Interpolációs képletek Lagrange, Newton és Stirling stb., ha nagyszámú interpolációs csomópontot használunk a teljes szegmens mentén [ a, b] gyakran rossz közelítéshez vezet a számítási folyamat során felhalmozódó hibák miatt. Ráadásul az interpolációs folyamat divergenciája miatt a csomópontok számának növelése nem feltétlenül javítja a pontosságot. A hibák csökkentése érdekében a teljes szegmens [ a, b] részleges szegmensekre van osztva, és mindegyiken a függvényt megközelítőleg egy alacsony fokú polinom helyettesíti. Ez az úgynevezett darabonkénti polinom interpoláció.

Az egyik interpolációs módszer a teljes szegmensre [ a, b] van spline interpoláció.

Spline egy darabonkénti polinom függvény, amely a [ a, b], és ezen a szegmensen bizonyos számú folytonos derivált van. A spline interpoláció előnyei a hagyományos interpolációs módszerekhez képest a számítási folyamat konvergenciája és stabilitása.

Tekintsük a gyakorlatban az egyik leggyakoribb esetet - egy függvény interpolációját köbös spline.
Legyen a szegmens [ a, b] adott folyamatos funkció. Mutassuk be a szegmens egy partícióját:

és jelölje, .

Egy adott függvénynek és interpolációs csomópontoknak (6) megfelelő spline olyan függvény, amely teljesíti a következő feltételeket:

1) minden szakaszon a függvény egy köbös polinom;

2) a függvény, valamint első és második deriváltja folytonos a [ a, b] ;

A harmadik feltétel az ún interpolációs feltétel. Az 1) – 3) feltételek által meghatározott spline-t hívjuk interpoláló köbös spline.

Tekintsünk egy módszert egy köbös spline felépítésére.

Az egyes szegmenseken Egy spline függvényt keresünk harmadfokú polinom formájában:

(7)

Ahol a szükséges együtthatók.

Különböztessük meg a (7)-et háromszor x:

honnan következik

A 3) interpolációs feltételből kapjuk:

A függvény folytonosságának feltételeiből következik.

2.2 Interpoláció köbös spline használatával

Egy adott f(x) függvénynek és adott x i csomópontoknak megfelelő köbös interpolációs spline egy S(x) függvény, amely teljesíti a következő feltételeket:

1. Minden szegmensen, i = 1, 2, ..., N, az S(x) függvény egy harmadfokú polinom,

2. Az S(x) függvény, valamint első és második deriváltja folytonos az intervallumon,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Az i = 1, 2, ..., N szegmensek mindegyikén az S(x) = S i (x) függvényt keressük harmadfokú polinom formájában:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i ,

ahol a i, b i, c i, d i mind az n elemi szegmensen meghatározandó együtthatók. Tehát a rendszer algebrai egyenletek volt megoldása, az egyenletek számának pontosan meg kell egyeznie az ismeretlenek számával. Ezért 4n egyenletet kell kapnunk.

Az első 2n egyenletet abból a feltételből kapjuk, amelyen az S(x) függvény grafikonjának át kell mennie adott pontokat, azaz

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Ezek a feltételek a következőképpen írhatók fel:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i ,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

A következő 2n - 2 egyenletek az első és a második derivált folytonossági feltételéből az interpolációs csomópontokban következnek, azaz a görbe simaságának feltételéből minden pontban.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Minden belső csomóponton x = x i egyenlővé téve ezeknek a deriváltaknak a csomóponttól balra és jobbra eső intervallumokban számított értékeit, megkapjuk (figyelembe véve h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

ha x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

Ebben a szakaszban 4n ismeretlen és 4n - 2 egyenletünk van. Ezért még két egyenletet kell találni.

Ha a végek lazán vannak rögzítve, a vonal görbülete ezeken a pontokon nullára állítható. A végének nulla görbületének feltételeiből az következik, hogy a második derivált ezeken a pontokon nullával egyenlő:

S 1 (x 0) = 0 és S n (x n) = 0,

c i = 0 és 2 c n + 6 d n h n = 0.

Az egyenletek lineáris algebrai egyenletrendszert alkotnak 4n együttható meghatározására: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, . . ., n).

Ez a rendszer kényelmesebb formába hozható. A feltételből azonnal megtalálhatja az összes együtthatót a i.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Behelyettesítve a következőket kapjuk:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

A b i és d i együtthatókat kizárjuk az egyenletből. Végül a következő egyenletrendszert kapjuk csak az i együtthatókra:

c 1 = 0 és c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Az i-vel talált együtthatókból könnyen kiszámítható d i,b i.

Integrálok számítása Monte Carlo módszerrel

Ez a szoftvertermék lehetővé teszi, hogy további korlátozásokat állítson be az integrálási területre két kétdimenziós spline felülettel (a 3-as dimenzió integrálási funkciójához)...

Függvényinterpoláció

Adjuk meg az f(xi) = yi () függvényértékek táblázatát, amelyben ezek az argumentumértékek növekvő sorrendjében vannak elrendezve: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Spline interpoláció

Ismerkedjünk meg a program algoritmusával. 1. Számítsa ki az értékeket és 2. Ezen értékek alapján számítsa ki a futási együtthatókat és az o-t. 3. A kapott adatok alapján kiszámítjuk a 4...

Matematikai modellezés műszaki tárgyak

A beépített MathCAD függvények lehetővé teszik az interpolációt különböző bonyolultságú görbék kísérleti pontokon keresztül történő rajzolásához. Lineáris interpoláció...

Függvényközelítési módszerek

Minden szegmensben interpolációs polinom egyenlő egy állandóval, nevezetesen a függvény bal vagy jobb értékével. Bal oldali darabonkénti lineáris interpoláció esetén F(x)= fi-1, ha xi-1 ?x

Függvényközelítési módszerek

Minden intervallumon a függvény lineáris Fi(x)=kix+li. Az együttható értékeket a szegmens végén található interpolációs feltételek teljesítésével találjuk meg: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Egyenletrendszert kapunk: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, ahonnan ki=li= fi- kixi...

Lineáris egyenletrendszer megoldási módszerei. Interpoláció

Az interpolációs probléma megállapítása. Az intervallumon egy xi, i=0,1,…,N pontrendszer (interpolációs csomópontok) van megadva; a? x i ? b, és ezeken a csomópontokon az ismeretlen függvény értékei fn i=0,1,2,…,N. A következő feladatokat lehet beállítani: 1) Szerkessze meg az F (x)... függvényt...

Differenciálegyenlet megoldásának folyamatát leíró matematikai modell felépítése

3.1 A Lagrange interpolációs polinom felépítése és az értékek sűrítése A probléma megoldásának kézenfekvő módszere az ѓ(x) értékeinek kiszámítása a ѓ függvény analitikai értékei alapján. Ennek érdekében - az első információk szerint...

Ha ezek hatványok (1, x, x2, ..., xn), akkor algebrai interpolációról beszélünk, és a függvényt interpolációs polinomnak nevezzük, és így jelöljük: (4) Ha () (5), akkor tudjuk konstruálni egy n fokú interpolációs polinomot, és ráadásul csak egy...

Sima függvények interpolációjának gyakorlati alkalmazása

Nézzünk egy példát halmazelemek interpolációjára. Az egyszerűség és a rövidség kedvéért vegyük =[-1;1], . Legyen a pontok különböznek egymástól. Tegyük fel a következő problémát: (12) alkossunk egy polinomot, amely kielégíti ezeket a feltételeket...

Numerikus módszerek alkalmazása matematikai problémák megoldására

Numerikus módszerek

Tehát, mint fentebb említettük, az interpoláció feladata egy olyan polinom megtalálása, amelynek gráfja átmegy az adott pontokon. Adjuk meg az y=f(x) függvényt táblázat segítségével (1. táblázat)...

Numerikus módszerek matematikai feladatok megoldására

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA

Szövetségi Állami Autonóm Oktatási Intézmény

felsőfokú szakmai végzettség

"Oroszország első elnökéről, B. N. Jelcinről elnevezett Urál Szövetségi Egyetem"

Rádióelektronikai és Információtechnológiai Intézet - RTF

Osztály Automatizálás és információs technológia

Spline interpoláció

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK A „Numerikus módszerek” tudományágban végzett laboratóriumi munkákhoz

Összeállította: I.A.Selivanova vezető tanár.

INTERPOLÁCIÓ SPLINE-KEL:Útmutató a gyakorlati órákhoz a „Numerikus módszerek” tudományágban

Az utasítások a 230100 - „Informatika és számítástechnika” irányába tartozó valamennyi tanulmányi forma hallgatói számára készültek.

Ó Szövetségi Állami Autonóm Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Oroszország első elnökéről, B. N. Jelcinről elnevezett Uráli Szövetségi Egyetem", 2011

1. INTERPOLÁCIÓ SPLINE-KEL. 4

1.1. Köbös spline. 4

1.2. A spline írás speciális formája. 5

1.3. Kvadratikus spline. 13

1.4. Gyakorló feladat. 18

1.5. Feladat opciók. 19

Hivatkozások 21

1. Spline interpoláció.

Azokban az esetekben, amikor az intervallum [ a,b], amelyen le szeretné cserélni a funkciót f(x) nagy, akkor spline interpoláció alkalmazható.

1.1. Köbös spline.

Interpolációs spline 3 sorrend - ezek a 3 polinomok darabjaiból álló függvények th rendelés. Az interfész csomópontokon a függvény és annak első és második deriváltjának folytonossága biztosított. A közelítő függvény egyedi polinomokból áll, amelyek általában egyformán kis fokúak, és mindegyik a szakasz saját részén van definiálva.

Legyen a szegmens [ a, b] valós tengely x egy rács van megadva, amelynek csomópontjaiban az értékeket meghatározzák
funkciókat f(x). A szegmensen kell konstruálni [ a, b] folyamatos spline függvény S(x), amely megfelel a következő feltételeknek:

A kívánt spline létrehozásához meg kell találnia az együtthatókat
polinomok
,én=1,… n, azaz 4 n ismeretlen együtthatók, amelyek kielégítik 4 n-2 (1), (2), (3) egyenletek. Ahhoz, hogy az egyenletrendszernek legyen megoldása, két további (perem)feltételt adunk hozzá. Háromféle peremfeltételt használnak:

Az (1), (2), (3) és a (4), (5), (6) feltételek egyike a megrendelés SLAE-jét képezi. 4 n. A rendszer Gauss-módszerrel oldható meg. A köbös polinom írásának speciális formáját választva azonban jelentősen csökkentheti a megoldandó egyenletrendszer sorrendjét.

1.2. A spline írás speciális formája.

Tekintsük a szegmenst
. Vezessük be a következő változó jelöléseket:

Itt
- a szegmens hossza
,

,
- segédváltozók,

x– közbenső pont a szakaszon
.

Amikor x végigfut az intervallum összes értékén
, változó 0 és 1 között változik, és
1 és 0 között változik.

Legyen a köbös polinom
a szegmensen
a következő formában van:

Változók És
egy adott interpolációs szegmenshez viszonyítva határozzák meg.

Határozzuk meg a spline értékét
a szegmens végén
. Pont
a szegmens kiindulópontja
, Ezért =0,
=1 és a (3.8) pontnak megfelelően:
.

A szakasz végén
=1,
=0 és
.

Az intervallumhoz
pont
véges, tehát =1,
=0 és a (9) képletből kapjuk:
. Így a függvény folytonosságának feltétele teljesül S(x) köbös polinomok találkozási pontjainál, függetlenül a számválasztástól  i.

A  i együtthatók meghatározásához, én=0,… n Differenciáljuk (8)-t kétszer komplex függvényeként x. Akkor

Határozzuk meg a spline második deriváltját
És
:

Egy polinomhoz
pont az interpolációs szegmens kezdete és =0,
=1 tehát

A (15)-ből és (16)-ból az következik, hogy a [ a,b A 3. rendű polinomok darabjaiból „összeragasztva” ]spline függvénynek van egy 2. rendű folytonos deriváltja.

Egy függvény első deriváltjának folytonossága S(x), Követeljük meg, hogy a következő feltételek teljesüljenek a belső interpolációs csomópontokban:

Természetes köbös spline-ért
ezért az egyenletrendszer így fog kinézni:

és a (17) egyenletrendszer így fog kinézni:

Példa.

Kiinduló adatok:

Cserélje ki a funkciót
egy interpoláló köbös spline, amelynek értékei adott csomópontokban (lásd a táblázatot) egybeesnek a függvény ugyanazon pontokban lévő értékeivel. Vegye figyelembe a különböző peremfeltételeket.

Számítsuk ki a függvény értékét a csomópontokban! Ehhez helyettesítse be a táblázat értékeit az adott függvénybe.

Különböző peremfeltételekhez (4), (5), (6) megtaláljuk a köbös spline együtthatóit.

Tekintsük az első peremfeltételeket.

A mi esetünkben n=3,
,
,
. Megtalálni
a (3.18) egyenletrendszert használjuk:

Számoljunk És , a (7) és (11) képlet segítségével:

Helyettesítsük be a kapott értékeket az egyenletrendszerbe:

Rendszermegoldás:

Az első peremfeltételeket figyelembe véve a spline együtthatók a következők:

Tekintsük a spline együtthatók meghatározását a peremfeltételek (3.5) figyelembevételével:

Keressük meg a függvény deriváltját
:

Számoljunk
És
:

Helyettesítsük be a (21) egyenletrendszerbe az értékeket És :

A (20) képlet segítségével meghatározzuk  0 és  3:

Konkrét értékek figyelembevételével:

és az együtthatók vektora:

Számítsuk ki az S(x) köbös spline értékeit az interpolációs szakaszok felezőpontjainál.

A szegmensek felezőpontjai:

Az interpolációs szegmensek közepén lévő köbös spline értékének kiszámításához a (7) és (9) képleteket használjuk.

3.1.

meg fogjuk találni És
:

A (3.9) képletben behelyettesítjük az együtthatókat

3.2.

meg fogjuk találni És
:

, a (4), (5), (6) peremfeltételekhez:

3.3.

meg fogjuk találni És
:

A (9) képletben behelyettesítjük az együtthatókat
, a (4), (5), (6) peremfeltételekhez:

Készítsünk egy táblázatot:

(1 kr.kond.)	(2 kredit)	(3 kredit)

Adjuk meg a függvényértékek táblázatát y i csomópontokban x 0 < х 1 < ... < х п .Jelöli h i = x i – x i -1 , én= 1, 2, ... , P.

Spline– adott pontokon áthaladó sima görbe ( x i, y i), i = 0, 1, ... , P. Spline interpoláció hogy minden szegmensen [ x i -1 , x i]egy bizonyos fokú polinomot használunk. Leggyakrabban a harmadfokú polinomot használják, ritkábban a második vagy negyedik. Ebben az esetben a polinomok együtthatóinak meghatározásához az interpolációs csomópontokon a deriváltak folytonosságának feltételeit használjuk.

Interpoláció köbös spline-ekkel helyi interpolációt jelent, ha minden szegmensen [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , P egy köbös görbét használunk, amely kielégít bizonyos simasági feltételeket, nevezetesen magának a függvénynek és annak első és második deriváltjának folytonosságát a csomópontokban. A kockafüggvény használata a következő megfontolások miatt indokolt. Ha feltételezzük, hogy az interpolációs görbe megfelel egy rugalmas vonalzónak, amely a ( x i, y i), akkor az anyagok szilárdságára vonatkozó kurzusból ismert, hogy ez a görbe a differenciálegyenlet megoldásaként van definiálva f(IV) ( x) = 0 a [ intervallumon x i -1 , x i](a bemutatás egyszerűsége érdekében a fizikai méretekkel kapcsolatos kérdéseket nem vesszük figyelembe). Egy ilyen egyenlet általános megoldása egy tetszőleges együtthatós 3-as fokú polinom, amelyet kényelmesen a következő formában írhatunk fel:
S i(x) = és én + b i(x - x i -1) +i-vel(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ x £ x i, i = 1, 2, ... , P.(4.32)

Funkció együtthatók S i(x)a függvény folytonossági feltételeiből, valamint első és második deriváltjai a belső csomópontokon határozzák meg x i,én= 1, 2,..., P - 1.

A (4.32) képletekből at x = x i-1 kapunk

S i(xi- 1) = y i -1 = a i, i = 1, 2,..., P,(4.33)

és mikor x = x i

S i(x i) = és én + b i h i +i h i-vel 2 + d i h i 3 ,(4.34)

én= 1, 2,..., n.

Az interpolációs függvény folytonossági feltételeit a következőképpen írjuk fel S i(x i) = S i -1 (x i), én= 1, 2, ... , n- 1 és a (4.33) és (4.34) feltételekből következik, hogy teljesíthetők.

Keressük meg a függvény deriváltjait S i(x):

S" i(x) =b i + 2i-vel(x - x i -1) + 3di(x – x i -1) 2 ,

S" i(x) = 2c i + 6d i(x - xi -1).

Nál nél x = x i-1, megvan S" i(x i -1) = b i, S" (x i -1) = 2i-vel, és mikor x = x i kapunk

S" i(x i) = b i+ 2i h i-vel+ 3dih i 2 , S" (x i) = 2i +-al 6d i h i.

A deriváltak folytonosságának feltételei vezetnek az egyenletekhez

S" i(x i) =S" i +1 (x i) Þ b i+ 2i h i-vel+ 3dih i 2 = b i +1 ,

én= l, 2,... , P - 1. (4.35)

S" i (x i) = S" i +1 (x i) Þ 2 i +-al 6d i h i= 2c i +1 ,

én= l, 2,..., n- 1. (4.36)

Összesen 4 db van n– 2 egyenlet a 4 meghatározásához n ismeretlen. További két egyenlet előállításához további peremfeltételeket használnak, például azt a követelményt, hogy az interpolációs görbe végpontjaiban nulla görbülettel kell rendelkeznie, azaz a második deriváltnak a szakasz végein nullával kell egyenlőnek lennie [ A, b]A = x 0 , b= x n:

S" 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ Val vel 1 = 0,

S"n(x n) = 2n-nel + 6d n h n = 0 Þ n-nel + 3d n h n = 0. (4.37)

A (4.33)–(4.37) egyenletrendszer leegyszerűsíthető, és előállíthatók a spline-együtthatók számítására szolgáló ismétlődő képletek.

A (4.33) feltételből explicit képleteink vannak az együtthatók kiszámítására a i:

a i = y i -1 , i= 1,..., n. (4.38)

Kifejezzük d i keresztül c i(4.36), (4.37):

; én = 1, 2,...,n; .

Tegyük fel n-nel+1 = 0, majd for d i egy képletet kapunk:

, én = 1, 2,...,n. (4.39)

Cseréljük ki a kifejezéseket és énÉs d i egyenlőségbe (4.34):

, én= 1, 2,..., n.

és kifejezni b i, keresztül i-vel:

, én= 1, 2,..., n. (4.40)

Zárjuk ki az együtthatókat a (4.35) egyenletekből! b iÉs d i(4.39) és (4.40) használatával:

én= 1, 2,..., n -1.

Innen egyenletrendszert kapunk a meghatározásához i-vel:

A (4.41) egyenletrendszer átírható így

Itt kerül bevezetésre a jelölés

, én =1, 2,..., n- 1.

Oldjuk meg a (4.42) egyenletrendszert sweep módszerrel. Az első egyenletből fejezzük ki Val vel 2 keresztül Val vel 3:

c 2 = egy 2 c 3 + b 2 , , . (4,43)

Helyettesítsük be (4.43) a második (4.42) egyenletbe:

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2( h 2 + h 3)c 3 +h 3 c 4 = g 2 ,

és kifejezni Val vel 3 keresztül Val vel 4:

Val vel 3 = egy 3 Val vel 4 + b 3 , (4.44)

Feltéve, hogy i-vel-1 = a én -1 c i+ b én-1 / én a (4.42) egyenletet kapjuk

c i=a én i-vel+1+b én

, én = 3,..., n– 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i=a én i-vel+1+b én, én= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Együtthatók számítása és én, b i,d i:

a i = y i -1 ,

én= 1, 2,..., n.

4. Számítsa ki egy függvény értékét spline segítségével! Ehhez keresse meg a következő értéket én, hogy a változó adott értéke x szegmenshez tartozik [ x i -1 , x i] és számítsuk ki

S i(x) = és én + b i(x - x i -1) +i-vel(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

A fő feladat interpoláció- egy táblázatban megadott függvény értékének megtalálása egy adott intervallum azon pontjain, ahol nincs megadva. A kiinduló táblázatos adatokat kísérleti úton is megkaphatjuk (ebben az esetben alapvetően nincs köztes adat további munka nélkül), vagy komplex függőségek segítségével történő számítással (ebben az esetben interpolációval könnyebb megtalálni egy komplex függvény értékét, mint közvetlen számítással összetett képlet segítségével)

Interpolációs koncepció

Az interpolációs és extrapolációs problémák megoldását egy interpolációs függvény felépítése biztosítja L(x), megközelítőleg lecseréli az eredetit f(x), táblázatban megadva, és minden megadott ponton áthaladva - interpolációs csomópontok. Ezzel a funkcióval bármely ponton kiszámíthatja az eredeti függvény kívánt értékét.

Az interpolációval kapcsolatban három fő problémát veszünk figyelembe.

1) az interpolációs függvény kiválasztása L(x);

2) az interpolációs hiba becslése R(x);

3) interpolációs csomópontok elhelyezése a funkció-visszaállítás lehető legnagyobb pontosságának biztosítása érdekében ( x 1 , x 2 ,…,x n).

A speciális interpolációs módszerek lehetővé teszik egy függvény kívánt értékének meghatározását anélkül, hogy közvetlenül interpolációs függvényt készítenénk. Elvileg minden olyan interpolációs módszer, amely a polinomok interpolációs függvényként való felhasználásán alapul, ugyanazt az eredményt adja, de eltérő költségekkel. Ez azzal magyarázható, hogy a polinom n fokozatot tartalmazó n+1 paramétert, és áthalad az összes megadotton n+1 pont, - az egyetlen. Ezenkívül a polinom egy csonka Taylor-sorként is ábrázolható, amelybe az eredeti differenciálható függvényt kiterjesztjük. Talán ez az egyik fő előnye a polinomnak, mint interpolációs függvénynek. Ezért az első interpolációs feladatot leggyakrabban úgy oldják meg, hogy egy polinomot választanak interpolációs függvénynek, bár más függvények is használhatók (például trigonometrikus polinomok, a jelentéssel bíró feladat informális feltételeiből kiválasztott egyéb függvények).

Rizs. 3.2 Az interpoláció illusztrációja

Az interpolációs függvény típusának megválasztása általában fontos feladat, különösen akkor, ha emlékezünk arra, hogy adott pontokon keresztül tetszőleges számú függvény rajzolható (3.2. ábra). Megjegyzendő, hogy van egy kézenfekvő módja az interpolációs függvény felépítésének: a függvény minden ponton áthaladó feltételéből összeáll egy egyenletrendszer, amelynek megoldásából a paramétereit megtaláljuk. Ez az út azonban messze nem a leghatékonyabb, különösen sok ponttal.

Szokásos különbséget tenni lokális és globális interpoláció között. Abban az esetben, ha a polinom azonos a teljes interpolációs területen, akkor interpolációnak mondjuk globális. Azokban az esetekben, amikor a polinomok különböző csomópontok között különböznek, beszélünk darabonként vagy helyi interpoláció.

Lineáris interpoláció

A lokális interpoláció legegyszerűbb és leggyakrabban használt típusa az lineáris interpoláció. Abból áll, hogy adott pontokat M(x i, y i) (i = 0, 1, ..., n) egyenes szegmensekkel vannak összekötve, és a függvény f(x) megközelíti a szaggatott vonalat, amelynek csúcsai ezekben a pontokban vannak (3.3. ábra) .

Rizs. 3.3 Lineáris interpoláció

A szaggatott vonal minden szakaszának egyenlete általában eltérő. Mivel van n időközönként (x i , x i + 1), akkor mindegyikre egyenletként

Az interpolációs polinom egy két ponton átmenő egyenes egyenletét használja. Különösen azért én — intervallumban felírhatjuk a pontokon átmenő egyenes egyenletét ( x i, y i) És ( x i + 1 , y i + 1), mint:

(3.2)

Ezért lineáris interpoláció használatakor először meg kell határoznia azt az intervallumot, amelybe az argumentumérték esik x, majd helyettesítse be a (3.2) képletbe, és keresse meg a függvények közelítő értékét ezen a ponton.

A 3.4. ábra egy példát mutat a lineáris interpoláció használatára a MathCAD programban. Lineáris interpolációhoz használja a függvényt linter (x,y,z). Itt x, y- kezdeti adatok, z– az a pont, ahol a függvény értéke található.

Rizs. 3.4. Lineáris interpoláció

Másodfokú interpoláció

Amikor másodfokú interpoláció interpolációs függvényként a szegmensen ( x i — 1 ,x i + 1) másodfokú trinom elfogadott. A másodfokú trinom egyenletének alakja van

y = a i x 2 + b i x + c i , x i — 1 x x i + 1 , (3.3)

Interpoláció bármely pontra x [x 0 ,xn] a három legközelebbi ponton történik.

Köbös spline interpoláció

Az elmúlt években intenzíven fejlődött a modern számítási matematika egy új ága - az elmélet spline. A spline-ok lehetővé teszik a meglehetősen bonyolult szerkezetű paraméterek közötti kísérleti függőségek feldolgozásával kapcsolatos problémák hatékony megoldását.

A fentebb tárgyalt lokális interpolációs módszerek lényegében az első fokú (lineáris interpoláció) és a második fokú (másodfokú interpoláció esetén) a legegyszerűbb spline.

Egyszerűségüknek köszönhetően a köbös spline-ek találták a legszélesebb körű gyakorlati alkalmazást. A köbös spline elméletének alapötlete a rugalmas anyagból készült rugalmas lécek matematikai leírására tett kísérletek eredményeként alakult ki (mechanikus spline), amelyeket a rajzolók régóta használnak olyan esetekben, amikor meglehetősen sima görbét kellett rajzolni. megadott pontokon keresztül. Ismeretes, hogy egy bizonyos pontokon rögzített és egyensúlyi helyzetben lévő rugalmas anyagcsík olyan formát ölt, amelyben az energiája minimális. Ez az alapvető tulajdonság lehetővé teszi a spline-ok hatékony használatát a kísérleti információfeldolgozás gyakorlati problémáinak megoldásában.

Általában a funkcióhoz y = f(x) közelítést kell találni y=j(x) Olyan módon f(x i)= j(x i) pontokon x = x i , a szegmens más pontjain [ a, b] értékeket

funkciókat f(x) És j(x) közel voltak egymáshoz. Kis számú kísérleti ponttal (például 6-8) az interpolációs polinomok felépítésének egyik módszere használható az interpolációs probléma megoldására. Nagyszámú csomópont esetén azonban az interpolációs polinomok gyakorlatilag használhatatlanná válnak. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az interpolációs polinom mértéke csak eggyel kevesebb, mint a függvények kísérleti értékeinek száma. Természetesen lehetőség van arra, hogy a függvényt definiáló szakaszt kis számú kísérleti pontot tartalmazó szakaszokra bontsuk, és mindegyikhez interpolációs polinomokat készítsünk. Ebben az esetben azonban a közelítő függvénynek lesznek olyan pontjai, ahol a derivált nem folytonos, vagyis a függvény grafikonja „törési” pontokat fog tartalmazni.

A köbös spline-eknek nincs ilyen hátránya. Nyalábelméleti tanulmányok kimutatták, hogy egy rugalmas vékony nyaláb két csomópont között meglehetősen jól leírható egy köbös polinom segítségével, és mivel nem esik össze, a közelítő függvénynek legalább folyamatosan differenciálhatónak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a funkciók j(x), j'(x), j"(x) folytonosnak kell lennie a [ szegmensen a, b].

Köbös interpolációs spline , megfelel ennek a funkciónak f(x) és ezek a csomópontok xi, függvénynek nevezzük y(x), az alábbi feltételeknek eleget tesz:

1. minden szegmensen [ x i — 1 ,xi], i = 1, 2, ..., n funkció y(x) egy harmadfokú polinom,

Funkció y(x), és ennek első és második deriváltja is folytonos a [ a,b],

Köbös spline harmadfokú polinomokból van összeragasztva, amely a én- a szakasz így van írva:

A teljes intervallumban ennek megfelelően lesz P együtthatókban eltérő köbös polinomok Aén, b i, c i, d i. Leggyakrabban a csomópontok a spline interpoláció során egyenletesen helyezkednek el, pl. xén +1 -Xén = const = h (bár ez nem szükséges).

Négy együtthatót kell találni, feltéve, hogy minden polinom két ponton halad át (x én, y én) és (x én +1 , y én +1 ) , ami a következő nyilvánvaló egyenleteket eredményezi:

Az első feltétel megfelel a polinom áthaladásának a kezdőponton, a második - a végponton. Ezekből az egyenletekből lehetetlen megtalálni az összes együtthatót, mivel kevesebb feltétel van, mint a szükséges paraméterek. Ezért ezek a feltételek kiegészülnek a függvény simaságának (azaz az első derivált folytonosságának) és az első derivált simaságának (azaz a második derivált folytonosságának) feltételeivel az interpolációs csomópontoknál. Matematikailag ezeket a feltételeket a végén lévő első és második derivált egyenlőségeként írjuk fel énés az elején ( én+1 )-edik telek.

Mivel , Azt

(y’ (x i +1 ) a végén én-telek egyenlő y'(xén +1 ) először ( én+1 )-ed),

(y"(xén +1 ) a végén én-telek egyenlő y" (xén +1 ) először ( én+1)-edik).

Az eredmény egy lineáris egyenletrendszer (minden szakaszra), amely 4n - 2 egyenletet tartalmaz 4n ismeretlennel (ismeretlenek a 1, a 2,..., a n, b 1,..., d n - spline együtthatók). A rendszer megoldásához adjon hozzá két peremfeltételt az alábbi típusok egyikéből (leggyakrabban 1-et használnak):

A 4n egyenlet együttes megoldása lehetővé teszi az összes 4n együttható megtalálását.

A származékok visszaállításához minden szakaszban megkülönböztetheti a megfelelő köbös polinomot. Ha a csomópontokon deriváltokat kell meghatározni, akkor léteznek speciális technikák, amelyek a deriváltak meghatározását a kívánt másod- vagy elsőrendű deriváltak egyszerűbb egyenletrendszerének megoldására redukálják. A köbös spline interpoláció fontos előnyei közé tartozik, hogy olyan függvényt kapunk, amely a lehető legkisebb görbülettel rendelkezik. A spline interpoláció hátrányai közé tartozik, hogy viszonylag sok paramétert kell megszerezni.

Oldjuk meg az interpolációs feladatot a MathCAD programmal. Ehhez a beépített funkciót fogjuk használni interp(VS;x;y;z) . Változók x És y adja meg a csomópontok koordinátáit, z egy függvény argumentum, VS típusát határozza meg

peremfeltételek az intervallum végén.

Adjunk meg interpolációs függvényeket háromféle köbös spline-hoz

Itt cspline (VX , VY) vektort ad vissza VS második derivált, amikor egy köbös polinomhoz viszonyítási pontokban közelítünk;

pspline(VX, VY) vektort ad vissza VS második derivált, amikor egy parabolikus görbe referenciapontjaihoz közelítünk;

lspline(VX, VY) vektort ad vissza VS második derivált az egyenes referenciapontjaihoz közeledve;

interp(VS, VX, VY, x) értéket ad vissza y(x) adott vektorokhoz VS, VX, VYés állítsa be az értéket x.

Adott pontokban kiszámítjuk az interpolációs függvények értékeit, és az eredményeket összehasonlítjuk a pontos értékekkel

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a különböző típusú köbös spline-ekkel végzett interpoláció eredménye gyakorlatilag megegyezik az intervallum belső pontjain, és egybeesik a függvény pontos értékeivel. Az intervallum szélei közelében a különbség észrevehetőbbé válik, és egy adott intervallumon túlra extrapolálva a különböző típusú spline-ok jelentősen eltérő eredményt adnak. A nagyobb áttekinthetőség érdekében mutassuk be az eredményeket grafikonon (3.5. ábra)

Rizs. 3.5 Köbös spline interpoláció

Ha a függvény diszkréten van megadva, akkor adatmátrixok vannak megadva az interpolációhoz.

A globális interpolációban leggyakrabban polinomiális interpolációt alkalmaznak. n-edik fokozat vagy Lagrange interpoláció.

A klasszikus megközelítés az értékek szigorú megfeleltetésének követelményén alapul f(x) És j(x) pontokon x i(i = 0, 1, 2, … n).

Megkeressük az interpolációs függvényt j(x) fokszámú polinom formájában n.

Ennek a polinomnak van n+ 1 együttható. Természetes ezt feltételezni n+ 1 feltétel

j(x 0) = y 0 , j(x 1) = y 1 , . . ., j(x n) = y n (3.4)

ráhelyezve a polinomra

lehetővé teszik együtthatóinak egyértelmű meghatározását. Valóban, igényes j(x) feltételek teljesítése (3.4.) , rendszert kapunk n+ 1 egyenletek n+ 1 ismeretlen:

(3.6)

Ennek a rendszernek a megoldása ismeretlenekre a 0 , a 1 , …, a n analitikus kifejezést kapunk a (3.5) polinomra. A (3.6) rendszernek mindig van egyedi megoldása , mert annak meghatározója

néven ismert az algebrában Vandermonde meghatározó nem nulla . ez azt jelenti , hogy az interpolációs polinom j(x) funkcióhoz f(x) táblázatban megadott, létezik és egyedi.

A kapott görbeegyenlet pontosan átmegy a megadott pontokon. Az interpolációs csomópontokon kívül a matematikai modellben jelentős hiba lehet

Lagrange interpolációs képlet

Legyen ismert valamilyen függvény értéke f(X) V n+ 1 különböző tetszőleges pont y i = f(x i) , én = 0,…, P. Függvény interpolációja (visszaállítása) bármely ponton X, szegmenshez tartozó [ x 0,x n], meg kell alkotni egy n-edrendű interpolációs polinomot, amelyet a Lagrange-módszerben a következőképpen ábrázolunk:

Ráadásul ezt könnyű észrevenni Q j(x i) = 0, Ha én¹ j, És Q j(x i) =1, Ha én= j. Ha a számlálóban lévő összes zárójel szorzatát kibontjuk (a nevezőben minden zárójel szám), akkor n-edrendű polinomot kapunk X, mivel a számláló n elsőrendű tényezőt tartalmaz. Következésképpen a Lagrange-interpolációs polinom nem más, mint egy közönséges n-edrendű polinom, a sajátos jelölési forma ellenére.

Becsülje meg az interpolációs hibát egy ponton x tól től [ x 0,xn] (azaz oldd meg a másodikat

interpolációs probléma) a képlet segítségével végezhető el

A képletben - az eredeti függvény (n+1)-edik deriváltjának maximális értéke f(X) a szegmensen [ x 0,xn]. Ezért az interpolációs hiba becsléséhez az eredeti függvényről további információra van szükség (ennek érthetőnek kell lennie, hiszen adott kezdeti pontokon végtelen számú különböző függvény haladhat át, amelyeknél a hiba eltérő lesz). Ilyen információ az n+1 rendű derivált, amit nem is olyan könnyű megtalálni. Az alábbiakban megmutatjuk, hogyan lehet kilábalni ebből a helyzetből. Vegye figyelembe azt is, hogy a hibaképlet alkalmazása csak akkor lehetséges, ha a függvény n +1-szer differenciálható.