Жидкевич В. И. Електрическото поле на равнината // Физика: Проблеми на оформлението. - 2009. - № 6. - С. 19-23.
Задачите в електростатиката могат да бъдат разделени на две групи: задачи за точкови заряди и задачи за заредени тела, чиито размери не могат да бъдат пренебрегнати.
Решаването на задачи за изчисляване на електрически полета и взаимодействия на точкови заряди се основава на прилагането на закона на Кулон и не създава особени затруднения. По-трудно е определянето на напрегнатостта на полето и взаимодействието на заредени тела с крайни размери: сфери, цилиндри, равнини. При изчисляване на силата на електростатичните полета с различни конфигурации трябва да се подчертае важността на принципа на суперпозиция и да се използва при разглеждане на полета, създадени не само от точкови заряди, но и от заряди, разпределени по повърхността и обема. Когато разглеждаме действието на полето върху заряд, формулата F=qE в общия случай е валиден за точково заредени тела и само в еднообразно поле е приложим за тела с всякакъв размер и форма, които носят зарядр.
Електрическото поле на кондензатор се получава чрез наслагване на двете полета, създадени от всяка пластина.
В плосък кондензатор една пластина може да се разглежда като тяло със зарядр 1поставен в електрическо поле със сила E 2, създадена от друга плоча.
Нека разгледаме няколко задачи.
1. Безкрайна равнина, заредена с повърхностна плътност σ >0. Намерете силата на полето ди потенциал ϕ от двете страни на равнината, като се приеме, че потенциалът на равнината е нула. Парцели на зависимостта на парцела E(x), ϕ (Х). ос х е перпендикулярна на равнината, точката x=0 лежи на равнината.
Решение. Електрическото поле на безкрайна равнина е еднородно и симетрично по отношение на равнината. Неговатанапрежение Връзка между интензитет и потенциална разлика между две точки на хомогенно електростатично поле се изразява с формулатакъдето x - разстояние между точките, измерено по силовата линия.Тогава ϕ 2 = ϕ 1 -Пр. При х<0 при х>0 Зависимости Е(х) и ϕ (x) са показани на фигура 1.
2. Две плоскопаралелни тънки пластини, разположени на малко разстояниед един от друг, равномерно заредени със заряд с повърхностна плътностσ 1 и σ 2. Намерете напрегнатостта на полето в точките, разположени между плочите и от външната страна. Начертайте зависимостта на напрежението E(x) и потенциал ϕ (x), броене ϕ (0)=0. Разгледайте случаите, когато: а)σ 1 \u003d-σ 2; б) σ 1 = σ 2; в) σ 1 \u003d 3 σ 2 -
Решение.Тъй като разстоянието между плочите е малко, те могат да се разглеждат като безкрайни равнини.
Силата на полето на положително заредена равнина еи насочен от нея; напрегнатостта на полето на отрицателно заредена равнина е насочена към него.
Съгласно принципа на суперпозицията, полето във всяка разглеждана точка ще бъде създадено от всеки от зарядите поотделно.
а) Полетата на две равнини, заредени с равни и противоположни заряди (плосък кондензатор) се сумират в зоната между равнините и се компенсират взаимно във външните области (фиг. 2,а).
При х<0
д=
0,
ϕ
=0; на 0
Ако равнините са с крайни размери, тогава полето между равнините няма да е строго еднородно, а полето извън равнините няма да е точно нула.
б) Полета на равнини, заредени със заряди, равни по големина и знак (σ1 = σ2 ), се компенсират взаимно в пространството между равнините и се сумират във външните области (фиг. 3,а). При х<0
при 0
Използване на диаграмата E(x) (Фиг. 3, b), изграждаме графика на качествена зависимост ϕ (x) (фиг. 3, c).
в) Ако σ 1 = σ 2 , тогава, като вземем предвид посоките на полетата и изберем посоката надясно като положителна, намираме:
Зависимостта на напрежението E от разстоянието е показана на фигура 4.
3. На една от плочите на плосък кондензатор с капацитетОТ има таксар 1=+3р, а от другата q2 =+ р. Определете потенциалната разлика между плочите на кондензатора.
Решение. 1-ви начин. Нека площта на плочата на кондензатораС, и разстоянието между тяхд. Полето вътре в кондензатора е равномерно, така че потенциалната разлика (напрежението) в кондензатора може да се определи по формулата U=E*d, където E е напрегнатостта на полето вътре в кондензатора.
където E 1, E 2 - напрегнатост на полето, създадено от пластините на кондензатора.
Тогава 
2-ри начин. Добавете заряд към всяка плочаСлед това плочите се кондензират satora ще има обвинения + ри -q. Полетата с еднакви заряди на плочите вътре в кондензатора се компенсират взаимно. Добавените заряди не променят полето между плочите, а оттам и потенциалната разлика откондензатор. U= q/C .
4.
В пространството между плочите на незареден плосък кондензатор се въвежда тънка метална пластина със заряд +. р. Определете потенциалната разлика между плочите на кондензатора.
Решение.Тъй като кондензаторът не е зареден, електрическото поле се създава само от плоча, която има зарядр (фиг. 5). Това поле е равномерно, симетрично по отношение на плочата и нейния интензитетНека потенциалът на металната пластина е ϕ
. След това потенциалите на плочите НОи AT кондензаторите ще бъдат равни ϕ-
ϕ А
=
ϕ
El 1 ; ϕ А
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ Б
=
ϕ-El 2
;
ϕ Б
=
ϕ-El 2
.
Потенциална разлика между пластините на кондензатора
Ако плочата е на същото разстояние от плочите на кондензатора, тогава потенциалната разлика между плочите е нула.
5. В еднородно електрическо поле със сила E 0 заредена метална плоча е поставена перпендикулярно на силовите линии с плътност на заряда на повърхността на всяка страна на плочата σ (фиг. 6). Определете силата на полето Е"вътре и извън плочата и повърхностната плътност на зарядаσ 1 и σ 2 , които ще се появят от лявата и дясната страна на табелата.
Решение.Полето вътре в плочата е нула и е суперпозиция на три полета: външното поле E 0, полето, създадено от зарядите от лявата страна на плочата и полето, създадено от зарядите от дясната страна на плочата. Следователно,
където σ 1 и σ 2 - повърхностна плътност на заряда от лявата и дясната страна на плочата, която възниква след въвеждането на плочата в полето E 0 . Общият заряд на плочата няма да се промени, така чеσ 1 + σ 2 =2 σ, откъдето σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ 2 = σ + ε 0 E 0
. Полето извън плочата е суперпозиция на полето E 0 и полетата на заредената плоча д. Вляво отчинии Вдясно от чинията
6. В плосък въздушен кондензатор силата на полето е E \u003d 10 4 V / m. Разстояние между плочите d= 2 см. Каква ще бъде потенциалната разлика, ако метален лист с дебелинаd0\u003d 0,5 см (фиг. 7)?
Решение.Тъй като електрическото поле между плочите е равномерно, тогава U=Ed, U=200 V.
Ако между плочите се маркира метален лист, тогава се получава система от два последователно свързани кондензатора с разстояние между плочитеd1и d2. Капацитетът на тези кондензаториОбщият им капацитет
Тъй като кондензаторът е изключен от източника на ток, зарядът на кондензатора не се променя, когато се въведе металният лист: q"=CU=C"U 1; къде е капацитетът sator, преди да поставите метален лист в него. Получаваме:
U 1= 150 V.
7. На чинииНО и C, разположени успоредно на разстояние d= 8 см един от друг, потенциалите се запазват φ 1= 60 V и φ 2 =- 60 V съответно. Между тях беше поставена заземена плоча. D на разстояние d 1 = 2 cm от плоча A. Колко се е променила напрегнатостта на полето в участъци AD и CD? Парцели на зависимостта на парцела ϕ (х) и E(x).
За изчисляване на полетата, създадени от заряди, които са равномерно разпределени върху сферични, цилиндрични или плоски повърхности, се използва теоремата на Остроградски-Гаус (раздел 2.2).
Метод за изчисляване на полета с помощта на теоремата
Остроградски - Гаус.
1) Избираме произволна затворена повърхност, обхващаща заредено тяло.
2) Изчисляваме потока на вектора на опън през тази повърхност.
3) Изчисляваме общия заряд, покрит от тази повърхност.
4) Заместваме изчислените величини в теоремата на Гаус и изразяваме силата на електростатичното поле.
Примери за изчисляване на някои полета
Поле на равномерно зареден безкраен цилиндър (нишка).
Нека безкраен цилиндър с радиус Р равномерно заредени с линейна плътност на заряда + τ (фиг. 16).
От съображения за симетрия следва, че линиите на напрегнатостта на полето във всяка точка ще бъдат насочени по радиални линии, перпендикулярни на оста на цилиндъра.
Като затворена повърхност избираме коаксиален цилиндър с даден (с обща ос на симетрия) цилиндър с радиус r и височина ℓ .
Изчислете потока на вектора
през тази повърхност
,
където С основен , С странаса площите на основите и страничната повърхност.
Потокът на вектора на напрежението през областите на основите е равен на нула, следователно
Общият заряд, покрит от избраната повърхност:
.
Замествайки всичко в теоремата на Гаус, като вземем предвид факта, че ε = 1, получаваме:
.
Интензитетът на електростатичното поле, създадено от безкрайно дълъг равномерно зареден цилиндър или безкрайно дълга равномерно заредена нишка в точки, разположени извън него:
, (2.5)
където r - разстояние извън оста цилиндър до дадена точка ( r ≥ Р );
τ - линейна плътност на заряда .
Ако r < Р , тогава разглежданата затворена повърхност не съдържа заряди вътре, следователно в тази област д = 0, т.е. вътре в цилиндъра, без поле .
Поле на равномерно заредена безкрайна равнина
П 
безкрайна равнина е заредена с постоянна повърхностна плътност +
σ
.
Като затворена повърхност избираме цилиндър, чиито основи са успоредни на заредената равнина, а оста е перпендикулярна на нея (фиг. 17). Тъй като линиите, образуващи страничната повърхност на цилиндъра, са успоредни на линиите на опън, потокът на вектора на опън през страничната повърхност е нула. Потокът на вектора на опън през две области на основата
.
Общият заряд, покрит от избраната повърхност:
.
Замествайки всичко в теоремата на Гаус, получаваме:
Напрегнатост на електростатичното поле на безкрайна равномерно заредена равнина
. (2.6)
От тази формула следва, че д не зависи от дължината на цилиндъра, тоест напрегнатостта на полето е еднаква във всички точки. С други думи, полето на еднакво заредена равнина хомогенен.
Поле от два безкрайни паралела
противоположно заредени равнини
П 
устието на равнината са равномерно заредени с еднакви повърхностни плътности + σ
и - σ
(фиг. 18).
Според принципа на суперпозицията,
.
От фигурата може да се види, че в зоната между равнините силовите линии са еднопосочни, така че полученото напрежение
. (2.7)
Извън обема, ограничен от равнините, добавените полета имат противоположни посоки, така че резултантната сила е нула.
Така полето се концентрира между равнините. Полученият резултат е приблизително валиден за равнини с крайни размери, ако разстоянието между равнините е много по-малко от тяхната площ (плосък кондензатор).
Ако върху равнините са разпределени заряди с еднакъв знак с еднаква повърхностна плътност, тогава полето липсва между плочите, а извън плочите се изчислява по формула (2.7).
Сила на полето
равномерно заредена сфера
Поле, генерирано от сферична повърхност с радиус Р , заредени с повърхностна плътност на заряда σ , ще бъде централно симетричен, така че линиите на опън са насочени по радиусите на сферата (фиг. 19, а).
Като затворена повърхност избираме сфера с радиус r имащи общ център със заредена сфера.
Ако r > Р , тогава целият заряд навлиза на повърхността Q .
Потокът на вектора на интензитета през повърхността на сферата
Замествайки този израз в теоремата на Гаус, получаваме:
.
Силата на електростатичното поле извън еднакво заредена сфера:
, (2.8)
където r - разстояние от центъра сфери.
Това показва, че полето е идентично с полето на точков заряд със същата величина, поставен в центъра на сферата.
Ако r < Р , тогава затворената повърхност не съдържа заряди вътре, следователно няма поле вътре в заредената сфера (Фиг. 19, б).
Обемна сила на полето
заредена топка
П 
радиус на топката на устата Р
заредени с постоянна обемна плътност на заряда ρ
.
Полето в този случай има централна симетрия. За напрегнатостта на полето извън сферата се получава същият резултат, както в случая на повърхностно заредена сфера (2.8).
За точки вътре в топката напрежението ще бъде различно (фиг. 20). Сферичната повърхност покрива заряда
Следователно, съгласно теоремата на Гаус
Като се има предвид това 
, получаваме:
Интензитетът на електростатичното поле вътре в обемно заредена топка
(r
≤
Р
). (2.9)
.
Задача 2.3 . В полето на безкрайно дълга равнина с повърхностна плътност на заряда σ малка топка от маса, окачена на конец м , която има заряд със същия знак като равнината. Намерете заряда на топката, ако нишката сключва ъгъл с вертикалата α
Решение.
Нека се върнем към анализа на решението на задача 1.4. Разликата е, че в задача 1.4 силата 
се изчислява по закона на Кулон (1.2), а в задача 2.3 - от дефиницията на напрегнатостта на електростатичното поле (2.1) 
. Силата на електростатичното поле на безкрайна равномерно заредена равнина се извежда с помощта на теоремата на Остроградски-Гаус (2.4).
П 
Полето на равнината е еднородно и не зависи от разстоянието до равнината. От фиг. 21:
.
Забележка , че за да се намери силата, действаща върху заряд, поставен в полето на разпределен заряд, е необходимо да се използва формулата
,
а силата на полето, създадено от няколко разпределени заряда, се намира по принципа на суперпозицията. Следователно следващите задачи са посветени на намирането на силата на електростатичното поле на разпределените заряди, използвайки теоремата на Остроградски-Гаус.
Задача 2.4. Изпреварете напрегнатостта на полето вътре и извън равномерно заредена плоча с дебелина д , обемна плътност на заряда вътре в плочата ρ . Начертайте графика на зависимостта д (х ).
Решение. Поставяме началото на координатите в средната равнина на плочата и оста ОХнасочете го перпендикулярно на него (фиг. 22, а). Прилагаме теоремата на Остроградски-Гаус, за да изчислим силата на електростатичното поле на заредена безкрайна равнина, след което
.
От определението за обемна плътност на заряда
,
тогава за напрежение получаваме
.
Това показва, че полето вътре в плочата зависи от х . Полето извън плочата се изчислява по подобен начин:
Това показва, че полето извън плочата е еднородно. Графика на зависимостта на напрежението д от х на фиг. 22б.
Задача 2.5. Полето се създава от две безкрайно дълги нишки, заредени с линейна плътност на заряда – τ 1 и + τ 2 . Нишките са разположени перпендикулярно една на друга (фиг. 23). Намерете силата на полето в точка на разстояние r 1 и r 2 от конци.
Р 
решение.
Нека покажем на фигурата силата на полето, създадено от всяка нишка поотделно. вектор 
насочени да се
първата нишка, тъй като е отрицателно заредена. вектор 
насочени от
втората верига, тъй като е положително заредена. Вектори 
и 
взаимно перпендикулярни, така че резултантният вектор 
ще бъде хипотенузата на правоъгълния триъгълник. Векторни модули 
и 
се определят по формула (2.5).
Според принципа на суперпозицията
.
Според Питагоровата теорема
Задача 2.6 . Полето се създава от два заредени безкрайно дълги кухи коаксиални цилиндъра с радиуси Р 1 и Р 2 > Р 1 . Плътностите на повърхностния заряд са – σ 1 и + σ 2 . Намерете силата на електростатичното поле в следните точки:
а) точка НО разположени на разстояние д 1 < Р 1 ;
б) точка AT разположени на разстояние Р 1 < д 2 < Р 2 ;
в) точка ОТ разположени на разстояние д 3 > Р 1 > Р 2 .
Разстоянията се измерват от оста на цилиндрите.
Решение. Коаксиалните цилиндри са цилиндри, които имат обща ос на симетрия. Нека да направим чертеж и да покажем точки върху него (фиг. 24).
д НО = 0.
точка AT разположено вътре в по-големия цилиндър, така че в този момент полето се създава само от по-малкия цилиндър:
.
Нека изразим линейната плътност на заряда по отношение на повърхностната плътност на заряда. За да направим това, използваме формули (1.4) и (1.5), от които изразяваме заряда:
Приравняваме десните страни и получаваме:
,
където С 1 е площта на първия цилиндър.
Имайки предвид факта, че 
, най-накрая получаваме:
точка ОТ разположени от външната страна на двата цилиндъра, така че полето се генерира и от двата цилиндъра. Според принципа на суперпозицията:
.
Като вземем предвид указанията и изчисленията, получени по-горе, получаваме:
.
Задача 2.7 . Полето се създава от две заредени безкрайно дълги успоредни равнини. Плътностите на повърхностния заряд са σ 1 и σ 2 > σ 1 . Намерете силата на електростатичното поле в точки, разположени между плочите и извън плочите. Решете задачата за два случая:
а) плочите са заредени с едно и също име;
б) плочите са противоположно заредени.
Решение. Във векторна форма силата на полученото поле се записва по същия начин във всеки случай. Според принципа на суперпозицията:
.
Векторни модули 
и 
се изчисляват по формула (2.6).
а) Ако равнините са заредени с едно и също име, тогава между равнините на опън те са насочени в различни посоки (фиг. 26, а). Модул на резултантното напрежение
Отвъд равнините на напрежението 
и 
насочени в една посока. Тъй като полето на безкрайните заредени равнини е хомогенно, т.е. не зависи от разстоянието до равнините, тогава във всяка точка както отляво, така и отдясно на равнините полето ще бъде същото:
.
б) Ако равнините са различно заредени, тогава, напротив, между равнините на напрежение те са насочени в една посока (фиг. 26, б), а извън равнините - в различни посоки.
Пример 1 . Тънка, безкрайно дълга нишка е равномерно заредена с линейна плътност на заряда λ . Намерете силата на електростатичното поле д(r) на произволно разстояние rот нишката.
Да направим чертеж:
Анализ:
защото нишката носи неточков заряд, приложим е методът DI. Отделяме безкрайно малък елемент от дължината на проводника дл, който ще съдържа заряда dq=dlλ. Нека изчислим силата на полето, създадено от всеки елемент на проводника в произволна точка А, разположена на разстояние от нишката а. Векторът ще бъде насочен по правата линия, свързваща точковия заряд с точката на наблюдение. Полученото поле ще се получи по нормалата към нишката по оста x. Необходимо е да се намери стойността dE x:
dE x =dE cosα. 
.
По дефиниция:
.
Стойност дл, r, се променят последователно, когато позицията на елемента се промени дл. Изразяваме ги чрез α:
където dα- безкрайно малко увеличение на ъгъла α в резултат на въртенето на радиус вектора спрямо точка А при движение по нишката с дл. Тогава dl=r 2 dα/ а. При движение длот точка O, ъгълът варира от 0 0 до π/2.
Следователно 
.
Проверка на размерите: [E]=V/m=kgm/mfm=KV/Klm=V/m;
Отговор:.
Метод 2.
Поради аксиалната симетрия на разпределението на заряда, всички точки, разположени на еднакво разстояние от нишката, са еквивалентни и напрегнатостта на полето в тях е еднаква, т.е. д(r)=const, където r- разстояние от точката на наблюдение до нишката. Посока дв тези точки винаги съвпада с посоката на нормалата към резбата. По теорема на Гаус; където Q-заряд, покрит от повърхността - S', през която се изчислява потокът, избираме във формата на цилиндър с радиус a и образуваща с резба. Като се има предвид, че е нормално към страничната повърхност на цилиндъра, получаваме за потока:
Т. до. д= конст.
Сстраничен завой = На 2π .
От друга страна д 2πаН=Q/ε 0 ,
където λН=q.
Отговор:д=λ /4πε 0 а.
Пример 2. Изчислете интензитета на равномерно заредена безкрайна равнина с повърхностна плътност на заряда σ .
Линиите на опън са перпендикулярни и насочени в двете посоки от равнината. Като затворена повърхност избираме повърхността на цилиндър, чиито основи са успоредни на равнината, а оста на цилиндъра е перпендикулярна на равнината. защото образуващата на цилиндъра е успоредна на линиите на опън (α=0, cos α=1 ), тогава потокът на вектора на опън през страничната повърхност е равен на нула, а общият поток през затворената цилиндрична повърхност е равен на сумата от потоците през нейната основа. Зарядът, затворен вътре в затворена повърхност, е равен на σ Сосновен , тогава:
F E \u003d 2 дС main или F E = = , тогава E = =
Отговор: E =, не зависи от дължината на цилиндъра и на всяко разстояние от равнината е еднаква по абсолютна стойност. Полето на еднакво заредена равнина е еднородно.
Пример 3. Изчислете полето на две безкрайно заредени равнини с повърхностна плътност съответно +σ и –σ.
E = E = 0; E = E + + E - = .
Отговор:Получената напрегнатост на полето в областта между равнините е равна на E =, а извън обема, ограничен от равнините, е равна на нула.
Пример 4. Изчислете напрегнатостта на полето на еднакво заредена сферична повърхност с повърхностна плътност на заряда + σ на радиуса Р.
това, и,
ако r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).
Отговор:.
Пример 5. Изчислете обемното напрежение с обемна плътност ρ , радиуси на топка Р.
Нека вземем една сфера като затворена повърхност.
Ако r ≥Р, тогава = 4πr 2 E ; E=
ако r< R , то сфера радиусом r, обхваща заряда q "равен на q" \u003d (тъй като зарядите са свързани като обеми, а обемите като кубове радиуси)
Тогава според т. Гаус
Отговор:; вътре в равномерно заредена сфера, интензитетът нараства линейно с разстоянието rот центъра му, а отвън – намалява обратно пропорционално r 2 .
Пример #6. Изчислете силата на полето на безкраен кръгъл цилиндър, зареден с линейна плътност на заряда λ , радиус Р.
Потокът на вектора на опън през краищата на цилиндъра е 0, а през страничната повърхност:
защото , или ,
тогава 
(ако r > R )
ако λ > 0, E > 0, векторът Ē е насочен встрани от цилиндъра,
ако λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.
Ако r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0
Отговор:(r > R); E = 0 (R>r). В безкраен кръгъл цилиндър, равномерно зареден по повърхността, няма поле.
Пример 7. Електрическото поле се създава от две безкрайно дълги успоредни равнини с равнини на повърхностен заряд от 2 nC/m 2 и 4 nC/m 2 . Определете напрегнатостта на полето в области I, II, III. Начертайте графика на зависимостта Ē (r) .
Самолетите разделят пространството на 3 области
Посоката Ē на полученото поле е по-голяма.
В проекция на r:
; «–»; 
;
; «–»; 
;
; «+»; 
.
График Ē (r)
Избор на мащаб: д 2 =2 д 1
E 1 = 1; E 2 \u003d 2
Отговор:д I = -345 V/m; дІ I = –172 V/m; дІ II = 345 V/m.
Пример #8. Абаносова масивна топка с радиус Р= 5 cm носи заряд, равномерно разпределен с обемна плътност ρ \u003d 10 nC / m 3. Определете напрегнатостта на електрическото поле в точки: 1) на разстояние r 1 = 3 cm от центъра на сферата; 2) на повърхността на сферата; 3) на разстояние r 2 = 10 см от центъра на сферата.
В еднородно електрическо поле силата, действаща върху заредена частица, е постоянна както по големина, така и по посока. Следователно движението на такава частица е напълно аналогично на движението на тяло в полето на земното притегляне, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Траекторията на частицата в този случай е плоска, лежи в равнината, съдържаща векторите на началната скорост на частицата и напрегнатостта на електрическото поле
Потенциалът на електростатичното поле. Общ израз, свързващ потенциала с напрежението.
Потенциалът φ във всяка точка на електростатичното поле е физическа величина, определена от потенциалната енергия на един положителен заряд, поставен в тази точка. Потенциалът на полето, създадено от точков заряд Q е
Потенциал - физическо количество, което се определя от работата по преместването на един положителен електрически заряд, когато се отстрани от дадена точка на полето до безкрайност. Тази работа е числено равна на работата, извършена от външни сили (срещу силите на електростатичното поле) при преместването на единица положителен заряд от безкрайността до дадена точка в полето.
Единицата за потенциал е волт (V): 1 V е равен на потенциала на такава точка в полето, в която заряд от 1 C има потенциална енергия от 1 J (1 V = 1 J/C). Като се има предвид размерът на волта, може да се покаже, че единицата за напрегнатост на електростатичното поле, въведена по-рано, наистина е 1 V/m: 1 N/Cl=1 N m/(Cl m)=1 J/(Cl m)=1 V/m.
От формули (3) и (4) следва, че ако полето е създадено от няколко заряда, тогава потенциалът на даденото поле на системата от заряди е равен на алгебричната сума на потенциалите на полетата на всички тези заряди:
Силата във всяка точка на електрическото поле е равна на потенциалния градиент в тази точка, взет с обратен знак. Знакът минус показва, че интензитетът E е насочен в посока на намаляване на потенциала.
E = - град фи = - N фи.
За да се установи връзка между мощностната характеристика на електрическото поле - силата и неговата енергийна характеристика - потенциалът, разгледайте елементарната работа на силите на електрическото поле върху безкрайно малко изместване на точков заряд q: dA = q E dl, същата работа е равна на намаляването на потенциалната енергия на заряда q: dA = - dWп = - q dphi, където d phi е промяната в потенциала на електрическото поле по дължината на движение dl. Приравнявайки десните части на изразите, получаваме: E dl = -d phi или в декартовата координатна система
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
където Ex, Ey, Ez са проекциите на вектора на интензитета върху осите на координатната система. Тъй като изразът е пълен диференциал, тогава за проекциите на вектора на интензитета имаме
Изразът в скоби е градиентът на фи потенциала.
Принципът на суперпозиция като основно свойство на полетата. Общи изрази за силата и потенциала на полето, създадено в точка с радиус вектор от система от точкови заряди, разположени в точки с координати (Виж т. 4)
Ако разгледаме принципа на суперпозицията в най-общ смисъл, тогава според него сумата от въздействието на външните сили, действащи върху частица, ще бъде сумата от индивидуалните стойности на всяка от тях. Този принцип се прилага за различни линейни системи, т.е. системи, чието поведение може да се опише с линейни отношения. Пример е проста ситуация, когато линейна вълна се разпространява в определена среда, в който случай нейните свойства ще се запазят дори под въздействието на смущения, произтичащи от самата вълна. Тези свойства се определят като специфична сума от ефектите на всеки от хармоничните компоненти.
Принципът на суперпозиция може да приеме и други формулировки, които са напълно еквивалентни на дадената по-горе:
· Взаимодействието между две частици не се променя, когато се въведе трета частица, която също взаимодейства с първите две.
· Енергията на взаимодействие на всички частици в система от много частици е просто сумата от енергиите на двойните взаимодействия между всички възможни двойки частици. В системата няма многочастични взаимодействия.
· Уравненията, описващи поведението на система от много частици, са линейни по отношение на броя на частиците.
6 Циркулацията на вектора на напрежение е работата, която електрическите сили извършват при преместване на единица положителен заряд по затворен път L
Тъй като работата на силите на електростатичното поле в затворен контур е нула (работата на силите на потенциалното поле), следователно, циркулацията на напрегнатостта на електростатичното поле в затворен контур е нула.
Потенциал на полето. Работата на всяко електростатично поле при преместване на заредено тяло в него от една точка в друга също не зависи от формата на траекторията, както и работата на еднородно поле. При затворена траектория работата на електростатичното поле винаги е нула. Полета с това свойство се наричат потенциални полета. По-специално, електростатичното поле на точковия заряд има потенциален характер.
Работата на потенциално поле може да се изрази чрез промяна на потенциалната енергия. Формулата е валидна за всяко електростатично поле.
7-11 Ако силовите линии на еднообразно електрическо поле на напрегнатост проникват през някаква област S, тогава потокът на вектора на интензитета (свикнали сме да наричаме броя на силовите линии през областта) ще се определя по формулата:
където En е произведението на вектора и нормалата към дадената област (фиг. 2.5).
Ориз. 2.5
Общият брой силови линии, преминаващи през повърхността S, се нарича поток на вектора на интензитета FU през тази повърхност.
Във векторна форма можете да запишете - скаларното произведение на два вектора, където векторът .
По този начин векторният поток е скалар, който в зависимост от ъгъла α може да бъде положителен или отрицателен.
Разгледайте примерите, показани на фигури 2.6 и 2.7.
 | |||
| Ориз. 2.6 | Ориз. 2.7 | ||
За фигура 2.6 повърхността A1 е заобиколена от положителен заряд и потокът тук е насочен навън, т.е. Повърхността A2– е заобиколена от отрицателен заряд, като тук той е насочен навътре. Общият поток през повърхност А е нула.
За фигура 2.7, потокът ще бъде различен от нула, ако общият заряд вътре в повърхността е различен от нула. За тази конфигурация потокът през повърхност А е отрицателен (пребройте броя на линиите на полето).
По този начин векторният поток на интензитета зависи от заряда. Това е значението на теоремата на Остроградски-Гаус.
Теорема на Гаус
Експериментално установеният закон на Кулон и принципът на суперпозицията позволяват напълно да се опише електростатичното поле на дадена система от заряди във вакуум. Свойствата на електростатичното поле обаче могат да бъдат изразени в различна, по-обща форма, без да се прибягва до концепцията за полето на Кулон на точков заряд.
Нека въведем нова физическа величина, която характеризира електрическото поле - потокът Φ на вектора на напрегнатост на електрическото поле. Нека някаква достатъчно малка площ ΔS е разположена в пространството, където се създава електрическото поле. Продуктът на векторния модул и площта ΔS и косинуса на ъгъла α между вектора и нормалата към обекта се нарича елементарен поток на вектора на интензитета през обекта ΔS (фиг. 1.3.1):
Нека сега разгледаме произволна затворена повърхност S. Ако разделим тази повърхност на малки области ΔSi, определим елементарните потоци ΔΦi на полето през тези малки области и след това ги сумираме, тогава в резултат получаваме векторния поток Φ през затворената повърхност S (фиг. 1.3.2):
Теоремата на Гаус гласи:
Потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле през произволна затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, разположени вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа ε0.
където R е радиусът на сферата. Потокът Φ през сферичната повърхност ще бъде равен на произведението на E и площта на сферата 4πR2. Следователно,
Нека сега оградим точковия заряд с произволна затворена повърхност S и да разгледаме спомагателна сфера с радиус R0 (фиг. 1.3.3).
Да разгледаме конус с малък телесен ъгъл ΔΩ при върха. Този конус избира малка площ ΔS0 върху сферата и област ΔS върху повърхността S. Елементарните потоци ΔΦ0 и ΔΦ през тези области са еднакви. Наистина ли,
По подобен начин може да се покаже, че ако затворената повърхност S не обхваща точков заряд q, тогава потокът Φ = 0. Такъв случай е показан на фиг. 1.3.2. Всички силови линии на електрическото поле на точков заряд проникват през и през затворената повърхност S. Вътре в повърхността S няма заряди, следователно в тази област силовите линии не се прекъсват и не възникват.
Обобщението на теоремата на Гаус за случая на произволно разпределение на зарядите следва от принципа на суперпозицията. Полето на всяко разпределение на заряда може да бъде представено като векторна сума на електрическите полета на точковите заряди. Потокът Φ на система от заряди през произволна затворена повърхност S ще бъде сумата от потоците Φi на електрическите полета на отделните заряди. Ако зарядът qi се оказа вътре в повърхността S, тогава той прави принос към потока, равен на ако този заряд се оказа извън повърхността, тогава приносът на неговото електрическо поле към потока ще бъде равен на нула.
Така теоремата на Гаус е доказана.
Теоремата на Гаус е следствие от закона на Кулон и принципа на суперпозицията. Но ако приемем твърдението, съдържащо се в тази теорема, като изходна аксиома, тогава законът на Кулон ще се окаже нейно следствие. Следователно теоремата на Гаус понякога се нарича алтернативна формулировка на закона на Кулон.
Използвайки теоремата на Гаус, в редица случаи е лесно да се изчисли напрегнатостта на електрическото поле около заредено тяло, ако даденото разпределение на заряда има някакъв вид симетрия и общата структура на полето може да бъде отгатната предварително.
Пример е задачата за изчисляване на полето на тънкостенен, кух, равномерно зареден дълъг цилиндър с радиус R. Тази задача има аксиална симетрия. От съображения за симетрия електрическото поле трябва да бъде насочено по радиуса. Следователно, за да се приложи теоремата на Гаус, е препоръчително да се избере затворена повърхност S под формата на коаксиален цилиндър с някакъв радиус r и дължина l, затворен в двата края (фиг. 1.3.4).
За r ≥ R, целият поток на вектора на интензитета ще премине през страничната повърхност на цилиндъра, чиято площ е равна на 2πrl, тъй като потокът през двете основи е равен на нула. Прилагането на теоремата на Гаус дава:
Този резултат не зависи от радиуса R на заредения цилиндър, така че е приложим и за полето на дълга равномерно заредена нишка.
За да се определи силата на полето вътре в зареден цилиндър, е необходимо да се изгради затворена повърхност за случая r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
По подобен начин теоремата на Гаус може да се приложи за определяне на електрическото поле в редица други случаи, когато разпределението на заряда има някакъв вид симетрия, например симетрия спрямо центъра, равнината или осите. Във всеки от тези случаи е необходимо да се избере затворена гаусова повърхност с целесъобразна форма. Например, в случай на централна симетрия е удобно да се избере гаусова повърхност под формата на сфера, центрирана в точка на симетрия. При аксиална симетрия трябва да се избере затворена повърхност под формата на коаксиален цилиндър, затворен от двата края (както в примера, обсъден по-горе). Ако разпределението на зарядите няма никаква симетрия и общата структура на електрическото поле не може да бъде отгатната, прилагането на теоремата на Гаус не може да опрости проблема за определяне на силата на полето.
Помислете за друг пример за симетрично разпределение на зарядите - дефиницията на полето на равномерно заредена равнина (фиг. 1.3.5).
В този случай е препоръчително да изберете гаусовата повърхност S под формата на цилиндър с известна дължина, затворен в двата края. Оста на цилиндъра е насочена перпендикулярно на заредената равнина, а краищата му са разположени на същото разстояние от нея. Поради симетрията, полето на еднакво заредена равнина трябва да бъде насочено навсякъде по нормалата. Прилагането на теоремата на Гаус дава:
|
където σ е повърхностната плътност на заряда, т.е. зарядът на единица площ.
Полученият израз за електрическото поле на еднакво заредена равнина е приложим и в случай на плоски заредени области с краен размер. В този случай разстоянието от точката, в която се определя напрегнатостта на полето, до заредената площ трябва да бъде значително по-малко от размера на зоната.
И графици за 7 - 11
1. Интензитетът на електростатичното поле, създадено от равномерно заредена сферична повърхност.
Нека сферична повърхност с радиус R (фиг. 13.7) носи равномерно разпределен заряд q, т.е. повърхностната плътност на заряда във всяка точка на сферата ще бъде една и съща.
а. Ограждаме нашата сферична повърхност в симетрична повърхност S с радиус r>R. Векторният поток на интензитета през повърхността S ще бъде равен на
Според теоремата на Гаус
Следователно
° С. Нека прекараме през точката B, разположена вътре в заредената сферична повърхност, сферата S с радиус r 2. Електростатично поле на топката. Нека имаме топка с радиус R, равномерно заредена с обемна плътност. Във всяка точка А, лежаща извън топката на разстояние r от нейния център (r> R), нейното поле е подобно на полето на точков заряд, разположен в центъра на топката. След това извън топката и на повърхността му (r=R) В точка B, лежаща вътре в топката на разстояние r от нейния център (r>R), полето се определя само от заряда, затворен вътре в сферата с радиус r. Потокът на вектора на интензитета през тази сфера е равен на от друга страна, според теоремата на Гаус Според теоремата на Гаус От последните два израза определяме силата на полето, създадено от равномерно заредена нишка: Нека равнината има безкрайна дължина и зарядът на единица площ е равен на σ. От законите на симетрията следва, че полето е насочено навсякъде перпендикулярно на равнината и ако няма други външни заряди, тогава полетата от двете страни на равнината трябва да са еднакви. Нека ограничим част от заредената равнина до въображаема цилиндрична кутия, така че кутията да е разрязана наполовина и нейните генератори да са перпендикулярни, а две основи, всяка с площ S, да са успоредни на заредената равнина (Фигура 1.10). 12. Поле на еднакво заредена сфера. Нека електрическото поле се създава от заряда Q, равномерно разпределени по повърхността на сфера с радиус Р(фиг. 190). За изчисляване на потенциала на полето в произволна точка, разположена на разстояние rот центъра на сферата е необходимо да се изчисли работата, извършена от полето при преместване на единица положителен заряд от дадена точка до безкрайност. По-рано доказахме, че силата на полето на равномерно заредена сфера извън нея е еквивалентна на полето на точков заряд, разположен в центъра на сферата. Следователно извън сферата потенциалът на полето на сферата ще съвпадне с потенциала на полето на точков заряд φ
(r)=Q 4πε
0r . (1) По-специално, на повърхността на сфера, потенциалът е равен на φ
0=Q 4πε
0Р. Вътре в сферата няма електростатично поле, така че работата за преместване на заряд от произволна точка вътре в сферата към нейната повърхност е нула А= 0, следователно потенциалната разлика между тези точки също е равна на нула Δ φ
= -А= 0. Следователно всички точки вътре в сферата имат еднакъв потенциал, който съвпада с потенциала на нейната повърхност φ
0=Q 4πε
0Р . И така, разпределението на потенциала на полето на равномерно заредена сфера има формата (фиг. 191) φ
(r)=⎧⎩⎨Q 4πε
0Р, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>Р . (2) Моля, обърнете внимание, че вътре в сферата няма поле и потенциалът е различен от нула! Този пример е ярка илюстрация на факта, че потенциалът се определя от стойността на полето от дадена точка до безкрайност. Безкрайна равнина, заредена с повърхностна плътност на заряда: за да изчислим силата на електрическото поле, създадено от безкрайна равнина, избираме цилиндър в пространството, чиято ос е перпендикулярна на заредената равнина, а основите са успоредни на нея и една от базите минават през полето, което ни интересува. Според теоремата на Гаус потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през затворена повърхност е: Ф=, от друга страна е: Ф=E Приравнете десните части на уравненията: Изразяваме = - чрез повърхностната плътност на заряда и намираме напрегнатостта на електрическото поле: Намерете напрегнатостта на електрическото поле между противоположно заредени плочи с еднаква повърхностна плътност: Намерете полето извън плочите: ; ; Сила на полето на заредена сфера Ф= (2) т. Гаус за r< R
; , защото (вътре в сферата няма заряди) За r = R
( ; ; За r > R
Интензитетът на полето, създадено от топка, заредена равномерно в целия обем Обемна плътност на заряда, За r< R
( ; Ф= ) За r = R
За r > R
РАБОТАТА НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ ВЪРХУ ДВИЖЕНИЕТО НА ЗАРЯДА електростатично поле- електронна поща стационарно зарядно поле. Работа на терен (електронна сила) не зависина формата на траекторията и на затворена траектория = нула. Теорема за циркулация за електростатично поле. Тъй като електростатичното поле е централно, силите, действащи върху заряд в такова поле, са консервативни. Тъй като представлява елементарната работа, която полевите сили произвеждат върху единичен заряд, работата на консервативните сили в затворен контур е равна на потенциал Системата "заряд - електростатично поле" или "заряд - заряд" има потенциална енергия, така както системата "гравитационно поле - тяло" има потенциална енергия. Физическата скаларна величина, характеризираща енергийното състояние на полето, се нарича потенциалдадена точка в полето. В полето е поставен заряд q, който има потенциална енергия W. Потенциалът е характеристика на електростатичното поле. Помислете за потенциалната енергия в механиката. Потенциалната енергия е нула, когато тялото е на земята. И когато тялото се повдигне на определена височина, тогава се казва, че тялото има потенциална енергия. По отношение на потенциалната енергия в електричеството няма нулево ниво на потенциална енергия. Той е избран на случаен принцип. Следователно потенциалът е относителна физическа величина. Потенциалната енергия на полето е работата, която извършва електростатична сила при преместване на заряд от дадена точка в полето до точка с нулев потенциал. Нека разгледаме специален случай, когато електростатично поле се създава от електрически заряд Q. За да се изследва потенциалът на такова поле, не е необходимо да се въвежда заряд q в него. Можете да изчислите потенциала на всяка точка от такова поле, разположена на разстояние r от заряда Q. Диелектричната константа на средата има известна стойност (таблица), тя характеризира средата, в която съществува полето. За въздуха е равно на едно. Потенциална разлика Работата на полето за преместване на заряда от една точка в друга се нарича потенциална разлика Тази формула може да бъде представена в различна форма Принцип на суперпозиция Потенциалът на полето, създадено от няколко заряда, е равен на алгебричната (като се вземе предвид знакът на потенциала) сума от потенциалите на полетата на всяко поле поотделно Това е енергията на система от заряди с фиксирана точка, енергията на отделен зареден проводник и енергията на зареден кондензатор. Ако има система от два заредени проводника (кондензатор), тогава общата енергия на системата е равна на сумата от присъщите потенциални енергии на проводниците и енергията на тяхното взаимодействие: Енергия на електростатичното полесистема от точкови заряди е равна на: Равномерно заредена равнина. От условията на симетрия следва, че векторът днавсякъде перпендикулярно на равнината. Освен това, в точки, симетрични по отношение на равнината, векторът дще бъдат еднакви по големина и противоположни по посока. където е площта на основата на цилиндъра. Цилиндърът изрязва заряда от равнината. Ако равнината е в хомогенна изотропна среда с относителна диелектрична проницаемост, тогава Когато напрегнатостта на полето не зависи от разстоянието между равнините, такова поле се нарича хомогенно. графика на зависимостта д (х) за самолет. Потенциална разлика между две точки, разположени на разстояния Р 1 и Р 2 от заредената равнина е равно на Пример 2. Две равномерно заредени равнини. Потенциална разлика между равнините Пример 3. Тънък зареден прът. За изчисляване на напрегнатостта на полето в произволна точка, разположена на разстояние rот оста на пръта, начертайте цилиндрична повърхност през тази точка По теоремата на Гаус потокът на вектора де равна на алгебричната сума на електрическите заряди, разположени вътре в повърхността (в този случай цилиндъра), разделена на произведението на електрическата константа и относителната диелектрична проницаемост на средата къде е зарядът на тази част от пръта, която е вътре в цилиндъра. Следователно напрегнатостта на електрическото поле Потенциалната разлика на електрическото поле между две точки, разположени на разстояние Р 1 и Р 2 от оста на пръта, ще намерим като използваме връзката между силата и потенциала на електрическото поле. Тъй като силата на полето се променя само в радиална посока, тогава Пример 4. Заредена сферична повърхност. Линиите на опън са насочени по радиусите от центъра на сферата, а модулът на вектора дзависи само от разстоянието rот центъра на сферата. За да изчислим полето, избираме затворена сферична повърхност с радиус r. където е относителната диелектрична проницаемост на средата около сферата. Интензитетът намалява по същия закон като силата на полето на точковия заряд, т.е. по закона. Пример 5. Обемно заредена диелектрична топка. Така че При r < Р(вътре в топката) Извън топката ( r > Р) потенциалът на електрическото поле варира според закона вътре в топката ( r < Р) потенциалът се описва с израза В заключение даваме изрази за изчисляване на напрегнатостта на полето на заредени тела с различна форма Диригенте твърдо тяло, в което има „свободни електрони“, движещи се в тялото. Металните проводници обикновено са неутрални: те имат равен брой отрицателни и положителни заряди. Положително заредени са йоните във възлите на кристалната решетка, отрицателно са електроните, които се движат свободно по проводника. Когато на проводника се даде излишен брой електрони, той се зарежда отрицателно, но ако определено количество електрони се „отнеме“ от проводника, той се зарежда положително. Излишният заряд се разпределя само върху външната повърхност на проводника. 1
. Силата на полето във всяка точка вътре в проводника е нула. 2
. Векторът на повърхността на проводника е насочен по нормалата към всяка точка от повърхността на проводника. От факта, че повърхността на проводника е еквипотенциална, следва, че директно на тази повърхност полето е насочено по нормалата към нея във всяка точка (условието 2
). Ако това не беше така, тогава под действието на тангенциалната компонента зарядите биха се движили по повърхността на проводника. тези. равновесието на зарядите на проводник би било невъзможно. от 1
следва, че тъй като Вътре в проводника няма излишни заряди. Зарядите се разпределят само по повърхността на проводника с определена плътност си са разположени в много тънък повърхностен слой (дебелината му е около едно или две междуатомни разстояния). плътност на заряда- това е количеството заряд на единица дължина, площ или обем, като по този начин се определят линейните, повърхностните и обемните плътности на заряда, които се измерват в системата SI: в кулони на метър [C/m], в кулони на квадратен метър [ C/m² ] и съответно в кулон на кубичен метър [C/m³]. За разлика от плътността на материята, плътността на заряда може да има както положителни, така и отрицателни стойности, това се дължи на факта, че има положителни и отрицателни заряди. Общ проблем на електростатиката вектор на напрежението, според теоремата на Гаус В случая - няма заряди между проводниците, получаваме - Уравнение на Лаплас. Нека са известни граничните условия на повърхностите на проводниците: стойностите При решаването на задачата се определя стойността и след това полето между проводниците се определя от разпределението на зарядите върху проводниците (според вектора на интензитета в близост до повърхността). Помислете за пример. Намерете напрежението в празната кухина на проводника. Потенциалът в кухината удовлетворява уравнението на Лаплас; потенциал по стените на проводника. Решението на уравнението на Лаплас в този случай е тривиално и според теоремата за уникалност няма други решения Уравнение на Поасоне елиптично частично диференциално уравнение, което освен всичко друго описва електростатичното поле стационарно температурно поле, Полето на налягане · потенциално поле на скоростта в хидродинамиката. Носи името на известния френски физик и математик Симеон Дени Поасон. Това уравнение изглежда така: където е операторът на Лаплас или лапласиан и е реална или комплексна функция на някакво многообразие. В триизмерна декартова координатна система уравнението приема формата: В декартовата координатна система операторът на Лаплас се записва във формата, а уравнението на Поасон приема формата: Ако fклони към нула, тогава уравнението на Поасон се превръща в уравнението на Лаплас (уравнението на Лаплас е специален случай на уравнението на Поасон): Уравнението на Поасон може да се реши с помощта на функцията на Грийн; вижте например статията скринираното уравнение на Поасон. Има различни методи за получаване на числени решения. Използва се например итеративен алгоритъм - "метод на релаксация". Кондензатор(от лат. кондензатор- „компактен“, „удебелен“) - двутерминална мрежа с определена стойност на капацитет и ниска омична проводимост; устройство за натрупване на заряд и енергия на електрическо поле. Кондензаторът е пасивен електронен компонент. Обикновено се състои от два пластинообразни електрода (наречени облицовки), разделени от диелектрик, чиято дебелина е малка в сравнение с размерите на плочите. Капацитет Основната характеристика на кондензатора е неговата капацитетхарактеризиращ способността на кондензатора да съхранява електрически заряд. Стойността на номиналния капацитет се появява в обозначението на кондензатора, докато действителният капацитет може да варира значително в зависимост от много фактори. Действителният капацитет на кондензатора определя неговите електрически свойства. И така, по дефиниция на капацитет, зарядът на плочата е пропорционален на напрежението между плочите ( q=CU). Типичните стойности на капацитета варират от пикофаради до хиляди микрофаради. Има обаче кондензатори (йонистори) с капацитет до десетки фаради. Капацитет на плосък кондензатор, състоящ се от две успоредни метални пластини с площ Свсяка разположена на разстояние дедин от друг, в системата SI се изразява с формулата: Тази формула е валидна само когато дмного по-малък от линейните размери на плочите. За да се получи голям капацитет, кондензаторите се свързват паралелно. В този случай напрежението между плочите на всички кондензатори е еднакво. Общ капацитет на батерията паралеленсвързаните кондензатори е равен на сумата от капацитетите на всички кондензатори, включени в батерията. Ако всички кондензатори, свързани паралелно, имат еднакво разстояние между плочите и свойствата на диелектрика, тогава тези кондензатори могат да бъдат представени като един голям кондензатор, разделен на фрагменти с по-малка площ. Когато кондензаторите са свързани последователно, зарядите на всички кондензатори са еднакви, тъй като те се подават от източника на захранване само към външните електроди, а на вътрешните електроди се получават само поради разделянето на заряди, които преди това са се неутрализирали взаимно . Общ капацитет на батерията последователносвързаните кондензатори е Или Този капацитет винаги е по-малък от минималния капацитет на кондензатора, включен в батерията. Въпреки това, когато са свързани последователно, възможността за повреда на кондензаторите се намалява, тъй като всеки кондензатор представлява само част от потенциалната разлика на източника на напрежение. Ако площта на плочите на всички последователно свързани кондензатори е една и съща, тогава тези кондензатори могат да бъдат представени като един голям кондензатор, между плочите на който има купчина диелектрични плочи на всички кондензатори, които го съставят. [редактиране] Специфичен капацитет Кондензаторите се характеризират и със специфичен капацитет - съотношението на капацитета към обема (или масата) на диелектрика. Максималната стойност на специфичния капацитет се постига при минималната дебелина на диелектрика, но напрежението му на пробив намалява. Електрическите вериги използват различни начини за свързване на кондензатори. Свързване на кондензаториможе да се направи: последователно, паралелени последователно-успоредни(последното понякога се нарича свързване на смесен кондензатор). Съществуващите видове свързване на кондензатори са показани на фигура 1. Фигура 1. Методи за свързване на кондензатори.
(13.10)
(13.11)
(13.13)
(3)
(4)
(1)
) 
разпределени върху топката:
Фел, действайки върху заряда, го движи, вършейки работа.
В еднородно електрическо поле Fel = qE е постоянна стойност
Ако в електростатичното поле на точков заряд Q от точка 1 до точка 2 по произволна траектория (фиг. 1) се движи друг точков заряд Q 0, тогава силата, приложена към заряда, върши известна работа. Работата на силата F върху елементарното преместване dl е Тъй като d л/cosα=dr, тогава
Работата при преместване на заряд Q 0 от точка 1 до точка 2 (1) не зависи от траекторията на движение, а се определя само от позициите на началната 1 и крайната 2 точки. Това означава, че електростатичното поле на точковия заряд е потенциално, а електростатичните сили са консервативни.От формула (1) може да се види, че работата, която се извършва, когато електрическият заряд се движи във външно електростатично поле по произволно затворено пътят L е равен на нула, т.е. (2) Ако вземем единичен точков положителен заряд като заряд, който се движи в електростатично поле, тогава елементарната работа на силите на полето по пътя dl е равна на Еdl = E лд л, където Е л= Ecosα - проекцията на вектора E върху посоката на елементарното преместване. Тогава формула (2) може да бъде представена като 
(3) Интеграл 
се нарича циркулация на вектора на напрежението. Това означава, че циркулацията на вектора на напрегнатостта на електростатичното поле по всеки затворен контур е равна на нула. Силово поле, което има свойството (3), се нарича потенциал. От нулевата циркулация на вектора E следва, че линиите на електростатичното поле не могат да бъдат затворени, те задължително започват и завършват на заряди (положителни или отрицателни) или отиват до безкрайност. Формула (3) е валидна само за електростатично поле. По-нататък ще бъде показано, че условие (3) не е вярно в случай на поле от движещи се заряди (за него циркулацията на вектора на интензитета е различна от нула).
Напрегнатостта на електрическото поле, генерирано от безкрайна равнина, заредена с повърхностна плътност на заряда, може да се изчисли с помощта на теоремата на Гаус.
Като затворена повърхност избираме цилиндър, чиято ос е перпендикулярна на равнината, а основите са разположени симетрично спрямо равнината, както е показано на фигурата.
Тъй като линиите на опън са успоредни на генераторите на страничната повърхност на цилиндъра, потокът през страничната повърхност е нула. Следователно потокът на вектора дпрез повърхността на цилиндъра
,
Нека изчислим силата на електрическото поле, създадено от две безкрайни равнини. Електрическият заряд се разпределя равномерно с повърхностни плътности и . Ние намираме напрегнатостта на полето като суперпозиция на напрегнатостта на полето на всяка от равнините. Електрическото поле е различно от нула само в пространството между равнините и е равно на .
, където д-разстояние между равнините.
Получените резултати могат да се използват за приблизително изчисляване на полетата, създадени от плоски плочи с крайни размери, ако разстоянията между тях са много по-малки от техните линейни размери. Забележими грешки в такива изчисления се появяват, когато се разглеждат полетата близо до краищата на плочите. графика на зависимостта д (х) за две равнини.
За да изчислим силата на електрическото поле, създадено от много дълъг прът, зареден с линейна плътност на заряда, използваме теоремата на Гаус.
На достатъчно големи разстояния от краищата на пръта линиите на електрическото поле са насочени радиално от оста на пръта и лежат в равнини, перпендикулярни на тази ос. Във всички точки, еднакво отдалечени от оста на пръта, числените стойности на якостта са еднакви, ако прътът е в хомогенна изотропна среда с относителен диелектрик
пропускливост.
(виж снимката). Радиусът на този цилиндър е r, и височината му ч.
Потоците на вектора на опън през горната и долната основа на цилиндъра ще бъдат равни на нула, тъй като силовите линии нямат компоненти, нормални към повърхностите на тези основи. Във всички точки на страничната повърхност на цилиндъра
д= конст.
Следователно общият поток на вектора дпрез повърхността на цилиндъра ще бъде равна на
,
Електрическото поле, създадено от сферична повърхност, върху която е равномерно разпределен електрически заряд с повърхностна плътност, има централно симетричен характер.
Когато r o
Силата на полето е нула, тъй като вътре в сферата няма заряд.
За r > R (извън сферата), съгласно теоремата на Гаус
,
.
Когато r o
За r > R (извън сферата) 
.
графика на зависимостта д (r) за сферата.
Ако топка с радиус Рот хомогенен изотропен диелектрик с относителна проницаемост е равномерно зареден по обема с плътност , тогава създаденото от него електрическо поле също е централно симетрично.
Както в предишния случай, ние избираме затворена повърхност за изчисляване на векторния поток дпод формата на концентрична сфера, чийто радиус rможе да варира от 0 до.
При r < Рвектор на потока дпрез тази повърхност ще се определя от заряда
.
Вътре в топката напрежението нараства правопропорционално на разстоянието от центъра на топката. Извън топката (при r > Р) в среда с диелектрична проницаемост, векторът на потока дпо повърхността ще се определя от заряда.
Когато r o >R o (извън топката) 
.
На границата "топка - среда" напрегнатостта на електрическото поле се променя рязко, чиято стойност зависи от съотношението на диелектричните проницаемости на топката и средата. графика на зависимостта д (r) за топка().
.Потенциална разлика
Волтаж- разликата между стойностите на потенциала в началната и крайната точка на траекторията. Волтажчислено равна на работата на електростатичното поле при преместване на единица положителен заряд по силовите линии на това поле. Потенциалната разлика (напрежение) не зависи от избора
координатни системи!
Единица за потенциална разлика 
Напрежението е 1 V, ако, когато положителен заряд от 1 C се движи по силовите линии, полето извършва работа от 1 J.
- Уравнение на Поасон.
; тогава този проблем има уникално решение според теорема за уникалност.
, т.е. в кухината на проводника няма поле.
Ще разгледаме самотен проводник, т.е. проводник, значително отдалечен от други проводници, тела и заряди. Неговият потенциал, както знаете, е право пропорционален на заряда на проводника. От опит е известно, че различните проводници, които са еднакво заредени, имат различен потенциал. Следователно за отделен проводник можете да напишете Стойността (1) се нарича електрически капацитет (или просто капацитет) на отделен проводник. Капацитетът на отделен проводник се дава от заряд, чието предаване на проводника променя неговия потенциал с единица. Капацитетът на единичен проводник зависи от неговия размер и форма, но не зависи от материала, формата и размера на кухините вътре в проводника, както и от неговото агрегатно състояние. Причината за това е, че излишните заряди се разпределят по външната повърхност на проводника. Капацитетът също не зависи от заряда на проводника, нито от неговия потенциал. Единицата за електрически капацитет е фарад (F): 1 F е капацитетът на такъв отделен проводник, в който потенциалът се променя с 1 V, когато му се придаде заряд от 1 C. Съгласно формулата за потенциала на точков заряд, потенциалът на самотна топка с радиус R, която се намира в хомогенна среда с диелектрична проницаемост ε, е равен на Прилагайки формула (1), получаваме, че капацитетът на топка (2) От това следва, че самотна топка би имала капацитет от 1 F, разположена във вакуум и имаща радиус R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, което е приблизително 1400 пъти по-голямо от радиус на Земята (електрически капацитет на Земята C≈0,7 mF). Следователно фарадът е доста голяма стойност, поради което на практика се използват субкратни единици - милифарад (mF), микрофарад (μF), нанофарад (nF), пикофарад (pF). От формула (2) също следва, че единицата на електрическата константа ε 0 е фарад на метър (F/m) (виж (78.3)).
Подобни статии
