Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot
Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.
közzétett http://www.allbest.ru/
Moszkva Állami Egyetem műszermérnökség és számítástechnika Sergiev Posad ág
Absztrakt a témában:
Newton interpolációs képletei
Készítette: Brevchik Taisiya Jurjevna
EF-2 csoport 2. éves hallgatója
1. Bemutatkozás
2. Newton első interpolációs képlete
3. Newton második interpolációs képlete
Következtetés
Bibliográfia
Bevezetés
Interpoláció, interpoláció - a számítási matematikában egy mennyiség köztes értékeinek megtalálásának módszere egy létező diszkrét ismert értékkészletből.
A tudományos és mérnöki számításokkal foglalkozók közül sokan gyakran empirikusan vagy véletlenszerű mintavételezéssel nyert értékkészletekkel dolgoznak. Általában ezekre a halmazokra alapozva meg kell alkotni egy függvényt, amelybe más kapott értékek nagy pontossággal eshetnek. Ezt a problémát közelítésnek nevezzük. Az interpoláció egy olyan közelítés, amelyben a megszerkesztett függvény görbéje pontosan áthalad a rendelkezésre álló adatpontokon.
Van egy interpolációhoz közeli feladat is, amely néhány közelítéséből áll összetett funkció egy másik, egyszerűbb funkció. Ha egy függvény túl bonyolult a produktív számításokhoz, akkor több ponton is megpróbálhatjuk kiszámolni az értékét, és ezekből egyszerűbb függvényt konstruálni, azaz interpolálni.
Természetesen egy egyszerűsített függvény használata nem ad olyan pontos eredményeket, mint az eredeti függvény. Egyes problémaosztályokban azonban a számítások egyszerűsége és gyorsasága terén elért javulás meghaladhatja az eredmények hibáját.
Érdemes megemlíteni egy teljesen más típusú matematikai interpolációt is, amelyet operátorinterpolációnak neveznek.
Az operátorinterpolációval foglalkozó klasszikus művek közé tartozik a Riesz-Thorin tétel és a Marcinkiewicz-tétel, amelyek sok más munka alapját képezik.
Tekintsünk egy nem egybeeső pontok () rendszerét egy bizonyos régióból. A függvényértékek csak ezeken a pontokon legyenek ismertek:
Az interpolációs probléma az, hogy egy adott függvényosztályból olyan függvényt találjunk, amelyre
A pontokat interpolációs csomópontoknak, gyűjteményüket pedig interpolációs rácsnak nevezzük.
A párokat adatpontoknak vagy alappontoknak nevezzük.
A „szomszédos” értékek közötti különbség az interpolációs rács lépése. Ez lehet változó vagy állandó.
A függvény egy interpoláló függvény vagy interpoláns.
1. Newton első interpolációs képlete
1. A feladat leírása. Legyen a függvény adott értékek a független változó egyenlő távolságra lévő értékeire: , ahol - interpolációs lépés. Egy nem magasabb fokú polinomot kell kiválasztani, ponton véve az értékeket
Az (1) feltételek egyenértékűek az alábbi feltételekkel.
Newton interpolációs polinomja a következő formában van:
Könnyen belátható, hogy a (2) polinom teljes mértékben kielégíti a feladat követelményeit. Valójában egyrészt a polinom foka nem magasabb, másrészt
Vegye figyelembe, hogy amikor a (2) képlet Taylor-sorozattá változik a függvényhez:
A gyakorlati használatra a Newton-féle interpolációs képletet (2) általában kissé átalakított formában írják fel. Ehhez a képlet segítségével bevezetünk egy új változót; akkor kapjuk:
ahol képviseli lépések száma, szükséges a pont eléréséhez, a pontból kiindulva. Ez a végső megjelenés Newton interpolációs képlete.
A függvény interpolálásához előnyös a (3) képlet használata a kezdeti érték közelében , ahol abszolút értékben kicsi.
Ha a függvényértékek korlátlan táblázatát adjuk meg, akkor a (3) interpolációs képletben tetszőleges szám lehet. A gyakorlatban ebben az esetben a számot úgy választják meg, hogy a különbség adott pontossággal állandó legyen. Az argumentum bármely táblaértéke kiindulási értéknek tekinthető.
Ha a függvényértékek táblázata véges, akkor a szám korlátozott, nevezetesen: nem lehet több, mint az eggyel csökkentett függvényértékek száma.
Vegye figyelembe, hogy Newton első interpolációs képletének alkalmazásakor célszerű egy vízszintes különbségtáblázatot használni, mivel szükséges értékeket A különbségfüggvények a táblázat megfelelő vízszintes sorában találhatók.
2. Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
A kapott polinom előrejelzést tesz lehetővé. Megfelelő pontosságot kapunk például egy interpolációs feladat megoldásakor. A pontosság csökken például egy extrapolációs feladat megoldásakor.
2. Newton második interpolációs képlete
Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában ezt használják .
A feladat leírása . Legyen függvényértékek sorozata
egyenlő távolságú argumentumértékek esetén, ahol az interpolációs lépés. Készítsünk egy polinomot a következő formájú:
vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:
Aztán, ha az egyenlőség fennáll, megkapjuk
Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képlete a következő formában van:
Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor legyen
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:
Ez a szokásos nézet Newton második interpolációs képlete. A függvényértékek kiszámításának közelítéséhez tegyük fel:
Newton első és második interpolációs képlete egyaránt használható egy függvény extrapolálására, azaz a táblázaton kívüli argumentumértékek függvényértékeinek megkeresésére.
Ha közel van, akkor célszerű alkalmazni Newton első interpolációs képletét, majd. Ha közel van, akkor még kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.
Így általában Newton első interpolációs képletét használják előre interpolációÉs visszafelé extrapolálva, és Newton második interpolációs képlete, éppen ellenkezőleg, for visszafelé interpolálvaÉs előre történő extrapoláció.
Vegye figyelembe, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.
Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
Következtetés
interpoláció newton extrapolációs képlet
A számítási matematikában jelentős szerepet játszik a függvények interpolációja, i. Egy adott függvény felhasználásával egy másik (általában egyszerűbb) függvény összeállítása, amelynek értékei egy bizonyos számú ponton egybeesnek az adott függvény értékeivel. Ráadásul az interpolációnak gyakorlati és elméleti jelentősége is van. A gyakorlatban gyakran felmerül a helyreállítás problémája folyamatos funkció táblázatos értékei szerint, amelyeket például valamilyen kísérlet során kaptunk. Számos függvény kiértékeléséhez célszerű ezeket polinomokkal vagy tört racionális függvényekkel közelíteni. Az interpolációs elméletet a kvadratúra képletek felépítésére és tanulmányozására használják numerikus integráció, differenciál- és integrálegyenletek megoldási módszereinek megszerzéséhez.
Bibliográfia
1. V.V. Ivanov. Számítógépes számítási módszerek. Használati útmutató. "Naukova Dumka" kiadó. Kijev. 1986.
2. N.S. Bakhvalov, N.P. Zsidkov, G.M. Kobelkov. Numerikus módszerek. Kiadó "Alapismeretek Laboratóriuma". 2003.
3. I.S. Berezin, N.P. Zsidkov. Számítási módszerek. Szerk. PhysMatLit. Moszkva. 1962.
4. K. De Bor. Gyakorlati útmutató a spline-ekhez. "Rádió és Kommunikáció" kiadó. Moszkva. 1985.
5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Mowler. Matematikai számítások gépi módszerei. "Mir" kiadó. Moszkva. 1980.
Közzétéve az Allbest.ru oldalon
...Hasonló dokumentumok
Newton első és második interpolációs képlete alkalmazása. Függvényértékek keresése olyan pontokon, amelyek nem táblázatosak. Newton képletének használata egyenlőtlen pontokhoz. Függvény értékének meghatározása az Aitken interpolációs séma segítségével.
laboratóriumi munka, hozzáadva 2013.10.14
Johann Carl Friedrich Gauss minden idők legnagyobb matematikusa. Gauss interpolációs képletek, amelyek az y=f(x) függvény közelítő kifejezését adják meg interpoláció segítségével. A Gauss-képletek alkalmazási területei. A Newton-féle interpolációs képletek fő hátrányai.
teszt, hozzáadva: 2014.12.06
Függvény interpolálása az intervallum közepe közelében fekvő pontban. Gauss interpolációs képletek. Stirling-képlet, mint a Gauss-interpolációs képletek számtani átlaga. A köbös spline úgy működik, mint matematikai modell vékony rúd.
bemutató, hozzáadva 2013.04.18
Folyamatos és pontközelítés. Lagrange és Newton interpolációs polinomok. Globális interpolációs hiba, másodfokú függés. Legkisebb négyzet alakú módszer. Empirikus képletek kiválasztása. Darabonkénti állandó és darabonkénti lineáris interpoláció.
tanfolyami munka, hozzáadva 2014.03.14
Akkordok és iterációk módszerei, Newton-szabály. Lagrange, Newton és Hermite interpolációs képletei. Egy függvény pont másodfokú közelítése. Numerikus differenciálás és integráció. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása.
előadások tanfolyama, hozzáadva 2012.02.11
Interpoláció végrehajtása Newton-polinom segítségével. A gyök értékének finomítása adott intervallumon három iterációban és a számítási hiba megtalálása. Newton, Sampson és Euler módszerek alkalmazása problémamegoldásban. Függvény deriváltjának kiszámítása.
teszt, hozzáadva: 2011.02.06
A számítási matematikában a függvények interpolációja jelentős szerepet játszik. Lagrange-képlet. Interpoláció az Aitken-séma szerint. Newton-interpolációs képletek egyenlő távolságú csomópontokhoz. Newton-képlet osztott különbségekkel. Spline interpoláció.
teszt, hozzáadva 2011.01.05
A derivált számítása definíciója alapján, véges különbségek felhasználásával és Newton első interpolációs képlete alapján. Interpolációs polinomok Lagrange és alkalmazásuk numerikus differenciálás. Runge-Kutta módszer (negyedrendű).
absztrakt, hozzáadva: 2011.06.03
Különböző rendelések végei. A terminálkülönbségek és a funkciók közötti kapcsolat. Diszkrét és folyamatos elemzés. A megosztottság megértése. Newton interpolációs képlete. Lagrange és Newton képletek frissítése. Interpoláció egyenlő távolságra lévő csomópontokhoz.
teszt, hozzáadva 2014.02.06
Adott függvény négy pontján áthaladó Lagrange és Newton interpolációs polinomok keresése, hatványtörvényes reprezentációik összehasonlítása. Nemlineáris megoldás differenciálegyenlet Euler módszere. Algebrai egyenletrendszerek megoldása.
4. előadás
1. Véges különbségek2. Első interpolációs képlet
Newton
3. Második interpolációs képlet
Newton
4. Interpolációs hibák
1. rendű véges különbségek
Ha az y = f(x) interpolált függvényt megadjukegyenlő távolságra lévő csomópontok, tehát xi = x0 + i∙h, ahol h a táblázat lépése, és
i = 0, 1, … n, akkor a képletek használhatók az interpolációhoz
Newton véges különbségek felhasználásával.
Az első rend véges különbsége az yi különbség
= yi+1 - yi, ahol
yi+1=f(xi+h) és yi=f(xi). A megadott funkcióhoz
táblázatos (n+1) csomópontokban, i = 0, 1, 2, …, n, véges különbségek
Az első sorrend a 0, 1, 2,…, n - 1 pontokon számítható:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.
A magasabb rendűek véges különbségei
Elsőrendű véges különbségek felhasználásával lehetkapjuk meg a 2yi = yi+1 - yi másodrendű véges különbségeket:
2 y 0 y1 y 0;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 é n 2 é n 1 é n 2 .
A k-edik sorrend véges különbségei az i csomópontnál
a (k-1)-edrendű különbségek alapján számítható ki:
k yi k 1yi 1 k 1yi
Az értékeken keresztül bármilyen véges különbség kiszámítható
funkciók az interpolációs csomópontokban, például:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0.
Véges különbség táblázat
xy
Δy
Δ2y
Δ3y
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3h
y3
A végső különbségek nagysága alapján lehet
csináld
következtetés
O
fokon
interpoláció
polinom,
leírva
táblázatos
adott
funkció.
Ha
Mert
táblázatok
Val vel
egyenlő távolságra
csomópontok
végső
k-edrendű különbségek állandóak ill
akkor arányosak egy adott hibával
a függvény polinomként ábrázolható
kth fokozat.
Véges különbségek és a polinom foka
Tekintsük például a véges különbségtáblázatoty polinom = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2y
0.08
3 év
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
x
y
1.0
A harmadrendű véges különbségek egyenlők nullával, és minden
a másodrendű végső különbségek azonosak és egyenlők 0,08. Ez
azt mondja, hogy egy táblázatban megadott függvény lehet
ábrázolja 2-es fokú polinomként (várt eredmény,
a táblázat előállítási módja alapján).
Legyen megadva az y = f(x) függvény n+1 egyenlő távolságra lévő xi csomóponton, i = 0, 1,
2,…n a h lépéssel. Meg kell találnunk a Pn(x) interpolációs polinomot
n fokozatú, megfelel a következő feltételnek:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …,n .
Egy interpolációs polinomot keresünk a következő formában:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
ahol ai, i = 0, 1, 2,…n – csomópontoktól független ismeretlen együtthatók
interpoláció. Keressük meg ezeket az együtthatókat az interpolációs feltételekből.
Legyen x = x0, akkor Pn(x0) = y0 = a0. Ezért a0 = y0.
Legyen x = x1, akkor Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), innen
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Most legyen x = x2, majd:
Pn (x 2) y 2 a0 a1 (x 2 - x 0) a2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) y 0
y 0
2h a2 2h2.
h
Ebből a kifejezésből a2-t kifejezve a következőket kapjuk:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2 óra 2
2 óra 2
2 óra 2
2 óra 2
Newton első interpolációs képlete
Folytatva a helyettesítéseket, bármelyikre kifejezést kaphatunkegyüttható i számmal:
én y 0
ai
,
én! Szia
i 0,1,...,n.
Az együtthatók talált értékeit behelyettesítve az eredeti kifejezésbe,
megkapjuk Newton első interpolációs képletét:
y0
2y0
n y 0
Pn(x)y0
(x x 0)
(x x 0) (x x 1) ...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!hn
A képlet azt mutatja, hogy a táblázat felső sorát használja
véges különbségek (4. dia). A képlet különlegessége az is
a polinom fokszámának egymás utáni növekedése az összeadáskor
következő feltételek. Ez lehetővé teszi a nélkül kapott eredmény finomítását
a már figyelembe vett feltételek újraszámítása.
Newton első interpolációs képlete
Newton első interpolációs képlete beírhatókompaktabb és kényelmesebb formában a szoftverek megvalósításához.
Miután kijelölte
q
x x0
,
h
x x 0 qh
és az űrlap egyszerű átalakításainak végrehajtása:
x x 1 x x 0 óra
q 1;
h
h
x xn
x x2
qn 1,
q 2;.....;
h
h
megkapjuk Newton első interpolációs képletét, kifejezve
ismeretlen q-hoz viszonyítva:
n y 0
2y0
q(q 1)...(q n 1).
q(q 1) ...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!
10. Newton első interpolációs képlete
A képletben használt magasabb rendűek véges különbségeiNewton, általában nagy hiba társul a hibákhoz
kerekítés a közeli értékek kivonásakor. Ezért a megfelelő
a képlet feltételeiben is nagy a hiba. Csökkenteni
az összeghez, vagyis a végeredményhez való hozzájárulásukat teljesíteni kell
feltétel |q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
a táblázat első két csomópontja között: x0< x < x1. По этой причине
interpolációt Newton első képletével nevezzük
interpoláció a táblázat elején vagy előre interpoláció.
interpoláció Newton első interpolációs képlete úgy
a következő űrlapot:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q 1)
.
2
11. Példa Newton első interpolációs képletére
mint a 6. dián látható példában. Meg kell találnia egy hozzávetőleges
a függvény értéke az x = 1,1 pontban másodfokúval
interpoláció Newton első képletével.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 év 3 év
0.08 0
0.08 0
0.08
Táblázat lépés h = 0,2
q = (x – x0)/h = 0,5
q(q 1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Az eredmény egyezik
a polinom értéke
y = x2 – 3x + 2, ebből
asztal kapott
12. A számítási algoritmus vázlata Newton első interpolációs képletével
13. Newton második interpolációs képlete
Newton második képlete hasonló tulajdonságokkal rendelkezikaz asztal jobb oldalához képest. Építéséhez használja
alakú polinom:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
ahol аi, i = 0, 1, 2, … n olyan együtthatók, amelyek nem függnek az interpolációs csomópontoktól.
Az ai együtthatók meghatározásához ezt a kifejezést egyenként használjuk
helyettesítő interpolációs csomópontok. Ha x = xn Pn(xn) = yn, ezért
a0 = yn.
x = xn-1 esetén Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
ahol
a1
yn 1 yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h
14. Newton második interpolációs képlete
Folytatva a helyettesítéseket, minden együtthatóra kifejezést kapunkpolinom és Newton második interpolációs képlete:
n y 0
yn 1
2 év 2
Pn(x)yn
(x xn)
(x xn) (x xn 1)
(x xn)...(x x1).
2
n
1!h
2!h
n!h
A képlet azt mutatja, hogy a táblázat alsó átlóját használja
véges különbségek (4. dia). Mint Newton első képletében, hozzátéve
egymást követő ciklusok a fokozat következetes növekedéséhez vezetnek
polinom, amely lehetővé teszi az eredmény tisztázását anélkül, hogy újraszámítaná a
feltételeket figyelembe véve.
A jelölés beírásával: q
x xn
,
h
x xn hq
és egyszerű transzformációk végrehajtása után megkapjuk a második interpolációt
Newton-képlet a q helyettesítési változóra vonatkozóan kifejezve:
n y 0
2 év 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q 1) ...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!
15. Newton második interpolációs képlete
Ugyanazokból a megfontolásokból, mint Newton első képleténél, azértA számítási hiba csökkentéséhez szükséges, hogy a feltétel teljesüljön
|q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
a táblázat utolsó két csomópontja: xn-1< x < xn. По этой причине
interpolációt Newton második képletével nevezzük
interpoláció a táblázat végéről vagy visszafelé interpoláció.
A lineáris (n=1) és a kvadratikus (n=2) speciális eseteire
interpoláció Newton második interpolációs képlete veszi
a következő űrlapot:
P1 (x) y n y n 1q
2 év n 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q 1)
2!
16. Példa Newton második interpolációs képletére
Adja meg az f(x) interpolált függvényt ugyanaz a táblázat,mint a 11. dián található példában. Meg kell találnia egy hozzávetőleges
a függvény értéke az x pontban = 1,7 másodfokúval
interpoláció Newton második képletével.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 év 3 év
0.08 0
0.08 0
0.08
Táblázat lépés h = 0,2
q = (x – xn)/h = -0,5
Az eredmény egyezik
a polinom értéke
y = x2 – 3x + 2, innen
amelyet megkaptak
asztal
q(q 1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2
17. A számítási algoritmus vázlata Newton második interpolációs képletével
18. Interpolációs hibák
Interpolációs függvény a közötti pontokbaninterpolációs csomópontok váltják fel az interpolációt
hozzávetőlegesen működik:
f(x) = F(x) + R(x), ahol R(x) a hiba
interpoláció.
A hiba becsléséhez szükséges
szükséges bizonyos információk birtokában
interpolált f(x) függvény. Tegyünk úgy, mintha
f(x) az összeset tartalmazó szegmensen van definiálva
Az xi csomópontok, és a -hoz tartozó x esetén minden megtalálható
származékok f"(x), f""(x), … f(n+1)(x)-ig (n+1)
rendeléssel együtt.
19. Interpolációs hibák
Akkor20. Interpolációs csomópontok kiválasztása a Lagrange-képlet segítségével
Egy polinom rögzített fokához:x*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x
Egymást követő fokozatnövekedéssel
polinom
x*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
x
21. Az interpolációs hiba gyakorlati értékelése a Lagrange-képlet segítségével
A gyakorlatban az (n+1)-edik deriváltjának maximális értékének becsléseAz Mn+1 sorrend ritkán lehetséges a Lagrange-képlet használatával,
és ezért közelítő hibabecslést használjon
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
ahol n a használt csomópontok száma.
A fenti képletből az következik, hogy a hiba becsléséhez
n-edik fokú Lagrange-polinommal való interpoláció szükséges
ezenkívül számítsuk ki egy (n+1) fokos polinom értékét. Ha
a megengedett interpolációs hiba adott, akkor az összeset össze kell adni
új csomópontok, növeljük a polinom mértékét a modulusig
különbség az |Ln+1(x)-Ln(x)| polinom utolsó két értéke között Nem
kisebb lesz a megadott értéknél.
22. Az interpolációs algoritmus vázlata Lagrange-formulával adott pontossággal
23. Newton interpolációs képletek hibáinak becslése
Az interpolációhozvegye fel az alábbi űrlapot.
Newton 1. képlete:
Rn(x)h
n 1
képletek
Newton
értékelések
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
Newton 2. képlete:
Rn(x)h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
hibákat
24. A Newton-féle interpolációs formulák hibáinak gyakorlati értékelése
Newton interpolációs képletek használatakor az értékAz f(n+1)(ξ) közelítőleg megbecsülhető a véges különbségek értékéből:
f
(n 1)
n 1
Δy0
() n 1
h
és ebben az esetben a hibabecslési képletek a következőket veszik fel
Kilátás:
Newton 1. képlete:
Rn(x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
Newton 2. képlete:
Rn(x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
25. Interpoláció Newton-képletekkel adott pontossággal
Összehasonlítva ezeket a képleteket képletekkelNewton, ezt meg lehet becsülni
hibák polinommal való interpoláció során
n-edik fokozathoz további csomópontot kell venni
és számítsuk ki az (n+1)-edik fok tagját.
Ha meg van adva a megengedett hiba
ε interpoláció, akkor szekvenciálisan szükséges
új csomópontok hozzáadása, és ennek megfelelően
új kifejezések, a fokozat növelése
interpolációs polinom ig
amíg a következő tag kisebb lesz, mint ε.
annotáció
Magyarázó megjegyzés az "Egy függvényének interpolációja" című kurzusmunkához változó módszer Newton" tartalmazza a bevezetést, a feladat elemzését a bemeneti és kimeneti adatok leírásával, az irodalmi források áttekintését, a számítási matematika matematikai modelljének és módszereinek leírását, az algoritmus magyarázatait, programszöveget, utasításokat. Tanulmányozáskor a A "Számítástechnika" tudományág különböző irodalmi forrásokat használtak a tananyag megírásához. Ez a kurzus egy olyan programot mutat be, amely egy táblázatban meghatározott függvény interpolálására szolgál a Newton-módszer segítségével a program megírása és hibakeresése, valamint az áttekinthetőség és az olvashatóság növelése az volt, hogy gyakorlati ismereteket szerezzenek az algoritmusok fejlesztésében különböző módszerekkel. A bemutatott program Pascal programozási nyelven valósul meg két kép, a program szövege, valamint a program és az algoritmus leírása.
Bevezetés
Munkakör elemzése
A probléma matematikai modellje
Newton képlet függvényének programozása
Irodalmi források áttekintése
Program fejlesztése az algoritmus séma szerint
Útmutató a program használatához
Program szövege
A teszteset megoldásának kiinduló adatai és eredménye
Következtetés
A felhasznált források listája
Bevezetés
A fizika és a technika modern fejlődése szorosan összefügg az elektronikus számítógépek (számítógépek) használatával. Jelenleg a számítógépek számos intézetben és tervezőirodában általános berendezéssé váltak. Ez lehetővé tette számunkra, hogy a különféle struktúrák vagy folyamatok legegyszerűbb számításaitól és értékelésétől a munka új szakaszába lépjünk – részletesen matematikai modellezés(számítógépes kísérlet), amely jelentősen csökkenti a teljes körű kísérletek szükségességét, és bizonyos esetekben helyettesítheti azokat.
A fizikai és műszaki problémák tanulmányozása során felmerülő összetett számítási problémák számos elemi feladatra oszthatók, mint például integrálszámítás, differenciálegyenlet megoldása stb. Sok elemi probléma egyszerű és jól tanulmányozott. Ezekre a feladatokra már kidolgoztak módszereket. numerikus megoldás, és gyakran léteznek szabványos programok számítógépen történő megoldásukra. Vannak meglehetősen összetett elemi feladatok is; Az ilyen problémák megoldására szolgáló módszereket jelenleg intenzíven fejlesztik.
Ebben a tekintetben egy modern szakember a felsőoktatás nem csak magas szint szakterületed profiljának megfelelő képzés, de jó tudás is matematikai módszerek mérnöki feladatok megoldása, a számítástechnika használatának előtérbe helyezése, a számítógépen történő munkavégzés elveinek gyakorlati elsajátítása.
Munkakör elemzése
Bemeneti adatként a következőket használták:
1. Csomópontok száma.
2. A függvény táblázatos értékei.
Kimeneti adatok, pl. A program eredménye:
1. Táblázatban megadott függvény értékei köztes értékekben.
2. Polinom gráf.
A probléma matematikai modellje
A tanfolyam elvégzése során a következő matematikai modellt választottuk:
Függvények interpolációja és közelítése.
1. A probléma megfogalmazása.
A numerikus elemzés egyik fő problémája a függvények interpolációjának problémája. Gyakran szükséges a funkció helyreállítása
egy intervallum összes értékére, ha annak értékei ismertek ezen az intervallumon egy bizonyos véges számú ponton. Ezeket az értékeket valamilyen természeti kísérlet során végzett megfigyelések (mérések), vagy számítások eredményeként találhatjuk meg. Ezenkívül kiderülhet, hogy a függvényt egy képlet adja meg, és értékeinek kiszámítása ezzel a képlettel nagyon munkaigényes, ezért kívánatos egy egyszerűbb (kevésbé munkaigényes számítási) képlet a függvényhez. , amely lehetővé teszi a kérdéses függvény hozzávetőleges értékének megfelelő pontosságú meghatározását a szakasz bármely pontján. Ennek eredményeként a következő matematikai probléma merül fel.Legyen és" szegmens
egy rácsotés a függvényértékek a csomópontjaiban vannak megadva
, egyenlő.Meg kell alkotni egy interpolánst - egy függvényt
, amely egybeesik a rács csomópontjainál lévő függvénnyel: .Az interpoláció fő célja egy gyors (gazdaságos) algoritmus előállítása az értékek kiszámításához
az adattáblázatban nem szereplő értékekre.2. Newton-interpoláció
Adott egy táblázatfüggvény:
| én | ||
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| .. | .. | .. |
| n |
Pontok koordinátákkal
csomópontoknak vagy csomópontoknak nevezzük.A csomópontok száma táblázat funkció egyenlő N=n+1.
Meg kell találni ennek a függvénynek az értékét egy közbenső pontban, pl.
, és . A probléma megoldásához interpolációs polinomot használunk.A Newton-képlet szerinti interpolációs polinom alakja:
ahol n a polinom foka,
A Newton-féle interpolációs képlet lehetővé teszi az interpolációs polinom kifejezését
az egyik csomópont értékén és a csomópontok fölé épített függvény osztott különbségein keresztül.Először is megadjuk a szükséges információkat az elkülönített különbségekről.
Engedje be a csomópontokat
,a függvényértékek ismertek
. Tegyük fel, hogy a , pontok között nincs egybeeső. Az elsőrendű osztott különbségeket , , relációknak nevezzük.A szomszédos csomópontokból, azaz kifejezésekből álló osztott különbségeket fogjuk figyelembe venni
Meglehetősen elterjedt interpolációs módszer a Newton-módszer. Ennek a módszernek az interpolációs polinomja a következő:
P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0) (x-x 1) + ... + a n (x-x 0) (x-x 1)...(x-x n-1).
A feladat a P n (x) polinom a i együtthatóinak megkeresése. Az együtthatók a következő egyenletből származnak:
P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,
lehetővé teszi a rendszer írását:
a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;
a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2 ;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a 0 +... + a n (x n - x 0) (x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;
A véges különbség módszerét használjuk. Ha az x i csomópontokat h egyenlő időközönként adjuk meg, azaz.
x i+1 - x i = h,
majd be általános eset x i = x 0 + i×h, ahol i = 1, 2, ..., n. Az utolsó kifejezés lehetővé teszi, hogy a megoldandó egyenletet a formára redukáljuk
y 1 = a 0 + a 1 × h;
y 2 = a 0 + a 1 (2 óra) + a 2 (2 óra) óra;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y i = a 0 + a 1 × i × h + a 2 × i × h [(i-1) h] + ... + a i × i! × h i ,
honnan kapjuk az együtthatókat
ahol Dу 0 az első véges különbség.
Folytatva a számításokat, a következőket kapjuk:
ahol D 2 y 0 a második véges különbség, ami a különbségek különbsége. Az a i együttható a következőképpen ábrázolható:
Az a i együtthatók talált értékeit P n (x) értékeibe helyezve megkapjuk a Newton-interpolációs polinomot:
Alakítsuk át a képletet, amelyhez bevezetünk egy új változót, ahol q az x pont eléréséhez szükséges lépések száma, az x 0 pontból elmozdulva. Az átalakítások után a következőket kapjuk:
Az eredményül kapott képlet Newton első interpolációs képleteként vagy Newton előremutató interpolációs képleteként ismert. Előnyös, ha az y = f(x) függvényt az x – x 0 kezdeti érték közelében interpoláljuk, ahol q abszolút értékben kicsi.
Ha az interpolációs polinomot a következő formában írjuk fel:
akkor hasonló módon megkaphatjuk Newton második interpolációs képletét, vagy Newton képletét a „visszafelé” interpolációhoz:
Általában egy táblázat végéhez közeli függvény interpolálására használják.
A téma tanulmányozásakor emlékezni kell arra, hogy az interpolációs polinomok egybeesnek adott funkciót f(x) az interpolációs csomópontokon és más pontokon általános esetben eltérő lesz. Ez a hiba megadja nekünk a módszer hibáját. Az interpolációs módszer hibáját a maradék tag határozza meg, amely megegyezik a Lagrange és a Newton képletekkel, és amely lehetővé teszi, hogy a következő becslést kapjuk abszolút hiba:
| |
Ha az interpolációt ugyanazzal a lépéssel hajtjuk végre, akkor a maradék tag képlete módosul. Különösen, ha az „előre” és „hátra” interpolációt Newton képletével használjuk, az R(x) kifejezései kissé eltérnek egymástól.
A kapott képletet elemezve egyértelmű, hogy az R(x) hiba egy állandóig két tényező szorzata, amelyek közül az egyik f (n+1) (x), ahol x belül van, függ a az f(x) és függvény tulajdonságai nem szabályozhatók, de egy másik függvény nagysága,
kizárólag az interpolációs csomópontok megválasztása határozza meg.
Ha ezeknek a csomópontoknak a helye nem sikerült, a modul felső korlátja |R(x)| elég nagy lehet. Ezért felmerül a probléma az x i interpolációs csomópontok legracionálisabb kiválasztásával kapcsolatban (val adott szám n) csomópontokat úgy, hogy az П n+1 (x) polinomnak legyen a legkisebb értéke.
2. Newton-interpoláció
Adott egy táblázatfüggvény:
| én | ||
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| .. | .. | .. |
| n |
A koordinátákkal rendelkező pontokat csomópontoknak vagy csomópontoknak nevezzük.
A táblázatfüggvény csomópontjainak száma N=n+1.
Meg kell találni ennek a függvénynek az értékét egy közbenső pontban, például , és . A probléma megoldásához interpolációs polinomot használunk.
A Newton-képlet szerinti interpolációs polinom alakja:
ahol n a polinom foka,
A Newton-féle interpolációs képlet lehetővé teszi, hogy az interpolációs polinomot az egyik csomópont értékével és a csomópontokon szerkesztett függvény osztott különbségeivel fejezzük ki.
Először is megadjuk a szükséges információkat az elkülönített különbségekről.
Engedje be a csomópontokat
a függvény értékei ismertek. Tegyük fel, hogy a , pontok között nincs egybeeső. Az elsőrendű osztott különbségeket relációknak nevezzük
, ,.
A szomszédos csomópontokból, azaz kifejezésekből álló osztott különbségeket fogjuk figyelembe venni
Ezekből az elsőrendű elválasztott különbségekből másodrendű elválasztott különbségeket állíthatunk elő:
,
,
Így egy szakaszon a harmadrendű elválasztott különbség a harmadrendű elkülönített különbségeken keresztül határozható meg a visszatérő képlet segítségével:
ahol , , a polinom foka.
A maximális érték . Ekkor a szakaszon az n-edrendű osztott különbség egyenlő
azok. egyenlő a harmadrendű osztott különbségek különbségével osztva a szakasz hosszával.
Megosztott különbségek
jól definiált számok, tehát az (1) kifejezés valójában egy harmadfokú algebrai polinom. Ezenkívül az (1) polinomban minden osztott különbség definiálva van a , szakaszokra.
Az osztott különbségek kiszámításakor ezeket táblázatos formában szokás felírni
| ■ | |||||
|
| |||||
A osztott sorrendű különbséget a csomópontok függvényértékeivel fejezzük ki a következőképpen:
. (1)
Ez a képlet indukcióval igazolható. Szükségünk lesz különleges eset képletek (1):
A Newton-féle interpolációs polinomot polinomnak nevezzük
A Newton-polinom figyelembe vett alakját Newton első interpolációs képletének nevezik, és általában a táblázat elején történő interpoláció során használják.
Megjegyzendő, hogy a Newton-interpolációs probléma megoldásának van néhány előnye a Lagrange-interpolációs feladat megoldásához képest. A Lagrange-interpolációs polinom minden tagja az y i, i=0,1,…n táblázatfüggvény összes értékétől függ. Ezért amikor az N csomópontok száma és az n polinom foka (n=N-1) változik, a Lagrange-interpolációs polinomot újra meg kell alkotni. A Newton-polinomban az N csomópontok számának és az n polinom fokának megváltoztatásakor csak a megfelelő számú standard tagot kell hozzáadni vagy elvetni a Newton-képletben (2). Ez kényelmes a gyakorlatban, és felgyorsítja a számítási folyamatot.
Newton képlet függvényének programozása
A Newton-polinom (1) képlet segítségével történő megalkotásához ciklikus számítási folyamatot szervezünk a szerint. Ebben az esetben minden keresési lépésnél találunk k-edik sorrendű különbségeket. A megosztott különbségeket minden lépésnél elhelyezzük az Y tömbben.
Ekkor a (3) ismétlődő képlet így fog kinézni:
A (2) Newton-képlet elválasztott harmadrendű különbségeket használ, amelyeket csak szakaszokra számítanak ki, pl. elválasztott különbségek a . Jelöljük ezeket az elválasztott k-edrendű különbségeket . A -ra kiszámított osztott különbségek pedig a magasabb rendű osztott különbségek kiszámítására szolgálnak.
A (4) segítségével összecsukjuk a (2) képletet. Ennek eredményeként azt kapjuk
(5)
– a táblázatfüggvény (1) értéke a számára.
– szakaszra osztva a harmadrendű különbséget.
Hasonló cikkek
