Ebben a cikkben részletesen elemezzük a számkör meghatározását, megtudjuk a fő tulajdonságát, és elrendezzük az 1, 2, 3 számokat stb. Arról, hogyan jelölhet meg más számokat a körön (például \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) érti .

Számkör egységsugarú körnek nevezzük, amelynek pontjai megfelelnek , az alábbi szabályok szerint rendezve:

1) Az origó a kör jobb szélső pontjában van;

2) Az óramutató járásával ellentétes irányba - pozitív irány; az óramutató járásával megegyező irányba – negatív;

3) Ha a \(t\) távolságot pozitív irányban ábrázoljuk a körön, akkor egy \(t\) értékű ponthoz jutunk;

4) Ha a \(t\) távolságot negatív irányban ábrázoljuk a körön, akkor egy \(–t\) értékű ponthoz jutunk.

Miért hívják a kört számkörnek?
Mert számok vannak rajta. Ily módon a kör hasonló a számtengelyhez - a körön, akárcsak a tengelyen, minden számnak van egy adott pontja.

Miért tudod, mi az a számkör?
A számkör segítségével meghatározzuk a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékeit. Ezért a trigonometria ismerete és letette az egységes államvizsgát 60+ pontért meg kell értened, mi az a számkör, és hogyan kell rá pontokat helyezni.

Mit jelentenek a meghatározásban a „...az egységsugár...” szavak?
Ez azt jelenti, hogy ennek a körnek a sugara egyenlő \(1\). És ha megszerkesztünk egy ilyen kört, amelynek középpontja az origóban van, akkor az \(1\) és \(-1\) pontokban metszi a tengelyeket.

Nem kell kicsire rajzolni, a tengelyek mentén változtathatod a felosztások „méretét”, akkor nagyobb lesz a kép (lásd lent).

Miért pont egy a sugár? Ez kényelmesebb, mert ebben az esetben a kerület \(l=2πR\) képlettel történő kiszámításakor a következőt kapjuk:

A számkör hossza \(2π\) vagy hozzávetőlegesen \(6,28\).

Mit jelent az, hogy „...melynek pontjai valós számoknak felelnek meg”?
Ahogy fentebb említettük, a számkörön bármely valós szám biztosan meglesz a „helye” - egy pont, amely megfelel ennek a számnak.

Miért határozzuk meg az origót és az irányt a számkörön?
A számkör fő célja, hogy minden számhoz egyedileg meghatározza a pontját. De hogyan határozhatja meg, hogy hová tegye a pontot, ha nem tudja, honnan számoljon, és hová mozduljon?

Itt fontos, hogy ne keverjük össze az origót a koordinátaegyenesen és a számkörön - ez kettő különböző rendszerek visszaszámlálás! És ne keverje össze a \(1\)-t az \(x\) tengelyen és a \(0\)-t a körön - ezek különböző objektumok pontjai.

Mely pontok felelnek meg az \(1\), \(2\) stb. számoknak?

Emlékszel, feltételeztük, hogy a számkör sugara \(1\)? Ez lesz az egységszegmensünk (a számtengellyel analóg módon), amelyet a körön ábrázolunk.

Az 1-es számnak megfelelő számkör pontjának megjelöléséhez 0-tól a sugárral egyenlő távolságra kell elmenni a pozitív irányba.

A \(2\) számnak megfelelő kör pontjának megjelöléséhez két sugárral egyenlő távolságot kell megtennie az origótól, így a \(3\) három sugárral egyenlő távolságot jelent, stb.

Ha ezt a képet nézi, 2 kérdés merülhet fel:
1. Mi történik, ha a kör „véget ér” (azaz teljes fordulatot teszünk)?
Válasz: menjünk a második körre! És ha a másodiknak vége, megyünk a harmadikhoz és így tovább. Ezért egy körre végtelen számú szám rajzolható.

2. Hol lesznek negatív számok?
Válasz: ott! Ezek is elrendezhetők, nullától számítva a szükséges sugarakat, de most negatív irányba.

Sajnos a számkörön nehéz egész számokat jelölni. Ennek az az oka, hogy a számkör hossza nem lesz egyenlő egy egész számmal: \(2π\). És a legkényelmesebb helyeken (a tengelyekkel való metszéspontokon) törtek is lesznek, nem egészek

Körméret hívott locus nevű fix ponttól egyenlő távolságra lévő sík pontjai központ.

Legyen a pont a középpont, és a pont
, egy tetszőleges pont a körön. Akkor

ahol R-t hívják sugár kör, vagy bővítve

A (4) egyenletet nevezzük kánoni kör egyenlete.

Megjegyzés. Ha a (4) egyenletben jelöljük
,
és mindkét részt elosztjuk azzal
, megkapjuk az egyenletet
. Hogy. a kör az egyenlő féltengelyű ellipszis speciális esete.

7.1.3. Hiperbola

Túlzás a síkban lévő pontok geometriai helye, amelyek mindegyikére a két fix ponttól való távolságkülönbség modulusa, ún. trükkök, állandó érték.

Hadd
, - fókuszok, távolság
,M a hiperbola tetszőleges pontja. Akkor a definíció szerint megvan

, (5)

Ahol A– meghatározott érték.

Vezessünk be egy koordinátarendszert az alábbi ábrán látható módszerrel.

akkor az (5) összefüggés algebrai transzformációk és az irracionalitás kiküszöbölése után a következőképpen ábrázolható:

(6)

amelyet úgy hívnak a hiperbola kanonikus egyenlete. Ebben a koordinátarendszerben és a megadott (6) egyenletben a hiperbola grafikonja a következőképpen alakul:

Ha a hiperbola egyenletnek megvan a formája

(7)

akkor ennek megfelelően a grafikonja így néz ki:

Lehetőségek És féltengelyeknek nevezzük - érvényes, - kifejezett. Paraméter

(8)

hívott különcség. A hiperbola formáját jellemzi.

Vegyük észre a hiperbola néhány tulajdonságát.

1) A hiperbolának legalább két szimmetriatengelye és egy szimmetriaközéppontja van.

Valóban, pont (0;0) a hiperbola gráf bármely helyére a kanonikus koordinátarendszerben ez a szimmetria középpontja. A szimmetriatengelyek szerepét a tengelyek játsszák ÓÉs OU.

2) A hiperbola az egyik szimmetriatengelyt két pontban metszi, úncsúcsok , a hiperbola nem metszi a másik szimmetriatengelyt.

Ilyenek az első gráfban a (6) hiperbola csúcsai a tengelyen helyezkednek el Ó, ezek a pontok
És
, a második grafikonon (7) - a tengelyen OU,-Ez
És
.

3) A hiperbolának vannak aszimptotái, vagyis olyan egyenesek, amelyekhez a hiperbola korlátlanul közelít., ha egy rajta csúszó pont a végtelenbe megy.

Egy kanonikus egyenletű hiperbolához
az aszimptotákat az egyenletek írják le

És
. (9)

Az egyenlettel megadott hiperbolára
az aszimptotákat egyenesek adják

. (10)

Hiperbola trükkök
(vagy
Mert
) ugyanazon a tengelyen helyezkednek el a csúcsaival. Itt

. (11)

A hiperbola optikai tulajdonsága. A hiperbola egyik fókuszából kilépő sugár a görbéről való visszaverődése után úgy halad, mintha a második fókuszból jött volna ki.

7.1.4. Parabola

Parabola a síkban egy fix ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye, ún fókusz, és ez a sor, amely az ún igazgatónő.

Legyen egyenes l, - igazgatónő, - fókusz és távolságtartó az igazgatónőtől p, és pont M, a parabola tetszőleges pontja. Akkor

Válasszunk egy koordináta-rendszert az alábbiak szerint.

.

Ekkor az irracionalitás kiküszöbölése után a parabola egyenlete felveszi a formáját

,
(12)

amelyet úgy hívnak kanonikus parabola egyenlet. Ebben a koordinátarendszerben és a megadott (12) egyenletben a parabola grafikonja a következő alakú:

A talált kanonikus parabola egyenlethez a direktrix egyenlet

,
(13)

és összpontosítani pontban található
.

Jegyezzük meg az egyik tulajdonságot.

A parabolának egy szimmetriatengelye van.

A fent választott koordinátarendszerben a parabola szimmetriatengelye az Ó.

Megjegyzés. 1. Ha a fókusznak vannak koordinátái
, és a direktrixet az egyenlet írja le
, akkor a parabola egyenlete felveszi a formát

. (14)

Ha a fókuszt a tengelyre helyezzük 0y, akkor az egyenlet alakot ölt

vagy
, (15)

az igazgatónő tartózkodási helyétől függően (
vagy
, illetve). Ezeket az egyenleteket is nevezik kánoni. A megjelölt jellemzők lehetővé teszik a parabola elhelyezkedésének és jellemzőinek (fókuszkoordináták, direktrix egyenlet) egyértelmű meghatározását.

Optikaiingatlanparabolák. A parabola tengelyével párhuzamos sugarak a görbéről való visszaverődés után áthaladnak a fókuszán.

Kör- egy geometriai alakzat, amely a sík egy adott ponttól adott távolságra lévő összes pontjából áll.

Ezt a pontot (O) nevezzük a kör középpontja.
A kör sugara- ez egy szakasz, amely összeköti a középpontot a kör bármely pontjával. Minden sugár azonos hosszúságú (definíció szerint).
Akkord- a kör két pontját összekötő szakasz. A kör középpontján áthaladó akkordot nevezzük átmérő. A kör középpontja bármely átmérő felezőpontja.
A kör bármely két pontja két részre osztja. Ezen részek mindegyikét ún körív. Az ívet ún félkör, ha a végeit összekötő szegmens átmérőjű.
Az egységnyi félkör hosszát jelöli π .
Két közös végű körív fokszámainak összege egyenlő 360º.
A sík kör által határolt részét ún mindenfelé.
Körkörös szektor- a körnek egy ív és két sugár által határolt része, amely összeköti az ív végeit a kör középpontjával. A szektort korlátozó ívet ún az ágazat íve.
Két olyan kört nevezünk, amelyeknek közös középpontja van körkörös.
Két derékszögben metsző kört nevezünk ortogonális.

Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete

1. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a kör sugara ( d), akkor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van. Ebben az esetben a vonalat hívják metsző a körhöz képest.
2. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága egyenlő a kör sugarával, akkor az egyenesnek és a körnek csak egy közös pontja van. Ezt a vonalat hívják a kör érintője, és közös pontjuk az ún az egyenes és a kör közötti érintési pont.
3. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a kör sugara, akkor az egyenes és a kör nincsenek közös pontjaik
.

Középső és beírt szögek

Központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van.
Beírt szög- olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik a kört.

Beírt szög tétel

A beírt szöget annak az ívnek a felével mérik, amelyre benyúlik.

• Következmény 1.
  Az azonos ívet bezáró beírt szögek egyenlőek.


• Következmény 2.
  A félkörrel bezárt beírt szög derékszög.

Tétel metsző akkordok szakaszainak szorzatáról.

Ha egy kör két húrja metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata egyenlő a másik akkord szakaszainak szorzatával.

Alapképletek

• Körméret:

C = 2∙π∙R

• Körív hossza:

R = С/(2∙π) = D/2

• Átmérő:

D = C/π = 2∙R

• Körív hossza:

l = (π∙R) / 180∙α,
Ahol α - a körív hosszának fokmérője)

• Egy kör területe:

S = π∙R 2

• A körkörös szektor területe:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

A kör egyenlete

• BAN BEN téglalap alakú rendszer kör sugarának koordináta egyenlete r egy pontban középre állítva C(x o;y o) alakja:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

• Az origó középpontjával rendelkező r sugarú kör egyenlete a következő:

x 2 + y 2 = r 2

ÉS kör - geometriai alakzatok, összekapcsolva. van egy határvonal szaggatott vonal (görbe) kör,

Meghatározás. A kör egy zárt görbe, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van a kör középpontjának nevezett ponttól.

A kör felépítéséhez egy tetszőleges O pontot választunk, amelyet a kör középpontjaként veszünk fel, és körzővel rajzolunk egy zárt vonalat.

Ha a kör középpontjának O pontja a kör tetszőleges pontjaihoz kapcsolódik, akkor az eredményül kapott szegmensek egyenlőek lesznek egymással, és az ilyen szakaszokat sugárnak nevezzük, rövidítve a latin kis vagy nagy „er” betűvel ( r vagy R). Egy körbe annyi sugarat rajzolhatsz, ahány pont van a kör hosszában.

A kör két pontját összekötő és a középpontján átmenő szakaszt átmérőnek nevezzük. Átmérő kettőből áll sugarak, ugyanazon az egyenes vonalon fekszik. Az átmérőt latin kis vagy nagy „de” betű jelzi ( d vagy D).

Szabály. Átmérő egy kör egyenlő annak kettőjével sugarak.

d = 2r
D=2R

A kör kerületét a képlet számítja ki, és a kör sugarától (átmérőjétől) függ. A képlet tartalmazza a ¶ számot, amely megmutatja, hogy a kerület hányszor nagyobb az átmérőjénél. A ¶ szám rendelkezik végtelen szám tizedes jel. A számításokhoz ¶ = 3,14-et vettünk.

A kör kerületét a „tse” latin nagybetűvel jelöljük ( C). A kör kerülete arányos az átmérőjével. Képletek a kör kerületének a sugara és átmérője alapján történő kiszámításához:

C = ¶d
C = 2¶r

• Példák
• Adott: d = 100 cm.
• Kerület: C=3,14*100cm=314cm
• Adott: d = 25 mm.
• Kerület: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Körmetsző és körív

Minden szekáns (egyenes) két pontban metszi a kört, és két ívre osztja. A körív mérete a középpont és a szekáns távolságától függ, és egy zárt görbe mentén mérik a szekáns és a kör első metszéspontjától a másodikig.

Arcs körök vannak osztva metsző dúrba és mollba, ha a szekáns nem esik egybe az átmérővel, és két egyenlő ívbe, ha a szekáns a kör átmérője mentén halad.

Ha egy szekáns áthalad egy kör középpontján, akkor a körrel való metszéspontok között elhelyezkedő szakasza a kör átmérője, vagy a kör legnagyobb húrja.

Minél távolabb helyezkedik el a szekáns a kör középpontjától, annál kisebb a kör kisebb ívének fokmérője és annál nagyobb a kör nagyobb íve, és a szekáns szakasza, ún. akkord, csökken, ahogy a szekáns távolodik a kör középpontjától.

Meghatározás. A kör egy sík része egy körön belül.

A kör középpontja, sugara és átmérője egyben a megfelelő kör középpontja, sugara és átmérője.

Mivel a kör egy sík része, egyik paramétere a terület.

Szabály. Egy kör területe ( S) egyenlő a sugár négyzetének szorzatával ( r 2) a ¶ számra.

• Példák
• Adott: r = 100 cm
• Egy kör területe:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Adott: d = 50 mm
• Egy kör területe:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ha egy körben két sugarat rajzolunk a kör különböző pontjaira, akkor a kör két része keletkezik, amelyeket ún. ágazatokban. Ha körbe rajzolunk egy húrt, akkor az ív és a húr közötti síkrészt hívjuk körszakasz.

Hasonló cikkek