Цели на урока:

• учат учениците да решават уравнения от по-високи степени, използвайки схемата на Horner;
• развиват способността за работа по двойки;
• създайте, във връзка с основните раздели на курса, основа за развитие на способностите на учениците;
• помогнете на ученика да оцени своя потенциал, развийте интерес към математиката, способността да мислите и да говорите по темата.

Оборудване:карти за групова работа, плакат с диаграма на Хорнер.

Метод на обучение:лекция, разказ, обяснение, изпълнение на тренировъчни упражнения.

Форма на контрол:проверка на самостоятелно решаване на задачи, самостоятелна работа.

По време на часовете

1. Организационен момент

2. Актуализиране на знанията на учениците

Коя теорема ви позволява да определите дали едно число е корен? дадено уравнение(формулирайте теорема)?

Теорема на Безу. Остатъкът от деленето на полинома P(x) на бинома x-c е равно P(c), числото c се нарича корен на полинома P(x), ако P(c)=0. Теоремата позволява, без да се извършва операцията деление, да се определи дали дадено число е корен на полином.

Какви твърдения улесняват намирането на корени?

а) Ако водещият коефициент на полином е равен на единица, то корените на полинома трябва да се търсят сред делителите на свободния член.

б) Ако сумата от коефициентите на полином е 0, тогава един от корените е 1.

в) Ако сумата от коефициентите на четни места е равна на сумата от коефициентите на нечетни места, тогава един от корените е равен на -1.

г) Ако всички коефициенти са положителни, тогава корените на полинома са отрицателни числа.

д) Полином от нечетна степен има поне един реален корен.

3. Учене на нов материал

Когато решавате цели алгебрични уравнения, трябва да намерите стойностите на корените на полиномите. Тази операция може да бъде значително опростена, ако изчисленията се извършват с помощта на специален алгоритъм, наречен схема на Horner. Тази верига е кръстена на английския учен Уилям Джордж Хорнър. Схемата на Horner е алгоритъм за изчисляване на частното и остатъка от деленето на полинома P(x) на x-c. Накратко как работи.

Нека е даден произволен полином P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Разделянето на този полином на x-c е неговото представяне във формата P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Частично g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, където in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Остатък r(x)= st n-1 +a n. Този метод на изчисление се нарича схема на Хорнер. Думата „схема“ в името на алгоритъма се дължи на факта, че неговата реализация обикновено се форматира по следния начин. Първо начертайте таблица 2(n+2). В долната лява клетка напишете числото c, а в горния ред коефициентите на полинома P(x). В този случай горната лява клетка остава празна.

	в 0 =a 0	в 1 =st 1 +a 1	в 2 = св 1 + А 2		в n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Числото, което след изпълнение на алгоритъма се оказва записано в долната дясна клетка, е остатъкът от деленето на полинома P(x) на x-c. Останалите числа в 0, в 1, в 2,... в долния ред са коефициентите на частното.

Например: Разделете полинома P(x)= x 3 -2x+3 на x-2.

Получаваме, че x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Затвърдяване на изучения материал

Пример 1:Разложете полинома P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 на фактори с цели коефициенти.

Търсим цели корени сред делителите на свободния член -1: 1; -1. Нека направим таблица:

X = -1 – корен

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Да проверим 1/2.

					X=1/2 - корен

Следователно полиномът P(x) може да бъде представен във формата

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Пример 2:Решете уравнението 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Тъй като сборът от коефициентите на полинома, записан в лявата страна на уравнението, е равен на нула, тогава един от корените е 1. Нека използваме схемата на Хорнер:

						X=1 - корен

Получаваме P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Ще търсим корени сред делителите на свободния член 2.

Разбрахме, че вече няма здрави корени. Да проверим 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - корен

Отговор: 1; -1/2.

Пример 3:Решете уравнението 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Корените на това уравнение ще търсим сред делителите на свободния член 5: 1;-1;5;-5. x=1 е коренът на уравнението, тъй като сборът на коефициентите е нула. Нека използваме схемата на Horner:

Нека представим уравнението като произведение на три фактора: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Решавайки квадратното уравнение 5x 2 -7x+5=0, получаваме D=49-100=-51, няма корени.

Карта 1

1. Разложете полинома на множители: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Решете уравнението: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Карта 2

1. Разложете полинома на множители: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Решете уравнението: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Карта 3

1. Разложете на множител: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Решете уравнението: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Карта 4

1. Разложете на фактор: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Решете уравнението: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Обобщаване

Проверката на знанията при решаване по двойки се извършва в клас чрез разпознаване на начина на действие и наименованието на отговора.

Домашна работа:

Решете уравненията:

а) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

б) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

в) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

г) x 4 +2x 3 -x-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и началото на анализа, 10 клас (задълбочено изучаване на математика): Просвещение, 2005 г.
2. U.I. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение на уравнения от по-високи степени: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Бройни системи и тяхното приложение.

2 Схема на Хорнер

3 функции в свободна форма

4 Намиране на корените на полиноми

Списък на използваните източници на информация

1 Намиране на корените на уравненията (Раздел на уравнение 1)

Един от най-разпространените методи за намиране на корените на уравненията е методът на Нютон и неговите модификации. Да предположим, че трябва да решим уравнението

. Ще приемем, че x е решение на уравнението. Нека разширим функцията f(x) в серия в точка x0 близо до точката x и се ограничим само до първите два члена на разширението.

Тъй като х е коренът на уравнението, тогава

. следователно

По този начин, ако знаем приблизителната стойност на корена на уравнението, тогава полученото уравнение ни позволява да го прецизираме. Ясно е, че процесът на прецизиране може да се повтори много пъти, докато стойността на функцията се различава от нула със стойност, по-малка от определената точност на търсене. Следващия k-то приближениесе намира по формулата

Чрез ограничаване на разширението само до първите два члена, ние всъщност заменихме функцията f(x) с допирателна права линия в точката x0, поради което методът на Нютон се нарича още метод на допирателната. Не винаги е удобно да се намери аналитичен израз за производната на функция. Това обаче не е особено необходимо: ​​тъй като на всяка стъпка получаваме приблизителна стойност на корена, можем да използваме приблизителната стойност на производната, за да я изчислим.

Като малко количество

можете да вземете например дадена точност на изчисление, тогава формулата за изчисление ще приеме формата (1.1)

От друга страна, за да изчислите производната, можете да използвате стойностите на функцията, получени в предишните две стъпки,

(1.2)

В тази форма методът се нарича секантен метод. В този случай обаче възниква проблем с изчисляването на първото приближение. Обикновено се смята, че

, тоест първата стъпка от изчисленията се извършва по формула (1.1), а всички следващи стъпки се извършват по формула (1.2). Именно тази изчислителна схема е реализирана в пакета Mathcad. Използвайки метода на секанса, не можем да гарантираме, че коренът се намира между последните две приближения. Възможно е обаче да се изчисли следващото приближение, като се използват границите на интервала, в който функцията променя знака. Този метод се нарича метод на акордите (метод на фалшива позиция).

Идеята за метода на секанса е разработена в метода на Мюлер. При този метод обаче трите предишни точки се използват за намиране на следващото приближение. С други думи, методът използва не линейна, а квадратична интерполация на функция. Формулите за изчисление на метода са както следва:

Знакът пред корена се избира така, че абсолютната стойност на знаменателя да е максимална.

Тъй като търсенето на корена приключва, когато условието е изпълнено

, тогава могат да се появят фалшиви корени. Например, за уравнение ще се появи фалшив корен, ако точността на търсене е зададена на по-малко от 0,0001. Чрез увеличаване на точността на търсенето можете да се отървете от фалшивите корени. Този подход обаче не работи за всички уравнения. Например за уравнението, което очевидно няма истински корени, за всяка точност, независимо колко малка е, има стойност x, която удовлетворява критерия за прекратяване на търсенето. Горните примери показват, че резултатите от компютърните изчисления винаги трябва да се третират критично и да се анализират за правдоподобност. За да избегнете клопки, когато използвате всеки стандартен пакет, който прилага числени методи, трябва да имате поне минимално разбиране за това кой числов метод е внедрен за решаване на определен проблем.

В случай, че е известен интервалът, на който се намира коренът, можете да използвате други методи за намиране на решение на уравнението.

Методът на Ridder изчислява стойността на функция в средата на интервала

. След това потърсете експоненциална функция, така че След това приложете метода на акорда, като използвате стойностите на . Следващата стойност се изчислява по формула (1.5)

Методът Brent съчетава скоростта на метода на Ридър и гарантираната конвергенция на метода на разполовяването. Методът използва обратна квадратична интерполация, т.е. търси x като квадратична функцияг. На всяка стъпка се проверява местоположението на корена. Формулите на метода са доста тромави и няма да ги представяме.

Използват се специални методи за намиране на корените на полином. В този случай могат да бъдат намерени всички корени. След намиране на един от корените на полинома, степента на полинома може да бъде понижена, след което търсенето на корена се повтаря.

Метод на Лобачевски, метод за приблизително (числово) решаване на алгебрични уравнения, открит независимо един от друг от белгийския математик Ж. Данделин, руския математик Н. И. Лобачевски (през 1834 г. в най-съвършен вид) и швейцарския математик К. Грефе. Същността на линейния метод е да се построи уравнението f1(x) = 0, корените на което са квадратни корени на първоначалното уравнение f(x) = 0. След това се построява уравнението f2(x) = 0, корените на които са квадратните корени на уравнението f1(x) = 0. Повтарянето на този процес няколко пъти води до уравнение, чиито корени са силно разделени. Ако всички корени на първоначалното уравнение са реални и различни в абсолютна стойност, има прости изчислителни схеми за линейни методи за намиране на приблизителни стойности на корените. При равни по абсолютна стойност корени, както и при комплексни корени, изчислителните схеми на линейните метри са много сложни.

Методът на Laguerre се основава на следните отношения за полиноми

Знакът пред корена е избран така, че да се получи най-висока стойностзнаменател.

Друг метод, който се използва за намиране на корените на полиноми, е методът на придружаващата матрица. Може да се докаже, че матрицата

наречена придружаваща матрица за полинома

, има собствени стойности, равни на корените на полинома. Спомнете си, че собствените стойности на матрица са онези числа , за които равенството или . Има много ефективни методи за търсене собствени стойности, ще говорим за някои от тях по-нататък. По този начин проблемът с намирането на корените на полином може да се сведе до проблема с намирането на собствените стойности на придружаващата матрица.

2 Схема на Хорнер

Изчислението по схемата на Хорнер се оказва по-ефективно и не е много сложно. Тази схема се основава на следното представяне на полином:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Нека вземем общ полином от формата:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Ще приемем, че всички коефициенти an, ..., a0 са известни, постоянни и се съхраняват в масив. Това означава, че единственият вход за оценка на полинома е стойността на x, а изходът на програмата трябва да бъде стойността на полинома в точка x.

Имоти

къде в общ случайсложни) корени на полином, евентуално с повторения, и ако сред корените на полином има равни, тогава тяхната обща стойност се нарича множествен корен.

Намиране на корени

Методът за намиране на корените на линейни и квадратни полиноми, т.е. методът за решаване на линейни и квадратни уравнения, е бил известен в древния свят. Търсенето на формула за точното решение на общо уравнение от трета степен продължи дълго време (трябва да се спомене методът, предложен от Омар Хаям), докато не се увенча с успех през първата половина на 16 век в произведенията на Сципионе дел Феро, Николо Тарталия и Джероламо Кардано. Формулите за корените на квадратни и кубични уравнения направиха относително лесно получаването на формули за корените на уравнения от четвърта степен.

Какви корени общо уравнениестепените на петата и по-високите не могат да бъдат изразени с помощта на рационални функции и радикали на коефициенти е доказано от норвежкия математик Нилс Абел през 1826 г. Това изобщо не означава, че корените на такова уравнение не могат да бъдат намерени. Първо, в специални случаи, за определени комбинации от коефициенти, корените на уравнението могат да бъдат определени с известна изобретателност. Второ, има формули за корените на уравнения от степен 5 и по-висока, които обаче използват специални функции - елиптични или хипергеометрични (вижте например корена на Bring).

Ако всички коефициенти на полином са рационални, тогава намирането на неговите корени води до намиране на корените на полином с цели коефициенти. За рационални корениИма алгоритми за намиране на такива полиноми чрез търсене на кандидати по схемата на Horner, а при намиране на цели корени търсенето може да бъде значително намалено чрез почистване на корените. Също така в този случай можете да използвате полиномиалния LLL алгоритъм.

За приблизително намиране (с необходимата точност) на реалните корени на полином с реални коефициентиИзползват се итеративни методи, например методът на секущата, методът на разполовяването, методът на Нютон. Броят на реалните корени на полином върху интервал може да се оцени с помощта на теоремата на Щурм.

Вижте също

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Канализация
• Речник на вексилологичните термини

Вижте какво е „Корен на полином“ в други речници:

Корен на алгебрично уравнение

Корен на уравнението- Коренът на полином върху полето k е елемент, който след заместването му с x превръща уравнението в идентичност. Свойства Ако c е корен на полинома p(x ... Wikipedia

Донесете корен- Проверете информацията. Необходимо е да се провери точността на фактите и надеждността на информацията, представена в тази статия. Трябва да има обяснение на страницата за разговори. В алгебрата коренът на Bring или ултрарадикалът е аналитична функция, такава че за... ... Wikipedia

Корен (многозначност)- Корен: Уикиречникът има статия „корен“ Коренът (в ботаниката) е вегетативен аксиален подземен орган на растение, което има sp ... Wikipedia

Корен (в математиката)- Корен в математиката, 1) К. степен n на числото a ≈ число x (означено), чиято n-та степен е равна на a (т.е. xn = a). Действието за намиране на К. се нарича извличане на корен. За ¹ 0 има n различни значенияК. (най-общо казано, ... ...

корен- I Коренът (radix) е един от основните вегетативни органи на листните растения (с изключение на мъховете), служещ за прикрепване към субстрата, усвояване на вода и хранителни вещества от него, първична трансформация на редица усвоени вещества,.. ... Велика съветска енциклопедия

КОРЕН- 1) K. степен n от числото a число n и i-та степен x n на числото е равно на a. 2) Уравнението на алгебрично уравнение върху поле K, елементът, който след заместването му на място превръща уравнението в идентичност. К. на това уравнение се нарича. също K. полином Ако се появи... ... Математическа енциклопедия

Множествен корен- полином f (x) = a0xn + a1xn ​​​​1 +... + an, число c такова, че f (x) се дели на секунда или повече без остатък висока степенбином (x c). В този случай c се нарича корен на кратността, ако f (x) се дели на (x c) k, но не... ... Велика съветска енциклопедия

Конюгиран корен- Ако някои нередуцируем полиномнад пръстен и някои от неговите корени в разширението са избрани, тогава спрегнатият корен за даден корен на полином се нарича всеки корен на полинома ... Wikipedia

Корен квадратен от 2- равна на дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълникс дължина на крака 1. Корен квадратен от числото 2 е положителен ... Wikipedia

Ако функцията f(x) е полином, тогава всички нейни корени могат да бъдат определени с помощта на вградената функция

където v е вектор, съставен от коефициентите на полинома.

Тъй като полином от n-та степен има точно n корена (някои от тях може да са кратни), векторът v трябва да се състои от n+1 елемента. Резултатът от функцията polyroots() е вектор, съставен от n корена на въпросния полином. В този случай не е необходимо да се въвежда първоначално приближение, както при функцията root(). Пример за търсене на корени на полином от четвърта степен е показан на фиг. 4.6:

Ориз. 4.6. Намиране на корена на полином

Коефициентите на полинома, разглеждан в примера, са записани като вектор-колона, започващ със свободния член и завършващ с коефициента на най-висока степен x n.

За функцията polyroots() можете да изберете един от двата числени метода - метода на Lagger polynomial (той е инсталиран по подразбиране) или метода на двойната матрица. За да промените метода, трябва да извикате контекстното меню, като щракнете с десния бутон върху думата polyroots и изберете LaGuerre или Companion Matrix в горната част на контекстното меню. След това трябва да щракнете извън функцията polyroots - и ако режимът за автоматично изчисление е включен, корените на полинома ще бъдат преизчислени в съответствие с новоизбрания метод.

За да оставите избора на метод за решение на Mathcad, трябва да поставите отметка в квадратчето AutoSelect, като изберете елемента със същото име в същото контекстно меню.

Решаване на системи от нелинейни уравнения

Да разгледаме решението на системата n нелинейни уравненияс m неизвестни

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,...,x m) = 0,

Тук f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) са някои скаларни функции на скаларни променливи x 1 ,... ,х m и евентуално , от всякакви други променливи. В уравненията може да има повече или по-малко променливи. Имайте предвид, че горната система може да бъде официално пренаписана като

където x е вектор, съставен от променливи x 1,...,x m, а f (x) е съответната векторна функция.

За решаване на системи има специална изчислителна единица, състояща се от три части, идващи последователно една след друга:

Given – ключова дума;

Система, написана с помощта на булеви оператори под формата на равенства и евентуално неравенства;

Find(x 1,...,x m) е вградена функция за решаване на системата по отношение на променливите x 1,...,x m.

Блокът Given/Find използва итеративни методи за намиране на решение, следователно, подобно на функцията root(), се изисква да се зададат началните стойности за всички x 1,...,x m. Това трябва да се направи преди да напишете дадена ключова дума. Стойността на функцията Find е вектор, съставен от решението за всяка променлива. По този начин броят на векторните елементи е равен на броя на аргументите Find.

Нека разгледаме един пример. Решете система от две уравнения с две неизвестни:

с точност до 0,01. Разделете корените графично.

Нека представим уравненията на системата под формата на следните функции на една променлива:

Нека изберем дискретни стойности на променливите:

Нека намерим корените на уравнението с помощта на блока Given – Find():

На фиг. 4.7 показва друг пример за решаване на система от две уравнения:

Ориз. 4.7. Решаване на система от уравнения

Първо, фиг. 4.7 са въведени функциите, които определят системата от уравнения. Тогава на променливите x и y, спрямо които ще се решава, се присвояват начални стойности. Това е последвано от ключовата дума Given и два оператора за булево равенство, изразяващи въпросната система от уравнения. Изчислителният блок се допълва от функцията Find, чиято стойност се присвоява на вектора v. След това се отпечатва съдържанието на вектор v, т.е. решението на системата. Първият елемент на вектора е първият аргумент на функцията Find, вторият елемент е нейният втори аргумент. Накрая се провери правилността на решението на уравненията. Имайте предвид, че уравненията могат да бъдат дефинирани директно в рамките на изчислителната единица.

Графична интерпретация на разглежданата система е представена на фиг. 4.8. Всяко от уравненията е показано в равнината xy чрез графика. Първото уравнение е представено с крива, второто с плътна линия. Две пресечни точки на кривите съответстват на едновременното изпълнение на двете уравнения, т.е. на желаните реални корени на системата. Както е лесно да се види, на фиг. 4.7 е намерено само едно от двете решения - разположено в долната дясна част на графиката, за да намерите второто решение, трябва да повторите изчисленията, като промените първоначалните стойности, така че да лежат по-близо до друга пресечна точка на. графиките, например x = -1, y = -1.

Ориз. 4.8. Графично решение на система от две уравнения

Разгледан е пример за система от две уравнения и същия брой неизвестни, която се среща най-често. Има обаче случаи, когато броят на уравненията и неизвестните може да не съвпада. Освен това към изчислителната единица могат да се добавят допълнителни условия под формата на неравенства. Например, въвеждането на ограничение за търсене само на отрицателни стойности на x в примера, обсъден по-горе, ще доведе до намиране на различно решение, както е показано на фиг. 4.9:

Ориз. 4.9. Решаване на система от уравнения и неравенства

Въпреки същите начални стойности като на фиг. 4.8, на фиг. 4.9 се получава друг корен. Това се случи именно поради въвеждането на допълнително неравенство, което е дефинирано в даден блок (x< 0).

Ако се опитате да решите несъвместима система, Mathcad ще покаже съобщение за грешка, че не е намерено решение и трябва да опитате да промените първоначалните стойности или стойността на грешката.

Изчислителната единица използва константата CTOL, за да оцени грешката при решаването на уравнения, въведени след ключовата дума Given. Например, ако CTOL=0,001, тогава уравнението x=10 ще се счита за изпълнено както при x=10,001, така и при x=9,999. Друга константа TOL определя условието за спиране на итерациите от числения алгоритъм. Стойността на CTOL може да бъде зададена от потребителя по същия начин като TOL, например CTOL:=0,01. По подразбиране се приема, че CTOL=TOL=0,001, но можете да ги замените, ако желаете.

Трябва да се внимава особено, когато се решават системи с повече неизвестни от броя на уравненията. Например, можете да премахнете едно от двете уравнения от фигурата, която разгледахме. 4.7, опитвайки се да реши единственото уравнение g(x,y)=0 с две неизвестни x и y. В тази формулировка проблемът има безкраен брой корени: за всяко x и, съответно, y = -x/2, условието, определящо единственото уравнение, е изпълнено. Въпреки това, дори ако има безкраен брой корени, численият метод ще извършва изчисления само докато логическите изрази в изчислителната единица не бъдат изпълнени (в границите на грешката). След това итерациите ще бъдат спрени и ще бъде върнато решение. В резултат на това ще бъде намерена само една двойка стойности (x, y), открита първа.

Изчислителният блок с функцията Find може също да намери корена на уравнение с едно неизвестно. Действието Find в този случай е напълно подобно на примерите, които вече бяха обсъдени в този раздел. Проблемът за намиране на корен се разглежда като решаване на система, състояща се от едно уравнение. Единствената разлика е, че числото, върнато от функцията Find(), е скаларен, а не векторен тип. Пример за решаване на уравнението от предишния раздел е показано на фиг. 4.10.

Ориз. 4.10. Намиране на корена на уравнение в едно неизвестно с помощта на функцията Find().

Mathcad предлага три различни типа градиентни методи за решаване на система от нелинейни уравнения с помощта на блока Given – Find(). За да промените числения метод, трябва:

Щракнете с десния бутон върху името на функцията Find;

Изберете елемента Нелинейно в контекстното меню, което се появява;

Изберете един от трите метода: Конюгатен градиент (по подразбиране), Квази-Нютон или Левенберг-Марквард.

§ 13. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решаване на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 165

13.1. Основни определения 165

13.2. Основни свойства на целочислените полиноми 166

13.3. Основни свойства на корените на алгебрично уравнение 169

13.4. Решаване на основни алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 173

13.5. Упражнения за самостоятелна работа 176

Въпроси за самопроверка 178

Речник 178

1. Основни определения

Цяла алгебрична функция или алгебричен полином (полином )аргумент хнаречена функция от следния тип

Тук н–степен на полином (естествено число или 0), х – променлива (реална или комплексна), а 0 , а 1 , …, а н –полиномни коефициенти (реални или комплексни числа), а 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратен тричлен;

,
;.

Номер х 0 такива, че П н (х 0)0, наречено нулева функция П н (х) или корен на уравнението
.

Например,

неговите корени
,
,
.

защото
И
.

Забележка (за дефиницията на нули на цяла алгебрична функция)

В литературата функционалните нули често са
се наричат ​​неговите корени. Например числа
И
се наричат ​​корени на квадратната функция
.

1. Основни свойства на целочислените полиноми

 Идентичността (3) е валидна за  х 
(или х  ), следователно е валиден за
; заместване
, получаваме А н = b н. Нека взаимно отменим условията в (3) А нИ b ни разделете двете части на х:

Това тъждество е вярно и за  х, включително когато х= 0, така че ако приемем х= 0, получаваме А н – 1 = b н – 1 .

Нека взаимно отменим условията в (3") А н– 1 и b н– 1 и разделете двете страни на х, като резултат получаваме

Продължавайки аргумента по подобен начин, получаваме това А н – 2 = b н –2 , …, А 0 = b 0 .

По този начин е доказано, че идентичното равенство на два целочислени полинома предполага съвпадение на техните коефициенти за едни и същи степени х.

Обратното твърдение е доста очевидно, тоест, ако два полинома имат еднакви всички коефициенти, тогава те са идентични функции, дефинирани в множеството
, следователно техните стойности съвпадат за всички стойности на аргумента
, което означава тяхното идентично равенство. Свойство 1 е напълно доказано.

Пример (идентично равенство на полиноми)

.

 Нека напишем формулата за деление с остатък: П н (х) = (х – х 0)∙Q н – 1 (х) + А,

Където Q н – 1 (х) - полином от степен ( н – 1), А- остатъкът, който е число, дължащо се на добре известния алгоритъм за разделяне на полином на бином "в колона".

Това равенство е вярно за  х, включително когато х = х 0 ; вярвайки
, получаваме

П н (х 0) = (х 0 – х 0)Q н – 1 (х 0) + А  А = П н (х 0) 

Следствие от доказаното свойство е твърдение за разделянето без остатък на полином на бином, известно като теорема на Безу.

Теорема на Безу (за деление на целочислен полином на бином без остатък)

Ако броят е нулата на полинома , тогава този полином се дели без остатък на разликата , тоест равенството е вярно  (5)

 Доказателството на теоремата на Безу може да се извърши без да се използва доказаното преди това свойство за деление на целочислен полином
по бином
. Наистина, нека напишем формулата за деление на многочлена
по бином
с остатък A=0:

Сега нека вземем това предвид е нулата на полинома
, и напишете последното равенство за
:

Примери (факторизиране на полином с помощта на т.нар. Безут)

1) защото П 3 (1)0;

2) защото П 4 (–2)0;

3) защото П 2 (–1/2)0.

Доказателството на тази теорема е извън обхвата на нашия курс. Следователно приемаме теоремата без доказателство.

Нека поработим върху тази теорема и теоремата на Безу с полинома П н (х):

след н-многократно прилагане на тези теореми получаваме това

Където а 0 е коефициентът при х нв полиномиална нотация П н (х).

Ако в равенството (6) кчисла от комплекта х 1 ,х 2 , …х нсъвпадат помежду си и с числото , тогава в произведението вдясно получаваме фактора ( х–) к. След това числото х= се нарича k-кратен корен на полинома П н (х ) , или корен на кратност k . Ако к= 1, след това числото
Наречен прост корен на полином П н (х ) .

Примери (полиномна линейна факторизация)

1) П 4 (х) = (х – 2)(х – 4) 3  х 1 = 2 - прост корен, х 2 = 4 - троен корен;

2) П 4 (х) = (х – i) 4  х = i- корен от кратност 4.

Подобни статии