A matematikai kifejezések és feladatok sok további ismeretet igényelnek. A NOC az egyik fő, különösen gyakran használják A témát középiskolában tanulják, és nem különösebben nehéz megérteni az anyagot, a hatványokat és a szorzótáblát ismerő személynek nem okoz nehézséget a szükséges számok azonosítása és a eredmény.
Meghatározás
Közös többszörös olyan szám, amely egyidejűleg teljesen felosztható két számra (a és b). Ezt a számot leggyakrabban az eredeti a és b számok szorzásával kapjuk meg. A számnak oszthatónak kell lennie mindkét számmal egyszerre, eltérés nélkül.
A NOC a megnevezéshez használt rövid név, amelyet az első betűkből gyűjtöttek össze.
A számok megszerzésének módjai
A számok szorzása nem mindig alkalmas az LCM megtalálására, sokkal inkább egyszerű egy- vagy kétjegyű számok esetén. Szokásos tényezőkre osztani, minél nagyobb a szám, annál több tényező lesz.
1. példa
A legegyszerűbb példában az iskolák általában prímszámokat, egy- vagy kétjegyű számokat használnak. Például meg kell oldania a következő feladatot, keresse meg a 7 és 3 számok legkisebb közös többszörösét, a megoldás meglehetősen egyszerű, csak szorozza meg őket. Ennek eredményeként van egy 21-es szám, egyszerűen nincs kisebb szám.
2. példa
A feladat második változata sokkal nehezebb. A 300 és 1260 számok adottak, a LOC megkeresése kötelező. A probléma megoldásához a következő műveleteket kell feltételezni:
Az első és a második szám egyszerű faktorokra bontása. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 *7. Az első szakasz befejeződött.
A második szakasz a már megszerzett adatokkal való munka. A kapott számok mindegyikének részt kell vennie a végeredmény kiszámításában. Minden egyes tényező esetében a legtöbb előfordulás az eredeti számokból származik. A NOC az teljes szám, ezért a számokból származó tényezőket meg kell ismételni benne, mindegyiket, még azokat is, amelyek egy példányban jelen vannak. Mindkét kezdeti szám tartalmazza a 2-es, 3-as és 5-ös számokat, különböző hatványokban, a 7 csak egy esetben van jelen.
A végeredmény kiszámításához minden számot a legnagyobb hatványban kell bevennie az egyenletbe. Nincs más hátra, mint a szorzás, és megkapjuk a választ, helyesen kitöltve a feladat magyarázat nélkül két lépésből áll:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Ez az egész probléma, ha megpróbálod kiszámolni a megfelelő szám szorzáson keresztül, akkor a válasz biztosan nem lesz helyes, mivel 300 * 1260 = 378 000.
Vizsgálat:
6300 / 300 = 21 - helyes;
6300 / 1260 = 5 - helyes.
A kapott eredmény helyességét úgy határozzuk meg, hogy ellenőrizzük - elosztjuk az LCM-et mindkét kezdeti számmal; ha a szám mindkét esetben egész szám, akkor a válasz helyes.
Mit jelent a NOC a matematikában?
Tudniillik a matematikában nincs egyetlen haszontalan függvény sem, ez alól ez sem kivétel. Ennek a számnak a leggyakoribb célja, hogy a törteket közös nevezőre redukálja. Amit általában az 5-6. évfolyamon tanulnak Gimnázium. Ezenkívül az összes többszörös közös osztója, ha ilyen feltételek jelen vannak a feladatban. Egy ilyen kifejezés nem csak két szám többszörösét találhatja meg, hanem sokkal nagyobb szám többszörösét is - három, öt és így tovább. Minél több szám, annál több művelet van a feladatban, de a bonyolultság nem növekszik.
Például a 250, 600 és 1500 számok alapján meg kell találnia a közös LCM-et:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ez a példa a faktorizálást írja le részletesen, redukció nélkül.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Egy kifejezés összeállításához minden tényezőt meg kell említeni, ebben az esetben 2, 5, 3 van megadva - mindezen számok esetében meg kell határozni a maximális mértéket.
Figyelem: minden tényezőt a teljes leegyszerűsítésig kell hozni, lehetőség szerint egy számjegyűre lebontani.
Vizsgálat:
1) 3000 / 250 = 12 - helyes;
2) 3000 / 600 = 5 - igaz;
3) 3000 / 1500 = 2 - helyes.
Ez a módszer nem igényel semmilyen trükköt vagy zseniális szintű képességet, minden egyszerű és világos.
Egy másik módja
A matematikában sok minden összefügg, sok mindent meg lehet oldani két vagy több módon is, ugyanez vonatkozik a legkisebb közös többszörös, az LCM megtalálására is. Egyszerű kétjegyű és egyjegyű számok esetén a következő módszer használható. Összeállítunk egy táblázatot, amelybe a szorzót függőlegesen, a szorzót vízszintesen írjuk be, és az oszlop metsző celláiban feltüntetjük a szorzatot. A táblázatot egy vonal segítségével tükrözheti, vegyen egy számot, és írja le ennek a számnak az egész számokkal való szorzását, 1-től a végtelenig, néha 3-5 pont is elegendő, a második és az azt követő számok ugyanazon a számítási folyamaton mennek keresztül. Minden addig történik, amíg meg nem találják a közös többszöröst.
A 30, 35, 42 számok ismeretében meg kell találnia az összes számot összekötő LCM-et:
1) 30 többszörösei: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 stb.
2) 35 többszörösei: 70, 105, 140, 175, 210, 245 stb.
3) 42 többszörösei: 84, 126, 168, 210, 252 stb.
Észrevehető, hogy az összes szám meglehetősen eltérő, az egyetlen közös szám közöttük a 210, tehát ez lesz a NOC. Az ebben a számításban részt vevő folyamatok között van egy legnagyobb közös osztó is, amely hasonló elvek alapján történik, és gyakran találkozunk a szomszédos problémákban. A különbség kicsi, de meglehetősen jelentős, az LCM olyan szám kiszámítását foglalja magában, amelyet el kell osztani az összes megadott kezdeti értékkel, a GCD pedig legmagasabb érték amellyel az eredeti számokat elosztjuk.
De sokan egész számok más természetes számokkal is oszthatók.
Például:
A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.
Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Természetes szám osztója a- egy természetes szám, amely egy adott számot oszt a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.
Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).
Az LCM mindig egy természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.
Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.
Kommutativitás:
Aszociativitás:
Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:
Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( m, n).
Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.
Így, Csebisev függvény. És:
Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).
Ami az elosztási törvényből következik prímszámok.
A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).
NEM C( a, b) többféleképpen is kiszámítható:
1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:
2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:
Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).
Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:
Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.
Példa:
Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:
Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- a számokat prímtényezőkre bontani;
- a legnagyobb dekompozíciót (az adottak közül a legtöbb tényező tényezőinek szorzatát) átvisszük a kívánt szorzat faktoraiba, majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő, vagy abban megjelenő egyéb számok felbontásából származó tényezőket kevesebb alkalommal;
— a prímtényezők eredő szorzata az LCM lesz adott számokat.
Bármely két vagy több természetes számnak saját LCM-je van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.
A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük a 3-as tényezővel (a 21-es számmal), így a kapott szorzat (84) lesz a legkisebb szám, ami osztható 21-gyel és 28-cal.
A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítjük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amely az összes megadott szám többszöröse.
A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.
Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.
Egy másik lehetőség:
Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:
1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) írja le az összes prímtényező hatványait:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);
4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;
5) szorozd meg ezeket a hatványokat.
Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.
Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Felírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Matematikából rengeteg feladatot kapnak az iskolások. Közülük nagyon gyakran a következő megfogalmazással vannak problémák: két jelentése van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Az ilyen feladatok elvégzése szükséges, hiszen az elsajátított készségeket a különböző nevezőjű törtekkel való munkavégzésre használják fel. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni a LOC-t és az alapvető fogalmakat.
Alapfogalmak
Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogy hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban így hangzik: egy bizonyos A érték többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4 esetén a többszörösei 8, 12, 16, 20, és így tovább, a szükséges határig.
Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, de a többszörösek végtelenül sokak. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy mutató, amely maradék nélkül van felosztva rájuk. Miután megértette bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmát, térjünk át annak megtalálására.
A NOC megtalálása
Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes megadott számmal.
Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának, fontolja meg a következő módszereket:
- Ha a számok kicsik, írd fel egy sorba mindazokat, amelyek oszthatók vele. Addig csináld ezt, amíg valami közöset nem találsz köztük. Írásban K betűvel jelöljük. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
- Ha ezek nagyok, vagy meg kell találnia 3 vagy több érték többszörösét, akkor más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a felsorolt legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbnél húzd alá a tényezőket, és add hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
- 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám bővítéséből csak két kettes nem került bele a legnagyobb bővítésébe, ezeket összeadva 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékeknél.
Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC keresésében, ha az előzőek nem segítenek.
Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.
Magán keresési módszerek
Mint minden matematikai résznél, az LCM megtalálásának vannak speciális esetei, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:
- ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (60 és 15 LCM-je 15);
- a viszonylag prímszámoknak nincs közös prímtényezője. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében 56 lesz;
- ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide kell érteni az összetett számok dekompozíciójának eseteit is, amelyek az egyes cikkek, sőt kandidátusi értekezések témái.
A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhat dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre, ahol egyenlőtlen nevezők vannak.
Néhány példa
Nézzünk meg néhány példát, amelyek segítenek megérteni a legkisebb többszörös keresésének elvét:
- Keresse meg a LOC-t (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 bontjuk fel. Adjon hozzá 8-at a legkisebb számhoz, és kapjon LOC 280-at.
- NOC (45; 54). Mindegyiket felbontjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. 270-nek megfelelő LCM-et kapunk.
- Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Ezeknek nincs prímszorosa, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük a szorzatuk lesz, ami egyenlő 20-zal.
A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.
A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint elsőre tűnik. Ehhez az egyszerű értékek egyszerű bővítését és szorzását egyaránt használják. A matematika e részével való munkavégzés képessége segít a matematikai témák további tanulmányozásában, különösen a különböző összetettségű töredékeknél.
Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különböző módszerekkel; ez fejleszti a logikai apparátusát, és lehetővé teszi, hogy számos kifejezést emlékezzen. Tanulja meg, hogyan találhat ilyen kitevőt, és jól teljesíthet a többi matematikai szakaszban. Boldog matematika tanulást!
Videó
Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.
Az alábbiakban bemutatott anyag az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikk elméletének logikus folytatása. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és kiemelt figyelmet fordítunk a példák megoldására. Először is bemutatjuk, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-jével. Ezután megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Ezek után a három és az LCM megkeresésére összpontosítunk több számokat, és figyeljen a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.
Oldalnavigáció.
A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül
A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD között fennálló kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását egy ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képlet az LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Nézzünk példákat az LCM megtalálására a megadott képlet segítségével.
Példa.
Határozzuk meg két szám 126 és 70 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti kapcsolatot a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet segítségével kiszámolhatjuk ezeknek a számoknak az LCM-jét.
Keressük meg a GCD(126, 70)-t az euklideszi algoritmus segítségével: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tehát GCD(126, 70)=14.
Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: GCD(126;70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Válasz:
LCM(126,70)=630.
Példa.
Mi egyenlő LCM(68; 34)?
Megoldás.
Mert 68 osztható 34-gyel, akkor GCD(68, 34)=34. Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: GCD(68;34)=68·34:GCD(68;34)= 68·34:34=68.
Válasz:
LCM(68,34)=68.
Vegye figyelembe, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b-vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.
Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával
A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha adott számok összes prímtényezőjéből összeállítunk egy szorzatot, majd ebből a szorzatból kizárjuk az adott számok dekompozícióiban előforduló összes gyakori prímtényezőt, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok legkisebb közös többszörösével. .
Az LCM megtalálásának kimondott szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzatával. A GCD(a, b) viszont egyenlő az a és b számok kiterjesztésében egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával (ahogyan a GCD megtalálása a számok prímtényezőkké történő kiterjesztésével foglalkozik).
Mondjunk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. Állítsuk össze a szorzatot ezen bővítések összes tényezőjéből: 2·3·3·5·5·5·7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mind a 75-ös szám kiterjesztésében, mind a 210-es szám kiterjesztésében szereplő összes tényezőt (ezek a tényezők 3 és 5), ekkor a szorzat 2·3·5·5·7 alakot vesz fel. . Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz NOC(75,210)=2·3·5·5·7=1050.
Példa.
A 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakítsa, és keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Tekintsük a 441 és 700 számokat prímtényezőkbe:
441=3·3·7·7 és 700=2·2·5·5·7 kapjuk.
Most hozzunk létre egy szorzatot az összes tényezőből, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében részt vesznek: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazon tényezőket, amelyek egyidejűleg jelen vannak mindkét bővítésben (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2·2·3·3·5·5·7·7. És így, LCM(441,700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Válasz:
NOC(441,700)=44100.
Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkké alakításával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkhöz, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..
Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, amelyek prímtényezőkre való felosztása a következő: 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2·3·5·5·7 szorzatot kapjuk, melynek értéke: egyenlő: LCM(75; 210).
Példa.
Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Először megkapjuk a 84-es és 648-as számok prímtényezőkre történő felbontását. Így néznek ki: 84=2·2·3·7 és 648=2·2·2·3·3·3·3. A 84-es szám bővítéséből származó 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 648-as szám bővítéséből hiányzó 2, 3, 3 és 3-as tényezőket, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.
Válasz:
LCM(84,648)=4536.
Három vagy több szám LCM-jének megkeresése
Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse két szám LCM-jének szekvenciális meghatározásával kereshető meg. Emlékezzünk vissza a megfelelő tételre, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.
Tétel.
Legyenek adottak pozitív egész számok a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszörösét az m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a ) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Nézzük meg ennek a tételnek az alkalmazását a négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.
Példa.
Keresse meg négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.
Megoldás.
Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Először megtaláljuk m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a GCD(140, 9) értéket, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ezért GCD(140, 9)=1 , honnan GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1260. Azaz m 2 =1 260.
Most megtaláljuk m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Számítsuk ki a GCD(1 260, 54) függvényen keresztül, amit szintén az euklideszi algoritmussal határozunk meg: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Ekkor gcd(1,260,54)=18, ebből gcd(1,260,54)=1,260·54:gcd(1,260,54)=1,260·54:18=3,780. Vagyis m 3 = 3 780.
Már csak meg kell találni m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780; 250). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3,780, 250) értéket: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Ezért GCM(3780;250)=10, innen GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780; 250)= 3780·250:10=94500. Azaz m 4 =94 500.
Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.
Válasz:
LCM(140;9;54;250)=94500.
Sok esetben célszerű megtalálni három vagy több szám legkisebb közös többszörösét az adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben be kell tartania a következő szabályt. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.
Nézzünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a prímtényezős rendszer használatával.
Példa.
Keresse meg az öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.
Megoldás.
Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felbontását: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 prímszám, egybeesik prímtényezőkre való bontásával) és 143=11·13.
Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es faktorokhoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a második 6-os szám bővítéséből. A 6-os szám dekompozíciója nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám felbontásában már a 2-es és a 3-as is jelen van. Ezután a 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. A következő lépésben nem kell ehhez a halmazhoz szorzót hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2-es, 2-es, 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 143-as szám bővítéséből hiányzó 11-es és 13-as tényezőket. A 2·2·2·2·3·7·11·13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.
Nézzünk meg három módszert a legkisebb közös többszörös megtalálására.
Megkeresés faktorizációval
Az első módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása úgy, hogy a megadott számokat prímtényezőkké alakítjuk.
Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő számok LCM-jét: 99, 30 és 28. Ehhez vegyük figyelembe ezeket a számokat prímtényezőkké:
Ahhoz, hogy a kívánt szám osztható legyen 99-cel, 30-cal és 28-cal, szükséges és elegendő, hogy tartalmazza ezen osztók összes prímtényezőjét. Ehhez a számok összes prímtényezőjét a lehető legnagyobb hatványra kell venni, és össze kell szorozni:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Így az LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860-nál kisebb számok nem oszthatók 99-cel, 30-cal vagy 28-cal.
Adott számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához vegye be őket prímtényezőikbe, majd vegyen minden prímtényezőt a legnagyobb kitevővel, és szorozza meg ezeket a tényezőket.
Mivel a relatív prímszámoknak nincs közös prímtényezője, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 viszonylag prímszám. Ezért
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Ugyanezt kell tenni a különböző prímszámok legkisebb közös többszörösének megtalálásakor is. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Keresés kiválasztással
A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása kiválasztással.
1. példa Ha az adott számok közül a legnagyobbat elosztjuk egy másik adott számmal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő a legnagyobb számmal. Például adott négy szám: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60-al, ezért:
LCM(60; 30; 10; 6) = 60
Más esetekben a legkisebb közös többszörös megtalálásához a következő eljárást kell alkalmazni:
- Határozza meg a megadott számok közül a legnagyobb számot!
- Ezután megkeressük azokat a számokat, amelyek a legnagyobb szám többszörösei úgy, hogy növekvő sorrendben megszorozzuk a természetes számokkal, és ellenőrizzük, hogy a kapott szorzat osztható-e a fennmaradó adott számokkal.
2. példa Adott három szám: 24, 3 és 18. Meghatározzuk közülük a legnagyobbat - ez a 24. Ezután megkeressük azokat a számokat, amelyek 24 többszörösei, és ellenőrizzük, hogy mindegyik osztható-e 18-mal és 3-mal:
24 · 1 = 24 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.
24 · 2 = 48 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.
24 · 3 = 72 - osztható 3-mal és 18-cal.
Így az LCM (24, 3, 18) = 72.
Megkeresés az LCM szekvenciális megkeresésével
A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM szekvenciális megkeresésével.
Két adott szám LCM-je egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával, osztva a legnagyobb közös osztóval.
Példa 1. Keresse meg két megadott szám LCM-jét: 12 és 8. Határozza meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozd meg ezeket a számokat:
A terméket elosztjuk a gcd-jükkel:
Így az LCM (12, 8) = 24.
A három vagy több szám LCM-jének megkereséséhez kövesse az alábbi eljárást:
- Először keresse meg ezen számok bármelyikének LCM-jét.
- Ezután a talált legkisebb közös többszörös és a harmadik megadott szám LCM-je.
- Ezután a kapott legkisebb közös többszörös és a negyedik szám LCM-je stb.
- Így az LCM keresése addig folytatódik, amíg vannak számok.
2. példa Keresse meg az LCM-et három adat számok: 12, 8 és 9. Az előző példában már megtaláltuk a 12-es és 8-as számok LCM-jét (ez a 24-es szám). Meg kell találni a 24 szám legkisebb közös többszörösét és a harmadik adott számot - 9. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (24, 9) = 3. Szorozzuk meg az LCM-et 9-cel:
A terméket elosztjuk a gcd-jükkel:
Így az LCM (12, 8, 9) = 72.
Hasonló cikkek
