Когачислото се самоумножава на себе си, работаНаречен степен.

Така че 2,2 = 4, квадрат или втора степен на 2
2.2.2 = 8, куб или трета степен.
2.2.2.2 = 16, четвърта степен.

Освен това 10,10 = 100, втората степен на 10.
10.10.10 = 1000, трета степен.
10.10.10.10 = 10000 четвърта степен.

И a.a = aa, втора степен на a
a.a.a = aaa, трета степен на a
a.a.a.a = aaaa, четвърта степен на a

Извиква се оригиналният номер коренстепени на това число, защото това е числото, от което са създадени степените.

Това обаче не е съвсем удобно, особено в случая високи градуси, запишете всички фактори, които съставят степените. Следователно се използва метод за стенографско означение. Коренът на степента се изписва само веднъж, а отдясно и малко по-нагоре близо до него, но с малко по-малък шрифт, се изписва колко пъти коренът действа като фактор. Това число или буква се нарича експонентили степенчисла. И така, a 2 е равно на a.a или aa, защото коренът a трябва да се умножи по себе си два пъти, за да се получи степента aa. Освен това 3 означава ааа, тоест тук а се повтаря три пътикато множител.

Показателят на първа степен е 1, но обикновено не се записва. И така, 1 се записва като a.

Не трябва да бъркате степените с коефициенти. Коефициентът показва колко често се приема стойността Частцялото. Силата показва колко често се приема дадено количество факторв работата.
И така, 4a = a + a + a + a. Но 4 = a.a.a.a

Схемата за нотиране на мощност има особеното предимство, че ни позволява да изразяваме неизвестенстепен. За тази цел степента се записва вместо число писмо. В процеса на решаване на задача можем да получим количество, което знаем, че е някоистепен на друга величина. Но засега не знаем дали е квадрат, куб или друга, по-висока степен. И така, в израза a x степенният показател означава, че този израз има някоистепен, макар и неопределена каква степен. И така, b m и d n са повдигнати на степени на m и n. Когато степенният показател бъде намерен, номерсе замества вместо буква. Така че, ако m=3, тогава b m = b 3 ; но ако m = 5, тогава b m = b 5.

Методът за писане на стойности с помощта на мощности също е голямо предимство при използване изрази. Така (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), тоест кубът на тричлена (a + b + d) . Но ако напишем този израз, след като го повдигнем до куб, той ще изглежда така
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ако вземем поредица от степени, чиито показатели нарастват или намаляват с 1, ще открием, че произведението нараства с общ множител или намалява с общ делител и този множител или делител е оригиналното число, което е повдигнато на степен.

И така, в поредицата ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, 4, 3, 2, 1;
индикаторите, ако се броят отдясно наляво, са 1, 2, 3, 4, 5; а разликата между техните стойности е 1. Ако започнем на дясно умножават сечрез a, ние успешно ще получим множество стойности.

Така че a.a = a 2 , втори член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , трети член. a 4 .a = a 5 .

Ако започнем наляво разделямдо а,
получаваме 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но този процес на разделяне може да бъде продължен по-нататък и ние получаваме нов набор от стойности.

И така, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Пълният ред ще бъде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Ето ги и стойностите на дясноот един има обратенстойности вляво от едно. Следователно тези степени могат да бъдат наречени обратни степениа. Можем също да кажем, че степените отляво са обратни на степените отдясно.

И така, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3.

Същият план за запис може да се приложи към полиноми. И така, за a + b получаваме множеството,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

За удобство се използва друга форма на писане на реципрочни правомощия.

Според тази форма 1/a или 1/a 1 = a -1. И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

И за да направим пълна серия с 1 като обща разлика с показатели, a/a или 1 се счита за нещо, което няма степен и се записва като 0 .

След това, като се вземат предвид преките и обратните правомощия
вместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/аааа
можете да напишете 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Или +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

И поредица от само отделни степени ще изглежда така:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Коренът на степен може да бъде изразен с повече от една буква.

Така aa.aa или (aa) 2 е втората степен на aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 е третата степен на aa.

Всички степени на числото 1 са еднакви: 1.1 или 1.1.1. ще бъде равно на 1.

Степенуването е намиране на стойността на всяко число чрез умножаване на това число по себе си. Правило за степенуване:

Умножете количеството по себе си толкова пъти, колкото е посочено в степента на числото.

Това правило е общо за всички примери, които могат да възникнат по време на процеса на степенуване. Но е редно да се даде обяснение как се прилага в конкретни случаи.

Ако само един член е повдигнат на степен, тогава той се умножава по себе си толкова пъти, колкото е посочено от експонентата.

Четвъртата степен на а е 4 или aaaa. (Чл. 195.)
Шестата степен на y е y 6 или yyyyyy.
N-та степен на x е x n или xxx..... повторено n пъти.

Ако е необходимо да се повдигне израз на няколко члена на степен, принципът, че мощността на произведението на няколко фактора е равна на произведението на тези фактори, повдигнато на степен.

Така че (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
И така, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Следователно, при намирането на мощността на продукт, можем или да работим с целия продукт наведнъж, или можем да работим с всеки фактор поотделно и след това да умножим техните стойности със степените.

Пример 1. Четвъртата степен на dhy е (dhy) 4, или d 4 h 4 y 4.

Пример 2. Третата степен е 4b, има (4b) 3, или 4 3 b 3, или 64b 3.

Пример 3. N-та степен на 6ad е (6ad) n или 6 n и n d n.

Пример 4. Третата степен на 3m.2y е (3m.2y) 3, или 27m 3 .8y 3.

Степента на бином, състоящ се от членове, свързани с + и -, се изчислява чрез умножаване на неговите членове. да

(a + b) 1 = a + b, първа степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, втора степен (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета степен.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четвърта степен.

Квадратът на a - b е a 2 - 2ab + b 2.

Квадратът на a + b + h е a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Намерете куба a + 2d + 3

Упражнение 2. Намерете четвъртата степен на b + 2.

Упражнение 3. Намерете петата степен на x + 1.

Упражнение 4. Намерете шестата степен 1 ​​- b.

Сборни квадрати сумиИ различиябиномите се срещат толкова често в алгебрата, че е необходимо да ги познаваме много добре.

Ако умножим a + h по себе си или a - h по себе си,
получаваме: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 също, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Това показва, че във всеки случай първият и последният член са квадратите на a и h, а средният член е два пъти произведението на a и h. От тук квадратът на сбора и разликата на биномите може да се намери с помощта на следното правило.

Квадратът на бином, двата члена на който са положителни, е равен на квадрата на първия член + два пъти произведението на двата члена + квадрата на последния член.

Квадрат различиябиноми е равно на квадрата на първия член минус два пъти произведението на двата члена плюс квадрата на втория член.

Пример 1. Квадрат 2a + b, има 4a 2 + 4ab + b 2.

Пример 2. Квадрат ab + cd, има 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Пример 3. Квадрат 3d - h, има 9d 2 + 6dh + h 2.

Пример 4. Квадратът a - 1 е a 2 - 2a + 1.

За метод за намиране на по-високи степени на биноми вижте следващите раздели.

В много случаи е ефективно да се запише степенибез умножение.

И така, квадратът на a + b е (a + b) 2.
N-та степен на bc + 8 + x е (bc + 8 + x) n

В такива случаи скобите покриват всичкочленове под степен.

Но ако коренът на степента се състои от няколко умножители, скобите могат да покриват целия израз или могат да се прилагат отделно към факторите в зависимост от удобството.

Така квадратът (a + b)(c + d) е или [(a + b).(c + d)] 2, или (a + b) 2. (c + d) 2.

За първия от тези изрази резултатът е квадратът на произведението на два фактора, а за вторият резултатът е произведението на техните квадрати. Но те са равни помежду си.

Куб a.(b + d) е 3 или a 3.(b + d) 3.

Знакът пред участващите членове също трябва да се вземе предвид. Много е важно да запомните, че когато коренът на една степен е положителен, всичките му положителни степени също са положителни. Но когато коренът е отрицателен, стойностите с странномощности са отрицателни, докато стойностите дориградусите са положителни.

Втората степен (- a) е +a 2
Третата степен (-a) е -a 3
Четвъртата степен (-a) е +a 4
Петата степен (-a) е -a 5

Следователно всякакви странностепента има същия знак като числото. Но дористепента е положителна, независимо дали числото е с отрицателен или положителен знак.
И така, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Количество, което вече е било повдигнато на степен, се повдига отново на степен чрез умножаване на показателите.

Третата степен на 2 е 2,3 = 6.

За a 2 = aa; куб aa е aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; което е шестата степен на а, но третата степен на 2.

Четвъртата степен на a 3 b 2 е a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Третата степен на 4a 2 x е 64a 6 x 3.

Петата степен на (a + b) 2 е (a + b) 10.

N-тата степен на 3 е 3n

N-та степен на (x - y) m е (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правилото важи еднакво и за отрицателенстепени.

Пример 1. Третата степен на a -2 е a -3,3 =a -6.

За a -2 = 1/aa и третата степен на това
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвъртата степен на a 2 b -3 е a 8 b -12 или a 8 /b 12.

Квадратът е b 3 x -1, има b 6 x -2.

N-та степен на ax -m е x -mn или 1/x.

Тук обаче трябва да помним, че ако знакът предишенстепента е "-", тогава трябва да се промени на "+", когато степента е четно число.

Пример 1. Квадратът -a 3 е +a 6. Квадратът на -a 3 е -a 3 .-a 3, което според правилата за знаците при умножение е +a 6.

2. Но кубът -a 3 е -a 9. За -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-та степен -a 3 е a 3n.

Тук резултатът може да бъде положителен или отрицателен в зависимост от това дали n е четно или нечетно.

Ако фракциясе повдига на степен, тогава числителят и знаменателят се повдигат на степен.

Квадратът на a/b е a 2 /b 2 . Според правилото за умножение на дроби,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Втората, третата и n-та степен на 1/a са 1/a 2, 1/a 3 и 1/a n.

Примери биноми, в която един от членовете е дроб.

1. Намерете квадрата на x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадратът на a + 2/3 е a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадратът на x - b/m е x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

По-рано беше показано, че дробен коефициентможе да се премести от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя. Използвайки схемата за изписване на реципрочни правомощия, става ясно, че всеки множителсъщо може да се мести, ако се промени знакът на степента.

И така, в дробта ax -2 /y можем да преместим x от числителя към знаменателя.
Тогава ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дробта a/по 3 можем да преместим y от знаменателя към числителя.
Тогава a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

По същия начин можем да преместим фактор, който има положителен показател в числителя или фактор с отрицателен показател в знаменателя.

И така, ax 3 /b = a/bx -3. За x 3 обратното е x -3 , което е x 3 = 1/x -3 .

Следователно знаменателят на всяка дроб може да бъде напълно премахнат или числителят може да бъде намален до единица, без да се променя значението на израза.

И така, a/b = 1/ba -1 или ab -1.

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

може да се намери чрез умножение. Например: 5+5+5+5+5+5=5x6. За такъв израз се казва, че сборът от равни членове се сгъва в произведение. И обратното, ако прочетем това равенство отдясно наляво, откриваме, че сме разширили сбора от равни членове. По същия начин можете да свиете произведението на няколко равни множителя 5x5x5x5x5x5=5 6.

Тоест, вместо да умножат шест еднакви множителя 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет на шеста степен”.

Изразът 5 6 е степен на число, където:

5 - степен база;

6 - експонент.

Наричат ​​се действия, чрез които произведението на равни множители се свежда до степен издигане на степен.

IN общ изгледстепен с основа "а" и показател "n" се записва така

Повишаването на числото a на степен n означава намиране на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "а" е равна на 1, тогава стойността на степента за всяко естествено число n ще бъде равна на 1. Например 1 5 =1, 1 256 =1

Ако увеличите числото „а“ до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 = a

Ако повишите произволно число до нулева степен, тогава в резултат на изчисленията получаваме едно. а 0 = 1

Втората и третата степен на число се считат за специални. Те измислиха имена за тях: втората степен се нарича квадрат на числото, трето - кубтози номер.

Всяко число може да бъде повдигнато на степен - положителна, отрицателна или нула. В този случай не се прилагат следните правила:

При намиране на степента на положително число резултатът е положително число.

Когато изчисляваме нула към естествената степен, получаваме нула.

x m · x n = x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Да се разделят степени с еднакви основиНе променяме основата, а изваждаме степените:

x m / x n = x m - n , Където, m > n,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При изчисляване издигане на степен на степенНе променяме основата, а умножаваме степенните степени един по друг.

(при м ) н = y m н

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Х · y) n = x n · y m ,

например:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

При извършване на изчисления съгл повишаване на дроб на степенповдигаме числителя и знаменателя на дробта на дадена степен

(x/y)n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Последователността на изчисленията при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи степени, те първо извършват степенуване, след това умножение и деление и едва след това операции събиране и изваждане.

Ако трябва да изчислите израз, съдържащ скоби, първо направете изчисленията в скобите в реда, посочен по-горе, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления се използват готови таблици на мощностите за опростяване на изчисленията.

Продължавайки разговора за силата на числото, логично е да разберем как да намерим стойността на мощността. Този процес се нарича степенуване. В тази статия ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И според традицията ще разгледаме подробно решения на примери за повишаване на числата на различни степени.

Навигация в страницата.

Какво означава "степенуване"?

Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.

Определение.

степенуване- това е намиране на стойността на степента на число.

По този начин намирането на стойността на степента на число a с показател r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.

Повишаване на число на естествена степен

На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест, при повдигане на число a на дробна степен m/n, първо се взема корен n-та от числото a, след което полученият резултат се повдига на цяла степен m.

Нека да разгледаме решенията на примери за повдигане на дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на градуса.

Решение.

Ще покажем две решения.

Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена и след това извличаме кубичния корен: .

Втори начин. По дефиницията на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените са верни следните равенства: . Сега извличаме корена , накрая го повдигаме на цяло число .

Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.

Отговор:

Обърнете внимание, че дробният показател може да се запише като десетичен знакили смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб и след това да се повдигне на степен.

Пример.

Изчислете (44.89) 2.5.

Решение.

Нека напишем степента във формата обикновена дроб(ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повдигането до дробна степен:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробния показател съдържат достатъчно големи числа), който обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.

За да завършим тази точка, нека се спрем на повишаването на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: когато имаме , а при нула до степента m/n не е дефинирана. Така че нула на дробна положителна степен равно на нула, Например, . А нулата в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите 0 -4,3 нямат смисъл.

Издигане до ирационална степен

Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на градуса с точност до определен знак. Нека веднага да отбележим, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронни компютри, тъй като ръчното й повишаване до ирационална мощност изисква голям брой тромави изчисления. Но все пак ще опишем в общи линии същността на действията.

За да се получи приблизителна стойност на степента на число a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетично приближение на дадено число се вземе първоначално, толкова по-точна стойност на степента ще се получи накрая.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Нека вземем следното десетично приближение на ирационалния показател: . Сега повдигаме 2 до рационалната степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационалния показател, например, тогава получаваме по-точна стойност на оригиналния показател: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an = an.

Например a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

По принцип степенуването често се използва в различни формули в математиката и физиката. Тази функция има по-научна цел от четирите основни: събиране, изваждане, умножение, деление.

Повдигане на число на степен

Повишаването на число на степен не е сложна операция. Свързано е с умножението по подобен начин на връзката между умножение и събиране. Нотацията an е кратка нотация на n-тия брой числа „a“, умножени едно по друго.

Помислете най-много за степенуване прости примери, преминавайки към сложни.

Например 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четири на квадрат (на втора степен) е равно на шестнадесет. Ако не разбирате умножението 4 * 4, прочетете нашата статия за умножението.

Нека да разгледаме друг пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пет на куб (на трета степен) е равно на сто двадесет и пет.

Друг пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девет на куб се равнява на седемстотин двадесет и девет.

Формули за степенуване

За да повдигнете правилно на степен, трябва да запомните и знаете формулите, дадени по-долу. В това няма нищо особено естествено, основното е да разберете същността и тогава те не само ще бъдат запомнени, но и ще изглеждат лесни.

Повдигане на моном на степен

Какво е моном? Това е произведение на числа и променливи във всяко количество. Например две е моном. И тази статия е точно за повдигането на такива мономи на степени.

Използвайки формулите за степенуване, няма да е трудно да се изчисли степенуването на моном.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ако повдигнете моном на степен, тогава всеки компонент на монома се повдига на степен.

Чрез повишаване на променлива, която вече има степен, на степен, степените се умножават. Например (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Повдигане на отрицателна степен

Отрицателната степен е реципрочната стойност на число. Какво е реципрочното число? Реципрочната стойност на всяко число X е 1/X. Тоест X-1=1/X. Това е същността на отрицателния градус.

Разгледайте примера (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Защо така? Тъй като има минус в степента, ние просто прехвърляме този израз в знаменателя и след това го повдигаме на трета степен. Просто, нали?

Повдигане на дробна степен

Нека започнем, като разгледаме проблема с конкретен пример. 43/2. Какво означава степен 3/2? 3 – числител, означава повдигане на число (в случая 4) до куб. Числото 2 е знаменателят; това е извличането на втория корен от число (в този случай 4).

След това получаваме корен квадратен от 43 = 2^3 = 8. Отговор: 8.

И така, знаменателят на дробна степен може да бъде 3 или 4 и до безкрайност всяко число и това число определя степента на квадратния корен, взет от дадено число. Разбира се, знаменателят не може да бъде нула.

Издигане на корен до степен

Ако коренът се повдигне до степен, равна на степента на самия корен, тогава отговорът ще бъде радикален израз. Например (√x)2 = x. И така във всеки случай степента на корена и степента на издигане на корена са равни.

Ако (√x)^4. Тогава (√x)^4=x^2. За да проверим решението, преобразуваме израза в израз с дробна степен. Тъй като коренът е квадратен, знаменателят е 2. И ако коренът е повдигнат на четвърта степен, тогава числителят е 4. Получаваме 4/2=2. Отговор: x = 2.

Във всеки случай най-добрият вариант е просто да преобразувате израза в израз с дробна степен. Ако дробта не се съкращава, тогава това е отговорът, при условие че коренът на даденото число не е изолиран.

Повдигане на комплексно число на степен

Какво е комплексно число? Комплексно число– израз с формулата a + b * i; а, б – реални числа. i е число, което, когато се повдигне на квадрат, дава числото -1.

Нека разгледаме един пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишете се за курса „Ускорете менталната аритметика, НЕ менталната аритметика“, за да научите как бързо и правилно да събирате, изваждате, умножавате, разделяте, квадратирате числа и дори да извличате корени. След 30 дни ще научите как да използвате лесни трикове за опростяване на аритметичните операции. Всеки урок съдържа нови техники, ясни примери и полезни задачи.

Степенене онлайн

С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите повишаването на число на степен:

Степенуване 7 клас

Учениците започват да се издигат на степен едва в седми клас.

Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an=an.

Например, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примери за решение:

Представяне на степенуване

Презентация за издигане на степени, предназначена за седмокласници. Презентацията може да изясни някои неясни точки, но тези точки вероятно няма да бъдат изяснени благодарение на нашата статия.

Долен ред

Разгледахме само върха на айсберга, за да разберете по-добре математиката - запишете се за нашия курс: Ускоряване на менталната аритметика - НЕ на менталната аритметика.

От курса не само ще научите десетки техники за опростено и бързо умножение, събиране, умножение, деление и изчисляване на проценти, но и ще ги практикувате в специални задачи и образователни игри! Менталната аритметика също изисква много внимание и концентрация, които се тренират активно при решаване на интересни задачи.

Подобни статии