Rájöttünk, hogy valójában mi is egy szám hatványa. Most meg kell értenünk, hogyan kell helyesen kiszámítani, pl. a számokat hatványokra emelni. Ebben az anyagban a fokszámítás alapvető szabályait elemezzük egész, természetes, tört, racionális és irracionális kitevők esetén. Minden definíciót példákkal illusztrálunk.

A hatványozás fogalma

Kezdjük az alapvető definíciók megfogalmazásával.

1. definíció

Hatványozás- ez egy bizonyos szám hatványértékének kiszámítása.

Vagyis a „hatalom értékének kiszámítása” és a „hatalommá emelés” szavak ugyanazt jelentik. Tehát, ha a feladat azt mondja: „Emelje fel a 0, 5 számot az ötödik hatványra”, akkor ezt úgy kell érteni, hogy „számítsa ki a (0, 5) 5 hatvány értékét.

Most bemutatjuk azokat az alapvető szabályokat, amelyeket be kell tartani az ilyen számítások elvégzésekor.

Emlékezzünk arra, hogy mi a természetes kitevővel rendelkező szám hatványa. Egy a bázisú és n kitevővel rendelkező hatvány esetén ez az n-edik tényező szorzata lesz, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezt így lehet írni:

Egy fok értékének kiszámításához szorzási műveletet kell végrehajtani, vagyis a fok alapjait meg kell szorozni a megadott számú alkalommal. A természetes kitevővel rendelkező fokozat fogalma a gyors szorzás képességén alapul. Mondjunk példákat.

1. példa

Feltétel: emelés - 2 4-es fokozatra.

Megoldás

A fenti definíciót felhasználva a következőket írjuk: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Ezután csak követnünk kell ezeket a lépéseket, és megkapjuk a 16-ot.

Vegyünk egy bonyolultabb példát.

2. példa

Számítsa ki a 3 2 7 2 értéket!

Megoldás

Ez a bejegyzés átírható a következőre: 3 2 7 · 3 2 7 . Korábban megnéztük, hogyan lehet helyesen szorozni a feltételben említett vegyes számokat.

Végezzük el ezeket a lépéseket, és megkapjuk a választ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ha a probléma azt jelzi, hogy az irracionális számokat természetes hatványra kell emelni, akkor először az alapjaikat kell kerekítenünk arra a számjegyre, amely lehetővé teszi számunkra, hogy a kívánt pontosságú választ kapjuk. Nézzünk egy példát.

3. példa

Hajtsa végre a π négyzetét.

Megoldás

Először kerekítsük századokra. Ekkor π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ha π ≈ 3. 14159, akkor pontosabb eredményt kapunk: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vegye figyelembe, hogy a gyakorlatban viszonylag ritkán merül fel az irracionális számok hatványainak kiszámításának szükségessége. A választ ezután felírhatjuk magának az (ln 6) 3 hatványnak, vagy ha lehetséges átváltjuk: 5 7 = 125 5 .

Külön meg kell adni, hogy mi egy szám első hatványa. Itt egyszerűen emlékezhet arra, hogy az első hatványra emelt szám önmaga marad:

Ez a felvételből kiderül .

Nem a végzettségtől függ.

4. példa

Tehát (− 9) 1 = − 9, és az első hatványra emelt 7 3 egyenlő marad 7 3-mal.

Az egyszerűség kedvéért három esetet vizsgálunk meg külön: ha a kitevő pozitív egész szám, ha nulla és ha negatív egész szám.

Az első esetben ez ugyanaz, mint a természetes hatványra emelés: elvégre a pozitív egész számok a természetes számok halmazához tartoznak. Arról már beszéltünk, hogyan lehet ilyen végzettséggel dolgozni.

Most nézzük meg, hogyan kell helyesen nullára emelni. A nullától eltérő bázis esetén ez a számítás mindig 1-et ad ki. Korábban elmagyaráztuk, hogy a 0. hatványa bármely valós számra definiálható, amely nem egyenlő 0-val, és a 0 = 1.

5. példa

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nincs meghatározva.

Nekünk csak az egész szám negatív kitevőjű fok esete marad. Korábban már tárgyaltuk, hogy az ilyen fokok felírhatók 1 a z törtként, ahol a tetszőleges szám, z pedig negatív egész szám. Látjuk, hogy ennek a törtnek a nevezője nem más, mint egy közönséges hatvány pozitív egész kitevővel, és már megtanultuk, hogyan kell kiszámítani. Mondjunk példákat a feladatokra!

6. példa

Emelje fel a 2-t a - 3-ra.

Megoldás

A fenti definíciót használva ezt írjuk: 2 - 3 = 1 2 3

Számítsuk ki ennek a törtnek a nevezőjét, és kapjuk 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Ekkor a válasz: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. példa

Emelj 1,43-at a -2 hatványra.

Megoldás

Fogalmazzuk újra: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Kiszámoljuk a négyzetet a nevezőben: 1,43·1,43. A tizedesek a következőképpen szorozhatók:

Ennek eredményeként (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 lett. Nem kell mást tennünk, mint közönséges tört alakban felírni ezt az eredményt, amihez meg kell szoroznunk 10 ezerrel (lásd a törtek konvertálásáról szóló anyagot).

Válasz: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Egy speciális eset egy szám felemelése a mínusz első hatványra. Ennek a foknak az értéke egyenlő az alap eredeti értékének reciprokával: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

8. példa

Példa: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hogyan emeljünk egy számot tört hatványra

Egy ilyen művelet végrehajtásához emlékeznünk kell a törtkitevővel rendelkező fok alapvető definíciójára: a m n = a m n bármely pozitív a, egész m és természetes n esetén.

2. definíció

Így a törthatvány számítását két lépésben kell elvégezni: egész hatványra emelni és megkeresni az n-edik hatvány gyökerét.

Megvan az a m n = a m n egyenlőség, amelyet a gyökök tulajdonságait figyelembe véve általában a m n = a n m alakban használunk feladatok megoldására. Ez azt jelenti, hogy ha egy a számot m / n törthatványra emelünk, akkor először az a n-edik gyökét vesszük fel, majd az eredményt m egész kitevőjű hatványra emeljük.

Illusztráljuk egy példával.

9. példa

Számíts ki 8 - 2 3 .

Megoldás

1. módszer. Az alapdefiníció szerint ezt a következőképpen ábrázolhatjuk: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Most számítsuk ki a gyökér alatti fokot, és vonjuk ki a harmadik gyökért az eredményből: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. módszer. Alakítsa át az alapegyenlőséget: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Ezt követően kivonjuk a 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 gyökért, és az eredményt négyzetre emeljük: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Látjuk, hogy a megoldások azonosak. Bármilyen módon használhatod.

Vannak esetek, amikor a fokozatnak van egy vegyes számmal vagy tizedes törttel kifejezett mutatója. A számítások megkönnyítése érdekében jobb, ha kicseréli közönséges törtés számoljon a fentiek szerint.

10. példa

Emelje fel a 44, 89-et 2, 5 hatványára.

Megoldás

A mutató értékét alakítsuk át közönséges tört: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Most sorrendben végrehajtjuk az összes fent jelzett műveletet: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 13071 =2010501 13 501, 25107

Válasz: 13 501, 25107.

Ha egy tört kitevő számlálója és nevezője nagy számokat tartalmaz, akkor az ilyen kitevők kiszámítása racionális kitevőkkel meglehetősen nehéz feladat. Általában számítástechnikát igényel.

Nézzük külön-külön a nullabázisú és a törtkitevős hatványokat. Egy 0 m n alakú kifejezés a következő jelentéssel bírhat: ha m n > 0, akkor 0 m n = 0 m n = 0; ha m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hogyan emeljünk egy számot irracionális hatványra

Annak a hatványnak az értékének kiszámításának szükségessége, amelynek kitevője irracionális szám, nem túl gyakran fordul elő. A gyakorlatban a feladat általában egy közelítő érték kiszámítására korlátozódik (bizonyos számú tizedesjegyig). Ezt az ilyen számítások bonyolultsága miatt általában számítógépen számolják ki, ezért ebben nem térünk ki részletesen, csak a főbb rendelkezéseket jelezzük.

Ha az a hatvány értékét irracionális a kitevővel kell kiszámítanunk, akkor a kitevő decimális közelítését vesszük, és abból számolunk. Az eredmény hozzávetőleges válasz lesz. Minél pontosabb a decimális közelítés, annál pontosabb a válasz. Mutassuk meg egy példával:

11. példa

Számítsd ki 2 közelítését 1,174367 hatványához....

Megoldás

Korlátozzuk magunkat az a n = 1, 17 decimális közelítésre. Végezzünk számításokat ezzel a számmal: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ha vesszük például az a n = 1, 1743 közelítést, akkor a válasz egy kicsit pontosabb lesz: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Fokozatképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokozatainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Minden fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó hányadával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy osztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely szám hatványa, nem egyenlő nullával, nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

Amikor a szám megsokszorozza magát magamnak, munka hívott fokozat.

Tehát 2,2 = 4, 2 négyzete vagy második hatványa
2.2.2 = 8, kocka vagy harmadik hatvány.
2.2.2.2 = 16, negyedik fok.

Továbbá 10,10 = 100, a 10 második hatványa.
10.10.10 = 1000, harmadfok.
10.10.10.10 = 10000 negyedik hatvány.

És a.a = aa, a második hatványa
a.a.a = aaa, a harmadik hatványa
a.a.a.a = aaaa, a negyedik hatványa

Az eredeti számot hívják gyökér ennek a számnak a hatványai, mert ez az a szám, amelyből a hatványokat létrehozták.

Ez azonban nem teljesen kényelmes, különösen abban az esetben magas fokok, írd le a fokokat alkotó összes tényezőt. Ezért gyorsírási módszert alkalmazunk. A fokozat gyöke csak egyszer van írva, jobbra és a közelében egy kicsit feljebb, de valamivel kisebb betűtípussal, hányszor a gyökér tényezőként működik. Ezt a számot vagy betűt hívják kitevő vagy fokozat számok. Tehát a 2 egyenlő a.a-val vagy aa-val, mivel az a gyöket kétszer kell megszorozni önmagával, hogy megkapjuk az aa hatványt. Ezenkívül a 3 azt jelenti, hogy aaa, vagyis itt a ismétlődik háromszor szorzóként.

Az első fok kitevője 1, de általában nem írják le. Tehát egy 1-et a-ként írunk.

A fokozatokat nem szabad összetéveszteni együtthatók. Az együttható megmutatja, hogy milyen gyakran veszi az értéket Rész az egész. A teljesítmény azt mutatja, hogy egy mennyiséget milyen gyakran vesznek fel tényező munkában.
Tehát 4a = a + a + a + a. De a 4 = a.a.a.a

A hatványjelölési séma sajátos előnye, hogy lehetővé teszi számunkra a kifejezést ismeretlen fokozat. Ebből a célból szám helyett a kitevőt írjuk levél. A probléma megoldása során olyan mennyiséget kaphatunk, amelyről tudjuk néhány más nagyságrendű fok. De egyelőre nem tudjuk, hogy négyzet, kocka vagy más, magasabb fokozat. Tehát az a x kifejezésben a kitevő azt jelenti, hogy ez a kifejezés rendelkezik néhány fokozat, bár nem definiált milyen fokon. Tehát b m és d n felemelkedik m és n hatványaira. Ha megtaláltuk a kitevőt, szám betű helyett be van cserélve. Tehát, ha m=3, akkor b m = b 3 ; de ha m = 5, akkor b m =b 5.

Használatkor nagy előnyt jelent az értékek írásmódja is a hatalom használatával kifejezéseket. Így (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), vagyis az (a + b + d) trinom kockája . De ha ezt a kifejezést kockává emelés után írjuk le, akkor így fog kinézni
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ha veszünk egy olyan hatványsorozatot, amelynek kitevője 1-gyel nő vagy csökken, akkor azt találjuk, hogy a szorzat növekszik közös szorzó vagy vel csökken közös osztó , és ez a tényező vagy osztó az eredeti szám, amelyet hatványra emelünk.

Tehát a sorozatban aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
vagy 5, 4, 3, 2, 1;
a mutatók, ha jobbról balra számoljuk, 1, 2, 3, 4, 5; és értékeik különbsége 1. Ha elkezdjük jobb oldalon szaporodnak a-val sikeresen több értéket kapunk.

Tehát a.a = a 2 , második tag. És a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , harmadik tag. a 4 .a = a 5 .

Ha elkezdjük bal feloszt a,
kapunk egy 5:a = a 4 és egy 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

De ez a felosztási folyamat tovább folytatható, és új értékrendet kapunk.

Tehát a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

A teljes sor a következő lenne: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Vagy 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Itt vannak az értékek jobb oldalon az egyikből van fordítottértékek egytől balra. Ezért ezeket a fokozatokat nevezhetjük inverz hatványok a. Azt is mondhatjuk, hogy a bal oldali hatványok a jobb oldali hatványok inverzei.

Tehát 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. És 1:(1/a 3) = a 3.

Ugyanaz a felvételi terv alkalmazható polinomok. Tehát a + b esetén azt a halmazt kapjuk,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

A kényelem kedvéért a kölcsönös erők írásának egy másik formáját használják.

E forma szerint 1/a vagy 1/a 1 = a -1 . És 1/aaa vagy 1/a 3 = a -3 .
1/aa vagy 1/a 2 = a -2. 1/aaaa vagy 1/a 4 = a -4 .

És ahhoz, hogy egy teljes sorozatot hozzunk létre, amelyben az 1 a kitevők teljes különbsége, az a/a vagy az 1 olyan dolognak tekinthető, amelynek nincs fokozata, és 0-val írjuk.

Ezután figyelembe véve a közvetlen és inverz hatványokat
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa helyett
írhat 4-et, 3-at, 2-t, 1-et, 0-t, -1-et, -2-t, -3-at, -4-et.
Vagy a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

És a csak egyedi diplomák sorozata így fog kinézni:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Egy fok gyökere egynél több betűvel is kifejezhető.

Így aa.aa vagy (aa) 2 az aa második hatványa.
És aa.aa.aa vagy (aa) 3 az aa harmadik hatványa.

Az 1-es szám minden hatványa azonos: 1.1 vagy 1.1.1. egyenlő lesz 1-gyel.

A hatványozás azt jelenti, hogy bármely szám értékét úgy találjuk meg, hogy a számot megszorozzuk önmagával. A hatványozás szabálya:

Szorozza meg a mennyiséget önmagával annyiszor, amennyit a szám hatványa jelez.

Ez a szabály közös minden olyan példában, amely a hatványozás folyamata során felmerülhet. De helyes magyarázatot adni arra vonatkozóan, hogy ez hogyan vonatkozik bizonyos esetekben.

Ha csak egy tagot emelünk hatványra, akkor azt annyiszor szorozzuk meg önmagával, amennyit a kitevő jelzi.

A negyedik hatványa 4 vagy aaaa. (195. cikk)
Az y hatodik hatványa y 6 vagy yyyyyy.
Az x N-edik hatványa x n vagy xxx..... n-szer megismétlődik.

Ha több kifejezésből álló kifejezést kell hatványra emelni, akkor az az elv, hogy több tényező szorzatának hatványa egyenlő ezen tényezők hatványra emelt szorzatával.

Tehát (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = y.ay.
De ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Tehát (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Ezért egy termék erejének megtalálásakor vagy a teljes termékkel egyszerre, vagy az egyes tényezőkkel külön-külön, majd ezek értékét megszorozzuk a hatványokkal.

1. példa A dhy negyedik hatványa (dhy) 4 vagy d 4 h 4 y 4.

2. példa A harmadik hatvány 4b, van (4b) 3, vagy 4 3 b 3 vagy 64b 3.

3. példa 6ad N-edik hatványa (6ad) n vagy 6 n a n d n.

4. példa 3m.2y harmadik hatványa (3m.2y) 3 vagy 27m 3 .8y 3.

A + és - által összekapcsolt tagokból álló binomiális mértékét a tagok szorzásával számítjuk ki. Igen,

(a + b) 1 = a + b, első fok.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, második hatvány (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, harmadik hatvány.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, negyedik hatvány.

Az a - b négyzete a 2 - 2ab + b 2.

Az a + b + h négyzete a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1. feladat Keresse meg az a + 2d + 3 kockát!

2. feladat. Határozzuk meg b + 2 negyedik hatványát!

3. feladat Határozza meg x + 1 ötödik hatványát!

4. gyakorlat. Keresse meg a hatodik hatványt 1 - b.

Összeg négyzetek összegeketÉs különbségek a binomiálisok olyan gyakran előfordulnak az algebrában, hogy nagyon jól ismerni kell őket.

Ha a + h-t megszorozzuk önmagával vagy a -h-t önmagával,
kapjuk: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 is, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ebből jól látható, hogy minden esetben az első és az utolsó tag a és h négyzete, a középső tag pedig a és h szorzatának kétszerese. Innentől a binomiálisok összegének és különbségének négyzete a következő szabály segítségével meghatározható.

Egy binomiális négyzete, amelynek mindkét tagja pozitív, egyenlő az első tag négyzete + mindkét tag szorzatának kétszerese + az utolsó tag négyzete.

Négyzet különbségek binomiális egyenlő az első tag négyzetével mínusz mindkét tag szorzatának kétszerese plusz a második tag négyzete.

1. példa: 2a + b négyzet, van 4a 2 + 4ab + b 2.

2. példa: Ab + cd négyzet, van egy 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

3. példa: 3d - h négyzet, van 9d 2 + 6dh + h 2.

4. példa Az a - 1 négyzet 2 - 2a + 1.

A binomiálisok magasabb hatványainak meghatározására szolgáló módszert lásd a következő szakaszokban.

Sok esetben hatásos az írás fokon szorzás nélkül.

Tehát a + b négyzete (a + b) 2.
A bc + 8 + x N-edik hatványa (bc + 8 + x) n

Ilyenkor a zárójel takar Minden fokozat alatti tagok.

De ha a fok gyöke többből áll szorzók, a zárójelek lefedhetik a teljes kifejezést, vagy kényelmességtől függően külön is alkalmazhatók a tényezőkre.

Így az (a + b)(c + d) négyzet vagy [(a + b).(c + d)] 2 vagy (a + b) 2 .(c + d) 2.

E kifejezések közül az elsőnél az eredmény két tényező szorzatának négyzete, a másodiknál ​​pedig a négyzeteinek szorzata. De egyenlőek egymással.

Az a.(b + d) kocka 3, vagy a 3.(b + d) 3.

Figyelembe kell venni az érintett tagok előtti táblát is. Nagyon fontos emlékezni arra, hogy ha egy diploma gyökere pozitív, akkor minden pozitív ereje is pozitív. De ha a gyökér negatív, az értékek együtt páratlan a hatványok negatívak, míg az értékek még fokok pozitívak.

A második fokozat (-a) +a 2
A harmadik fokozat (-a) az -a 3
A negyedik hatvány (-a) +a 4
Az ötödik hatvány (-a) az -a 5

Ezért bármelyik páratlan a fokozat azonos előjelű a számmal. De még a fokozat pozitív, függetlenül attól, hogy a szám negatív vagy pozitív előjelű.
Tehát +a.+a = +a 2
És -a.-a = +a 2

A már hatványra emelt mennyiséget a kitevők szorzásával ismét hatványsá emeljük.

A 2 harmadik hatványa a 2,3 = a 6.

Ha a 2 = aa; az aa kocka aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; ami a hatodik hatványa, de a 2 harmadik hatványa.

A 3 b 2 negyedik hatványa a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A 4a 2 x harmadik hatványa 64a 6 x 3.

Az (a + b) 2 ötödik hatványa (a + b) 10.

A 3 N-edik hatványa egy 3n

(x - y) m N-edik hatványa (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 óra 4) 3 = a 9 b 6 óra 12

A szabály ugyanúgy vonatkozik negatív fokon.

1. példa A -2 harmadik hatványa a -3.3 =a -6.

A -2 esetén = 1/aa, és ennek a harmadik hatványa
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A 2 b -3 negyedik hatványa a 8 b -12 vagy a 8 /b 12 .

A négyzet b 3 x -1, van b 6 x -2.

Az ax -m N-edik hatványa x -mn vagy 1/x.

Itt azonban emlékeznünk kell arra, hogy ha a jel előző fok "-", akkor azt "+"-ra kell változtatni, ha a fok páros szám.

Példa 1. Az -a 3 négyzet +a 6. Az -a 3 négyzete -a 3 .-a 3, ami az előjelek szorzási szabályai szerint +a 6.

2. De az -a 3 kocka az -a 9. -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 esetén.

3. Az N-edik hatvány -a 3 egy 3n.

Itt az eredmény lehet pozitív vagy negatív attól függően, hogy n páros vagy páratlan.

Ha töredék Hatványra emeljük, majd a számlálót és a nevezőt hatványra emeljük.

Az a/b négyzete a 2 /b 2 . A törtek szorzásának szabálya szerint
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Az 1/a második, harmadik és n-edik hatványa 1/a 2, 1/a 3 és 1/a n.

Példák binomiálisok, amelyben az egyik kifejezés egy tört.

1. Keresse meg x + 1/2 és x - 1/2 négyzetét.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Az a + 2/3 négyzete a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Négyzet x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Az x - b/m négyzete x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Korábban azt mutatták be törtegyütthatóáthelyezhető a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba. A kölcsönös erők írásának sémáját használva egyértelmű, hogy bármilyen szorzó mozgatható is, ha a fokozat előjele megváltozik.

Tehát az ax -2 /y törtben áthelyezhetjük x-et a számlálóból a nevezőbe.
Ekkor ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2.

Az a/3-mal törtben y-t a nevezőből a számlálóba léptethetünk.
Ekkor a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Ugyanígy áthelyezhetünk egy pozitív kitevővel rendelkező tényezőt a számlálóba, vagy egy negatív kitevővel rendelkező tényezőt a nevezőbe.

Tehát ax 3 /b = a/bx -3. x 3 esetén az inverz x -3 , ami x 3 = 1/x -3 .

Ezért bármely tört nevezője teljesen eltávolítható, vagy a számláló egyre csökkenthető anélkül, hogy a kifejezés jelentése megváltozna.

Tehát a/b = 1/ba -1 vagy ab -1 .

A számológép segítségével gyorsan online hatványra emelheti a számokat. A fokszám alapja tetszőleges szám lehet (egész és valós szám egyaránt). A kitevő lehet egész vagy valós szám, valamint pozitív vagy negatív is. Emlékeztetni kell arra, hogy azért negatív számok a nem egész hatványra való emelés nem definiált, ezért a számológép hibát jelez, ha megpróbálja megtenni.

Fokozat-kalkulátor

Emelkedjen hatalomra

Hatványozás: 94722

Mi egy szám természetes hatványa?

A p számot egy szám n-edik hatványának nevezzük, ha p egyenlő az a szám n-szeres szorzatával: p = a n = a·...·a
n - hívott kitevő, és az a szám az fokozat alapján.

Hogyan emeljünk egy számot természetes hatványra?

Hogy megértsük, hogyan kell építeni különböző számok a természetes erőkre nézve, nézzünk meg néhány példát:

1. példa. Emelje fel a hármas számot a negyedik hatványra. Vagyis ki kell számolni 3 4-et
Megoldás: mint fentebb említettük, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Válasz: 3 4 = 81 .

2. példa. Emelje fel az ötös számot az ötödik hatványra. Vagyis ki kell számolni 5 5-öt
Megoldás: hasonlóképpen 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Válasz: 5 5 = 3125 .

Így ahhoz, hogy egy számot természetes hatványra emeljünk, csak meg kell szorozni önmagával n-szer.

Mi egy szám negatív hatványa?

Az a negatív -n hatványa osztva a-val n hatványával: a -n = .

Ebben az esetben negatív hatvány csak a nullától eltérő számoknál létezik, mert különben nullával való osztás történne.

Hogyan emeljünk egy számot negatív egész hatványra?

Egy nem nulla szám negatív hatványra emeléséhez ki kell számítania ennek a számnak az értékét ugyanarra a pozitív hatványra, és el kell osztania egyet az eredménnyel.

1. példa. Emelje fel a kettes számot a negatív negyedik hatványra. Vagyis 2 -4-et kell számolni

Megoldás: a fentiek szerint 2 -4 = = = 0,0625.

Válasz: 2 -4 = 0.0625 .

Hasonló cikkek