За да се факторизира, е необходимо да се опростят изразите. Това е необходимо, за да може да се намали допълнително. Развиването на полином има смисъл, когато степента му не е по-ниска от две. Полином с първа степен се нарича линеен.
Статията ще обхване всички концепции за разлагане, теоретична основаи методи за факторизиране на полином.
Теория
Теорема 1Когато всеки полином със степен n, имащ формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, са представени като продукт с постоянен фактор с най-висока степен a n и n линейни фактора (x - x i), i = 1, 2, ..., n, тогава P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , където x i, i = 1, 2, …, n са корените на полинома.
Теоремата е предназначена за корени от комплексен тип x i, i = 1, 2, …, n и за комплексни коефициенти a k, k = 0, 1, 2, …, n. Това е в основата на всяка декомпозиция.
Когато коефициентите от формата a k, k = 0, 1, 2, …, n са реални числа, тогава сложни корени, които ще се появят в конюгирани двойки. Например корени x 1 и x 2, свързани с полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 се считат за комплексно спрегнати, тогава другите корени са реални, от което получаваме, че полиномът приема формата P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, където x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Коментирайте
Корените на полинома могат да се повтарят. Нека разгледаме доказателството на теоремата на алгебрата, следствие от теоремата на Безу.
Основна теорема на алгебрата
Теорема 2Всеки полином със степен n има поне един корен.
Теорема на Безу
След разделяне на полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 върху (x - s), тогава получаваме остатъка, който е равен на полинома в точка s, тогава получаваме
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , където Q n - 1 (x) е полином със степен n - 1.
Следствие от теоремата на Безу
Когато коренът на полинома P n (x) се счита за s, тогава P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Това следствие е достатъчно, когато се използва за описание на решението.
Факторизиране на квадратен трином
Квадратният трином от формата a x 2 + b x + c може да бъде разложен на линейни множители. тогава получаваме, че a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , където x 1 и x 2 са корени (комплексни или реални).
От това става ясно, че самото разширение се свежда до решението квадратно уравнениевпоследствие.
Пример 1
Разложете на множители квадратния трином.
Решение
Необходимо е да се намерят корените на уравнението 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. За да направите това, трябва да намерите стойността на дискриминанта с помощта на формулата, след което получаваме D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Оттук нататък имаме това
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
От това получаваме, че 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
За да извършите проверката, трябва да отворите скобите. Тогава получаваме израз от формата:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
След проверка стигаме до оригиналния израз. Тоест можем да заключим, че разлагането е извършено правилно.
Пример 2
Факторизиране квадратен тричленкато 3 х 2 - 7 х - 11.
Решение
Откриваме, че е необходимо да изчислим полученото квадратно уравнение във формата 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
За да намерите корените, трябва да определите стойността на дискриминанта. Разбираме това
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
От това получаваме, че 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Пример 3
Разложете полинома на множители 2 x 2 + 1.
Решение
Сега трябва да решим квадратното уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и да намерим неговите корени. Разбираме това
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Тези корени се наричат комплексно спрегнати, което означава, че самото разширение може да бъде изобразено като 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Пример 4
Разложете квадратния трином x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Първо трябва да решите квадратно уравнение от формата x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и да намерите неговите корени.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
След като получихме корените, пишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Коментирайте
Ако дискриминантната стойност е отрицателна, тогава полиномите ще останат полиноми от втори ред. От това следва, че няма да ги разлагаме на линейни множители.
Методи за факторизиране на полином от степен по-висока от две
При разлагането се предполага универсален метод. Повечето от всички случаи се основават на следствие от теоремата на Bezout. За да направите това, трябва да изберете стойността на корена x 1 и да намалите степента му, като разделите на полином на 1, като разделите на (x - x 1). Полученият полином трябва да намери корена x 2 и процесът на търсене е цикличен, докато получим пълно разширение.
Ако коренът не е намерен, тогава се използват други методи за факторизация: групиране, допълнителни термини. Тази тема включва решаване на уравнения с по-високи степении цели коефициенти.
Изваждане на общия множител извън скоби
Да разгледаме случая, когато свободният член е равен на нула, тогава формата на полинома става P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.
Може да се види, че коренът на такъв полином ще бъде равен на x 1 = 0, тогава полиномът може да бъде представен като израза P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Този метод се счита за ваден общ множителизвън скоби.
Пример 5
Разложете на множители полином от трета степен 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Решение
Виждаме, че x 1 = 0 е коренът на дадения полином, тогава можем да премахнем x от скобите на целия израз. Получаваме:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Нека да преминем към намирането на корените на квадратния тричлен 4 x 2 + 8 x - 1. Нека намерим дискриминанта и корените:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Тогава следва това
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Като начало, нека вземем под внимание метод на разлагане, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, където коефициентът на най-високата степен е 1.
Когато полиномът има цели числа, тогава те се считат за делители на свободния член.
Пример 6
Разложете израза f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Решение
Нека помислим дали има пълни корени. Необходимо е да се запишат делителите на числото - 18. Получаваме това ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. От това следва, че този полином има цели числа. Можете да проверите с помощта на схемата на Horner. Това е много удобно и ви позволява бързо да получите коефициентите на разширение на полином:
От това следва, че x = 2 и x = - 3 са корените на оригиналния полином, който може да бъде представен като произведение от вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Пристъпваме към разширяването на квадратен трином от формата x 2 + 2 x + 3.
Тъй като дискриминантът е отрицателен, това означава истински корениНе.
Отговор: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Коментирайте
Разрешено е да се използва избор на корен и деление на полином на полином вместо схема на Хорнер. Нека да преминем към разглеждане на разширяването на полином, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , най-високото от които е равно на едно.
Този случай се среща при рационални дроби.
Пример 7
Разложете на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо е да замените променливата y = 2 x, трябва да преминете към полином с коефициенти, равни на 1 на най-висока степен. Трябва да започнете, като умножите израза по 4. Разбираме това
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когато получената функция на формата g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 има цели числа, тогава тяхното местоположение е сред делителите на свободния член. Записът ще изглежда така:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Нека да преминем към изчисляване на функцията g (y) в тези точки, за да получим нула като резултат. Разбираме това
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Откриваме, че y = - 5 е коренът на уравнение във формата y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, което означава, че x = y 2 = - 5 2 е коренът на оригиналната функция.
Пример 8
Необходимо е да се раздели с колона 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.
Решение
Нека го запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверката на делителите ще отнеме много време, така че е по-изгодно да факторизирате получения квадратен трином от вида x 2 + 7 x + 3. Чрез приравняване на нула намираме дискриминанта.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Следва, че
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Изкуствени техники за факторизиране на полином
Рационалните корени не са присъщи на всички полиноми. За да направите това, трябва да използвате по специални начиниза намиране на фактори. Но не всички полиноми могат да бъдат разширени или представени като продукт.
Метод на групиране
Има случаи, когато можете да групирате членовете на полином, за да намерите общ множител и да го поставите извън скоби.
Пример 9
Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Решение
Тъй като коефициентите са цели числа, тогава корените вероятно също могат да бъдат цели числа. За да проверите, вземете стойностите 1, - 1, 2 и - 2, за да изчислите стойността на полинома в тези точки. Разбираме това
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Това показва, че няма корени, необходимо е да се използва друг метод за разширяване и решение.
Необходимо е да се групират:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
След като групирате оригиналния полином, трябва да го представите като произведение на два квадратни тринома. За да направим това, трябва да разложим на множители. разбираме това
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Коментирайте
Простотата на групирането не означава, че изборът на термини е достатъчно лесен. Няма специфичен метод за решаване, така че е необходимо да се използват специални теореми и правила.
Пример 10
Разложете полинома на множители x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Решение
Даденият полином няма цели корени. Термините трябва да бъдат групирани. Разбираме това
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
След разлагането на множители получаваме това
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Използване на формули за съкратено умножение и бином на Нютон за факторизиране на полином
Външният вид често не винаги показва кой метод трябва да се използва по време на разграждането. След като трансформациите са направени, можете да изградите линия, състояща се от триъгълника на Паскал, в противен случай те се наричат бином на Нютон.
Пример 11
Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Решение
Необходимо е изразът да се преобразува във формата
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Последователността на коефициентите на сумата в скоби се обозначава с израза x + 1 4 .
Това означава, че имаме x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
След като приложим разликата на квадратите, получаваме
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Помислете за израза, който е във втората скоба. Ясно е, че там няма рицари, така че трябва да приложим отново формулата за разликата на квадратите. Получаваме израз на формата
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Разложете на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Нека започнем да трансформираме израза. Разбираме това
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на разликата на кубовете. Получаваме:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Метод за заместване на променлива при факторизиране на полином
При заместване на променлива степента се намалява и полиномът се факторизира.
Пример 13
Разложете на множители полинома от формата x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
Според условието е ясно, че е необходимо да се направи замяната y = x 3. Получаваме:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корените на полученото квадратно уравнение са y = - 2 и y = - 3, тогава
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на сбора от кубове. Получаваме изрази от вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Тоест получихме желаното разлагане.
Обсъдените по-горе случаи ще помогнат при разглеждането и факторизирането на полином по различни начини.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Задача 1. Намерете gcd на полиноми
f(х)=х 4 –2х 3 –х+2, ж(х)=х 4 –х 3 +х–1, ч(х)=х 4 –4х 2 –х+2.
Решение. НОД на полиноми може да се намери еднозначно само до постоянен множител (постоянните ненулеви множители не влияят на делимостта на полиномите). Следователно можем да се съгласим да вземем като НОД на полиноми този, чийто водещ коефициент е равен на 1.
Чрез прилагане на Евклидовия алгоритъм към полиноми с цели коефициенти, можем, за да избегнем дробни коефициенти, да умножим дивидент или делител по произволен равно на нулачисло, и то не само започвайки от някое от последователните разделения, но и в процеса на самото това разделение. Това, разбира се, ще доведе до изкривяване на коефициента, но остатъците, които ни интересуват, ще придобият само определен фактор от нулева степен.
За да намерим НОД на три полинома, първо използваме Евклидовия алгоритъм, за да намерим НОД на всеки два полинома, например д(х)=(f(х),ч(х)) и след това намерете gcd д(х) И ж(х).
Алгоритъмът на Евклид се състои от последователно деление на полиноми с остатък. Нека първо разделим f(х) На ч(х), тогава ч(х) с остатъка, получен при деление r(х) (първия остатък), след това първия остатък по втория остатък и т.н., докато получим нула в остатъка. НОД на полиноми f(х) И ч(х) ще бъде последният ненулев остатък. Процесът на разделяне ще се извърши с помощта на „ъгъл“.
| _ | x 4 -2x 3 -x+2 | x 4 -4x 2 -x+2 | _ | x 4 -4x 2 -x+2 | x 3 -2x 2 | ||||
| x 4 -4x 2 -x+2 | 1 | x 4 -2x 3 | х+2 | ||||||
| -2x 3 +4x 2 | _ | 2x 3 -4x 2 -x+2 | |||||||
| x 3 -2x 2 | 2x 3 -4x 2 | ||||||||
| _ | -x+2 | ||||||||
| х-2 | |||||||||
| 0 | |||||||||
| _ | x 3 -2x 2 | х-2 | ||
| x 3 -2x 2 | х 2 | |||
| 0 | ||||
Това означава gcd на полиномите f(х) И ч(х) е равно на бином х–2.
д(х)=(f(х), ч(х))=х–2.
По подобен начин намираме gcd на полиноми д(х) И ж(х), то ще бъде равно на 1. Така, ( f(х), ж(х), ч(х))=(ж(х), (f(х), ч(х)))=1.
Забележка . Знакът "=" или "!!" означава, че по време на деленето умножението е извършено с някакво число, различно от нула.
Задача 2. Използване на Евклидовия алгоритъм за намиране на полиноми u(х) И v(х), отговарящи на равенството f(х)u(х)+ж(х)v(х)=д(х), Където д(х) – gcd на полиноми f(х) И ж(х): f(х)=4х 4 –2х 3 –16х 2 +5х+9, ж(х)=2х 3 –х 2 –5х+4.
Решение. Приложете към полиноми f(х) И ж(х) Евклидов алгоритъм. Трябва да се помни, че тук произволът, който се състои в умножаване на полиноми с постоянни фактори, който е възможен при намиране на GCD, не може да бъде разрешен, тъй като тук ще използваме и частни, които могат да бъдат изкривени с посочения произвол.
В резултат на разделянето получаваме:
f(х)=ж(х)р 1 (х)+r 1 (х),
Където р 1 (х)=2х, r 1 (х)= –6х 2 –3х+9,
ж(х)=r 1 (х)р 2 (х)+r 2 (х),
Където р 2 (х)= –х/3+1/3, r 2 (х)= –х+1,
r 1 (х)=r 2 (х)р 3 (х)+r 3 (х),
Където р 3 (х)=6х+9, r 3 (х)=0.
Така алгоритъмът на Евклид е написан тук в три реда и най-големият общ делителравен – r 2 (х)=х–1=д(х). Да изразя д(х) чрез полиноми f(х) И ж(х), ние ще намерим r 2 (х) от втория ред на Евклидовия алгоритъм:
r 2 (х)=ж(х)–r 1 (х)р 2 (х).
Вместо това заместваме в това равенство r 1 (х) неговия израз, намерен от първия ред на Евклидовия алгоритъм, получаваме:
r 2 (х)=f(х)[–р 2 (х)]+ж(х),
за да получим равенство f(х)u(х)+ж(х)v(х)=д(х), трябва да умножите предишното равенство по (–1), получаваме:
–r 2 (х)=f(х)р 2 (х) +ж(х)[–1–р 1 (х)р 2 (х)]=д(х),
Където u(х)=р 2 (х), v(х)= –1–р 1 (х)р 2 (х).
След заместване на полиноми в това равенство р 1 (х), р 2 (х) получаваме:
u(х)= , v(х)= .
Задача 3. Използване на метода на неопределените коефициенти за избор на полиноми u(х) И v(х) така че f(х)u(х)+ж(х)v(х)=1, (1) за полиноми f(х)=х 2 –2х–1, ж(х)=2х 4 –3х 3 –6х 2 +2х+2.
Решение. Нека използваме теоремата: ако д(х) е НОД на полиноми f(х) И ж(х), тогава можем да намерим такива полиноми u(х) И v(х), Какво
f(х)u(х)+ж(х)v(х)=д(х).
В този случай можем да приемем, че степените на полиномите f(х) И ж(х) е по-голямо от нула, което е степента u(х) по-малко от степен ж(х), и степента v(х) по-малко от степен f(х).
Полиноми f(х) И ж(х) отговарят на равенство (1), ако ( f(х),ж(х))=1. В нашия случай f(х) И ж(х) са относително прости полиноми, което означава, че можем да намерим полинома u(х)=брадва 3 +bx 2 +cx+ди полином v(х)=пр+f.
Вместо това заместване в равенство (1). f(х), ж(х), u(х), v(х) техните изрази, получаваме:
(х 2 – 2х- 1)(брадва 3 +bx 2 +cx+d)+(2х 4 – 3х 3 – 6х 2 + 2x+ 2)(ex+f)=1
(а+ 2д)х 5 + (б– 2а+ 2е– 3д)х 4 + (° С- 2б–а– 3е– 6д)х 3 + (д- 2в–б– 6f+ 2д)х 2 +(–2d–c+ 2f+ 2д)x––d+ 2f= 1.
Така имаме равенството на два полинома: от лявата страна полином от степен пет с неопределени коефициенти, а от дясната страна полином от степен нула. Два полинома са равни, ако техните коефициенти са равни за еднакви степени на неизвестното.
Приравнявайки коефициентите за равни степени на неизвестното, получаваме система от шест линейни уравненияс непознати хора а б В Г Д Е:
Решавайки го, получаваме: d= 3, e=–1, f= 2, c=–4, b=–3, a= 2.
По този начин, необходимите полиноми u(х) И v(х) ще бъде:
u(х)=2х 3 –3х 2 –4х+3, v(х)= –х+2.
Задача 4. По схемата на Хорнер изчислете f(А) и разширете полинома f(х) по степени х–А, Където f(х)=х 4 +2х 3 –7х 2 +3х–1, А=2.
Решение. Според теоремата на Bezout остатъкът от полином е f(х) към линеен бином х–Аравно на стойността f(А) полином при х=А.
Разделянето по „ъгъл“ може да се напише по-просто: ако f(х)=а 0 x n+а 1 x n –1 +а 2 xn– 2 + …+a n –1 х+a n, тогава коефициентите на частното р(х)=b 0 х n–1 + b 1 x n –2 + b 2 x n –3 + …+b n–1 и остатък rот разделяне f(х) На х–аможе да се намери с помощта на схемата на Horner:
f(2)=9=r 1, и частното на делението f(х) На х– 2 да р 1 (х)=х 3 +4х 2 +х+5, т.е. f(х)=
=(х–2)р 1 (х)+r 1
След това, според схемата на Хорнер, ние разделяме р 1 (х) На х–2, получаваме частното р 2 (х) и остатъка r 2, по-нататък р 2 (х) разделете на х–2, получаваме р 3 (х) И r 3 и т.н.
За полином f(х) получаваме:
f(х)=(х–2)р 1 (х)+r 1 =(х–2)[(х–2)р 2 (х)+r 2 ]+r 1 =(х–2) 2 р 2 (х)+r 2 (х–2)+r 1 =
=(х––2) 2 [(х–2)р 3 (х)+r 3 ]+r 2 (х–2)+r 1 =(х–2) 3 р 3 (х)+r 3 (х–2) 2 +r 2 (х–2)+r 1 =
=(х–2) 3 [(х––2)р 4 (х)+r 4 ]+r 3 (х–2) 2 +r 2 (х–2)+r 1 =(х–2) 4 р 4 (х)+r 4 (х–2) 3 +r 3 (х–2) 2 +r 2 (х–2)+ +r 1 = r 5 (х–2) 4 +r 4 (х–2) 3 +r 3 (х–2) 2 +r 2 (х–2)+r 1.
По този начин, коефициентите в разширяването на полинома f(х) по степени х–2 са равни съответно на остатъците от деленето на полиноми f(х), р 1 (х), р 2 (х), р 3 (х), р 4 (х) На х–2.
Цялото решение може да се запише в таблица:
| –7 | –1 | ||||
От таблицата става ясно, че r 5 =1, r 4 =10, r 3 =29, r 2 =31, r 1 = 9 и
f(х)= (х–2) 4 +10(х–2) 3 +29(х–2) 2 +31(х–2)+9.
Задача 5. Докажете това.
Решение. Нека разгледаме полином. Номер х= –1 е коренът на полинома f(х) и по теоремата на Безу f(х) се дели напълно на х+1, т.е. f(х)=(х+1)ж(х), Където ж(х) е полином с цели коефициенти, следователно х 11 +1 е разделено на х+1 за всяко цяло число х. Да сложим х=3 5 . Получаваме, т.е. , и защото , заключаваме, че .
Коментирайте. От правилата за “деление на ъгъл” многочлен f(х) към полином ж(х) веднага става ясно, че ако полиномите f(х) И ж(х) с цели коефициенти, и ж(х) намалени, тогава частното и остатъкът са полиноми с цели коефициенти.
Задача 6. Остатъци от деление на многочлен f(х) в биноми х+5 и х-3 се равнява съответно на –9 и 7. Намерете остатъците при разделянето на този многочлен на многочлен ж(х)=(х+5)(х-3).
Решение. По теоремата на Безу f(–5)= –9, f(3)=7. При деление на многочлен f(х) към полином ж(х)=х 2 +2х–15 получаваме частно р(х) и остатъка стр(х)=брадва+b, т.е. f(х)=(х 2 +2х–15)р(х)+(брадва+b) .
Заместване в последното равенство вместо хстойности –5 и 3 получаваме система от две уравнения с две неизвестни аИ b:
След като го решим, намираме а=2, b=1. След това търсеният остатък от делението на многочлена f(х) към полином ж(х) ще бъде равно на 2 х+1.
Задача 7. Даден е полином f(х) с цели коефициенти и . Докажи това .
Решение. Помислете за разширяването на полинома f(х) по степени ( х–10):
поради факта, че се дели на 21, т.е. се дели на 7. По същия начин се дели на 3. Поради относителната простота на 3 и 7 числото f(10)=a nделимо на 21.
Задача 8. Разгънете полинома х 7 +3 в произведението на полиноми от не по-висока от втора степен с реални коефициенти.
Решение. Нека намерим корените на многочлена х 7 +3, те ще бъдат
даване кстойности 0, 1, …, 6, получаваме седем корена на полинома х 7 +3;
х 0 = ; х 1 = ; х 2 = ;
х 3 = = – ; х 4 = = ;
х 5 = = ;
х 6 = = .
Сред тях само един е валиден - това е х 3 = – , останалите са комплексни и спрегнати по двойки: х 6 = , х 5 = , х 4 = . IN общ случай
х k = , x k= .
Да погледнем работата
(х–x k)(х– )=(х 2 –(x k+ )х+x k)=х 2 – х+ , къде к=0, 1, 2.
Имаме квадратен трином с реални коефициенти. Полином х 7 +3 може да се разложи на произведение от 7 линейни фактора (следствие от основната теорема на алгебрата). Чрез умножаване на факторите, които съответстват на спрегнатите корени, получаваме желаното разширение:
х 7 +3=(х–х 0)(х–х 1)(х–х 2)(х–х 3)(х–х 4)(х–х 5)(х–х 6)=(х–х 3)(х–х 0)(х–х 6)(х–х 1)
(х–х 5)(х–х 2)(х–-х 4)=(х–х 3)(х–х 0)(х– )(х–х 1)(х– )(х–х 2)(х– )=(х+ )
(х 2 –(2· ) х+ )(х 2 –(2· ) х+ ) (х 2 ––(2· ) х+ ).
Задача 9. Представете полинома като сбор от квадратите на два полинома.
Решение. Всеки полином f(х) с реални коефициенти, положителни за всеки, се представя като сумата от квадратите на два полинома. За да направим това, нека намерим корените на полинома f(х): , разлагаме на линейни множители, след това умножаваме и , получаваме необходимото представяне:
Нека означим , , получаваме f(х)=стр 2 (х)+р 2 (х).
Задача 10. Определете кратността на корена на многочлена. Намерете полином от най-голяма степен с прости корени, всеки корен от който е корен на полином f(х).
1) Нека проверим дали полиномът е корен f(х).
2) Нека проверим дали първата производна на полинома е корен f(х)
. f¢(–1)=0, следователно – корен
полином f(х), кратност не по-малка от 2.
3), следователно коренът на кратността не е по-малък от 3.
4) , корен на полинома f(х) кратност 3, т.е. . Да се намери полином от най-голяма степен с прости корени, всеки корен от които е корен f(х), необходими в полинома f(х) се отървете от множество корени. За да направим това, разделяме полинома f(х) чрез най-големия общ делител на полиноми f(х) И f¢( х): . Следователно търсеният полином ще бъде , където , х=2 – прости корени на полинома.
Забележка: Множеството на корена може да се провери с помощта на схемата на Хорнер.
Задача 11. Отделни кратни на многочлен
Решение. По теоремата за множество множители: ако някакъв нередуцируем полином над полето P ж(х) е к-кратно на полинома f(х) с коефициенти от полето P, тогава ж(х) е ( к–1) – множител на производната f(х). Така при преместване от f(х) Да се f′( х) кратността на всички фактори се намалява с 1. Въпреки това, за полинома f′( х) може да има фактори, които не съществуват f(х). За да се отървем от тях, ще намерим gcd f(x) и f′( х). Той ще включва само тези фактори, които са включени в f(x), но с коефициент 1 по-малко.
Прилагайки алгоритъма на Евклид, получаваме
Тъй като има полином от трета степен, чието разлагане на фактори обикновено е трудно, но който от своя страна може да има множество фактори, ние ще приложим към него подобен процес на намаляване на множеството фактори. Ще го вземем. И така, множителят х–1 е включено в с кратност 1 и следователно е включено в с кратност 2. Разделете на ( х–1) 2 , да намерим . Следователно имаме: множител ( х–1) включени в f(х) с кратност 3 и х+3 с кратно на 2. Деление f(х) към полинома, получаваме
Задача 12. Докажете, че числото е ирационално.
Решение. Това число е корен на редуциран целочислен полином, който няма рационални корени, защото всички негови рационални корени са цели числа и трябва да бъдат делители на числото 5.
Задача 13. Намерете рационални корени на полинома
f(х)=6х 4 +19х 3 –7х 2 –26х+12.
Решение. Ако рационална несъкратима дроб, която е корен на полином f(х)=А 0 x n +a 1 xn– 1 +a 2 xn– 2 +...+a n– 1 x+a nс цели коефициенти, тогава:
1. кима делител А 0 ;
2. стрима делител a n ;
3. p–mkима делител f(м) за всяко цяло число м.
В нашия случай: кможе да приема стойности: ±1, ±2, ±3, ±6 и стр– ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Сега би било възможно да се провери всяко от тези числа на формуляра чрез заместване в полином или използване на схемата на Хорнер. Въпреки това, много от тези числа могат да бъдат "отсечени" по по-прост начин. Нека намерим границите на реалните корени на този полином VG x =1+, NG x = –(1+), където А– най-големият от абсолютни стойностикоефициенти и А 0 – коефициент при x nили VG x =1+, където к– индекс на първия отрицателен коефициент на полинома f(х), А б– най-голямата от абсолютните стойности на неговите отрицателни коефициенти (този метод е приложим, когато А 0 >0). В нашия пример к=2, б=26, А 0 =6. VG x =1+< 4.
За да намерите долната граница с помощта на този метод, достатъчно е да f(х) вместо хзаместител (– х) и използвайте следното правило: долната граница на реалните корени на полинома f(х) е равна на горната граница на реалните корени на полинома f(–х), взети с обратен знак. В нашия случай
f(–х)=6х 4 –19х 3 –7х 2 +26х+12 и 0 =6, к=1, б=19. VG x =1+<5, значит, нижняя граница – НГ х = –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень f(х), след това цяло число. Ще намерим f(1)=4,
f(–1)=13, след това – цяло число, – цяло число, ако – корен f(х).
Проверяваме всички видове дроби, като вземаме предвид границите на корените.
| ц | д | ц | ц | д | д | ц | д | ц | д | ц | д | ц | д | ц | ц | д | д | |
| ц | д | ц | д | д | д | ц | д | ц |
По време на тази проверка се появиха рационални числа 2, –3, , - „корени кандидати“, проверяваме ги по схемата на Хорнер, като се уверяваме, че f(2)≠0, , f(–3)=0, . За полином от четвърта степен намерихме два корена, което означава f(х) многократни ( х+3) или f(х)=(6х 2 +4х–8)(х+3) . Корени на полином ж(х)=6х 2 +4х–8 намираме директно х= са нерационални числа.
Задача 14. Докажете, че това уравнение няма ненулеви цели числа.
Решение. Лявата страна на равенството е хомогенен полином от четвърта степен. Нека разделим двете страни на равенството на х 4 . Получаваме
Да го поставим тогава. Дадено уравнение има ненулево цяло число решение тогава и само ако полиномът има рационални корени. Редуцираният полином е цяло число, всичките му рационални корени са: първо, цели числа; второ, делители на свободния член 9, т.е. трябва да принадлежи към множеството (±1, ±3, ±9). Чрез директна проверка можете да се уверите, че нито един елемент от това множество не е корен на полином, т.е. този полином няма рационални корени, което означава, че даденото уравнение има ненулеви цели числа.
Задача 15. За какво естествено нчислото ще бъде ли просто?
Решение. Нека покажем това. Наистина, ако Атогава е произволен корен на полинома Аще бъде коренът на полинома, т.е. А 3 =1 и А 2 +А+1=0.
Да разгледаме, т.е. А– корен на полином. защото Ае произволен корен на полином, тогава всеки корен на полином е корен на полином, следователно, където П(х) е полином с цели коефициенти.
Да предположим тогава, т.е. .
Нека разгледаме случаите и .
2. Кога е просто число.
Едно естествено число се представя като произведение на две естествени числа. От това можем да видим, че може да бъде просто, ако или , ние го изхвърляме.
Когато , и е представено като произведение на две естествени числа, по-големи от 1, което означава, че това число е съставно.
Задача 16. Решете уравнения в областта на комплексните числа:
1)х 3 +6х+2=0; 2) х 3 –9х 2 +18х–28=0; 3) х 4 -2х 3 +4х 2 -2x+ 3=0.
1. Решете уравнението х 3 +6х+2=0.
За корените на кубично уравнение х 3 +брадва+b=0 има така наречената формула на Кардано: x i =u i +v i (аз=0, 1, 2), където u 0 , u 1 , u 2 – радикална стойност
u= и v i= . в нашия случай, А=6, b=2,
u= = = = = (cos + азгрях), къде л=0, 1, 2. Заместване вместо това лстойности 0, 1, 2, получаваме: u 0 = , u 1 =
= (cos + аз sin )= (– + аз), u 2 = (cos + азгрях )= (– – аз ),
v 0 = = = = ,
v 1 = = = = ( +аз ),
v 2 = = = = ( –аз ),
х 0 = u 0 +v 0 = – , х 1 =u 1 +v 1 = , х 2 = u 2 +v 2 =
Отговор: - ; .
2. Решете уравнението х 3 –9х 2 +18х–28=0.
Нека намалим нашето уравнение до уравнение от вида г 3 +ай+b=0, правейки заместването х=г– =г+3, (а 0 , а 1 – коефициенти за х 3 и х 2). Получаваме:
г 3 –9г–28=0. Неговите решения се намират с помощта на формулата на Cardano: y i =u i+v аз, (аз=0, 1,…2),
Където u 0 =3, u 1 = , u 2 = , v 0 =1 , v 1 = , v 2= ,
г 0 =4, г 1 = , г 2 = , х 0 =7, х 1 = , х 2 = .
Отговор: 7; .
3. Решете уравнението х 4 -2х 3 +4х 2 -2x+ 3=0.
Нека използваме метода на Ферари. Нека оставим членовете с от лявата страна на уравнението х 4 и х 3 и го добавете към пълен квадрат:
Сега нека добавим термини с нови неизвестни и за двете страни гтака че лявата страна отново да стане квадрат (независимо от стойността г)
Ето коефициентите пред степените хот дясната страна зависят от несигурно количество г. Нека изберем стойността на y, така че дясната страна да стане квадрат. За да направите това, е необходимо дискриминантът на квадрата (спрямо х) на тричлена от дясната страна беше равно на нула. Приравнявайки този дискриминант на нула, получаваме:
оттук г=4 и .
Заместване г=4 в уравнение (*), получаваме: или . Вземайки квадратен корен от двете страни на полученото уравнение, получаваме две квадратни уравнения: и или и . След като ги решим, намираме 4-те корена на нашето уравнение: , .
Отговор: , .
Задача 17. Дадени полиноми
f(х)=х 3 –3х 2 +2х–5, ж(х)=х 3 +3х 2 –1.
1) Определете броя на реалните корени на всеки;
2) Използвайки теоремата на Sturm, намерете интервала ( а, б), Където b–a=1, съдържащ най-големия корен х 0 полином ж(х);
3) Изчислете корена с точност до 0,0001 х 0 използване на метода на линейната интерполация и метода на Нютон;
1. Ако коеф аИ bуравнения х 3 +брадва+b=0 са реални, тогава броят на реалните корени на това уравнение се определя изцяло от знака на числото д = – 4а 3 – 27b 2, наречен дискриминант на полинома х 3 +брадва+b, по следния начин:
а) при D=0 и трите корена са реални, като два от тях са равни;
б) за D>0 – и трите корена са валидни;
в) при D<0 – один корень действительный, два мнимых.
В нашия случай: f(х)=х 3 –3х 2 +2х–5 или поставяне х=г+1, г 3 –г–5=0, т.е. д=4–27·25<0, поэтому многочлен f(х) има един истински корен.
2. За полином ж(х) определяме броя на реалните корени, като установяваме броя на промените на знака в системата на Sturm на полинома ж(х) при движение от –∞ към +∞. Ще намерим и целите граници, между които се намира всеки от тези корени, и няма да изграждаме графика на тази функция предварително.
Всеки полином ж(х) с реални коефициенти и без множествени корени, има системата на Sturm. Ако полиномът има множество корени, тогава трябва да се отървете от тях, като разделите полинома ж(х) върху gcd на полиномите ж(х) И ж"(х). Полиномна система на Щурм ж(х) могат да бъдат конструирани по следния начин: put ж 1 (х)=ж"(х), след това разделете ж(х) На ж 1 (х) и остатъкът от това деление, взет с обратен знак, се приема като ж 2 (х), т.е. ж(х)=ж 1 (х)ч 1 (х)–ж 2 (х). Като цяло, ако полиноми ж k–1 ( х) И жДа се ( х) вече са намерени, значи ж k+1 ( х) ще бъде остатъкът от делението ж k–1 ( х) На жДа се ( х), взети с обратен знак:
ж k–1 ( х)=жДа се ( х)рДа се ( х)– ж k+1 ( х).
Нека намерим системата Sturm за ж(х), използвайки посочения метод. Освен това в процеса на деление ние, за разлика от Евклидовия алгоритъм, ще умножаваме и намаляваме само с произволни положителни числа, т.к. знаците на остатъците играят важна роля в метода на Sturm. Ние ще получим такава система
ж(х)=х 3 +3х 2 –1,
ж 1 (х)=3х 2 +6х,
ж 2 (х)=2х+1,
ж 3 (х)=1.
Нека определим знаците на полиномите на тази система при х=–∞ и х= +∞, за което разглеждаме само знаците на водещите коефициенти и степените на тези полиноми. При +∞ знаците на всички полиноми на системата на Sturm ще съвпадат със знаците на техните най-високи членове, а при –∞ знаците на полиномите на системата на Sturm съвпадат със знаците на техните най-високи коефициенти за полиноми с четна степен и са противоположни на знаците на най-високите полиноми от нечетна степен.
Така при прехода хот –∞ до +∞ системата на Sturm губи три промени на знака, така че полиномът ж(х) има точно три реални корена (теорема на Щурм).
Нека продължим изучаването на знаците в системата на Sturm, като вземем предвид интервалите (0,1), (1,2), (2,3) и т.н., (0,–1), (–1,–2) , (–2 ,–3) и т.н. Така дефинираме интервалите ( А, b), Където а–б=1, съдържащ три реални корена и намерете интервала за х 0 .
Така системата на Щурм на полинома ж(х) губи една смяна на знаците по време на прехода х-3 до -2, -1 до 0 и 0 до 1. Корени х 1 , х 2 , хСледователно 3 от този полином удовлетворяват неравенствата:
–3<х 1 <–2, –1<х 2 <0, 0<х 3 <1, т.е. наибольший корень х 0 (0,1).
3. Нека построим схематична графика на полинома в интервала (0, 1) ж(х), изчисляване на следните стойности на полиномите:
ж(0)=–1, ж(1)=3, ж"(0)=0, ж"(1)=9 (функцията нараства на разглеждания интервал), ж""(0)>0ж""(1)>0 (функцията е изпъкнала).
Схематична графика на функцията е представена на фиг. 1.
Първо, използвайки метода на акордите върху сегмента (0,1), кривата г=ж(х) се заменя с хорда AB и абсцисата се приема като първа приблизителна стойност на корена х=от точката на пресичане на тази хорда с оста х. Триъгълник KBC е подобен на триъгълник CAE, следователно , или , или . Общо взето .
След това, използвайки метода на Нютон, начертаваме допирателна гда планирам ж(х) в точка A(1, ж(1)) (начертаваме допирателна в точката х=1, защото ж(1) и ж""(1) със същия знак) и вземете абсцисата като друга приблизителна стойност на корена х=Рпресечната точка на тази допирателна с оста Ox.
Нека запишем уравнението на допирателната, минаваща през точка А
г–ж(1)=ж"(1)(х–1).
Тъй като тази допирателна минава през точката ( стр, 0), след което заместваме тези стойности в допирателното уравнение, получаваме
0–ж(1)=ж"(1)(стр–1) или стр=1– =1– .
Общо взето стр=б– .
По-точна стойност на желания корен х 0 вече може да се търси в новия
интервал ( А 1 , b 1), поставяне А 1 =0,3, b 1 =0,7. Чрез повтаряне на метода на акордите и метода на Нютон в интервала ( А 1 , b 1) имаме: ж(А 1)=–0,703; ж(b 1)=0,813; g"(b 1)=5,67.
защото ж(А 1) и ж(b 1) различни знаци, тогава х 0 (А 1 ,b 1)
стр 1 =0,7– .
Нека разгледаме нов интервал ( А 2 , b 2), поставяне А 2 =0,5, b 2 =0,55, ж(А 2)=–0,125, ж(b 2)=0,073875, g"(b 2)=4,2075, защото ж(А 2) и ж(b 2) – различни знаци, тогава х 0 (А 2 ,b 2),
, стр 2 =0,55– .
И накрая, като се има предвид интервалът ( А 3 , b 3), където А 3 =0,531, b 3 =0,532, нека го намерим по-точно х 0 .
Задача 18. Следната рационална дроб, където
f(х)= 2х 4 –10х 3 +7х 2 +4х+3, ж(х)=x 5 –2х 3 +2х 2 –3х+2,
разгънете до сумата от прости дроби в областта на рационалните числа.
Решение. Всяка правилна рационална дроб има уникално разлагане на сбора от прости дроби. В нашия случай степента f(х) по-малко от степен ж(х), така че дробта е правилна.
Ключови думи: уравнения, Полином, Корени на уравнението
Презентация към урока
Назад напред
внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Тип урок: Урок за овладяване и затвърдяване на началните знания.
Целта на урока:
- Запознайте учениците с понятието корени на многочлен и ги научете как да ги намират. Подобрете уменията за използване на схемата на Horner за разширяване на полином по степени и деление на полином на бином.
- Научете се да намирате корените на уравнение с помощта на диаграмата на Хорнер.
- Развийте абстрактното мислене.
- Насърчавайте компютърна култура.
- Развитие на междупредметни връзки.
По време на часовете
1. Организационен момент.
Информирайте темата на урока, формулирайте цели.
2. Проверка на домашните.
3. Изучаване на нов материал.
Нека Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - полином за x от степен n, където a 0 , a 1 ,...,a n са дадени числа и a 0 не е равно на 0. Ако полиномът F n (x) се раздели с остатъка на бинома x-a , тогава частното (непълно частно) е полином Q n-1 (x) от степен n-1, остатъкът R е число и равенството е вярно F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.Полиномът F n (x) се дели на бинома (x-a) само в случай на R=0.
Теорема на Безу: Остатъкът R от деленето на полинома F n (x) на бинома (x-a) е равен на стойността на полинома F n (x) при x=a, т.е. R=Pn(a).
Малко история. Теоремата на Безу, въпреки привидната си простота и очевидност, е една от основните теореми на теорията на полиномите. Тази теорема свързва алгебричните свойства на полиномите (които позволяват полиномите да се третират като цели числа) с техните функционални свойства (които позволяват полиномите да се третират като функции). Един от начините за решаване на уравнения с по-висока степен е разлагането на полинома от лявата страна на уравнението. Изчисляването на коефициентите на полинома и остатъка се записва под формата на таблица, наречена схема на Хорнер.
Схемата на Хорнер е алгоритъм за деление на полиноми, написан за специалния случай, когато частното е равно на бином x–a.
Хорнър Уилям Джордж (1786 - 1837), английски математик. Основните изследвания се отнасят до теорията на алгебричните уравнения. Разработил метод за приближено решаване на уравнения от произволна степен. През 1819 г. той въвежда важен метод за алгебрата за разделяне на полином на бином x - a (схема на Хорнер).
Извеждане на общата формула за схемата на Хорнер.
Разделянето на полином f(x) с остатък на бином (x-c) означава намиране на полином q(x) и число r, така че f(x)=(x-c)q(x)+r
Нека напишем това равенство подробно:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Нека приравним коефициентите при същите градуси:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрация на схема на Хорнер с помощта на пример.
Упражнение 1.Използвайки схемата на Хорнер, разделяме полинома f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 с остатък на бинома x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, където g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остатък.
Развиване на полином по степени на бином.
Използвайки схемата на Хорнер, разширяваме полинома f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степени на бинома (x+2).
В резултат на това трябва да получим разширението f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Схемата на Хорнер често се използва при решаване на уравнения от трета, четвърта и по-високи степени, когато е удобно полиномът да се разшири в бином x-a. Номер аНаречен корен на полинома F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ако при х=астойността на полинома F n (x) е равна на нула: F n (a)=0, т.е. ако многочленът се дели на бинома x-a.
Например числото 2 е коренът на полинома F 3 (x)=3x 3 -2x-20, тъй като F 3 (2)=0. това означава. Че факторизацията на този полином съдържа фактор x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Всеки полином F n(x) от степен н 1 не може да има повече нистински корени.
Всеки корен от цяло число на уравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член.
Ако водещият коефициент на уравнение е 1, тогава всички рационални корени на уравнението, ако съществуват, са цели числа.
Затвърдяване на изучения материал.
За консолидиране на новия материал учениците са поканени да попълнят числа от учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решават на дъската, а останалите, след като са решили, проверяват задачите в тетрадката с отговорите на дъската).
Обобщаване.
След като разбере структурата и принципа на работа на схемата на Хорнер, тя може да се използва и в уроците по информатика, когато се разглежда въпросът за преобразуването на цели числа от десетичната бройна система в двоичната система и обратно. Основата за прехвърляне от една бройна система в друга е следната обща теорема
Теорема.За преобразуване на цяло число Апот стр-арна бройна система към основна бройна система днеобходимо Аппоследователно деление с остатък на число д, написано в същ стр-арна система, докато полученото частно стане равно на нула. Остатъците от делението ще бъдат д- цифрови цифри реклама, започвайки от най-младата категория до най-старшата. Всички действия трябва да се извършват в стр-арна бройна система. За човек това правило е удобно само когато стр= 10, т.е. при превод отдесетична система. Що се отнася до компютъра, напротив, за него е „по-удобно“ да извършва изчисления двоична система. Следователно, за да се преобразува „2 в 10“, се използва последователно деление на десет в двоичната система, а „10 в 2“ е добавянето на степени на десет. За оптимизиране на изчисленията на процедурата “10 в 2”, компютърът използва икономичната изчислителна схема на Horner.
Домашна работа. Предлага се изпълнението на две задачи.
1-во Използвайки схемата на Horner, разделете полинома f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на бинома (x-3).
2-ро. Намерете целочислените корени на полинома f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (като се има предвид, че всеки цял корен на уравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член).
Литература.
- Курош А.Г. „Курс по висша алгебра“.
- Николски С.М., Потапов М.К. и др.10 клас “Алгебра и началото на математическия анализ”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Разлагане на полином от пета степен на квадратни множители с помощта на интерполационния полином на Лагранж 1. Дефиниция на интерполационния полином на Лагранж от пета степен. За разлагане на редуцирания полином от пета степен е необходимо да се изпълни равенството: f(x)=φ(x)·g(x). В този случай степента на полиномите φ(x) и g(x) не трябва да бъде по-висока от пет. За да се определи целочислен полином на не по-висока от пета степен с дадена таблица със стойности, има формула за интерполационния полином на Лагранж (IPL): 6 Ak k=1 F"(xk)(x−xk) , където F (x)=(x-x1)·( x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Fʹ(xk) стойности на производната на функцията F(x) в точките xk, където е необходимо да посочим координатите на шест точки. За да определим факторите φ(x) и g(x), ще изберем шест цели числа x2; (x)= φ(x)·g(x) Получаваме: f(x1)·g(x1) ; ·g(x2); = φ(x3)·g(x3); x6). Тези равенства показват, че всяка стойност φ(xk) на търсения фактор φ(x) е делител на числото f(xk), ще използваме IML и заместваме произволни като f(xk) и избираме стойностите на xk под формата на последователни цели числа, т.е. x1= -1; IML форма φ(x)
F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(−2)(x+2) + + F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(където F(x)=(x+3)·(x+2) ·(x+1)·(x-2) Определение: числата A1;A4, взети от формулата на Лагранж 2. Разлагане на полином на линейни множители с помощта на IML.. Полиномът φ(x) е линеен, ако числата A2 образуват най-малкото общ знаменател, т.е., запишете получения числител като полином от пета степен, чиито коефициенти съдържат числата A4 от първа степен, се приравнява на 120. В резултат на това получаваме следната система от пет уравнения; с шест променливи: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3 +30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1-35 A2+70 A3-50 A4+ 5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 А4+80·А4-5·А6=0 -4·А1+30·А2-120·А3+40·А4+60·А5-6·А6 =120. Ако фиксираме числото A6, то всички останали ще бъдат изразени със следните формули: A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6-3; A4=A6-2; A5=A6-1.
Получихме нарастваща последователност от цели числа. От теоремата следва, че линейният фактор има следния вид: φ(x)=x+A4 (3). Определение: поредица от числа, дадена от тези отношения A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6-3; A4=A6-2; A5=A6-1; A6 се нарича линеен лагранжев ред. Определение: линеен ред на Лагранж се нарича "кандидат", ако всички негови числа Аk са делители на съответните стойности на функцията f(xk), където k=1;2;3;4;5;6. За всички кандидати конструираме линеен фактор φ(x) с помощта на формула (3) и го проверяваме за делимост с f(x). От теоремата следва, че линейният фактор има следния вид φ(x)=x+A4, където A4 е делител на свободния член, т.е. Подобно на редуцирания полином по схемата на Хорнер. Пример: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Използвайки схемата на Хорнер, намираме стойността на полинома при x = -3; -2; -1; 0;1;2. За да направим това, нека компилираме таблица 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Ще пренапишем последната колона на таблица 1 с първия ред на таблица 2. Изберете в този ред число, което има най-малкото числоразделители. В нашия пример това число е -8. Нека запишем всичките му делители в колона. За всеки делител на числото -8 записваме линеен лагранжев ред в един ред. От получената серия на Лагранж ще изберем „кандидати“. Нека конструираме полином φ(x) във f(0), използвайки „кандидати“. линеен множител -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 се определя от 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71
36 A3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 A4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 A5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 A6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 формула (3) и ги проверете за делимост с дадения полином f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Таблица 2: -250 -1100 A2 A1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 “candide -10 at” В горната таблица 2 правоъгълниците са защриховани в сиво, които съдържат числа, които не са делители на съответните стойности на функцията f(x). Тази таблица съдържа ред или лагранжева серия от всички числа, които са делители на съответните стойности на функцията f(x). Този сериал е единственият кандидат. В тази серия A4 = -8, като заместим φ(x)=x- A4 във формулата, намираме φ(x)=x- 8. Маркираме действителния кандидат в черно. 3. Разгъване на полиномни фактори с помощта на IML. Проверка: x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). на квадратни Теорема 2. Факторът φ(x) е квадратен, ако числата A1; A2; A3; A4; A5; A6 са свързани помежду си чрез следните отношения: A1=5·(A5+4)-4·A6 A2=4·(A5+3)-3·A6 A3=3·(A5+2)-2·A6 A4=2 · (A5+1)-1 A6
Доказателство: Доказателство: нека намалим полинома (1) до най-малкия общ знаменател, т.е. до 120· F(x), записваме получения числител под формата на полином от пета степен, чиито коефициенти съдържат числа A1; A2; A3; A4; A5; A6. За да бъде полиномът (1) квадратен, е необходимо коефициентите на „x“ от пета, четвърта и трета степен да се приравнят на нула, а коефициентът на „x“ от втора степен на 120. Като a резултат, получаваме следната система от четири уравнения с шест променливи: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3+30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1 -35 A2 +70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 A4+80 A5-5 A6=120. Ако фиксираме две числа A5 и A6, то всички останали ще бъдат изразени със следните формули: A1=5·(A5+4)-4·A6; A2=4·(A5+3)-3·A6; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6. От теоремата следва, че квадратичният фактор ще бъде изразен с формулата φ(x)=x2+(A6-A5-3) x+ A4. (4) Определение: Поредица от цели числа, дадена от следните отношения; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6 се нарича квадратичен лагранжев ред Определение: квадратичен лагранжев ред се нарича „кандидат“, ако всички негови числа Ak са делители на съответните стойности на функцията f(xk ), k=1;2;3;4;5;6. За всички кандидати конструираме квадратичния фактор φ(x) с помощта на формула (4) и го проверяваме за делимост с f(x). A1=5·(A5+4)-4·A6; A2=4·(A5+3)-3·A6
A3 A4+ d+4 A4 A5+ d+2 A5 A5 4. Опростена форма на квадратичен лагранжев ред. Формулите за квадратичния ред на Лагранж могат да бъдат опростени. За да направите това, буквата "d" ще обозначи разликата A5-A6, тогава числата на квадратичната серия на Лагранж ще изглеждат като по-прости формули и удобни за тяхното конструиране: A1 A2 A2+ d+8 A3+ d+6 Пример: A5= 7; A6=10 съставете квадратичен лагранжев ред. Нека намерим d=7-10=-3, след което с помощта на формулите в таблицата ще намерим числата от тази редица: A1 A2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Отговор: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Разгледайте пример за разлагане на редуцирания полином от пета степен: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. A5 A2 A3+ d+6 A5 7+(-3)+6 6+( -3) +4 7+(-3)+2 7 7 10 A4 A5+ d+2 A3 A4+ d+4 7 6 A6 A6 A6 A6 10 10 1) Използвайки схемата на Хорнер, намираме стойностите на функцията при х=-3; -2;-1; 0;1;2. За да направите това, нека направим таблица: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 - 8 -3 - 2 -1 0 1 2 2) Определете дали този полином има линейни множители. За да направите това, ние записваме получените стойности на функцията в ред на таблицата № 3. От тях избираме числото, което има най-малък брой делители. В нашия пример това е числото „2“. Нека запишем всичките му цели делители в колона. За всеки делител на числото "2" в -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11
права записваме линейни лагранжеви редове. Ще изберем кандидати от тях и ще проверим за делимост с дадения полином f(x). Таблица № 3: -1298 A1 -378 A2 -88 A3 -20 A4 -3 0 -4 -5 -6 A5 0 -2 1 -3 2 A6 1 -1 2 -2 В тази таблица № 3 клетките са маркирани в сиво, които съдържат числа, които не са делители на съответните стойности на функцията f(x). Няма нужда да попълвате празни клетки, тъй като конструираният квадратичен лагранжев ред с число в сива клетка със сигурност не е „кандидат“. От тази таблица № 3 става ясно, че „кандидати” няма. Това означава, че този полином f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 не може да бъде разширен в линейни множители. 3) Определете дали този полином има квадратни множители. За да направите това, записваме получените стойности на функцията в ред на таблицата № 4. От тях избираме две числа, които имат най-малък брой делители. В нашия пример това са числата “2” и “-6”; За всяка двойка делители на числата “2” и “-6” записваме в един ред квадратичен лагранжиан. Ще изберем кандидати от тях и ще ги проверим за делимост с дадения полином f(x). Таблица № 4: -1298 A1 A2+ d+8 -378 A2 A3+ d+6 5 -88 A3 A4+ d+4 1 10 -5 -20 A4 A5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 A5 A5 1 -1 2 -2 3 -3 2 A6 A6 1 1 1 1 1 1 d d= A5- A6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4
19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d= 2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 „канд. "канд." В тази таблица № 4 виждаме двама „кандидати”. С тяхна помощ по формулата φ(x)=x2+(A6- A5-3) x+ A4 намираме квадратните множители: φ1(x)=x2-3x+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Проверката показва, че единият от двата фактора е верен, това е φ1(x)=x2-3x+ 4, а другият фактор се оказва страничен. Отговор: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3x+ 4)·(x3-2x2+3x-5). В тази таблица № 4 получихме 32 квадратични серии на Лагранж. Това число се определя от броя на различните двойки делители, както положителни, така и отрицателни, които са разположени в две съседни колони. две функционални стойности,
5. Намаляване на броя на квадратичните редове на Лагранж. По дефиниция, ако стойностите на функцията, броят на делителите, които са минимални, не са разположени наблизо, тогава можете да използвате следната теорема: Теорема 3 Нека A4 и A6 са известни, тогава A5=(A4+ A6 · 1):2-1 Нека A3 и A6 са известни, тогава A5= (A3+ A6 ·2):3-2 Нека A2 и A6 са известни, тогава A5=(A2+ A6 ·3):4-3 Нека A1 и A6 е известен, тогава A5=(A1+ A6 ·4):5-4. Доказателство: нека докажем последното равенство A5=(A1+A6·4):5-4. квадратични числа на Лагранж, A1=5·(A5+4)-4·A6, заместваме това число в първоначалното равенство и получаваме A5=(5·(A5+4)-4·A6+A6·4):5- 4=(5 ·A5+20):5-4=A5+4-4=A5, което трябваше да се докаже. Други равенства могат да бъдат доказани по подобен начин. Тази теорема ни позволява да намалим броя на квадратичните серии на Лагранж. Нека разгледаме примера, който вече решихме f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20, и да го решим за случая, когато разглеждаме квадратични лагранжови редове, конструирани с помощта на делители A4 и A6. Таблица № 5: -1298 -378 A2 A1 A2+ A3+ d+6 d+8 d d = A5- A6 -88 A3 A4+ d+4 -20 A4 A5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 A5 ( A4+ A6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 A 6 A 6 1 1 d =-2 1 d =1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14
19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 „канд.“ "канд." d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 В тази таблица № 5 получихме 24 квадратични серии на Лагранж. Тъй като във формулата сумата от A4 и A6 трябва да бъде разделена на 2, следователно делителите A4 и A6 трябва да бъдат или четни, или и нечетни. Поради това броят на квадратичните редове на Лагранж е намалял. Ако използваме тази теорема 3, за да напишем квадратични редове на Лагранж, конструирани с помощта на A1 и A6, тогава броят на редовете ще бъде намален до 12. Таблица № 6: -378 -1298 A1 A2 2 A6 d -88 A3 -20 A4 -6 A5
"канд." A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 „канд.” "канд." A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 - 2 -22 118 В таблица № 6 броят на квадратичните редове на Лагранж е намален до 12, тъй като A5 се намира по формулата (4A1 + A6): 5-4 и A5 като цяло число трябва да бъде по-малко или равно до -6. Във всички таблици черният маркиран ред е „валидният кандидат“. Останалите кандидати са „въображаеми“. За полином от шеста степен може да се докаже, че квадратният множител може да се намери по формулата: φ(x)=x2+ (A7 - A6 - 5) x+ A4, където числата са A1; A2; A3; A4; A5; A6; A7 образуват квадратичен лагранжев ред. 6. Изводи: 1. Този метод на разлагане с помощта на IML -2 14 -4 8 -4 4 -8 е обобщение на “схемата на Хорнер”. 2. Използвайки този метод, можете да определите квадратични множители за полиноми над пета степен. 3. Използвайки този метод, можете да изучавате свойствата на числата на Лагранж за определяне на кубични полиноми при разширяването на полиноми от пета и по-високи степени. 7. Литература: 1. А. Н. Чеботарев “Основи на теорията на Галоа”, OMTI GTTI, 1934 г., 1 час.
2. „Числа и полиноми“, съставен от A.A. Егоров - М.: Квантово бюро, 2000 г. / допълнение към списание "Квант" № 6, 2000 г.
Подобни статии
