Zhidkevich V.I. Egy sík elektromos mezője // Fizika: számítási problémák. - 2009. - 6. szám - P. 19-23.
Az elektrosztatika problémái két csoportra oszthatók: a ponttöltésekkel kapcsolatos problémákra és a töltött testekkel kapcsolatos problémákra, amelyek méreteit nem lehet figyelmen kívül hagyni.
Az elektromos mezők és a ponttöltések kölcsönhatásának számítási feladatainak megoldása a Coulomb-törvény alkalmazásán alapul, és nem okoz különösebb nehézséget. Nehezebb meghatározni a véges méretű töltött testek térerősségét és kölcsönhatását: gömb, henger, sík. A különféle konfigurációjú elektrosztatikus terek erősségének számításakor hangsúlyozni kell a szuperpozíció elvének fontosságát, és nem csak a ponttöltések, hanem a felületen és térfogaton eloszló töltések által létrehozott mezőket is figyelembe kell venni. Ha egy mező töltésre gyakorolt hatását vizsgáljuk, a képlet F=qE V általános eset ponttöltésű testekre érvényes, és csak egységes mezőben, amely bármilyen méretű és alakú, töltést hordozó testre vonatkozik q.
A kondenzátor elektromos tere az egyes lemezek által létrehozott két mező szuperpozíciójából adódik.
Lapos kondenzátorban egy lemez töltéssel rendelkező testnek tekinthetőq 1intenzitású elektromos mezőbe helyezve E 2, egy másik lemez hozta létre.
Nézzünk meg több problémát.
1. Egy végtelen sík töltődik felületi sűrűséggel σ >0. Keresse meg a térerőt Eés potenciális ϕ a sík két oldalán, figyelembe véve a sík potenciálját egyenlő nullával. Hozzon létre függőségi grafikonokat Volt), ϕ (X). x tengely a síkra merőlegesen az x=0 pont a síkon fekszik.
Megoldás. Egy végtelen sík elektromos tere egyenletes és szimmetrikus a síkhoz képest. Övé közötti feszültség az egyenletes elektrosztatikus tér két pontja közötti intenzitást és potenciálkülönbséget a képlet fejezi ki ahol x - a pontok közötti távolság a mezővonal mentén mérve. Akkor ϕ 2 = ϕ 1 -Volt. x-nél<0 при х>0 Függőségek E(x) és ϕ (x) az 1. ábrán láthatók.
2. Két síkkal párhuzamos vékony lemez, amelyek kis távolságra vannak elhelyezve d egymástól egyenletesen feltöltött felületi sűrűségű töltésselσ 1 és σ 2. Határozza meg a térerősségeket a lemezek között és a külső oldalon lévő pontokon. Ábrázolja a feszültségfüggést! E(x) és potenciál ϕ (x), számolás ϕ (0)=0. Vegye figyelembe azokat az eseteket, amikor: a)σ 1 = -σ 2; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 -
Megoldás. Mivel a lemezek közötti távolság kicsi, végtelen síknak tekinthetők.
Egy pozitív töltésű sík térereje egyenlőés irányította tőle; a negatív töltésű sík térereje felé irányul.
A szuperpozíció elve szerint a vizsgált ponton a mezőt mindegyik töltés külön-külön hozza létre.
a) Két egyenlő és ellentétes előjelű töltésekkel (lapos kondenzátor) töltött sík mezei a síkok közötti tartományban összeadódnak, a külső tartományokban pedig kioltják egymást (2. A).
Nál nél x<0
E=
0,
ϕ
=0; 0-nál
Ha a síkok véges méretűek, akkor a síkok közötti mező nem lesz szigorúan egyenletes, és a síkon kívüli mező sem lesz pontosan nulla.
b) Egyenlő nagyságú és előjelű töltésekkel töltött síkok mezői (σ 1 = σ 2 ), kompenzálják egymást a síkok közötti térben, és összeadják a külső tartományokban (3. ábra, A). x-nél<0
при 0
A grafikon használata Volt) (3. ábra, b), készítsük el a függőség kvalitatív gráfját ϕ (x) (3. ábra, c).
c) Ha σ 1 = σ 2, akkor a mezők irányait figyelembe véve és a jobb oldali irányt pozitívnak választva azt kapjuk, hogy:
Az E feszültség függését a távolságtól a 4. ábra mutatja.
3. kapacitású lapos kondenzátor egyik lapján VAL VEL díj vanq 1=+3q, és a másikon q 2 =+ q. Határozza meg a kondenzátorlemezek közötti potenciálkülönbséget!
Megoldás. 1. módszer. Hagyja a kondenzátorlemez területét S, és a köztük lévő távolságot d. A kondenzátoron belüli mező egyenletes, így a kondenzátoron átívelő potenciálkülönbség (feszültség) a képlettel határozható meg U=E*d, ahol E - térerősség a kondenzátoron belül.
ahol E 1, E 2 - a kondenzátorlemezek által létrehozott térerősség.
Akkor 
2. módszer. Adjon hozzá egy töltést minden lemezhez Ezután a lemezeket sűrítjük satorának lesznek díjai + qés -q. A kondenzátor belsejében lévő lemezek azonos töltési mezői kioltják egymást. A hozzáadott töltések nem változtatták meg a lemezek közötti mezőt, így a potenciálkülönbséget sem kondenzátor. U= q/C .
4.
Egy töltetlen lapos kondenzátor lemezei közötti térbe egy + töltésű vékony fémlemezt helyezünk. q. Határozza meg a kondenzátorlemezek közötti potenciálkülönbséget!
Megoldás. Mivel a kondenzátor nincs feltöltve, az elektromos mezőt csak a töltéssel rendelkező lemez hozza létre q (5. ábra). Ez a mező egyenletes, szimmetrikus a lemezhez és annak intenzitásához képestLegyen a fémlemez potenciálja ϕ
. Ezután a lemezek potenciáljai AÉs BAN BEN A kondenzátorok egyenlőek lesznek ϕ-
ϕ A
=
ϕ
El 1; ϕ A
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ B
=
ϕ-El 2
;
ϕ B
=
ϕ-El 2
.
Potenciálkülönbség a kondenzátorlemezek között
Ha a lemez azonos távolságra van a kondenzátor lemezeitől, akkor a lemezek közötti potenciálkülönbség nulla.
5. Egyenletes intenzitású elektromos térben E 0 egy töltött fémlemezt helyezünk az erővonalakra merőlegesen töltéssűrűséggel a lemez mindkét oldalán σ (6. ábra). Határozza meg a térerőt E" a lemezen belül és kívül, valamint a felületi töltéssűrűségσ 1 és σ 2 , amely a lemez bal és jobb oldalán fog megjelenni.
Megoldás. A lemezen belüli mező nulla, és három mező szuperpozíciója: a külső mező E 0, a töltések által létrehozott mező a lemez bal oldalán, és a töltések által létrehozott mező a lemez jobb oldalán. Ennélfogva,
ahol σ 1 és σ 2 - felületi töltéssűrűség a lemez bal és jobb oldalán, amely a lemez mezőbe kerülése után jelenik meg E 0. A tányér teljes töltése nem változik, ígyσ 1 + σ 2 =2 σ, ahonnan σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ 2 = σ + ε 0 E 0
. A lemezen kívüli mező a mező szuperpozíciója E 0 és feltöltött lemezmezők E. A bal oldalon tányérok A tányértól jobbra
6. Lapos levegő kondenzátorban a térerősség E = 10 4 V/m. A lemezek közötti távolság d= 2 cm mekkora lesz a potenciálkülönbség, ha egy vastagságú fémlapot helyezünk a lemezek közé velük párhuzamosan?d 0=0,5 cm (7. ábra)?
Megoldás. Mivel a lemezek közötti elektromos tér egyenletes, akkor U=Ed, U=200 V.
Ha megjelöl egy fémlapot a lemezek között, akkor két sorba kapcsolt kondenzátor rendszert kap, amelyek távolsága a lemezek között van.d 1és d2. Ezen kondenzátorok kapacitásaTeljes kapacitásuk
Mivel a kondenzátor le van választva az áramforrásról, a kondenzátor töltése nem változik fémlemez hozzáadásakor: q"=CU=С"U1; hol van a kondenzátor kapacitása sator, mielőtt fémlapot adna bele. Kapunk:
U 1= 150 V.
7. Tányérokon A és C, amelyek egymástól távol helyezkednek el d= 8 cm-re egymástól, a potenciálok megmaradtak ϕ 1= 60 V és ϕ 2 =- 60 V ennek megfelelően. Egy földelt lemezt helyeztek közéjük D az A lemeztől d 1 = 2 cm távolságra. Mennyit változott a térerősség az AD és szakaszokon CD? Hozzon létre függőségi grafikonokat ϕ (x) és E(x).
A gömb-, hengeres vagy sík felületeken egyenletesen eloszló töltések által létrehozott mezők kiszámításához az Ostrogradsky–Gauss-tételt használjuk (2.2. szakasz).
Mezőszámítási módszer a tétel segítségével
Osztrogradszkij – Gauss.
1) Válasszon egy tetszőleges zárt felületet, amely egy töltött testet körülölel.
2) Kiszámoljuk a feszültségvektor áramlását ezen a felületen.
3) Kiszámoljuk a felület által lefedett teljes töltést.
4) A számított értékeket behelyettesítjük Gauss tételébe, és kifejezzük az elektrosztatikus tér erősségét.
Példák egyes mezők kiszámítására
Egy egyenletes töltésű végtelen henger mezője (menet).
Legyen egy végtelen sugarú henger R egyenletesen töltött lineáris töltéssűrűséggel + τ (16. ábra).
A szimmetria megfontolások alapján az következik, hogy a térerősség vonalak bármely pontban a henger tengelyére merőleges sugárirányú egyenesek mentén lesznek irányítva.
Zárt felületként egy adott (közös szimmetriatengelyű) sugarú koaxiális hengert választunk. r és magasság ℓ .
Számítsuk ki a vektorfluxust
ezen a felületen keresztül:
,
Ahol S alapvető , S oldal– az alap és az oldalfelület területe.
A feszültségvektor fluxusa az alapok területein tehát nulla
A kiválasztott felület által lefedett teljes díj:
.
Mindent behelyettesítve a Gauss-tételbe, figyelembe véve azt a tényt, hogy ε = 1, kapjuk:
.
Egy végtelenül hosszú egyenletes töltésű henger vagy egy végtelen hosszú, egyenletes töltésű menet által a rajta kívül lévő pontokon létrejövő elektrosztatikus mező intenzitása:
, (2.5)
Ahol r - távolság a tengelytől hengert egy adott pontig ( r ≥ R );
τ - lineáris töltéssűrűség .
Ha r < R , akkor a vizsgált zárt felület nem tartalmaz belül töltéseket, ezért ebben a tartományban E = 0, azaz a hengeren belül, nincs mező .
Egy egyenletes töltésű végtelen sík tere
P 
Legyen egy végtelen sík állandó felületi sűrűségű töltve +
σ
.
Zárt felületként olyan hengert választunk, amelynek alapjai párhuzamosak a töltött síkkal, a tengelye pedig merőleges rá (17. ábra). Mivel a henger oldalfelületét képező vonalak párhuzamosak a feszítővonalakkal, az oldalfelületen áthaladó feszültségvektor fluxusa nulla. A feszültségvektor áramlása két alapterületen keresztül
.
A kiválasztott felület által lefedett teljes díj:
.
Ha mindent behelyettesítünk Gauss tételébe, a következőt kapjuk:
Egy végtelen, egyenletes töltésű sík elektrosztatikus térereje
. (2.6)
Ebből a képletből az következik E nem függ a henger hosszától, vagyis a térerősség minden ponton azonos. Más szóval, egy egyenletes töltésű sík tere homogén.
Két végtelen párhuzamos mező
ellentétes töltésű síkok
P 
a síkok egyenletesen töltődnek egyenlő nagyságú + felületi sűrűséggel σ
És - σ
(18. ábra).
A szuperpozíció elve szerint
.
Az ábrán látható, hogy a síkok közötti területen az erővonalak együtt irányulnak, ezért a keletkező feszültség
. (2.7)
A síkok által korlátozott térfogaton kívül a hozzáadott mezők ellentétes irányúak, így a kapott intenzitás nulla.
Így a mezőről kiderül, hogy a síkok között koncentrálódik. A kapott eredmény megközelítőleg véges méretű síkra érvényes, ha a síkok közötti távolság sokkal kisebb, mint a területük (lapos kondenzátor).
Ha azonos előjelű, azonos felületi sűrűségű töltések oszlanak el a síkon, akkor a lemezek között a mező hiányzik, a lemezeken kívül pedig a (2.7) képlettel számítjuk ki.
Térerősség
egyenletesen töltött gömb
Egy sugarú gömbfelület által létrehozott mező R , felületi töltéssűrűséggel töltve σ , központilag szimmetrikus lesz, ezért a feszültségvonalak a gömb sugarai mentén irányulnak (19. ábra, a).
Zárt felületként egy sugarú gömböt választunk r , amelynek közös központja van egy töltött gömbbel.
Ha r > R , akkor az összes töltés a felület belsejébe kerül K .
A feszültségvektor áramlása a gömb felületén
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük Gauss tételébe, a következőt kapjuk:
.
Elektrosztatikus térerősség egyenletesen töltött gömbön kívül:
, (2.8)
Ahol r - távolság a központból gömbök.
Ebből világosan látszik, hogy a mező azonos a gömb középpontjában elhelyezett azonos nagyságú ponttöltés mezőjével.
Ha r < R , akkor a zárt felületen belül nincsenek töltések, ezért A töltött gömbön belül nincs mező (19. ábra, b).
Hangerősség térerő
feltöltött labda
P 
egy sugarú golyó R
állandó térfogati töltéssűrűséggel töltve ρ
.
A mezőnek ebben az esetben központi szimmetriája van. A labdán kívüli térerősségre ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a felületi töltésű gömb esetében (2.8).
A labdán belüli pontoknál a feszültség eltérő lesz (20. ábra). Gömb alakú felület fedi a töltést
Ezért Gauss tétele szerint
Tekintve, hogy 
, kapunk:
Elektrosztatikus térerősség térfogatilag feltöltött labdában
(r
≤
R
). (2.9)
.
Probléma 2.3 . Egy végtelen hosszúságú, felületi töltéssűrűségű sík terén σ egy kis tömeggolyót egy cérnára függesztünk m , amelynek töltése a repülőgépével azonos előjelű. Határozza meg a labda töltését, ha a fonal szöget zár be a függőlegessel α
Megoldás.
Térjünk vissza az 1.4. feladat megoldásának elemzéséhez. A különbség az, hogy az 1.4 feladatban az erő 
a Coulomb-törvény (1.2), a 2.3 feladatban pedig az elektrosztatikus térerősség (2.1) definíciójából számoljuk ki. 
. Egy végtelen, egyenletes töltésű sík elektrosztatikus térerősségét az Ostrogradsky-Gauss tétel (2.4) segítségével határozzuk meg.
P 
A sík tere egyenletes és nem függ a sík távolságától. ábrából 21:
.
jegyzet hogy az elosztott töltés mezejébe helyezett töltésre ható erő meghatározásához a képletet kell használni
,
és a több elosztott töltés által létrehozott térerősség a szuperpozíció elvét alkalmazva megkereshető. Ezért a későbbi problémák az elosztott töltések elektrosztatikus mezőjének erősségének megállapítására irányulnak az Ostrogradsky-Gauss-tétel segítségével.
Probléma 2.4. Számítsa ki a térerősséget egy egyenletesen töltött vastagságú lemezen belül és kívül d , térfogati töltéssűrűség a lemezen belül ρ . Készítsen függőségi gráfot E (x ).
Megoldás. A koordináták origóját a lemez középsíkjába helyezzük, és a tengelyt Ó Irányítsuk rá merőlegesen (22. ábra, a). Alkalmazzuk az Ostrogradsky-Gauss-tételt egy töltött végtelen sík elektrosztatikus térerősségének kiszámítására, majd
.
A térfogati töltéssűrűség definíciójából
,
akkor a feszültségért, amit kapunk
.
Ez azt mutatja, hogy a lemezen belüli mező attól függ x . A lemezen kívüli mezőt hasonló módon számítjuk ki:
Ez azt mutatja, hogy a lemezen kívüli mező egyenletes. Feszültség grafikon E tól től x ábrán. 22, b.
Probléma 2.5. A mezőt két végtelenül hosszú, lineáris töltéssűrűséggel töltött filament hozza létre – τ 1 és + τ 2 . A menetek egymásra merőlegesen helyezkednek el (23. ábra). Keresse meg a térerőt egy távoli pontban r 1 És r 2 szálakból.
R 
döntés.
Mutassuk meg az ábrán az egyes szálak által létrehozott térerősséget külön-külön. Vektor 
irányította Nak nek
az első szál, mivel negatív töltésű. Vektor 
irányította tól től
a második szál, mivel pozitív töltésű. Vektorok 
És 
egymásra merőleges, tehát a kapott vektor 
derékszögű háromszög befogója lesz. Vektor modulok 
És 
a (2.5) képlet határozza meg.
A szuperpozíció elve alapján
.
A Pitagorasz-tétel szerint
Probléma 2.6 . A mezőt két töltött, végtelenül hosszú sugarú üreges koaxiális henger hozza létre R 1 És R 2 > R 1 . A felületi töltéssűrűség egyenlő – σ 1 És + σ 2 . Keresse meg az elektrosztatikus térerősséget a következő pontokban:
egy pont A távolságban található d 1 < R 1 ;
b) pont BAN BEN távolságban található R 1 < d 2 < R 2 ;
c) pont VAL VEL távolságban található d 3 > R 1 > R 2 .
A távolságokat a henger tengelyétől mérjük.
Megoldás. A koaxiális hengerek olyan hengerek, amelyeknek közös szimmetriatengelye van. Készítsünk rajzot, és mutassuk meg rajta a pontokat (24. ábra).
E A = 0.
pont BAN BEN a nagyobb henger belsejében található, így ezen a ponton csak a kisebb henger hozza létre a mezőt:
.
Fejezzük ki a lineáris töltéssűrűséget a felületi töltéssűrűséggel. Ehhez az (1.4) és (1.5) képleteket használjuk, amelyekből kifejezzük a töltést:
Tegyük egyenlővé a jobb oldalakat, és kapjuk:
,
Ahol S 1 – az első henger felülete.
Figyelembe véve azt a tényt, hogy 
, végre megkapjuk:
pont VAL VEL mindkét hengeren kívül található, így a mezőt mindkét henger hozza létre. A szuperpozíció elve szerint:
.
A fent kapott utasításokat és számításokat figyelembe véve a következőket kapjuk:
.
Probléma 2.7 . A mezőt két töltött, végtelenül hosszú párhuzamos sík hozza létre. A felületi töltéssűrűség egyenlő σ 1 És σ 2 > σ 1 . Határozza meg az elektrosztatikus térerősséget a lemezek között és a lemezeken kívül található pontokon. Oldja meg a problémát két esetben:
a) a lemezeket ugyanúgy töltik fel;
b) a lemezek ellentétes töltésűek.
Megoldás. Vektoros formában a kapott térerősséget minden esetben ugyanúgy írjuk. A szuperpozíció elve szerint:
.
Vektor modulok 
És 
a (2.6) képlet alapján számítják ki.
a) Ha a síkokat azonos névvel töltjük, akkor a feszültségsíkok között különböző irányok vannak (26. ábra, a). A keletkező feszültség modulusa
A feszültség síkjain túl 
És 
egy irányba irányítják. Mivel a végtelen töltött síkok mezeje egyenletes, vagyis nem függ a síkok távolságától, akkor a síkoktól balra és jobbra bármelyik pontban azonos lesz a mező:
.
b) Ha a síkok ellentétes töltésűek, akkor éppen ellenkezőleg, a feszültségsíkok között egy irányba (26. ábra, b), a síkon kívül pedig különböző irányokba irányulnak.
1. példa Egy vékony, végtelenül hosszú menet egyenletesen töltődik lineáris töltéssűrűséggel λ . Keresse meg az elektrosztatikus térerősséget E(r) tetszőleges távolságra r a cérnából.
Készítsünk rajzot:
Elemzés:
Mert A szál nem tartalmaz ponttöltést, a DI módszer alkalmazható. Válasszunk ki egy végtelenül kicsi elemet a vezető hosszából dl, amely tartalmazza a díjat dq=dlλ. Számítsuk ki a vezető egyes elemei által létrehozott térerősséget a menettől távol eső tetszőleges A pontban A. A vektor a ponttöltést a megfigyelési ponttal összekötő egyenes mentén lesz irányítva. Az eredményül kapott mezőt a menet normálja mentén kapjuk meg az x tengely mentén. Meg kell találni a mennyiséget dE x:
dE x =dE cosα. 
.
A-prioritás:
.
Nagyságrend dl, r, következetesen változnak, ha az elem helyzete megváltozik dl. Fejezzük ki őket az α mennyiséggel:
Ahol dα– az α szög végtelen kicsiny növekedése a sugárvektor A ponthoz viszonyított elforgatásának eredményeként, amikor a menet mentén halad dl. Akkor dl=r 2 dα/ a. Mozgáskor dl tól O pontig a szög 0 0-ról π/2-re változik.
Ennélfogva 
.
Méretellenőrzés: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;
Válasz:.
2. módszer.
A töltéseloszlás tengelyirányú szimmetriájából adódóan a menettől egyenlő távolságra lévő összes pont ekvivalens és a térerősség bennük azonos, pl. E(r)=const, hol r- távolság a megfigyelési ponttól a menetig. Irány E ezeken a pontokon mindig egybeesik a menet normális irányával. Gauss tétele szerint; Ahol K-felület által lefedett töltés – S’, amelyen keresztül a fluxus számít, a sugarú henger és menetes generatrix formáját választjuk. Figyelembe véve, hogy merőleges a henger oldalfelületére, az áramlásra a következőt kapjuk:
Mert E=konst.
S oldal = Tovább 2π .
A másik oldalon E 2πаН=Q/ε 0 ,
Ahol λН=q.
Válasz:E=λ /4πε 0 A.
2. példa. Számítsa ki egy egyenletes töltésű, felületi töltéssűrűségű végtelen sík feszültségét! σ .
A feszítővonalak merőlegesek és a síktól mindkét irányban irányulnak. Zárt felületnek egy olyan henger felületét választjuk, amelynek alapjai párhuzamosak a síkkal, a henger tengelye pedig merőleges a síkra. Mert a henger generatricai párhuzamosak a feszültségvonalakkal (α=0, cos α=1 ), akkor a feszültségvektor oldalfelületén áthaladó fluxusa nulla, és a zárt hengeres felületen áthaladó teljes fluxus egyenlő az alapján áthaladó fluxusok összegével. A zárt felületen belüli töltés egyenlő σ-vel S alapvető , Akkor:
F E =2 ES fő vagy Ф E = =, akkor E = =
Válasz: E =, nem függ a henger hosszától, és abszolút értékben megegyezik a síktól bármely távolságban. Egy egyenletes töltésű sík tere egyenletes.
3. példa. Számítsd ki két végtelenül töltött sík mezőjét, amelyek felületi sűrűsége +σ, illetve –σ!
E = E = 0; E = E + + E - = .
Válasz: A kapott térerősség a síkok közötti területen egyenlő E =, a síkok által korlátozott térfogaton kívül pedig nullával egyenlő.
4. példa. Számítsa ki a +σ felületi töltéssűrűségű, egyenletes töltésű gömbfelület térerősségét R.
Az, és
ha r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).
Válasz:.
5. példa. Számítsa ki a térfogati töltés intenzitását a térfogatsűrűséggel ρ , golyó sugarai R.
Vegyünk egy gömböt zárt felületnek.
Ha r ≥R, akkor = 4πr 2 E; E=
ha r< R , то сфера радиусом r, q"= q"= töltést takar (mivel a töltések térfogatokként, a térfogatok pedig sugarak kockáiként vannak összefüggésben)
Akkor Gauss álláspontja szerint
Válasz:; egy egyenletesen töltött golyó belsejében a feszültség lineárisan nő a távolsággal r középpontjából, és kívülről - fordított arányban csökken r 2 .
6. számú példa. Számítsa ki egy végtelen, kör alakú, lineáris töltéssűrűséggel töltött henger térerősségét! λ , sugár R.
A feszültségvektor fluxusa a henger végein 0, az oldalfelületen pedig:
Mert , vagy ,
Akkor 
(ha r > R)
ha λ > 0, E > 0, az Ē vektor a hengertől elfelé irányul,
ha λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.
Ha r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0
Válasz:(r > R); E = 0 (R>r). A felületen egyenletesen feltöltött végtelen, kerek hengerben nincs mező.
7. példa. Az elektromos teret két végtelenül hosszú párhuzamos sík hozza létre, amelyek felületi töltési síkjai 2 nC/m 2 és 4 nC/m 2 . Határozza meg a térerősséget az I., II., III. Készítsen függőségi gráfot Ē (r) .
A síkok 3 területre osztják a teret
A kapott mező Ē iránya egy nagyobb mező felé mutat.
Kivetítésben rá r:
; «–»; 
;
; «–»; 
;
; «+»; 
.
Menetrend Ē (r)
Skála kiválasztása: E 2 =2 E 1
E1=1; E 2 =2
Válasz:E I = –345 V/m; EІ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.
8. számú példa. Ébenfa tömör gömb sugarú R= 5 cm térfogatsűrűséggel egyenletesen eloszló töltést hordoz ρ =10 nC/m3. Határozzuk meg az elektromos térerősséget a következő pontokban: 1) távolról r 1 = 3 cm-re a gömb közepétől; 2) a gömb felületén; 3) távolról r 2 = 10 cm-re a gömb középpontjától.
Egyenletes elektromos térben a töltött részecskére ható erő nagysága és iránya egyaránt állandó. Ezért egy ilyen részecske mozgása teljesen hasonló egy test mozgásához a föld gravitációs mezőjében, anélkül, hogy figyelembe vennénk a légellenállást. A részecske pályája ebben az esetben lapos, és a részecske kezdősebességének és elektromos térerősségének vektorait tartalmazó síkban fekszik.
Elektrosztatikus tér potenciál. A feszültség potenciáljára vonatkozó általános kifejezés.
A φ potenciál az elektrosztatikus tér bármely pontján egy fizikai mennyiség, amelyet az erre a pontra helyezett egységnyi pozitív töltés potenciális energiája határoz meg. A Q ponttöltés által létrehozott térpotenciál egyenlő
A potenciál egy fizikai mennyiség, amelyet az egységnyi pozitív elektromos töltés elmozdítása érdekében végzett munka határoz meg, amikor azt a mező adott pontjáról a végtelenbe eltávolítják. Ez a munka numerikusan megegyezik azzal a munkával, amelyet külső erők végeznek (az elektrosztatikus tér erőivel szemben), hogy egy egységnyi pozitív töltést a végtelenből a mező adott pontjába mozdítsanak el.
A potenciál mértékegysége a volt (V): 1 V egyenlő a mező azon pontjának potenciáljával, ahol egy 1 C töltés potenciális energiája 1 J (1 V = 1 J/C). A volt méretét figyelembe véve kimutatható, hogy az elektrosztatikus térerő korábban bevezetett mértékegysége valóban 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.
A (3) és (4) képletből az következik, hogy ha egy mezőt több töltés hoz létre, akkor egy töltésrendszer adott mezőjének potenciálja egyenlő ezen töltések mezői potenciáljának algebrai összegével:
Az intenzitás az elektromos tér bármely pontjában megegyezik az ezen a ponton lévő potenciálgradienssel, ellenkező előjellel. A mínusz jel azt jelzi, hogy az E feszültség a csökkenő potenciál irányába van irányítva.
E = - grad phi = - N phi.
Az elektromos tér erőjellemzője - intenzitása és energiajellemzője - potenciálja közötti kapcsolat megállapításához tekintsük az elektromos térerők elemi munkáját egy q ponttöltés végtelen kicsi elmozdulásán: dA = q E dl, ugyanez a munka egyenlő a q töltés potenciális energiájának csökkenésével: dA = - dWп = - q dphi, ahol dphi az elektromos térpotenciál változása a dl elmozdulási hosszon. A kifejezések jobb oldalát egyenlővé téve a következőt kapjuk: E dl = -d phi vagy a derékszögű koordinátarendszerben
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
ahol Ex, Ey, Ez a feszültségvektor vetületei a koordináta-rendszer tengelyeire. Mivel a kifejezés egy totális differenciál, ezért az intenzitásvektor vetületeihez rendelkezünk
A zárójelben lévő kifejezés a potenciális phi gradiense.
A szuperpozíció elve, mint a mezők alapvető tulajdonsága. A koordinátákkal rendelkező pontokban elhelyezkedő ponttöltések rendszerével egy sugárvektorral rendelkező pontban létrehozott tér erősségének és potenciáljának általános kifejezései (lásd 4. bekezdés)
Ha figyelembe vesszük a szuperpozíció elvét a legáltalánosabb értelemben, akkor eszerint a részecskékre ható külső erők hatásának összege mindegyikük egyedi értékének összege lesz. Ez az elv a különféle lineáris rendszerekre vonatkozik, pl. rendszerek, amelyek viselkedése lineáris összefüggésekkel írható le. Példa erre egy egyszerű helyzet, amikor egy lineáris hullám egy meghatározott közegben terjed, és ebben az esetben tulajdonságai megmaradnak még magából a hullámból származó zavarok hatására is. Ezeket a tulajdonságokat az egyes harmonikus komponensek hatásainak meghatározott összegeként határozzuk meg.
A szuperpozíció elve más megfogalmazásokat is igénybe vehet, amelyek teljesen egyenértékűek a fentiekkel:
· Két részecske közötti kölcsönhatás nem változik, ha egy harmadik részecske kerül be, amely szintén kölcsönhatásba lép az első kettővel.
· Egy sokrészecskés rendszerben az összes részecske kölcsönhatási energiája egyszerűen az összes lehetséges részecskepár közötti párkölcsönhatás energiáinak összege. A rendszerben nincs sok részecske kölcsönhatás.
· A sokszemcsés rendszer viselkedését leíró egyenletek a részecskék számában lineárisak.
6 A feszültségvektor cirkulációja az elektromos erők által végzett munka, amikor egyetlen pozitív töltést egy zárt L úton mozgatnak.
Mivel az elektrosztatikus térerők munkája zárt hurok mentén nulla (a potenciális térerők munkája), ezért zárt hurok mentén az elektrosztatikus térerő cirkulációja nulla.
Mezőpotenciál. Bármely elektrosztatikus tér munkája, amikor egy töltött testet mozgat egyik pontból a másikba, szintén nem függ a pálya alakjától, csakúgy, mint egy egységes tér munkája. Zárt pályán az elektrosztatikus tér munkája mindig nulla. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező mezőket potenciálnak nevezzük. Különösen a ponttöltés elektrosztatikus mezeje van potenciáljellegű.
A potenciálmező munkája a potenciális energia változásával fejezhető ki. A képlet bármely elektrosztatikus mezőre érvényes.
7-11Ha egy egyenletes intenzitású elektromos tér erővonalai áthatolnak egy bizonyos S területet, akkor az intenzitásvektor fluxusát (korábban a területen átmenő erővonalak számának neveztük) a következő képlet határozza meg:
ahol En a vektor és egy adott terület normálisának szorzata (2.5. ábra).
Rizs. 2.5
Az S felületen áthaladó erővonalak teljes számát az FE intenzitásvektor ezen a felületen áthaladó fluxusának nevezzük.
Vektor alakban felírhatjuk két vektor skaláris szorzatát, ahol vektor .
Így a vektorfluxus egy skalár, amely az α szög értékétől függően lehet pozitív vagy negatív.
Nézzük a 2.6. és 2.7. ábrán látható példákat.
 | |||
| Rizs. 2.6 | Rizs. 2.7 | ||
A 2.6. ábra esetében az A1 felületet pozitív töltés veszi körül, és az áramlás itt kifelé irányul, azaz. Az A2– felületet negatív töltés veszi körül, itt befelé irányul. Az A felületen áthaladó teljes fluxus nulla.
A 2.7. ábra esetében a fluxus nem lesz nulla, ha a felületen belüli teljes töltés nem nulla. Ennél a konfigurációnál az A felületen áthaladó fluxus negatív (számolja meg a mezővonalak számát).
Így a feszültségvektor fluxusa a töltéstől függ. Ez az Ostrogradsky-Gauss tétel jelentése.
Gauss tétele
A kísérletileg megállapított Coulomb-törvény és a szuperpozíciós elv lehetővé teszi egy adott töltésrendszer elektrosztatikus terének teljes leírását vákuumban. Az elektrosztatikus mező tulajdonságait azonban más, általánosabb formában is ki lehet fejezni anélkül, hogy a ponttöltés Coulomb-mezőjének gondolatához folyamodnánk.
Vezessünk be egy új, az elektromos teret jellemző fizikai mennyiséget – az elektromos térerősség vektorának Φ áramlását. Legyen valami meglehetősen kicsi ΔS terület abban a térben, ahol az elektromos mező keletkezik. A vektormodulusnak a ΔS területtel, valamint a vektor és a hely normálisa közötti α szög koszinuszának szorzatát az intenzitásvektor elemi fluxusának nevezzük a ΔS helyen keresztül (1.3.1. ábra):
Tekintsünk most néhány tetszőleges zárt S felületet. Ha ezt a felületet kis ΔSi területekre osztjuk, meghatározzuk a mező ΔΦi elemi áramlásait ezeken a kis területeken, majd összegezzük, akkor ennek eredményeként megkapjuk a Δ Φ áramlását. vektor az S zárt felületen keresztül (1.3.2. ábra):
Gauss tétele kimondja:
Az elektrosztatikus térerősség vektor áramlása egy tetszőleges zárt felületen egyenlő a felületen belüli töltések algebrai összegével, osztva az ε0 elektromos állandóval.
ahol R a gömb sugara. A Φ fluxus egy gömbfelületen egyenlő lesz E és a 4πR2 gömb területének szorzatával. Ennélfogva,
Most vegyük körbe a ponttöltést egy tetszőleges S zárt felülettel, és tekintsünk egy R0 sugarú segédgömböt (1.3.3. ábra).
Tekintsünk egy kúpot, amelynek csúcsán kis ΔΩ térszög van. Ez a kúp kiemel egy kis ΔS0 területet a gömbön, és egy ΔS területet az S felületen. Az ezeken a területeken áthaladó ΔΦ0 és ΔΦ elemi fluxusok azonosak. Igazán,
Hasonló módon kimutatható, hogy ha egy zárt S felület nem fed le q ponttöltést, akkor az áramlás Φ = 0. Ilyen esetet ábrázol az 1. ábra. 1.3.2. Egy ponttöltés összes elektromos térvonala át- és áthatol a zárt S felületen. Az S felületen belül nincsenek töltések, ezért ebben a tartományban térvonalak nem szakadnak le és nem keletkeznek.
A szuperpozíciós elvből következik a Gauss-tétel tetszőleges töltéseloszlás esetére történő általánosítása. Bármely töltéseloszlás mezeje a ponttöltések elektromos tereinek vektorösszegeként ábrázolható. Egy tetszőleges zárt S felületen áthaladó töltésrendszer Φ áramlása az egyes töltések elektromos mezőinek Φi áramlásainak összege lesz. Ha a qi töltés történetesen az S felületen belül van, akkor egyenlő mértékben járul hozzá az áramláshoz, mint ha ez a töltés a felületen kívül van, akkor elektromos mezőjének hozzájárulása az áramláshoz nullával egyenlő.
Így Gauss tétele bebizonyosodott.
Gauss tétele a Coulomb-törvény és a szuperpozíció elvének következménye. De ha az ebben a tételben foglalt állítást vesszük kiindulási axiómának, akkor annak következménye a Coulomb-törvény lesz. Ezért Gauss tételét néha a Coulomb-törvény alternatív megfogalmazásának is nevezik.
A Gauss-tételt felhasználva bizonyos esetekben könnyen kiszámítható az elektromos térerősség egy töltött test körül, ha az adott töltéseloszlásnak van némi szimmetriája, és előre sejthető a tér általános szerkezete.
Példa erre egy vékony falú, üreges, egyenletes töltésű, R sugarú hosszú henger mezőjének kiszámítása. Ennek a feladatnak van tengelyirányú szimmetriája. A szimmetria okán az elektromos teret a sugár mentén kell irányítani. Ezért a Gauss-tétel alkalmazásához célszerű egy zárt S felületet választani egy bizonyos r sugarú és l hosszúságú koaxiális henger formájában, amely mindkét végén zárt (1.3.4. ábra).
R ≥ R esetén az intenzitásvektor teljes fluxusa áthalad a henger oldalfelületén, amelynek területe 2πrl, mivel a fluxus mindkét bázison nulla. Gauss tételének alkalmazása a következőket adja:
Ez az eredmény nem függ a töltött henger R sugarától, így egy hosszú, egyenletes töltésű izzószál mezőjére is vonatkozik.
A töltött hengeren belüli térerősség meghatározásához zárt felületet kell kialakítani az r esethez< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Hasonló módon a Gauss-tételt alkalmazhatjuk az elektromos tér meghatározására számos más esetben, amikor a töltések eloszlása valamilyen szimmetriával rendelkezik, például szimmetria a középpont, sík vagy tengely körül. Mindegyik esetben megfelelő alakú zárt Gauss-felületet kell választani. Például centrális szimmetria esetén célszerű egy gömb alakú Gauss-felületet választani, amelynek középpontja a szimmetriapontban van. Tengelyszimmetria esetén a zárt felületet koaxiális henger formájában kell megválasztani, mindkét végén zárva (mint a fent tárgyalt példában). Ha a töltések eloszlása nem szimmetrikus, és az elektromos tér általános szerkezete nem sejthető, akkor a Gauss-tétel alkalmazása nem egyszerűsítheti le a térerősség meghatározását.
Tekintsünk egy másik példát a szimmetrikus töltéseloszlásra - egy egyenletes töltésű sík mezőjének meghatározására (1.3.5. ábra).
Ebben az esetben célszerű az S Gauss-felületet valamilyen hosszúságú, mindkét végén zárt henger formájában választani. A henger tengelye merőleges a töltött síkra, végei attól azonos távolságra helyezkednek el. A szimmetria miatt az egyenletesen töltött sík mezőjét mindenhol a normál mentén kell irányítani. Gauss tételének alkalmazása a következőket adja:
|
ahol σ a felületi töltéssűrűség, azaz az egységnyi területre eső töltés.
Az egyenletes töltésű sík elektromos terére kapott kifejezés véges méretű lapos töltésű területek esetén is alkalmazható. Ebben az esetben a térerő meghatározásának pontja és a töltött terület közötti távolság lényegesen kisebb legyen, mint a terület mérete.
És menetrend 7-11-ig
1. Az egyenletesen töltött gömbfelület által keltett elektrosztatikus tér intenzitása.
Legyen egy R sugarú gömbfelület (13.7. ábra) egyenletes eloszlású q töltést, azaz. a felületi töltéssűrűség a gömb bármely pontján azonos lesz.
a. Zárjuk be gömbfelületünket egy r>R sugarú szimmetrikus S felületbe. A feszültségvektor fluxusa az S felületen egyenlő lesz
Gauss tétele szerint
Ennélfogva
c. Rajzoljunk át egy töltött gömbfelületen belül található B ponton egy r sugarú S gömböt. 2. A labda elektrosztatikus mezeje. Legyen egy R sugarú golyónk, amely egyenletesen töltődik térfogatsűrűséggel. Bármely A pontban, amely a labdán kívül fekszik, r távolságra a középpontjától (r>R), mezője hasonló a labda közepén elhelyezkedő ponttöltés mezőjéhez. Aztán ki a labdából és a felületén (r=R) A B pontban, amely a labda belsejében, a középpontjától r távolságra fekszik (r>R), a mezőt csak az r sugarú gömb belsejébe zárt töltés határozza meg. A feszültségvektor ezen a gömbön áthaladó fluxusa egyenlő másrészt Gauss tételének megfelelően Gauss tétele szerint Az utolsó két kifejezésből meghatározzuk az egyenletesen töltött szál által létrehozott térerősséget: Legyen a sík kiterjedése végtelen, és az egységnyi területre eső töltés egyenlő σ-vel. A szimmetriatörvényekből az következik, hogy a tér mindenhol a síkra merőlegesen irányul, és ha nincs más külső töltés, akkor a sík két oldalán lévő mezőknek azonosnak kell lenniük. Korlátozzuk a töltött sík egy részét egy képzeletbeli hengeres dobozra úgy, hogy a doboz ketté van vágva, alkotói merőlegesek, és a két S területű alap párhuzamos a töltött síkkal (1.10. ábra). 12. Egyenletesen töltött gömb mezője. Az elektromos mezőt töltés hozza létre K, egyenletesen elosztva egy sugarú gömb felületén R(190. ábra). A térpotenciál kiszámítása egy tetszőleges távolságban lévő pontban r a gömb középpontjából ki kell számítani a mező által végzett munkát, amikor egy egységnyi pozitív töltést egy adott pontból a végtelenbe mozgat. Korábban igazoltuk, hogy egy rajta kívül egyenletes töltésű gömb térerőssége egyenértékű a gömb közepén elhelyezkedő ponttöltés térerősségével. Következésképpen a gömbön kívül a gömb térpotenciálja egybeesik egy ponttöltés térpotenciáljával φ
(r)=K 4πε
0r . (1) Különösen a gömb felületén a potenciál egyenlő φ
0=K 4πε
0R. A gömb belsejében nincs elektrosztatikus tér, így a töltésnek a gömb belsejében található tetszőleges pontjáról a felületére történő mozgatása nulla. A= 0, ezért ezen pontok közötti potenciálkülönbség is nulla Δ φ
= -A= 0. Következésképpen a gömb belsejében lévő összes pont azonos potenciállal rendelkezik, ami egybeesik a felületének potenciáljával φ
0=K 4πε
0R . Tehát egy egyenletes töltésű gömb térpotenciáljának eloszlása a következőképpen alakul (191. ábra) φ
(r)=⎧⎩⎨K 4πε
0R, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>R . (2) Felhívjuk figyelmét, hogy a gömbön belül nincs mező, és a potenciál nem nulla! Ez a példa jól szemlélteti azt a tényt, hogy a potenciált a mező értéke határozza meg egy adott ponttól a végtelenig. Felületi töltéssűrűséggel töltött végtelen sík: a végtelen sík által létrehozott elektromos térerősség kiszámításához kijelölünk egy hengert a térben, amelynek tengelye merőleges a töltött síkra, az alapjai pedig párhuzamosak vele, és egy a bázisok közül a számunkra érdekes terepi ponton halad át. Gauss tétele szerint az elektromos térerősség vektor fluxusa zárt felületen egyenlő: Ф=, másrészt ez is: Ф=E Tegyük egyenlővé az egyenletek jobb oldalát: Fejezzük ki = - a felületi töltéssűrűségen keresztül, és határozzuk meg az elektromos térerősséget: Határozzuk meg az ellentétes töltésű, azonos felületi sűrűségű lemezek közötti elektromos térerősséget: Keressük meg a mezőt a táblákon kívül: ; ; Töltött gömb térerőssége Ф= (2) Gauss-pont r számára< R
; , mert (nincs töltés a gömbön belül) Ha r = R
( ; ; r > R esetén
A térerősség, amelyet a térfogatában egyenletesen töltött labda hoz létre térfogati töltéssűrűség, Az r< R
( ; Ф= ) Ha r = R
r > R esetén
AZ ELEKTROMOS TÉR MUNKÁJA A TÖLTÉS MOZGATÁSÁHOZ Elektrosztatikus mező- email álló töltés mezője. Munkaterület (elektromos erő) nem függ a pálya alakján és zárt pályán = nulla. Az elektrosztatikus tér cirkulációs tétele. Mivel az elektrosztatikus tér központi, az ilyen térben a töltésre ható erők konzervatívak. Mivel ez azt az elemi munkát reprezentálja, amelyet a térerők egységnyi töltéssel termelnek, a konzervatív erők munkája zárt hurkon egyenlő Lehetséges A "töltés - elektrosztatikus mező" vagy "töltés - töltés" rendszernek van potenciális energiája, ahogy a "gravitációs tér - test" rendszernek is van potenciális energiája. A mező energiaállapotát jellemző fizikai skaláris mennyiséget ún lehetséges egy adott pont a mezőn. A q töltés egy mezőbe kerül, potenciális energiája W. A potenciál az elektrosztatikus tér jellemzője. Emlékezzünk a potenciális energiára a mechanikában. A potenciális energia nulla, amikor a test a földön van. És amikor egy testet felemelnek egy bizonyos magasságra, azt mondják, hogy a testnek van potenciális energiája. Ami a villamos energiában lévő potenciális energiát illeti, a potenciális energia nulla szintje nincs. Véletlenszerűen választják ki. Ezért a potenciál relatív fizikai mennyiség. A potenciális térenergia az a munka, amelyet az elektrosztatikus erő végez, amikor a töltést a mező adott pontjából egy nulla potenciállal rendelkező pontba mozgatja. Tekintsük azt a speciális esetet, amikor egy Q elektromos töltés elektrosztatikus teret hoz létre. Egy ilyen tér potenciáljának tanulmányozásához nincs szükség q töltés bevezetésére. Kiszámolhatja egy ilyen mező bármely pontjának potenciálját, amely r távolságra van a Q töltéstől. A közeg dielektromos állandója ismert értékű (táblázatos), és azt a közeget jellemzi, amelyben a mező található. A levegő esetében egyenlő az egységgel. Lehetséges különbség A mező által a töltés egyik pontból a másikba való mozgatására végzett munkát potenciálkülönbségnek nevezzük Ez a képlet más formában is bemutatható Szuperpozíció elve A több töltés által létrehozott mező potenciálja megegyezik az egyes mezők mezői potenciáljának algebrai (a potenciál előjelét figyelembe véve) összegével. Ez az álló ponttöltések rendszerének energiája, egy magányos töltött vezető energiája és egy töltött kondenzátor energiája. Ha van egy két töltött vezetőből álló rendszer (kondenzátor), akkor a rendszer teljes energiája megegyezik a vezetők saját potenciális energiáinak és kölcsönhatásuk energiájának összegével: Elektrosztatikus mező energia pontdíjak rendszere egyenlő: Egyenletesen töltött sík. A szimmetriafeltételekből az következik, hogy a vektor E mindenhol merőleges a síkra. Ezenkívül a síkhoz képest szimmetrikus pontokban a vektor E azonos méretű és ellentétes irányú lesz. hol van a henger alapterülete. A henger töltést vág ki a síkból. Ha a sík relatív dielektromos állandójú homogén izotróp közegben van, akkor Ha a térerősség nem függ a síkok közötti távolságtól, egy ilyen mezőt egységesnek nevezünk. Függőségi grafikon E (x) egy repülőgéphez. Potenciális különbség két egymástól távol lévő pont között R 1 és R 2 a töltött síkból egyenlő 2. példa Két egyenletes töltésű sík. Potenciális különbség a síkok között 3. példa Vékony töltött rúd. A térerősség kiszámítása egy tetszőleges távolságban található pontban r a rúd tengelyétől ezen a ponton keresztül húzz egy hengeres felületet Gauss tétele szerint a vektor fluxusa E egyenlő a felületen (jelen esetben egy hengeren) elhelyezkedő elektromos töltések algebrai összegével osztva a közeg elektromos állandójának és relatív dielektromos állandójának szorzatával hol van a rúd azon részének a töltése, amely a henger belsejében van. Ezért az elektromos térerősség Elektromos tér potenciálkülönbsége két egymástól távol eső pont között R 1 és R A 2. ábrán a rúd tengelyétől számítva az elektromos tér intenzitása és potenciálja közötti összefüggést találjuk meg. Mivel a térerősség csak radiális irányban változik, akkor 4. példa Töltött gömbfelület. A feszültségvonalak a gömb középpontjától számított sugarak és a vektor nagysága mentén irányulnak E csak a távolságtól függ r a gömb közepétől. A mező kiszámításához egy sugarú zárt gömbfelületet választunk r. ahol a gömböt körülvevő közeg relatív dielektromos állandója. Az intenzitás ugyanazon törvény szerint csökken, mint a ponttöltés térerőssége, vagyis a törvény szerint. 5. példa Térfogattal töltött dielektromos golyó. Így Nál nél r < R(a labdán belül) a labdán kívül ( r > R) az elektromos térpotenciál a törvénynek megfelelően változik A labdában ( r < R) a potenciált a kifejezés írja le Befejezésül kifejezéseket mutatunk be a különböző alakú töltött testek térerősségének kiszámításához Karmester- ez egy szilárd test, amelyben a testen belül „szabad elektronok” mozognak. A fémvezetők általában semlegesek: egyenlő mennyiségű negatív és pozitív töltést tartalmaznak. Pozitív töltésűek a kristályrács csomópontjaiban lévő ionok, negatívak a vezető mentén szabadon mozgó elektronok. Ha egy vezetőnek több elektront adnak, akkor negatív töltésű lesz, de ha bizonyos számú elektront „elvesznek” a vezetőből, akkor pozitív töltésű lesz. A többlettöltés csak a vezető külső felületén oszlik el. 1
. A térerősség a vezető belsejében bármely ponton nulla. 2
. A vezető felületén lévő vektor merőlegesen irányul a vezető felületének minden pontjára. Abból a tényből, hogy a vezető felülete ekvipotenciális, az következik, hogy közvetlenül ezen a felületen a tér minden pontban merőleges rá irányul (feltétel 2
). Ha ez nem így lenne, akkor a tangenciális komponens hatására a töltések elkezdenének mozogni a vezető felületén. azok. A vezető töltéseinek egyensúlya lehetetlen lenne. Tól től 1
ebből következik, hogy mivel A vezető belsejében nincs többlettöltés. A töltések csak bizonyos sűrűségű vezető felületén oszlanak el sés nagyon vékony felületi rétegben helyezkednek el (vastagsága körülbelül egy-két atomközi távolság). Töltési sűrűség- ez az egységnyi hosszra, területre vagy térfogatra jutó töltés mennyisége, így meghatározva a lineáris, felületi és térfogati töltéssűrűségeket, amelyeket az SI rendszerben mérnek: Coulomb per méter [C/m], Coulomb per négyzetméter [ C/m² ], illetve coulomb per köbméterben [C/m³]. Az anyagsűrűséggel ellentétben a töltéssűrűségnek lehetnek pozitív és negatív értékei is, ez annak köszönhető, hogy vannak pozitív és negatív töltések. Az elektrosztatika általános problémája Feszültség vektor, Gauss tétele szerint Abban az esetben, ha nincsenek töltések a vezetők között, kapunk - Laplace-egyenlet. Legyenek ismertek a peremfeltételek a vezetők felületein: értékek A feladat megoldása során az értéket, majd a vezetők közötti mezőt a vezetőkön lévő töltések eloszlása határozza meg (a felületi feszültségvektor szerint). Nézzünk egy példát. Határozzuk meg a feszültséget a vezető üres üregében. Az üregben lévő potenciál kielégíti a Laplace-egyenletet; potenciál a vezető falain. A Laplace-egyenlet megoldása ebben az esetben triviális, és az egyediségtétel alapján nincs más megoldás Poisson-egyenlet egy elliptikus parciális differenciálegyenlet, amely többek között leírja · elektrosztatikus mező, · álló hőmérsékleti mező, · nyomásmező, · sebességpotenciál mező a hidrodinamikában. Nevét a híres francia fizikusról és matematikusról, Simeon Denis Poissonról kapta. Ez az egyenlet így néz ki: hol van a Laplace-operátor vagy a Laplacian, és egy valós vagy összetett függvény valamilyen sokaságon. Egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet a következőképpen alakul: A Descartes-koordináta-rendszerben a Laplace-operátor a következő formában van felírva, a Poisson-egyenlet pedig a következő formában: Ha f nullára hajlik, akkor a Poisson-egyenlet Laplace-egyenletté alakul (a Laplace-egyenlet a Poisson-egyenlet speciális esete): A Poisson-egyenlet a Green-függvény segítségével megoldható; lásd például a Screened Poisson-egyenlet című cikket. Számos módszer létezik a numerikus megoldások előállítására. Például egy iteratív algoritmust használnak - a „relaxációs módszert”. Kondenzátor(a lat. kondenzátum- „kompakt”, „sűrűsödik”) - kétterminális hálózat bizonyos kapacitásértékkel és alacsony ohmos vezetőképességgel; elektromos tér töltésének és energiájának felhalmozására szolgáló eszköz. A kondenzátor egy passzív elektronikai alkatrész. Jellemzően két lemez alakú elektródából áll (úgy nevezett bélések), amelyet egy dielektrikum választ el, amelynek vastagsága kicsi a lemezek méretéhez képest. Kapacitás A kondenzátor fő jellemzője az kapacitás, amely a kondenzátor elektromos töltés felhalmozási képességét jellemzi. A kondenzátor jelölése a névleges kapacitás értékét jelzi, míg a tényleges kapacitás számos tényezőtől függően jelentősen változhat. A kondenzátor tényleges kapacitása határozza meg elektromos tulajdonságait. Így a kapacitás definíciója szerint a lemez töltése arányos a lemezek közötti feszültséggel ( q = CU). A tipikus kapacitásértékek a pikofarad egységektől a több ezer mikrofaradig terjednek. Vannak azonban olyan kondenzátorok (ionisztorok), amelyek kapacitása akár több tíz farad is lehet. Egy párhuzamos lemezes kondenzátor kapacitása, amely két párhuzamos fémlemezből áll, egy területtel S mindegyik távolabb található d egymástól, az SI rendszerben a következő képlettel fejezzük ki: , ahol a lemezek közötti teret kitöltő közeg relatív dielektromos állandója (vákuumban egyenlő egységgel), az elektromos állandó, számszerűen egyenlő 8,854187817·10 −12 F/m. Ez a képlet csak akkor érvényes d sokkal kisebb, mint a lemezek lineáris méretei. A nagy kapacitás eléréséhez a kondenzátorokat párhuzamosan kell csatlakoztatni. Ebben az esetben az összes kondenzátor lemezei közötti feszültség azonos. Az akkumulátor teljes kapacitása párhuzamos A csatlakoztatott kondenzátorok száma megegyezik az akkumulátorban lévő összes kondenzátor kapacitásának összegével. Ha minden párhuzamosan kapcsolt kondenzátornak azonos távolsága van a lemezek és a dielektromos tulajdonságok között, akkor ezek a kondenzátorok egy nagy kondenzátorként ábrázolhatók, kisebb területű darabokra osztva. A kondenzátorok sorba kapcsolásakor az összes kondenzátor töltése azonos, mivel az áramforrásból csak a külső elektródákhoz jutnak, a belső elektródákon pedig csak az egymást korábban semlegesítő töltések elválasztása miatt. . Az akkumulátor teljes kapacitása szekvenciálisan csatlakoztatott kondenzátorok egyenlő Vagy Ez a kapacitás mindig kisebb, mint az akkumulátorban található kondenzátor minimális kapacitása. Soros csatlakozással azonban csökken a kondenzátorok meghibásodásának lehetősége, mivel mindegyik kondenzátor csak egy részét teszi ki a feszültségforrás potenciálkülönbségének. Ha az összes sorosan kapcsolt kondenzátor lemezeinek területe azonos, akkor ezek a kondenzátorok egy nagy kondenzátorként ábrázolhatók, amelynek lemezei között egy halom dielektromos lemez található az összes alkotó kondenzátorból. [szerkesztés] Fajlagos kapacitás A kondenzátorokat fajlagos kapacitás is jellemzi - a kapacitás és a dielektrikum térfogatának (vagy tömegének) aránya. A fajlagos kapacitás maximális értéke a dielektrikum minimális vastagságával érhető el, ugyanakkor a letörési feszültsége csökken. Különféle típusú elektromos áramkörök használatosak A kondenzátorok csatlakoztatásának módjai. Kondenzátorok csatlakoztatása gyártható: szekvenciálisan, párhuzamosÉs sorozat-párhuzamos(ez utóbbit néha kondenzátorok vegyes csatlakozásának is nevezik). A kondenzátorcsatlakozások meglévő típusait az 1. ábra mutatja. 1. ábra Kondenzátorok csatlakoztatásának módjai.
(13.10)
(13.11)
(13.13)
(3)
(4)
(1)
) 
elosztva a labdán:
Fel, a töltetnek megfelelően mozgatja, munkát végez.
Egyenletes elektromos térben Fel = qE állandó érték
Ha egy Q ponttöltés elektrosztatikus mezejében egy másik Q 0 ponttöltés bármely pálya mentén elmozdul 1-ből a 2-es pontba (1. ábra), akkor a töltésre kifejtett erő működik. Az F erő által dl elemi elmozdulásra végzett munka egyenlő Mivel d l/cosα=dr, akkor
A Q 0 töltés 1 pontból a 2. pontba történő mozgatásakor végzett munka (1) nem függ a mozgás pályájától, hanem csak a kezdeti 1 és a végső 2 pont helyzete határozza meg. Ez azt jelenti, hogy egy ponttöltés elektrosztatikus tere potenciális, az elektrosztatikus erők pedig konzervatívak. Az (1) képletből világosan látszik, hogy az a munka, amely akkor történik, amikor egy elektromos töltés egy külső elektrosztatikus térben egy tetszőleges zárt L pályán mozog. egyenlő nullával, azaz. (2) Ha egypontos pozitív töltést veszünk elektrosztatikus térben mozgó töltésnek, akkor a térerők elemi munkája a dl pálya mentén egyenlő Edl = E l d l, ahol E l= Ecosα - E vektor vetítése az elemi elmozdulás irányára. Ekkor a (2) képlet a következőképpen ábrázolható 
(3) Integrál 
a feszültségvektor cirkulációjának nevezzük. Ez azt jelenti, hogy az elektrosztatikus térerősség vektor keringése bármely zárt kontúr mentén nulla. A (3) tulajdonsággal rendelkező erőteret potenciálnak nevezzük. Abból a tényből, hogy az E vektor cirkulációja egyenlő nullával, az következik, hogy az elektrosztatikus térerősség vonalai nem zárhatók be, szükségszerűen (pozitív vagy negatív) töltéseken kezdődnek és végződnek, vagy a végtelenbe mennek. A (3) képlet csak az elektrosztatikus mezőre érvényes. Ezt követően megmutatjuk, hogy mozgó töltések mezője esetén a (3) feltétel nem igaz (ehhez az intenzitásvektor körforgása nem nulla).
A felületi töltéssűrűséggel feltöltött végtelen sík által létrehozott elektromos térerősség a Gauss-tétel segítségével számítható ki.
Zárt felületként olyan hengert válasszunk, amelynek tengelye merőleges a síkra, alapjai pedig a síkhoz képest szimmetrikusan helyezkednek el az ábrán látható módon.
Mivel a feszültségvonalak párhuzamosak a henger oldalfelületének generatricáival, az oldalfelületen áthaladó áramlás nulla. Ezért a vektoráramlás E a henger felületén keresztül
,
Számítsuk ki két végtelen sík által létrehozott elektromos térerősséget! Az elektromos töltés egyenletesen oszlik el a felületi sűrűségekkel és. A térerőt az egyes síkok térerősségének szuperpozíciójaként találjuk. Az elektromos tér csak a síkok közötti térben nem nulla, és egyenlő.
, Ahol d- síkok közötti távolság.
A kapott eredmények felhasználhatók a véges méretű lapos lemezek által létrehozott mezők közelítő kiszámítására, ha a távolságok közöttük jóval kisebbek, mint a lineáris méreteik. Az ilyen számításokban észrevehető hibák jelentkeznek, ha a lemezek szélei közelében lévő mezőket vizsgáljuk. Függőségi grafikon E (x) két gépre.
A lineáris töltéssűrűséggel töltött nagyon hosszú rúd által létrehozott elektromos térerősség kiszámításához Gauss tételét használjuk.
A rúd végeitől kellően nagy távolságra az elektromos térerősség vonalai a rúd tengelyétől sugárirányban irányulnak, és erre a tengelyre merőleges síkban helyezkednek el. A rúd tengelyétől egyenlő távolságra lévő minden ponton a feszültség számértékei azonosak, ha a rúd relatív dielektrikumú homogén izotróp közegben van.
áteresztőképesség
(Lásd a képen). Ennek a hengernek a sugara a r, és a magassága h.
A feszültségvektor fluxusai a henger felső és alsó talpain keresztül nullával egyenlőek lesznek, mivel az erővonalak nem tartalmaznak ezen alapok felületére merőleges komponenseket. A henger oldalfelületének minden pontján
E= konst.
Ezért a vektor teljes áramlása E a henger felületén keresztül egyenlő lesz
,
A gömb alakú felület által létrehozott elektromos tér, amelyen egyenletesen oszlik el a felületi sűrűségű elektromos töltés, központilag szimmetrikus jellegű.
Amikor r o
A térerősség nulla, mivel a gömb belsejében nincs töltés.
r > R esetén (a gömbön kívül), Gauss tétele szerint
,
.
Amikor r o
r > R esetén (a gömbön kívül) 
.
Függőségi grafikon E (r) egy gömbhöz.
Ha a labdának van sugara R homogén izotróp dielektrikumból készült, relatív áteresztőképességgel egyenletesen töltődik az egész térfogatban sűrűséggel, akkor az általa létrehozott elektromos tér is központilag szimmetrikus.
Az előző esethez hasonlóan a vektorfluxus kiszámításához zárt felületet választunk E koncentrikus gömb alakjában, amelynek sugara r 0-tól ig változhat.
Nál nél r < R vektor áramlás E ezen a felületen keresztül a töltés határozza meg
.
A labdán belül a feszültség a labda középpontjától való távolsággal egyenes arányban nő. A labdán kívül (at r > R) dielektromos állandójú közegben, fluxusvektorral E a felületen keresztül a töltés határozza meg.
Amikor r o > R o (labdán kívül) 
.
A „labda-környezet” határon az elektromos térerősség hirtelen megváltozik, melynek nagysága a labda és a környezet dielektromos állandóinak arányától függ. Függőségi grafikon E (r) labdához ().
.Lehetséges különbség
Feszültség- a potenciálértékek különbsége a pálya kezdeti és végső pontjában. Feszültség numerikusan egyenlő az elektrosztatikus tér munkájával, ha egységnyi pozitív töltés mozog ennek a mezőnek az erővonalai mentén. A potenciálkülönbség (feszültség) független a kiválasztástól
koordinátarendszerek!
A potenciálkülönbség mértékegysége 
A feszültség 1 V, ha 1 C pozitív töltés erővonalak mentén mozgatásakor a tér 1 J munkát végez.
- Poisson-egyenlet.
; akkor ennek a problémának egyedi megoldása van aszerint egyediségtétel.
, azaz a vezetőüregben nincs mező.
Magányos vezetőnek tekintjük, azaz olyan vezetőt, amely jelentősen el van távolítva a többi vezetőtől, testtől és töltéstől. Potenciálja, mint ismeretes, egyenesen arányos a vezető töltésével. Tapasztalatból ismert, hogy a különböző vezetők, bár egyforma töltésűek, eltérő potenciállal rendelkeznek. Ezért egy magányos vezetőre felírhatjuk, hogy az (1) mennyiséget egy magánvezető elektromos kapacitásának (vagy egyszerűen kapacitásának) nevezzük. Egy leválasztott vezető kapacitását a töltés határozza meg, amelynek a vezető felé kommunikálása eggyel megváltoztatja a potenciálját. A szoliter vezető kapacitása a méretétől és alakjától függ, de nem függ a vezető belsejében lévő üregek anyagától, alakjától és méretétől, valamint az aggregáltsági állapotától. Ennek az az oka, hogy a felesleges töltések a vezető külső felületén oszlanak el. A kapacitás szintén nem függ a vezető töltésétől vagy potenciáljától. Az elektromos kapacitás mértékegysége a farad (F): 1 F egy olyan leválasztott vezető kapacitása, amelynek potenciálja 1 V-tal változik, ha 1 C töltés kerül rá. A ponttöltés potenciáljának képlete szerint egy ε dielektromos állandójú homogén közegben elhelyezkedő R sugarú magányos golyó potenciálja egyenlő az (1) képlet alkalmazásával, azt kapjuk, hogy a labda (2) Ebből az következik, hogy egy magányos labda 1 F kapacitású lenne, vákuumban helyezkedik el, és sugara R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, ami körülbelül 1400-szor nagyobb, mint a a Föld sugara (a Föld elektromos kapacitása C≈0,7 mF). Következésképpen a farad meglehetősen nagy érték, ezért a gyakorlatban több egységet használnak - millifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). A (2) képletből az is következik, hogy az ε 0 elektromos állandó mértékegysége farad per méter (F/m) (lásd (78.3)).
Hasonló cikkek
