2015. május 28

Leonhard Euler (1707-1783) - híres svájci és orosz matematikus, a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja, élete nagy részét Oroszországban élte le. Legismertebb in matematikai elemzés A statisztikát, a számítástechnikát és a logikát Euler-körnek tekintik (Euler-Venn diagram), amely a fogalmak és elemkészletek hatókörének jelzésére szolgál.

John Venn (1834-1923) - angol filozófus és logikus, az Euler-Venn diagram társszerzője.

Kompatibilis és inkompatibilis fogalmak

A logikai fogalom egy olyan gondolkodási formát jelent, amely a homogén objektumok osztályának lényeges jellemzőit tükrözi. Egy vagy több szócsoporttal jelölik őket: „világtérkép”, „domináns kvintakkord”, „hétfő” stb.

Abban az esetben, ha egy fogalom hatókörének elemei részben vagy egészben egy másik fogalom körébe tartoznak, akkor kompatibilis fogalmakról beszélünk. Ha egy bizonyos fogalom hatókörének egyetlen eleme sem tartozik egy másik fogalom körébe, akkor összeférhetetlen fogalmakkal állunk szemben.

Viszont minden fogalomtípusnak megvan a maga lehetséges kapcsolatrendszere. A kompatibilis fogalmak esetében ezek a következők:

kötetek azonossága (ekvivalenciája);
kötetek metszéspontja (részleges egybeesése);
alárendeltség (alárendeltség).

Nem kompatibilisek esetén:

alárendeltség (koordináció);
ellentétes (ellentétes);
ellentmondás (ellentmondás).

Sematikusan a fogalmak közötti kapcsolatokat a logikában általában Euler-Venn körökkel jelöljük.

Egyenértékűségi viszonyok

Ebben az esetben a fogalmak ugyanazt a tárgyat jelentik. Ennek megfelelően e fogalmak köre teljesen egybeesik. Például:

A - Sigmund Freud;

B a pszichoanalízis megalapítója.

Egy négyzet;

B - egyenlő oldalú téglalap;

C egy egyenlőszögű rombusz.

A jelöléshez teljesen egybeeső Euler-köröket használunk.

kereszteződés (részleges egyezés)

Tanár;

B zeneszerető.

Amint ebből a példából is látható, a fogalmak köre részben egybeesik: a tanárok egy bizonyos csoportja kiderülhet, hogy zeneszerető, és fordítva - a zenekedvelők között lehetnek a tanári szakma képviselői. Hasonló kapcsolat áll fenn abban az esetben is, ha az A fogalom például „városlakó”, a B pedig „vezető”.

Alárendeltség (alárendeltség)

Sematikusan különböző léptékű Euler-körökként jelölve. A fogalmak közötti viszonyt ebben az esetben az jellemzi, hogy az alárendelt fogalom (terjedelmében kisebb) teljesen benne van az alárendeltben (terjedelmében nagyobb). Ugyanakkor az alárendelt fogalom nem meríti ki teljesen az alárendeltet.

Például:

Egy fa;

B - fenyő.

A B fogalom alárendelődik az A fogalomnak. Mivel a fenyő a fák közé tartozik, az A fogalom lesz ebben a példában alárendelve, „felszívva” a B fogalom volumenét.

Alárendeltség (koordináció)

A kapcsolat két vagy több olyan fogalmat jellemez, amelyek kizárják egymást, ugyanakkor egy bizonyos általános generikus körbe tartoznak. Például:

A - klarinét;

B - gitár;

C - hegedű;

D - hangszer.

Az A, B, C fogalmak nem fedik át egymást, azonban mind a hangszerek kategóriájába tartoznak (D fogalom).

Szemben (ellenkezőleg)

A fogalmak közötti ellentétes viszonyok azt jelentik, hogy ezek a fogalmak ugyanabba a nemzetségbe tartoznak. Sőt, az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokkal (jelekkel) rendelkezik, míg a másik tagadja azokat, és a természetben ellentétesekkel helyettesíti őket. Tehát antonimákkal van dolgunk. Például:

A - törpe;

B egy óriás.

A fogalmak közötti ellentétes viszonyok esetén az Euler-kör három szakaszra oszlik, amelyek közül az első az A fogalomnak, a második a B fogalomnak, a harmadik pedig az összes többi lehetséges fogalomnak felel meg.

Ellentmondás (ellentmondás)

Ebben az esetben mindkét fogalom ugyanazon nemzetség fajait jelenti. Az előző példához hasonlóan az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokat (jeleket) jelez, míg a másik tagadja azokat. Az ellentét viszonyától eltérően azonban a második, ellentétes fogalom nem helyettesíti a tagadott tulajdonságokat más, alternatív tulajdonságokkal. Például:

A - nehéz feladat;

B egy könnyű feladat (nem-A).

Az ilyen fogalmak terjedelmét kifejezve Euler köre két részre oszlik - ebben az esetben nincs harmadik, köztes láncszem. Így a fogalmak egyben antonimák is. Ebben az esetben az egyik (A) pozitívvá válik (valamely tulajdonság megerősítése), a második (B vagy nem A) negatívvá válik (megtagadva a megfelelő attribútumot): „fehér papír” - „nem fehér papír”, „ Nemzeti történelem" - "külföldi történelem" stb.

Így a fogalmak térfogatának egymáshoz viszonyított aránya a kulcsjellemző, amely meghatározza az Euler-köröket.

A halmazok közötti kapcsolatok

Különbséget kell tenni az elemek és halmazok fogalmai között is, amelyek térfogatát Euler-körök tükrözik. A halmaz fogalma innen származik matematikai tudományés meglehetősen tág jelentése van. A logikai és matematikai példák objektumok bizonyos gyűjteményeként jelenítik meg. Maguk az objektumok is ennek a halmaznak az elemei. „A halmaz sok mindent egyként fog fel” (Georg Cantor, a halmazelmélet alapítója).

A halmazokat nagybetűkkel jelöljük: A, B, C, D... stb., a halmazok elemeit kisbetűkkel jelöljük: a, b, c, d... stb. ugyanaz az osztályterem, egy bizonyos polcon álló könyvek (vagy például egy bizonyos könyvtár összes könyve), napló oldalai, bogyók egy erdei tisztáson stb.

Ha viszont egy adott halmaz egyetlen elemet sem tartalmaz, akkor üresnek nevezzük és Ø jellel jelöljük. Például a párhuzamos egyenesek metszéspontjainak halmaza, az x 2 = -5 egyenlet megoldásainak halmaza.

Problémamegoldás

Az Euler-köröket aktívan használják számos probléma megoldására. A logikai példák egyértelműen bemutatják a logikai műveletek és a halmazelmélet közötti kapcsolatot. Ebben az esetben fogalmi igazságtáblázatokat használnak. Például az A névvel jelölt kör az igazság régióját jelenti. Tehát a körön kívüli terület hazugságot jelent. A diagramterület meghatározásához logikai működés, árnyékolnia kell azokat az Euler-kört meghatározó területeket, amelyekben az A és B elemek értékei igazak lesznek.

Az Euler köröket széles körben használják gyakorlati használat különböző iparágakban. Például egy szakmai választással járó helyzetben. Ha az alany a választás miatt aggódik jövőbeli szakma, akkor a következő kritériumok vezérelhetik:

W - mit szeretek csinálni?

D - mit csinálok?

P - Hogyan kereshetek jó pénzt?

Ábrázoljuk ezt diagram formájában: Euler-körök (példák a logikában - metszéspont reláció):

Az eredmény azok a szakmák lesznek, amelyek mindhárom kör metszéspontjában lesznek.

Az Euler-Venn körök különleges helyet foglalnak el a matematikában (halmazelmélet) a kombinációk és tulajdonságok számításakor. Az elemhalmaz Euler-körei az univerzális halmazt (U) jelölő téglalap képébe záródnak. A körök helyett más zárt figurák is használhatók, de a lényeg nem változik. Az ábrák metszik egymást, a probléma körülményei szerint (legtöbbször általános eset). Ezenkívül ezeket a számokat ennek megfelelően kell megjelölni. A vizsgált halmazok elemei lehetnek a diagram különböző szegmenseiben elhelyezkedő pontok. Ez alapján meghatározott területek árnyékolhatók, ezáltal újonnan kialakított halmazok jelölhetők ki.

Ezekkel a halmazokkal lehetőség nyílik alapvető matematikai műveletek elvégzésére: összeadás (elemhalmazok összege), kivonás (különbség), szorzás (szorzat). Ezenkívül az Euler-Venn diagramoknak köszönhetően lehetőség nyílik a halmazok összehasonlítására a bennük lévő elemek száma alapján, számlálás nélkül.

Logikák. oktatóanyag Guszev Dmitrij Alekszejevics

1.6. Euler-kör diagramok

Mint már tudjuk, a logikában hat lehetőség van a fogalmak közötti kapcsolatokra. Bármely két összehasonlítható fogalom szükségszerűen szerepel ezen relációk egyikében. Például fogalmak íróÉs orosz a kereszteződéshez kapcsolódnak, íróÉs Emberi- benyújtás, MoszkvaÉs Oroszország fővárosa- egyenértékűség, MoszkvaÉs Pétervár- alárendeltség, nedves útÉs száraz út- ellentétek, AntarktiszÉs szárazföld- benyújtás, AntarktiszÉs Afrika– alárendeltség, stb., stb.

Figyelnünk kell arra, hogy ha két fogalom egy részt és egy egészet jelöl pl hónapÉs év, akkor alá-fölérendeltségi viszonyban állnak, bár úgy tűnhet, hogy alárendeltségi viszony van közöttük, hiszen a hónap benne van az évben. Ha azonban a fogalmak hónapÉs év beosztottak voltak, akkor azt kellene kijelenteni, hogy egy hónap feltétlenül egy év, és egy év nem feltétlenül egy hónap (emlékezzünk az alárendeltségi viszonyra a fogalmak példáján kárászÉs hal: a kárász feltétlenül hal, de a hal nem feltétlenül kárász). Egy hónap nem év, és egy év nem hónap, de mindkettő egy időszak, ezért a hónap és az év fogalma, valamint a fogalmak könyvÉs könyvoldal, autóÉs autó kerék, molekulaÉs atom stb., alá-fölérendeltségi viszonyban állnak, mivel a rész és az egész nem azonos a fajjal és a nemzetséggel.

Kezdetben azt mondták, hogy a fogalmak lehetnek összehasonlíthatók és összehasonlíthatatlanok. Úgy gondolják, hogy az összefüggésekre vonatkozó hat lehetőség csak összehasonlítható fogalmakra alkalmazható. Mindazonáltal kijelenthetjük, hogy minden összehasonlíthatatlan fogalom alárendeltségi viszonyban áll egymással. Például olyan összehasonlíthatatlan fogalmak, mint pingvinÉs égi test alárendeltnek tekinthető, mert a pingvin nem égitest és fordítva, de ugyanakkor a fogalmak köre pingvinÉs égi test egy harmadik, velük kapcsolatos általános fogalom tágabb körébe tartoznak: ez lehet a fogalom a környező világ tárgya vagy az anyag formája(végül is a pingvin és az égitest is a környező világ különböző tárgyai vagy az anyag különböző formái). Ha az egyik fogalom valami anyagi, a másik pedig megfoghatatlan (pl. faÉs gondolat), akkor ezeknek (ahogyan lehet érvelni) az alárendelt fogalmaknak az általános fogalma az létforma, mert a fa, a gondolat és bármi más a létezés különböző formái.

Mint már tudjuk, a fogalmak közötti kapcsolatokat Euler kördiagramjai ábrázolják. Sőt, eddig sematikusan ábrázoltuk két fogalom kapcsolatát, és ez meg is valósítható nagy mennyiség fogalmak. Például a fogalmak közötti kapcsolatok boxer, feketeÉs Emberi

Kölcsönös megállapodás körök azt mutatja, hogy fogalmak bokszolóÉs fekete ember a metszésponthoz kapcsolódnak (egy bokszoló lehet néger és lehet, hogy nem, a néger pedig lehet bokszoló, de lehet, hogy nem), és a fogalmak bokszolóÉs Emberi, akárcsak a fogalmak fekete emberÉs Emberi alárendeltségi viszonyban vannak (végül is minden bokszoló és néger szükségszerűen személy, de lehet, hogy egy személy nem bokszoló vagy néger).

Tekintsük a fogalmak közötti kapcsolatokat nagyapa, apa, férfi, személy kördiagram segítségével:

Amint látjuk, ez a négy fogalom egymás utáni alárendeltségi viszonyban áll: a nagyapa szükségképpen apa, és az apa nem feltétlenül nagyapa; minden apa szükségszerűen férfi, de nem minden férfi apa; és végül a férfi szükségszerűen férfi, de nem csak férfi lehet férfi. A fogalmak közötti kapcsolatok ragadozó, hal, cápa, piranha, csuka, élőlény az alábbi ábrán láthatók:

Próbálja meg saját maga kommentálni ezt a diagramot, megállapítva a rajta lévő fogalmak közötti kapcsolatok összes típusát.

Összefoglalva megjegyezzük, hogy a fogalmak közötti kapcsolatok a köteteik közötti viszonyok. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy a fogalmak között kapcsolatokat tudjunk felállítani, azok térfogatának élesnek, ennek megfelelően a tartalomnak egyértelműnek, azaz határozottnak kell lennie. Ami a fentebb tárgyalt határozatlan fogalmakat illeti, meglehetősen nehéz, sőt lehetetlen pontos összefüggéseket megállapítani közöttük, mert tartalmuk homályossága és elmosódott terjedelme miatt bármely két határozatlan fogalom ekvivalensként vagy metszőként jellemezhető, ill. alárendelt, stb. Például lehetséges-e kapcsolatokat létesíteni homályos fogalmak között hanyagságÉs gondatlanság? Hogy egyenértékűség vagy alárendeltség lesz-e, azt nem lehet biztosan megmondani. Így a határozatlan fogalmak közötti kapcsolatok is határozatlanok. Nyilvánvaló tehát, hogy az értelmi és beszédgyakorlat azon helyzeteiben, ahol a fogalmak közötti összefüggések meghatározásánál pontosság és egyértelműség szükséges, nem kívánatos a homályos fogalmak használata.

Vízkereszt című könyvből szerző Efimov Viktor Alekszejevics

A Tudomány és technológia filozófiája című könyvből szerző Sztyepin Vjacseszlav Szemenovics

A műszaki elmélet elméleti sémái és absztrakt tárgyai Az elméleti sémák absztrakt objektumok összessége, amelyek egyrészt a megfelelő matematikai apparátus használatára, másrészt egy gondolatkísérletre orientálódnak,

A mítosz dialektikája című könyvből szerző Losev Alekszej Fedorovics

2. A séma, az allegória és a szimbólum dialektikája Milyen típusú kapcsolatok lehetségesek általában? Nagyon sok van belőlük. De Schelling nyomán három fő típust lehet azonosítani. Ugyanakkor szem előtt kell tartanunk, hogy a „belső” és a „külső” kifejezések nagyon általánosak, és

A Vízöntő korszaka című könyvből. Apokalipszis vagy újjászületés szerző Efimov Viktor Alekszejevics

A Válogatott művek című könyvből szerző Shchedrovitsky Georgij Petrovics

Az Ember a tanítások között című könyvből szerző Krotov Viktor Gavrilovics

Megjegyzések és diagramok Az egyén belső munkájára épülő tanítás maga ezt a személyiséget sem tudná túlélni az új személyiségek új belső munkájának hullámai nélkül. Akik sajátos jelentést láttak maguknak ebben a tanításban. A létfeltételek változnak, jön

A helyes gondolkodás művészete című könyvből szerző Ivin Alekszandr Arhipovics

A HELYES INDOKOLÁS SZÁMÁI Íme két példa a deduktív következtetésekre a század eleji orosz humorista, V. Bilibin történetéből. „Ha a nap nem létezne a világon, folyamatosan gyertyát és petróleumot kellene égetnünk. Ha folyamatosan gyertyát és petróleumot kellene égetnünk, akkor tisztviselők

A szerelem etikája és az önakarat metafizikája: Az erkölcsfilozófia problémái című könyvből. szerző Davydov Jurij Nyikolajevics

Tolsztoj és Dosztojevszkij morálfilozófiája a nihilizmus nihilizmusának nietzschei sémájában A múlt század utolsó negyede óta a nihilizmus problémája a nyugat-európai filozófia legfontosabb problémái között az egyik első helyre került. A „státuszával” ő elsősorban

A Normák a nyelv terében című könyvből szerző Fedyaeva Natalya Dmitrievna

2.1.1. A beszédkommunikáció normái és sémái: beszédetikett Az első problématerület - a beszédetikett - megválasztása a következők miatt következik be. A norma lényeges jellemzőinek meghatározásakor elkezdtünk eltávolodni a társadalmi normáktól, miközben észrevettük, hogy létezésük teljes mértékben

A Spiral Dynamics [Értékek, vezetés és változás kezelése a 21. században] című könyvből írta: Beck Don

2.1.2. Szemiotikailag rögzült normák-sémák: műfajok A társadalmilag és szemiotikailag rögzült normák szembenállásának alapja, ahogy az I. fejezetben is elhangzott, a szociokulturális gyakorlatban való megszilárdulásuk módja. Az első - íratlan törvények - programok, sémák lesznek

A Logika és érvelés: Tankönyv című könyvből. kézikönyv egyetemek számára. szerző Ruzavin Georgij Ivanovics

Az Építészet és ikonográfia című könyvből. „A szimbólum teste” a klasszikus módszertan tükrében szerző Vanyan Stepan S.

9.1. Az érvelés szerkezetének grafikus diagramjai Minden érvelés bizonyos tények megállapításával és megvitatásával kezdődik, amelyeket a továbbiakban adatoknak nevezünk, és amelyek segítségével egy bizonyos következtetést levonnak és igazolnak. Ezen kívül elköltözni

A szerző könyvéből

Az ikonográfia mint módszerrendszer: sémák és fenyegetések Az ikonográfiai elemzés maga a gyakorlat egy „bevizsgált sémát” alkotott a szekvenciális kutatási akciókból. A diagram a következőket tartalmazza: – pontosítás történelmi jelentősége motívum - az idő szempontjából (pillanat

Ha azt hiszed, hogy nem tudsz semmit az Euler-körökről, akkor tévedsz. Sőt, valószínűleg nem egyszer találkoztál már velük, csak nem tudtad, hogy hívják. Pontosan hol? Az Euler-körök formájú sémák számos népszerű internetes mém alapját képezték (egy adott témában online terjesztett képek).

Találjuk ki együtt, milyen körök ezek, miért hívják őket, és miért olyan kényelmesek sok probléma megoldására.

A kifejezés eredete

egy geometriai diagram, amely segít a jelenségek és fogalmak közötti logikai összefüggések megtalálásában és/vagy egyértelműbbé tételében. Segít a halmaz és része közötti kapcsolat ábrázolásában is.

Még nem egészen világos, igaz? Nézd meg ezt a képet:

A képen az összes lehetséges játék látható. A játékok egy része építőkészlet – külön oválisban vannak kiemelve. Ez egy nagy „játék” készlet része, és egyben egy különálló készlet (végül is egy építőkészlet lehet „Lego” vagy primitív, gyerekeknek készült kockákból készült építőkészlet). A „játékok” nagy választékának egy része felhúzható játékok is lehetnek. Nem konstruktőrök, ezért külön oválist rajzolunk nekik. A sárga ovális „felhúzható autó” a készlet „játékra” is utal, és a kisebb „felhúzható játék” készlet része. Ezért mindkét ovális belsejében egyszerre van ábrázolva.

Nos, világosabb lett? Ezért az Euler-körök egy olyan módszer, amely egyértelműen bizonyítja: jobb egyszer látni, mint százszor hallani. Érdeme, hogy az egyértelműség leegyszerűsíti az érvelést, és segít gyorsabban és könnyebben kapni választ.

A módszer szerzője Leonhard Euler (1707-1783) tudós. A róla elnevezett diagramokról ezt mondta: „a körök alkalmasak gondolkodásunk megkönnyítésére”. Eulert német, svájci, sőt orosz matematikusnak, mechanikusnak és fizikusnak is tartják. Az a tény, hogy sok évig dolgozott a Szentpétervári Tudományos Akadémián, és jelentősen hozzájárult az orosz tudomány fejlődéséhez.

Előtte Gottfried Leibniz német matematikus és filozófus is hasonló elven vezérelte következtetéseit.

Euler módszere megérdemelt elismerést és népszerűséget kapott. És utána sok tudós alkalmazta munkája során, és a maga módján módosította is. Például Bernard Bolzano cseh matematikus ugyanezt a módszert használta, csak téglalap alakú áramkörökkel.

Ernest Schroeder német matematikus is hozzájárult. De a fő érdemek az angol John Venn-t illetik. A logika specialistája volt, és kiadta a „Symbolic Logic” című könyvet, amelyben részletesen felvázolta a módszer saját verzióját (főleg halmazok metszeteinek képeit használta).

Venn közreműködésének köszönhetően a módszert Venn-diagramoknak vagy Euler-Venn-diagramoknak is nevezik.

Miért van szükség Euler-körökre?

Az Euler-köröknek van egy alkalmazott célja, vagyis segítségükkel a gyakorlatban megoldódnak a matematika, logika, menedzsment és egyebek halmazainak egyesítésével vagy metszetével kapcsolatos problémák.

Ha az Euler-körök típusairól beszélünk, akkor azokat feloszthatjuk olyanokra, amelyek egyes fogalmak egyesülését írják le (például a nemzetség és a faj kapcsolatát) - ezeket a cikk elején egy példa segítségével néztük meg.

És azokat is, amelyek a halmazok metszéspontját írják le valamilyen jellemző szerint. John Vennt ez az elv vezérelte terveiben. És ez az, ami sok népszerű mém mögött áll az interneten. Íme egy példa az ilyen Euler-körökre:

Vicces, nem? És ami a legfontosabb, minden azonnal világossá válik. Sok szót eltölthet azzal, hogy elmagyarázza álláspontját, vagy egyszerűen rajzolhat egy egyszerű diagramot, amely azonnal mindent a helyére tesz.

Egyébként, ha nem tudja eldönteni, melyik szakmát válassza, próbáljon meg rajzolni egy diagramot Euler-körök formájában. Talán egy ilyen rajz segít a választásban:

Azok a lehetőségek, amelyek mindhárom kör metszéspontjában lesznek, az a szakma, amely nemcsak táplálni, hanem örömet is okoz.

Feladatok megoldása Euler-körök segítségével

Nézzünk néhány példát az Euler-körök segítségével megoldható problémákra.

Itt ezen az oldalon - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina érdekes és egyszerű problémákat kínál, amelyek megoldásához az Euler-módszerre lesz szükség. A logika és a matematika segítségével elemezzük az egyiket.

Probléma a kedvenc rajzfilmekkel

A hatodikosok kitöltöttek egy kérdőívet, amelyben a kedvenc rajzfilmjeikről kérdezték. Kiderült, hogy a legtöbbjüknek tetszett a „Hófehérke és a hét törpe”, a „Spongyabob Kockanadrág” és a „A farkas és a borjú”. Az osztályba 38 tanuló jár. 21 diák szereti a Hófehérkét és a hét törpét. Sőt, hárman szeretik a „A farkast és a borjút”, hatan a „Spongyabob Kockanadrágot”, egy gyerek pedig egyformán szereti mindhárom rajzfilmet. A „Farkas és a borjú”-nak 13 rajongója van, közülük öten két karikatúrát neveztek meg a kérdőívben. Meg kell határoznunk, hogy hány hatodikosnak tetszik Spongyabob Kockanadrág.

Megoldás:

Mivel a feladat feltételei szerint három halmazt kapunk, három kört rajzolunk. És mivel a srácok válaszai azt mutatják, hogy a halmazok metszik egymást, a rajz így fog kinézni:

Emlékszünk arra, hogy a feladat feltételei szerint a „Farkas és a borjú” rajzfilm rajongói között öt srác választott egyszerre két rajzfilmet:

Kiderült, hogy:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – a srácok csak a „Hófehérke és a hét törpe”-t választották.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – a srácok csak a „A farkas és a borjú” című filmet nézik.

Csak azt kell kitalálni, hogy hány hatodikos részesíti előnyben a „Spongyabob Kockanadrág” című rajzfilmet a másik két lehetőség helyett. A tanulók teljes számából kivonjuk azokat, akik szeretik a másik két rajzfilmet, vagy több lehetőséget választottak:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – az emberek csak a „Spongyabob Kockanadrágot” nézik.

Most már nyugodtan összeadhatjuk az összes kapott számot, és megtudhatjuk, hogy:

a „Spongyabob Kockanadrág” című rajzfilmet 8 + 2 + 1 + 6 = 17 ember választotta. Ez a válasz a problémában feltett kérdésre.

Nézzük is meg feladat, amelyet 2011-ben állítottak ki Egységes államvizsga teszt számítástechnikában és IKT-ban (forrás - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

A probléma körülményei:

A keresőmotor lekérdező nyelvében a "|" szimbólum a logikai "VAGY" művelet, az "&" szimbólum pedig az "ÉS" művelet.

A táblázat az internet bizonyos szegmensére vonatkozó lekérdezéseket és talált oldalak számát mutatja.

Kérés	Talált oldalak (ezerben)
Cruiser \| Csatahajó	7000
Cirkáló	4800
Csatahajó	4500

Hány oldalt (ezerben) talál a lekérdezés? Cruiser & Battleship?

Feltételezzük, hogy az összes kérdés szinte egyidejűleg végrehajtásra kerül, így az összes keresett szót tartalmazó oldalkészlet nem változik a lekérdezések végrehajtása során.

Megoldás:

Euler-körök segítségével ábrázoljuk a probléma feltételeit. Ebben az esetben az 1, 2 és 3 számokat használjuk a kapott területek kijelölésére.

A feladat feltételei alapján elkészítjük az egyenleteket:

Cruiser | Csatahajó: 1 + 2 + 3 = 7000
Cruiser: 1 + 2 = 4800
Csatahajó: 2 + 3 = 4500

Megtalálni Cruiser & Battleship(a rajzon 2-es területként jelölve), helyettesítse a (2) egyenletet az (1) egyenlettel, és derítse ki, hogy:

4800 + 3 = 7000, amiből azt kapjuk, hogy 3 = 2200.

Most ezt az eredményt behelyettesíthetjük a (3) egyenletbe, és megtudhatjuk, hogy:

2 + 2200 = 4500, ebből 2 = 2300.

Válasz: 2300 - a kérésre talált oldalak száma Cruiser & Battleship.

Mint látható, az Euler-körök segítenek gyorsan és egyszerűen megoldani még az első pillantásra meglehetősen bonyolult vagy egyszerűen zavaró problémákat is.

Következtetés

Azt hiszem, sikerült meggyőznünk, hogy az Euler-körök nem csak szórakoztató és érdekes dolog, hanem egy nagyon hasznos módszer is a problémák megoldására. És nem csak elvont problémák az iskolai órákon, hanem egészen hétköznapi problémák is. Például egy jövőbeli szakma választása.

Valószínűleg erre is kíváncsi lesz a modern népszerű kultúra Euler körei nemcsak mémek formájában jelennek meg, hanem népszerű tévésorozatokban is. Ilyen például a „The Big Bang Theory” és a „4Isla”.

Használja ezt a hasznos és vizuális módszert a problémák megoldására. És mindenképpen szólj róla barátaidnak és osztálytársaidnak. Erre a célra speciális gombok vannak a cikk alatt.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A halmazokkal kapcsolatos számos probléma megoldása során nélkülözhetetlennek bizonyul az úgynevezett „euleri körök” használatán alapuló technika. Ezek a diagramok először a történelem egyik legnagyobb matematikusának, Leonhard Eulernek a munkáiban jelentek meg, aki hosszú ideig élt és dolgozott Oroszországban, és a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja volt. Az Euler-körök használata egyértelműbbé teszi az összetett problémák megoldását, és sok mindent szó szerint nyilvánvalóvá tesz. Azt javaslom, hogy nézze meg ezt saját szemével a következő probléma megoldásának példáján.

Példa egy feladat megoldására Euler-körök használatával

Itt meg kell érteni, hogy ha azt mondják, hogy „42 ember használja a metrót”, az nem jelenti azt, hogy a metrón kívül nem használnak más közlekedési módot. Lehet, hogy néhányan használják őket. Lehet más közlekedési mód is, villamos vagy busz. Vagy talán mindkettő egyszerre! A probléma kérdése pontosan az, hogy megszámoljuk azokat az embereket, akik mindhárom közlekedési módot igénybe veszik.

Első pillantásra még az sem világos, hol kezdje a megoldást. De ha egy kicsit gondolkodik, világossá válik, hogy a következő algoritmus szerint kell cselekednie. Megpróbálunk minden embert (58 fő) leírni a feltételből ismert adatok felhasználásával. Úgy tudjuk, a buszt 44-en használják. Ehhez vegyük hozzá a metrót használók számát. Csak 42 van belőlük. Euler-körök segítségével ez a művelet a következőképpen ábrázolható:

Vagyis egyelőre az 58 = 44 + 42 kifejezéssel van dolgunk... A „…” jel azt jelenti, hogy a kifejezés még nem fejeződött be. A probléma az, hogy kétszer számoltuk meg a körök metszéspontjában lévő embereket. A diagram megfelelő területe sötétzölddel van kiemelve. Ezért ezeket egyszer le kell vonni. Ezek olyan emberek, akik buszt és metrót használnak. Tudniillik 31 van belőlük, vagyis a „befejezetlen” kifejezésünk a következőt ölti: 58 = 44 + 42 - 31... És a sötétzöld szín eltűnik a diagramról:

Eddig jó. Most hozzáadjuk azokat a személyeket, akik villamoson utaznak. 32 ilyen ember van.

Szerencsére az árnyékolatlan terület pontosan azokat az embereket tartalmazza, akiknek a számát meg kell számolnunk. Valóban, ezek a szegény emberek mindennap mindhárom közlekedési módot igénybe veszik munkába való eljutáshoz, mert mindhárom halmaz metszéspontjában vannak. Jelöljük e szegény fickók számát . Ekkor a diagram így fog kinézni:

És az egyenlet a következő lesz:

A számításokat megadják. Ez a válasz a problémára. Nagyon sokan mindennap mindhárom közlekedési módot használják munkába való eljutáshoz.

Ez egy ilyen egyszerű megoldás. Valójában egy egyenletbe. Egyszerűen elképesztő, nem?! Most képzelje el, hogyan kellene megoldania ezt a problémát Euler-körök használata nélkül. Igazi kínzás lenne. Tehát ismét meg vagyunk győződve arról, hogy bármilyen vizualizációs módszer rendkívül hasznos a matematikai feladatok megoldásában. Használja őket, segít összetett problémák megoldásában mind az olimpiákon, mind a matematika felvételi vizsgákon líceumba és egyetemre.

Annak ellenőrzéséhez, hogy jól érti-e a probléma megoldását, válaszoljon a következő kérdésekre:

Hányan utaznak csak egy közlekedési módot a munkába?
Hányan vesznek igénybe pontosan kétféle közlekedést erre?

Válaszait és megoldásait kommentben küldje el.

Az anyagot Sergey Valerievich készítette

A prezentáció leírása külön diánként:

1 csúszda

Dia leírása:

2 csúszda

Dia leírása:

Leonard Euler Leonard Euler, a 18. század legnagyobb matematikusa Svájcban született. 1727-ben A Szentpétervári Tudományos Akadémia meghívására Oroszországba érkezett. Euler a kiváló matematikusok körében találta magát, és nagyszerű lehetőségeket kapott művei létrehozására és publikálására. Szenvedéllyel dolgozott, és kortársai egybehangzó elismerése szerint hamarosan a világ első matematikusa lett. A kiváló német matematikus és filozófus, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) volt az elsők között, akik köröket használtak problémák megoldására. Durva vázlatain körökkel ellátott rajzokat találtak. Ezt a módszert aztán Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus alaposan kidolgozta. (1707-1783)

3 csúszda

Dia leírása:

1761-től 1768-ig írta a híres „Levelek egy német hercegnőhöz” című művét, ahol Euler beszélt módszeréről, a halmazok körök formájában történő ábrázolásáról. Ezért a kör alakú rajzokat általában „Euleri köröknek” nevezik. Euler megjegyezte, hogy a halmazok körként való ábrázolása „nagyon alkalmas arra, hogy megkönnyítse érvelésünket”. Nyilvánvaló, hogy a „kör” szó itt nagyon feltételes, a halmazok síkon ábrázolhatók tetszőleges figurák formájában.

4 csúszda

Dia leírása:

Euler után ugyanezt a módszert Bernard Bolzano (1781-1848) cseh matematikus dolgozta ki. Csak ő Eulerrel ellentétben nem kör-, hanem téglalap alakú diagramokat rajzolt. Az Euler-kör módszerét Ernst Schröder (1841 – 1902) német matematikus is alkalmazta. Ezt a módszert széles körben használják Algebra Logic című könyvében. A grafikai módszerek azonban John Venn (1843-1923) angol logikus írásaiban érték el a legnagyobb virágzást. Ezt a módszert a legteljesebben vázolta a „Symbolic Logic” című könyvében, amely 1881-ben jelent meg Londonban. Venn tiszteletére az Euler-körök helyett a megfelelő rajzokat néha Venn-diagramoknak nevezik; egyes könyvekben Euler–Venn diagramoknak (vagy köröknek) is nevezik.

5 csúszda

Dia leírása:

Sok mindenkit valós számok Euler ezekkel a körökkel ábrázolva: N-halmaz természetes számok, Z – egész számok halmaza, Q – halmaz racionális számok, R az összes valós szám halmaza. Nos, hogyan segítenek az Euler-körök a problémák megoldásában? R Q Z N

6 csúszda

Dia leírása:

Euler-körök Ez egy új típusú probléma, amelyben meg kell találni a halmazok metszéspontját vagy egyesülését, figyelve a probléma feltételeit.

7 csúszda

Dia leírása:

Az EULER körök egy geometriai diagram, amellyel a részhalmazok közötti kapcsolatokat ábrázolhatja vizuális ábrázolás céljából.

8 csúszda

Dia leírása:

9. dia

Dia leírása:

A "lakott sziget" és a "hipszterek" feladatok megoldása Az osztályunkból néhány srác szeretne moziba járni. Ismeretes, hogy a „Lakott sziget” című filmet 15 gyerek, a „Hipszterek” című filmet 11-en nézték meg, ebből 6-an a „Lakott szigetet” és a „Hipsztereket” is. Hányan nézték meg csak a „Hipsters” című filmet?

10 csúszda

Dia leírása:

Megoldás Két készletet rajzolunk így: a díszletek metszéspontjába helyezünk 6 főt, akik a „Lakott sziget” és a „Hipszterek” című filmet nézték. 15 – 6 = 9 – azok, akik csak a „Lakott szigetet” nézték. 11 – 6 = 5 – azok, akik csak a „Hipstereket” nézték. Kapjuk: Válasz. 5 ember csak a „Hipstereket” nézte. 6 „lakott sziget” „Hipszterek” „lakott sziget” „Hipszterek” 9 6 5

11 csúszda

Dia leírása:

„World of Music” 35 vásárló érkezett a „World of Music” üzletbe. Ebből 20-an vásárolták meg az énekes Maxim új korongját, 11-en Zemfira lemezét, 10-en egyetlen lemezt sem. Hányan vásároltak Maxim és Zemfira CD-t? Megoldás Ábrázoljuk ezeket a halmazokat Euler-körökön.

12 csúszda

Dia leírása:

Most számoljunk: Összesen 35 vásárló van a nagy körön belül, és 35-10 = 25 vevő a két kisebben belül. A probléma körülményei szerint 20 vásárló vásárolta meg az énekes Maxim új CD-jét, így 25 – 20 = 5 vásárló csak Zemfira CD-jét. A probléma pedig azt mondja, hogy 11 vásárló vásárolta meg a Zemfira lemezét, ami azt jelenti, hogy 11-5 = 6 vásárló vásárolta Maxim és Zemfira lemezeit is: Válasz: 6 vásárló vásárolta Maxim és Zemfira lemezeit is.

13. dia

Dia leírása:

Az Euler–Venn körök legegyszerűbb eseteinek figyelembe vétele a) Legyen adott egy adott halmaz, és jelezzük az A tulajdonságot. Nyilvánvaló, hogy ennek a halmaznak az elemei rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Ezért ez a halmaz két részre oszlik, amelyeket A-val és A*-val jelölhetünk. Ezt kétféleképpen ábrázolhatjuk az ábrán. A nagy kör az adott halmazt, az A kis kör az adott halmaz elemeinek azt a részét, amelyik rendelkezik A tulajdonsággal, a gyűrű alakú A* pedig az elemeknek azt a részét, amelyik nem rendelkezik A tulajdonsággal.

14 csúszda

Dia leírása:

b) Adjunk meg egy adott halmazt és jelöljünk meg két tulajdonságot: A, B. Mivel egy adott halmaz elemei rendelkezhetnek vagy nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal, négy eset lehetséges: AB, AB*, A*B, A *B*. Következésképpen ez a halmaz 4 részhalmazra oszlik. Ez kétféleképpen is ábrázolható: körök vagy diagramok formájában. Az első ábrán az A kör e halmaz azon elemeinek részhalmaza, amelyek A tulajdonsággal rendelkeznek, és a körön kívüli terület, azaz. Az A* terület azon elemek részhalmaza, amelyek nem rendelkeznek A tulajdonsággal. Hasonlóképpen körbeírja a B-t és a rajta kívül eső területet. A második ábrán az A, A*, B*, B részhalmazok eltérően vannak ábrázolva: az A részhalmaz a függőleges vonaltól balra eső terület, az A* részhalmaz pedig ettől a vonaltól jobbra lévő terület. B és B* hasonlóképpen van ábrázolva: B terület a felső félkör, B* pedig az alsó félkör.

15 csúszda

Dia leírása:

c) Adjunk meg egy bizonyos halmazt, és jelöljünk meg három tulajdonságot: A, B, C. Ebben az esetben ez a halmaz nyolc részre oszlik. Ezt kétféleképpen lehet ábrázolni.

16 csúszda

Dia leírása:

Euler-körök segítségével megoldott feladatok 1. feladat. Az első tízből hány természetes szám nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal? Megoldás. A probléma megoldásához kényelmes Euler-körök használata. A mi esetünkben három kör van: a nagy kör 1-től 10-ig terjedő számok halmaza, a nagy körön belül két kisebb kör metszi egymást. Legyen a 2 többszörösei számok halmaza A, a 3 többszörösei pedig B. Indokljunk! Minden második szám osztható 2-vel. Ez azt jelenti, hogy 10:2=5 ilyen számok lesznek. A 3 osztható 3 számmal (10:3). Azok a számok, amelyek oszthatók 6-tal, oszthatók 2-vel és 3-mal. Csak egy ilyen szám létezik. Ezért az A halmaz 5-1=4 számból, a B halmaz – 3-1=2 számból áll. Ebből következik, hogy az első tíz 10-(4+1+2)=3 számot tartalmaz.

17. dia

Dia leírása:

2. feladat. A probléma az Euler–Venn diagram segítségével megoldva. A srácok kockák készítését kapták. Több kocka kartonból, a többi fából készült. A kockák két méretben érkeztek: nagy és kicsi. Néhányat festettek zöld szín, a másik – pirossal. Ebből 16 zöld kocka készült. 6 nagy zöld karton kocka volt. 9 nagy fakocka volt, és 11 kis fakocka. Megoldás. Csináljuk a rajzot.

18 csúszda

Dia leírása:

Gyakorlati jelentőségű feladatok előkészítése. 1. feladat. 35 tanuló van az osztályban. Közülük 12-en a matek szakkörben, 9-en a biológia szakkörben vesznek részt, és 16 gyerek nem jár ezekbe a szakkörökbe. Hány biológus érdeklődik a matematika iránt? Megoldás: Látjuk, hogy 19 gyerek jár klubba, ebből 35-16 = 19, ebből 10 fő csak matematika szakkörbe jár (19-9 = 10) és 2 biológus (12-10 = 2) érdeklődik a matematika iránt. Válasz: 2 biológus. Az Euler-körök segítségével könnyen belátható egy másik megoldás a probléma megoldására. A tanulók számát ábrázoljuk egy nagy körrel, és helyezzünk el kisebb köröket. Nyilvánvalóan a körök általános részében pontosan azok a biológusok-matematikusok lesznek, akikről a probléma kérdez. Most számoljunk: A nagy körön belül 35 tanuló van, az M és B körön belül: 35-16 = 19 tanuló, az M körön belül - 12 srác, ami azt jelenti, hogy a B körnek azon a részén, aminek semmi köze a körhöz. M, 19-12 =7 tanuló van, tehát 2 fő az MB-ben (9-7=2). Így 2 biológus érdeklődik a matematika iránt. 1)35-16=19 (fő); 2) 12+9=21 (fő); 3)21-19=2(fő). Válasz: 2 biológus.

19. dia

Dia leírása:

Töltse ki a diagramot. 1) Kezdjük azzal a részhalmazzal, amelyre három tulajdonság van megadva. Ezek kartonból készült nagy zöld kockák - 4 ilyen kocka van 2) Ezután keresünk egy részhalmazt, amelyre a felsorolt három tulajdonságból kettő van feltüntetve. Ezek nagy zöld kockák - 6. De ez a részhalmaz kartonból és fából áll. 4 db volt, tehát 6-4 = 2 db. 3) 7 nagy fakocka van, ebből 2 zöld Ez azt jelenti, hogy 7-2=5 piros lesz. 4) 9 piros fakocka, ebből 5 nagy. Ez azt jelenti, hogy 9-5=4 kis piros fakocka lesz. 5) 11 db kis fakocka van ebből 4 db. 6) A zöld kockák száma összesen 16. A zöld kockákat egy négy részből álló gyűrű alakú részbe helyezzük. Ez azt jelenti, hogy 16 kis zöld kartonkocka van - (4+2+7) = 3. 7) Marad az utolsó feltétel: 8 db piros karton kocka volt, nem kell tudnunk, hány kicsi és hány nagy. 8) Számolunk: 2+5+8+4+4+7+3=33. Válasz: Összesen 33 kocka készült.

22 csúszda

Dia leírása:

"Matematikai enciklopédia". A munka elkészítéséhez a http://minisoft.net.ru/ http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html http://reshizadachu.ucoz.ru/ webhelyről származó anyagokat használtuk fel. index/ krugi_ehjlera/0-18