Момент на инерция. Инерционен момент на тялото спрямо оста. Инерционен момент отн

Нека има твърдо тяло. Да изберем някаква права OO (фиг. 6.1), която ще наречем ос (правата OO може да е извън тялото). Нека разделим тялото на елементарни сечения (материални точки) с маси
разположени на разстояние от оста
съответно.

Инерционният момент на материална точка спрямо ос (OO) е произведението на масата на материална точка по квадрата на нейното разстояние до тази ос:

. (6.1)

Инерционният момент (MI) на тялото спрямо ос (OO) е сумата от произведенията на масите на елементарните сечения на тялото по квадрата на тяхното разстояние до оста:

. (6.2)

Както можете да видите, инерционният момент на тялото е адитивна величина - инерционният момент на цялото тяло спрямо определена ос равно на суматаинерционни моменти на отделните му части спрямо същата ос.

В такъв случай

Инерционният момент се измерва в kgm 2. защото

, (6.3)

където  – плътност на веществото,
- сила на звука аз- ти раздел, тогава

или преминавайки към безкрайно малки елементи,

. (6.4)

Формула (6.4) е удобна за използване за изчисляване на MI на хомогенни тела с правилна форма спрямо оста на симетрия, минаваща през центъра на масата на тялото. Например, за MI на цилиндър спрямо ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на образуващата, тази формула дава

Където T- тегло; Р- радиус на цилиндъра.

Теоремата на Щайнер предоставя голяма помощ при изчисляването на MI на тела спрямо определени оси: MI на тела азспрямо която и да е ос е равна на сумата от MI на това тяло аз ° Сспрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото и успоредна на дадената, и произведението на масата на тялото на квадрата на разстоянието дмежду посочените оси:

. (6.5)

Силов момент около оста

Нека силата действа върху тялото Е. Нека приемем за простота, че силата Ележи в равнина, перпендикулярна на някаква права линия OO (фиг. 6.2, А), която ще наричаме ос (напр. това е оста на въртене на тялото). На фиг. 6.2, А А- точка на прилагане на силата Е,
- точката на пресичане на оста с равнината, в която лежи силата; r- радиус вектор, определящ позицията на точката Аспрямо точката ОТНОСНО"; О"б = b - рамо на силата. Рамото на силата спрямо оста е най-малкото разстояние от оста до правата линия, върху която лежи векторът на силата Е(дължината на перпендикуляра, прекаран от точката към този ред).

Силовият момент спрямо оста е векторна величина, определена от равенството

. (6.6)

Модулът на този вектор е . Понякога, следователно, те казват, че моментът на сила около оста е произведение на силата и нейното рамо.

Ако силата Ее насочено произволно, тогава може да се разложи на два компонента; И (фиг.6.2, b), т.е.
+, Където - компонент, насочен успоредно на оста OO, и лежи в равнина, перпендикулярна на оста. В този случай под момента на сила Еспрямо оста OO разбирайте вектора

. (6.7)

В съответствие с изрази (6.6) и (6.7), векторът Мнасочена по оста (виж фиг. 6.2, А,b).

Импулсът на тялото спрямо оста на въртене

П Нека тялото се върти около определена ос OO с ъглова скорост
. Нека мислено разделим това тяло на елементарни секции с маси
, които са разположени от оста, съответно на разстояния
и се въртят в кръгове, като имат линейни скорости
Известно е, че стойността е равна
- има импулс аз- сюжет. момент на импулс аз-сечение (материална точка) спрямо оста на въртене се нарича вектор (по-точно псевдовектор)

, (6.8)

Където r аз– радиус вектор, определящ позицията аз- площ спрямо оста.

Ъгловият импулс на цялото тяло спрямо оста на въртене се нарича вектор

(6.9)

чийто модул
.

В съответствие с изразите (6.8) и (6.9) векторите
И насочена по оста на въртене (фиг. 6.3). Лесно е да се покаже, че ъгловият момент на тялото Лспрямо оста на въртене и инерционния момент азна това тяло спрямо една и съща ос са свързани с отношението

. (6.10)

Нека намерим инерционния момент на тялото спрямо оста u, преминавайки през някаква точка ОТНОСНО(фиг. 36).

Фиг.36

По дефиниция, инерционен момент.

Нека да го поставим на място ОТНОСНОначало на координатните оси x, y, z. от правоъгълен триъгълник OAM iследва , където . И тъй като радиус-векторът на точката е , тогава, проектираме това равенство върху оста u, получаваме ( , , - ъгли между оста uи брадви x, y, z).

Както е известно от тригонометрията

И, групирайки подобни членове, съдържащи косинуси на еднакви ъгли, получаваме:

Но – разстояния от точката Маз към брадви x, y, z,съответно. Ето защо

Където I x, I y, I z– инерционни моменти на тялото спрямо координатните оси; I xy, J yz, J xz - центробежни моментиинерцияспрямо осите, отбелязани в индексите.

Ако два центробежни момента на инерция, и двата съдържащи имена на една ос в своите индекси, са равни на нула, тогава тази ос се нарича главна осинерция. Например ако J yz = 0и J xz= 0, след това оста z– главна осинерция.

Тъй като всички моменти на инерция зависят от това къде се намира точката ОТНОСНО, от избора на началото на координатите, тогава е необходимо да се посочи за коя точка се определят тези инерционни моменти. Ако началото на координатите се вземе в центъра на масата СЪС, тогава се наричат всички главни инерционни оси главни централни инерционни оси.

Ако в този момент координатни осиса главните оси на инерция (центробежните инерционни моменти спрямо тях са равни на нула), тогава формула (2) се опростява:

Понякога, въз основа на някои признаци, не е трудно да се намерят основните инерционни оси на тялото.

1. Ако едно хомогенно тяло има ос на симетрия, то тази ос е главната централна ос на инерция.

Наистина ли. Нека насочим координатната ос zпо оста на симетрия. Тогава за всяка точка от тялото с координати ( x i, y i, z i) можете да намерите точка с координати ( -x i, -y i, -z i) и следователно центробежните инерционни моменти и . Така че оста z– главната инерционна ос, а централната ос, т.к центърът на масата, както е известно, се намира на оста на симетрия. Освен това тази ос ще бъде основната за всяка точка, разположена на оста на симетрия.

2. Ако едно хомогенно тяло има равнина на симетрия, тогава всяка ос, перпендикулярна на нея, ще бъде главната ос на инерция за всички точки на тази равнина.

Нека насочим оста zперпендикулярна на равнината на симетрия от всяка точка от нея ОТНОСНО, задавайки началото на координатите там. Тогава за всяка точка от тялото с координати ( x i, y i, z i) можете да намерите точка, симетрична на нея с координати ( x i, y i, - z i). Следователно центробежните инерционни моменти аз xzИ аз yzще бъде равно на нула. Така че оста z– главна инерционна ос.

Пример 9.Нека определим инерционния момент на диска спрямо оста u, разположен под ъгъл спрямо оста на симетрия на диска z(фиг. 37).

Фиг.37

Оси x, yИ z– основен централни осиинерция, защото те са оси на симетрия.

Тогава къде е ъгълът между осите uИ z; ъгъл - ъгълът между осите uИ г, равна на ; ъгъл - ъгълът между осите uИ х, равен на 90°. Ето защо

Диференциал уравнения на движение на системата.

Помислете за система, състояща се от П материални точки. Нека изберем някаква точка от системата с маса . Нека обозначим резултата от всички, приложени към точка външни сили(активни и реакционни връзки) чрез , а резултантната на всички вътрешни сили – чрез . Ако точката има ускорение , то според основния закон на динамиката

Получаваме подобен резултат за всяка точка. Следователно за цялата система ще има:

Тези уравнения, от които може да се определи законът на движение на всяка точка от системата, се наричат диференциални уравнения на движението на систематавъв векторна форма. Уравненията са диференциални, защото ; силите, включени в дясната страна на уравненията, ще бъдат вътре общ случайзависят от времето, координатите на системните точки и техните скорости.

Проектирайки върху някои координатни оси, можем да получим диференциални уравнениядвижение на системата в проекции върху тези оси.

Цялостно решениеОсновният проблем на динамиката на системата би бил, знаейки дадените сили, да интегрира съответните диференциални уравнения и по този начин да определи закона на движение на всяка от точките на системата поотделно.

Това решение обаче обикновено не се използва по две причини. Първо, този път е твърде сложен и почти винаги е свързан с непреодолими математически трудности. Второ, в повечето случаи при решаването на задачи на механиката е достатъчно да се знаят някои обобщени характеристики на движението на системата като цяло, а не движението на всяка нейна точка поотделно. Тези обобщени характеристики се определят с помощта на общи теоремидинамика на системата, към чието изследване ще пристъпим.

Основната роля на уравненията е, че те или следствията от тях са отправни точки за получаване на съответните общи теореми.

Общи теоремидинамика на механична система: теореми за движението на центъра на масата на механична система и за промяна на импулса, теореми за промяна на кинетичния импулс и кинетичната енергия са следствие от основното уравнение на динамиката. Тези теореми не разглеждат движението на отделни точки и тела, включени в механична система, а някои интегрални характеристики, като движението на центъра на масата на механичната система, нейния импулс, кинетичен моментИ кинетична енергия. В резултат на това неизвестните се изключват от разглеждане вътрешни сили, а в някои случаи и реакцията на връзките, което значително опростява решението на проблема.

Често чуваме изразите: „инертен е“, „движи се по инерция“, „инерционен момент“. IN преносен смисълдумата "инерция" може да се тълкува като липса на инициатива и действие. Интересуваме се от прякото значение.

Какво е инерция

Според определението инерциявъв физиката това е способността на телата да поддържат състояние на покой или движение при липса на външни сили.

Ако всичко е ясно със самата концепция за инерция на интуитивно ниво, тогава момент на инерция– отделен въпрос. Съгласете се, трудно е да си представите какво е това. В тази статия ще научите как да решавате основни задачи по темата "Момент на инерция".

Определяне на инерционния момент

От училищния курс се знае, че маса - мярка за инерцията на тялото. Ако бутаме две колички с различна маса, тогава по-тежката ще бъде по-трудна за спиране. Тоест, колкото по-голяма е масата, толкова по-голямо е външното влияние, необходимо за промяна на движението на тялото. Разгледаното се отнася за постъпателното движение, когато количката от примера се движи по права линия.

По аналогия с маса и движение напрединерционният момент е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение около ос.

Момент на инерция– скаларни физическо количество, мярка за инерцията на тялото при въртене около ос. Означава се с буквата Дж и в системата SI измерено в килограми по квадратен метър.

Как да изчислим инерционния момент? Във физиката има обща формула, по която се изчислява инерционният момент на всяко тяло. Ако едно тяло е натрошено на безкрайно малки парчета с маса дм , тогава инерционният момент ще бъде равен на сумата от произведенията на тези елементарни маси на квадрата на разстоянието до оста на въртене.

Това е общата формула за инерционния момент във физиката. За материална точка от маса м , въртящи се около ос на разстояние r от него тази формула приема формата:

Теорема на Щайнер

От какво зависи инерционният момент? От масата, положението на оста на въртене, формата и размера на тялото.

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер е много важна теорема, която често се използва при решаване на проблеми.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер гласи:

Инерционният момент на тялото спрямо произволна осе равна на сумата от инерционния момент на тялото около ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на произволна ос, и произведението на масата на тялото по квадрата на разстоянието между осите.

За тези, които не искат постоянно да интегрират, когато решават задачи за намиране на инерционния момент, представяме чертеж, показващ инерционните моменти на някои еднородни тела, които често се срещат в задачи:

Пример за решаване на задача за намиране на инерционния момент

Нека разгледаме два примера. Първата задача е да се намери инерционният момент. Втората задача е да се използва теоремата на Хюйгенс-Щайнер.

Задача 1. Намерете инерционния момент на хомогенен диск с маса m и радиус R. Оста на въртене минава през центъра на диска.

Решение:

Нека разделим диска на безкрайно тънки пръстени, чийто радиус варира от 0 преди Ри помислете за един такъв пръстен. Нека неговият радиус е r, а масата – дм. Тогава инерционният момент на пръстена е:

Масата на пръстена може да бъде представена като:

Тук дз– височина на пръстена. Нека заместим масата във формулата за инерционния момент и интегрираме:

Резултатът беше формула за инерционния момент на абсолютно тънък диск или цилиндър.

Задача 2. Нека отново има диск с маса m и радиус R. Сега трябва да намерим инерционния момент на диска спрямо оста, минаваща през средата на един от неговите радиуси.

Решение:

От предишната задача е известен инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през центъра на масата. Нека приложим теоремата на Щайнер и да намерим:

Между другото, в нашия блог можете да намерите други полезни материали по физика и решаване на проблеми.

Надяваме се, че ще намерите нещо полезно за себе си в статията. Ако възникнат трудности в процеса на изчисляване на тензора на инерцията, не забравяйте за студентската служба. Нашите специалисти ще ви посъветват по всеки въпрос и ще помогнат за решаването на проблема за няколко минути.

. (6.1)

. (6.2)

Както можете да видите, инерционният момент на тялото е адитивна величина - инерционният момент на цялото тяло спрямо определена ос е равен на сумата от инерционните моменти на отделните му части спрямо същата ос.

В такъв случай

Инерционният момент се измерва в kgm 2. защото

, (6.3)

където  – плътност на веществото,
- сила на звука аз- ти раздел, тогава

или преминавайки към безкрайно малки елементи,

. (6.4)

Където T- тегло; Р- радиус на цилиндъра.

. (6.5)

Силов момент около оста

Силовият момент спрямо оста е векторна величина, определена от равенството

. (6.6)

. (6.7)

В съответствие с изрази (6.6) и (6.7), векторът Мнасочена по оста (виж фиг. 6.2, А,b).

Импулсът на тялото спрямо оста на въртене

, (6.8)

Където r аз– радиус вектор, определящ позицията аз- площ спрямо оста.

Ъгловият импулс на цялото тяло спрямо оста на въртене се нарича вектор

(6.9)

чийто модул
.

. (6.10)

Да разгледаме материална точка с маса m, която се намира на разстояние r от фиксирана ос(фиг. 26). Инерционният момент J на материална точка спрямо ос е скаларна физическа величина, равна на произведението на масата m на квадрата на разстоянието r до тази ос:

J = mr 2(75)

Инерционният момент на система от N материални точки ще бъде равен на сумата от инерционните моменти на отделните точки:

Ориз. 26.

За определяне на инерционния момент на точка.

Ако масата е разпределена непрекъснато в пространството, тогава сумирането се заменя с интегриране. Тялото е разделено на елементарни обеми dv, всеки от които има маса dm.

Резултатът е следният израз:

За еднородно по обем тяло плътността ρ е постоянна и елементарната маса се записва във формата:

dm = ρdv, трансформираме формула (70), както следва:

Размер на инерционния момент - кг*м 2.

Инерционният момент на тялото е мярка за инерцията на тялото при въртеливо движение, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при постъпателно движение.

Момент на инерция -това е мярка за инертни свойства твърдопо време на въртеливо движение, в зависимост от разпределението на масата спрямо оста на въртене. С други думи, инерционният момент зависи от масата, формата, размера на тялото и положението на оста на въртене.

Всяко тяло, независимо дали се върти или е в покой, има инерционен момент спрямо всяка ос, точно както тялото има маса независимо дали се движи или е в покой. Подобно на масата, инерционният момент е адитивна величина.

В някои случаи теоретичното изчисляване на инерционния момент е доста просто. По-долу са инерционните моменти на някои твърди тела с правилна геометрична форма около ос, минаваща през центъра на тежестта.

Инерционен момент на безкрайно плосък диск с радиус R спрямо ос, перпендикулярна на равнината на диска:

Инерционен момент на топка с радиус Р:

Инерционният момент на дължината на пръта Лспрямо оста, минаваща през средата на пръта, перпендикулярна на нея:

Инерционен момент на безкрайно тънък обръч с радиус Рспрямо ос, перпендикулярна на нейната равнина:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос се изчислява с помощта на теоремата на Щайнер:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос е равен на сумата от инерционния момент спрямо ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на дадената, и произведението на масата на тялото от квадрата на разстоянието между осите.

Използвайки теоремата на Щайнер, изчисляваме инерционния момент на прът с дължина Лспрямо оста, минаваща през края, перпендикулярен на него (фиг. 27).

Да се изчисли инерционният момент на пръта

Според теоремата на Щайнер инерционният момент на пръта спрямо оста O'O' е равен на инерционния момент спрямо оста OO плюс MD 2. От тук получаваме:

Очевидно: моментът на инерция не е еднакъв по отношение на различните оси и следователно, когато решаваме задачи за динамиката на въртеливото движение, моментът на инерция на тялото спрямо оста, която ни интересува, трябва да се търси отделно всеки път. . Така например при проектирането на технически устройства, съдържащи въртящи се части (в железопътния транспорт, самолетостроенето, електротехниката и др.), Необходими са познания за стойностите на инерционните моменти на тези части. При сложна форма на тялото, теоретичното изчисляване на неговия инерционен момент може да бъде трудно за изпълнение. В тези случаи те предпочитат да измерват експериментално инерционния момент на нестандартна част.

Момент на сила F спрямо точка O