Полисемия

Полисемията или полисемията на думите възниква поради факта, че езикът представлява система, която е ограничена в сравнение с безкрайното разнообразие на реалната реалност, така че по думите на академик Виноградов, „Езикът е принуден да разпределя безброй значения под едно или друга рубрика с основни понятия.“ (Виноградов „Руски език” 1947). Необходимо е да се прави разлика между различните употреби на думи в един лексико-семантичен вариант и действителната разлика на думата. Така, например, думата (das)Ol може да означава редица различни масла, с изключение на краве (за което има дума Масло). От това обаче не следва, че, обозначавайки различни масла, думата Ol ще има всеки път различно значение: във всички случаи нейното значение ще бъде едно и също, а именно масло (всичко освен краве). Точно както например значението на думата Tisch таблица, независимо какъв тип маса обозначава думата в конкретния случай. Ситуацията е различна, когато думата Ol означава масло. Тук вече на преден план излиза не сходството на маслото по масленост с различните видове масло, а особеното качество на маслото - запалимостта. И в същото време думи, обозначаващи различни видовегорива: Kohl, Holz и др. Това ни дава възможност да разграничим две значения от думата Ol (или, с други думи, две лексико-семантични опции): 1) масло (не животно) 2) масло.
Обикновено новите значения възникват чрез прехвърляне на една от съществуващите думи към нов обект или явление. Така се формират преносните значения. Те се основават или на сходството на обектите, или на връзката на един обект с друг. Известни са няколко вида пренос на име. Най-важните от тях са метафората или метонимията.
В метафората преносът се основава на сходството на нещата по цвят, форма, характер на движение и т.н. С всички метафорични промени, някои признаци на оригиналната концепция остават

Омонимия

Полисемията на една дума е толкова голям и многостранен проблем, че голямо разнообразие от проблеми в лексикологията по някакъв начин са свързани с него. По-специално, проблемът за омонимията влиза в контакт с този проблем в някои аспекти.
Омонимите са думи, които звучат еднакво, но имат различно значение. В някои случаи омонимите възникват от многозначност, която е претърпяла процес на унищожаване. Но омонимите могат да възникнат и в резултат на случайни звукови съвпадения. Ключът, който отваря вратата, а ключът е пружина или коса - прическа и коса - земеделски инструмент - тези думи имат различен смисъли различен произход, но случайно съвпадат по звучене.
Омонимите се разграничават по лексикални (отнасят се за една част от речта, например ключ - за отваряне на ключалка и ключ - пружина. източник) морфологични (отнасят се до различни частиреч, напр. три е числително, три е глагол в повелително наклонение), лексико-граматически, които се създават в резултат на преобразуване, когато дадена дума преминава в друга част на речта. например на английски гледай-гледай и гледай-гледай. Особено много са лексико-граматическите омоними в английски език.
Омофоните и омографите трябва да се разграничават от омонимите. Омофоните са различни думи, които, макар и различни по правопис, са еднакви по произношение, например: лук - ливада, Seite - страница и Saite - низ.
Омографите са толкова различни думи, които имат еднакъв правопис, въпреки че се произнасят по различен начин (както по отношение на звуковия състав, така и по отношение на мястото на ударението в думата), например Castle - замък.

Синонимия

Синонимите са думи, които са близки по значение, но звучат различно, изразявайки нюанси на едно понятие.
Има три вида синоними:
1. Концептуални или идеографски. Те се различават един от друг по лексикално значение. Тази разлика се проявява в различната степен на обозначения атрибут (мраз - студен, силен, мощен, могъщ), в характера на неговото обозначение (подплатено яке - ватирано яке - подплатено яке), в обема на изразената концепция (банер - флаг, дързък - смел), в степента на съгласуваност на лексикалните значения (кафяв - лешников, черен - гарван).
2. Синонимите са стилистични или функционални. Те се различават един от друг в сферата на употреба, например очи - очи, лице - лице, чело - чело. Синоними емоционално - оценъчни. Тези синоними открито изразяват отношението на говорещия към обозначеното лице, предмет или явление. Например, едно дете може да се нарече тържествено дете, нежно малко момче и малко момче, презрително момче и сукалче, а също и засилено и презрително кученце, сукалче, нахалник.
3. Антоними – противоположни по характер съчетания от думи лексикално значение, например: горе - долу, бяло - черно, говорене - тихо, силно - тихо.

Антонимия

Има три вида антоними:
1. Антоними на постепенна и координирана опозиция, например бяло - черно, тихо - силно, близко - далечно, добро - зло и т.н. Тези антоними имат нещо общо в значението си, което им позволява да бъдат противопоставени. Така че понятията черно и бяло обозначават противоположни цветови понятия.
2. Антоними на допълнителни и преобразуващи противоположности: война - мир, съпруг - съпруга, женен - ​​неженен, възможно - невъзможно, затворен - отворен.
3. Антоними на дихотомичното деление на понятията. Често са еднокоренни думи: народни - антинационални, легални - незаконни, хуманни - нехуманни.
Интерес представлява т.нар вътрешнословна антонимия, когато се противопоставят значенията на думи, които имат еднаква материална обвивка. Например, на руски глаголът да дам пари на заем означава „давам назаем“, а да вземеш пари назаем от някого вече означава да вземеш пари назаем от някого. Вътрешнословното противопоставяне на значения се нарича енантиосемия.

6. Аксиоматично изграждане на системата естествени числа. Аксиоматичен метод за изграждане на математическа теория. Изисквания към аксиомната система: последователност, независимост, пълнота. Аксиоматика на Пеано. Понятието естествено число от аксиоматична позиция. Модели на аксиомната система на Пеано. Събиране и умножение на естествени числа от аксиоматични позиции. Подреденост на множеството от естествени числа. Свойства на множеството от естествени числа. Изваждане и деление на набор от естествени числа от аксиоматични позиции. Метод математическа индукция. Въвеждане на нулата и изграждане на набор от цели неотрицателни числа. Теорема за деление с остатък.

Основни понятия и определения

номер -то е израз на определено количество.

Естествено числоелемент от неопределено продължаваща последователност.

Естествени числа (естествени числа) -числа, които възникват естествено при броене (както в смисъла на изброяването, така и в смисъла на смятането).

Има два подхода за дефиниране на естествени числа - числа, използвани в:

изброяване (номериране) на елементи (първи, втори, трети, ...);

обозначаване на броя на артикулите (без артикули, един артикул, два артикула, ...).

Аксиома –това са основните отправни точки (самоочевидни принципи) на определена теория, от които чрез дедукция, тоест с чисто логически средства, се извлича останалата част от съдържанието на тази теория.

Число, което има само два делителя (самото число и единица), се нарича - просто число.

Съставно числое число, което има повече от два делителя.

§2. Аксиоматика на естествените числа

Естествените числа се получават чрез преброяване на предмети и измерване на количества. Но ако по време на измерване се появят числа, различни от естествени числа, тогава броенето води само до естествени числа. За да броите, имате нужда от поредица от цифри, която започва с единица и която ви позволява да преминавате от една цифра към друга толкова пъти, колкото е необходимо. С други думи, имаме нужда от сегмент от естествения ред. Следователно при решаването на проблема за обосноваване на системата от естествени числа, на първо място беше необходимо да се отговори на въпроса какво е числото като елемент от естествената серия. Отговорът на това е даден в трудовете на двама математици - немският Grassmann и италианският Peano.Те предложиха аксиоматика, в която естественото число беше оправдано като елемент от неопределено продължаваща редица.

Аксиоматичното изграждане на система от естествени числа се извършва съгласно формулираните правила.

Петте аксиоми могат да се разглеждат като аксиоматична дефиниция на основни понятия:

1 е естествено число;

Следващото естествено число е естествено число;

1 не следва нито едно естествено число;

Ако естествено число Аследва естествено число bи извън естественото число с, Че bИ сса идентични;

Ако някое предложение е доказано за 1 и ако от предположението, че е вярно за естествено число н, следва, че е вярно за следното нестествено число, то това изречение е вярно за всички естествени числа.

Мерна единица– това е първото число от естествения ред , както и една от цифрите в десетичната бройна система.

Смята се, че обозначението на единица от всяка категория със същия знак (доста близо до съвременния) се появява за първи път в Древен Вавилон приблизително 2 хиляди години пр.н.е. д.

Древните гърци, които са смятали за числа само естествените числа, са разглеждали всяко от тях като сбор от единици. На самата единица е отделено специално място: тя не се е считала за число.

И. Нютон пише: „... под число разбираме не толкова колекция от единици, колкото абстрактно отношение на едно количество към друго количество, условно прието от нас като единица.“ Така едно вече е заело достойното си място сред другите числа.

Аритметичните операции с числа имат различни свойства. Те могат да бъдат описани с думи, например: „Сумата не се променя при промяна на местата на членовете.“ Можете да го напишете с букви: a+b = b+a. Може да се изрази със специални термини.

Ние прилагаме основните закони на аритметиката често по навик, без да го осъзнаваме:

1) комутативен закон (комутативност), - свойството на събиране и умножение на числа, изразено чрез идентичности:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) комбиниран закон (асоциативност), - свойството за добавяне и умножение на числа, изразено чрез идентичности:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) закон за разпределение (дистрибутивност), - свойство, което свързва добавянето и умножението на числата и се изразява чрез идентичности:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

След доказване на комутативните, комбинативните и разпределителните (по отношение на добавянето) закони на умножение, по-нататъшно изграждане на теорията аритметични операциивърху естествените числа не създава фундаментални затруднения.

Понастоящем в главите си или на лист хартия правим само най-простите изчисления, като все повече поверяваме по-сложната изчислителна работа на калкулатори и компютри. Работата на всички компютри – прости и сложни – обаче се основава на най-простата операция – събиране на естествени числа. Оказва се, че най-сложните изчисления могат да бъдат сведени до събиране, но тази операция трябва да се извърши много милиони пъти.

Аксиоматични методи в математиката

Една от основните причини за развитието на математическата логика е широкото разпространение аксиоматичен методв изграждането на различни математически теории, на първо място, геометрия, а след това аритметика, теория на групите и др. Аксиоматичен методможе да се определи като теория, която е изградена върху предварително избрана система от недефинирани понятия и връзки между тях.

При аксиоматичното изграждане на математическа теория предварително се избира определена система от недефинирани понятия и връзки между тях. Тези понятия и отношения се наричат ​​основни. След това въведете аксиомитези. основните положения на разглежданата теория, приети без доказателство. Цялото по-нататъшно съдържание на теорията логически се извежда от аксиомите. За първи път аксиоматичното изграждане на математическа теория е предприето от Евклид при изграждането на геометрията.

ОЗО МАТЕМАТИКА 1 година 2 семестър

Пример 1:Нека оправдаем избора на действие при решаването на проблема: „Купихме 4 пакета цветна хартия и още 3 пакета бяла хартия. Колко опаковки бяла хартия купихте?

Решение.В проблема ние говорим заоколо два комплекта. Нека A е набор от пакети цветна хартия, B е набор от пакети бяла хартия. По условие броят на пакетите цветна хартия е известен, т.е. n(A)=4 и трябва да се намери размерът на набор B. Освен това, според условията на задачата, в множество B можем да изберем подмножество C, чийто брой е 3, т.е. n(C)=3. Нека направим това, например, както е показано на фиг. 1.

Снимка 1

Тогава разликата B \ C = B 1 ще бъде равна на множеството A, т.е. n(B 1) = n(A).

Така множество B е обединение на множества B 1 и C, където B 1 C=Æ.

Задачата се свежда до определяне размера на обединението на две несвързани множества и се решава чрез събиране: n(B) = n(B 1 C) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.

Пример 2:Използвайки понятието число като мярка за величина, ще обосновем избора на действие при решаването на проблема: „За полата е използван 3 м плат, а за блузата – 2 м. Колко метра плат са отишли ​​за целия костюм?

Решение:В задачата се разглежда една величина – дължина, която се измерва с единица 1 метър, т.к дължината е непрекъсната, тогава ще обясним избора на действие при решаване на задачата с помощта на сегменти (фиг. 2).

Нека e=1m, сегмент a показва дължината на плата, използван за полата, a=3e. Сегментът b показва дължината на плата, използван за блузата, b = 2e. защото В задачата трябва да разберете количеството на цялата използвана тъкан, тогава сегментът c ще покаже количеството на цялата използвана тъкан: c = a + b.

Фигура 2

a=3e b=2e m e (c)= m e (a)+m e (c) m e (c) = 2+3 m e (c) = 5 Отговор: 5 m.

Пример 3:Използвайки понятието число като мярка за величина, ще обосновем избора на действие при решаването на задачата: „В първата кутия имаше 12 кг бисквити, а във втората имаше 3 кг по-малко. Колко килограма бисквити имаше във втората кутия?

Решение:Задачата се занимава с количеството маса, чиято мерна единица е 1 килограм, e = 1 kg, т.к. количество, масата е непрекъсната, тогава ще обясним избора на действие при решаване на задачата с помощта на сегменти (фиг. 3).

Нека e ​​= 1kg, сегментът a показва колко килограма бисквитки са били в първата кутия, a = 12e.

Сегмент b показва колко килограма бисквитки са били във втората кутия по-малко, отколкото в първата, b = 3e.

Сегментът c показва колко килограма бисквитки имаше във втората кутия, m e (c) - ? Известно е, че втората кутия съдържа 3 кг бисквити по-малко от първата, т.е. същото, но с 3 по-малко.

Нека d=a, тогава c = d – b. a = 12e, което означава d = 12e. m e (c)= m e (d)-m e (c) m e (c)=12-3 m e (c)=9

Фигура 3

Отговор: Във втората кутия имаше 9 килограма бисквити.

При аксиоматичното конструиране на всяка математическа теория се спазват определени правила:

Някои концепции на теорията са избрани като основени се приемат без определение;

Всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните, е дадено определение, в него е обяснено значението му с помощта на основни и предходни. дадени понятия;

Са формулирани аксиоми- предложения, които се приемат без доказателство в тази теория; разкриват свойствата на основните понятия;

Всяко твърдение на теория, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; такива твърдения се наричат ​​теореми и се доказват въз основа на аксиоми и теореми, предхождащи разглежданото.

Ако изграждането на теория се извършва с помощта на аксиоматичния метод, т.е. според правилата, споменати по-горе, тогава те казват, че теорията е изградена дедуктивно.

В аксиоматичното изграждане на една теория по същество всички твърдения се извличат чрез доказателство от аксиоми. Следователно към системата на аксиомите се поставят специални изисквания. На първо място, тя трябва да бъде последователна и независима.

Системата от аксиоми се нарича последователен,ако от него не могат логически да се изведат две взаимно изключващи се изречения.

Ако една система от аксиоми не притежава това свойство, тя не може да бъде подходяща за обосноваване на научна теория.

Съгласувана система от аксиоми се нарича независим,ако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми на тази система.

Когато се конструира една и съща теория аксиоматично, може да се използва различни системиаксиома. Но трябва да са еквивалентни. Освен това, когато избират определена система от аксиоми, математиците вземат предвид колко просто и ясно могат да бъдат получени доказателства на теоремите в бъдеще. Но ако изборът на аксиоми е условен, тогава самата наука или отделна теория не зависи от никакви условия - те са отражение на реалния свят.

Аксиоматичното изграждане на система от естествени числа се извършва съгласно формулираните правила. Изучавайки този материал, трябва да видим как цялата аритметика на естествените числа може да бъде извлечена от основни понятия и аксиоми. Разбира се, представянето му в нашия курс не винаги ще бъде строго - пропускаме някои доказателства поради голямата им сложност, но ще разгледаме всеки такъв случай.

Упражнение

1. Каква е същността на аксиоматичния метод за изграждане на теория?

2. Вярно ли е, че аксиомата е твърдение, което не изисква доказателство?

3. Назовете основните понятия на училищния курс по планиметрия. Запомнете няколко аксиоми от този курс. Свойствата на какви понятия са описани в тях?

4. Дефинирайте правоъгълник, като изберете успоредник като общо понятие. Назовете три понятия, които трябва да предхождат понятието „успоредник“ в курса по геометрия.

5. Какви изречения се наричат ​​теореми? Спомнете си каква е логическата структура на теоремата и какво означава доказването на теоремата.

Основни понятия и аксиоми. Дефиниция на естествено число

Като основно понятие в аксиоматичното изграждане на аритметиката на естествените числа се приема релацията „пряко следване“, дефинирана върху непразно множество Н.Концепцията за множество, елемент от множество и други теории на множествата, както и правилата на логиката, също се считат за добре известни.

Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам А".

Същността на отношението „директно следване“ се разкрива в следните аксиоми.

Аксиома 1. В множеството N има елемент, който не следва непосредствено никой елемент от това множество. Ще го наречем единица и ще го обозначим със символа 1.

Аксиома 2. За всеки елемент и от Нима само един елемент а“, непосредствено след това А.

Аксиома 3. За всеки елемент АИма най-много един елемент в N, който е непосредствено последван от А.

Аксиома 4. Всяко подмножество Мкомплекти нсъвпада с Н,ако има следните свойства: 1) 1 се съдържа в М; 2) от факта, че Асъдържано в М, следва, че а"съдържано в М.

Формулираните аксиоми често се наричат ​​аксиоми на Пеано.

Използвайки връзката "незабавно следване" и аксиоми 1-4, можем да дадем следната дефиниция на естествено число.

Определение. НяколкоН, за чиито елементи е установена връзката „пряко следване“, удовлетворяваща аксиоми 1-4, се нарича набор от естествени числа, а неговите елементи- естествени числа.

IN това определениенищо не се казва за естеството на елементите на комплекта Н.Така че може да бъде всичко. Избор като

набор N е някакъв специфичен набор, върху който е специфицирана конкретна връзка „незабавно следване“, удовлетворяваща аксиоми 1-4, получаваме модел на дадена система от аксиоми.В математиката е доказано, че между всички такива модели може да се установи еднозначно съответствие, като се запази връзката „пряко следване“, като всички такива модели ще се различават само по естеството на елементите, тяхното име и обозначение. Стандартният модел на аксиомната система на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото:

Всяко число от тази серия има свое обозначение и име, което ще считаме за известно.

Разглеждайки естествената серия от числа като един от моделите на аксиоми 1-4, трябва да се отбележи, че те описват процеса на формиране на тази серия и това се случва, когато свойствата на връзката „пряко следват“ се разкриват в аксиомите . Така естественият ред започва с числото 1 (аксиома 1); всяко естествено число е непосредствено последвано от едно естествено число (аксиома 2); всяко естествено число следва непосредствено най-много едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки по ред към естествените числа непосредствено едно след друго, получаваме целия набор от тези числа (аксиома 4). Обърнете внимание, че аксиома 4 формално описва безкрайността на естествената редица и доказателството на твърдения за естествените числа се основава на нея.

Като цяло, моделът на аксиомната система на Пеано може да бъде всяко изброимо множество, например:!..

Помислете например за последователност от набори, в които набор (oo) е началният елемент и всеки следващ набор се получава от предишния чрез добавяне на още един кръг (фиг. 108, а). Тогава нима множество, състоящо се от множества от описаната форма, и то е модел на аксиомната система на Пеано. Наистина, в множеството N има елемент (oo), който не следва непосредствено никой елемент от това множество, т.е.

има уникален комплект, който може да бъде получен от Ачрез добавяне на една окръжност, т.е. аксиома 2 е изпълнена за всяко множество Аима най-много едно множество, от което се образува множество Акато добавим един кръг, т.е. Аксиома 3 е валидна МÌ на е известно, че мнозина Асъдържано в М,следва, че множество, в което има една окръжност повече, отколкото в множеството а,също се съдържа в М,Че M = N(и следователно аксиома 4 е изпълнена).

Забележете, че в дефиницията на естествено число нито една от аксиомите не може да бъде пропусната - за всяка от тях е възможно да се конструира набор, в който другите три аксиоми са изпълнени, но тази аксиома не е изпълнена. Тази позиция е ясно потвърдена от примерите, дадени на фигури 109 и 110. Фигура 109а показва набор, в който аксиоми 2 и 3 са изпълнени, но аксиома 1 не е изпълнена (аксиома 4 няма да има смисъл, тъй като няма елемент в набор, директно не следващ друг). Фигура 109b показва набор, в който аксиоми 1, 3 и 4 са изпълнени, но зад елемента Анепосредствено следват два елемента, а не един, както се изисква в аксиома 2. Фигура 109c показва набор, в който аксиоми 1, 2, 4 са изпълнени, но елементът снепосредствено следва като елемент а,и зад елемента b.Фигура 110 показва набор, в който аксиоми 1, 2, 3 са изпълнени, но аксиома 4 не е изпълнена - набор от точки, лежащи върху лъча, той съдържа числото непосредствено след него, но не съвпада с цялото множество от точки, показани на фигурата.

Фактът, че аксиоматичните теории не говорят за „истинската“ природа на изучаваните понятия, прави тези теории твърде абстрактни и формални на пръв поглед – оказва се, че едни и същи аксиоми се удовлетворяват от различни набори от обекти и различни отношения между тях. Въпреки това, тази очевидна абстракция е силата на аксиоматичния метод: всяко твърдение, извлечено логически от тези аксиоми, е приложимо към всякакви набори от обекти, стига в тях да са дефинирани отношения, които удовлетворяват аксиомите.

И така, започнахме аксиоматичното изграждане на система от естествени числа, като избрахме основното отношение „незабавно следване“ и аксиомите, които описват нейните свойства. По-нататъшното изграждане на теорията включва разглеждане на известните свойства на естествените числа и операциите върху тях. Те трябва да бъдат разкрити в дефиниции и теореми, т.е. се извличат чисто логически от релацията “пряко следват”, а аксиоми 1-4.

Първата концепция, която ще въведем след дефинирането на естественото число, е отношението „непосредствено предшестващо“, което често се използва, когато се разглеждат свойствата на естественото число.

Определение. Ако естествено число b следва непосредствено естествено число a, тогава се казва, че числото a непосредствено предхожда (или предшества) числото b.

Отношението „предхожда“ има редица свойства. Те са формулирани като теореми и доказани с помощта на аксиоми 1 – 4.

Теорема 1. Единицата няма предходно естествено число.

Истинността на това твърдение следва непосредствено от аксиома 1.

Теорема 2.Всяко естествено число а,различен от 1, има предходно число б,такова, че b ¢ = a.

Доказателство. Нека означим с Ммножеството от естествени числа, състоящо се от числото 1 и всички числа, които имат предшественик. Ако броят Асъдържано в М,това е числото а"предлага се и в М,тъй като предшества за а"е числото А.Това означава, че много Мсъдържа 1, а от факта, че числото Апринадлежи на много М,следва, че броят а"принадлежи М.Тогава, съгласно аксиома 4, множеството Мсъвпада с множеството на всички естествени числа. Това означава, че всички естествени числа с изключение на 1 имат предходно число.

Обърнете внимание, че по силата на аксиома 3 числата, различни от 1, имат едно предходно число.

Аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа не е разгледана нито в началото, нито в гимназия. Въпреки това, тези свойства на отношението „пряко следване“, които са отразени в аксиомите на Пеано, са предмет на изучаване в началния курс по математика. Още в първи клас, когато се разглеждат числата от първата десетка, става ясно как може да се получи всяко число. Използват се понятията „следва“ и „предхожда“. Всяко ново число действа като продължение на изучавания сегмент от естествената редица от числа. Учениците са убедени, че след всяко число следва следващо и освен това само едно, че естествената редица от числа е безкрайна. И разбира се, познаването на аксиоматичната теория ще помогне на учителя методично и компетентно да организира усвояването от децата на характеристиките на естествената серия от числа.

Упражнения

1.Може ли аксиома 3 да се формулира по следния начин: „За всеки елемент Аот нима един елемент, който е непосредствено последван от "?

2. Изберете условието и заключението в аксиома 4, запишете ги със символите О, =>.

3. Продължете определението за естествено число: „Естественото число е елемент от множеството Î, Þ.

Допълнение

Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, определението за събиране на естествени числа трябва да бъде въведено, като се използва само връзката „непосредствено следващо“ и понятията „естествено число“ и „предходно число“.

Нека предхождаме определението за добавяне със следните съображения. Ако към всяко естествено число Адобавяме 1, получаваме числото А",непосредствено след а, т.е. А + 1 = А",и следователно получаваме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Но как да добавя към число Аестествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако знаем, че 2 + 3 = 5, тогава сумата 2 + 4 е равна на числото 6, което следва непосредствено числото 5. Това се случва, защото в сумата 2 + 4 вторият член е число непосредствено след числото 3 Така сумата А+ б"може да се намери, ако сумата е известна А+ b.Тези факти формират основата за определението за събиране на естествени числа в аксиоматичната теория. В допълнение, той използва концепцията за алгебрична операция.

Определение. Събирането на естествени числа е алгебрична операция, която има следните свойства:

1) ("А Î н ) а + 1=а",

2) (" А, b Î) a + b" = (a + b)".

Номер А+ bнарича сбор от числа АИ б,и самите числа АИ б-условия.

Както е известно, сборът от всеки две естествени числа също е естествено число, и то за всякакви естествени числа АИ bсума А+ b- единствения. С други думи, сборът от естествени числа съществува и е уникален. Особеността на дефиницията е, че не е известно предварително дали има алгебрична операция, която има посочените свойства, и ако съществува, уникална ли е? Следователно при изграждането на аксиоматичната теория на естествените числа се доказват следните твърдения:

Теорема 3.Събиране на естествени числа съществува и то е уникално.

Тази теорема се състои от две твърдения (две теореми):

1) съществува събиране на естествени числа;

2) събирането на естествени числа е уникално.

По правило съществуването и уникалността са свързани помежду си, но най-често са независими едно от друго. Съществуването на даден обект не предполага неговата уникалност. (Например, ако кажете, че имате молив, това не означава, че има само един.) Изявление за уникалност означава, че не може да има два обекта с дадени свойства. Уникалността често се доказва чрез противоречие: предполага се, че има два обекта, които отговарят на дадено условие, и след това изгражда верига от дедуктивни изводи, които водят до противоречие.

За да проверим истинността на теорема 3, първо доказваме, че ако в множеството н има операция със свойства 1 и 2, тогава тази операция е уникална; тогава ще докажем, че операцията събиране със свойства 1 и 2 съществува.

Доказателство за уникалността на събирането. Да приемем, че в комплекта н Има две операции събиране, които имат свойства 1 и 2. Едната от тях означаваме със знака +, а другата със знака Å. За тези операции имаме:

1) а + 1 = А"; 1) АÅ =a"\

2) a + b" = (a + b)" 2) АÅ b" = (aÅ б)".

Нека докажем това

("а, бÎ н )а + b=aÅ b. (1)

Нека номерът Аизбрани на случаен принцип и b М б,за които равенството (1) е вярно.

Лесно е да се провери, че 1 О М.Всъщност от факта, че А+ 1 = а"=АÅ 1 следва, че а + 1 =аÅ 1.

Нека сега докажем, че ако bÎ М,Че б" О М,тези. Ако a + b = aÅ б,Че А+ б" = аÅ б".защото a + b - aÅ б,тогава според аксиома 2 (a + b)" = (aÅ б)",и тогава a + b" - (a + b)" = (aÅ б)" = аÅ б".Тъй като много Мсъдържа 1 и заедно с всяко число bсъдържа и число b¢след това по аксиома 4, множеството Мсъвпада с н, което означава равенство (1) b.Тъй като броят Ае избрано произволно, тогава равенството (1) е вярно за всеки естествен АИ б,тези. операции + и Å върху множество нмогат да се различават един от друг само по обозначения.

Доказателство за съществуването на допълнение. Нека покажем, че съществува алгебрична операция със свойства 1 и 2, посочени в дефиницията на събирането.

Позволявам М -множеството от тези и само тези числа а,за които е възможно да се определи a + bтака че да са изпълнени условия 1 и 2. Нека покажем, че 1 О М.За да направите това, за всеки bнека сложим

1+b=b¢.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - съгласно правило (2), т.е. има равенство а + 1 = а"при А= 1.

2)1 + б"= (б")¢b= (1 + б)" -съгласно правило (2), т.е. равенството е в сила а + б"= (a + b)"при а = 1.

Така че 1 принадлежи на множеството М.

Нека се преструваме, че Апринадлежи М.Въз основа на това предположение ще покажем това а"съдържано в М,тези. това добавяне може да бъде определено а"и произволно число bтака че да са изпълнени условия 1 и 2. За да направим това, задаваме:

а"+ b =(а + б)".(3)

Тъй като по предположение броят a + bе дефинирано, тогава чрез аксиома 2, единствения начинопределя се и броят (А+ б)".Нека проверим дали условия 1 и 2 са изпълнени:

1)а" + 1 = (а + 1)" = (A")".По този начин, а"+ 1 = (а")".

2)a" + b" = (a+ b¢)"= ((a + b)")"= (a" + b)".По този начин, a" + b" = = (a" + b)".

И така, ние показахме, че наборът Мсъдържа 1 и заедно с всяко число Асъдържа число А".Съгласно аксиома 4 заключаваме, че множеството Мима много естествени числа. По този начин има правило, което позволява всякакви естествени числа АИ bуникално намиране на такова естествено число a + b,че са изпълнени свойства 1 и 2, формулирани в дефиницията на събирането.

Нека покажем как от определението за събиране и теорема 3 може да се изведе добре известната таблица за събиране на едноцифрени числа.

Нека се споразумеем за следното обозначение: 1" = 2; 2" = 3; 3 ¢ =4; 4"=5 и т.н.

Съставяме таблица в следната последователност: първо добавяме единица към всяко едноцифрено естествено число, след това числото две, след това три и т.н.

1 + 1 = 1¢ въз основа на свойство 1 от дефиницията на събирането. Но се съгласихме да обозначим 1¢ като 2, следователно 1 + 1 = 2.

По същия начин 2+1=2" = 3; 3 + 1=3" = 4 и т.н.

Нека сега разгледаме случаи, включващи добавяне на числото 2 към всяко еднозначно естествено число.

1+2 = 1 + 1¢ - използвахме приетата нотация. Но 1 + 1¢ = = (1 + 1)" според свойство 2 от определението за събиране, 1 + 1 е 2, както е посочено по-горе. Така,

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

По същия начин 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1 ¢= (3 + 1)" = = 4" = 5 и т.н.

Ако продължим този процес, получаваме цялата таблица за събиране на едноцифрени числа.

Следващата стъпка в аксиоматичното изграждане на система от естествени числа е доказването на свойствата на събирането, като първо се разглежда свойството асоциативност, след това комутативност и т.н.

Теорема 4.(" a,b,cО Н )(a + b)+ с= А+ (b+ С).

Доказателство. Нека естествените числа АИ bизбрани на случаен принцип и сприема различни естествени значения. Нека означим с Ммножеството от всички тези и само онези естествени числа c, за които равенството (a+b) +c = a+(b+c)точно.

Нека първо докажем, че 1 О М,тези. нека се уверим, че равенството е справедливо (А+ б)+ 1 = А+ (b+ 1) Наистина, по дефиницията на събирането имаме (a + b)+ 1 = (А+ б)"= А+ б"= А+ (б+ 1).

Нека сега докажем, че ако c О М, то c" О М,тези. от равенството (А+ б)+ c = a+ (b + c)следва равенството (А+ б)+ с"= А+ (b + c"). (А+ б)+ с"= ((А + б)+ С)".След това, въз основа на равенството (А+ б) + в= a + (b + c)може да се напише: ((А+ б)+ в)" = (а+ (б+ С))".Откъде, по дефиницията на събирането, получаваме: ( а + (б+ c))" = a + (b + c)" = a + (b + c") .

Мсъдържа 1, а от факта, че ссъдържано в М,следва, че с"съдържано в М.Следователно, съгласно аксиома 4, М= Н,тези. равенство ( А + б)+ с= a + (b + c)вярно за всяко естествено число с,и тъй като числата АИ bса избрани произволно, тогава е вярно за всякакви естествени числа АИ б, Q.E.D.

Теорема 5.(" а, бÎ Н) а+ b= b+ А.

Доказателство. Състои се от две части: първо доказват, че (" аО N) А+1 = 1+аи тогава какво(" а, бО Н ) a + b=b+ А.

1 .Нека докажем това (" АНА) а+ 1=1+a. Позволявам М -множеството от всички тези и само тези числа а,за което равенство А+ 1 = 1 + Авярно.

Тъй като 1+1=1 + 1 е истинско равенство, тогава 1 принадлежи на множеството М.

Нека сега докажем, че ако АÎ М,Че а"Î М,т. е. от равенството а + 1 = 1 + Аследва равенството а" + 1 = 1 + А".Наистина ли, а" + 1 = (а + 1) + 1 по първото свойство на събирането. След това изразът (a + 1) + 1 може да бъде преобразуван в израза (1 + а) + 1, използвайки равенството А+ 1 = 1 + А.Тогава, въз основа на асоциативния закон, имаме: (1 + а)+ 1 = 1 + (А+ 1). И накрая, по дефиницията на събирането, получаваме: 1 +(а + 1) = 1 +a".

Така показахме, че наборът Мсъдържа 1 и заедно с всяко число Асъдържа и число А".Следователно, според аксиомата A, M = I,тези. равенство А+ 1 = 1 + Авярно за всеки естествен А.

2 . Нека докажем това (" а, бÎ н ) А+ b = b+ А.Позволявам А -произволно избрано естествено число и bприема различни естествени значения. Нека означим с Ммножеството от всички тези и само тези естествени числа б,за което равенство a + b = b+ Авярно.

Откога b = 1 получаваме равенството А+ 1 = 1 + а,чиято истинност е доказана в параграф 1, тогава 1 се съдържа в М.

Нека сега докажем, че ако bпринадлежи М,тогава и б"също принадлежи М,тези. от равенството А+ b =b+ Аследва равенството А+ б"= б"+ А.Наистина, по дефиницията на добавянето имаме: А+ б"= (А+ б)".защото А+ b= b+ а,Че (А+ б)" =(б+ А)".Следователно, по дефиниция на добавянето: (б+ А)"= b+ а"= b+ (а+ 1). Въз основа на факта, че а + 1 = 1 + а,получаваме: b+ (а + 1) = b+ (1 + А).Използвайки асоциативното свойство и определението за добавяне, извършваме трансформациите: b + (1 + a) = (b+1) + a = b" + a.

И така, доказахме, че 1 се съдържа в множеството Ми заедно с всяко число bняколко Мсъдържа и число b¢,непосредствено след това b¢.Чрез аксиома 4 получаваме това М= И,тези. равенство а+ b= b+ Авярно за всяко естествено число б,както и за всяка естествена а,защото изборът му беше произволен.

Теорема 6.("a,bÎ N) a + b¹ b.

Доказателство. Позволявам А -естествено число, избрано на случаен принцип, и bприема различни естествени значения. Нека означим с Ммножеството от тези и само тези естествени числа б,за които Теорема 6 е вярна.

Нека докажем, че 1 О М.Наистина, тъй като А+ 1 = а"(по дефиниция на добавяне) и 1 не следва никакво число (аксиома 1), тогава А+ 1 ¹ 1.

Нека сега докажем, че ако bÎ М,Че б"Î М,тези. от това, което a +bÎ bследва, че а + б"¹ б".Наистина, по дефиницията на добавянето, a + b" = (a + b)",но защото a +bÎ б,Че (a + b)"¹ б"и следователно, a +b¢=b¢.

Според аксиомата има 4 множества МИ нследователно съвпадат за всякакви естествени числа a +bÎ б, Q.E.D.

В основата е подходът към събирането, разглеждан при аксиоматичното изграждане на система от естествени числа начално образованиематематика. Получаването на числа чрез добавяне на 1 е тясно свързано с принципа на конструиране на естествените редове, а второто свойство на събирането се използва при изчисления, например в следните случаи: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1 = 9.

Всички доказани свойства се изучават в началния курс по математика и се използват за трансформиране на изрази.

Упражнения

1. Вярно ли е, че всяко естествено число се получава от предишното чрез събиране на единица?

2. Използвайки определението за добавяне, намерете значението на изразите:

а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.

3. Какви трансформации на изрази могат да бъдат извършени, като се използва свойството за асоциативност на събирането?

4. Трансформирайте израз, като използвате асоциативното свойство на добавяне:

а) (12 + 3)+17; б) 24 + (6 + 19); в) 27+13+18.

5. Докажи това (" а, бÎ N) a + b¹ А.

6. Разберете как е формулирана математиката в различни учебници за начално училище:

а) комутативното свойство на събирането;

б) асоциативно свойство на събиране.

7 .В един от учебниците за начално училище се разглежда правилото за добавяне на число към сбор, като се използва конкретен пример (4 + 3) + 2 и се предлагат следните начини за намиране на резултата:

а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Обосновете извършените трансформации. Може ли да се каже, че правилото за добавяне на число към сбор е следствие от асоциативното свойство на събирането?

8 .Известно е, че a + b= 17. Колко е равно на:

а) a + (b + 3);б) (А+ 6) + b;в) (13+ b)+а?

9 .Описвам възможни начиниизчисляване на стойността на израз на формата a + b + c.Обосновете тези методи и ги илюстрирайте с конкретни примери.

Умножение

Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, умножението на естествените числа може да се определи с помощта на връзката „директно следване“ и понятията, въведени по-рано.

Нека предхождаме определението за умножение със следните съображения. Ако всяко естествено число Аумножете по 1, получавате а,тези. има равенство а × 1 = Аи получаваме правилото за умножаване на всяко естествено число по 1. Но как да умножим число Адо естествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако знаем, че 7×5 = 35, тогава за да намерим произведението 7×6 е достатъчно да добавим 7 към 35, тъй като 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. По този начин работата а×б"може да се намери, ако работата е известна: a×b" = a×b+ А.

Отбелязаните факти са в основата на определението за умножение на естествени числа. В допълнение, той използва концепцията за алгебрична операция.

Определение. Умножението на естествени числа е алгебрична операция, която има следните свойства:

1) ("а Î н) а × 1= а;

2) ("а, Î н) а×б"= а×б+ А.

Номер а×бНаречен работачисла АИ б,и самите числа АИ б-умножители.

Особеността на тази дефиниция, както и на дефиницията за събиране на естествени числа, е, че не е известно предварително дали съществува алгебрична операция, която има посочените свойства, и ако съществува, тогава дали е уникална. В тази връзка е необходимо да се докаже този факт.

Теорема 7.Умножение на естествени числа съществува и то е уникално.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теорема 3.

Като използвате дефиницията за умножение, теорема 7 и таблицата за събиране, можете да изведете таблицата за умножение за едноцифрени числа. Правим това в следната последователност: първо разглеждаме умножението с 1, след това с 2 и т.н.

Лесно се вижда, че умножението по 1 се извършва от свойство 1 в дефиницията на умножението: 1×1 = 1; 2×1=2; 3×1=3 и т.н.

Нека сега разгледаме случаите на умножение с 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - извършва се преходът от произведението 1×2 към произведението 1×1¢ съгласно приетата по-рано нотация; преходът от израза 1 × 1 към израза 1 × 1 + 1 - въз основа на второто свойство на умножението; произведението 1 × 1 се заменя с числото 1 в съответствие с вече получения резултат таблицата и накрая стойността на израза 1+1 се намира в съответствие с таблицата за събиране.

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4;

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Ако продължим този процес, получаваме цялата таблица за умножение за едноцифрени числа.

Както е известно, умножението на естествените числа е комутативно, асоциативно и разпределително по отношение на събирането. Когато се изгражда теория аксиоматично, е удобно да се докажат тези свойства, като се започне от дистрибутивността.

Но поради факта, че свойството комутативност ще бъде доказано по-късно, е необходимо да се разгледа дистрибутивността отдясно и отляво по отношение на събирането.

Теорема 8. ("a,b,cÎ н) (А+ b)×c =a×c+ b×с.

Доказателство. Нека естествените числа a и bизбрани на случаен принцип и сприема различни естествени значения. Нека означим с Ммножеството от всички тези и само тези естествени числа c, за които равенството (a + b)×c = a×c+ b×с.

Нека докажем, че 1 О М,тези. това равенство ( а + б) × 1 = А×1+ b× 1 вярно. Съгласно свойство 1 от дефиницията на умножението имаме: (a + b)× 1=a+b=a× 1+ b×1.

Нека сега докажем, че ако сÎ М,Че с"Î М,тези. което от равенството ( а + b)c = a×c+ b×сследва равенството (А+ b)×c" = a×c"+ b×с".По дефиниция на умножението имаме: ( a + b) × c"= (а + б) × s+ (а + б).защото (a + b)×c=a×c + b×c,Че ( a + b) × c+ (а+б)= (a×c + b×c) + (a+ б).Използвайки асоциативното и комутативното свойство на събирането, ние извършваме трансформациите: ( а× с+ б×с)+ (А+ б) =(а× с + b×с+ а)+ b =(a×с + a + b×с)+ b= = ((a×c+ а) + б×с)+ b = (a×c+ а) + (b×с+ б).И накрая, по дефиницията на умножението, получаваме: (a×c+ а) + (b×с+ б) =a×c"+ b×с".

И така, ние показахме, че множеството Мсъдържа 1 и тъй като съдържа c, следва, че с"съдържано в М.Чрез аксиома 4 получаваме това М= Н.Това означава, че равенството ( а + b)×c = a×c + b×cвярно за всякакви естествени числа с,както и за всяка естествена аИ б,тъй като те са избрани на случаен принцип.

Теорема 9. (" a, b, cÎ н) a×(b + c) =a×b + a×c.

Това е свойството на лявата дистрибутивност по отношение на събирането. Доказва се по подобен начин, както беше направено за правилна дистрибутивност.

Теорема 10.(" a,b,cÎ N)(a×b)×c=a×(b×c).

Това е асоциативното свойство на умножението. Неговото доказателство се основава на определението за умножение и теореми 4-9.

Теорема 11. ("а,б,Î н) a×b.

Доказателството на тази теорема е подобно по форма на доказателството на комутативното свойство на събирането.

Подходът към умножението, разглеждан в аксиоматичната теория, е основата за преподаване на умножение в началното училище. Умножението с 1 обикновено е дефинирано, а второто свойство на умножението се използва в едноцифрени таблици за умножение и изчисления.

В началния курс изучаваме всички свойства на умножението, които разгледахме: комутативност, асоциативност и дистрибутивност.

Упражнения

1 . Използвайки определението за умножение, намерете значенията на изразите:

а) 3×3; 6) 3x4; в) 4×3.

2. Запишете лявото разпределително свойство на умножението по отношение на събирането и го докажете. Какви трансформации на изрази са възможни въз основа на него? Защо стана необходимо да се вземе предвид лявата и дясната дистрибутивност на умножението спрямо събирането?

3. Докажете асоциативното свойство на умножението на естествените числа. Какви трансформации на изрази са възможни въз основа на него? Това свойство изучава ли се в началното училище?

4. Докажете комутативното свойство на умножението. Дайте примери за използването му в начален курс по математика.

5. Какви свойства на умножението могат да се използват при намиране на стойността на израз:

а) 5 × (10 + 4); 6)125×15×6; в) (8×379)×125?

6. Известно е, че 37 - 3 = 111. Използвайки това равенство, изчислете:

а) 37×18; б) 185×12.

Обосновете всички извършени трансформации.

7 . Определете стойността на израз, без да извършвате писмени изчисления. Обосновете отговора си:

а) 8962×8 + 8962×2; б) 63402×3 + 63402×97; в) 849+ 849×9.

8 . Какви свойства на умножението ще използват учениците от началното училище, когато изпълняват следните задачи:

Възможно ли е без пресмятане да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) 3×7 + 3×5; б) 7×(5 + 3); в) (7 + 5)×3?

Верни ли са равенствата:

а) 18×5×2 = 18× (5×2); в) 5×6 + 5×7 = (6 + 7)×5;

б) (3×10)×17 = 3×10×17; г) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?

Възможно ли е да се сравнят стойностите на изразите без извършване на изчисления:

а) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;

б) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?

Аксиоматичен метод в математиката.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените редове. Дефиниция на естествено число.

Събиране на естествени числа.

Умножение на естествени числа.

Свойства на множеството от естествени числа

Изваждане и деление на естествени числа.

Аксиоматичен метод в математиката

При аксиоматичното изграждане на всяка математическа теория се спазват следните правила: определени правила:

1. Някои концепции на теорията са избрани като основени се приемат без определение.

2. Са формулирани аксиоми, които в тази теория се приемат без доказателство, те разкриват свойствата на основните понятия.

3. Дадено е всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните определение, той обяснява значението си с помощта на основните и предходните понятия.

4. Всяко твърдение на теория, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано. Такива предложения се наричат теоремии ги доказвайте на базата на аксиоми и теореми, предхождащи разглежданата.

Системата от аксиоми трябва да бъде:

а) последователен:трябва да сме сигурни, че извличайки всички възможни изводи от дадена система от аксиоми, никога няма да стигнем до противоречие;

б) независими: нито една аксиома не трябва да бъде следствие от други аксиоми на тази система.

V) пълен, ако в неговата рамка винаги е възможно да се докаже или дадено твърдение, или неговото отрицание.

Първият опит в изграждането на аксиоматична теория може да се счита за представянето на геометрията от Евклид в неговите „Елементи“ (3 век пр.н.е.). Значителен принос за развитието на аксиоматичния метод за конструиране на геометрия и алгебра направи Н.И. Лобачевски и Е. Галоа. В края на 19в. Италианският математик Пеано разработи система от аксиоми за аритметика.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените числа. Дефиниция на естествено число.

Като основно (недефинирано) понятие в определен набор н е избрано поведение , а също така използва концепции от теория на множествата, както и правилата на логиката.

Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам А".

Връзката "директно следване" отговаря на следните аксиоми:

Аксиомите на Пеано:

Аксиома 1. В изобилие н има елемент директно не следващияне за нито един елемент от този набор. Да му се обадим мерна единицаи се обозначава със символа 1 .

Аксиома 2. За всеки елемент А от н има само един елемент а" , непосредствено след него А .

Аксиома 3. За всеки елемент А от нима най-много един елемент, който е непосредствено последван от А .

Аксиома 4.Всяко подмножество М комплекти н съвпада с н , ако има следните свойства: 1) 1 съдържано в М ; 2) от факта, че А съдържано в М , следва, че а" съдържано в М.

Определение 1. Няколко н , за чиито елементи се установява връзката "директно следвайте“, отговарящ на аксиоми 1-4, се нарича набор от естествени числа, а неговите елементи са естествени числа.

Това определение не казва нищо за природата на елементите на множеството н . Така че може да бъде всичко. Избор като комплект н някакво специфично множество, върху което е дадено специфично отношение „директно следване“, удовлетворяващо аксиоми 1-4, получаваме модел на тази система аксиома.

Стандартният модел на аксиомната система на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1,2,3,4,... Естествената поредица започва с числото 1 (аксиома 1); всяко естествено число е непосредствено последвано от едно естествено число (аксиома 2); всяко естествено число следва непосредствено най-много едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки по ред към естествените числа непосредствено едно след друго, получаваме целия набор от тези числа (аксиома 4).

И така, започнахме аксиоматичното изграждане на система от естествени числа, като избрахме основното връзка "директно следване".и аксиоми, които описват неговите свойства. По-нататъшното изграждане на теорията включва разглеждане на известните свойства на естествените числа и операциите върху тях. Те трябва да бъдат разкрити в дефиниции и теореми, т.е. се извличат чисто логически от релацията “пряко следват”, а аксиоми 1-4.

Първото понятие, което ще въведем след дефинирането на естествено число, е поведение "непосредствено предшества" , който често се използва при разглеждане на свойствата на естествените серии.

Определение 2.Ако естествено число b директно следваестествено число А, това число А Наречен непосредствено предхождащ(или предишен) номер b .

Отношението „предхожда“ има редица имоти.

Теорема 1. Единицата няма предходно естествено число.

Теорема 2. Всяко естествено число А, различно от 1, има едно предходно число б,такова, че б"= А.

Аксиоматичното изграждане на теорията на естествените числа не се разглежда нито в началните, нито в средните училища. Въпреки това, тези свойства на отношението „пряко следване“, които са отразени в аксиомите на Пеано, са предмет на изучаване в началния курс по математика. Още в първи клас, когато се разглеждат числата от първата десетка, става ясно как може да се получи всяко число. Използват се понятията „следва“ и „предхожда“. Всяко ново число действа като продължение на изучавания сегмент от естествената редица от числа. Учениците са убедени, че след всяко число следва следващо и освен това само едно, че естествената редица от числа е безкрайна.

Събиране на естествени числа

Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, определението за събиране на естествени числа трябва да се въведе, като се използва само връзката "директно следване", и концепции "естествено число"И "предишно число".

Нека предхождаме определението за добавяне със следните съображения. Ако към всяко естествено число Адобавяме 1, получаваме числото А",непосредствено след това А, т.е. А+ 1= а"и следователно получаваме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Но как да добавя към число Аестествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако знаем, че 2 + 3 = 5, тогава сборът е 2 + 4 = 6, което следва непосредствено числото 5. Това се случва, защото в сбора 2 + 4 вторият член е числото непосредствено след числото числото 3. Така 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Всичко на всичко ние имаме, .

Тези факти формират основата за определението за събиране на естествени числа в аксиоматичната теория.

Определение 3. Събиране на естествени числае алгебрична операция, която има следните свойства:

Номер a + b Наречен сбор от числа АИ b , и самите числа АИ b - условия.

ГОУВПО

Държава Тула Педагогически университет

Кръстен на Л.Н.Толстой

ЧИСЛНИ СИСТЕМИ

Тула 2008 г

Бройни системи

Ръководството е предназначено за студенти от математически специалности на педагогическия университет и е разработено в съответствие с държавния стандарт за курса „Числени системи“. Тръгни теоретичен материал. Анализират се решения на типични задачи. Предвидени са упражнения за решаване в практическите занятия.

Съставено от -

Кандидат на физико-математическите науки, доцент в катедрата по алгебра и геометрия, TSPU на име. Л. Н. Толстой Ю. А. Игнатов

Рецензент -

Кандидат на физико-математическите науки, професор в катедрата математически анализ TSPU на името на. Л. Н. Толстой И. В. Денисов

Учебно издание

Бройни системи

Съставен от

ИГНАТОВ Юрий Александрович

© Ю. Игнатов, 2008

ЧИСЛНИ СИСТЕМИ

Този курс обхваща основите на математиката. Той осигурява строга аксиоматична конструкция на осн бройни системи: естествени, цели, рационални, реални, комплексни, както и кватерниони. Основава се на теорията на формалните аксиоматични системи, разглеждана в курса по математическа логика.

Във всеки параграф теоремите са номерирани първи. Ако е необходимо да се препрати към теорема от друг параграф, се използва поетапно номериране: номерът на параграфа се поставя преди номера на теоремата. Например, теорема 1.2.3 е теорема 3 от параграф 1.2.

Цели числа

Аксиоматична теория на естествените числа

Аксиоматичната теория се определя от следните елементи:

Набор от константи;

Набор от функционални символи за обозначаване на операции;

Набор от предикатни символи за представяне на отношения;

Списък от аксиоми, свързващи горните елементи.

За формална аксиоматична теория са посочени и правила за извод, с помощта на които се доказват теореми. В този случай всички твърдения се записват под формата на формули, чието значение няма значение, и върху тези формули се правят трансформации според дадени правила. В една субстантивна аксиоматична теория правилата за извод не са посочени. Доказателствата се извършват на базата на обикновени логически конструкции, които отчитат значението на твърденията, които се доказват.

Този курс изгражда смислени теории за основните числови системи.

Най-важното изискване за една аксиоматична теория е нейната последователност. Доказателството за последователност се извършва чрез конструиране на модел на една теория в друга теория. Тогава последователността на разглежданата теория се свежда до последователността на теорията, в която е изграден моделът.

За система от цели числа моделът се изгражда в рамките на система от естествени числа, за рационални числа - в рамките на система от цели числа и т.н. Резултатът е верига от аксиоматични теории, в които всяка теория се основава на предишната. Но за първата теория в тази верига, а именно теорията на естествените числа, няма къде да се изгради модел. Следователно за система от естествени числа е необходимо да се изгради теория, за която съществуването на модел е извън съмнение, въпреки че е невъзможно да се докаже строго.

Теорията трябва да е много проста. За тази цел ние разглеждаме системата от естествени числа само като инструмент за броене на обекти. Операциите събиране, умножение и последователни отношения трябва да бъдат определени след изграждането на теорията в посочения вид.

За нуждите на броенето системата от естествени числа трябва да бъде последователност, в която първият елемент (единица) е дефиниран и за всеки елемент е дефиниран следващият. В съответствие с това получаваме следната теория.

Константа: 1 (единица).

Функционален символ: "¢". Обозначава унарната операция "следване", т.е А¢ – следващото число А. В този случай числото АНаречен предишенЗа А¢.

Няма специални предикатни знаци. Използват се обичайното отношение на равенство и теоретико-множествените отношения. Аксиомите за тях няма да бъдат посочени.

Означава се множеството, на което се основава теорията н.

Аксиоми:

(N1) (" а) а¢ ¹ 1 (едно не следва нито едно число).

(N2) (" а)("b) (а¢ = б¢ ® a = b) (всяко число има най-много един предшественик).

(N3) М Í н, 1О М, ("а)(аÎ М ® а¢Î М) Þ М = н(аксиома на математическата индукция).

Горната аксиоматика е предложена (с малки промени) от италианския математик Пеано в края на 19 век.

Не е трудно да се изведат някои теореми от аксиомите.

Теорема 1. (Метод на математическата индукция). Позволявам Р(н) – предикат, дефиниран върху множество н. Нека е истина Р(1) и (" н)(П(н)® П(н¢)). Тогава Р(н) е идентично верен предикат на н.

Доказателство. Позволявам М– набор от естествени числа н, за което Р(н) истина е. След това 1О Мспоред условията на теоремата. На следващо място, ако нÎ М, Че П(н) вярно по дефиниция М, П(н¢) е вярно според условията на теоремата и н¢Î Ма-приорен М. Всички помещения на аксиомата на индукцията са изпълнени, следователно, М = н. Според определението М, означава, че Р(н) е вярно за всички числа от н. Теоремата е доказана.

Теорема 2.Всеки номер АНомер 1 има предшественик и то само един.

Доказателство. Позволявам М– множеството от естествени числа, съдържащо 1 и всички числа, които имат предшественик. След това 1О М. Ако аÎ М, Че а¢Î М, защото а¢ има антецедент (условието дори не се използва тук аÎ М). И така, по аксиомата на индукцията М = н. Теоремата е доказана.

Теорема 3.Всяко число е различно от следващото.

Упражнение. След като определите естествените числа 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, докажете, че 2 ¹ 6.

Събиране на естествени числа

Следната рекурсивна дефиниция е дадена за събиране на естествени числа.

Определение.Събирането на естествени числа е двоична операция, която се прилага за естествени числа АИ bсъвпада с числото a+b, притежаващ следните свойства:

(S1) А + 1 = А¢ за всеки А;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ за всякакви АИ b.

Необходимо е да се докаже, че тази дефиниция е вярна, тоест съществува операция, която удовлетворява дадените свойства. Тази задача изглежда много проста: достатъчно е да извършите индукция b, броене Афиксирани. В този случай е необходимо да изберете комплект Мстойности b, за което операцията a+bе дефинирана и удовлетворява условия (S1) и (S2). Когато извършваме индуктивен преход, трябва да приемем, че за bе извършена операция и докажете, че е извършена за b¢. Но в собственост (S2), която трябва да бъде удовлетворена за b, вече има връзка към a+b¢. Това означава, че това свойство автоматично предполага съществуването на операция за a+b¢, и следователно за следващите числа: в края на краищата, за a+b¢ свойството (S2) също трябва да бъде изпълнено. Човек може да си помисли, че това само улеснява проблема, като прави индуктивната стъпка тривиална: доказаното твърдение просто повтаря индуктивната хипотеза. Но трудността тук е в доказателството за основата на индукцията. За стойност b= 1, свойствата (S1) и (S2) също трябва да бъдат изпълнени. Но свойството (S2), както е показано, предполага съществуването на операция за всички стойности, следващи 1. Това означава, че проверката на основата на индукцията предполага доказателство не за едно, а за всички числа, и индукцията губи смисъла си: базата на индукция съвпада с доказаното твърдение.

Горното разсъждение не означава, че рекурсивните дефиниции са неправилни или изискват внимателна обосновка всеки път. За да ги оправдаете, трябва да използвате свойствата на естествените числа, които се установяват едва на този етап. След като те бъдат установени, валидността на рекурсивните дефиниции може да бъде доказана. Засега нека докажем съществуването на събиране чрез индукция върху А: във формули (S1) и (S2) няма връзка между събиране за АИ А¢.

Теорема 1.Събирането на естествени числа винаги е осъществимо и то уникално.

Доказателство. а) Първо доказваме уникалност. нека го оправим А. След това резултатът от операцията a+bима функция от b. Да предположим, че има две такива функции f(b) И ж(b), имащи свойства (S1) и (S2). Нека докажем, че са равни.

Позволявам М– набор от значения b, за което f(b) = ж(b). По собственост (S1)
f(1) = А + 1 = А¢ и ж(1) = А + 1 = А¢ означава f(1) = ж(1) и 1О М.

Нека сега bÎ М, това е f(b) = ж(b). По собственост (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, ж(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= ж(b)¢ = f(b¢),

означава, b¢Î М. По аксиомата на индукцията М = н. Уникалността е доказана.

б) Сега чрез индукция Анека докажем съществуването на операцията a+b. Позволявам М– набор от тези стойности А, за което операцията a+bсъс свойства (S1) и (S2) е дефиниран за всички b.

Позволявам А= 1. Нека дадем пример за такава операция. По дефиниция приемаме 1 + b == b¢. Нека покажем, че тази операция удовлетворява свойствата (S1) и (S2). (S1) има формата 1 + 1 = 1¢, което отговаря на определението. Проверка (S2): 1 +б¢ =( b¢)¢ =
= (1+б)¢ и (S2) е изпълнено. И така, 1О М.

Нека сега АÎ М. Нека докажем това А¢Î М. Вярваме по дефиниция
а¢ +б = (a+ b)¢. Тогава

а¢ + 1 = (а+ 1)¢ = ( А¢)¢,

а¢ +б¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( а¢ +б)¢,

и свойствата (S1) и (S2) са изпълнени.

По този начин, М = н, а добавянето е определено за всички естествени числа. Теоремата е доказана.

Теорема 2.Събирането на естествените числа е асоциативно, т.е

(a+b) + c = a + (b+c).

Доказателство. нека го оправим АИ bи извършете индукция на с. Позволявам М- набор от тези числа с, за които равенството е вярно. Въз основа на свойствата (S1) и (S2) имаме:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = а +(b+ 1) Þ 1О М.

Нека сега сÎ М. Тогава

(a+b) + ° С¢ = (( a+b) + ° С)¢ = ( а +(b + ° С))¢ = а +(b + ° С)¢ = а +(b + ° С¢),

И ° С¢Î М. Според аксиома (N3) М = н. Теоремата е доказана.

Теорема 3.Събирането на естествените числа е комутативно, т.е

a + b = b + a. (1)

Доказателство. нека го оправим Аи извършете индукция на b.

Позволявам b= 1, тоест е необходимо да се докаже равенството

А + 1 = 1 + А. (2)

Доказваме това равенство чрез индукция върху А.

При А= 1 равенството е тривиално. Нека бъде направено за А, нека го докажем за А¢. Ние имаме

А¢ + 1 = ( А + 1) + 1 = (1 + А) + 1 = (1 + А)¢ = 1 + А¢.

Индуктивният преход е завършен. По принципа на математическата индукция равенството (2) е вярно за всички А. Това доказва твърдението за основата на индукцията върху b.

Нека сега формула (1) е изпълнена за b. Нека го докажем за b¢. Ние имаме

а +b¢ = ( а +b)¢ = ( b + а)¢ = b + а¢ = b + (а + 1) = b + (1 + а) = (b + 1) + а = b¢ + а.

С помощта на принципа на математическата индукция теоремата е доказана.

Теорема 4.а + b ¹ b.

Доказателството е упражнение.

Теорема 5.За всякакви числа АИ bвъзниква един и само един от следните случаи:

1) a = b.

2) Има число ктакова, че a = b + k.

3) Има номер лтакова, че b = a + l.

Доказателство. От теорема 4 следва, че най-много един от тези случаи възниква, тъй като очевидно случаи 1) и 2), както и 1) и 3), не могат да се появят едновременно. Ако случаи 2) и 3) са възникнали едновременно, тогава a = b + k=
= (А + л) + к = А+ (л + к), което отново противоречи на теорема 4. Нека докажем, че поне един от тези случаи винаги се среща.

Нека се избере число АИ М –много от тези б,за всяка от които даден авъзниква случай 1), 2) или 3).

Позволявам b= 1. Ако а= 1, тогава имаме случай 1). Ако А¹ 1, то по теорема 1.1.2 имаме

a = k" = k + 1 = 1 + к,

тоест имаме случай 2) за b= 1. Така че 1 принадлежи М.

Позволявам bпринадлежи М.Тогава са възможни следните случаи:

- А = б,означава, b" = b + 1 = А+ 1, тоест имаме случай 3) за б";

- А = б+к,и ако к= 1, тогава А = b+ 1 = б", т.е. случай 1) възниква за б";

ако к№ 1 тогава k = t"И

a = b + t" = b + (t + 1)= б + (1+м) = (b+ 1)+ m = b¢ +м,

т.е. случай 2) възниква за б";

- b = а +земя б" =(a + l)¢ = А + л¢, тоест имаме случай 3) за б".

Във всички случаи б"принадлежи М.Теоремата е доказана.

Упражнение. Докажете въз основа на дефиницията на сумата, че 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Умножение на естествени числа

Определение.Умножението на естествени числа е двоична операция, която се прилага за естествени числа АИ bсъвпада с числото аб(или a×b), имащи следните свойства:

(P1) А×1 = Аза всеки А;

(P2) ab" = ab + aза всякакви АИ b.

По отношение на определението за умножение, всички коментари, направени в предходния параграф относно определението за събиране, остават валидни. По-конкретно, от него все още не става ясно дали има съответствие с дадените в определението свойства. Следователно, следната теорема, подобна на теорема 1.2.1, е от голямо фундаментално значение.

Теорема 1.Има само едно умножение на естествените числа. С други думи, умножението винаги е изпълнимо и недвусмислено.

Доказателството е доста подобно на това от теорема 1.2.1 и се предлага като упражнение.

Свойствата на умножението, формулирани в следните теореми, се доказват лесно. Доказателството на всяка теорема се базира на предишните.

Теорема 2.(Десен закон за разпределение): ( a+b)c = ac + bc.

Теорема 3.Умножението е комутативно: ab = ba.

Теорема 4.(Ляв разпределителен закон): ° С(a+b)= сa + сb.

Теорема 5.Умножението е асоциативно: а(пр.н.е) = (аб)° С.

Определение.Полупръстенът е система, в която + и × са двоични операции на събиране и умножение, които отговарят на аксиомите:

(1) е комутативна полугрупа, тоест събирането е комутативно и асоциативно;

(2) – полугрупа, тоест умножението е асоциативно;

(3) дясна и лява дистрибутивност има.

От алгебрична гледна точка системата от естествени числа по отношение на събирането и умножението образува полупръстен.

Упражнение. Докажете въз основа на определението за продукт, че
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Упражнения

Докажете идентичностите:

1. 1 2 + 2 2 + ... + н 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + н 3 = .

Намерете сумата:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.

Докажете неравенствата:

7. н 2 < 2n для н > 4.

8. 2н < н! За н³ 4.

9. (1 + х)н³ 1 + nx, Където х > –1.

10. при н > 1.

11. при н > 1.

12. .

13. Намерете грешката в доказателството по индукция, че всички числа са равни. Доказваме еквивалентно твърдение: във всяко множество от нчисла, всички числа са равни едно на друго. При н= 1 твърдение е вярно. Нека е вярно за н = к, нека го докажем за н = к+ 1. Вземете набор от произволни
(к+ 1) числа. Нека премахнем едно число от него А. Наляво кчисла, по индуктивна хипотеза те са равни помежду си. По-специално две числа са равни bИ с. Сега нека премахнем номера от комплекта си го включете А. В получения комплект все още има кчисла, което означава, че те също са равни помежду си. В частност, а = b. означава, a = b = c, и това е всичко ( к+ 1) числата са равни едно на друго. Индуктивният преход е завършен и твърдението е доказано.

14. Докажете подобрения принцип на математическата индукция:

Позволявам А(н) е предикат на множеството от естествени числа. Позволявам А(1) вярно и от истината А(к) за всички числа к < мтрябва да е вярно А(м). Тогава А(н) вярно за всички н.

Поръчани комплекти

Нека си припомним основните дефиниции, свързани с отношението на реда.

Определение.Отношение f („отгоре“) върху множество МНаречен отношение на поръчката, или просто в ред, ако тази връзка е транзитивна и антисиметрична. Система b М, fñ се нарича поръчан комплект.

Определение. строг ред, ако е антирефлексен, и хлабав ред, ако е рефлексивно.

Определение.Отношение от ред f се нарича релация линеен ред, ако е свързан, т.е а ¹ bÞ а f bÚ b f а. Нарича се ред, който не е линеен частично.

Определение.Нека á М А– подмножество М. елемент Tкомплекти АНаречен най-малкият, ако е по-малко от всички други елементи на множеството А, това е

("хÎ А)(х ¹ T® х f T).

Определение.Нека á М, fñ – подредено множество, А– подмножество М. елемент Tкомплекти АНаречен минимален, ако е в комплект Аняма по-малък елемент, тоест (" хÎ А)(х ¹ T® Ø T f х).

Най-големият и максималният елемент се определят по подобен начин.

Упражнения

1. Докажете, че транзитивното и антирефлексивното отношение е отношение на ред.

2. Докажете, че отношението на делимост M на множеството нима частична връзка на реда.

3. Докажете, че едно множество може да има най-много един най-голям и най-много един най-малък елемент.

4. Намерете всички минимални, максимални, най-големи и най-малки елементи в множеството (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) за отношението на делимост.

5. Докажете, че ако едно множество има най-малък елемент, то той е единственият минимален.

6. По колко начина можем да дефинираме линеен ред на набор от три елемента? линеен и строг? линеен и отпуснат?

7. Нека á М, fñ е линейно подредено множество. Докажете, че отношението > определено от условието

а > b Û а f b & а¹ b

е отношение на строг линеен ред.

8. Нека á М, fñ е линейно подредено множество. Докажете, че отношението ³, определено от условието

а ³ b Û а f b Ú а= б,

е отношение от нестрог линеен ред.

Определение.Линейно подредено множество b М, fñ, в което всяко непразно подмножество има най-малкия елемент, се извиква съвсем подредено. Релацията f в този случай се нарича релация пълна поръчка.

Съгласно теорема 1.4.6 системата от естествени числа е напълно подредено множество.

Определение.Нека á М Интервал, разделен от елемент a, наречен набор Р авсички елементи по-долу Аи различен от А, това е

Р а = {х Î Мï а f х, х¹ а}.

По-специално, ако Атогава е минималният елемент Р а = Æ.

Теорема 1.(Принцип на трансфинитната индукция). Нека á М, fñ е напълно подредено множество и А Í М. Нека за всеки елемент Аот Мот принадлежност към Авсички елементи на интервала Р аследва това АÎ А. Тогава А = М.

Доказателство.

Позволявам а" = М\Ае теоретико-множествената разлика на множествата МИ А.Ако а"= Æ, тогава А = М,и твърдението на теоремата е изпълнено. Ако а"¹ Æ , тогава, тъй като Ме напълно подредено множество, тогава множеството а"съдържа най-малкия елемент T.В този случай всички предходни елементи Tи различен от T,не принадлежат а"и следователно принадлежат А.По този начин, Р m Í А.Следователно, съгласно условията на теоремата T Î а,и следователно T Ï А",противно на предположението.

Нека á А; fñ е подредено множество. Ще приемем, че А– крайно множество. С всеки елемент Акомплекти Анека сравним някои точки T (А) на дадена равнина, така че ако елемент Анепосредствено следва елемента б,след това точка T (а) ще се намира над точката T(b)и ги свържете с сегмент. В резултат на това получаваме графика, съответстваща на това подредено множество.

Упражнения

9. Нека á М, fñ е напълно подредено множество, b Î Г-цаÎ М.Докажете, че или Pb = R s,или P b Ì R s,или R s Ì P b.

10. Нека á М, f 1 с и b Л, f 2 ñ са напълно подредени множества, така че
М Ç L=Æ . В изобилие М È ЛНека дефинираме двоичното отношение f чрез следните условия:

1) ако а, бÎ М,Че, а f b Û ае 1 b;

2) ако а, бÎ л,Че, а f b Û ае 2 b;

3) ако АÎ М, бÎ л,Че, а f b.

Докажете, че системата b МÈ Л, fñ е напълно подредено множество.

Подредени полугрупи

Определение.Полугрупанаречена алгебра á А, *ñ, където * е асоциативна двоична операция.

Определение.Полугрупа á А, *ñ се нарича полугрупа с редукция, ако удовлетворява свойствата

а*c = b*° С Þ a = b;° С*a = c*b Þ a = b.

Определение.Подредена полугрупанаречена система b А, +, fñ, където:

1) система b А, +ñ – полугрупа;

2) система b А, fñ – подредено множество;

3) връзката f е монотонна по отношение на полугруповата операция, т.е
а f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.

Подредена полугрупа á А, +, fñ се наричат подредена група, ако системата b А, +ñ – група.

В съответствие с видовете поръчки се определят отношенията линейно подредена полугрупа, линейно подредена група, частично подредена полугрупа, строго подредена полугрупаи т.н.

Теорема 1.В подредена полугрупа á А, +, fñ могат да се добавят неравенства, т.е а f b, c f д Þ a+c f b+d.

Доказателство. Ние имаме

а f b Þ a+c f b + c, c f д Þ b+c f b + d,

откъдето по преходност a+c f b+d. Теоремата е доказана.

Упражнение 1. Докажете, че системата от естествени числа е частично подредена полугрупа по отношение на умножението и делимостта.

Лесно се вижда, че системата b н, +, >ñ – строго подредена полугрупа, b н, +, ³ñ е нестрого подредена полугрупа. Можем да дадем пример за такова подреждане на полугрупата á н, +ñ, в които редът не е нито строг, нито нестрог.

Упражнение 2. Нека дефинираме реда f в системата от естествени числа, както следва: а f b Û а ³ b & а¹ 1. Докажете, че b н, +, fñ е подредена полугрупа, в която редът не е нито строг, нито неточен.

Пример 1.Позволявам А– набор от естествени числа, неравни на единица. Нека дефинираме отношението f in Апо следния начин:

а f b Û ($ кÎ н)(а = b+k) & bномер 3.

Докажете, че системата b А, +, fñ е частично и строго подредена полугрупа.

Доказателство. Нека проверим транзитивността:

а f б, б f ° С Þ a = b + k, bномер 3, b = c + l, c№ 3 Þ a = c +(k+l), ° С№ 3 Þ а f ° С.

защото а f b Þ а > b, тогава антирефлексивността е удовлетворена. От упражнение 2.1.1 следва, че f е релация от строг ред. Редът е частичен, тъй като елементи 3 и 4 не са в никаква връзка.

Отношението f е монотонно по отношение на събирането. Наистина условието а f b Þ a+c f b+cможе да се наруши само когато
b+c= 3. Но сумата може да бъде равна на 3, тъй като е възможно Аняма единица.

Група от два елемента не може да бъде линейно и строго подредена. Всъщност нека 0 и 1 са нейните елементи (0 е нулата на групата). Да приемем, че 1 > 0. Тогава получаваме 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Теорема 2.Всяка линейно подредена съкратима полугрупа може да бъде линейно и строго подредена.

Доказателство. Нека á А, +, fñ е подредена полугрупа. Строгата релация на ред > е дефинирана както в Упражнение 2.1.5: а > b Û а f b & а¹ b. Нека покажем, че условие 3) от дефиницията на подредена полугрупа е изпълнено.

а > b Þ а f b, а¹ bÞ a+c f b+c.

Ако a+c = b+cтогава, намалявайки, получаваме a = b, което противоречи на условието
А > b. означава, a+c ¹ b+c, И a+c > b+c. Втората част на условие 3) се проверява по подобен начин, което доказва теоремата.

Теорема 3.Ако b А, +, fñ е линейно и строго подредена полугрупа, тогава:

1) А + с = b + c Û a = b Û c + a = с + b;

2) А + с f b + c Û А f b Û с + а f с + b.

Доказателство. Позволявам А + с = b + c. Ако а ¹ b, тогава поради връзката А f bили
b f а. Но тогава съответно А + с f b+ cили b + с f a+ c, което противоречи на условието А + с = b + c. Други случаи се разглеждат по подобен начин.

И така, всяка линейно и строго подредена полугрупа е унищожаема полугрупа.

Определение.Нека á А, +, fñ е подредена полугрупа. елемент Акомплекти Анаречено положително (отрицателно) ако а + а¹ АИ а+а f А(съответно А f а + а).

Пример 2.Докажете, че елемент от подредена комутативна полугрупа със съкращаване, по-голямо от положителен елемент, не е непременно положителен.

Решение. Нека използваме пример 1. Имаме 2 + 2 f 2, което означава, че 2 е положителен елемент. 3 = 2 + 1, което означава 3 f 2. В същото време отношението 3 + 3 f 3 не е валидно, което означава, че 3 не е положителен елемент.

Теорема 4.Сумата от положителните елементи на комутативна полугрупа със съкращаване е положителна.

Доказателство. Ако а + а f АИ b+b f b, тогава по теорема 1

а + а+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.

Остава да проверим дали ( a + b)+ (a+b)¹ a + b.Ние имаме:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Нека се преструваме, че ( a + b)+ (a+b)=a + b.Замествайки в (1), получаваме

a+b+b f a+b+a+b Þ а f а+а.

Поради антисиметрия а = а + а. Това противоречи на факта, че елементът Аположителен.

Теорема 5.Ако Ае положителен елемент от линейно и строго подредена полугрупа, тогава за всяка bние имаме a+b f b, b + a f b.

Доказателство. Ние имаме а+ а f А Þ a+ a+ b f a+ b. Ако това не е вярно a+ b f б,тогава, поради линейността, тя е в сила a+b=bили b f a+ b. Добавяне отляво А, получаваме съответно a+ a+ b= a+ bили a+ b f a+ a+ b. Тези условия противоречат на антисиметрията и строгостта на отношението на реда.

Теорема 6.Нека á А, +, fñ – линейно и строго подредена полугрупа, АÎ АИ А+ А¹ а. След това елементите:

а, 2*а, 3*А, ...

всеки е различен. Ако в този случай системата b А, +, fñ е група, тогава всички елементи са различни:

0, а,–а, 2*А, - 2*а, 3*а, –3*А, ...

(под к*а, кÎ н , аÎ А, означава сумата а+ …+ а, съдържаща кусловия)

Доказателство. Ако а + А f А, Че а + А + А f а + аи т.н. В резултат на това получаваме верига ... f кае… е 4 А f3 А f2 А f А. Поради транзитивност и антисиметрия всички елементи в него са различни. В група веригата може да бъде продължена в другата посока чрез добавяне на елемент - А.

Последица.Крайна полугрупа със съкращаване, ако броят на нейните елементи е най-малко 2, не може да бъде линейно подредена.

Теорема 7.Нека á А, +, fñ е линейно подредена група. Тогава

а f а Û b f b.

Доказателството е упражнение.

По този начин всяка линейно подредена група е или строго, или нестрого подредена. За обозначаване на тези поръчки ще използваме съответно знаците > и ³.

Упражнения

3. Докажете, че сумата от положителни елементи на линейно и строго подредена полугрупа е положителна.

4. Докажете, че всеки линейно и строго подреден елемент на полугрупа, по-голям от положителен елемент, сам по себе си е положителен.

5. Докажете, че една подредена полугрупа е линейно подредена тогава и само ако всяко крайно множество от нейните елементи има само един най-голям елемент.

6. Докажете, че множеството от положителни елементи на линейно подредена група не е празно.

7. Нека á А, +, fñ е линейно и строго подредена група. Докажете, че елементът Асистеми Аако и само ако е положителен ако А > 0.

8. Докажете, че има само един линеен и строг ред в адитивната полугрупа от естествени числа, в който множеството от положителни елементи не е празно.

9. Докажете, че мултипликативната полугрупа от цели числа не може да бъде линейно подредена.

Поръчани пръстени

Определение.Система b А, +, ×, fñ се извиква нареди семиринг, Ако

1) система b А, +, ×ñ – полупръстен;

2) система b А, +, fñ – подредена полугрупа с непразно множество А+ положителни елементи;

3) важи монотонността по отношение на умножението с положителни елементи, т.е сÎ А+ и А f b, Че ак f пр.н.е, ок f cb.

Положителен елементнареди семиринг Ае всеки положителен елемент от подредена полугрупа á А, +, fñ.

Подреден полупръстен b А, +, ×, fñ се извиква поръчан пръстен (поле), ако полупръстенът b А, +, ×ñ – пръстен (съответно поле).

Определение.Нека á А, +, ×, fñ – подредено полупръстенце. Ред f на системата АНаречен Архимед,и системата А - Архимед заповяда,ако, независимо от положителните елементи АИ bсистеми А, можете да посочите такова естествено число П,Какво на f b.

Пример 1.Полукръст от естествени числа с отношение > (по-голямо от) е линеен, строго и архимедово подреден полукръст.

За линейно подреден пръстен b А, +, ×, 0, fñ система b А, +, 0, fñ е линейно подредена група. Това предполага, съгласно теорема 2.2.7, че редът на f е строг или нестрог. В изобилие Аможете да въведете (упражнения 2.1.5. и 2.1.6) нов линеен ред, което ще бъде строго, ако редът на f е нестрог, и нестрог, ако редът на f е строг. Във връзка с тази забележка, в линейно подреден пръстен АОбикновено се разглеждат две отношения на двоичен ред, едното от които, строгото, се обозначава със знака >, а вторият, нестрогият, е отбелязан с ³.

За това, което следва, е полезно да си припомним, че в линейно подреден пръстен елементът Ае положителен тогава и само ако А> 0 (упражнение 2.2.7).

Теорема 1.Нека система b А,+,×,0,>ñ – линейно подреден пръстен. След това за произволен елемент Аот Аили А = 0, или А> 0, или – А > 0.

Доказателство. Благодарение на линейността и строгостта между елементите
а+ аИ Асъществува само едно от отношенията а+ а>a, a+ a = a, a+ a < а. В първия случай А– положителен елемент. Във втората добавяме към двете части - Аи получаваме А= 0. В третия случай добавяме към двете страни – а – а – аи получаваме –а < -а-а, където –а– положителен елемент.

Теорема 2.Сумата и произведението на положителните елементи на линейно подреден пръстен са положителни.

Доказателството е упражнение.

Теорема 3.В линейно подреден пръстен квадратът на всеки ненулев елемент е положителен.

Доказателството е упражнение.

Теорема 4.В линейно подредено поле ако а> 0, тогава а –1 > 0.

Доказателството е упражнение.

Теорема 5. ( Критерий за поръчка) . Пръстен á А, +, ×, 0ñ ако и само тогава може да бъде линейно и строго подредено (т.е. да се въведе линеен и строг ред), ако множеството Аима подмножество А+ , отговарящи на условията:

1) АÎ А + Þ А¹ 0 & – АÏ А + ;

А¹ 0 Þ АÎ А + Ú – АÎ А + ;

2)а, бÎ А + Þ a+ bÎ А + & абÎ А + .

Доказателство. Нека първо á А,+,×,0,>ñ – линейно подреден пръстен. Като желаното подмножество А+ в този случай, по силата на теореми 1 и 2, могат да се появят много положителни елементи на системата А.

Нека сега А+ е подмножество на пръстена b А,+,×,0ñ, удовлетворяващи условията на теоремата. Нека се опитаме да въведем линеен ред > в пръстена á А,+,×,0ñ. Нека дефинираме тази връзка по следния начин:

А > b Û а – б Î А + .

Лесно е да се провери дали релацията, която въведохме, е свързана, антирефлексивна, антисиметрична, транзитивна и монотонна по отношение на събиране и умножение с всеки елемент от А + .

Няколко А+ със свойствата, посочени в условията на теорема 4, се наричат положителна част на пръстена á А,+,×,0ñ. В бъдеще, когато въвеждаме ред във всеки пръстен, ще търсим „положителната част“ в него. Ако такава част съществува в пръстена, тогава пръстенът може да бъде поръчан; ако не, тогава не може; ако има няколко такива несъответстващи положителни части, тогава той може да бъде поръчан по няколко начина.

От горното следва, че при дефиниране на линейно подреден пръстен като основно отношение, вместо двоична релация> можете да вземете унарната връзка „положителна част“.

Теорема 6. ( Критерий за уникалност на линейния ред) . Позволявам А+ и А++ – положителни части на пръстена b А,+,×,0ñ. Тогава

А + = А ++ Û А + Í А ++ .

Подобни статии