Ez a kézikönyv segít megtanulni, hogyan kell végrehajtani műveletek mátrixokkal: mátrixösszeadás (kivonás), mátrixtranszpozíció, mátrixszorzás, megtalálás inverz mátrix. Az összes anyagot egyszerű és hozzáférhető formában mutatjuk be, releváns példákat adunk, így még egy felkészületlen ember is megtanulhatja, hogyan hajtson végre műveleteket mátrixokkal. Önellenőrzéshez és önellenőrzéshez ingyenesen letölthető egy mátrix kalkulátor >>>.

Megpróbálom minimalizálni az elméleti számításokat néhol az „ujjakon” való magyarázatok és a nem tudományos kifejezések használata. A szilárd elmélet szerelmesei, kérem, ne kritizáljanak, a mi feladatunk tanulj meg műveleteket végrehajtani mátrixokkal.

A SZUPERGYORS felkészüléshez a témában (aki „tűzben van”) van egy intenzív pdf tanfolyam Mátrix, determináns és teszt!

A mátrix néhány téglalap alakú táblázat elemeket. Mint elemeket számokat, azaz numerikus mátrixokat fogunk figyelembe venni. ELEM egy kifejezés. A kifejezést célszerű megjegyezni, gyakran fog előfordulni, nem véletlenül használtam félkövér betűtípust a kiemeléshez.

Kijelölés: a mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik

Példa: Tekintsünk egy két-három mátrixot:

Ez a mátrix hatból áll elemeket:

A mátrixon belül minden szám (elem) önmagában létezik, vagyis szó sincs kivonásról:

Ez csak egy számtáblázat (halmaz)!

Egyetértünk mi is ne rendezd át számok, hacsak a magyarázatban másként nem szerepel. Minden számnak saját helye van, és nem keverhető!

A kérdéses mátrixnak két sora van:

és három oszlop:

ALAPÉRTELMEZETT: ha mátrixméretekről beszélünk, akkor először adja meg a sorok számát, és csak ezután az oszlopok számát. Most bontottuk fel a két-három mátrixot.

Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik, akkor a mátrixot hívják négyzet, Például: – háromszor három mátrix.

Ha egy mátrixnak egy oszlopa vagy egy sora van, akkor az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.

Valójában az iskolától kezdve ismerjük a mátrix fogalmát, például egy „x” és „y” koordinátájú pontot: . Lényegében egy pont koordinátáit egy-kettő mátrixba írjuk. Egyébként itt van egy példa arra, hogy miért számít a számsorrend: és két teljesen különböző pont a síkon.

Most pedig térjünk át a tanulásra műveletek mátrixokkal:

1) Első lépés. Mínusz eltávolítása a mátrixból (mínusz beillesztése a mátrixba).

Térjünk vissza a mátrixunkhoz . Amint valószínűleg észrevette, túl sok negatív szám van ebben a mátrixban. Ez a teljesítmény szempontjából nagyon kényelmetlen. különféle akciók mátrixszal kényelmetlen ennyi mínuszt írni, és egyszerűen csúnyán néz ki a dizájn.

Vigyük a mínuszt a mátrixon kívülre a mátrix MINDEN elemének előjelének megváltoztatásával:

A nullánál, mint érted, a nulla Afrikában is nulla.

Fordított példa: . Csúnyán néz ki.

Vezessünk be egy mínuszt a mátrixba a mátrix MINDEN elemének előjelének megváltoztatásával:

Nos, sokkal szebb lett. És ami a legfontosabb, KÖNNYEBB lesz bármilyen műveletet végrehajtani a mátrixszal. Mert létezik ilyen matematikai népi jel: minél több a mínusz, annál több a zavar és a hiba.

2) Második felvonás. Egy mátrix szorzása egy számmal.

Példa:

Ez egyszerű, ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, szüksége van minden mátrixelem szorozva egy adott számmal. Ebben az esetben - egy három.

Egy másik hasznos példa:

– mátrix szorzata törttel

Először nézzük meg, mit tegyünk NINCS SZÜKSÉG:

NEM KELL törtet bevinni a mátrixba, egyrészt csak bonyolítja a további műveleteket a mátrixszal, másrészt megnehezíti a tanár számára a megoldás ellenőrzését (főleg ha; – a feladat végső válasza).

És főleg, NINCS SZÜKSÉG osszuk el a mátrix minden elemét mínusz héttel:

A cikkből Matematika a bábokhoz, vagy hol kezdjem, erre emlékszünk tizedesjegyek a felsőbb matematikában minden lehetséges módon igyekeznek elkerülni őket.

Az egyetlen dolog lehetőleg Ebben a példában egy mínusz hozzáadása a mátrixhoz:

De ha csak MINDEN A mátrixelemeket elosztottuk 7-tel nyom nélkül, akkor lehetne (és szükséges!) osztani.

Példa:

Ebben az esetben megteheti KELL szorozzuk meg az összes mátrixelemet -vel, mivel minden mátrixszám osztható 2-vel nyom nélkül.

Megjegyzés: a felsőoktatási matematika elméletében nincs az „osztás” fogalma. Ahelyett, hogy azt mondaná, hogy „ez osztva ezzel”, mindig azt mondhatja, hogy „ez szorozva törttel”. Vagyis a megosztottság az különleges eset szorzás.

3) Harmadik felvonás. Mátrix transzponálás.

Egy mátrix transzponálásához be kell írnia annak sorait a transzponált mátrix oszlopaiba.

Példa:

Transzponálja a mátrixot

Itt csak egy sor van, és a szabály szerint egy oszlopba kell írni:

– transzponált mátrix.

A transzponált mátrixot általában felső index vagy prím jelöli a jobb felső sarokban.

Példa lépésről lépésre:

Transzponálja a mátrixot

Először az első sort írjuk át az első oszlopba:

Ezután átírjuk a második sort a második oszlopba:

És végül a harmadik sort átírjuk a harmadik oszlopba:

Kész. Nagyjából a transzponálás azt jelenti, hogy a mátrixot az oldalára fordítjuk.

4) Negyedik felvonás. Mátrixok összege (különbsége)..

A mátrixok összege egy egyszerű művelet.
NEM MINDEN MÁTRIZ HAJTHATÓ BE. A mátrixok összeadása (kivonása) végrehajtásához az szükséges, hogy azonos MÉRETEK legyenek.

Például, ha megadunk egy kettős-kettős mátrixot, akkor azt csak kettős-kettős mátrixszal lehet hozzáadni, mással nem!

Példa:

Adjunk hozzá mátrixokat És

Mátrixok hozzáadásához hozzá kell adni a hozzájuk tartozó elemeket:

A mátrixok különbségére a szabály hasonló, meg kell találni a megfelelő elemek különbségét.

Példa:

Keresse meg a mátrix különbséget ,

Hogyan döntsünk ezt a példát könnyebb, hogy ne keveredj össze? Ehhez tanácsos megszabadulni a felesleges mínuszoktól, adjon hozzá egy mínuszt a mátrixhoz:

Megjegyzés: a felsőoktatási matematika elméletében nincs a „kivonás” fogalma. Ahelyett, hogy azt mondaná, hogy „ezt vond ki ebből”, mindig azt mondhatod, hogy „add hozzá ezt”. negatív szám" Vagyis a kivonás az összeadás speciális esete.

5) Ötödik felvonás. Mátrixszorzás.

Milyen mátrixokat lehet szorozni?

Ahhoz, hogy egy mátrixot meg tudjunk szorozni egy mátrixszal, szükséges hogy a mátrixoszlopok száma egyenlő legyen a mátrixsorok számával.

Példa:
Meg lehet-e szorozni egy mátrixot egy mátrixszal?

Ez azt jelenti, hogy a mátrix adatok szorozhatók.

De ha a mátrixok átrendeződnek, akkor ebben az esetben a szorzás már nem lehetséges!

Ezért a szorzás nem lehetséges:

Nem is olyan ritka, hogy trükkös feladatokkal találkozunk, amikor olyan mátrixok szorzására kérik a tanulót, amelyek szorzása nyilvánvalóan lehetetlen.

Megjegyzendő, hogy bizonyos esetekben mindkét módon lehetséges a mátrixok szorzása.
Például mátrixok esetén a szorzás és a szorzás is lehetséges

1. évfolyam, felsőfokú matematika, tanulás mátrixokés az alapvető műveletek rajtuk. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható alapműveleteket. Hol kezdjem a mátrixokkal való ismerkedést? Természetesen a legegyszerűbb dolgoktól - definícióktól, alapfogalmaktól és egyszerű műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szán rájuk!

Mátrix definíció

Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Nos, leegyszerűsítve – egy számtáblázat.

A mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik. Például mátrix A , mátrix B stb. A mátrixok különböző méretűek lehetnek: téglalap alakúak, négyzet alakúak, és vannak sor- és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m tovább n , Ahol m – sorok száma, és n - oszlopok száma.

Tételek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.

Mit lehet csinálni a mátrixokkal? Összeadás/kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.

Mátrix összeadás és kivonás műveletek

Azonnal figyelmeztetjük, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix lesz. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű - csak hozzá kell adnia a megfelelő elemeket . Mondjunk egy példát. Végezzük el két A és B mátrix összeadását, melyek mérete kettő-kettő.

A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.

Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:

Mátrix szorzási művelet

Nem minden mátrix szorozható össze. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. Ebben az esetben a kapott mátrix minden eleme, amely az i-edik sorban és a j-edik oszlopban található, az lesz egyenlő az összeggel a megfelelő elemek termékei i-edik sor az első tényező és a második j-edik oszlopa. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:

És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:

Mátrix transzponálási művelet

A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:

Mátrix meghatározó

A determináns vagy determináns az egyik alapfogalom lineáris algebra. Egyszer régen az emberek kitalálták lineáris egyenletek, mögöttük pedig egy meghatározót kellett kitalálni. Végül csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz, szóval, az utolsó lökés!

A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő és a másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.

Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.

Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.

Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből a főátló szorzata. a másodlagos átló elemeit és a háromszögeken fekvő elemek szorzatát a párhuzamos másodlagos átló lapjával kivonjuk.

Szerencsére a gyakorlatban ritkán van szükség nagy méretű mátrixok determinánsainak kiszámítására.

Itt megnéztük a mátrixokkal végzett alapvető műveleteket. Természetesen be való élet soha nem találkozhatsz még csak a jelével sem mátrix rendszer egyenletek, vagy éppen ellenkezőleg, sokkal összetettebb esetekkel kell szembenéznie, amikor tényleg törnie kell az agyát. Ilyen esetekre léteznek professzionális hallgatói szolgáltatások. Kérjen segítséget, kapjon minőségi és részletes megoldást, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidőt.

Mátrix összeadás A $ A $ és a $ B $ egy aritmetikai művelet, amelynek eredményeként meg kell kapni a $ C $ mátrixot, amelynek minden eleme egyenlő az összeadandó mátrixok megfelelő elemeinek összegével:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

A részletekben A két mátrix összeadásának képlete így néz ki:

$$ A + B = \begin(pmátrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmátrix) = $$

$$ = \begin(pmátrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmátrix) = C$$

Kérjük, vegye figyelembe, hogy csak azonos dimenziójú mátrixokat adhat hozzá és vonhat ki. Az összeggel vagy különbséggel az eredmény egy $ C $ mátrix lesz, amelynek mérete megegyezik a $ A $ és $ B $ mátrixok tagjaival (levonva). Ha a $ A $ és a $ B $ mátrixok méretben különböznek egymástól, akkor az ilyen mátrixok összeadása (kivonása) hiba lesz!

A képlet 3x3 mátrixot ad hozzá, ami azt jelenti, hogy az eredménynek 3x3 mátrixnak kell lennie.

Mátrixok kivonása teljesen hasonló az összeadási algoritmushoz, csak mínusz előjellel. A szükséges $C$ mátrix minden elemét úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk a $A$ és $B$ mátrixok megfelelő elemeit:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Írjuk le a részleteket képlet két mátrix kivonására:

$$ A - B = \begin(pmátrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmátrix) - \begin(pmátrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmátrix) = $$

$$ = \begin(pmátrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmátrix) = C$$

Azt is érdemes megjegyezni, hogy nem lehet mátrixokat összeadni és kivonni közönséges számokkal, valamint néhány más elemmel.

Hasznos lesz az összeadás (kivonás) tulajdonságainak ismerete a mátrixokkal kapcsolatos problémák további megoldásához.

Tulajdonságok

Ha a $ A,B,C $ mátrixok azonos méretűek, akkor az asszociativitási tulajdonság vonatkozik rájuk: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
Minden mátrixhoz van egy nulla mátrix, jelölése $ O $, összeadáskor (kivonáskor), amellyel az eredeti mátrix nem változik: $$ A \pm O = A $$
Minden $ A $ nem nulla mátrixhoz van egy ellentétes $ (-A) $ mátrix, amelynek összege eltűnik: $ $ A + (-A) = 0 $ $
Mátrixok összeadásánál (kivonásánál) megengedett a kommutativitás tulajdonsága, vagyis a $ A $ és a $ B $ mátrixok felcserélhetők: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Példák megoldásokra

1. példa
Adott $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ mátrixok és $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Végezze el a mátrix összeadást, majd a kivonást.
Megoldás
Először is ellenőrizzük a mátrixok méreteit. A $ A $ mátrix mérete $ 2 \x 2 $, a második $ B $ mátrix mérete $ 2 \x 2 $. Ez azt jelenti, hogy ezekkel a mátrixokkal lehetséges az összeadás és a kivonás együttes művelete. Emlékezzünk vissza, hogy az összeghez páronként össze kell adni a $ A \text( és ) B $ mátrixok megfelelő elemeit. $$ A + B = \begin(pmátrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmátrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmátrix) $$ Az összeghez hasonlóan a mátrixok különbségét úgy találjuk meg, hogy a „plusz” jelet „mínuszra” cseréljük: $$ A - B = \begin(pmátrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmátrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ end(pmátrix) $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!
Válasz
$$ A + B = \begin(pmátrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmátrix); A - B = \begin(pmátrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmátrix) $$

A cikkben: "Matrixok összeadása és kivonása" definíciók, szabályok, megjegyzések, műveletek tulajdonságai, ill. gyakorlati példák megoldásokat.

Bevezetés

mátrixrendű axiomatikus szorzás

Műveletek mátrixokon, a műveletek tulajdonságai.

Ebben a cikkben megértjük, hogyan történik az összeadás művelet azonos sorrendű mátrixokon, a mátrix számmal való szorzása és a megfelelő sorrendű mátrixok szorzása, axiomatikusan beállítjuk a műveletek tulajdonságait, ill. tárgyalja a mátrixokon végzett műveletek prioritását is. Az elmélettel párhuzamosan bemutatjuk részletes megoldásokat példák, amelyekben a műveleteket mátrixokon hajtják végre.

Azonnal jegyezzük meg, hogy az alábbiak mind olyan mátrixokra vonatkoznak, amelyek elemei valós (vagy komplex) számok.

Két mátrix összeadásának művelete

Két mátrix összeadásának műveletének meghatározása.

Az összeadási művelet KIZÁRÓLAG AZONOS RENDELŐ MÁTRIZOKRA van definiálva. Más szóval, lehetetlen megtalálni a különböző dimenziójú mátrixok összegét, és általában lehetetlen különböző dimenziójú mátrixok összeadásáról beszélni. Nem beszélhetünk sem mátrix és szám összegéről, sem mátrix és más elem összegéről.

Meghatározás.

Két mátrix összege és egy olyan mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével, azaz .

Így a két mátrix összeadási műveletének eredménye egy azonos sorrendű mátrix.

A mátrixösszeadási művelet tulajdonságai.

Milyen tulajdonságai vannak a mátrixösszeadás műveletnek? Erre a kérdésre meglehetősen könnyű válaszolni, ha két adott rendű mátrix összegének meghatározásából indulunk ki, és emlékezünk a valós (vagy komplex) számok összeadási műveletének tulajdonságaira.

Az azonos rendű A, B és C mátrixokat az A+(B+C)=(A+B)+C összeadás asszociativitási tulajdonsága jellemzi.

Adott rendű mátrixoknál van egy semleges elem az összeadás tekintetében, ami a nulla mátrix. Vagyis az A+O=A tulajdonság igaz.

Adott rendű nem nulla A mátrixhoz létezik (-A) mátrix, ezek összege egy nulla mátrix: A+(-A)=O.

Adott rendű A és B mátrixok esetén az A+B=B+A összeadás tulajdonság kommutatív.

Következésképpen egy adott rendű mátrixhalmaz egy additív Abel-csoportot generál (egy Abel-csoport az összeadás algebrai műveletéhez képest).

Egy mátrix számmal való szorzásának művelete

Egy mátrix számmal való szorzásának műveletének meghatározása.

A mátrix számmal való szorzásának művelete BÁRMELY RENDŰ MÁTRIKRA van definiálva.

Meghatározás.

Egy mátrix és egy valós (vagy komplex) szám szorzata egy olyan mátrix, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az eredeti mátrix megfelelő elemeit megszorozzuk a számmal, azaz .

Így egy mátrixot egy számmal megszorozva egy azonos rendű mátrixot kapunk.

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

Azonos A és B mátrixokra, valamint egy tetszőleges valós (vagy komplex) számra az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonsága igaz.

Egy tetszőleges A mátrixra és bármely valós (vagy komplex) számra érvényes az eloszlási tulajdonság.

Egy tetszőleges A mátrixra és bármely valós (vagy komplex) számra és a szorzás asszociatív tulajdonsága igaz.

A semleges szám tetszőleges A mátrixszal megszorozva egy, azaz .

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságaiból az következik, hogy egy nulla mátrixot nullával megszorozva nulla mátrixot kapunk, és egy tetszőleges szám és egy nulla mátrix szorzata egy nulla mátrix.

Mátrix szorzása számmal - példák és megoldásuk.

Nézzük meg a mátrix számmal való szorzásának műveletét példákon keresztül.

Keresse meg a 2-es szám és a mátrix szorzatát!

Egy mátrix számmal való megszorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

Szorozza meg a mátrixot egy számmal.

Egy adott mátrix minden elemét megszorozzuk egy adott számmal:

Két mátrix szorzásának művelete

Két mátrix szorzásának műveletének meghatározása.

Két A és B mátrix szorzásának művelete csak arra az esetre van definiálva, ha AZ A MÁTRIX OSZLOPSZÁMA EGYENLŐ A B MÁTRIX SOROK SZÁMÁVAL.

Meghatározás. Egy A sorrendű mátrix és egy B sorrendű mátrix szorzata egy C sorrendű mátrix, amelynek minden eleme egyenlő az A mátrix i-edik sorának elemeinek szorzataival a megfelelő elemekkel. a B mátrix j-edik oszlopa, azaz

Így egy rendelési mátrixnak egy sorrendi mátrixszal való szorzásának művelet eredménye egy rendelési mátrix.

Mátrix szorzása mátrixszal - példák megoldásai.

Nézzük meg a mátrixszorzást példákon keresztül, majd folytassuk a mátrixszorzási művelet tulajdonságainak felsorolásával.

Keresse meg a C mátrix összes elemét, amelyet az és a mátrixok szorzásával kapunk.

Az A mátrix sorrendje p=3 x n=2, a B mátrixé n=2 x=4, ezért ezen mátrixok szorzatának sorrendje p=3 x q=4 lesz. Használjuk a képletet

Sorra vesszük az i értékeit 1-től 3-ig (mivel p=3) minden j-hez 1-től 4-ig (mivel q=4), esetünkben pedig n=2, akkor

Ily módon a C mátrix összes eleme kiszámításra kerül, és a két adott mátrix szorzásával kapott mátrix alakja a következő.

Végezze el a mátrixszorzást és.

Az eredeti mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzási művelet végrehajtását. Ennek eredményeként egy 2-3-as rendű mátrixot kell kapnunk.

A és mátrixok adottak. Keresse meg az A és B mátrixok, valamint a B és A mátrixok szorzatát!

Mivel az A mátrix sorrendje 3:1, és a B mátrix 1:3, akkor A?B sorrendje 3:3, a B és A mátrixok szorzata pedig 1:1.

Amint látod, . Ez a mátrixszorzási művelet egyik tulajdonsága.

A mátrixszorzási művelet tulajdonságai.

Ha az A, B és C mátrixok megfelelő sorrendűek, akkor a mátrixszorzási művelet alábbi tulajdonságai érvényesek.

A mátrixszorzás asszociativitási tulajdonsága.

A disztributivitás két tulajdonsága és.

BAN BEN általános eset a mátrixszorzás művelete nem kommutatív.

Az n rendű E identitásmátrix a szorzás szempontjából semleges elem, vagyis egy tetszőleges p-rendű A mátrixra igaz az egyenlőség, és egy tetszőleges n-rendű A mátrixra az egyenlőség igaz.

Megjegyzendő, hogy megfelelő sorrend mellett az O nulla mátrix és az A mátrix szorzata adja a nulla mátrixot. A és O szorzata is nulla mátrixot ad, ha a sorrendek lehetővé teszik a mátrixszorzást.

Között négyzetes mátrixok Léteznek úgynevezett permutációs mátrixok, ezekre a szorzási művelet kommutatív, azaz. A permutációs mátrixok példája az azonossági mátrix és bármely más, azonos sorrendű mátrix párja, amint ez igaz.

Mátrix összeadás:

Mátrixok kivonása és összeadása redukálódik az elemeiken végzett megfelelő műveletekre. Mátrix összeadás művelet csak azért lépett be mátrixok azonos méretű, azaz a mátrixok, amelyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Mátrixok összege A-t és B-t hívják mátrix C, melynek elemei egyenlők a megfelelő elemek összegével. C = A + B c ij = a ij + b ij Hasonlóan definiálva mátrix különbség.

Egy mátrix szorzása egy számmal:

Mátrixszorzás (osztás) művelet bármilyen méretű tetszőleges számmal, az egyes elemek szorzására (osztására) redukálódik mátrixok ehhez a számhoz. Mátrix termékÉs a k számot hívják mátrix B, ilyen

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Mátrix- A = (-1) × A-t fordítva nevezzük mátrix A.

A mátrixok összeadásának és a mátrix számmal való szorzásának tulajdonságai:

Mátrix összeadási műveletekÉs mátrixszorzás egy számon a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , ahol A, B és C mátrixok, α és β számok.

Mátrixszorzás (mátrixszorzat):

Két mátrix szorzásának művelete csak abban az esetben kerül megadásra, ha az első oszlopok száma mátrixok egyenlő a második sorainak számával mátrixok. Mátrix termékÉs m×n tovább mátrix n×p-ben ún mátrix M×p-vel úgy, hogy ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk -vel, azaz az i-edik sor elemeinek szorzatainak összegét találjuk. mátrixokÉs a j-edik oszlop megfelelő elemeire mátrixok B. Ha mátrixok A és B azonos méretű négyzetek, akkor az AB és BA szorzat mindig létezik. Könnyen kimutatható, hogy A × E = E × A = A, ahol A négyzet mátrix, E - egység mátrix azonos méretű.

A mátrixszorzás tulajdonságai:

Mátrixszorzás nem kommutatív, azaz. AB ≠ BA akkor is, ha mindkét termék definiálva van. Ha azonban valamelyikre mátrixok az AB=BA kapcsolat teljesül, akkor ilyen mátrixok kommutatívnak nevezzük. A legjellemzőbb példa egy szingli mátrix, amely bármely mással ingázik mátrix azonos méretű. Csak a négyzet alakúak lehetnek permutálhatók mátrixok ugyanabban a sorrendben. A × E = E × A = A

Mátrixszorzás a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. A 2. és 3. rend meghatározói. A determinánsok tulajdonságai.

Mátrix meghatározó másodrendű, ill döntő A második sorrend egy szám, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Mátrix meghatározó harmadrendű, ill döntő a harmadik sorrend egy szám, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Ez a szám hat tagból álló algebrai összeget jelent. Minden kifejezés pontosan egy elemet tartalmaz minden sorból és oszlopból mátrixok. Minden kifejezés három tényező szorzatából áll.

Jelek, amelyekkel a tagok a mátrix meghatározója szerepel a képletben a mátrix determinánsának megtalálása a harmadik sorrendet a megadott séma segítségével határozhatjuk meg, amelyet háromszögszabálynak vagy Sarrus-szabálynak neveznek. Az első három tagot pluszjellel vesszük és a bal oldali ábrából határozzuk meg, a következő három tagot mínuszjellel, és a jobb oldali ábrából határozzuk meg.

Határozza meg a keresendő kifejezések számát a mátrix meghatározója, algebrai összegben kiszámolhatja a faktoriálist: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Mátrix determinánsok tulajdonságai

A mátrix determinánsok tulajdonságai:

1. tulajdonság:

Mátrix meghatározó nem fog megváltozni, ha sorait oszlopokra cseréljük, minden sort egy azonos számú oszlopra, és fordítva (transzpozíció). |A| = |A| T

Következmény:

Oszlopok és sorok a mátrix meghatározója egyenlőek, ezért a sorokban rejlő tulajdonságok az oszlopokra is teljesülnek.

2. tulajdonság:

2 sor vagy oszlop átrendezésekor mátrix meghatározó az előjelet az ellenkezőjére változtatja, megtartva az abszolút értéket, azaz:

3. tulajdonság:

Mátrix meghatározó ha két egyforma sora van, az egyenlő nullával.

4. tulajdonság:

Bármely sorozat elemeinek közös tényezője a mátrix meghatározója jelnek vehetjük döntő.

Következmények a 3. és 4. számú ingatlanból:

Ha egy bizonyos sorozat (sor vagy oszlop) minden eleme arányos egy párhuzamos sorozat megfelelő elemeivel, akkor ilyen mátrix meghatározó egyenlő nullával.

5. tulajdonság:

a mátrix meghatározója akkor egyenlők nullával mátrix meghatározó egyenlő nullával.

6. tulajdonság:

Ha egy sor vagy oszlop összes eleme döntő 2 tag összegeként mutatjuk be, akkor döntő mátrixok 2 összegeként ábrázolható meghatározó tényezők képlet szerint:

7. tulajdonság:

Ha bármelyik sorba (vagy oszlopba) döntő Adja hozzá egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal, majd mátrix meghatározó nem változtatja meg az értékét.