Производна сложна функция. Обща производна

Нека z=ƒ(x;y) е функция на две променливи x и y, всяка от които е функция на независима променлива t: x = x(t), y = y(t). В този случай функцията z = f(x(t);y(t)) е сложна функция на една независима променлива t; променливите x и y са междинни променливи.

Ако z = ƒ(x;y) е функция, диференцируема в точката M(x;y) є D и x = x(t) и y = y(t) са диференцируеми функции на независимата променлива t, то производната на комплексната функция z(t ) = f(x(t);y(t)) се изчислява по формулата

Нека дадем на независимата променлива t увеличение Δt. Тогава функциите x = = x(t) и y = y(t) ще получат нараствания съответно Δх и Δу. Те от своя страна ще накарат функцията z да увеличи Az.

Тъй като по условие функцията z - ƒ(x;y) е диференцируема в точката M(x;y), нейният общ прираст може да бъде представен като

където а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (виж параграф 44.3). Нека разделим израза Δz на Δt и отидем до границата при Δt→0. Тогава Δх→0 и Δу→0 поради непрекъснатостта на функциите x = x(t) и y = y(t) (съгласно условията на теоремата те са диференцируеми). Получаваме:

Специален случай: z=ƒ(x;y), където y=y(x), т.е. z=ƒ(x;y(x)) е сложна функция на една независима променлива x. Този случай се свежда до предишния, а ролята на променливата t играе x. Съгласно формула (44.8) имаме:

Формула (44.9) се нарича формула за обща производна.

Общ случай: z=ƒ(x;y), където x=x(u;v), y=y(u;v). Тогава z= f(x(u;v);y(u;v)) е сложна функция на независимите променливи u и v. Неговите частни производни могат да бъдат намерени с формула (44.8), както следва. След като фиксираме v, ние го заместваме със съответните частни производни

Производна на функция, указана имплицитно.
Производна параметрично дадена функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в тестовете на висша математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.

Производна на функция, указана имплицитно

Или накратко, производната на неявна функция. Какво стана неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:

Функция на една променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.

Нека да разгледаме друга функция:

Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, преместване извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите изрично „y“: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.

Нека ви представя: – пример неявна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.

И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, дефинирана имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране, таблица с производни елементарни функцииостават валидни. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.

Да, и ще ви кажа добрата новина - задачите, разгледани по-долу, се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три песни.

Пример 1

1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?

- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция. Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция и е вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:

Самото решение трябва да изглежда така:

Ако има скоби, разгънете ги:

4) От лявата страна събираме термините, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:

5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:

6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Производното е намерено. Готов.

Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията може да се пренапише така: . И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, – тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Думите "имплицитна функция" по-често означават "класическа" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Трябва също да се отбележи, че „имплицитното уравнение“ може имплицитно да посочи две или дори голямо количествофункции, така че, например, уравнението на окръжност имплицитно определя функциите , , които определят полукръгове Но в рамките на тази статия няма да правим специално разграничение между термини и нюанси, това беше само информация за общо развитие. .

Второ решение

внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Начинаещи да учат математически анализи чайници, моля не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.

Преместваме всички термини в лявата страна:

И разгледайте функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Добавете щрихи към двете части:

Използваме правила за линейност:

Намиране на производни:

Отваряне на всички скоби:

Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:

Окончателен отговор:

Пример 3

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Цялостно решениеи примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на частните :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа

От лявата страна го поставяме извън скоби:

Окончателен отговор:

Пример 5

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично дефинирана функция

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. IN параметрична формафункцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра: – от първото уравнение и го заместваме във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на „x по отношение на променливата te“:

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Известно е, че функцията y= f(x) може да бъде зададена имплицитно с помощта на уравнение, свързващо променливите x и y:

F(x,y)=0.

Нека формулираме условията, при които уравнението F(x,y)=0 дефинира една от променливите като функция на другата. Вярно е следното

Теорема (наличие на неявна функция) Нека функцията F(x,y)=0 отговаря на следните условия:

1) има точка P˳(x˳,y˳) , при което F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) функции F’x (x,y)и F'y (x,y) непрекъснато в някаква околност на точката

П 0 (х 0 ,г 0).

Тогава има уникална функция y =f (x), дефинирана на някакъв интервал, съдържащ точка, и удовлетворяваща уравнението F(x,y)=0 за всяко x от този интервал, така че f(x 0)= y0

Ако y има неявна функция от х, тоест се определя от уравнението F ( х, при) = 0, тогава, ако приемем, че приима функция от х, получаваме самоличността Е (х, при(х)) = 0, което може да се разглежда като постоянна функция. Диференцирайки тази постоянна функция, получаваме:

Ако в това съотношение, тогава можете да намерите.

Диференцирайки отново връзка (1), получаваме:

Съотношението (2) може да се разглежда като уравнение за определяне на втората производна. Диференцирайки отново връзка (2), получаваме уравнение за определяне на третата производна и т.н.

Производна по посока. Насочващ вектор за случай на две и три променливи (насочващи косинуси). Увеличаване на функция в дадена посока. Дефиниция на производната по посока, нейното изразяване чрез частни производни. Функционален градиент. Относителното положение на градиента и линията на нивото в дадена точка за функция на две променливи.

Производната z'I в посока I на функция на две променливи z=f(x;y) се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията в тази посока към величината на изместването ∆I, тъй като последното клони до 0: z'i=lim∆iz /∆I

Производната z’ I характеризира скоростта на изменение на функцията в посока i.

Ако функцията z=f(x;y) има непрекъснати частни производни в точката М(x;y), то в тази точка има производна във всяка посока, излизаща от точката М(x;y), която се изчислява по формулата z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, където cosα, cosβ са дирекционните оси на вектора.

Градиентът на функцията z=f(x,y) е вектор с координати f’x, f’y. Означава се с z=(f’x,f’y) или .

Производната по посока е равна на скаларно произведениеградиент и единичен вектор, определящ посоката I.

Вектор z във всяка точка е насочен нормално към линията на нивото, минаваща през нея тази точкакъм увеличаване на функцията.

Частните производни f'x и f'y са производни на функцията z=f(x,y) по две частични посоки на осите Ox и Oy.

Нека z=f(x,y) е диференцируема функция в някаква област D, M(x,y) . Нека I е някаква посока (вектор с начало в точка M) и =(cosα;cosβ).

Когато се движи в дадена посока I точката M(x,y) до точката M1(x+∆x;y+∆y), функцията z ще получи увеличение ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y), наречено нарастване на функцията z в дадена посока I.

Ако MM1=∆I тогава ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следователно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Функция Z= f(x; y) се нарича неявна, ако е дадена от уравнението F(x,y,z)=0 неразрешено по отношение на Z. Нека намерим частните производни на функцията Z, дадена имплицитно. За да направим това, замествайки функцията f(x;y) в уравнението вместо Z, получаваме идентичността F(x,y, f(x,y))=0. Частични производни на функция, идентично равен на нула, също са равни на нула.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (счита се за константа)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xсчитана за константа)

Където
И

Пример: Намерете частните производни на функцията Z, дадена от уравнението
.

Тук F(x,y,z)=
;
;
;
. Съгласно дадените по-горе формули имаме:

Производна по посока

Нека е дадена функция на две променливи Z= f(x; y) в определена близост на точката M (x,y). Помислете за някаква посока, определена от единичния вектор
, Където
(виж снимката).

На права линия, минаваща в тази посока през точка M, вземаме точка M 1 (
), така че дължината
segmentMM 1 е равно на
. Приращението на функцията f(M) се определя от връзката, където
свързани с връзки. Ограничение на съотношението при
ще се нарича производна на функцията
в точката
към и да бъдат определени .

Ако функцията Z е диференцируема в точката
, тогава неговото нарастване в тази точка, като се вземат предвид отношенията за
може да се запише в следната форма.

разделяйки двете части на

и преминаване до границата при
получаваме формула за производната на функцията Z= f(x; y) по посока:

Градиент

Да разгледаме функция на три променливи
диференцируеми в даден момент
.

Градиентът на тази функция
в точка M е вектор, чиито координати са съответно равни на частните производни
в този момент. За да посочите градиент, използвайте символа
.
=
.

.Градиентът показва посоката на най-бързия растеж на функцията в дадена точка.

Тъй като единичният вектор има координати (
), тогава производната по посока за случая на функция на три променливи се записва във формата, т.е. има формулата за скаларното произведение на векторите И
. Нека пренапишем последната формула, както следва:

, Където - ъгъл между вектор И
. Тъй като
, тогава следва, че производната на функцията по посока приема максималната стойност при =0, т.е. когато посоката на векторите И
съвпада. При което
Тоест всъщност градиентът на функция характеризира посоката и големината на максималната скорост на нарастване на тази функция в дадена точка.

Екстремум на функция на две променливи

Концепциите за max, min, екстремум на функция на две променливи са подобни на съответните концепции на функция на една променлива. Нека функцията Z= f(x; y) е дефинирана в някаква област D и т.н. M
принадлежи към тази област. Точка М
се нарича максимална точка на функцията Z= f(x; y), ако има такава δ-околност на точката
, че за всяка точка от тази околност неравенството
. Точката min се определя по подобен начин, само знакът за неравенство ще се промени
. Стойността на функцията в точката max(min) се нарича максимум (минимум). Максимумът и минимумът на функцията се наричат екстремуми.

Необходими и достатъчни условия за екстремум

Теорема:(Необходими условия за екстремум). Ако в точка М
диференцируемата функция Z= f(x; y) има екстремум, тогава нейните частни производни в тази точка са равни на нула:
,
.

Доказателство:След като фиксираме една от променливите x или y, ние трансформираме Z = f(x; y) във функция на една променлива, за чийто екстремум трябва да бъдат изпълнени горните условия. Геометрични равенства
И
означава, че в точката на екстремума на функцията Z= f(x; y), допирателната равнина към повърхността, представляваща функцията f(x,y)=Z, е успоредна на равнината OXY, тъй като уравнението на допирателната равнина е Z = Z 0. Точката, в която частните производни от първи ред на функцията Z = f (x; y) са равни на нула, т.е.
,
, се наричат стационарна точка на функцията. Една функция може да има екстремум в точки, където поне една от частните производни не съществува. Например Z=|-
| има max в точка O(0,0), но няма производни в тази точка.

Наричат се стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частна производна критични точки.В критични точки функцията може или не може да има екстремум. Равенството на частните производни на нула е необходимо, но не достатъчно условие за съществуването на екстремум. Например, когато Z=xy, точка O(0,0) е критична. Функцията Z=xy обаче няма екстремум в себе си. (Защото в I и III четвърти Z>0, а във II и IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достатъчно условие за екстремуми). Пуснете в неподвижна точка
и в определена близост функцията f(x; y) има непрекъснати частни производни до 2-ри ред включително. Нека изчислим в точката
стойности
,
И
. Нека обозначим

Ако
, екстремум в точка
може и да не е. Необходими са още изследвания.

Несъмнено в съзнанието ни образът на функцията се свързва с равенството и съответната линия – графиката на функцията. Например, - функционална зависимост, чиято графика е квадратна парабола с връх в началото и клонове, насочени нагоре; е синусова функция, известна със своите вълни.

В тези примери лявата страна на равенството е y, а дясната страна е израз в зависимост от аргумента x. С други думи, имаме решено уравнение за y. Представянето на функционална зависимост под формата на такъв израз се нарича чрез изрично посочване на функцията(или функционират изрично). И този тип присвояване на функции е най-познат за нас. В повечето примери и задачи ни се представят изрични функции. Вече говорихме подробно за диференциацията на функциите на една променлива, посочена изрично.

Функцията обаче предполага съответствие между набор от стойности на x и набор от стойности на y и това съответствие НЕ е непременно установено от формула или аналитичен израз. Тоест има много начини за указване на функция освен обичайния.

В тази статия ще разгледаме неявни функции и методи за намиране на техните производни. Примери за функции, които са посочени имплицитно, включват или .

Както забелязахте, неявната функция се определя от релацията. Но не всички такива отношения между x и y дефинират функция. Например нито една двойка реални числа x и y не отговаря на равенството, следователно тази връзка не дефинира имплицитна функция.

Той може имплицитно да определи закона за съответствие между количествата x и y и всяка стойност на аргумента x може да съответства или на една (в този случай имаме функция с една стойност), или на няколко стойности на функцията (в този случай функцията се нарича многозначна). Например, стойността x = 1 съответства на две реални стойности y = 2 и y = -2 на неявно посочената функция.

Не винаги е възможно да се приведе имплицитна функция в експлицитна форма, в противен случай няма да е необходимо да се диференцират самите имплицитни функции. Например, - не се преобразува в изрична форма, а - се преобразува.

Сега към точката.

За да се намери производната на имплицитно дадена функция, е необходимо да се диференцират двете страни на равенството по отношение на аргумента x, считайки y за функция на x, и след това да се изрази.

Диференцирането на изрази, съдържащи x и y(x), се извършва с помощта на правила за диференциране и правилото за намиране на производната на сложна функция. Нека веднага разгледаме няколко примера в детайли, за да няма допълнителни въпроси.

Пример.

Разграничете изразите в x, разглеждайки y като функция на x.

Решение.

защото y е функция на x, тогава е сложна функция. Тя може да бъде конвенционално представена като f(g(x)), където f е кубичната функция и g(x) = y. Тогава, според формулата за производна на сложна функция, имаме: .

Когато диференцираме втория израз, изваждаме константата от знака за производна и действаме както в предишния случай (тук f е функцията синус, g(x) = y):

За третия израз прилагаме формулата за производната на продукта:

Прилагайки последователно правилата, различаваме последния израз:

Сега можете да преминете към намиране на производната на имплицитно определена функция, за това имате всички знания.

Пример.

Намерете производната на неявна функция.

Решение.

Производната на неявно посочена функция винаги се представя като израз, съдържащ x и y: . За да стигнем до този резултат, диференцираме двете страни на равенството: