Където C 1 и C 2 са неизвестни.
Всички y са известни числа, изчислени при x = x 0. За да може системата да има решение за която и да е дясна страна, е необходимо и достатъчно главният детерминант да е различен от 0.
Определителят на Вронски. Ако детерминантата е 0, тогава системата има решение само ако има част от началните условия. Следователно от това следва, че изборът на началните условия е предмет на закона, така че всеки начални условияне може да се вземе и това е нарушение на условията на задачата на Коши.
Ако , тогава детерминантата на Wronski не е равна на 0 за никакви стойности на x 0.
Доказателство. Нека детерминантата е равна на 0, но нека изберем началните ненулеви условия y=0, y’=0. Тогава получаваме следната система:
Тази система има безкраен брой решения, когато детерминантата е 0. C 11 и C 12 са решения на системата.
Това противоречи на първия случай, което означава, че детерминантата на Вронски не е равна на 0 за всяко x 0, ако . Винаги е възможно да изберете конкретно решение от общото решение за .
Билет №33
Теорема за структурата на общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с доказателство.
Теорема за общото решение на диференциално уравнение:
решения на това уравнение, след това функцията 
също решение. Въз основа на тази теорема можем да заключим за структурата на общото решение на хомогенно уравнение: ако 1 и 2 имат решения на диференциалното уравнение, така че техните съотношения не са равни на константа, тогава линейната комбинация от тези функции е общо решение на диференциалното уравнение. Тривиално решение (или нулево) не може да служи като решение на това уравнение.
Доказателство:
Билет №34
Теорема за структурата на общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с доказателство.
Нека е дадено уравнение с дясната страна: . Уравнение без дясна страна
ако поставим 0 вместо функция, ние я наричаме характеристика.
Теорема за структурата на общото решение на уравнение с дясна част.
Т.1 Общо решениеуравненията от дясната страна могат да бъдат съставени като сбор от общото решение на уравнението без дясната страна и някакво конкретно решение дадено уравнение.
Доказателство.
Нека означим с общото решение и някое конкретно решение на това уравнение. Да вземем функцията 
. Ние имаме
, 
.
Замествайки изразите за y, y', y'' в лявата страна на уравнението, намираме: Изразът в първата квадратна скоба е равен на 0. А изразът във втората скоба е равен на функцията f(x ). Следователно функцията 
има решение на това уравнение.
Билет №35
Линеен хомогенен диференциални уравнения 2-ра поръчка с постоянни коефициенти, F.S.R. и общо решение в случай на различни реални корени, характеристични уравнения с доказателство.
Нека вземем хомогенно линейно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти:
,
където a са числа.
Нека се опитаме да удовлетворим уравнението с функция от формата . От тук имаме:
От това можем да видим какво ще бъде решението на това уравнение, ако r е коренът квадратно уравнение. Това уравнение се нарича характеристично. За да създадете характеристично уравнение, трябва да замените y с единица и всяка производна с r на степен от порядъка на производната.
1) Корените на характеристичното уравнение са реални и различни.
В този случай и двата корена могат да се приемат като индикатори на функцията r. Тук веднага можете да получите две уравнения. Ясно е, че съотношението им не е равно на постоянна стойност.
Общото решение в случай на реални и различни корени се дава по формулата:
.
Билет №36
Линейни хомогенни диференциални уравнения от 2-ри ред с постоянни коефициенти, F.S.R. и общо решение в случай на множество корени, характеристични уравнения с доказателство.
Корените на реално уравнение са реални и равни.
Безплатна оценка на клетката– (виж потенциалния метод)
Цикъл –такава последователност от клетки в транспортната таблица (i 1,j 1), (i 1,j 2), (i 2,j 2),…(i k,j 1), в която две и само две съседни клетки са разположени в един ред или колона, като първата и последната клетка също са в същия ред или колона.
(?)Пермутация по цикъла - (преместване по цикъла със стойност t)-увеличаване на обемите във всички нечетни клетки на цикъла, маркирани със знак „+“ от t и намаляване на обемите на транспортиране във всички четни клетки, маркирани със знак „-“ от t.
^ Условие за оптималност на опорния план.
Оптималният транспортен план съответства на минимума на линейната целева функция f(X)= min при ограничения на потреблението и предлагането
№ 32. Формулирайте дефиницията на диференциално уравнение от ред k и неговото общо решение. Посочете дефиницията на линейно диференциално уравнение от ред k с постоянни коефициенти. Формулирайте теореми за общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни диференциални уравнения (без доказателство).
Уравнение във формата F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, където k е фиксирано, а n е произволно естествено число,xn; x n +1 ;…; x n + k – членове на някакво неизвестно числова последователност, се нарича диференциално уравнение от ред k.
Решаването на разностно уравнение означава намиране на всички последователности (x n), които удовлетворяват уравнението.
Общото решение на уравнение от k-ти ред е неговото решение x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), в зависимост от k независими произволни константи C 1 , C 2 , …, C k . Броят на k константите е равен на порядъка на диференциалното уравнение, а независимостта означава, че никоя от константите не може да бъде изразена чрез другите.
Разгледайте линейно диференциално уравнение от ред k с постоянни коефициенти:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n, където a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) и
(fn) – дадени числаи последователност.
^ Общата теорема за решение не е хомогенно уравнение.
Общото решение x n на линейно нехомогенно диференциално уравнение е сумата от конкретното решение x n * на това уравнение и общото решение n на съответното хомогенно уравнение.
^ Теорема за общото решение на еднородно уравнение.
Нека x n 1 ,…, x n k е система, състояща се от k линейно независими решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Тогава общото решение на това уравнение се дава по формулата: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
№ 33. Опишете алгоритъм за решаване на хомогенно линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Формулирайте дефиниции на следните понятия: фундаментално множество от решения на линейно диференциално уравнение, характеристично уравнение, детерминант на Казорати.
Познаване на корените характеристично уравнениеви позволява да конструирате общо решение на хомогенно диференциално уравнение. Нека разгледаме това на примера на уравнение от втори ред: Получените решения могат лесно да бъдат прехвърлени към случая на уравнения от по-висок ред.
В зависимост от стойностите на дискриминанта D=b 2 -4ac на характеристичното уравнение са възможни следните случаи:
C1, C2 са произволни константи.
Наборът от решения на линейно хомогенно диференциално уравнение от k-ти ред образува k-мерно линейно пространствои всяко множество от k линейно независими решения (наречено фундаментално множество) е неговата основа. Признак за линейна независимост на решенията на хомогенно уравнение е, че детерминантът на Казорати не е равен на нула:
Уравнението се нарича характеристично уравнение на хомогенно линейно уравнение.
№ 34. Дадено е линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
^ Под каква форма трябва да се търси неговото конкретно решение? Обяснете отговора.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n В каква форма трябва да се търси конкретното му решение? Отговорът трябва да бъде обяснен.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n
X n +2 -4x n +1 +3x n =0
X n =C 1 3 n +C 2 1 n
X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n
X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n
X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
№ 35. Дадено е линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Под каква форма трябва да се търси неговото конкретно решение?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) x n +2 -4x n +1 +3x=0
λ 1 =3, λ 2 =1
x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2
2) f(n)=2 n, g(n)=3 n, z(n)=n 2
От основата експоненциална степен f(n)=2 n , равно на 2, не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение, търсим съответното частно решение във вида Y n =C(2) n; От основата експоненциална функция g(n)=3 n , равно на 3, съвпада с един от корените на характеристичното уравнение, тогава търсим съответното конкретно решение във формата X n =Bn(3) n. Тъй като z(n)=n 2 е полином, ние ще търсим конкретно решение под формата на полином: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
№ 36. Дадено е линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. Под каква форма трябва да се търси неговото конкретно решение?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i
Тъй като основата на експоненциалната степен f(n)=3 n, равна на 3, не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение, ние търсим съответното конкретно решение във формата Y n =B(3) n . Тъй като g(n)=n 2 е полином, ще търсим конкретно решение под формата на полином: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
№ 37. Дадено е линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Под каква форма трябва да се търси неговото конкретно решение?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i
X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )
2) f(n)=3 n, g(n)=n 2, z(n)=cos
Тъй като основата на експоненциалната степен f(n)=3 n, равна на 3, не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение, ние търсим съответното конкретно решение във формата Y n =B(3) n . Тъй като g(n)=n 2 е полином, ще търсим конкретно решение под формата на полином: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Опишете модела на Самюелсън-Хикс. Какви икономически предпоставки са в основата му? В какъв случай решението на уравнението на Хикс е стационарна последователност?
Моделът на бизнес цикъла на Самюелсън-Хикс предполага пряка пропорционалност на обемите на инвестициите към нарастването на националния доход (принцип на акселерация), т.е.
където коефициентът V>0 е коефициентът на ускорение,
I t - сумата на инвестицията в период t,
X t -1 ,X t -2 - стойността на националния доход съответно в периоди (t-1) и (t-2).
Предполага се също, че търсенето на този етап 
зависи от размера на националния доход на предходния етап 
линейно 
. Условието за равенство на търсенето и предлагането има формата 
. След това стигаме до уравнението на Хикс
където a, b са коефициентите на линейното изразяване на търсенето на този етап:
Стационарна последователност 
е решение на уравнението на Хикс само за 
; фактор 
се нарича множител на Кейнс (едномерен аналог на матрицата на общите разходи).
№ ^
39. Опишете модела на пазара на паяк. Какви икономически предпоставки са в основата му? Намерете равновесното състояние на модела на уеб пазара.
40. Формулирайте проблема за определяне на текущата стойност на купонна облигация. Какъв е проблемът на Коши за диференциално уравнение? Намерете равновесно решение на проблема на Коши за определяне на текущата стойност на купонна облигация. Проверете дали намерената стойност съответства на сумата, която трябва да бъде платена в момента, за да получите сумата на купона във всеки купонен период за безкрайно дълго време при даден лихвен процент за един купонен период.
Позволявам Е
– номиналната стойност на купонна облигация (т.е. паричната сума, платена от емитента към момента на обратното изкупуване, съвпадащ с края на последния купонен период), К
– стойност на купона (т.е. паричната сума, платена в края на всеки период на купона), х 
- текущата стойност на облигацията в края на n-ия купонен период,
Тези. стр 
съвпада със сумата, която трябва да се плати в момента, за да се получи купонната сума във всеки купонен период за безкрайно дълго време при даден лихвен процент за един купонен период.
Теорема за общото решение (за структурата на общото решение) на нормална система от нееднородни линейни оди.
Нека разгледаме нехомогенна линейна система от обикновени диференциални уравнения от n-ти ред
Тук 
А 
Вярно е следното обща теорема за структурата на решениетона тази нехомогенна линейна система от ODE.
Ако матрицата А(x) и векторна функция b
(x) са непрекъснати на [ а,
b], остави Φ
(x) е основната матрица на решенията на хомогенна линейна система, тогава общото решение на нехомогенната система Y"
= А(х) Y
+ b(x) има формата: 
Където ° С- произволен постоянен колонен вектор, x 0 - произволна фиксирана точка от отсечката.
От горната формула е лесно да се получи формула за решаване на проблема на Коши за линейна нехомогенна ОДУ система - формулата на Коши.
Решаване на проблема на Коши, Y(x 0) = Y 0 е векторна функция
Метод на вариация на произволни константи за намиране на частични решения на нормална система от нехомогенни линейни оди.
Дефиниция на система от нееднородни линейни ОДУ. ODU системаТип:
Наречен линеен разнородни . Позволявам
Система (*) във векторно-матрична форма: .- системата е хомогенна, в противен случай е нехомогенна.
Самият метод.
Нека има линейна нееднородна система 
, след това линеен хомогенна система, съответстващ на линеен нехомогенен. Нека е основната матрица на системата за вземане на решения, 
, където C е произволен постоянен вектор, е общото решение на системата. Нека потърсим решение на система (1) във формата 
, където C(x) е неизвестна (все още) векторна функция. Искаме вектор функцията (3) да бъде решение на система (1). Тогава самоличността трябва да е вярна:
(произволен постоянен вектор, който се получава в резултат на интегрирането, може да се счита за равен на 0). Тук точките x 0 са произволни.
Следователно виждаме, че ако в (3) вземем като C(t) 
, след това векторната функция 
ще бъде решение на система (1).
Общото решение на линейната нееднородна система (1) може да се запише във вида 
. Нека е необходимо да се намери решение на система (1), което да удовлетворява началното условие 
. Заместването (4) на изходните данни (5) дава 
. Следователно решението на задачата на Коши (1)-(5) може да бъде записано като: 
. В специалния случай, когато последната формула приема формата: 
.
Фундаментална система от решения на нормална система от хомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти в случай на прости реални корени на характеристичното уравнение.
Нормална линейна хомогенна системанред с постоянни коефициенти
-
или 
,Коефициентите на линейни комбинации на търсените функции са постоянни. Тази система е в матрична форма 
–матрична форма, където A е постоянна матрица. Матричен метод: От характеристично уравнение 
ще намерим различни корени и за всеки корен (отчитайки неговата кратност) ще определим съответното конкретно решение. Общото решение е: 
. В този случай 1) ако -
е истински корен от кратно 1, тогава 
, където е собственият вектор на матрица A, съответстващ на собствената стойност, т.е. 2)
–
корен от кратност, тогава системното решение, съответстващо на този корен, се търси под формата на вектор 
(**), чиито коефициенти 
се определят от система от линейни уравнения, получени чрез приравняване на коефициентите при същите степени x в резултат на заместване на вектора (**) в първоначалната система.
Основна система от NLOS решенияе колекция от произволни n линейно независими решения
Фундаментална система от решения на нормална система от хомогенни линейни ODE с постоянни коефициенти в случая, когато всички корени на характеристичното уравнение са прости, но има сложни корени.
Въпросът е премахнат.
Общ изглед на системата
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коефициенти на системата; - безплатни членове; - променливи;
Ако всички = 0, системата се нарича хомогенна.
Общо решение на системата линейни уравнения
Определение 1. Хомогенна система млинеен алгебрични уравненияЗа ннеизвестни се нарича система от уравнения
тип (1) или матрична форма (2)
където A е дадена матрица от коефициенти с размер mxn,
Колона n неизвестни, - нулева колона с височина m.
Хомогенната система винаги е последователна (разширената матрица съвпада с A) и има очевидни решения: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Това решение се нарича нулево или тривиален. Извиква се всяко друго решение, ако има такова нетривиален.
Теорема 1. Ако рангът на матрица A е равен на броя на неизвестните, тогава системата (1) има единствено (тривиално) решение.
Наистина, според теоремата на Крамър, r=n и решението е уникално.
Теорема 2. За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде по-малко числонеизвестен ( следва от теоремата за броя на решенията).
Þ ако има ненулеви решения, тогава решението не е уникално, тогава детерминантата на системата равен на нула, след това r Ü ако r Теорема 3. Хомогенна система от n уравнения с n неизвестни има ненулево решение тогава и само ако detA = 0. Þ ако има ненулеви решения, тогава има безкрайно много решения, тогава съгласно теоремата за броя на решенията r Ü ако detA = 0, тогава r Теорема 4. За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо броят на уравненията на системата да е по-малък от броя на неизвестните. Тъй като рангът на матрица от коефициенти не може да бъде по-голям от броя на нейните редове (както и броя на колоните), тогава r Определение 2. Извикват се системните променливи, разположени върху базовите колони на оригиналната коефициентна матрица основни променливи, а останалите променливи на системата се извикват Безплатно. Определение 4. Частно решениенехомогенна система AX = B се нарича колонен вектор X, получен от нуластойности Безплатнопроменливи. Теорема 6. Общо решение на нееднородна системалинейни уравнения AX = B има формата , където е конкретно решение на системата от уравнения AX = B и е FSR на хомогенната система AX = 0. Нехомогенна система от линейни уравнения е система от вида: Нейната разширена матрица. Теорема (за общото решение на нехомогенни системи). · ако , където е броят на променливите на система (2), то решение (2) съществува и то е единствено; · ако , то общото решение на система (2) има вида , където е общото решение на система (1), т.нар. общ хомогенен разтвор, е частно решение на система (2), т.нар частно нехомогенно решение. Хомогенна система от линейни уравнения е система от вида: Нулевото решение на система (1) се нарича тривиално решение. Хомогенните системи винаги са съвместими, т.к винаги има тривиално решение. Ако има някакво ненулево решение на системата, то се извиква нетривиален. Решенията на хомогенна система имат свойството линейност: Теорема (за линейното решение на хомогенни системи). Теорема (за структурата на общото решение). · ако , където е броят на системните променливи, тогава съществува само тривиално решение; · ако , то има линейно независими решения на разглежданата система: , и нейните общо решениеима формата: , където са някои константи. 2. Пермутации и замествания. Детерминанта от n-ти ред. Свойства на детерминантите. Дефиниране на детерминантата - ти ред. Нека е дадена квадратна матрица от първи ред: Определение. Продуктът на елементите на матрица A, взети по един от всеки ред и всяка колона, се нарича член на детерминантата на матрица A.3 Ако всеки два реда или две колони са разменени в детерминантата, тогава детерминантата променя знака си на обратното. 4Ако една матрица съдържа нулев ред (колона), тогава детерминантата на тази матрица е равна на нула.5 Ако два реда (колони) на една матрица са равни един на друг, тогава детерминантата на тази матрица е равна до нула.6 Ако два реда (колони) на матрица са пропорционални един на друг, тогава детерминантата на тази матрица е равна на нула.7 Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на главният диагонал.8 Ако всички елементи кред (колона) на детерминантата се представят като суми a k j + b k j, тогава детерминантата може да бъде представена като сума от съответните детерминанти.9 Детерминантата няма да се промени, ако съответните елементи на друг ред (или съответната колона) се добавят към елементите на някой от неговите редове (или съответната колона) , умножено по същото число.10. Позволявам АИ бса квадратни матрици от един и същи ред. Тогава детерминантата на произведението на матриците е равна на произведението на детерминантите: Линейни диференциални системи уравнения. Системата от диференциални уравнения се нарича линеен,ако е линеен по отношение на неизвестни функции и техните производни. система н-линейните уравнения от 1-ви ред се записват във вида: Коефициентите на системата са const. Удобно е да напишете тази система в матрична форма: , където е колонен вектор от неизвестни функции в зависимост от един аргумент. Вектор колона от производни на тези функции. Колона вектор на безплатни членове. Матрица на коефициента. Теорема 1:Ако всички коефициенти на матрицата Аса непрекъснати на някакъв интервал и , след това в някаква околност на всяко m. Наистина, в този случай десните страни на системата са непрекъснати по отношение на набора от аргументи и техните частни производни по отношение на (равни на коефициентите на матрица A) са ограничени, поради непрекъснатост на затворен интервал. Методи за решаване на SLD 1.
Система от диференциални уравнения може да се сведе до едно уравнение чрез елиминиране на неизвестните. Пример:Решете системата от уравнения: Решение:изключвам zот тези уравнения. От първото уравнение имаме . Замествайки във второто уравнение, Тази система от уравнения (1)
сведен до едно уравнение от втори ред. След намиране от това уравнение г, трябва да се намери z, използвайки равенство. 2.
При решаване на система от уравнения чрез елиминиране на неизвестни обикновено се получава уравнение от по-висок ред, така че в много случаи е по-удобно да се реши системата чрез намиране интегрирани комбинации. Продължение 27b Пример:Решете системата Решение: Нека решим тази система с помощта на метода на Ойлер. Нека запишем детерминантата за намиране на характеристиката уравнение: , (тъй като системата е хомогенна, за да има нетривиално решение, тази детерминанта трябва да е равна на нула). Получаваме характеристично уравнение и намираме неговите корени: Общото решение е: Записваме решението за: Записваме решението за: Получаваме общото решение: Да проверим: нека намерим : и го заместим в първото уравнение на тази система, т.е. . Получаваме: Линеен диф. уравнения от n-ти ред. Теорема за общото решение на нехомогенно линейно уравнение от n-ти ред. Линейно диференциално уравнение от n-ти ред е уравнение от вида: (1)
Ако това уравнение има коефициент, тогава разделяйки на него, стигаме до уравнението: (2)
. Обикновено уравнения от типа (2).
Да предположим, че в ur-i (2)
всички коефициенти, както и f(x)непрекъснато на някакъв интервал (a,b).След това, според TS&E, уравнението (2)
има уникално решение, което удовлетворява началните условия: , , …, за . Тук - всяка точка от интервала (a,b),и всички - произволни числа. Уравнението (2)
отговаря на TC&E ,
следователно няма специални решения. Деф.: специаленточките са тези, при които =0. Свойства на линейно уравнение: Деф.:ако в уравнението (2)
слагам f(x)=0, тогава получаваме уравнение от вида: (3)
, което се нарича хомогенно уравнениеспрямо нехомогенното уравнение (2).
Нека въведем линейния диференциален оператор: (4).
Използвайки този оператор, можете да пренапишете уравнението в кратка форма (2)
И (3):
L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4)
има следните прости свойства: От тези две свойства може да се изведе следствие: . функция y=y(x)е решение на нехомогенното уравнение (2),
Ако L(y(x))=f(x), Тогава f(x)наречено решение на уравнението. И така, решението на уравнението (3)
наречена функция y(x), Ако L(y(x))=0на разглежданите интервали. Обмисли нехомогенно линейно уравнение: , L(y)=f(x). Да предположим, че сме намерили определено решение по някакъв начин, тогава . Нека въведем нова неизвестна функция zпо формулата: , където е частно решение. Нека го заместим в уравнението: , отваряме скобите и получаваме: . Полученото уравнение може да бъде пренаписано като: Тъй като е конкретно решение на първоначалното уравнение, тогава , тогава . Така получихме хомогенно уравнение по отношение на z. Общото решение на това хомогенно уравнение е линейна комбинация: , където функциите - представляват основната система от решения на хомогенното уравнение. Заместване zвъв формулата за заместване, получаваме: Така общото решение на нехомогенната линия. уравнението се представя като сума от общо решение на хомогенно линейно уравнение и някакво конкретно решение на нехомогенно уравнение. (продължение от другата страна) 30. Теорема за съществуване и единственост на решението на диференциала. уравнения Теорема:Ако дясната страна на уравнението е непрекъсната в правоъгълника Доказателство: Помислете за пълното метрично пространство С,чиито точки са всички възможни непрекъснати функции y(x), дефинирани на интервала Да сменим диференциала. уравнение с дадени начални условия към еквивалентно интегрално уравнение: Използвайки неравенството на Липшиц, можем да напишем, че разстоянието . Сега нека изберем такъв, за който би било валидно следното неравенство: . След това трябва да изберете така, че. Така показахме, че. Съгласно принципа на съкращаващите преобразувания, има една точка или, което е същото, една функция - решение на диференциално уравнение, което удовлетворява зададените начални условия.
Нека (т.е. система (2) е последователна), тогава:
Нека са решенията на хомогенната система (1) и произволни константи. Тогава също е решение на разглежданата система.
Нека тогава:
1
| | | | | | | | | | |
Условията на TS&E са изпълнени. Следователно, една интегрална крива минава през всяка такава точка.
(1)
след опростяване получаваме: 
.
;
- собствен вектор.
;
- собствен вектор.
;
.
- истинско равенство.
(*) за функция г– неизвестна функция на изходното уравнение. Всички решения на оригиналното уравнение ще се съдържат в (*).
и е ограничено и също така удовлетворява условието на Липшиц: , N=const, тогава има уникално решение, което удовлетворява началните условия и е дефинирано на сегмента 
, Където ., чиито графики лежат вътре в правоъгълника, а разстоянието се определя от равенството: 
. Това пространство често се използва в математическия анализ и се нарича пространство на равномерна конвергенция, тъй като сходимостта в метриката на това пространство е еднаква.
и помислете за оператора A(y), равно на дясната страна на това уравнение: 
. Този оператор присвоява на всяка непрекъсната функция
Подобни статии
