(görögül λόγος - „szó”, „kapcsolat” és ἀριθμός – „szám”) számok b alapján a(log α b) ilyen számnak nevezzük c, És b= a c, azaz log α-t rögzít b=cÉs b=ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Más szavakkal logaritmus számok b alapján A kitevőként fogalmazódik meg, amelyre egy számot kell emelni a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x= log α b, ekvivalens az a x =b egyenlet megoldásával.

Például:

log 2 8 = 3, mert 8 = 2 3 .

Hangsúlyozzuk, hogy a logaritmus jelzett megfogalmazása azonnali meghatározást tesz lehetővé logaritmus érték, amikor a logaritmusjel alatti szám az alap valamely hatványaként működik. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmusok témaköre szorosan kapcsolódik a témához egy szám hatványai.

A logaritmus kiszámítását ún logaritmus. A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmusok felvételekor a tényezők szorzatai tagok összegévé alakulnak.

Potencírozás a logaritmus inverz matematikai művelete. A potencírozás során egy adott bázist arra az expressziós fokra emelnek, amely felett a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.

Gyakran valós logaritmusokat használnak 2-es bázissal (bináris), Euler-számmal ≈ 2,718 (természetes logaritmus) és 10-vel (tizedes).

Ebben a szakaszban tanácsos mérlegelni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Az lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 bejegyzéseknek pedig nincs értelme, hiszen az elsőben negatív szám kerül a logaritmus előjele alá, a másodikban negatív szám van. az alapban, a harmadikban pedig a logaritmus előjele alatt egy negatív szám és az alapon lévő mértékegység található.

A logaritmus meghatározásának feltételei.

Külön érdemes figyelembe venni azokat a feltételeket a > 0, a ≠ 1, b > 0.amelyek mellett kapunk a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért hozták meg ezeket a korlátozásokat. Ebben segítségünkre lesz egy x = log α alakú egyenlőség b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fenti definíciójából.

Vegyük a feltételt a≠1. Mivel egy tetszőleges hatványhoz egyenlő eggyel, akkor az x=log α egyenlőség b csak akkor létezhet b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a≠1.

Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a>0. Nál nél a=0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak akkor létezhet b=0. És ennek megfelelően akkor log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nullától eltérő hatvány nulla. Ez a kétértelműség kiküszöbölhető a feltétellel a≠0. És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező fokot csak nem negatív bázisokra határozzuk meg. Ez az oka annak, hogy a feltétel ki van kötve a>0.

És az utolsó feltétel b>0 egyenlőtlenségből következik a>0, mivel x=log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.

A logaritmus jellemzői.

Logaritmusok jellegzetessége jellemzi jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy jelentősen megkönnyítsék a gondos számításokat. Amikor „a logaritmusok világába” lépünk, a szorzás sokkal könnyebb összeadássá, az osztás kivonássá, a hatványozás és a gyökkivonás pedig a kitevővel szorzássá, illetve osztássá alakul.

A logaritmusok megfogalmazása és értékeinek táblázata (for trigonometrikus függvények) John Napier skót matematikus adta ki először 1614-ben. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és az elektronikus számológépek és számítógépek használatáig relevánsak maradtak.

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Definíció és tulajdonságok

A komplex nullának nincs logaritmusa, mert a komplex kitevő nem veszi fel a nulla értéket. Nem nulla $z$ demonstratív formában ábrázolható:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Ahol $k$- tetszőleges egész szám

Akkor $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ képlettel találjuk meg:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash jobbra)$

Itt $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- valós logaritmus. Ebből következik:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash pont)$

Példák összetett logaritmusértékekre

Mutassuk be a logaritmus fő értékét ( $\backslash ln$) és általános kifejezése ( $\backslash mathrm(Ln)$) néhány érvhez:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért bármely kifejezés logaritmusának egyenlősége nem jelenti ezen kifejezések egyenlőségét. Példa tévesérvelés:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- nyilvánvaló hiba.

Vegye figyelembe, hogy a bal oldalon a logaritmus fő értéke, a jobb oldalon pedig az alapul szolgáló ág értéke ( $k=-1$). A hiba oka az ingatlan gondatlan használata $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a fő értéket.

Komplex logaritmikus függvény és Riemann felület

Az egyszerű összefüggés miatt a logaritmus Riemann-felülete univerzális lefedése összetett sík nincs pont $0$.

Analitikai folytatás

Egy komplex szám logaritmusa úgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra. Hagyja a görbét $\backslash Gamma$ egynél kezdődik, nem megy át nullán, és nem keresztezi a valós tengely negatív részét. Ezután a logaritmus főértéke a végpontban $w$ görbe $\backslash Gamma$ képlettel határozható meg:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Ha $\backslash Gamma$- egy egyszerű görbe (önmetszetek nélkül), majd a rajta fekvő számoknál félelem nélkül használhatók logaritmikus azonosságok, pl.

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

A logaritmikus függvény fő ága folytonos és differenciálható a teljes komplex síkon, kivéve a valós tengely negatív részét, amelyen a képzeletbeli rész hirtelen megváltozik. $2\backslash pi$. De ez a tény a főérték képzeletbeli részének intervallum általi mesterséges korlátozásának a következménye $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Ha figyelembe vesszük a függvény összes ágát, akkor a folytonosság minden ponton fellép, kivéve a nullát, ahol a függvény nincs definiálva. Ha megoldja a görbét $\backslash Gamma$ keresztezi a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont a főérték ágból átviszi az eredményt a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén (lásd ábra).

Az analitikus folytatási képletből az következik, hogy a logaritmus bármely ágán:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash z\; felett)$

Bármilyen körhöz $S$, amely a lényeget $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét.

A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a valós esetre ismert sorozatok felhasználásával:

{{{2}}}

(1. sor)

{{{2}}}

(2. sor)

E sorozatok alakjából azonban az következik, hogy egynél a sorozat összege egyenlő nullával, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik. Mindkét sorozat konvergencia sugara 1.

Kapcsolódás inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvényekkel

$\backslash operátornév(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operátornév(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operátornév(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operátornév(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operátornév(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operátornév(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operátornév(Arsh)z\; =\; \backslash operátornév(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- inverz hiperbolikus szinusz $\backslash operátornév(Arch)z=\backslash operátornév(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- inverz hiperbolikus koszinusz $\backslash operátornév(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operátornév(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- inverz hiperbolikus érintő $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- inverz hiperbolikus kotangens

Történelmi vázlat

A 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tett először kísérletet a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert a logaritmus fogalmát még nem határozták meg egyértelműen. A vita erről a kérdésről először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén D’Alembert és Euler között zajlott. Bernoulli és D'Alembert úgy gondolta, hogy ezt meg kell határozni $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, míg Leibniz bebizonyította, hogy a logaritmus negatív szám egy képzeletbeli szám. A negatív és összetett számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől. Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott.

Írjon véleményt a "Komplex logaritmus" című cikkről

Irodalom

A logaritmusok elmélete

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

A logaritmusok története

• A 18. század matematikája // / Szerkesztette A. P. Juskevics, három kötetben. - M.: Tudomány, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete. - M.: Tudomány, 1981. - T. II.

Megjegyzések

1. Logaritmikus függvény. // . - M.: Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3.
2. , II. kötet, 520-522.
3. , Val vel. 623..
4. , Val vel. 92-94..
5. , Val vel. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvant Könyvtár, 21. szám).
7. , II. kötet, 522-526.
8. , Val vel. 624...
9. , Val vel. 325-328..
10. Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M.: Könyvkiadó. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Val vel. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Tudomány, 1987. - T. II. Geometria. - 159-161. - 416 s.

A Komplex logaritmust jellemző részlet

Nyilvánvaló volt, hogy ez az erős, különös férfi ellenállhatatlan befolyása alatt áll, amelyet ez a sötét, kecses, szerető lány gyakorolt ​​rá.
Rosztov valami újat vett észre Dolokhov és Szonya között; de nem határozta meg magában, hogy ez milyen új kapcsolat. „Ott mindannyian szerelmesek valakibe” – gondolta Sonyáról és Natasáról. De nem volt olyan kényelmes Sonyával és Dolokhovval, mint korábban, és ritkábban kezdett otthon lenni.
1806 ősze óta minden újra a Napóleonnal vívott háborúról kezdett beszélni, még hevesebben, mint tavaly. Nemcsak újoncokat neveztek ki, hanem további 9 harcost is az ezerből. Mindenhol átkozták Bonaparte-ot, Moszkvában pedig csak a közelgő háborúról beszéltek. A Rosztov család számára a háborús előkészületek teljes érdeke csak abban rejlett, hogy Nikolushka soha nem hajlandó Moszkvában maradni, és csak Denisov szabadságának végét várta, hogy az ünnepek után vele menjen az ezredbe. A közelgő távozás nemhogy nem akadályozta meg a szórakozásban, de ösztönözte is erre. Ideje nagy részét a házon kívül töltötte, vacsorákon, estélyeken és bálokon.

XI
Karácsony harmadik napján Nikolai otthon vacsorázott, ami mostanában ritkán fordult elő vele. Hivatalosan is búcsúvacsora volt, hiszen ő és Denisov vízkereszt után indultak az ezredhez. Körülbelül húsz ember ebédelt, köztük Dolokhov és Denisov.
Rostovék házában soha nem érezte magát olyan erővel a szerelem légköre, a szerelem légköre, mint ezeken az ünnepnapokon. „Ragadd meg a boldogság pillanatait, kényszerítsd magad a szerelemre, szeresd magad! Csak ez az egy dolog valós a világon – a többi mind nonszensz. És ez minden, amit itt csinálunk” – szólt a hangulat. Nyikolaj, mint mindig, miután megkínzott két pár lovat, és nem volt ideje meglátogatni az összes helyet, ahol kellett, és ahová hívták, ebéd előtt ért haza. Már amint belépett, észrevette és megérezte a házban uralkodó szeretetteljes légkör feszültségét, de azt is észrevette, hogy a társaság egyes tagjai között furcsa zűrzavar uralkodik. Sonya, Dolokhov, az öreg grófnő és egy kis Natasa különösen izgatottak voltak. Nyikolaj rájött, hogy vacsora előtt valami történik Szonja és Dolokhov között, és jellegzetes szívérzékenységével vacsora közben nagyon gyengéden és óvatosan bánt mindkettőjükkel. A szünidő harmadik napjának ugyanazon az estéjén Yogelnél (a tánctanárnál) volt egy ilyen bál, amelyet ünnepnapokon minden tanítványának és diáklányának adott.
- Nikolenka, elmész Yogelhez? Kérlek, menj el – mondta neki Natasa –, különösen téged kért, és Vaszilij Dmitrics (Denyiszov volt) megy.
„Bárhová megyek Athéné úr parancsára!” – mondta Deniszov, aki tréfásan a rosztovi házban helyezkedett el Natasa lovag lábán, „a pas de chale [tánc kendővel] készen áll a táncra”.
- Ha van időm! „Megígértem Arharovéknak, hogy ez az ő estéjük” – mondta Nyikolaj.
- És te?... - fordult Dolokhovhoz. És most kérdeztem ezt, és észrevettem, hogy ezt nem kellett volna megkérdezni.
- Igen, talán... - válaszolta Dolohov hidegen és dühösen, Sonyára nézett, és homlokráncolva, pontosan ugyanolyan tekintettel, mint Pierre-re a klubvacsorán, ismét Nyikolajra nézett.
„Van valami” – gondolta Nyikolaj, és ezt a feltételezést tovább erősítette az a tény, hogy Dolokhov vacsora után azonnal elment. Felhívta Natasát, és megkérdezte, mi az?
– Téged kerestelek – mondta Natasha, és odaszaladt hozzá. – Mondtam már, hogy még mindig nem akartad elhinni – mondta diadalmasan –, hogy megkért Sonyának.
Nem számít, milyen keveset csinált Nyikolaj Sonyával ezalatt, úgy tűnt, valami kiszakadt belőle, amikor ezt meghallotta. Dolokhov tisztességes és bizonyos szempontból zseniális párja volt a hozomány nélküli árva Sonyának. Az öreg grófnő és a világ szemszögéből nézve lehetetlen volt megtagadni. És ezért Nikolai első érzése, amikor ezt meghallotta, a Sonya elleni harag volt. Arra készült, hogy elmondja: „És nagyszerű, persze el kell felejtenünk gyermekkori ígéreteinket, és el kell fogadnunk az ajánlatot”; de még nem volt ideje kimondani...
- El tudod képzelni! Visszautasította, teljesen visszautasította! – szólalt meg Natasha. „Azt mondta, hogy szeret valaki mást” – tette hozzá rövid hallgatás után.
– Igen, az én Sonyám nem tehetett volna másként! gondolta Nikolai.
„Bármennyit is kért tőle anyám, visszautasította, és tudom, hogy nem változtat azon, amit mondott…
- És anya megkérdezte tőle! – mondta szemrehányóan Nikolai.
– Igen – mondta Natasha. - Tudod, Nikolenka, ne haragudj; de tudom, hogy nem veszed feleségül. Tudom, Isten tudja, miért, biztosan tudom, nem fogsz férjhez menni.
– Hát, ezt nem tudod – mondta Nyikolaj; – de beszélnem kell vele. Micsoda szépség ez a Sonya! – tette hozzá mosolyogva.
- Ez nagyon szép! elküldöm neked. - Natasha pedig a bátyját csókolgatva elszaladt.
Egy perccel később Sonya ijedten, zavartan és bűntudattal lépett be. Nikolai odalépett hozzá, és kezet csókolt neki. Ez volt az első alkalom ezen a látogatáson, hogy négyszemközt és szerelmükről beszéltek.
- Sophie - mondta eleinte félénken, majd egyre bátrabban -, ha nem csak egy ragyogó, nyereséges meccset akarsz visszautasítani; de csodálatos, nemes ember... ő a barátom...
– szakította félbe Sonya.
– Már visszautasítottam – mondta sietve.
- Ha megtagadsz helyettem, akkor attól tartok, hogy rajtam...
Sonya ismét félbeszakította. Könyörgő, ijedt szemekkel nézett rá.
– Nicolas, ne mondd ezt nekem – mondta.
- Nem, muszáj. Lehet, hogy ez elégséges [arrogancia] részemről, de jobb, ha mondom. Ha visszautasít helyettem, akkor el kell mondanom a teljes igazságot. Szerintem mindenkinél jobban szeretlek...
– Nekem ez elég – mondta Sonya elvörösödve.
- Nem, de ezerszer szerelmes voltam, és továbbra is szerelmes leszek, bár senki iránt nem érzek olyan barátságot, bizalmat, szeretetet, mint irántad. Akkor fiatal vagyok. Maman nem akarja ezt. Hát csak én nem ígérek semmit. És arra kérem, gondoljon Dolokhov javaslatára – mondta, és nehezen tudta kiejteni barátja vezetéknevét.
- Ne mondd ezt nekem. Nem akarok semmit. Úgy szeretlek, mint egy testvért, és mindig is szeretni foglak, és nincs is szükségem többre.
"Angyal vagy, nem vagyok méltó hozzád, de csak attól félek, hogy becsaplak." – Nikolai ismét kezet csókolt neki.

Yogel volt a legszórakoztatóbb bál Moszkvában. Ezt mondták az anyák, miközben kamaszaikat [lányaikat] nézték, akik újonnan tanult lépéseiket hajtották végre; ezt maguk a kamaszok és serdülők mondták, [lányok és fiúk], akik addig táncoltak, amíg el nem estek; ezek a felnőtt lányok és fiatal férfiak, akik azzal a gondolattal jöttek el ezekre a bálokra, hogy lenézzenek nekik, és megtalálják bennük a legjobb szórakozást. Ugyanebben az évben ezeken a bálokon két házasságkötésre is sor került. A Gorcsakovok két csinos hercegnője udvarlókra talált, összeházasodtak, és még inkább dicsőségbe bocsátották ezeket a bálokat. Különlegessége volt ezeknek a báloknak, hogy nem volt házigazda és háziasszony: ott volt a művészi szabályok szerint csoszogó, jókedvű, repülő tollas Yogel, aki minden vendégétől jegyet vett az órákra; az volt, hogy ezekre a bálokra csak azok akarnak elmenni, akik táncolni és szórakozni akarnak, mint például a 13 és 14 éves lányok, akik először vettek fel hosszú ruhát. Ritka kivételtől eltekintve mindenki csinos volt vagy látszott: mindannyian olyan lelkesen mosolyogtak, és annyira felcsillant a szemük. Néha még a legjobb tanulók is pas de chale-t táncoltak, akik közül a legjobb a kecsességével kitüntetett Natasa volt; de ezen az utolsó bálon már csak ecosaiseket, anglaiseket és az éppen divatba jött mazurkát táncoltak. A termet Yogel vitte Bezukhov házába, és a bál, ahogy mindenki mondta, nagy sikert aratott. Nagyon sok csinos lány volt, a rosztovi hölgyek a legjobbak között voltak. Mindketten különösen boldogok és jókedvűek voltak. Azon az estén Sonya, aki büszke volt Dolokhov javaslatára, elutasítására és Nyikolajjal magyarázott magyarázatára, még mindig otthon forgott, nem engedte, hogy a lány befejezze a fonatát, és most már heves örömtől ragyogott.
Natasha, aki nem kevésbé büszke volt arra, hogy egy igazi bálon először volt hosszú ruhában, még boldogabb volt. Mindketten fehér muszlinruhát viseltek, rózsaszín szalaggal.
Natasha attól a perctől kezdve szerelmes lett, hogy belépett a labdába. Nem volt szerelmes senkibe különösebben, de mindenkibe szerelmes volt. Abban a pillanatban, akire ránézett, az volt, akibe szerelmes volt.
- Ó, milyen jó! – folytatta, és odaszaladt Sonyához.
Nyikolaj és Denisov körbejárták a termeket, és szeretettel és pártfogóan nézték a táncosokat.
– Milyen édes lesz – mondta Denisov.
- WHO?
– Athéné Natasa – felelte Denisov.
– És hogy táncol, micsoda döbbenet! – mondta ismét egy kis csend után.
- Kiről beszélsz?
– A nővéredről – kiáltotta Denisov dühösen.
Rostov elvigyorodott.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez" - szólt a kis Jogel Nikolaihoz. - Voyez combien de jolies demoiselles [Kedves grófom, ön az egyik legjobb tanítványom. Táncolnia kell. Nézzétek, milyen szép lányok!] – Ugyanezt kérte Denisovnak, egykori tanítványának is.
„Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Nem, kedvesem, a fal mellett ülök - mondta Denisov. – Nem emlékszel, milyen rosszul használtam az óráidat?
- Óh ne! – mondta Yogel sietve megvigasztalva. – Csak figyelmetlen voltál, de voltak képességeid, igen, voltak képességeid.
Elhangzott az újonnan bevezetett mazurka; Nikolai nem tagadhatta meg Yogelt, és meghívta Sonyát. Gyenyiszov leült az öregasszonyok mellé, és kardjára könyökölve, ütemét ütögetve, vidáman mesélt valamit, és megnevetteti az idős hölgyeket, nézegetve a táncoló fiatalokat. Yogel az első párban Natasával, büszkeségével és legjobb tanítványával táncolt. Gyengéden, gyengéden mozgatta a lábát a cipőjében, Yogel elsőként repült át a hallon Natasával, aki félénk volt, de szorgalmasan teljesítette a lépéseket. Denisov nem vette le róla a szemét, és szablyájával koppintott az ütemre, olyan arckifejezéssel, amely egyértelműen azt mondta, hogy ő maga csak azért nem táncol, mert nem akar, és nem azért, mert nem tud. A figura közepén magához hívta az arra járó Rosztovot.
„Ez egyáltalán nem ugyanaz” – mondta. - Ez egy lengyel mazurka, és kitűnően táncol - Tudva, hogy Denisov még Lengyelországban is híres volt a lengyel mazurka táncáról, Nikolaj odaszaladt Natasához.
- Menj és válaszd Denisovot. Itt táncol! Csoda! - ő mondta.
Amikor ismét Natasára került a sor, felállt, és gyorsan, masnival megfogva a cipőjét, félénken egyedül rohant át a folyosón a sarokba, ahol Denisov ült. Látta, hogy mindenki őt nézi és várja. Nyikolaj látta, hogy Denisov és Natasha mosolyogva veszekednek, és hogy Denisov visszautasítja, de vidáman mosolyog. Felrohant.
– Kérem, Vaszilij Dmitrics – mondta Natasa –, menjünk, kérem.
– Igen, ez az, g’athena – mondta Denisov.
– Nos, elég volt, Vasja – mondta Nyikolaj.
„Mintha Vaskát, a macskát próbálnák rávenni” – mondta tréfásan Denisov.
– Egész este énekelek neked – mondta Natasha.
- A varázslónő bármit megtesz velem! - mondta Denisov, és kioldotta a szablyáját. Kijött a székek mögül, határozottan kézen fogta hölgyét, felemelte a fejét és letette a lábát, a tapintatra várva. Csak lóháton és a mazurkában nem látszott Denisov alacsony termete, és úgy tűnt, hogy ugyanaz a fiatalember, akinek érezte magát. Miután megvárta az ütemet, diadalmasan és játékosan oldalról pillantott hölgyére, hirtelen megkocogtatta az egyik lábát, és mint egy labda, rugalmasan felpattant a padlóról és körbe repült, magával rántva hölgyét. Hangtalanul fél lábon repült át a folyosón, és úgy tűnt, nem látta az előtte álló székeket, és egyenesen feléjük rohant; de hirtelen sarkantyúját csattogtatva, lábát széttárva megállt a sarkán, egy másodpercig ott állt, sarkantyúk üvöltésével, egy helyben megütötte a lábát, gyorsan megfordult, és bal lábával jobb lábát kattantva ismét körben repült. Natasha sejtette, mit szándékozik tenni, és anélkül, hogy tudta volna, hogyan, követte – átadva magát neki. Most megkerülte, most a jobbján, most a bal kezén, most térdre esve, maga körül körözte, és megint felugrott, és olyan gyorsasággal rohant előre, mintha át akarna futni az összes szobán. levegővétel nélkül; aztán hirtelen újra és újra megtorpant és új és váratlan térdre hajtott. Amikor fürgén megpörgette a hölgyet a helye előtt, és meghajolt előtte, felpattantotta a sarkantyúját, Natasha még csak nem is kiabált érte. A lány tanácstalanul bámult rá, mosolyogva, mintha nem ismerné fel. - Mi ez? - azt mondta.
Annak ellenére, hogy Yogel nem ismerte fel valódinak ezt a mazurkát, mindenki el volt ragadtatva Denisov ügyességétől, szüntelenül őt választották, az öregek pedig mosolyogva Lengyelországról és a régi szép időkről kezdtek beszélni. Deniszov, kipirult a mazurkától, és egy zsebkendővel megtörölte magát, leült Natasa mellé, és az egész bál során nem hagyta el az oldalát.

Egy valós változó (pozitív bázisú) exponenciális függvényének meghatározása több lépésben történik. Először is, a természeti értékekre - egyenlő tényezők termékeként. A definíció ezután kiterjeszti a negatív egész számokat és a nullától eltérő értékeket a szabályok szerint. Ezután megvizsgáljuk azokat a törtkitevőket, amelyekben az exponenciális függvény értékét gyökök segítségével határozzuk meg: . Az irracionális értékek esetében a definíció már összefügg a matematikai elemzés alapfogalmával - a kontinuitás okán a határig való átlépéssel. Mindezek a megfontolások semmilyen módon nem alkalmazhatók az exponenciális függvény kiterjesztésére irányuló kísérletekre a mutató összetett értékeire, és például, hogy mi az, az teljesen homályos.

Az integrálszámítás számos konstrukciójának elemzése alapján először Euler vezetett be egy természetes bázisú komplex kitevővel rendelkező hatványt. Néha nagyon hasonló algebrai kifejezések integrálva teljesen eltérő válaszokat adnak:

Ugyanakkor itt a második integrál formálisan az elsőből származik, ha helyettesíti a

Ebből arra következtethetünk, hogy egy összetett kitevővel rendelkező exponenciális függvény megfelelő definiálásával az inverz trigonometrikus függvények a logaritmusokhoz kapcsolódnak, és így exponenciális függvény trigonometriával kapcsolatos.

Eulernek volt bátorsága és fantáziája, hogy ésszerű definíciót adjon egy exponenciális függvényre, amelynek alapja, nevezetesen,

Ez egy meghatározás, ezért ez a képlet nem bizonyítható, csak érveket lehet keresni egy ilyen meghatározás ésszerűsége és célszerűsége mellett. Matematikai elemzés sok ilyen érvet közöl. Csak egyre korlátozzuk magunkat.

Ismeretes, hogy a valóságban létezik egy korlátozó összefüggés: . A jobb oldalon van egy polinom, amely akkor is értelmes, ha összetett értékek számára . A komplex számok sorozatának határa természetesen meghatározott. Egy sorozatot akkor tekintünk konvergensnek, ha a valós és képzetes részek sorozatai konvergálnak, és elfogadjuk

Találjuk meg. Ehhez forduljunk a trigonometrikus formához, és az argumentumhoz az intervallumból választunk ki értékeket. Ezzel a választással egyértelmű, hogy a . További,

A limit eléréséhez ellenőriznie kell a határértékek meglétét, és meg kell találnia ezeket a határértékeket. Egyértelmű, hogy

Tehát a kifejezésben

a valós rész hajlamos , a képzeletbeli rész arra

Ez az egyszerű érvelés az egyik érv az exponenciális függvény Euler-féle definíciója mellett.

Most állapítsuk meg, hogy egy exponenciális függvény értékeinek szorzásakor a kitevők összeadódnak. Igazán:

2. Euler-képletek.

Tegyük be az exponenciális függvény definícióját. Kapunk:

B-t -b-re cserélve azt kapjuk

Ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadva és kivonva megtaláljuk a képleteket

az úgynevezett Euler-képleteket. Képzetes kitevőkkel teremtenek kapcsolatot a trigonometrikus függvények és az exponenciális függvények között.

3. Komplex szám természetes logaritmusa.

Egy trigonometrikus formában megadott komplex szám alakban írható fel. Ezt a komplex szám írási formáját exponenciálisnak nevezzük. Minden jó tulajdonságát megőrzi trigonometrikus forma, de még rövidebben. Továbbá ezért természetes, hogy egy komplex szám logaritmusának valós része a modulusának logaritmusa, az imaginárius része pedig az argumentuma. Ez részben megmagyarázza az argumentum "logaritmikus" tulajdonságát - a szorzat argumentumot egyenlő az összeggel tényezők érvei.

Megadjuk a logaritmus, logaritmusgráf, definíciós tartomány, értékkészlet, alapképletek, növekedés és csökkenés alapvető tulajdonságait. A logaritmus deriváltjának megtalálását tekintjük. Valamint integrál, hatványsorok bővítése és ábrázolása komplex számokkal.

Tartalom

Domain, értékkészlet, növekvő, csökkenő

A logaritmus monoton függvény, ezért nincs szélsősége. A logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

Tartomány	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Értéktartomány	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monoton növekszik	monoton csökken
Nullák, y = 0	x = 1	x = 1
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	Nem	Nem
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Magánértékek

A 10-es alapú logaritmust nevezzük decimális logaritmusés a következőképpen jelöljük:

Logaritmus a bázishoz e hívott természetes logaritmus :

A logaritmusok alapképletei

Az inverz függvény definíciójából adódó logaritmus tulajdonságai:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmusok felvételekor a tényezők szorzatait tagok összegére alakítják át.
A potenciálás a logaritmusra fordított matematikai művelet. A potencírozás során egy adott bázist arra az expressziós fokra emelnek, amely felett a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.

A logaritmusok alapképleteinek bizonyítása

A logaritmushoz kapcsolódó képletek az exponenciális függvények képleteiből és az inverz függvény definíciójából következnek.

Tekintsük az exponenciális függvény tulajdonságát
.
Akkor
.
Alkalmazzuk az exponenciális függvény tulajdonságát
:
.

Bizonyítsuk be az alaphelyettesítési képletet.
;
.
Feltételezve, hogy c = b, a következőt kapjuk:

Inverz függvény

Az a bázis logaritmusának inverze egy exponenciális függvény a kitevőjével.

Ha akkor

Ha akkor

A logaritmus deriváltja

Az x modulus logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

A logaritmus deriváltjának megtalálásához bázisra kell redukálni e.
;
.

Integrál

A logaritmus integrálját részenkénti integrálással számítjuk ki: .
Így,

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
.
Adjunk meg egy komplex számot z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
Ezután a logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőt kapjuk:
.
Vagy

Az érvelés azonban φ nem egyedileg meghatározott. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
akkor ugyanaz a szám lesz a különböző n.

Ezért a logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Lásd még:

Valódi logaritmus

Logaritmus valós szám log a b logikus a style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

A legszélesebb körben használt logaritmustípusok:

Ha a logaritmikus számot változónak tekintjük, akkor azt kapjuk logaritmikus függvény, Például: . Ez a függvény a számsor jobb oldalán van definiálva: x> 0, folytonos és ott differenciálható (lásd 1. ábra).

Tulajdonságok

Természetes logaritmusok

Amikor az egyenlőség igaz

(1)

Különösen,

Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármely pozitív szám logaritmusát is kifejezheti.

Kapcsolat a decimális logaritmussal: .

Tizedes logaritmus

Rizs. 2. Logaritmikus skála

Logaritmus 10-es alapig (szimbólum: lg a) a számológépek feltalálása előtt széles körben használták számításokhoz. A tizedes logaritmusok egyenetlen skáláját általában a diaszabályokon is jelölik. Hasonló skálát széles körben használnak a tudomány különböző területein, például:

• Kémia - hidrogénionok aktivitása ().
• Zeneelmélet - a hangjegyek skála, a hangjegyek frekvenciájával kapcsolatban.

A logaritmikus skálát széles körben használják a hatványviszonyokban a kitevő és a kitevőben az együttható azonosítására is. Ebben az esetben egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán felépített gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.

Komplex logaritmus

Többértékű függvény

Riemann felület

Egy összetett logaritmikus függvény egy példa a Riemann-felületre; képzeletbeli része (3. ábra) abból áll végtelen számágak csavarodtak spirálszerűen. Ez a felület egyszerűen össze van kötve; annak egyetlen (elsőrendű) nulláját adjuk meg z= 1, egyes pontok: z= 0 és (végtelen rendű elágazási pontok).

A logaritmus Riemann-felülete a 0 pont nélküli komplex sík univerzális lefedése.

Történelmi vázlat

Valódi logaritmus

A 16. században gyorsan megnőtt az összetett számítások iránti igény, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával járt. A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: a munkaigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, speciális táblázatok segítségével összehasonlítani a geometriai és a számtani progressziót úgy, hogy a geometriai legyen az eredeti. Ekkor az osztást automatikusan felváltja a mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás. Ő volt az első, aki ezt az ötletet publikálta könyvében. Arithmetica integra"Michael Stiefel, aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének megvalósításáért.

Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első csúsztatási szabályt, még a zsebszámológépek megjelenése előtt – ez egy nélkülözhetetlen mérnöki eszköz.

A logaritmáció – mint a hatalommá emelés fordított művelete – modernhez közeli felfogása először Wallisnál és Johann Bernoullinál jelent meg, végül Euler legitimálta a 18. században. A „Bevezetés a végtelen elemzésébe” (Bevezetés a végtelen elemzésébe) című könyvében Euler modern meghatározásokat adott mind az exponenciális, mind a logaritmikus függvényekre, és kibővítette azokat. teljesítmény sorozat, különösen felhívta a figyelmet a természetes logaritmus szerepére.

Euler nevéhez fűződik a logaritmikus függvény kiterjesztése a komplex tartományra is.

Komplex logaritmus

A 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tett először kísérletet a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert a logaritmus fogalma még nem volt egyértelműen meghatározva. A vita erről a kérdésről először Leibniz és Bernoulli között, majd a 18. század közepén - d'Alembert és Euler között - zajlott. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy ezt el kell határozni log(-x) = log(x). A negatív és összetett számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől.

Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette azt az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler álláspontja gyorsan egyetemes elismerést kapott.

Logaritmikus táblázatok

Logaritmikus táblázatok

A logaritmus tulajdonságaiból az következik, hogy a többjegyű számok munkaigényes szorzása helyett elegendő (táblázatokból) megkeresni és összeadni a logaritmusukat, majd ugyanezekkel a táblázatokkal végrehajtani a potenciálást, azaz megkeresni. az eredmény értéke logaritmusából. Az osztás csak abban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják. Laplace azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása „meghosszabbította a csillagászok életét”, mivel nagymértékben felgyorsította a számítási folyamatot.

Amikor a tizedesvesszőt egy számban mozgatja n számjegy, ennek a számnak a decimális logaritmusának értéke a következőre változik n. Például log8314.63 = log8.31463 + 3. Ebből következik, hogy elegendő egy decimális logaritmus táblázatot összeállítani az 1 és 10 közötti számokhoz.

Az első logaritmustáblázatokat John Napier () publikálta, és csak trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, és hibával. Tőle függetlenül Joost Bürgi, Kepler barátja () publikálta táblázatait. 1617-ben Henry Briggs oxfordi matematika professzor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De Briggs táblázataiban is voltak hibák. Az első hibamentes kiadás a Vega-táblázatokon () csak 1857-ben jelent meg Berlinben (Bremiwer-táblázatok).

Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnitsky részvételével. A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg.

• Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok. 44. kiadás, M., 1973.

Hasonló cikkek