Rövid leszek. Két egyenes közötti szög egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Így, ha sikerül megtalálni az a = (x 1 ; y 1 ; z 1) és b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) irányvektorok koordinátáit, akkor megtalálhatja a szöget. Pontosabban a szög koszinusza a képlet szerint:

Nézzük meg, hogyan működik ez a képlet konkrét példák segítségével:

Feladat. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában E és F pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Mivel a kocka éle nincs megadva, állítsunk be AB = 1-et. Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x, y, z tengelyek AB, AD és AA 1 mentén vannak irányítva. Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Most keressük meg egyeneseink irányvektorainak koordinátáit.

Keressük meg az AE vektor koordinátáit. Ehhez szükségünk van az A = (0; 0; 0) és az E = (0,5; 0; 1) pontokra. Mivel az E pont az A 1 B 1 szakasz közepe, koordinátái megegyeznek a végek koordinátáinak számtani átlagával. Figyeljük meg, hogy az AE vektor origója egybeesik a koordináták origójával, így AE = (0,5; 0; 1).

Most nézzük a BF vektort. Hasonlóképpen elemezzük a B = (1; 0; 0) és F = (1; 0,5; 1) pontokat, mert F a B 1 C 1 szakasz közepe. Nekünk van:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Tehát az irányvektorok készen állnak. Az egyenesek közötti szög koszinusza az irányvektorok közötti szög koszinusza, így van:

Feladat. Az ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, D és E pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AD és a BE egyenesek közötti szöget.

Vezessünk be egy szabványos koordinátarendszert: az origó az A pontban van, az x tengely AB, z - az AA 1 mentén. Irányítsuk az y tengelyt úgy, hogy az OXY sík egybeessen az ABC síkkal. Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Határozzuk meg a kívánt egyenesek irányvektorainak koordinátáit.

Először keressük meg az AD vektor koordinátáit. Tekintsük a pontokat: A = (0; 0; 0) és D = (0,5; 0; 1), mert D - az A 1 B 1 szegmens közepe. Mivel az AD vektor eleje egybeesik a koordináták origójával, így AD = (0,5; 0; 1) értéket kapunk.

Most keressük meg a BE vektor koordinátáit. A B pont = (1; 0; 0) könnyen kiszámítható. Az E ponttal - a C 1 B 1 szegmens közepe - ez egy kicsit bonyolultabb. Nekünk van:

Meg kell találni a szög koszinuszát:

Feladat. Egy szabályos ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, a K és L pontok vannak kijelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. . Határozza meg az AK és BL egyenesek közötti szöget.

Vezessünk be egy szabványos koordinátarendszert egy prizmára: a koordináták origóját az alsó alap közepére helyezzük, az x tengelyt FC, az y tengelyt az AB és DE szakaszok felezőpontjain, a z pedig a z. tengelye függőlegesen felfelé irányul. Az egységszegmens ismét egyenlő: AB = 1. Írjuk fel a számunkra érdekes pontok koordinátáit:

A K és L pont az A 1 B 1, illetve B 1 C 1 szakasz felezőpontja, így koordinátáikat a számtani átlagon keresztül találjuk meg. A pontok ismeretében megtaláljuk az AK és BL irányvektorok koordinátáit:

Most keressük meg a szög koszinuszát:

Feladat. Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, E és F pontok vannak jelölve - az SB és SC oldalak felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Vezessünk be egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x és y tengelyek AB, illetve AD mentén, a z tengely pedig függőlegesen felfelé. Az egységszegmens egyenlő: AB = 1.

Az E és F pont az SB és SC szakasz felezőpontja, így ezek koordinátái a végek számtani átlagaként találhatók. Írjuk fel a számunkra érdekes pontok koordinátáit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

A pontok ismeretében megtaláljuk az AE és BF irányvektorok koordinátáit:

Az AE vektor koordinátái egybeesnek az E pont koordinátáival, mivel az A pont az origó. Meg kell találni a szög koszinuszát:

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket rendre az egyenletek határoznak meg:

Alatt szög két sík között fogjuk érteni az e síkok által alkotott kétszögek egyikét. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a feltüntetett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mert És , Azt

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordináták együtthatói arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

És így, .

Példák.

EGYENES A TÉRBEN.

VEKTOREGYENLET EGY VONALRA.

PARAMÉTERES KÖZVETLEN EGYENLETEK

Egy vonal helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Egy egyenessel párhuzamos vektort nevezünk útmutatók ennek a vonalnak a vektora.

Tehát hagyja az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1), a vektorral párhuzamos egyenesen fekszik.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrából jól látszik, hogy .

A és a vektorok kollineárisak, tehát van egy ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. Miután kijelöltük a pontok sugárvektorait M 1 és M illetőleg a és -on keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlete. Azt mutatja, hogy minden paraméter értékénél t valamely pont sugárvektorának felel meg M, egyenes vonalon fekve.

Írjuk fel ezt az egyenletet koordináta alakban. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletei.

Paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés időszak M egyenes vonalban mozog.

A KÖZVETLEN KANONIKUS EGYENLETEI

Hadd M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Vegyünk ismét egy tetszőleges pontot az egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a vektorok is kollineárisak, ezért a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük, ezért

– kánoni egyenes egyenletei.

1. megjegyzés. Megjegyzendő, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletek közül a paraméter kiiktatásával nyerhetők ki t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres formában.

Jelöljük , innen x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Jegyzet 2. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, ennélfogva, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei a formát öltik

A paraméter kizárása az egyenletek közül t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan a formába írjuk . Így, ha az egyik tört nevezője nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóan a kanonikus egyenletekhez a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos a tengellyel Oz.

Példák.

AZ EGYENES ÁLTALÁNOS EGYENLETEI KÉT SÍK METSZÉSZEGYENLETEI

A térben minden egyenesen számtalan sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Következésképpen bármely két ilyen sík egyenlete együttesen reprezentálja ennek az egyenesnek az egyenleteit.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszéspontjuk egyenesét. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszen meg egy egyenest az egyenletekkel

Egy egyenes megszerkesztéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja egy egyenes és a koordinátasík metszéspontjának kiválasztása. Például a síkkal való metszéspont xOy az egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Miután megoldottuk ezt a rendszert, megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből tovább lehet lépni annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találni egy pontot M 1 egy egyenesen és egy egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et ebből az egyenletrendszerből kapjuk, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorán túl l felveheti a normálvektorok vektorszorzatát:

.

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressünk egy pontot, amely egy vonalon fekszik. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Ennélfogva, l: .

SZÖG AZ EGYENESEK KÖZÖTT

Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két sort a térben:

Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kapjuk

Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két sort a térben:

Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes párhuzamos akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók arányosak, azaz. l 1 párhuzamos l 2 akkor és csak akkor, ha párhuzamos -val.

Két egyenes merőleges akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

U cél vonal és sík között

Legyen egyenes d- nem merőleges a θ síkra;
d′− egy egyenes vetülete d a θ síkra;
Az egyenesek közötti legkisebb szög dÉs d– hívni fogjuk szög az egyenes és a sík között.
Jelöljük φ=( d,θ)
Ha d⊥θ, akkor ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− derékszögű koordinátarendszer.
Sík egyenlet:

θ: Fejsze+Által+Cz+D=0

Feltételezzük, hogy az egyenest egy pont és egy irányvektor határozza meg: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Ezután meg kell találni a vektorok közötti szöget n→ és p→, jelöljük γ=( n→,p→).

Ha a γ szög<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ha a szög γ>π/2, akkor a kívánt szög φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Akkor, szög az egyenes és a sík között képlettel lehet kiszámítani:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29. kérdés. A másodfokú forma fogalma. Másodfokú formák jelhatárossága.

Másodfokú j (x 1, x 2, …, x n) n valós változó x 1, x 2, …, x n az (1) alak összegének nevezzük

Ahol a ij – néhány együtthatónak nevezett szám. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük a ij = a ji.

A másodfokú formát ún érvényes, Ha a ij Î GR. Másodfokú mátrix együtthatóiból álló mátrixnak nevezzük. Az (1) másodfokú alak egyetlen szimmetrikus mátrixnak felel meg, azaz. A T = A. Következésképpen az (1) másodfokú alak j mátrix alakban írható ( x) = x T Ah, Ahol x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

És fordítva, minden szimmetrikus mátrix (2) egy egyedi másodfokú alaknak felel meg a változók jelöléséig.

A másodfokú forma rangja mátrixa rangjának nevezzük. A másodfokú formát ún nem degenerált, ha a mátrixa nem szinguláris A. (emlékezzünk rá, hogy a mátrix A nem degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa nem egyenlő nullával). Ellenkező esetben a másodfokú forma degenerált.

pozitív határozott(vagy szigorúan pozitív), ha

j ( x) > 0 , bárkinek x = (x 1 , x 2 , …, x n), kivéve x = (0, 0, …, 0).

Mátrix A pozitív határozott másodfokú j ( x) pozitív határozottnak is nevezik. Ezért egy pozitív határozott másodfokú forma egy egyedi pozitív határozott mátrixnak felel meg, és fordítva.

Az (1) másodfokú alakot ún negatívan definiált(vagy szigorúan negatív), ha

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), kivéve x = (0, 0, …, 0).

A fentiekhez hasonlóan a negatív határozott másodfokú mátrixot negatív határozottnak is nevezik.

Következésképpen a pozitív (negatív) határozott másodfokú j ( x) eléri a minimális (maximális) j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Vegyük észre, hogy a legtöbb másodfokú forma nem előjel-határozott, vagyis nem pozitív vagy nem negatív. Az ilyen másodfokú formák nemcsak a koordinátarendszer origójában tűnnek el, hanem más pontokon is.

Amikor n> 2, speciális kritériumok szükségesek a másodfokú alak előjelének ellenőrzéséhez. Nézzük meg őket.

Nagyobb kiskorúak a másodfokú formákat minoroknak nevezzük:

vagyis ezek 1, 2, ... nagyságrendű kiskorúak, n mátrixok A, amely a bal felső sarokban található, ezek közül az utolsó egybeesik a mátrix determinánsával A.

Pozitív határozottsági kritérium (Sylvester-kritérium)

x) = x T Ah pozitív határozott volt, szükséges és elégséges, hogy a mátrix összes nagyobb minora A pozitívak voltak, vagyis: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatív bizonyosság kritériuma Annak érdekében, hogy a j ( x) = x T Ah negatív határozott volt, szükséges és elegendő, hogy páros rendű fő minorjai pozitívak, páratlan sorrendűek pedig negatívak legyenek, azaz: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ezzel az online számológéppel megtalálhatja az egyenesek közötti szöget. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. Az egyenesek közötti szög kiszámításához állítsa be a méretet (2, ha egy síkon lévő egyenest vesszük figyelembe, 3, ha térbeli egyenest vesszük figyelembe), írja be az egyenlet elemeit a cellákba, és kattintson a „Megoldás” gombra. gomb. Lásd alább az elméleti részt.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b (b>0) egész vagy decimális szám. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

1. Egy síkon lévő egyenesek közötti szög

Az egyeneseket kanonikus egyenletek határozzák meg

1.1. Az egyenesek közötti szög meghatározása

Hagyja, hogy a vonalak kétdimenziós térben legyenek L 1 és L

Így az (1.4) képletből megtalálhatjuk az egyenesek közötti szöget L 1 és L 2. Amint az 1. ábrán látható, a metsző vonalak szomszédos szögeket alkotnak φ És φ 1 . Ha a talált szög nagyobb, mint 90°, akkor megtalálhatja az egyenesek közötti minimális szöget L 1 és L 2: φ 1 =180-φ .

Az (1.4) képletből levezethetjük két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételeit.

Példa 1. Határozza meg a vonalak közötti szöget

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

1.2. Párhuzamos vonalak feltétele

Hadd φ =0. Akkor cosφ=1. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

,

,

2. példa: Határozza meg, hogy az egyenesek párhuzamosak-e

Az (1.9) egyenlőség teljesül, ezért az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

1.3. A vonalak merőlegességének feltétele

Hadd φ =90°. Akkor cosφ=0. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

3. példa Határozza meg, hogy az egyenesek merőlegesek-e

Az (1.13) feltétel teljesül, ezért az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

A vonalakat általános egyenletek határozzák meg

1.4. Az egyenesek közötti szög meghatározása

Legyen két egyenes L 1 és L 2 általános egyenletek adják meg

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából a következőt kapjuk:

4. példa Keresse meg a vonalak közötti szöget

Értékek helyettesítése A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1,23), kapjuk:

Ez a szög nagyobb, mint 90°. Határozzuk meg az egyenesek közötti minimális szöget. Ehhez vonja le ezt a szöget 180-ból:

Másrészt a párhuzamos egyenesek feltétele L 1 és L 2 ekvivalens a vektorok kollinearitási feltételével n 1 és n 2, és így ábrázolható:

Az (1,24) egyenlőség teljesül, ezért az (1,26) és (1,27) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

1.6. A vonalak merőlegességének feltétele

A vonalak merőlegességének feltétele L 1 és L 2 helyettesítéssel kinyerhető az (1.20) képletből kötözősaláta(φ )=0. Ezután a skalárszorzat ( n 1 ,n 2)=0. Ahol

Az (1,28) egyenlőség teljesül, ezért az (1,29) és (1,30) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.

2. Az egyenesek közötti szög a térben

2.1. Az egyenesek közötti szög meghatározása

Legyenek egyenesek a térben L 1 és L 2 kanonikus egyenletek adják meg

ahol | q 1 | és | q 2 | irányvektor modulok q 1 és q 2, ill. φ - vektorok közötti szög q 1 és q 2 .

A (2.3) kifejezésből kapjuk:

.

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

.

Keressük a szöget φ

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 -t adunk meg, akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva.

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2. Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2.

Tétel. Az Ax + Bу + C = 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 = λA, B 1 = λB együtthatók arányosak. Ha szintén C 1 = λC, akkor az egyenesek egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete

Egy adott egyenesre merőleges

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y = kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Bу + C = 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordinátákat az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg:

A rendszer második egyenlete egy adott egyenesre merőleges M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 szerint + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2=2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x – 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y – 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Azt találjuk, hogy k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tehát az egyenesek merőlegesek.

Példa. Adottak az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 év – 6;

2 x – 3 év + 3 = 0;

A szükséges magasságegyenlet a következő: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3 x + 2 év – 34 = 0.

Egy adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Két egyenes közötti szög. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2), így írva:

Két adott ponton átmenő egyenes szögegyütthatóját a képlet határozza meg

3. Az egyenesek közötti szög AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségű egyenletek adnak meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első sor meredekségét kivonjuk a második sor meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit általános formában adjuk meg

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek szögegyütthatóval adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele szögegyütthatóik egyenlősége:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordináták együtthatói arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek szögegyütthatóval adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy szögegyütthatójuk inverz nagyságú és ellentétes előjelű legyen, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!

Hasonló cikkek