvationen för en ellips har formen:

Var a Och b (a > b) - halvaxlarnas längder, dvs halva längderna av segmenten avskurna av ellipsen på koordinataxlarna.

Den raka linjen som går genom ellipsens brännpunkter är dess symmetriaxel. En annan symmetriaxel för en ellips är en rät linje som går genom mitten av ett segment vinkelrätt mot detta segment. Punkt HANDLA OM skärningspunkten mellan dessa linjer fungerar som ellipsens symmetricentrum eller helt enkelt ellipsens centrum.

Ellipsens abskissaxel skär vid punkterna ( a, HANDLA OM) Och (- a, HANDLA OM), och ordinataaxeln är i punkter ( b, HANDLA OM) Och (- b, HANDLA OM). Dessa fyra punkter kallas ellipsens hörn. Segmentet mellan ellipsens hörn på x-axeln kallas dess huvudaxel, och på ordinataaxeln - dess mindre axel. Deras segment från toppen till mitten av ellipsen kallas halvaxlar.

Om a = b, då antar ellipsens ekvation formen . Detta är ekvationen för en cirkel med radie a, och en cirkel är ett specialfall av en ellips. En ellips kan erhållas från en cirkel med radie a, om du komprimerar den till a/b gånger längs axeln Oj .

Exempel 1. Kontrollera om den angivna raden är allmän ekvation , ellips.

Lösning. Vi transformerar den allmänna ekvationen. Vi använder överföringen av den fria termen till höger sida, term-för-term division av ekvationen med samma antal och reduktion av bråk:

Svar. Ekvationen som erhålls som ett resultat av transformationerna är den kanoniska ekvationen för ellipsen. Därför är denna linje en ellips.

Exempel 2. Komponera den kanoniska ekvationen för en ellips om dess halvaxlar är 5 respektive 4.

Lösning. Vi tittar på formeln för den kanoniska ekvationen för en ellips och substitut: halvhuvudaxeln är a= 5, den halva axeln är b= 4 . Vi får den kanoniska ekvationen för ellipsen:

Punkter och , indikerade i grönt på huvudaxeln, där

kallas knep.

kallad excentricitet ellips.

Attityd b/a kännetecknar ellipsens "oblateness". Ju mindre detta förhållande är, desto mer förlängs ellipsen längs huvudaxeln. Men graden av förlängning av en ellips uttrycks oftare genom excentricitet, formeln för vilken ges ovan. För olika ellipser varierar excentriciteten från 0 till 1, och förblir alltid mindre än enhet.

Exempel 3. Komponera den kanoniska ekvationen för en ellips om avståndet mellan brännpunkterna är 8 och huvudaxeln är 10.

Lösning. Låt oss dra några enkla slutsatser:

Om huvudaxeln är lika med 10, då hälften av den, dvs halvaxeln a = 5 ,

Om avståndet mellan brännpunkterna är 8, då siffran c av fokalkoordinaterna är lika med 4.

Vi ersätter och beräknar:

Resultatet är ellipsens kanoniska ekvation:

Exempel 4. Skriv den kanoniska ekvationen för en ellips om dess huvudaxel är 26 och dess excentricitet är .

Lösning. Som följer av både storleken på storaxeln och excentricitetsekvationen, ellipsens semimajoraxel a= 13 . Från excentricitetsekvationen uttrycker vi talet c, behövs för att beräkna längden på den mindre halvaxeln:

.

Vi beräknar kvadraten på längden på den mindre halvaxeln:

Vi komponerar den kanoniska ekvationen för ellipsen:

Exempel 5. Bestäm brännpunkterna för ellipsen som ges av den kanoniska ekvationen.

Lösning. Hitta numret c, som bestämmer de första koordinaterna för ellipsens fokus:

.

Vi får fokus på ellipsen:

Exempel 6. Ellipsens brännpunkter är belägna på axeln Oxe symmetrisk om ursprunget. Komponera den kanoniska ekvationen för ellipsen om:

1) avståndet mellan brännpunkterna är 30 och huvudaxeln är 34

2) mindre axel 24, och ett av fokuserna är vid punkten (-5; 0)

3) excentricitet, och en av brännpunkterna är vid punkt (6; 0)

Låt oss fortsätta att lösa ellipsproblem tillsammans

Om är en godtycklig punkt på ellipsen (indikerad i grönt i den övre högra delen av ellipsen på ritningen) och är avståndet till denna punkt från brännpunkterna, då är formlerna för avstånden följande:

För varje punkt som hör till ellipsen är summan av avstånden från brännpunkterna ett konstant värde lika med 2 a.

Linjer definierade av ekvationer

kallas föreståndarinnor ellips (på ritningen finns röda linjer längs kanterna).

Av de två ekvationerna ovan följer det för vilken punkt som helst på ellipsen

,

var och är avstånden för denna punkt till riktningarna och .

Exempel 7. Med tanke på en ellips. Skriv en ekvation för dess riktlinjer.

Lösning. Vi tittar på direktrix-ekvationen och finner att vi behöver hitta ellipsens excentricitet, d.v.s. Vi har all data för detta. Vi beräknar:

.

Vi får ekvationen för ellipsens riktlinjer:

Exempel 8. Komponera den kanoniska ekvationen för en ellips om dess fokus är punkter och riktlinjer är linjer.

Rader av andra ordningen.
Ellips och dess kanoniska ekvation. Cirkel

Efter grundliga studier raka linjer i planet Vi fortsätter att studera den tvådimensionella världens geometri. Insatserna fördubblas och jag inbjuder dig att besöka ett pittoreskt galleri med ellipser, hyperboler, paraboler, som är typiska representanter andra ordningens rader. Exkursionen har redan börjat och först en kort information om hela utställningen på olika våningar i museet:

Begreppet en algebraisk linje och dess ordning

En linje på ett plan kallas algebraisk, om i affint koordinatsystem dess ekvation har formen , där är ett polynom som består av termer av formen ( – reella tal, – icke-negativa heltal).

Som du kan se innehåller ekvationen för en algebraisk linje inte sinus, cosinus, logaritmer och andra funktionella beau monde. Endast X och Y är med icke-negativa heltal grader.

Radorder lika med det maximala värdet av de termer som ingår i den.

Enligt motsvarande teorem beror begreppet en algebraisk linje, liksom dess ordning, inte på valet affint koordinatsystem, därför, för att underlätta existensen, antar vi att alla efterföljande beräkningar äger rum i kartesiska koordinater.

Allmän ekvation den andra orderraden har formen , där - slumpmässig riktiga nummer (Det är vanligt att skriva det med en faktor två), och koefficienterna är inte lika med noll samtidigt.

Om , då förenklas ekvationen till , och om koefficienterna inte är lika med noll samtidigt, så är detta exakt generell ekvation för en "plat" linje, som representerar första orderraden.

Många har förstått innebörden av de nya termerna, men ändå, för att till 100% assimilera materialet, sticker vi in ​​fingrarna i sockeln. För att bestämma radordningen måste du iterera alla villkor dess ekvationer och hitta för var och en av dem summan av grader inkommande variabler.

Till exempel:

termen innehåller "x" i 1:a potens;
termen innehåller "Y" i 1:a potens;
Det finns inga variabler i termen, så summan av deras potenser är noll.

Låt oss nu ta reda på varför ekvationen definierar linjen andra beställa:

termen innehåller "x" till 2:a potensen;
summan har summan av potenserna av variablerna: 1 + 1 = 2;
termen innehåller "Y" till 2:a potensen;
alla andra termer - mindre grader.

Högsta värde: 2

Om vi ​​dessutom lägger till, säg, till vår ekvation, kommer den redan att avgöra tredje ordningens linje. Det är uppenbart att den allmänna formen av 3:e ordningens linjeekvation innehåller en "full uppsättning" termer, summan av potenserna av variablerna i vilka är lika med tre:
, där koefficienterna inte är lika med noll samtidigt.

I händelse av att en eller flera lämpliga termer läggs till som innehåller , då ska vi redan prata om 4:e ordningens rader, etc.

Vi kommer att behöva stöta på algebraiska linjer av 3:e, 4:e och högre ordningen mer än en gång, särskilt när vi bekantar oss med polärt koordinatsystem.

Men låt oss återgå till den allmänna ekvationen och komma ihåg dess enklaste skolvariationer. Som ett exempel föreslår en parabel sig själv, vars ekvation lätt kan reduceras till allmänt utseende och en hyperbel med motsvarande ekvation. Men allt är inte så smidigt...

En betydande nackdel med den allmänna ekvationen är att det nästan alltid är oklart vilken linje den definierar. Även i det enklaste fallet kommer du inte omedelbart att inse att detta är en överdrift. Sådana layouter är bra bara på en maskerad, så var medveten om analytisk geometriövervägs typisk uppgift föra 2:a ordningens linjeekvation till kanonisk form.

Vilken är den kanoniska formen av en ekvation?

Detta är den allmänt accepterade standardformen av en ekvation, när det inom några sekunder blir klart vilket geometriskt objekt den definierar. Dessutom är den kanoniska formen mycket bekväm för att lösa många praktiska uppgifter. Så till exempel enligt den kanoniska ekvationen "platt" rak, för det första är det omedelbart tydligt att detta är en rak linje, och för det andra är punkten som hör till den och riktningsvektorn lätt synliga.

Uppenbarligen vilken som helst 1:a beställningsradenär en rak linje. På andra våningen är det inte längre väktaren som väntar på oss, utan ett mycket mer mångsidigt sällskap med nio statyer:

Klassificering av andra ordningens rader

Med hjälp av en speciell uppsättning åtgärder reduceras varje ekvation av en andra ordningens rad till en av följande former:

(och är positiva reella tal)

1) – ellipsens kanoniska ekvation;

2) – kanonisk ekvation för en hyperbel;

3) – kanonisk ekvation för en parabel;

4) – imaginär ellips;

5) – ett par korsande linjer;

6) – par imaginär skärande linjer (med en enda giltig skärningspunkt vid utgångspunkten);

7) – ett par parallella linjer;

8) – par imaginär parallella linjer;

9) – ett par sammanfallande linjer.

Vissa läsare kan ha intrycket att listan är ofullständig. Till exempel, i punkt nr 7, anger ekvationen paret direkt, parallellt med axeln, och frågan uppstår: var är ekvationen som definierar de räta linjerna, parallella axlar ordinera? Svara på det inte anses kanoniskt. Raka linjer representerar samma standardfall, roterat 90 grader, och den extra posten i klassificeringen är överflödig, eftersom den inte ger något fundamentalt nytt.

Det finns alltså nio och bara nio olika typer linjer av 2:a ordningen, men i praktiken finns de oftast ellips, hyperbel och parabel.

Låt oss först titta på ellipsen. Som vanligt fokuserar jag på de punkter som har stor betydelse för att lösa problem, och om du behöver en detaljerad härledning av formler, bevis på satser, hänvisa till exempel till läroboken av Bazylev/Atanasyan eller Aleksandrov.

Ellips och dess kanoniska ekvation

Stavning... vänligen upprepa inte misstagen hos vissa Yandex-användare som är intresserade av "hur man bygger en ellips", "skillnaden mellan en ellips och en oval" och "excentriciteten hos en ellips".

Den kanoniska ekvationen för en ellips har formen , där är positiva reella tal, och . Jag kommer att formulera själva definitionen av en ellips senare, men nu är det dags att ta en paus från den pratande butiken och lösa ett vanligt problem:

Hur bygger man en ellips?

Ja, bara ta den och rita den. Uppgiften förekommer ofta och en betydande del av eleverna klarar inte av ritningen korrekt:

Exempel 1

Konstruera en ellips, ges av ekvationen

Lösning: först reducerar vi ekvationen till kanonisk form:

Varför ta med? En av fördelarna med den kanoniska ekvationen är att den låter dig omedelbart avgöra ellipsens hörn, som finns på punkter. Det är lätt att se att koordinaterna för var och en av dessa punkter uppfyller ekvationen.

I detta fall :


Linjesegmentet kallad huvudaxel ellips;
linjesegmentet – mindre axel;
siffra kallad halvstor axel ellips;
siffra – mindre axel.
i vårt exempel: .

För att snabbt föreställa dig hur en viss ellips ser ut, titta bara på värdena för "a" och "be" i dess kanoniska ekvation.

Allt är bra, smidigt och vackert, men det finns en varning: jag gjorde ritningen med programmet. Och du kan göra ritningen med vilken applikation som helst. Men i den hårda verkligheten ligger det ett rutigt papper på bordet, och möss dansar i cirklar på våra händer. Människor med konstnärlig talang kan förstås argumentera, men du har också möss (fast mindre). Det är inte förgäves att mänskligheten uppfann linjalen, kompassen, gradskivan och andra enkla anordningar för att rita.

Av denna anledning är det osannolikt att vi kommer att kunna rita en ellips noggrant genom att bara känna till hörnen. Det är okej om ellipsen är liten, till exempel med halvaxlar. Alternativt kan du minska skalan och följaktligen dimensionerna på ritningen. Men i allmänt fall Det är mycket önskvärt att hitta ytterligare poäng.

Det finns två sätt att konstruera en ellips - geometrisk och algebraisk. Jag gillar inte att bygga med en kompass och linjal eftersom algoritmen inte är den kortaste och ritningen är betydligt rörig. I nödfall, se läroboken, men i verkligheten är det mycket mer rationellt att använda algebras verktyg. Från ekvationen av ellipsen i utkastet uttrycker vi snabbt:

Ekvationen delas sedan upp i två funktioner:
– definierar ellipsens övre båge;
– definierar ellipsens nedre båge.

Ellipsen som definieras av den kanoniska ekvationen är symmetrisk med avseende på koordinataxlarna, såväl som med avseende på origo. Och det här är bra - symmetri är nästan alltid ett förebud om freebies. Uppenbarligen räcker det med att ta itu med 1:a koordinatkvartalet, så vi behöver funktionen . Det ber att hittas för ytterligare punkter med abskissar . Låt oss trycka på tre SMS-meddelanden på räknaren:

Naturligtvis är det också trevligt att om ett allvarligt misstag görs i beräkningarna så kommer det genast att bli tydligt under bygget.

Låt oss markera punkter i ritningen (röd), symmetriska punkter på de återstående bågarna ( Blå färg) och anslut försiktigt hela företaget med en linje:


Det är bättre att rita den första skissen mycket tunt och först därefter applicera tryck med en penna. Resultatet borde bli en ganska anständig ellips. Vill du förresten veta vad den här kurvan är?

Definition av en ellips. Ellipshärdar och ellipsexcentricitet

En ellips är ett specialfall av en oval. Ordet "oval" ska inte förstås i filistinsk betydelse ("barnet ritade en oval", etc.). Detta matematisk term, som har en detaljerad formulering. Syftet med denna lektion är inte att överväga teorin om ovaler och deras olika typer, som praktiskt taget inte får någon uppmärksamhet i standardkursen för analytisk geometri. Och i enlighet med mer aktuella behov går vi omedelbart vidare till den strikta definitionen av en ellips:

Ellipsär mängden av alla punkter i planet, summan av avstånden till var och en av vilka från två givna punkter, kallas knep ellips - är en konstant storhet, numeriskt lika med längden denna ellips huvudaxel: .
Samtidigt är avstånden mellan fokus mindre givet värde: .

Nu blir allt tydligare:

Föreställ dig att den blå pricken "färdas" längs en ellips. Så, oavsett vilken punkt på ellipsen vi tar, kommer summan av längderna på segmenten alltid att vara densamma:

Låt oss se till att i vårt exempel är värdet på summan verkligen lika med åtta. Mentalt placera punkten "um" vid högra hörnet av ellipsen, sedan: , vilket är vad som behövde kontrolleras.

Ett annat sätt att rita det är baserat på definitionen av en ellips. Högre matematik, ibland orsaken till spänningar och stress, så det är dags att genomföra ytterligare en avlastningssession. Ta whatman-papper eller ett stort ark kartong och nåla fast det på bordet med två spikar. Det här kommer att vara knep. Knyt en grön tråd till de utskjutande spikhuvudena och dra den hela vägen med en penna. Blyertspennan kommer att hamna vid en viss punkt som hör till ellipsen. Börja nu flytta pennan längs papperet, håll den gröna tråden spänd. Fortsätt processen tills du återgår till startpunkten... jättebra... ritningen kan kontrolleras av läkare och lärare =)

Hur hittar man fokus för en ellips?

I exemplet ovan avbildade jag "färdiga" fokuspunkter, och nu kommer vi att lära oss hur man extraherar dem från geometrins djup.

Om en ellips ges av en kanonisk ekvation, har dess foci koordinater , var är det avstånd från varje fokus till ellipsens symmetricentrum.

Beräkningarna är enklare än enkla:

! De specifika koordinaterna för foci kan inte identifieras med betydelsen av "tse"! Jag upprepar att det är så DISTANCE från varje fokus till mitten(vilket i det allmänna fallet inte behöver ligga exakt vid ursprunget).
Och därför kan avståndet mellan brännpunkterna inte heller bindas till ellipsens kanoniska position. Med andra ord kan ellipsen flyttas till en annan plats och värdet kommer att förbli oförändrat, medan brännpunkterna naturligt kommer att ändra sina koordinater. Vänligen ta hänsyn till detta när du utforskar ämnet ytterligare.

Ellipsens excentricitet och dess geometriska betydelse

Excentriciteten hos en ellips är ett förhållande som kan ta värden inom intervallet.

I vårat fall:

Låt oss ta reda på hur formen på en ellips beror på dess excentricitet. För detta fixa vänster och höger hörn av ellipsen i fråga, det vill säga värdet på halvhuvudaxeln kommer att förbli konstant. Då kommer excentricitetsformeln att ha formen: .

Låt oss börja föra excentricitetsvärdet närmare enhet. Detta är endast möjligt om . Vad betyder det? ...kom ihåg tricken . Detta innebär att ellipsens fokus kommer att "flytta isär" längs abskissaxeln till sidohörnen. Och eftersom "de gröna segmenten inte är gummi", kommer ellipsen oundvikligen att börja plattas ut, och förvandlas till en tunnare och tunnare korv uppträdd på en axel.

Således, ju närmare ellipsexcentricitetsvärdet är enhet, desto mer långsträckt ellips.

Låt oss nu modellera den motsatta processen: ellipsens foci gick mot varandra, närmade sig mitten. Detta innebär att värdet på "ce" blir mindre och mindre och följaktligen tenderar excentriciteten till noll: .
I det här fallet kommer de "gröna segmenten" tvärtom att "bli trångt" och de kommer att börja "skjuta" ellipslinjen upp och ner.

Således, ju närmare excentricitetsvärdet är noll, desto mer lik är ellipsen... titta på det begränsande fallet när fokuserna framgångsrikt återförenas vid ursprunget:

En cirkel är ett specialfall av en ellips

I fallet med jämlikhet mellan halvaxlarna, tar den kanoniska ekvationen av ellipsen formen , som reflexmässigt förvandlas till ekvationen av en cirkel med ett centrum vid utgångspunkten för radien "a", välkänd från skolan.

I praktiken används beteckningen med den "talande" bokstaven "er" oftare: . Radien är längden på ett segment, med varje punkt i cirkeln borttagen från mitten med ett radieavstånd.

Observera att definitionen av en ellips förblir helt korrekt: brännpunkterna sammanfaller, och summan av längderna av de sammanfallande segmenten för varje punkt på cirkeln är en konstant. Eftersom avståndet mellan brännpunkterna är , alltså excentriciteten för varje cirkel är noll.

Att konstruera en cirkel är enkelt och snabbt, använd bara en kompass. Men ibland är det nödvändigt att ta reda på koordinaterna för några av dess punkter, i det här fallet går vi den välbekanta vägen - vi tar ekvationen till den glada Matanov-formen:

– funktion av den övre halvcirkeln;
– funktion av den nedre halvcirkeln.

Efter vilket vi finner erforderliga värden, skilja, integrera och göra andra bra saker.

Artikeln är givetvis endast för referens, men hur kan man leva i världen utan kärlek? Kreativ uppgift för självständig lösning

Exempel 2

Komponera den kanoniska ekvationen för en ellips om en av dess foci och semi-mollaxel är känd (centrum är i origo). Hitta hörn, ytterligare punkter och rita en linje i ritningen. Beräkna excentricitet.

Lösning och ritning i slutet av lektionen

Låt oss lägga till en åtgärd:

Rotera och parallellförvandla en ellips

Låt oss återvända till ellipsens kanoniska ekvation, nämligen till tillståndet, vars mysterium har plågat nyfikna sinnen sedan det första omnämnandet av denna kurva. Så vi tittade på ellipsen , men är det inte möjligt i praktiken att uppfylla ekvationen ? Trots allt, här verkar det dock vara en ellips också!

Den här typen av ekvation är sällsynt, men den förekommer. Och det definierar faktiskt en ellips. Låt oss avmystifiera:

Som ett resultat av konstruktionen erhölls vår inhemska ellips, roterad 90 grader. Det är, - Det här icke-kanoniskt inträde ellips . Spela in!- ekvationen definierar inte någon annan ellips, eftersom det inte finns några punkter (foci) på axeln som skulle uppfylla definitionen av en ellips.

Låt oss betrakta linjerna som definieras av ekvationen för andra graden i förhållande till de nuvarande koordinaterna

Ekvationens koefficienter är reella tal, men åtminstone en av siffrorna A,B eller C skiljer sig från 0. sådana linjer kallas linjer (kurvor) av andra ordningen. Nedan kommer vi att visa att ekvation (1) definierar en Ellips, hyperbel eller parabel på planet.

Cirkel

Den enklaste andra ordningens kurva är en cirkel. Kom ihåg att en cirkel med radie R med centrum i punkt M 0 kallas uppsättningen av punkter M i planet som uppfyller villkoret MM 0 =R. Låt punkten M 0 i Oxy-systemet ha koordinater x 0 ,y 0 , och M(x,y) vara en godtycklig punkt på cirkeln. Sedan eller

-kanonisk ekvation av en cirkel . Om vi ​​antar x 0 = y 0 = 0 får vi x 2 + y 2 = R 2

Låt oss visa att en cirkels ekvation kan skrivas som en generell ekvation av andra graden (1). För att göra detta kvadrerar vi den högra sidan av cirkelekvationen och får:

För att denna ekvation ska motsvara (1) är det nödvändigt att:

1) koefficient B=0,

2) . Då får vi: (2)

Den sista ekvationen kallas generell cirkelekvation . Om vi ​​dividerar båda sidor av ekvationen med A ≠0 och adderar termerna som innehåller x och y till en komplett kvadrat, får vi:

(2)

Genom att jämföra denna ekvation med den kanoniska ekvationen för en cirkel, finner vi att ekvation (2) verkligen är en cirkelekvation om:

1)A=C, 2)B=0, 3)D2+E2-4AF>0.

Om dessa villkor är uppfyllda är cirkelns mittpunkt belägen vid punkt O, och dess radie .

Ellips

y

x

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

Per definition 2 >2c, det vill säga >c För att härleda ekvationen för ellipsen, kommer vi att anta att foci F 1 och F 2 ligger på Ox-axeln, och t.O sammanfaller med mitten av segmentet F 1 F 2. sedan F1 (-c, 0), F2 (c, 0).

Låt M(x,y) vara en godtycklig punkt på ellipsen, så enligt definitionen av ellipsen MF 1 +MF 2 =2 dvs.

Detta är ekvationen för en ellips. Det kan konverteras till mer enkel utsikt på följande sätt:

Kvadra den:

kvadrera det

Eftersom 2 -c 2 >0 sätter vi 2 -c 2 =b 2

Då kommer den sista ekvationen att ha formen:

är ekvationen för en ellips i kanonisk form.

Ellipsens form beror på förhållandet: när b= förvandlas ellipsen till en cirkel. Ekvationen kommer att ha formen. Förhållandet används ofta som en egenskap hos en ellips. Denna kvantitet kallas ellipsens excentricitet och 0< <1 так как 0

Studie av formen på en ellips.

1) ellipsens ekvation innehåller x och y, endast i en jämn grad, därför är ellipsen symmetrisk med avseende på axlarna Ox och Oy, samt med avseende på TO (0,0), som kallas centrum av ellipsen.

2) hitta skärningspunkterna för ellipsen med koordinataxlarna. Inställningen y=0 finner vi A 1 ( ,0) och A 2 (- ,0), där ellipsen skär Ox. Med x=0 finner vi B 1 (0,b) och B 2 (0,-b). Punkterna A 1 , A 2 , B 1 , B 2 kallas ellipsens hörn. Segmenten A 1 A 2 och B 1 B 2, liksom deras längder 2 och 2b, kallas ellipsens stora respektive mindre axlar. Siffrorna och b är de stora respektive mindre halvaxlarna.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Följaktligen ligger alla punkter på ellipsen inuti rektangeln som bildas av linjerna x=± ,y=±b. (Fig. 2.)

4) I ellipsekvationen är summan av icke-negativa termer lika med ett. Följaktligen, när en term ökar, kommer den andra att minska, det vill säga om |x| ökar, sedan |y| - minskar och vice versa. Av allt som sagts följer att ellipsen har den i fig. 2 visade formen. (oval stängd kurva).

Liknande artiklar