Вероятностно пространство

Първо теоретични резултатиспоред теорията на вероятностите те включват

до средата на 17 век и принадлежи на Б. Паскал, П. Ферма, Х. Хюйгенс, Й. Бернули. Тази теория дължи своите успехи през 18 век и началото на 19 век на А. Моавър, П. Лаплас, К. Гаус, С. Поасон, А. Лежандр. Значителен напредък в теорията на вероятностите е постигнат в края на 19 и началото на 20 век в трудовете на Л. Болцман, П. Чебишев, А. Ляпунов, А. Марков, Е. Борел и др началото на 20 век, строга и последователна теория. Само аксиоматичният подход направи възможно постигането на това. Първо аксиоматична конструкциятеория е направена от S.N. Bernstein през 1917 г., който основава своите конструкции на сравнение на случайни събития според тяхната степен на вероятност. Този подход обаче не беше доразвит. Аксиоматичният подход, основан на теорията на множествата и теорията на мярката, разработен от А. Н. Колмогоров през 20-те години на 20 век, се оказа по-плодотворен. В аксиоматиката на Колмогоров концепцията за случайно събитие, за разлика от класическия подход, не е първоначална, а е следствие от по-елементарни концепции. Източникът на Колмогоров е множеството (пространството) W от елементарни събития (пространството на резултатите, пространството на извадката). Природата на елементите на това пространство няма значение.

Ако A, B, C О W , тогава е очевидно следващи отношения, установени в теорията на множествата:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

където горната черта обозначава допълнението в W; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

тук Æ означава празното множество, т.е. невъзможно събитие.

В аксиоматиката на Колмогоров се разглежда определена система U от подмножества на множеството W, чиито елементи се наричат ​​случайни събития. Система U отговаря на следните изисквания: ако подмножествата A и B на множеството W са включени в системата U, то тази система съдържа и множествата A È B, A Ç B, A и B; самото множество W също е елемент от системата U. Такава система от множества се нарича (булева) алгебра от множества.

Очевидно от дефиницията на алгебрата на множествата следва, че семейството U съдържа и празното множество Æ. По този начин алгебрата на множествата (т.е. множеството от случайни събития) е затворена по отношение на операциите на добавяне, пресичане и образуване на допълнения и следователно елементарните операции върху случайни събития не водят отвъд множеството от случайни събития U.

За повечето приложения е необходимо да се изисква семейството от множества U да включва не само крайни суми и пресечни точки на подмножества на W, но и изброими суми и пресечни точки. Това ни води до дефиницията на понятието s-алгебра.

Определение 1.1. S-алгебра е семейство от подмножества (U) на множество W, което е затворено спрямо операциите за образуване на допълнения, изброими суми и изброими пресечни точки.

Ясно е, че всяка s-алгебра съдържа самото множество W и празното множество. Ако е дадено произволно семейство U от подмножества на множество W, тогава най-малката s-алгебра, съдържаща всички множества на семейството U, се нарича s-алгебра, генерирана от семейството U.

Най-голямата s-алгебра съдържа всички подмножества на s; то е полезно в дискретни пространства W, в които вероятността обикновено е дефинирана за всички подмножества на множеството W. Въпреки това, в по-общи пространства, дефинирането на вероятност (определението на вероятността ще бъде дадено по-долу) за всички подмножества е или невъзможно, или нежелателно. Друга крайна дефиниция на s-алгебра може да бъде s-алгебра, състояща се само от множеството W. и празното множество Æ.

Като пример за избора на W и s-алгебрата на подмножества U, разгледайте игра, в която участниците хвърлят зар, върху всяка от шестте лица на който са отпечатани числата от 1 до 6 за всяко хвърляне на зара , се реализират само шест състояния: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 и w 6, i-тото от които означава, че се хвърлят i точки. Семейството U от случайни събития се състои от 2 6 = 64 елемента, съставени от всички възможни комбинации w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Случайни събития, т.е. Често ще означаваме елементи от s-алгебрата U с буквите A, B,... Ако две случайни събития A и B не съдържат еднакви елементи w i ОW, тогава ще ги наречем несъвместими. Събитията A и A се наричат ​​противоположни (в други означения вместо A можем да поставим CA). Сега можем да преминем към дефиниране на концепцията за вероятност.

Определение 1.2.Вероятностна мярка P на s-алгебра U на подмножества на множество W е функция на множество P, която удовлетворява следните изисквания:

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, т.е. притежаващ свойството на изброима адитивност, където A k са взаимно несъответстващи множества от U.

По този начин, каквото и да е примерното пространство W, ние приписваме вероятности само на набори от някаква s-алгебра U и тези вероятности се определят от стойността на мярката P на тези набори.

По този начин, във всяка задача за изучаване на случайни събития, първоначалната концепция е извадковото пространство s, в което s-алгебрата е избрана по един или друг начин, върху която вече е определена вероятностната мярка P. Следователно можем да дадем следното определение

Определение 1.3.Вероятностното пространство е тройка (W,U,P), състояща се от примерно пространство W,s-алгебра U на нейните подмножества и вероятностна мярка P, дефинирана върху U.

На практика може да има проблеми, при които различни вероятности се приписват на едни и същи случайни събития от U. Например, в случай на симетричен зар, естествено е да поставите:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

и ако костта е асиметрична, тогава следните вероятности може да са по-съвместими с реалността: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w 6) = 1/12.

Ще се занимаваме главно с множества W, които са подмножества на крайномерното евклидово пространство Rn. Основният обект на теорията на вероятностите са случайните променливи, т.е. някои функции, дефинирани в примерното пространство W. Нашата първа задача е да ограничим класа от функции, с които ще работим. Препоръчително е да се избере клас от функции, така че стандартните операции, върху които няма да бъдат извлечени от този клас, по-специално, така че, например, операциите за вземане на точкови граници, състав на функции и т.н. няма да бъдат извлечени от този клас клас.

Определение 1.4.Най-малкият клас функции B, който е затворен при поточкови гранични преходи (т.е. ако ¦ 1 , ¦ 2 ,... принадлежат към клас B и за всички x има граница ¦(x) = lim¦ n (x), тогава ¦( x) принадлежи на B), съдържащ всичко непрекъснати функции, се нарича клас Baer.

От тази дефиниция следва, че сумата, разликата, произведението, проекцията, композицията на две функции на Бер са отново функции на Бер, т.е. всяка функция на функцията на Baire отново е функция на Baire. Оказва се, че ако се ограничим до по-тесни класове функции, тогава не може да се получи никакво укрепване или опростяване на теорията.

IN общ случайслучайни променливи, т.е. функциите X = U(x), където XÎWÌR n, трябва да бъдат дефинирани така, че събитията (X £ t) за всяко t да имат определена вероятност, т.е. така че множествата (X £ t) принадлежат към семейството U, за чиито елементи се определят вероятностите P, т.е. така че да се определят стойностите на P(X £ t). Това ни води до следната дефиниция на измеримостта на функция по отношение на семейството U.

Определение 1.5. Реална функция U(x), xОW, се нарича U-измерим, ако за всяко реално t множеството от онези точки xОW, за които U(x) £ t принадлежи към семейството U.

Тъй като s-алгебрата U е затворена спрямо операцията за вземане на допълнения, тогава в дефиницията на измеримостта неравенството £ може да бъде заменено с всяко от неравенствата ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Както вече беше посочено, s-алгебрата може да бъде избрана доста произволно, и по-специално, както следва: първо, n-мерни интервали са дефинирани в пространството WÎR n, след това, използвайки операциите на алгебрата на множествата, набори от по-сложни структура може да бъде конструирана от тези интервали и се формират семейства от множества. Сред всички възможни семейства може да се избере едно, което съдържа всички отворени подмножества в W. Тази конструкция води до следната дефиниция.

Определение 1.6.Най-малката s-алгебра U b, съдържаща всички отворени (и следователно всички затворени) подмножества на множествата WÌ R n, се нарича борелова s-алгебра, а нейните множества се наричат ​​борелови.

Оказва се, че класът от функции на Беер B е идентичен с класа от функции, измерими по отношение на s-алгебрата U b на множествата на Борел.

Сега можем ясно да дефинираме концепцията за случайна променлива и нейната функция на разпределение на вероятностите.

Определение 1.7.Случайна величина X е реална функция X =U(x), xОW, измерима спрямо s-алгебрата U, включена в дефиницията на вероятностното пространство.

Определение 1.8.Функцията на разпределение на случайна променлива X е функцията F(t) = P(X £ t), която определя вероятността случайната променлива X да не надвишава стойността t.

За дадена функция на разпределение F вероятностната мярка може да бъде конструирана недвусмислено и обратно.

Нека разгледаме основните вероятностни закони, използвайки примера на крайно множество W. Нека A,BÌ W. Ако A и B съдържат общи елементи, т.е. AB¹0, тогава можем да напишем: A+B=A+(B-AB) и B = AB+(B-AB), където от дясната страна има несвързани множества (т.е. несъвместими събития) и следователно, по свойството на адитивност вероятностна мярка: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); оттук следва формулата за сумата от вероятностите за произволни събития: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Ако не са наложени условия при изчисляване на вероятността за събитие A, тогава вероятността P(A) се нарича безусловна. Ако се осъществи събитие А, например, при условие че се осъществи събитие В, тогава говорим за условна вероятност, като я обозначаваме със символа P(A/B). В аксиоматичната теория на вероятностите по дефиниция се приема:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

За да направите това определение интуитивно ясно, помислете например за следната ситуация. Нека една кутия съдържа k листа хартия, обозначени с буквата A, r листа хартия, обозначени с буквата B, m парчета хартия, обозначени с буквите A B и n празни парчета хартия. Има p = k + r + n + m парчета хартия. И нека листчетата се изваждат от кутията един след друг и след всяко издърпване се отбелязва вида на извадената хартия и се връща обратно в кутията. Записват се резултатите от много голям брой такива тестове. Условната вероятност P(A/B) означава, че събитие A се разглежда само във връзка с изпълнението на събитие B. В този пример това означава, че е необходимо да се преброи броят на извадените листчета с буквите A·B и буквата B и разделете първото число на сумата от първото и второто число. При достатъчно голям брой опити това съотношение ще клони към числото, което определя условната вероятност P(A/B). Подобно преброяване на други парчета хартия ще покаже това

Изчислителен коефициент

Уверяваме се, че тя съвпада точно със стойността, която предварително сме изчислили за вероятността P(A/B). Така получаваме

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Провеждайки подобни разсъждения, разменяйки A и B, получаваме

P(A B) = P(B/A) P(A)

Равенства

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

наречена теорема за умножение на вероятностите.

Разгледаният пример също ни позволява ясно да проверим валидността на следното равенство за A·B¹Æ:

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Пример 1.1.Нека зарът бъде хвърлен два пъти и трябва да определите вероятността P(A/B) да получите общо 10 точки, ако първото хвърляне е 4.

Вероятността да получите 6 при второ хвърляне е 1/6. следователно

Пример 1.2.Нека има 6 урни:

в урна от тип А 1 има две бели и една черна топка, в урна от тип А 2 има две бели и две черни топки, в урна от тип А 3 има две черни и една бяла топка. Има 1 урна тип А 1, 2 урни тип А 2 и 3 урни тип А 3. На случаен принцип се избира урна и от нея се тегли топка. Каква е вероятността тази топка да е бяла? Нека означим с B събитието на изтегляне на бялата топка.

За да решим задачата, приемем, че някакво събитие B се реализира само заедно с едно от n несъвместими събития A 1,..., A n, т.е. B = , където събития VA i и VA j с различни индекси i и j са несъвместими. От свойството на адитивност на вероятността P следва:

Като заместим тук зависимостта (1.1), получаваме

Тази формула се нарича формула за обща вероятност. За да решим последния пример, ще използваме формулата за пълна вероятност. Тъй като бялата топка (събитие B) може да бъде взета от една от трите урни (събития A 1, A 2, A 3), можем да напишем

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Формулата за обща вероятност дава

Нека изчислим вероятностите, включени в тази формула. Вероятността топката да бъде взета от урна от тип A 1 очевидно е равна на P(A 1) = 1/6, от урна от тип A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 и от урна от тип A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Ако топката е взета от урна от тип A 1, тогава P(B/A 1) = 2/3, ако от урна от тип A 2, тогава P(B/A 2)=1/2 и ако от урна от тип A 3, тогава P(B/A 3) = 1/3. По този начин,

P(B) = (1/6)(2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Условната вероятност Р(В/А) притежава всички свойства на вероятността Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 и P(В/А) е адитивна.

Тъй като

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

тогава следва, че ако A не зависи от B, т.е. ако

P(A/B) = P(A),

тогава B не зависи от A, т.е. P(B/A) = P(B).

Така, в случай на независими събития, теоремата за умножение приема най-простата форма:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Ако събития A и B са независими, тогава всяка от следните двойки събития също е независима: (A,B), (A,B), (A,B). Нека се уверим, например, че ако A и B са независими, тогава A и B също са независими. Тъй като P(B/A) + P(B/A) = I, тогава, като вземем предвид условието за независимост. на събития А и Б, т.е. условия P(B/A) = P(B), следва: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Събитията могат да бъдат независими по двойки, но да се окажат зависими в съвкупността. В тази връзка се въвежда и концепцията за взаимна независимост: събития A 1,..., A n се наричат ​​взаимно независими, ако за всяко подмножество E от индекси 1,2,...,n равенството

На практика често е необходимо да се оценят вероятностите на хипотезите след извършване на някои тестове. Нека например събитие B може да се реализира само с едно от несъвместимите събития A 1,...,A n, т.е. и нека се случи събитие B. Изисква се да се намери вероятността за хипотеза (събитие) A i, при условие

какво Б се случи. От теоремата за умножение

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Като се вземе предвид формулата за пълна вероятност за P(B), следва

Тези формули се наричат ​​формули на Бейс.

Пример 1.3.В Пример 1.2, да кажем, че е изтеглена бяла топка и искате да определите вероятността тя да е от урна от тип 3.

По-нататък ще наричаме елемент от сигма алгебрата случайно събитие.

Пълна група от събития

Пълна група от събития е пълна група от подмножества, всяко от които е събитие. Те казват, че събитията на пълна група са част от пространството на елементарните резултати.

Крайна адитивна функция

Позволявам А – алгебра. Функция , преобразуваща алгебрата в множеството от реални числа

се нарича крайно адитивен, ако за всеки краен набор от двойки несъвместими събития

Преброително-добавителна функция

Позволявам Е– алгебра или сигма алгебра. функция

се нарича изброимо адитивен, ако е крайно адитивен за всяко изброимо множество от двойно несъвместими събития

Мярката е неотрицателна изброимо адитивна функция, дефинирана на сигма алгебра, която удовлетворява условието

Крайна мярка

Измерете се нарича краен ако

Вероятност

Вероятност (вероятностна мярка) Птова е такава мярка, че

Отсега нататък ще спрем да измерваме вероятността в проценти и ще започнем да я измерваме в реални числа от 0 до 1.

се нарича вероятност за събитие А

Вероятностно пространство

Вероятностното пространство е колекция от три обекта - пространството на елементарните резултати, сигма алгебрата на събитията и вероятността.

Това е математически модел на случайно явление или обект.

Парадоксът на дефинирането на вероятностно пространство

Нека се върнем към първоначалната формулировка на проблема в теорията на вероятностите. Нашата цел беше да изградим математически модел на случаен феномен, който да помогне за количественото определяне на вероятностите от случайни събития. В същото време, за да се конструира вероятностно пространство, е необходимо да се посочи вероятност, т.е. изглежда е точно това, което търсим (?).

Решението на този парадокс е да се дефинира напълно вероятността като функция на всички елементи Е, обикновено е достатъчно да го настроите само на някои събития от Е, вероятността за което ни е лесно да определим , и след това, използвайки неговата изброима адитивност, изчислете всеки елемент Е.

Независими събития

Важна концепция в теорията на вероятностите е независимостта.

Събитията A и B се наричат ​​независими ако

тези. вероятността тези събития да се случат едновременно е равна на произведението на техните вероятности.

Събитията в изброимо или крайно множество се наричат ​​независими по двойки, ако всяка двойка от тях е двойка независими събития

Общо

Събитията в изброимо или крайно множество се наричат ​​колективно независими, ако вероятността всяко крайно подмножество от тях да се случи едновременно е равна на произведението на вероятностите на събитията от това подмножество.

Ясно е, че колективно независимите събития са независими и по двойки. Обратното не е вярно.

Условна вероятност

Условната вероятност за събитие А, като се има предвид, че събитие Б е настъпило, е количеството

Засега ще дефинираме условна вероятност само за събития B, чиято вероятност не е равна на нула.

Ако събития A и B са независими, тогава

Свойства и теореми

Най-простите свойства на вероятността

Това следва от факта, че А и не-А са противоположни и свойствата на крайната адитивност на вероятността	Вероятност за обратното събитие
Това следва от факта, че невъзможните и определени събития са противоположни	Вероятност за невъзможно събитие
Това следва от факта, че	Монотонност на вероятността и в този случай
Това следва от факта, че всяко събитие се съдържа в пространството на елементарните резултати	Ограничена вероятност
Следва от представителството	Вероятност за комбиниране на събития
Следва от предишното	Полуадитивност на вероятността
Следва от изброимата адитивност на вероятността и дефиницията на пълната група от събития	Вероятности за пълна група от събития Сумата от вероятностите за пълна група събития е 1.
Следва от изброимата адитивност на вероятността, определението за пълна група от събития и определението за условна вероятност	Формула за пълна вероятност Ако … е пълна група от събития, тогава за всяко събитие A Ако вероятностите за всички събития в пълна група са по-големи от нула, тогава също
Следва от предходната формула и определението за условна вероятност	Формула на Бейс Ако … е пълна група от събития с ненулева вероятност, тогава за всяко събитие А с ненулева вероятност

Тази глава представя накратко еволюцията на теорията на вероятностите от класическата схема с краен брой еднакво възможни резултати до аксиоматичната конструкция. Въвеждат се най-важните понятия от теорията на вероятностите: пространството на елементарните събития, случайните събития и действията върху тях, полето на събитията, вероятността, вероятностното пространство.

КЛАСИЧЕСКА ДЕФИНИЦИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА

Надежденнаричаме събитие, което със сигурност ще се случи, когато са изпълнени определен набор от условия. Например водата замръзва при нормални атмосферни условия и 0°C. съответно невъзможене събитие, което при даден набор от условия никога няма да се случи. СлучаенЕстествено е да се посочи събитие, което при даден набор от условия може или не може да се случи. Мярката за възможността за възникване на такова събитие е неговата вероятност.Определени и невъзможни събития могат да се разглеждат като екстремни специални случаи на случайни събития.

По-нататък ще обозначаваме случайни събития с главни латински букви. A, B, C,.......Надеждно събитие означаваме с буквата?2, невъзможно събитие със символа 0. Нека сега въведем някои връзки между събитията.

Две събития АИ INса несъвместими, ако появата на един от тях изключва появата на другия. Сума от събитияА, Б- това е третото събитие C = A + B,което се случва, когато настъпи събитие а,или събитие IN,или и двете едновременно. Продуциране на събитияА, Б- това е такова събитие C = AB,което се случва, когато събитието се случи а,и събитие IN.Събитие И обратнотосъбитие а,ако е несъвместимо със събитието Аи заедно с това образува надеждно събитие A + A = Q..

Нека да покажем как могат да бъдат конструирани математически модели на явления с краен брой резултати. Един такъв модел е модел, известен като класическата вероятностна схема. В тази схема определянето на вероятността се основава на еднаквата възможност за всеки от краен брой резултати, което е типично за първите опити за изчисляване на шансовете в хазарта.

И така, в случай на зар, когато бъде хвърлен веднъж, е еднакво възможно да се появи всяко от шестте лица, върху които са отбелязани числата 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нека обозначим тези еднакво възможни резултати , или елементарни събития, чрез C0|, (% (% a> 4, CO5, (% Естествено, шансът да се случат не на един резултат, а на един от два, например или C0[, или (pr, е Разсъждавайки по този начин, можете да определите шансовете за възникване на всяко съставно събитие а,състоящ се от няколко елементарни, т.нар композитенсъбития.

В общия случай, когато има Педнакво възможни елементарни събития (Oi, ..., сс, вероятност за всяко съставно събитие а,състояща се от Tелементарни събития,...,co, се определя като

съотношение на броя на елементарните събития, благоприятстващи дадено събитие а,Да се общ бройелементарни събития, т.е.

Например, в случай на зар, вероятността от събитие а,състояща се от търкаляне на четен брой точки (т.е. А= (co^, (% ou)), равно P(A) = 3/b = V 2, тъй като в събитието Авключва три елементарни събития, а общият брой на елементарните събития е 6.

По-специално от класическата дефиниция на вероятността следва, че вероятността за пълно събитие?2, включително всички Пелементарни събития е равно на единица:

Но тогава пълното събитие?2, състоящо се в появата на някое от целия набор от елементарни събития?2 = (co, ..., w,), е надеждно събитие, тъй като то задължително се случва. Следователно вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Ако събитията се разглеждат като подмножества на набор от елементарни събития, тогава връзките между събитията, въведени по-горе, могат да се интерпретират като отношения между множества. Несъвместими събития са тези събития, които не съдържат общи елементи. Сума (A + B)и производството на събития А Б- това е съответно техният съюз А U INи пресичане АП IN, противоположно събитие А- допълнение А.Записвайте Ас INозначава, че в INсъдържа всички елементарни събития от Аи може да съдържа елементарни събития, които не са включени в А.Ако AczBnBcz A, тогава A = B.

В случая на класическата дефиниция на вероятността е валидна следната теорема за добавяне на вероятности:

Теорема 1.1.Ако две съставни събития Л= (co,.co, ) и B =(с y,..., с й) са несъвместими, тогава вероятността от комбинирано събитие C = A U INе равно на сумата от вероятностите за тези две събития.

Всъщност вероятностите от събития АИ INса съответно равни т/нИ c/p,и събитието C = A U IN= (co,.,..., co,- ,co,-,...,co, ) съдържат

t + kелементарни събития, тъй като според условията на теоремата сред елементарните събития (с,.,...,сo, ) няма нито едно, което да бъде включено

в множеството (С0у,..., С0д), следователно, според класическата дефиниция, неговата вероятност

От теоремата за добавяне следва, че следователно

От тук по-специално следва, че вероятността за невъзможно събитие, което е обратното на надеждно събитие, е равна на нула:

Диаграма на урна

Класическата схема, въпреки всичките си ограничения, е подходяща за решаване на редица чисто практически задачи.

Помислете например за определен набор от обемни елементи Н.Това могат да бъдат продукти, всеки от които е годен или дефектен; или семена, всяко от които може или не може да бъде жизнеспособно; или избиратели, които могат да гласуват за или против даден кандидат и т.н. Ситуации от този вид се описват с урнова диаграма: урната съдържа нтопки, от които Мбяло и (N - M)черен.

Нека си представим, че има само разрушителни средства за тестване на всеки продукт за годност. Например, електрическа лампа се счита за подходяща, ако изминат поне определен брой часове, преди да изгори нажежаемата жичка, и това може да се определи само чрез директно изпитване. В този случай можете да прегледате само част от продуктите, а не цялата партида.

И така, от урната, съдържаща нтопки, съдържащи неизвестно число Мбели топчета, се извлича обемна проба П.

Необходимо е да се определи вероятността пробата да намери Tбели топки. По-специално, определете вероятността, че т/нблизо до М/Нтези. Вярна ли е идеята? население, получени от пробата. Последният от тези два формулирани проблема, както ще бъде показано по-долу, е проблем на математическата статистика.

Първата задача е да се приложи класическата дефиниция на вероятността. Всъщност в описаната ситуация всяка проба няма предпочитание пред никоя друга, т.е. всички те са еднакво възможни. Нека преброим броя на всички възможни обемни проби Пот нелементи. Както е известно от комбинаториката, броят на начините, по които човек може да избира Пелементи от общия им брой

Н,равен на броя на комбинациите от нот l, т.е. с"= ^" където /V! =

N n(N -И)!'

1 2-Н.По този начин общият брой на еднакво възможните резултати е ° С„Н. Нека разберем колко резултата от общия брой елементарни резултати са в полза на събитието а,тези. присъствие в обема на пробата Пброй бели топки T.Броят начини, по които можете Мпремахнете белите топки Tпарчета е равно на и броят начини за избор ( N-M)черни топки (“- T)парчета равни S^~_ t m.Следователно броят на резултатите, благоприятни за събитието а,равно на S^S^~_ t m,следователно,

вероятност за събитие а,равно на съотношението на броя на благоприятните резултати към общия им брой е:

Пример 1.1.Нека има партида, състояща се от 500 продукта, включително два дефектни. Каква е вероятността да не се намери нито един дефектен продукт в извадка от 5 продукта?

Нека използваме формула (1.1.3):

Какво заключение може да се направи за съвкупността, ако в извадката не се открие нито един дефектен продукт? Изглежда естествено това заключение да се разпростре върху цялото население. Така при извадка от 1% от популацията получихме абсолютно неправилен отговор с вероятност 0,98: в популацията няма дефектни продукти. Това заключение от много прост проблем не трябва да обезсърчава, а напротив, да помогне да се направят правилни статистически заключения от извадкови данни. В разглеждания случай очевидно не трябва да се опитвате да оцените дела на дефектните продукти ( N - M)/Nпо техния дял в извадката (П - t)/p,и очевидно е препоръчително да се посочи интервал, който с определена надеждност трябва да покрие неизвестна част от дефектните продукти (N-M)/N.Естествено е да зададете този интервал във формата

--- ± 8, където ширината на интервала е 8 (p, q)е функция на обема П

проби Пи ниво на надеждност ° С.

Освен това е естествено да се очаква (както ще видим по-късно), че ширината на интервала, при равни други условия, намалява с увеличаване на размера на извадката и се увеличава с увеличаване на нивото на надеждност.

Както беше отбелязано по-горе, говорим за вероятност R(L)като мярка за възможността за възникване на случайно събитие Аима смисъл само ако са изпълнени определен набор от условия. С промяната на условията, вероятността ще се промени. Така че, ако към набора от условия, при които е изследвана вероятността P(A),добавете ново условие, състоящо се от настъпване на събитие IN,тогава получаваме различна вероятностна стойност P(A/B) - условновероятност за събитие Апри условие, че събитието се е случило IN.Вероятност P(A)за разлика от условното, което ще наречем безусловен.

Нека сега изведем формулата за условна вероятност. Нека събитията АИ INуслуга тиково дървоелементарни резултати от "; тогава, съгласно формула (1.1.1), техните безусловни вероятности са равни т/нИ c/pсъответно. Нека събитието Апри условие, че събитието INсе случи, услуга Желементарни резултати, тогава, съгласно формула (1.1.1), условната вероятност на събитието А

Деление на числителя и знаменателя на П,получаваме формула за условна вероятност:

защото събитието АП INотговаря Жрезултати и следователно личен лекар- неговата безусловна вероятност. Събитие АНаречен независимаот IN,ако неговата условна вероятност е равна на безусловната, т.е. P(A/B) = P(A),Освен това от формула (1.1.4) получаваме

тези. свойството на независимост е реципрочно и за независими събития вероятността за тяхното пресичане е равна на произведението на техните вероятности. Формула (1.1.4), написана във формуляра

Наречен формула за умножение за зависими събития,и формула (1.1.5) - теорема за умножение за независими събития.

Например, в експеримента с цената на хазарта: нека събитието Асе състои от разточване на брой точки, делими на три, т.е. А =(с, s%) и събитие IN- при загуба на четен брой точки, т.е. IN= (co^, sch, ssts); Тогава АП IN= с 6 и използвайки формулата за условна вероятност (1.1.4) получаваме:

Но P(A) =Следователно 2/6 = Ouz P(A/B) = P(A),тези. събития Ау Бнезависима.

Те казват, че има вероятностен (математически) модел на случаен опит, ако се изгради следното:

1) пространство на елементарни събития д

2) поле за събития ДА СЕ

3) разпределение на вероятностите в областта на събитията ДА СЕ, т.е. за всяко събитие Аот полето за събитие K се дава вероятността Р(А)

Три обекта ( д, ДА СЕ, Р) се нарича вероятностно пространство (модел) на даден случаен експеримент.

Ако д– дискретно, тогава ( д, ДА СЕ, Р) се нарича дискретна.

Ако д– непрекъснато, тогава ( д, ДА СЕ, Р) се нарича непрекъснат.

§6. Класически вероятностен модел.

Вероятностният модел се нарича класически, ако са изпълнени следните 2 условия:

1) пространството на елементарните събития е дискретно ограничено, състои се от нелементарни събития д={д 1, д 2, …, e n}

2) - вероятностите на всички елементарни събития са равни

Вероятностното пространство се дефинира, както следва:

за дадено пространство дполе за събитие ДА СЕ- има набор от всички подмножества на д, и вероятностите Р(А) за всяко събитие Аот ДА СЕсе изразяват чрез вероятностите за елементарни събития.

Според аксиома 3:

§7. Геометрични вероятности.

Класически модел: дискретно вероятностен модел

Геометричен модел: непрекъснат вероятностен модел

(д, ДА СЕ, Р)

д– непрекъснато пространство, набор от точки от област на равнина

ДА СЕ={А}

Аот д: А- дължина; А- квадрат; А- сила на звука

Тези вероятностни пространства служат като модел за проблеми от този тип:

Точка се хвърля произволно, наблюдава се събитие: точката удря зоната А. „Случаен“ означава: вероятността от събитие Азависи от района А, не зависи от неговата форма и позиция д.

§8. Теорема за събиране на вероятности.

(Да не се бърка с аксиомата за добавяне на вероятности).

Теорема.Дадено е вероятностно пространство ( д,ДА СЕ, Р), има събития А, INд.

Според аксиома 3:

Като извадим 2-то равенство от 1-вото равенство, получаваме и т.н.

Забележка: Аксиома 3 предполага, че ако събитията образуват пълна група,

I - пълна група

§9. Условни вероятности.

Пример.

Монета се хвърля три пъти. Резултат: номер или герб.

А– гербът изпадна веднъж;

Нека дадено събитие се случи в резултат на преживяното IN. Броят на изтеглените емблеми е нечетен.

Тогава ако INсе случи, .

Нека разгледаме една по-обща ситуация: нека класически вероятностен модел съответства на някакъв случаен опит.

, нелементарни събития

rелементарни събития също са включени в Аи в IN.

Нека намерим вероятността за събитието Апри положение, че се е случило IN. Ако INсе случи, тогава вероятността му е 1, тогава .

Събитие Авъзниква, ако се случи елементарно събитие, което принадлежи на пресечната точка, има само r.

определение:нека бъде дадено вероятностно пространство ( д, ДА СЕ, Р); А, IN- събития. Ако , тогава условната вероятност на събитието Апри условие, че събитието INсе случи, наречено връзка

Теорема за умножение на вероятностите.

Вероятност да се случат две събитияе равно на произведението на вероятността за едно от събитията и условната вероятност за другото, изчислена при условие, че първото събитие се е случило.

Вероятността за генериране на n събития.

Пример.

В урната има 12 топки: 5 бели, 7 черни. 2 лица изваждат една топка едно след друго. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

А– Петя има бяла топка

IN– Маша има бяла топка

Пример.

Вероятността за попадение в целта при стрелба от 1-во и 2-ро оръдие е равна:

Намерете вероятността за попадение с един залп от поне едно от оръжията.

А– попадение от 1-ви пистолет

IN– попадение от 2-ро оръдие

А+IN– удар от поне един

Зависими и независими събития.

Две събития АИ INсе наричат ​​независими, ако вероятността на техния продукт е равна на произведението на техните вероятности.

Свойства на независими събития:

1. Ако П(А)>0, след това независимост АИ INе еквивалентно на равенство П(А/Б)=П(А). Вероятност Ане се променя ако INсе случи.

2 ̊. Ако АИ INса независими събития, тогава те са независими.

От последното равенство получаваме:

Пример.

Опит: Монета се хвърля 2 пъти.

А– герб на 1-во хвърляне

IN– загуба на число при 2-ро хвърляне

АИ IN– независим?

§10. Формула за пълна вероятност. Формули на Бейс.

Формула за пълна вероятност.

Позволявам ( д, ДА СЕ, Р) е модел на някакъв случаен опит.

H 1, H 2, …, N n– пълна група.

H i– хипотеза

Доказателство:

защото H i– по двойки непоследователен, , съгласно аксиома 3.

Пример.

Има 3 еднакви урни. Състав: 1-ва – 2 бели, 1 черна; 2-ри – 3 бели, 1 черен; 3-ти – 2 бели, 2 черни. Урна се избира произволно; от него се изважда топка. Намерете вероятността топката да е бяла.

Хипотези:

H i– избрано аз-Аз съм урна, аз=1,2,3.

А– бяла топка

Формули на Бейс.

Ако вероятностите на хипотезите са известни преди експеримента, тогава те се наричат ​​априорни вероятности на хипотези. Нека се знае, че събитието Асе случи. Вероятността на всички хипотези се променя.

Вероятности на хипотези след събитието Асе случи - задни вероятности.

Нека приемем в условията на предишния пример, че е изтеглена бяла топка. Намерете вероятността топката да бъде изтеглена от втората урна.

Вероятностното пространство е математически моделслучаен експеримент (опит) в аксиоматиката на А. Н. Колмогоров. Вероятностното пространство съдържа цялата информация за свойствата на случаен експеримент, необходима за неговото провеждане математически анализчрез теорията на вероятностите. Всеки проблем в теорията на вероятностите се решава в рамките на определено вероятностно пространство, напълно определено първоначално. Проблеми, при които вероятностното пространство не е напълно определено и липсващата информация трябва да бъде получена от резултатите от наблюденията, принадлежат към областта на математическата статистика.

Определение

Вероятностно пространствое тройка, където:

Обърнете внимание, че последното свойство на сигма-адитивност на мярка е еквивалентно (предмет на изпълнението на всички други свойства, включително крайна адитивност) на всяко от следните свойства непрекъснатост на мярката:

Примери за най-често използваните вероятностни пространства

Дискретни вероятностни пространства

Ако наборът от елементарни резултати е краен или изброим: , тогава съответното вероятностно пространство се нарича отделен. В случай на дискретни вероятностни пространства събитията обикновено се считат за всички възможни подмножества. В този случай, за да се зададе вероятността, е необходимо и достатъчно да се присвои номер на всеки елементарен резултат, така че тяхната сума да е равна на 1. Тогава вероятността за всяко събитие се определя, както следва:

Важен частен случай на такова пространство е класически начин за определяне на вероятности, когато броят на елементарните резултати е краен и всички те имат еднаква вероятност. Тогава вероятността за всяко събитие се определя като съотношението на неговата мощност (т.е. броя на елементарните резултати, благоприятендадено събитие) към общия брой елементарни резултати:

.

Винаги обаче трябва да се помни, че за да се използва този метод, е необходимо да се уверим, че елементарните резултати са наистина еднакво вероятни. Това или трябва да бъде формулирано като начално условие, или този факт трябва да бъде строго изведен от съществуващите начални условия.

Вероятностни пространства на линията

Вероятностните пространства на линията () възникват естествено при изследването на случайни променливи. В този случай, в общия случай, вече не е възможно да се разглеждат подмножества от линията като събития, тъй като в такъв широк клас обикновено е невъзможно да се определи вероятностна мярка, която удовлетворява необходимите аксиоми. Универсална сигма алгебра от събития, достатъчна за работа, е сигма алгебрата на множествата на Борел: най-малката сигма алгебра, съдържаща всички отворени множества. Еквивалентната дефиниция е най-малката сигма алгебра, съдържаща всички интервали. Универсален начин за определяне на вероятностна мярка върху дадена сигма алгебра е чрез функцията на разпределение на случайна променлива.

Вероятностни пространства в крайномерно пространство

Вероятностни пространства с много елементарни резултати възникват естествено от изследването на случайни вектори. Универсалната сигма алгебра на събитията също е сигма алгебрата на Борел, генерирана от всички отворени комплекти. По същество този случай не се различава много от случая на една права линия.

Подобни статии