Funkció y=f(x) hívott elenyésző nál nél x→a vagy mikor x→∞, ha vagy , azaz. az infinitezimális függvény olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban nulla.

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 infinitezimális at x→1, mivel (lásd az ábrát).

2. Funkció f(x)= tg x– végtelenül kicsi at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – végtelenül kicsi x→0.

4. f(x) = 1/x– végtelenül kicsi x→∞.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Ahol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De azóta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Akkor |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek x valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Tekintsük az infinitezimális függvények alapvető tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú végtelen szám algebrai összege egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges kis ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont környékén a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték. A funkció óta f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítást hasonlóan hajtják végre.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és akkor.

Következmény 2. Ha c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. a függvény végtelenül kicsi.

VÉGTELEN KIS FUNKCIÓK ÉS ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK

Funkció y=f(x) hívott elenyésző nál nél x→a vagy mikor x→∞, ha vagy , azaz. az infinitezimális függvény olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban nulla.

Példák.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Ahol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

Tekintsük az infinitezimális függvények alapvető tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú végtelen szám algebrai összege egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges kis ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont környékén a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték. A funkció óta f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítást hasonlóan hajtják végre.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és akkor.

Következmény 2. Ha c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátos függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

VÉGTELEN KIS ÉS VÉGTELEN NAGY FUNKCIÓK KAPCSOLATA

1. tétel. Ha a funkció f(x) végtelenül nagy at x→a, majd az 1. függvény /f(x) végtelenül kicsi a x→a.

Bizonyíték. Vegyünk egy tetszőleges ε számot >0 és ezt mutasd meg egyeseknek δ>0 (ε-től függően) mindenre x, amelyekre |x – a|<δ , az egyenlőtlenség teljesül, és ez azt fogja jelenteni 1/f(x) egy végtelenül kicsi függvény. Valóban, azóta f(x) egy végtelenül nagy függvény at x→a, akkor lesz δ>0 olyan, hogy amint |x – a|<δ , tehát | f(x)|> 1/ ε. De akkor ugyanerre x.

Példák.

A fordított tétel is bebizonyítható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelenül nagy függvény.

Végezze el saját maga a tétel bizonyítását.

Példák.

Így az infinitezimális és a végtelenül nagy függvények legegyszerűbb tulajdonságai a következő feltételes összefüggésekkel írhatók fel: A≠ 0

HATÁRTÉTELEK

1. tétel. Két, három és általában bizonyos számú függvény algebrai összegének határa megegyezik e függvények határainak algebrai összegével, azaz.

Bizonyíték. Végezzük el a bizonyítást két tagra, hiszen ugyanígy tetszőleges számú tagra elvégezhető. Hadd .Akkor f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x), Ahol α És β – infinitezimális függvények. Ennélfogva,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Mert b+c egy állandó, és α(x) + β(x) akkor egy végtelenül kicsi függvény

Példa. .

2. tétel. Két, három és általában véges számú függvény szorzatának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával:

Bizonyíték. Hadd . Ennélfogva, f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x)És

fg = (b + α) (c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Munka időszámításunk előttállandó érték van. Funkció bβ + c α + αβ az infinitezimális függvények tulajdonságai alapján létezik egy infinitezimális mennyiség. Ezért .

Következmény 1. A konstans tényező a határjelen túlra vehető:

.

Következmény 2. A fokhatár egyenlő a határfokkal:

.

Példa..

3. tétel. Két függvény hányadosának határa egyenlő e függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határértéke eltér nullától, azaz.

.

Bizonyíték. Hadd . Ennélfogva, f(x)=b+α(x)És g(x)=c+β(x), Ahol α, β – végtelenül kicsi. Tekintsük a hányadost

A tört egy végtelenül kicsi függvény, mert a számláló egy végtelenül kicsi függvény, és a nevezőnek van határa c 2 ≠0.

Példák.

4. tétel. Legyen három függvény adott f(x), u(x)És v(x), az egyenlőtlenségek kielégítése u (x)≤f(x)≤ v(x). Ha a funkciók u(x)És v(x) ugyanaz a határérték x→a(vagy x→∞), majd a függvényt f(x) ugyanarra a határra hajlik, i.e. Ha

, Azt .

Ennek a tételnek a jelentése világos az ábrából.

A 4. tétel bizonyítása megtalálható például a tankönyvben: Piskunov N. S. Differenciál- és integrálszámítás, 1. kötet - M.: Nauka, 1985.

5. tétel.Én Kövér x→a(vagy x→∞) funkciót y=f(x) nem negatív értékeket fogad el y≥0és ugyanakkor a határra hajlik b, akkor ez a határ nem lehet negatív: b≥0.

Bizonyíték. Ellentmondásos bizonyítást fogunk végezni. Tegyünk úgy, mintha b<0 , Akkor |y – b|≥|b|és ezért a különbségi modulus nem hajlik nullára, amikor x→a. De aztán y nem éri el a határt b nál nél x→a, ami ellentmond a tétel feltételeinek.

6. tétel. Ha két funkciót f(x)És g(x) az érv összes értékére x kielégíti az egyenlőtlenséget f(x)≥ g(x)és vannak határai, akkor az egyenlőtlenség érvényes b≥c.

Bizonyíték. A tétel feltételei szerint f(x)-g(x) ≥0 tehát az 5. Tétel szerint , vagy .

EGYOLDALÚ KORLÁTOK

Eddig fontolgattuk egy függvény határának meghatározását, amikor x→aönkényes módon, pl. a funkció határa nem attól függött, hogy hol helyezték el x felé a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva A, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetjük az egyoldalú határok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b nál nél x egy bizonyos számra hajlamos aÍgy x csak a kisebb értékeket fogadja el a, akkor írnak és hívnak az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

Numerikus függvény definíciója. A függvények megadásának módszerei.

Legyen D egy halmaz az R számegyenesen. Ha minden D-hez tartozó x egyetlen y=f(x) számmal van társítva, akkor azt mondjuk, hogy adott egy f függvény.

A függvények megadásának módjai:

1) táblázatos – véges halmazon definiált függvényekhez.

2) elemző

3) grafika

2 és 3 – végtelen halmazon definiált függvényekhez.

Az inverz függvény fogalma.

Ha az y=f(x) függvény olyan, hogy az x argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, akkor az x változó kifejezhető az y változó függvényében: x=g(y ). A g függvényt f inverzének nevezzük, és f^(-1) jelöli.

A komplex függvény fogalma.

Az összetett függvény olyan függvény, amelynek argumentuma bármely más függvény.

Legyen adott f(x) és g(x) függvény. Készítsünk belőlük két összetett függvényt. Ha az f függvényt külső (fő), a g függvényt belsőnek tekintjük, egy u(x)=f(g(x)) komplex függvényt kapunk.

A sorozathatár meghatározása.

Egy a számot akkor nevezünk sorozat határértékének (xn), ha bármely pozitívhoz van n0 szám, amelyből kiindulva a sorozat összes tagja ε-nál kisebb mértékben tér el a modulustól (azaz az ε-szomszédságba esnek). az a) pontból:

A konvergens sorozatok határértékeinek kiszámításának szabályai.

1. Minden konvergens sorozatnak csak egy határa van. 2. Ha az (x n) sorozat minden eleme egyenlő C-vel (állandó), akkor az (x n) sorozat határértéke is egyenlő C-vel. 3. ; 4. ; 5. .

Korlátozott sorozat definíciója.

Az (x n) sorozatot korlátosnak nevezzük, ha az X=(x n) számhalmaz korlátos: .

Infinitezimális sorozat definíciója.

Egy sorozatot (x n) végtelenül kicsinek mondunk, ha bármely (bármilyen kicsi) >0 esetén van olyan n 0 szám, hogy bármely n>n 0 esetén az |x n |< .

Egy végtelenül nagy sorozat definíciója.

Egy sorozatot végtelenül nagynak nevezünk, ha bármely (mindegy mekkora) A>0 számra van olyan n 0 szám, amelyre minden n>n 0 számra érvényes az |x n |>A egyenlőtlenség.

Monoton sorozatok meghatározása.

Monoton sorozatok: 1) ifx n növelése x n +1 minden n-re, 4) nem növekvő, ha x n x n +1 minden n-re.

Egy függvény határértékének meghatározása egy pontban.

Az y=f(x) függvény határértéke az x 0 pontban (vagy az x x 0 pontban) az a szám, ha az argumentum bármely sorozatának (x n) értékei konvergálnak x 0-hoz (mind x n x 0), a függvény (f(x n)) értékeinek sorozata az a határértékhez konvergál.

Infinitezimális függvény definíciója.

F-iya f(x)-ről azt mondjuk, hogy infinitezimális mint x→A, ha .

Egy végtelenül nagy függvény definíciója.

F-iya f(x) végtelenül nagynak mondható x→A esetén, ha .

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- infinitezimális mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt a végtelen kicsinyek végtelen összegének tekintjük. Az infinitezimálisok számítása a differenciál- és integrálszámítás általános fogalma, amely a modern felsőbb matematika alapját képezi. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Elenyésző

Utóbbi a n hívott elenyésző, Ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, Ha vagy .

Szintén infinitezimális az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, azaz ha , Azt f(x) − a = α( x) , .

Végtelenül nagy mennyiség

Az összes alábbi képletben az egyenlőségtől jobbra lévő végtelennek egy bizonyos jele van (vagy „plusz” vagy „mínusz”). Ez például a függvény x bűn x, mindkét oldalon korlátlan, nem végtelenül nagy -nál.

Utóbbi a n hívott végtelenül nagy, Ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, Ha vagy .

A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy tulajdonságai

Infinitezimálisok összehasonlítása

Hogyan hasonlítsuk össze a végtelenül kicsi mennyiségeket?
Az infinitezimális mennyiségek aránya alkotja az úgynevezett bizonytalanságot.

Definíciók

Tegyük fel, hogy infinitezimális α( x) és β( x) (vagy ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hopital-szabályt használni.

Összehasonlítási példák

Használata RÓL RŐL-szimbolika, a kapott eredményeket a következő formában írhatjuk fel x 5 = o(x 3). Ebben az esetben a következő bejegyzések igazak: 2x 2 + 6x = O(x) És x = O(2x 2 + 6x).

Egyenértékű értékek

Meghatározás

Ha , akkor az α és β végtelenül kicsiny mennyiségeket nevezzük egyenértékű ().
Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi mennyiségek speciális esetét jelentik.

Ha a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek (az ún. figyelemre méltó határok következményeként):

Tétel

Két végtelenül kicsi mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egy ekvivalens mennyiségre cseréljük.

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásakor (lásd a példát).

Használati példa

Csere sénn 2x egyenértékű érték 2 x, kapunk

Történelmi vázlat

Az „infinitezimális” fogalmát már az ókorban tárgyalták az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban, de a klasszikus matematikában nem szerepelt. A 16. században az „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével újjáéledt – a vizsgált figurát végtelenül kis részekre osztva.

A 17. században megtörtént az infinitezimális számítás algebraizálása. Olyan numerikus mennyiségekként kezdték meghatározni őket, amelyek kisebbek bármely véges (nem nulla) mennyiségnél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete abból állt, hogy felállítottunk egy infinitezimálisokat (differenciálokat) tartalmazó relációt, majd integráltuk azt.

A régi iskola matematikusai próbára teszik a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: zseniális hibák halmaza"; Voltaire maróan megjegyezte, hogy a kalkulus olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését.

A sors iróniájának tekinthető a század közepén a nem standard elemzés megjelenése, amely bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tényleges infinitezimálisok - is konzisztens volt, és az elemzés alapjául is használható.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi az „infinitezimális mennyiség” más szótárakban:

VÉGTELEN KIS MENNYISÉG- változó mennyiség egy bizonyos folyamatban, ha ebben a folyamatban végtelenül közelít (hajlik) a nullához... Nagy Politechnikai Enciklopédia

Elenyésző- ■ Valami ismeretlen, de a homeopátiához kapcsolódó... Közös igazságok lexikona

A függvényt hívják végtelenül kicsi at
vagy mikor
, Ha
vagy
.

Például: függvény
végtelenül kicsi at
; funkció
végtelenül kicsi at
.

1. megjegyzés. Az argumentum változási irányának megjelölése nélkül egyetlen függvény sem nevezhető infinitezimálisnak. Igen, a funkció
nál nél
végtelenül kicsi, és mikor
ez már nem végtelenül kicsi (
).

Jegyzet 2. Egy függvénynek egy pontban lévő határértékének meghatározásából a végtelen kicsi függvényekre a következő egyenlőtlenség áll fenn:
Ezt a tényt a jövőben többször fogjuk használni.

Tegyünk néhány fontosat az infinitezimális függvények tulajdonságai.

Tétel (egy függvény, határértéke és az infinitezimális kapcsolatáról): Ha a függvény
konstans szám összegeként ábrázolható Aés infinitezimális függvény
nál nél
, majd a szám

Bizonyíték:

A tétel feltételeiből az következik, hogy a függvény
.

Innentől fejezzük ki
:
. Mivel a funkció
végtelenül kicsi, az egyenlőtlenség érvényes rá
, majd a (
) az egyenlőtlenség is fennáll

Ez pedig azt jelenti
.

Tétel (fordítva): ha
, majd a függvény
szám összegeként ábrázolható Aés végtelenül kicsi at
funkciókat
, azaz
.

Bizonyíték:

Mert
, akkor azért
egyenlőtlenség érvényesül
(*) Tekintsük a függvényt
egyetlenként, és írd át az egyenlőtlenséget (*) az alakba

Az utolsó egyenlőtlenségből az következik, hogy az érték (
) végtelenül kicsi
. Jelöljük
.

Ahol
. A tétel bizonyítást nyert.

1. tétel . Véges számú infinitezimális függvény algebrai összege egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték:

Végezzük el a bizonyítást két tagra, mivel tetszőleges véges számú tagra hasonló módon adjuk meg.

Hadd
És
végtelenül kicsi at
funkciók és
– ezeknek a függvényeknek az összege. Ezt bizonyítsuk be
, van ilyen
ez mindenkinek szól x, kielégítve az egyenlőtlenséget
, az egyenlőtlenség fennáll
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény
ez mindenkinek szól
egyenlőtlenség érvényesül
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény
, és ezért van ilyen ez mindenkinek szól
egyenlőtlenség érvényesül
.

Vessünk egyenlő a kisebb számmal És , majd be –a pont szomszédsága A az egyenlőtlenségek kielégítődnek
,
.

Hozzunk létre egy függvénymodult
és értékelje a jelentőségét.

Azaz
, akkor a függvény infinitezimális, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata
nál nél
korlátozott funkcióhoz
egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték:

Mivel a funkció
korlátos, akkor van egy pozitív szám
ez mindenkinek szól egyenlőtlenség érvényesül
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi at
, akkor van ilyen – egy pont szomszédsága ez mindenkinek szól ezen a környéken az egyenlőtlenség érvényesül
.

Vegye figyelembe a funkciót
és értékelje a modulját

Így
, és akkor
– végtelenül kicsi.

A tétel bizonyítást nyert.

Határtételek.

1. tétel. Véges számú függvény algebrai összegének határa megegyezik ezen függvények határainak algebrai összegével

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához elegendő két függvényt figyelembe venni, ez nem sérti az érvelés általánosságát.

Hadd
,
.

A függvény, határértéke és egy infinitezimális függvény kapcsolatáról szóló tétel szerint
És
formában ábrázolható
Ahol
És
– végtelenül kicsi at
.

Keressük meg a függvények összegét
És

Nagyságrend
állandó érték van
– a mennyiség végtelenül kicsi. Tehát a funkció
egy állandó érték és egy infinitezimális függvény összegeként mutatjuk be.

Aztán a szám
a függvény határa
, azaz

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel . Véges számú függvény szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával

Bizonyíték:

Az érvelés általánosságának elvesztése nélkül két függvény bizonyítását fogjuk elvégezni
És
.

Akkor legyen
,

Keressük meg a függvények szorzatát
És

Nagyságrend
egy állandó mennyiség, egy infinitezimális függvény. Ezért a szám
a függvény határa
, vagyis az egyenlőség igaz

Következmény:
.

3. tétel. Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határa nem nulla

.

Bizonyíték: hagyjuk
,

Akkor
,
.

Keressük meg a hányadost és hajtson végre rajta néhány azonos átalakítást

Nagyságrend állandó, tört
végtelenül kicsi. Ezért a függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolva.

Akkor
.

Megjegyzés. Az 1–3. tétel bizonyítást nyert az esetre
. Ezek azonban akkor alkalmazhatók, amikor
, mivel a tételek bizonyítása ebben az esetben is hasonlóan történik.

Például. Korlátok keresése:

Az első és a második csodálatos határok.

Funkció nincs meghatározva at
. Értékei azonban a nullapont közelében léteznek. Ezért tekinthetjük ennek a függvénynek a határát a
. Ezt a határt hívják első csodálatos határ .

Úgy néz ki:
.

Például . Keresse meg a határokat: 1.
. Kijelöl
, Ha
, Azt
.
; 2.
. Alakítsuk át ezt a kifejezést úgy, hogy a határ az első figyelemre méltó határértékre csökkenjen.
; 3..

Tekintsük az alak egy változóját
, ahol a természetes számok értékeit növekvő sorrendben veszi. Adjunk különböző jelentések: ha

Adni a következő értékeket a készletből
, könnyen belátható, hogy a kifejezés
nál nél
akarat
. Ráadásul az is bebizonyosodott
van határa. Ezt a határt a betű jelzi :
.

Szám irracionális:
.

Most nézzük meg a függvény határát
nál nél
. Ezt a határt hívják második figyelemre méltó határ

Úgy néz ki
.

Például.

A)
. Kifejezés
cserélje ki a termékre azonos tényezők
, alkalmazzuk a szorzathatártételt és a második figyelemre méltó határértéket; b)
. Tegyük fel
, Akkor
,
.

A második figyelemre méltó határértéket használják folyamatos keverési probléma

A betétek készpénzbevételének kiszámításakor gyakran az összetett kamat képletét használják, amely így néz ki:

,

Ahol - kezdeti letét,

- éves banki kamat,

- az éves kamatfelhalmozások száma,

- idő, években.

Az elméleti tanulmányokban azonban a befektetési döntések indokolásakor gyakran az exponenciális (exponenciális) növekedési törvény képletét használják.

.

Az exponenciális növekedési törvény képletét úgy kapjuk meg, hogy a kamatos kamat képletére a második figyelemre méltó határt alkalmazzuk

A funkciók folytonossága.

Vegye figyelembe a funkciót
meghatározott valamikor és a pont valamely környéke . Legyen a függvény értéke a jelzett pontban
.

Definíció 1. Funkció
hívott folyamatos egy ponton , ha egy pont szomszédságában van definiálva, beleértve magát a pontot és
.

A folytonosság definíciója többféleképpen is megfogalmazható.

Hagyja a függvényt
valamilyen értéken határozzuk meg ,
. Ha az érvelés növekményt adni
, akkor a függvény növekményt kap

Legyen a függvény a pontban folytonos (a függvény folytonosságának első meghatározása szerint egy pontban),

Vagyis ha a függvény folytonos a pontban , akkor az argumentum végtelenül kicsi növekménye
ezen a ponton a függvény végtelen kicsi növekménye felel meg.

Ennek a fordítottja is igaz: ha az argumentumban egy végtelen kicsi növekmény felel meg a függvény végtelen kicsi növekményének, akkor a függvény folytonos.

Definíció 2. Funkció
folyamatos at-nak nevezzük
(ponton ), ha ezen a ponton és néhány környezetében van meghatározva, és ha
.

Figyelembe véve a függvény egy pontban való folytonosságának első és második definícióját, a következő állítást kaphatjuk:

vagy
, De
, Akkor
.

Ezért annak érdekében, hogy egy folytonos függvény határértékét megtaláljuk
argumentum helyett elég egy analitikus függvénykifejezést használni helyettesíti az értékét .

Definíció 3. Egy adott tartomány minden pontjában folytonos függvényt hívunk folyamatos ebben a körzetben.

Például:

Példa 1. Bizonyítsuk be, hogy a függvény
folytonos a definíciós tartomány minden pontján.

Használjuk a függvény folytonosságának második definícióját egy pontban. Ehhez vegye fel az argumentum tetszőleges értékét és növelje meg
. Keressük meg a függvény megfelelő növekményét

2. példa Bizonyítsuk be, hogy a függvény
minden ponton folyamatos tól től
.

Mondjuk az érvet növekedés
, akkor a függvény növekszik

Keressük a függvény óta
, azaz korlátozott.

Hasonlóképpen igazolható, hogy minden alapvető elemi függvény definíciós tartományának minden pontján folytonos, azaz egy elemi függvény definíciós tartománya egybeesik annak folytonossági tartományával.

Definíció 4. Ha a függvény
folytonos valamely intervallum minden pontján
, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ezen az intervallumon folytonos.

Hasonló cikkek