Egy konzervatív mechanikai rendszer stabil egyensúlyi helyzet körüli mozgásegyenleteiből

két szabadságfok esetén van:

(1)

(Sylveszter kritériuma szerint:

(1) két szabadságfokú mechanikai rendszer kis szabad rezgésének differenciálegyenletrendszere stabil egyensúlyi helyzet közelében. Megoldását a következő formában keresik:

(2)

Ha ezt a megoldást behelyettesítjük a kis rezgések differenciálegyenletek rendszerébe, akkor a következő eredményt kapjuk:

(3)

A és B tekintetében ez egy homogén algebrai egyenletrendszer. Nem triviális megoldása van, ha a rendszer determinánsa nulla:

(4)

Ezt a kétnegyedes egyenletet frekvenciaegyenletnek nevezzük, két pozitív gyöke van, amelyek a kis rezgések differenciálegyenlet-rendszerének két megoldásának felelnek meg:

Így minden egyes általánosított koordináta két különböző frekvenciájú rezgés összegeként található, amelyeket ún. fő ingadozások . Ebben az esetben a (3) rendszerből következően a fő rezgések amplitúdói a következőképpen viszonyulnak egymáshoz:

(5)

Ahol - formai tényezők fő ingadozások.

Ennek eredményeként a szabad rezgések (1) egyenleteinek megoldása végül a következő formát ölti:

(6)

Beérkezett üzenetek (6) amplitúdók és kezdeti fázisok, az oszcillációkat a kezdeti feltételek alapján határozzuk meg.

Két szabadságfokú mechanikai rendszerek kényszerrezgései. Dinamikus rezgéscsillapító

A nem kívánt rezgések kiküszöbölését a mechanikai rendszerekben ún rezgésvédelem (csillapítás). Az ilyenkor használt technikai eszközöket ún rezgéscsillapítók (csillapítók).

A dinamikus lengéscsillapító működési elve az antirezonancia jelenség alkalmazásán alapul, amikor az egyik koordinátának megfelelő periodikusan változó zavaró általános erő hatását egy másik koordinátának megfelelő potenciális általánosított erő hatása semlegesíti.

Legyen egy mechanikai rendszer a konzervatív erőkön kívül kitéve egy zavaró erőnek is, amely egy harmonikus törvény szerint idővel változik

A mechanikai rendszer mozgásdifferenciálegyenletei ebben az esetben a következőképpen alakulnak:

Egy lineáris differenciál-inhomogén (ebben az esetben) egyenletrendszer általános megoldását keressük két megoldás összegeként: , - egy homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása; -inhomogén differenciálegyenlet-rendszer részleges megoldása.

Figyelembe véve a zavaró erő időtől való függőségét, a formában sajátos megoldást keresünk

Ha behelyettesítjük a differenciálegyenlet-rendszerbe, akkor a következőt kapjuk:

Ezt a rendszert Cramer-szabály segítségével megoldva megkapjuk

Mivel egybeesik a frekvenciaegyenlet bal oldalával, és eltűnik

amikor a zavaró erő frekvenciája egybeesik az egyik sajátfrekvenciával

az oszcillációk vagy az A és B együtthatók ebben az esetben a végtelenbe fordulnak. Így egy két szabadságfokú rendszer rezgései esetén vannak két rezonáns frekvencia

Kényszerített differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása

rezgések at a következő formában van:

Mint látható, az oszcilláló rendszer paramétereinek megválasztásával el lehet érni például az A = 0 feltétel teljesülését, azaz az első általánosított koordinátának megfelelő kényszerrezgések amplitúdója nullává válik.

Ezt a jelenséget antirezonanciának nevezik.

A vizsgált esetben ez akkor fordul elő, ha

A hatáselmélet alapfogalmai és hipotézisei. A hatáselmélet alapegyenlete

Olyan jelenség, amelyben rövid időn belül, i.e. szinte azonnal az anyagi objektumok pontjainak sebessége véges értékekre, ún fúj .

Mivel az ütközés során a sebesség végső változása nagyon rövid idő alatt következik be, nagyon nagy gyorsulások és ennek következtében nagyon nagy erők keletkeznek. Ezek az erők nagyon rövid ideig hatnak, de impulzusaik ezen időtartam alatt véges mennyiségek.

Azokat az erőket, amelyek egy rövid időn belüli becsapódás során keletkeznek, de ugyanakkor nagy értéket érnek el, így impulzusaik ezen időtartam alatt véges értékek, ún. sokkoló erők .

Azt a rövid időtartamot, amely alatt az ütés tart, nevezzük hatásidő. Az ütközési erők impulzusait az ütközés során ún sokk impulzusok .

Legyen adott az m tömegű MT, amely közönséges (nem ütési) erő hatására mozog. Abban a pillanatban, amikor a vizsgált MT sebességgel rendelkezik - az ütközés előtti sebességgel, az ütközési erő elkezd hatni rá, amelynek hatása abban a pillanatban megszűnik. Határozzuk meg az MT mozgását erők hatására és becsapódási idő alatt.

A pont lendületének változására vonatkozó tételt alkalmazva kapjuk:

,

hol van a pont sebessége a becsapódás utáni pillanatban.

A határozott integrál középértékére vonatkozó tétel segítségével felírhatjuk:

,

hol és vannak az erők átlagos értékei és egy bizonyos időtartamban. Ráadásul ez egy véges mennyiség; Az ütközés során fellépő ütési erő nagyon nagy értéket ér el (nagyságrendileg). Ezért a termék elhanyagolható lesz a termékhez képest, ami véges mennyiség.

A két szabadságfokkal rendelkező rendszerek a több szabadságfokkal rendelkező rendszerek speciális esetei. De ezek a rendszerek a legegyszerűbbek, lehetővé téve, hogy végső formában számítási képleteket kapjunk a rezgési frekvenciák, amplitúdók és dinamikus elhajlások meghatározásához.

y A tehetetlenségi erők miatti sugáreltérítések:

P 2 =1 (1)

A (-) jelek az (1) kifejezésekben annak a ténynek köszönhető, hogy a tehetetlenségi erők és mértékegységek. a mozgások ellentétes irányúak.

Úgy gondoljuk, hogy a tömegrezgések a harmonikus törvény szerint jönnek létre:

(2)

Határozzuk meg a tömegmozgás gyorsulását:

(3)

A (2) és (3) kifejezést az (1) egyenletbe behelyettesítve kapjuk:

(5)

Ismeretlennek tekintjük az A 1 és A 2 rezgések amplitúdóját, és transzformáljuk az egyenleteket:

(6)

Az A 1 = A 2 =0 homogén egyenletrendszer megoldása nem felel meg nekünk, ahhoz, hogy nullától eltérő megoldást kapjunk, a (6) rendszer determinánsait nullával egyenlővé tesszük:

(7)

Alakítsuk át a (8) egyenletet, figyelembe véve a természetes rezgések  ismeretlen körfrekvenciáját:

A (9) egyenletet két szabadságfokú rendszerek szabad rezgésének biharmonikus egyenletének nevezzük.

A  2 =Z változót becserélve azt kapjuk

innen határozzuk meg Z 1-et és Z 2-t.

Ennek eredményeként a következő következtetések vonhatók le:

1. Két szabadságfokú rendszerek szabad rezgései két  1 és  2 frekvenciával lépnek fel. Az alacsonyabb frekvenciát 1 alap- vagy alaphangnak, a magasabb frekvenciát 2 második frekvenciának vagy felhangnak nevezzük.

Az n-es szabadságfokkal rendelkező rendszerek szabad rezgései n-tónusúak, n-mentes rezgésekből állnak.

2. Az m 1 és m 2 tömegek mozgását a következő képletekkel fejezzük ki:

azaz ha a rezgések  1 frekvenciával mennek végbe, akkor a tömegmozgások bármely időpontban azonos előjelűek.

Ha a rezgések csak  2 frekvenciával fordulnak elő, akkor a tömegmozgások bármikor ellentétes előjelűek.

Az  1 és  2 frekvenciájú tömegek egyidejű rezgése esetén a rendszer főként  1 frekvencián rezeg, és ezekbe az oszcillációkba illeszkedik egy  2 frekvenciájú felhang.

Ha egy két szabadságfokú rendszerre  frekvenciájú hajtóerő hat, akkor szükséges, hogy:

  0,7  1 .

9. előadás

Végtelen számú szabadságfokkal rendelkező rendszerek rezgései.

A mechanikai rezgések elméletének számos és nagyon változatos alkalmazása van a technológia szinte minden területén. A különféle mechanikai rendszerek céljától és tervezési megoldásától függetlenül rezgéseikre ugyanazok a fizikai törvények vonatkoznak, amelyek vizsgálata a rugalmas rendszerek rezgéselméletének tárgya. Az oszcilláció lineáris elmélete a legfejlettebb. A több szabadságfokú rendszerek oszcillációinak elméletét Lagrange a 18. században adta vissza klasszikus „Analytical Mechanics” című művében.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) - 19 éves korától matematikaprofesszor Torinóban. 1759 óta a Berlini Tudományos Akadémia tagja, 1766 óta elnöke; 1787-től Párizsban élt. 1776-ban a Szentpétervári Tudományos Akadémia tiszteletbeli külföldi tagjává választották.

A 19. század végén Rayleigh lefektette a végtelen szabadsági fokú (azaz a deformálható rendszer teljes térfogatában folyamatos tömegeloszlású) rendszerek oszcillációinak lineáris elméletének alapjait. A 20. században már befejezettnek mondható a lineáris elmélet (a Bubnov-Galerkin módszer, amely lehetővé teszi a magasabb rezgési frekvenciák meghatározását is egymást követő közelítésekkel).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842-1919) - angol fizikus, számos, az oszcilláció elméletével foglalkozó munka szerzője.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - a hajószerkezeti mechanika egyik alapítója. A Szentpétervári Politechnikai Intézet professzora, 1910-től - a Tengerészeti Akadémián.

Borisz Grigorjevics Galerkin (1871-1945) - a Leningrádi Politechnikai Intézet professzora.

A Rayleigh-képlet a rugalmas rendszerek rezgésének és stabilitásának elméletében a legnépszerűbb. A Rayleigh-képlet levezetésének alapjául szolgáló gondolat a következőkre vezethető vissza. Egy  frekvenciájú rugalmas rendszer monoharmonikus (egytónusú) szabad rezgéseivel pontjainak mozgása időben a harmonikus törvény szerint történik:

ahol  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) a pont térbeli koordinátáinak függvényei, amelyek meghatározzák a szóban forgó oszcillációs alakzatot (amplitúdót).

Ha ezek a függvények ismertek, akkor a szabad rezgések frekvenciája abból a feltételből adódik, hogy a test kinetikai és potenciális energiájának összege állandó. Ez a feltétel egy olyan egyenlethez vezet, amely csak egy ismeretlen mennyiséget tartalmaz.

Ezek a funkciók azonban nem ismertek előre. A Rayleigh-módszer vezérgondolata ezeknek a függvényeknek a meghatározása, választásukat a peremfeltételekhez és a rezgések várható alakjához igazítva.

Tekintsük részletesebben ennek az ötletnek a megvalósítását egy rúd síkhajlító rezgéseire, a rezgések alakját a =(x) függvény írja le. A szabad rezgéseket a függés írja le

hajlított rúd potenciális energiája

(2)

kinetikus energia

(3)

Ahol l- a rúd hossza, m=m(x) a rúd elosztott tömegének intenzitása;

A rúd ívelt tengelyének görbülete; - a keresztirányú rezgések sebessége.

Adott (1)

.

(4)

(5)

Idővel ezek a mennyiségek mindegyike folyamatosan változik, de az energiamegmaradás törvénye szerint összegük állandó marad, pl.

vagy a (4), (5) kifejezések behelyettesítésével itt

(7)

Ez a Rayleigh-képlethez vezet:

(8)

Ha az M i tömegű koncentrált terhelések egy m elosztott tömegű rúdhoz kapcsolódnak, akkor a Rayleigh-képlet a következőképpen alakul:

(9)

A levezetés teljes menete azt mutatja, hogy az elfogadott feltevések keretein belül (a rudak hajlításának műszaki elméletének érvényessége, a rugalmatlan ellenállás hiánya) ez a képlet akkor pontos, ha (x) a rezgések valódi formája. . A(x) függvény azonban előre ismeretlen. A Rayleigh-képlet gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy a rezgésalak (x) alapján a sajátfrekvencia meghatározására szolgál. Ugyanakkor a közelség többé-kevésbé komoly eleme bekerül a döntésbe. Emiatt a Rayleigh-képletet néha közelítő képletnek is nevezik.

m=cosnt Vegyük rezgésnek a:(x)=ax 2 függvényt, amely kielégíti a feladat kinematikai peremfeltételeit.

Meghatározzuk:

A (8) képlet szerint

Ez az eredmény jelentősen eltér a pontostól

Pontosabb a Grammel-képlet, amely még nem vált olyan népszerűvé, mint a Rayleigh-képlet (talán viszonylagos „fiatalsága” miatt - 1939-ben javasolták).

Hadd tartsuk újra ugyanazt a problémát, mint egy rúd szabad hajlítási rezgései.

Legyen (x) a rúd szabad rezgésének meghatározott formája. Ekkor a maximális tehetetlenségi erők intenzitását az m 2  kifejezés határozza meg, ahol az előzőhöz hasonlóan m=m(x) a rúd elosztott tömegének intenzitása,  2 a sajátfrekvencia négyzete. Ezek az erők abban a pillanatban érik el a megadott értéket, amikor az elhajlások maximálisak, pl. a(x) függvény határozza meg.

Írjuk fel a legnagyobb potenciális hajlítási energia kifejezését a maximális tehetetlenségi erők által okozott hajlítónyomatékok alapján:

. (10)

Itt - terhelés okozta hajlítónyomatékok m 2 . Jelöljük a feltételes m terhelés okozta hajlítónyomatékot, azaz.  2-szer kisebb, mint a tehetetlenségi erő.

, (11)

és a (10) kifejezés a következőképpen írható fel:

. (12)

A legmagasabb kinetikus energia, ugyanaz, mint fent

. (13)

A (12) és (13) kifejezések egyenlővé tételével a Grammel-képlethez jutunk:

(14)

A képlet segítségével történő kiszámításhoz először meg kell adni egy megfelelő (x) függvényt. Ezt követően meghatározzuk az m=m(x)(x) feltételes terhelést, és felírjuk az m feltételes terhelés okozta hajlítás kifejezéseit. A (14) képlet segítségével meghatározzuk a rendszer természetes rezgési frekvenciáját.

Példa: (vegyük az előzőt)

y

m(x)·(x)=max 2

Tekintsük egy két szabadságfokú rendszer kis rezgéseit, amelyek ki vannak téve egy potenciálmező erőinek és az időben periodikusan változó erőknek. A rendszer eredő mozgásait kényszerrezgéseknek nevezzük.

Hagyja, hogy a zavaró általánosított erők egy harmonikus törvény szerint változzanak az időben, egyenlő periódusokkal és kezdeti fázissal. Ekkor a vizsgált rendszer mozgásegyenletei a következő alakúak lesznek:

A mozgásegyenletek a vizsgált esetben lineáris másodrendű differenciálegyenletrendszer, állandó együtthatókkal és jobb oldallal.

Menjen a fő koordinátákhoz

A mozgásegyenletek tanulmányozásának kényelme érdekében térjünk át a rendszer fő koordinátáira A koordináták közötti kapcsolatot az űrlap előző bekezdésének képletei határozzák meg:

Jelöljük ennek megfelelően a normál koordinátáknak megfelelő általánosított erőket Mivel az általánosított erők együtthatókat jelentenek az általánosított koordináták megfelelő variációira a rendszerre ható erők elemi munkájának kifejezésében, akkor

Ennélfogva:

Így a főkoordinátákban szereplő mozgásegyenletek a következő alakot öltik:

A normál koordinátákban két szabadságfokú rendszer kényszerrezgéseinek egyenletei egymástól függetlenek, külön-külön is integrálhatók.

A zavaró erő kritikus frekvenciái

Az egyenlet a normál koordináták változásának oszcillációs jellegét vagy határozza meg, amelyet részletesen tanulmányozunk egy pont egyenes mentén történő kényszerrezgésének figyelembevételével, mivel a mozgási differenciálegyenletek mindkét esetben azonosak. Különösen, ha a zavaró erő frekvenciája megegyezik a rendszer egyik természetes rezgésének frekvenciájával, vagy akkor a megoldás a t időt veszi figyelembe tényezőként. Következésképpen egy kellően nagy t-hez az egyik normál általánosított koordináta tetszőlegesen nagy lesz, vagy a rezonancia jelensége áll fenn.

Tudniillik egy olyan testet, amelynek mozgása semmilyen módon nem korlátozódik, szabadnak nevezzük, mivel bármilyen irányba mozoghat. Ezért minden szabadon merev testnek hat mozgásszabadsági foka van. A következő mozgások létrehozására képes: három transzlációs mozgás, amely három fő koordináta-rendszernek felel meg, és három forgási mozgás e három koordinátatengely körül.

Az impozáns kapcsolatok (rögzítés) csökkentik a szabadsági fokok számát. Így, ha egy test egy pontban rögzül, nem tud mozogni a koordinátatengelyek mentén, mozgása csak e tengelyek körüli forgásra korlátozódik, azaz. a testnek három szabadságfoka van. Abban az esetben, ha két pont rögzítve van, a testnek csak egy szabadságfoka van, csak mindkét ponton átmenő egyenes (tengely) körül foroghat. És végül, három fix ponttal, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, a szabadságfokok száma nulla, és testmozgások nem fordulhatnak elő. Az emberekben a passzív mozgási apparátus testének részeiből, úgynevezett linkekből áll. Mindegyik össze van kötve egymással, így elveszítik a képességüket, hogy háromféle mozgást hajtsanak végre a koordinátatengelyek mentén. Csak e tengelyek körül foroghatnak. Így a maximális szabadságfok száma, amellyel egy testlink rendelkezhet a vele szomszédos másik láncszemhez képest, három.

Ez az emberi test legmozgékonyabb ízületeire vonatkozik, amelyek gömb alakúak.

A testrészek szekvenciális vagy elágazó kapcsolatai (linkek) kinematikai láncokat alkotnak.

Az emberekben vannak:

• - nyitott kinematikai láncok szabadon mozgatható véggel rendelkezik, amely csak az egyik végén van rögzítve (például egy kar a testhez képest);
• - zárt kinematikai láncok, mindkét végén rögzítve (például csigolya - borda - szegycsont - borda - csigolya).

Meg kell jegyezni, hogy ez az ízületek lehetséges mozgási tartományára vonatkozik. A valóságban élő embernél ezek a mutatók mindig alacsonyabbak, amit számos hazai kutató – P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin stb. – bizonyít. A csontízületek mozgékonyságáról élőben személyre, számos tényező befolyásolja az életkorral, a nemmel, az egyéni sajátosságokkal, az idegrendszer funkcionális állapotával, az izomfeszülés mértékével, a környezeti hőmérséklettel, a napszakkal és végül azzal, ami a sportolók számára fontos, képzettségi fok. Így minden csontkapcsolatban (szakadt és folyamatos) a mobilitás mértéke a fiataloknál nagyobb, mint az idősebbeknél; Átlagosan a nők több, mint a férfiak. A mozgékonyság mértékét a mozgással ellentétes oldalon lévő izmok nyújtásának mértéke, valamint az ezt a mozgást előidéző ​​izmok ereje befolyásolja. Minél rugalmasabb ezen izmok közül az első, és minél erősebb a második, annál nagyobb a mozgások tartománya egy adott csontkapcsolatban, és fordítva. Köztudott, hogy a hideg szobában a mozgások hatóköre kisebb, mint a melegben, reggel kisebb, mint este. A különböző gyakorlatok alkalmazása eltérő hatással van az ízületek mozgékonyságára. Így a szisztematikus edzés „rugalmassági” gyakorlatokkal növeli az ízületek mozgási tartományát, míg az „erő” gyakorlatok éppen ellenkezőleg csökkentik azt, ami az ízületek „merevítéséhez” vezet. Azonban az ízületi mozgástartomány csökkenése erősítő gyakorlatok során nem feltétlenül elkerülhetetlen. Megelőzhető az erősítő edzés és a nyújtó gyakorlatok megfelelő kombinációjával azonos izomcsoportokra.

Az emberi test nyitott kinematikai láncaiban a mobilitást több tíz szabadságfokban számolják. Például a csuklónak a lapocka és a tarsus mozgékonysága a medencéhez viszonyítva hét, a kéz ujjainak a mellkashoz képesti hegyei pedig 16 szabadsági fokozatúak. Ha összeadjuk a végtagok és a fej testhez viszonyított szabadsági fokát, akkor ezt a 105-ös számmal fejezzük ki, amely a következő pozíciókból áll:

• - fej - 3 szabadsági fok;
• - karok - 14 szabadsági fok;
• - lábak - 12 szabadsági fok;
• - kezek és lábak - 76 szabadsági fok.

Összehasonlításképpen kiemeljük, hogy a gépek túlnyomó többsége csak egy mozgásszabadsággal rendelkezik.

A gömbcsuklókban és a hüvelyes csuklókban három egymásra merőleges tengely körüli elforgatások lehetségesek. Azon tengelyek teljes száma, amelyek körül ezekben a kötésekben elfordulás lehetséges, végtelenül nagy. Következésképpen a gömbcsuklók tekintetében azt mondhatjuk, hogy a bennük tagolt láncszemek a lehetséges hat mozgásszabadságfok közül három szabadságfokú és három csatolási fokozatúak.

A két mozgásszabadsággal és négy kapcsolódási fokú csuklókkal kisebb a mobilitása. Ide tartoznak a tojásdad vagy ellipszis alakú ízületek és a nyereg, pl. biaxiális. Lehetővé teszik a mozgást e két tengely körül.

A test azokban az ízületekben kapcsolódik össze, amelyeknek egy forgástengelye van, azaz egy mozgásszabadságuk és egyben öt fokú összekapcsolódásuk van. két fix pontja van.

Az emberi test ízületeinek többsége két vagy három szabadságfokkal rendelkezik. Több (két vagy több) mozgási szabadságfokkal végtelen számú pálya lehetséges. A koponyacsontok kapcsolatai hatfokú kapcsolódási fokúak és mozdulatlanok. A csontok porcok és szalagok segítségével történő összekapcsolódása (synchondrosis és syndesmosis) bizonyos esetekben jelentős mobilitást mutathat, ami a rugalmasságtól és a csontok között elhelyezkedő porcos vagy kötőszöveti képződmények méretétől függ.

Egy több szabadságfokkal rendelkező rendszer rezgései, amelyeknek fontos gyakorlati alkalmazásaik vannak, számos jelentős tulajdonságban különböznek az egy szabadságfokú rendszer rezgéseitől. Ahhoz, hogy képet kapjunk ezekről a jellemzőkről, nézzük meg egy két szabadságfokú rendszer szabad rezgésének esetét.

Határozzuk meg a rendszer helyzetét általánosított koordinátákkal, és legyen a rendszer stabil egyensúlyban. Ekkor a rendszer kinetikai és potenciális energiái kis mennyiségek négyzetére pontosan ugyanúgy megkereshetők, mint a (132), (133) egyenlőségek, és a következő formában jeleníthetők meg:

ahol a tehetetlenségi együtthatók és a kvázi-rugalmas együtthatók állandó mennyiségek. Ha két (131) alakú Lagrange-egyenletet használunk, és ezekbe behelyettesítjük T és P értékeit, akkor a következő differenciálegyenleteket kapjuk egy két szabadságfokú rendszer kis oszcillációira

A (145) egyenletre a következő formában keresünk megoldást:

ahol A, B, k, a konstansok. Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (145) egyenletekbe, és ezzel redukáljuk, azt kapjuk

Ahhoz, hogy a (147) egyenletek A-ra és B-re júliustól eltérő megoldásokat adjanak, ennek a rendszernek a determinánsának nullának kell lennie, vagy ellenkező esetben az egyenletekben szereplő A és B együtthatóinak arányosnak kell lenniük, azaz.

Innen a definícióhoz a következő egyenletet kapjuk, amelyet frekvenciaegyenletnek nevezünk.

Ennek az egyenletnek a gyökere valós és pozitív; ez matematikailag bizonyított, de azzal is igazolható, hogy különben a (145) egyenletek nem lesznek valósak, és nem lesz (146) alakú megoldásuk, ami nem lehet stabil egyensúlyi rendszer esetén (a zavarok után közel kell mozognia a pozícióhoz

A (149) definíció után a (146) alakú részmegoldások két halmazát találjuk. Tekintettel arra, hogy e döntések értelmében a következők lesznek:

ahol és azok az értékek, amelyeket a (148)-ból kapok, ill.

A (150) és (151) egyenlettel definiált rezgéseket főrezgéseknek nevezzük, ezek frekvenciái és kg a rendszer sajátfrekvenciái. Ebben az esetben a frekvenciájú (mindig kisebb) rezgést az első fő oszcillációnak, a frekvenciával pedig a második fő rezgésnek nevezik. Az egyes ingadozásokban az amplitúdók (vagy maguk a koordináták) arányait meghatározó számokat alakegyütthatónak nevezzük.

Mivel a (145) egyenletek lineárisak, a (150) és (151) részmegoldások összegei ezeknek az egyenleteknek is megoldásai lesznek:

A (152) egyenletek, amelyek négy tetszőleges, a kezdeti feltételek által meghatározott állandót tartalmaznak, általános megoldást adnak a (145) egyenletekre, és meghatározzák a rendszer kis rezgésének törvényét. Az oszcillációk két fő rezgésből állnak, amelyek frekvenciája van, és nem harmonikusak. Egyes esetekben, megfelelő kezdeti feltételek mellett, a rendszer végre tudja hajtani az egyik fő rezgést (például az elsőt, ha) és az oszcilláció harmonikus lesz.

A természetes frekvenciák és alaktényezők nem függenek a kezdeti feltételektől, és a rendszer kis rezgésének fő jellemzői; konkrét problémák megoldása általában e jellemzők meghatározásán múlik.

Ennek és az előző bekezdések eredményeinek összehasonlításával képet kaphatunk arról, hogy egy két szabadságfokkal rendelkező rendszer csillapított és kényszerített rezgéseinek tanulmányozása mire vezethető vissza. Ezt nem vesszük figyelembe, csak azt jegyezzük meg, hogy a kényszerrezgések során egy ilyen rendszerben kétszer fordulhat elő rezonancia: at és at ( a zavaró erő frekvenciája). Végül megjegyezzük, hogy egy s szabadságfokú rendszer rezgései s frekvenciájú rezgésekből állnak össze, amelyeket az ehhez viszonyított s fokú egyenletből kell meghatározni, ami jelentős matematikai nehézségekkel jár, amelyek leküzdhetők elektronikus számítógépek (vagy analóg) gépek segítségével.

185. feladat Határozza meg egy kettős fizikai inga kis rezgésének sajátfrekvenciáit és alakegyütthatóit, amelyek rudakkal és 2 azonos tömegű és hosszúságú l-vel alkotnak (374. ábra, a).

Megoldás. Válasszunk kis szögeket általánosított koordinátáknak. Ezután , ahol és a szükséges számítási pontossággal, . Végül is

Hasonló cikkek