Miután megkapta az egyenlőségek általános elképzelését, és megismerte egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor elkezdhet beszélni egy másik típusú egyenlőségről, amely gyakorlati szempontból nagyon fontos - az egyenletekről. Ebben a cikkben megvizsgáljuk mi az egyenlet, és amit az egyenlet gyökének nevezünk. Itt megadjuk a megfelelő definíciókat, valamint különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereire.

Oldalnavigáció.

Mi az egyenlet?

Az egyenletek célzott megismertetése általában a 2. osztályban kezdődik a matematika órákon. Ekkor a következőket adjuk egyenlet definíció:

Meghatározás.

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy ismeretlen számot tartalmaz, amelyet meg kell találni.

Az egyenletekben az ismeretlen számokat általában kis latin betűkkel jelölik, például p, t, u stb., de leggyakrabban x, y és z betűket használnak.

Így az egyenletet az írásforma szempontjából határozzuk meg. Más szóval, az egyenlőség egy egyenlet, ha engedelmeskedik a megadott írási szabályoknak - tartalmaz egy betűt, amelynek értékét meg kell találni.

Mondjunk példákat a legelsőre és a nagyon egyszerű egyenletek. Kezdjük az x=8, y=3 stb. egyenletekkel. Azok az egyenletek, amelyek számtani előjeleket, valamint számokat és betűket tartalmaznak, kicsit bonyolultabbnak tűnnek, például x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Az egyenletek sokfélesége növekszik, miután megismertük a következőt: - kezdenek megjelenni a zárójeles egyenletek, például 2·(x−1)=18 és x+3·(x+2·(x−2))=3. Egy egyenletben egy ismeretlen betű többször is előfordulhat, például x+3+3·x−2−x=9, de lehetnek betűk az egyenlet bal oldalán, jobb oldalán vagy mindkét oldalán. az egyenlet például x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 vagy 3·x−4=2·(x+12) .

Tanulás után tovább természetes számok Megtörténik az egész, racionális, valós számokkal való ismerkedés, új matematikai objektumok tanulmányozása: hatványok, gyökök, logaritmusok stb., miközben egyre több új, ezeket tartalmazó egyenlettípus jelenik meg. Példák ezekre a cikkben találhatók az egyenletek fő típusai iskolában tanulni.

A 7. osztályban a betűkkel együtt, amelyek bizonyos számokat jelentenek, elkezdik fontolóra venni azokat a betűket, amelyek különböző jelentések, ezeket változóknak nevezzük (lásd a cikket). Ugyanakkor a „változó” szó bekerül az egyenlet definíciójába, és így alakul:

Meghatározás.

Egyenlet Egyenlőségnek nevezzük, amely egy olyan változót tartalmaz, amelynek értékét meg kell találni.

Például az x+3=6·x+7 egyenlet egyenlet az x változóval, és a 3·z−1+z=0 egyenlet a z változóval.

Ugyanebben a 7. osztályban az algebra órákon nem egy, hanem két különböző ismeretlen változót tartalmazó egyenletekkel találkozunk. Ezeket két változós egyenleteknek nevezzük. A jövőben három vagy több változó jelenléte megengedett az egyenletekben.

Meghatározás.

Egyenletek egy, kettő, három stb. változók– ezek egy, kettő, három, ... ismeretlen változót tartalmazó egyenletek.

Például a 3.2 x+0.5=1 egyenlet egy x változót tartalmazó egyenlet, az x−y=3 formájú egyenlet pedig két x és y változót tartalmazó egyenlet. És még egy példa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen egyenlet három ismeretlen változóból álló x, y és z egyenlet.

Mi az egyenlet gyöke?

Egy egyenlet definíciója közvetlenül kapcsolódik az egyenlet gyökének meghatározásához. Végezzünk el néhány érvelést, amely segít megérteni, mi az egyenlet gyökere.

Tegyük fel, hogy van egy egyenletünk egy betűből (változóból). Ha az egyenletben szereplő betű helyett számot helyettesít, akkor az egyenlet numerikus egyenlőséggé alakul. Sőt, az eredményül kapott egyenlőség lehet igaz vagy hamis. Például, ha az a+1=5 egyenletben az a betű helyett a 2-es számot cseréljük ki, akkor a 2+1=5 hibás numerikus egyenlőséget kapjuk. Ha ebben az egyenletben a helyett a 4-es számot helyettesítjük, akkor a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk.

A gyakorlatban az esetek túlnyomó többségében a változó azon értékei érdeklik, amelyeknek az egyenletbe való behelyettesítése a helyes egyenlőséget adja, ezeket gyökeknek vagy megoldásoknak nevezzük adott egyenlet.

Meghatározás.

Az egyenlet gyökere- ez annak a betűnek (változónak) az értéke, amelynek behelyettesítésekor az egyenlet helyes numerikus egyenlőséggé változik.

Vegyük észre, hogy az egyenlet gyökerét egy változóban az egyenlet megoldásának is nevezik. Más szóval, egy egyenlet megoldása és az egyenlet gyökere ugyanaz.

Magyarázzuk meg ezt a definíciót egy példával. Ehhez térjünk vissza az a+1=5 fölé írt egyenlethez. Az egyenlet gyökének megfogalmazott definíciója szerint a 4-es szám ennek az egyenletnek a gyöke, mivel az a betű helyett ezt a számot behelyettesítve a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk, és a 2-es szám nem az egyenlet gyöke. gyök, mivel ez egy 2+1= 5 alakú helytelen egyenlőségnek felel meg.

Ezen a ponton számos természetes kérdés merül fel: „Van-e bármilyen egyenletnek gyöke, és hány gyöke van?” adott egyenlet"? Válaszolni fogunk nekik.

Vannak olyan egyenletek, amelyeknek vannak gyökerei, és vannak olyan egyenletek is, amelyeknek nincs gyökerük. Például az x+1=5 egyenletnek 4 gyöke van, de a 0 x=5 egyenletnek nincs gyöke, mivel akármilyen számot is helyettesítünk ebben az egyenletben az x változó helyett, a 0=5 hibás egyenlőséget kapjuk. .

Ami egy egyenlet gyökeinek számát illeti, vannak olyan egyenletek, amelyeknek van egy bizonyos véges számú gyökük (egy, kettő, három stb.), és vannak olyan egyenletek, amelyeknek végtelen sok gyökük van. Például az x−2=4 egyenletnek egyetlen gyöke 6, az x 2 =9 egyenlet gyöke két szám –3 és 3, az egyenlet x·(x−1)·(x−2)=0 három gyöke van 0, 1 és 2, és az x=x egyenlet megoldása tetszőleges szám, azaz végtelen sok gyöke van.

Néhány szót kell ejteni az egyenlet gyökereinek elfogadott jelöléséről. Ha egy egyenletnek nincsenek gyökerei, akkor általában azt írják, hogy „az egyenletnek nincsenek gyökerei”, vagy a ∅ üres halmazjelet használják. Ha az egyenletnek vannak gyökei, akkor azokat vesszővel elválasztva, vagy így írjuk a készlet elemei göndör zárójelben. Például, ha az egyenlet gyökerei a −1, 2 és 4 számok, akkor írjuk be a −1, 2, 4 vagy (−1, 2, 4) számokat. Az is megengedett, hogy az egyenlet gyökereit egyszerű egyenlőségek formájában is felírjuk. Például, ha az egyenlet tartalmazza az x betűt, és ennek az egyenletnek a gyökerei a 3 és 5 számok, akkor x=3, x=5 írható, és gyakran hozzáadódnak az x 1 =3, x 2 =5 alsó indexek. a változóhoz, mintha az egyenlet számgyökeit jelölné. Az egyenlet gyökeinek végtelen halmazát általában az N természetes számok, a Z egészek és az R valós számok halmazának alakjában írják le. Például, ha egy x változójú egyenlet gyöke tetszőleges egész szám, akkor írja be, és ha egy y változójú egyenlet gyökere tetszőleges valós szám 1 és 9 között, akkor írja be a következőt: .

Két, három és egyenletekhez nagy mennyiség a változók esetében általában nem használják az „egyenlet gyökere” kifejezést, ezekben az esetekben „az egyenlet megoldása”. Mit nevezünk többváltozós egyenletek megoldásának? Adjuk meg a megfelelő definíciót.

Meghatározás.

Egyenlet megoldása kettővel, hárommal stb. változók párnak, hármasnak stb. a változók értékeit, ezt az egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítva.

Mutassunk magyarázó példákat. Tekintsünk egy egyenletet, amelynek két változója x+y=7. Helyettesítsük x helyett 1-et, y helyett 2-t, és az 1+2=7 egyenlőséget kapjuk. Nyilvánvalóan hibás, ezért az x=1, y=2 értékpár nem megoldása a felírt egyenletre. Ha felveszünk egy x=4, y=3 értékpárt, akkor az egyenletbe való behelyettesítés után a helyes 4+3=7 egyenlőséghez jutunk, tehát ez a változó értékpár értelemszerűen megoldás az x+y=7 egyenlethez.

A többváltozós egyenleteknek, mint az egyváltozós egyenleteknek, lehetnek gyöktelenek, véges sok gyökük vagy végtelen sok gyökük lehet.

Párok, hármasok, négyesek stb. A változók értékeit gyakran röviden írják, zárójelben vesszővel elválasztva. Ebben az esetben a zárójelbe írt számok ábécé sorrendben megfelelnek a változóknak. Tisztázzuk ezt a pontot úgy, hogy visszatérünk az előző x+y=7 egyenlethez. Ennek az x=4, y=3 egyenletnek a megoldása röviden (4, 3) írható fel.

A matematika, algebra és az elemzés kezdetei iskolai kurzusban a legnagyobb figyelmet az egyváltozós egyenletek gyökereinek megtalálása kapja. Ennek a folyamatnak a szabályait részletesen tárgyaljuk a cikkben. egyenletek megoldása.

Bibliográfia.

• Matematika. 2 osztály Tankönyv általános műveltségre intézmények adj. elektrononként hordozó. 14 órakor 1. rész / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova stb.] - 3. kiadás. - M.: Oktatás, 2012. - 96 p.: ill. - (Oroszországi Iskola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: tankönyv 7. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Az egyenletek megoldása a matematikában különleges helyet foglal el. Ezt a folyamatot sok órányi elméleti tanulás előzi meg, amely során a hallgató megtanulja az egyenletek megoldását, típusának meghatározását, és készséget visz a teljes automatizálásra. A gyökerek keresésének azonban nem mindig van értelme, mivel előfordulhat, hogy egyszerűen nem léteznek. Vannak speciális technikák a gyökerek megtalálására. Ebben a cikkben elemezzük a fő funkciókat, azok definíciós területeit, valamint azokat az eseteket, amikor hiányoznak a gyökereik.

Melyik egyenletnek nincs gyöke?

Egy egyenletnek nincs gyökere, ha nincsenek valódi x argumentumok, amelyekre az egyenlet azonosan igaz. Egy nem szakember számára ez a megfogalmazás, mint a legtöbb matematikai tétel és képlet, nagyon homályosnak és elvontnak tűnik, de ez elméletben van. A gyakorlatban minden rendkívül egyszerűvé válik. Például: a 0 * x = -53 egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan x szám, amelynek nullával való szorzata mást adna, mint nulla.

Most a legalapvetőbb egyenlettípusokat nézzük meg.

1. Lineáris egyenlet

Egy egyenletet lineárisnak nevezünk, ha a jobb és bal oldalát az alakban ábrázoljuk lineáris függvények: ax + b = cx + d vagy általánosított formában kx + b = 0. Ahol a, b, c, d ismert számok, x pedig ismeretlen mennyiség. Melyik egyenletnek nincs gyöke? A lineáris egyenletek példáit az alábbi ábra mutatja be.

Alapvetően lineáris egyenletek vannak megoldva egyszerű átvitel a numerikus részt az egyik részbe, a tartalmat pedig x-szel a másikba. Az eredmény egy mx = n alakú egyenlet, ahol m és n számok, x pedig ismeretlen. Az x megtalálásához egyszerűen ossza el mindkét oldalát m-rel. Ekkor x = n/m. A legtöbb lineáris egyenletnek csak egy gyöke van, de vannak esetek, amikor végtelen sok gyök van, vagy nincs gyök. Ha m = 0 és n = 0, az egyenlet 0 * x = 0 alakot ölt. Egy ilyen egyenlet megoldása teljesen tetszőleges szám lehet.

De melyik egyenletnek nincs gyökere?

Ha m = 0 és n = 0, az egyenletnek nincs gyökere a valós számok halmazában. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ezeknek az egyenleteknek nincs gyökere.

2. Másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenlet az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ha a = 0. A leggyakoribb megoldás a diszkriminánson keresztül történik. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának megkeresésére szolgáló képlet a következő: D = b 2 - 4 * a * c. Ezután két gyök következik x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 esetén az egyenletnek két, D = 0 esetén egy gyöke van. De melyik másodfokú egyenletnek nincs gyökere? A másodfokú egyenlet gyökeinek számát a legegyszerűbben úgy figyelhetjük meg, ha a függvényt ábrázoljuk, amely egy parabola. A > 0 esetén az ágak felfelé, a esetén az ágak irányulnak< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

A gyökerek számát vizuálisan is meghatározhatja a diszkrimináns kiszámítása nélkül. Ehhez meg kell találnia a parabola csúcsát, és meg kell határoznia, hogy az ágak melyik irányba vannak irányítva. A csúcs x koordinátája a következő képlettel határozható meg: x 0 = -b / 2a. Ebben az esetben a csúcs y koordinátáját úgy találjuk meg, hogy az x 0 értéket egyszerűen behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Az x 2 - 8x + 72 = 0 másodfokú egyenletnek nincs gyöke, mivel negatív diszkriminánsa van D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ez azt jelenti, hogy a parabola nem érinti az x tengelyt és a függvény soha nem vesz fel 0 értéket, ezért az egyenletnek nincs igazi gyökerek.

3. Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus függvények a trigonometrikus körön vannak figyelembe véve, de ábrázolhatók is Descartes-rendszer koordináták Ebben a cikkben két fő elemet fogunk megvizsgálni trigonometrikus függvényekés egyenleteik: sinx és cosx. Mivel ezek a függvények egy 1 sugarú trigonometrikus kört alkotnak, |sinx| és |cosx| nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát melyik sinx egyenletnek nincs gyöke? Tekintsük az alábbi képen látható sinx függvény grafikonját.

Látjuk, hogy a függvény szimmetrikus, és ismétlési periódusa 2pi. Ez alapján elmondhatjuk, hogy ennek a függvénynek a maximális értéke 1, a minimuma pedig -1 lehet. Például a cosx = 5 kifejezésnek nem lesz gyöke, mivel abszolút értéke nagyobb egynél.

Ez a trigonometrikus egyenletek legegyszerűbb példája. Valójában ezek megoldása több oldalt is igénybe vehet, aminek a végén rájössz, hogy rossz képletet használtál, és mindent elölről kell kezdeni. Előfordulhat, hogy még akkor is, ha helyesen találja meg a gyököket, elfelejtheti figyelembe venni az OD korlátozásait, ezért egy extra gyök vagy intervallum jelenik meg a válaszban, és az egész válasz hibává válik. Ezért szigorúan tartsa be az összes korlátozást, mert nem minden gyökér illeszkedik a feladat körébe.

4. Egyenletrendszerek

Az egyenletrendszer göndör vagy szögletes zárójelekkel összekapcsolt egyenletkészlet. A göndör zárójelek azt jelzik, hogy az összes egyenlet együtt fut. Vagyis ha legalább az egyik egyenletnek nincs gyökere, vagy ellentmond egy másiknak, akkor az egész rendszernek nincs megoldása. A szögletes zárójelek a „vagy” szót jelzik. Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer legalább egy egyenletének van megoldása, akkor az egész rendszernek van megoldása.

A c rendszer válasza az egyes egyenletek összes gyökének halmaza. A göndör fogszabályzós rendszereknek pedig csak közös gyökerei vannak. Az egyenletrendszerek teljesen különböző függvényeket tartalmazhatnak, így az ilyen bonyolultság nem teszi lehetővé, hogy azonnal megmondjuk, melyik egyenletnek nincs gyökere.

Problémás könyvekben és tankönyvekben található különböző típusok egyenletek: amelyeknek van gyökere, és amelyeknek nincs. Először is, ha nem találja a gyökereket, ne gondolja, hogy egyáltalán nincsenek ott. Lehet, hogy valahol hibát követett el, akkor csak alaposan meg kell vizsgálnia a döntését.

Megnéztük a legalapvetőbb egyenleteket és azok típusait. Most megtudhatja, hogy melyik egyenletnek nincs gyökere. A legtöbb esetben ezt nem nehéz megtenni. Az egyenletek megoldásának sikere csak odafigyelést és koncentrációt igényel. Gyakorolj többet, ez segít sokkal jobban és gyorsabban eligazodni az anyagban.

Tehát az egyenletnek nincs gyökere, ha:

• V lineáris egyenlet mx = n érték m = 0 és n = 0;
• V másodfokú egyenlet, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla;
• cosx = m / sinx = n alakú trigonometrikus egyenletben, ha |m| > 0, |n| > 0;
• szögletes zárójeles egyenletrendszerben, ha legalább egy egyenletnek nincs gyöke, és szögletes zárójelben, ha minden egyenletnek nincs gyöke.

Miután megvizsgáltuk az egyenlőségek fogalmát, nevezetesen egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor áttérhetünk egy másik fontos típusra - az egyenletekre. Ennek az anyagnak a keretein belül elmagyarázzuk, mi az egyenlet és annak gyökere, alapvető definíciókat fogalmazunk meg, és különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereinek megtalálására.

Az egyenlet fogalma

Az egyenlet fogalmát általában az iskolai algebratanfolyam legelején tanítják. Akkor ez így van definiálva:

1. definíció

Egyenlet ismeretlen számú egyenlőségnek nevezzük, amelyet meg kell találni.

Az ismeretleneket kis latin betűkkel szokás jelölni, például t, r, m stb., de leggyakrabban x, y, z betűket használnak. Más szóval, az egyenletet a rögzítésének formája határozza meg, vagyis az egyenlőség csak akkor lesz egyenlet, ha egy bizonyos formára redukálják - tartalmaznia kell egy betűt, azt az értéket, amelyet meg kell találni.

Adjunk néhány példát a legegyszerűbb egyenletekre. Ezek lehetnek x = 5, y = 6 stb. alakú egyenlőségek, valamint olyanok, amelyek magukban foglalják aritmetikai műveletek, például x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

A zárójel fogalmának tanulmányozása után megjelenik a zárójeles egyenletek fogalma. Ezek közé tartozik a 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 stb. A megkeresendő betű többször, de többször is előfordulhat, pl. , például az x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 egyenletben. Az ismeretlenek nemcsak a bal oldalon, hanem a jobb oldalon is elhelyezkedhetnek, vagy mindkét részben egyszerre, például x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 vagy 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Továbbá, miután a tanulók megismerkednek az egész számok, a valós számok, a racionális számok, a természetes számok, valamint a logaritmusok, gyökök és hatványok fogalmaival, új egyenletek jelennek meg, amelyek mindezeket az objektumokat tartalmazzák. Külön cikket szenteltünk az ilyen kifejezések példáinak.

A 7. osztályos tananyagban jelenik meg először a változók fogalma. Ezek olyan betűk, amelyek különböző jelentéseket vehetnek fel (további részletekért lásd a numerikus, betű- és változó kifejezésekről szóló cikket). E koncepció alapján újradefiniálhatjuk az egyenletet:

2. definíció

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek értékét ki kell számítani.

Azaz például az x + 3 = 6 x + 7 kifejezés egyenlet az x változóval, és 3 y − 1 + y = 0 egyenlet az y változóval.

Egy egyenletnek több változója is lehet, de kettő vagy több is. Ezeket két, három változós stb. egyenleteknek nevezzük. Írjuk le a definíciót:

3. definíció

A két (három, négy vagy több) változót tartalmazó egyenletek olyan egyenletek, amelyek megfelelő számú ismeretlent tartalmaznak.

Például egy 3, 7 · x + 0, 6 = 1 formájú egyenlőség egy x változóval, x − z = 5 pedig két x és z változóval rendelkező egyenlet. Példa egy három változós egyenletre: x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Az egyenlet gyökere

Amikor egy egyenletről beszélünk, azonnal felmerül az igény a gyöke fogalmának meghatározására. Próbáljuk meg elmagyarázni, mit jelent.

1. példa

Adunk egy bizonyos egyenletet, amely egy változót tartalmaz. Ha az ismeretlen betűt számmal helyettesítjük, az egyenlet numerikus egyenlőséggé válik – igaz vagy hamis. Tehát, ha az a + 1 = 5 egyenletben a betűt 2-re cseréljük, akkor az egyenlőség hamis lesz, ha pedig 4, akkor a helyes egyenlőség 4 + 1 = 5 lesz.

Pontosan azok az értékek érdekelnek minket, amelyekkel a változó valódi egyenlőséggé válik. Ezeket gyökereknek vagy megoldásoknak nevezzük. Írjuk le a definíciót.

4. definíció

Az egyenlet gyökere Egy olyan változó értékét hívják, amely egy adott egyenletet valódi egyenlőséggé változtat.

A gyökér nevezhető megoldásnak is, vagy fordítva – mindkét fogalom ugyanazt jelenti.

2. példa

Vegyünk egy példát ennek a definíciónak a tisztázására. Fent megadtuk az a + 1 = 5 egyenletet. A definíció szerint a gyök ebben az esetben 4 lesz, mert betű helyett behelyettesítve a helyes számegyenlőséget adja, a kettő pedig nem lesz megoldás, mivel a 2 + 1 = 5 hibás egyenlőségnek felel meg.

Hány gyöke lehet egy egyenletnek? Minden egyenletnek van gyöke? Válaszoljunk ezekre a kérdésekre.

Léteznek olyan egyenletek is, amelyeknek nincs egyetlen gyökük. Példa erre: 0 x = 5. Végtelen sok különböző számot behelyettesíthetünk bele, de egyikből sem lesz valódi egyenlőség, hiszen 0-val szorozva mindig 0-t kapunk.

Vannak olyan egyenletek is, amelyeknek több gyökere van. Véges vagy végtelen számú gyökük lehet.

3. példa

Tehát az x − 2 = 4 egyenletben csak egy gyök van - hat, x 2 = 9-ben két gyök - három és mínusz három, x -ben (x - 1) · (x - 2) = 0 három gyök - nulla, egy és kettő, végtelen sok gyök van az x=x egyenletben.

Most magyarázzuk el, hogyan kell helyesen írni az egyenlet gyökereit. Ha nincsenek ott, akkor ezt írjuk: „az egyenletnek nincsenek gyökerei”. Ebben az esetben az üres halmaz ∅ előjelét is jelezheti. Ha vannak gyökök, akkor azokat vesszővel elválasztva írjuk, vagy egy halmaz elemeként jelöljük, kapcsos zárójelek közé zárva. Tehát, ha bármely egyenletnek három gyöke van - 2, 1 és 5, akkor - 2, 1, 5 vagy (- 2, 1, 5) -t írunk.

A gyököket egyszerű egyenlőségek formájában lehet írni. Tehát, ha az egyenletben az ismeretlent y betűvel jelöljük, és a gyökök 2 és 7, akkor y = 2 és y = 7 értéket írunk. Néha alsó indexeket adnak a betűkhöz, például x 1 = 3, x 2 = 5. Ily módon a gyökök számaira mutatunk. Ha az egyenletnek végtelen számú megoldása van, akkor a választ numerikus intervallumként írjuk le, vagy használjunk általánosan elfogadott jelölést: a természetes számok halmazát N, egész számokat - Z, valós számokat - R jelölünk. Tegyük fel, hogy ha azt kell felírnunk, hogy az egyenlet megoldása tetszőleges egész szám lesz, akkor azt írjuk, hogy x ∈ Z, és ha bármely valós szám egytől kilencig, akkor y ∈ 1, 9.

Ha egy egyenletnek két, három vagy több gyöke van, akkor általában nem gyökökről beszélünk, hanem az egyenlet megoldásairól. Fogalmazzuk meg egy többváltozós egyenlet megoldásának definícióját.

5. definíció

A két, három vagy több változós egyenlet megoldása a változók két, három vagy több értéke, amely az adott egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.

Magyarázzuk meg a definíciót példákkal.

4. példa

Tegyük fel, hogy megvan az x + y = 7 kifejezés, ami egy két változós egyenlet. Helyettesítsünk egyet az első helyett, és kettőt a második helyett. Helytelen egyenlőséget fogunk kapni, ami azt jelenti, hogy ez az értékpár nem lesz megoldás erre az egyenletre. Ha vesszük a 3 és 4 párost, akkor az egyenlőség igaz lesz, ami azt jelenti, hogy megtaláltuk a megoldást.

Az ilyen egyenleteknek nincs gyöke, vagy végtelen sok. Ha két, három, négy vagy több értéket kell felírnunk, akkor ezeket vesszővel elválasztva, zárójelben írjuk. Vagyis a fenti példában a válasz így fog kinézni (3, 4).

A gyakorlatban leggyakrabban egy változót tartalmazó egyenletekkel kell foglalkozni. Az egyenletek megoldásának szentelt cikkben részletesen megvizsgáljuk a megoldásuk algoritmusát.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Hasonló cikkek