Лекция 1.

МЕТОДИЧЕСКИ ОСНОВИ НА МОДЕЛИРАНЕТО

Актуално състояние на проблема за системно моделиране

Концепции за моделиране и симулация

Моделиранеможе да се разглежда като замяна на обекта на изследване (оригинал) с неговото конвенционално изображение, описание или друг обект, наречен модели осигуряване на поведение, близко до оригинала в рамките на определени предположения и допустими грешки. Моделирането обикновено се извършва с цел разбиране на свойствата на оригинала чрез изучаване на неговия модел, а не на самия обект. Разбира се, моделирането е оправдано, когато е по-просто от създаването на самия оригинал или когато по някаква причина е по-добре изобщо да не се създава оригиналът.

Под моделсе разбира като физически или абстрактен обект, чиито свойства са в известен смисъл подобни на свойствата на обекта, който се изследва. В този случай изискванията към модела се определят от решавания проблем и наличните средства. Има редица общи изисквания към моделите:

2) пълнота – предоставяне на получателя на цялата необходима информация

относно обекта;

3) гъвкавост - способността да се възпроизвеждат различни ситуации във всичко

диапазон на промени в условията и параметрите;

4) сложността на разработката трябва да бъде приемлива за съществуващата

време и софтуер.

Моделиранее процес на конструиране на модел на обект и изучаване на неговите свойства чрез изследване на модела.

По този начин моделирането включва 2 основни етапа:

1) разработване на модел;

2) проучване на модела и извеждане на изводи.

В същото време на всеки етап се решават различни задачи и

принципно различни методи и средства.

В практиката се използват различни методи за моделиране. В зависимост от метода на изпълнение всички модели могат да бъдат разделени на два големи класа: физически и математически.

Математическо моделиранеобикновено се разглежда като средство за изучаване на процеси или явления с помощта на техните математически модели.

Под физическо моделиранесе отнася до изучаването на обекти и явления върху физически модели, когато се възпроизвежда изучаваният процес, като се запазва неговата физическа природа или се използва друго физическо явление, подобно на изучаваното. При което физически моделиКато правило те предполагат реално въплъщение на онези физически свойства на оригинала, които са значими в конкретна ситуация. Например, при проектирането на нов самолет се създава макет, който има същите аеродинамични свойства; Когато планират застрояване, архитектите правят модел, който отразява пространственото разположение на неговите елементи. В тази връзка се нарича още физическо моделиране създаване на прототипи.

Моделиране на полуживотае изследване на управляеми системи върху комплекси за моделиране с включване на реално оборудване в модела. Наред с реалното оборудване затвореният модел включва симулатори на въздействия и смущения, математически модели на външната среда и процеси, за които не е известно достатъчно точно математическо описание. Включването на реално оборудване или реални системи във веригата за моделиране на сложни процеси прави възможно намаляването на априорната несигурност и изследването на процеси, за които няма точно математическо описание. Използвайки полуестествено моделиране, изследванията се извършват, като се вземат предвид малки времеви константи и линейности, присъщи на реалното оборудване. При изучаване на модели с помощта на реално оборудване се използва концепцията динамична симулация, при изучаване на сложни системи и явления - еволюционен, имитацияИ кибернетично моделиране.

Очевидно е, че реалната полза от моделирането може да се получи само ако са изпълнени две условия:

1) моделът осигурява правилно (адекватно) показване на свойствата

оригиналът, значим от гледна точка на изследваната операция;

2) моделът ви позволява да елиминирате проблемите, изброени по-горе, присъщи

провеждане на изследвания на реални обекти.

2. Основни понятия на математическото моделиране

Решаването на практически задачи с помощта на математически методи се извършва последователно чрез формулиране на проблема (разработване на математически модел), избор на метод за изследване на получения математически модел и анализ на получения математически резултат. Математическата формулировка на проблема обикновено се представя под формата на геометрични изображения, функции, системи от уравнения и др. Описанието на обект (явление) може да бъде представено с помощта на непрекъснати или дискретни, детерминирани или стохастични и други математически форми.

Теория на математическото моделиранеосигурява идентифицирането на моделите на възникване на различни явления в околния свят или работата на системи и устройства чрез тяхното математическо описание и моделиране без извършване на пълномащабни тестове. В този случай се използват разпоредбите и законите на математиката, които описват симулираните явления, системи или устройства на определено ниво на тяхната идеализация.

Математически модел (MM)е формализирано описание на система (или операция) на някакъв абстрактен език, например под формата на набор от математически отношения или диаграма на алгоритъм, т.е. т.е. такова математическо описание, което осигурява симулация на работата на системи или устройства на ниво, достатъчно близко до тяхното реално поведение, получено по време на пълномащабно тестване на системи или устройства.

Всеки ММ описва реален обект, явление или процес с известна степен на приближение до реалността. Видът на ММ зависи както от характера на реалния обект, така и от целите на изследването.

Математическо моделиранесоциални, икономически, биологични и физически явления, обекти, системи и различни устройства е едно от най-важните средства за разбиране на природата и проектиране на голямо разнообразие от системи и устройства. Известни са примери за ефективно използване на моделирането при създаването на ядрени технологии, авиационни и космически системи, при прогнозиране на атмосферни и океански явления, време и др.

Такива сериозни области на моделиране обаче често изискват суперкомпютри и години работа на големи екипи от учени за подготовка на данни за моделиране и тяхното отстраняване на грешки. В този случай обаче математическото моделиране на сложни системи и устройства не само спестява пари за изследвания и тестове, но също така може да елиминира екологични бедствия - например ви позволява да се откажете от тестването на ядрени и термоядрени оръжия в полза на тяхното математическо моделиране или тестване на аерокосмически системи преди действителните им полети. Следователно математическото моделиране на ниво решаване на по-прости проблеми, например от областта на механиката, електротехниката, електрониката, радиотехниката и много други области на науката и технологиите вече се превърнаха. налични за изпълнение на съвременни компютри. И когато се използват обобщени модели, става възможно да се симулират доста сложни системи, например телекомуникационни системи и мрежи, радарни или радионавигационни системи.

Целта на математическото моделиранее анализ на реални процеси (в природата или технологията) с помощта на математически методи. На свой ред, това изисква формализацията на модела на ММ, който трябва да бъде математически израз, съдържащ променливи, чието поведение е подобно на поведението на реална система. Моделът може да включва елементи на случайност възможни действия на двама или повече „играчи“, както например в теоретичните игри; или може да представлява реални променливи на взаимосвързани части на операционната система.

Математическото моделиране за изследване на характеристиките на системите може да се раздели на аналитично, симулационно и комбинирано. От своя страна ММ се делят на симулационни и аналитични.

Аналитично моделиране

За аналитично моделиранеХарактерно е, че процесите на функциониране на системата се записват под формата на определени функционални зависимости (алгебрични, диференциални, интегрални уравнения). Аналитичният модел може да бъде изследван с помощта на следните методи:

1) аналитични, когато се стремят да получат в обща форма изрични зависимости за характеристиките на системите;

2) числени, когато не е възможно да се намери решение на уравненията в общ вид и те се решават за конкретни начални данни;

3) качествени, когато при липса на решение се откриват някои от неговите свойства.

Аналитични модели могат да бъдат получени само за относително прости системи. За сложни системи често възникват големи математически проблеми. За да приложат аналитичния метод, те отиват до значително опростяване на оригиналния модел. Изследванията с помощта на опростен модел обаче помагат да се получат само ориентировъчни резултати. Аналитичните модели отразяват математически правилно връзката между входните и изходните променливи и параметри. Но тяхната структура не отразява вътрешната структура на обекта.

По време на аналитичното моделиране неговите резултати се представят под формата на аналитични изрази. Например чрез свързване R.C.- верига към източник DC напрежение д(Р, ° СИ д- компоненти на този модел), можем да създадем аналитичен израз за времевата зависимост на напрежението u(T) на кондензатора ° С:

Това линейно диференциално уравнение (DE) е аналитичният модел на тази проста линейна верига. Неговото аналитично решение при началното условие u(0) = 0, което означава разреден кондензатор ° Св началото на моделирането ви позволява да намерите желаната зависимост - под формата на формула:

u(T) = д(1− прстр(- T/RC)). (2)

Но дори и в този най-прост пример са необходими определени усилия за решаване на DE (1) или за прилагане системи за компютърна математика(SCM) със символни изчисления – системи за компютърна алгебра. За този напълно тривиален случай, решаване на проблема с моделирането на линейна R.C.- веригата дава аналитичен израз (2) в доста обща форма - тя е подходяща за описание на работата на веригата за всякакви рейтинги на компоненти Р, ° СИ ди описва експоненциалния заряд на кондензатора ° Спрез резистор Рот източник на постоянно напрежение д.

Разбира се, намирането на аналитични решения по време на аналитичното моделиране се оказва изключително ценно за идентифициране на общи теоретични модели на прости линейни вериги, системи и устройства. Въпреки това, неговата сложност нараства рязко, тъй като влиянията върху модела стават по-сложни и редът и броят на уравненията на състоянието, описващи моделирания обект, нарастват. Можете да получите повече или по-малко видими резултати при моделиране на обекти от втори или трети ред, но с по-висок ред аналитичните изрази стават прекалено тромави, сложни и трудни за разбиране. Например, дори един прост електронен усилвател често съдържа десетки компоненти. Въпреки това, много съвременни SCMs, например, системи на символна математика Maple, Mathematicaили среда MATLAB, са в състояние до голяма степен да автоматизират решаването на сложни проблеми с аналитичното моделиране.

Един вид моделиране е числено моделиране,което се състои в получаване на необходимите количествени данни за поведението на системи или устройства чрез всеки подходящ числен метод, като методите на Ойлер или Рунге-Кута. На практика моделирането на нелинейни системи и устройства с помощта на числени методи се оказва много по-ефективно от аналитичното моделиране на отделни частни линейни вериги, системи или устройства. Например, за решаване на DE (1) или DE системи в по-сложни случаи не може да се получи решение в аналитична форма, но с помощта на данни от числена симулация можете да получите доста пълни данни за поведението на симулираните системи и устройства, както и като конструирате графики на зависимости, описващи това поведение.

Симулационно моделиране

При имитация 10и моделиране, алгоритъмът, който реализира модела, възпроизвежда процеса на функциониране на системата във времето. Симулират се елементарните явления, изграждащи процеса, като се запазва тяхната логическа структура и последователност от събития във времето.

Основното предимство на симулационните модели в сравнение с аналитичните е възможността за решаване на по-сложни проблеми.

Симулационните модели улесняват отчитането на наличието на дискретни или непрекъснати елементи, нелинейни характеристики, случайни влияния и т.н. Поради това този метод се използва широко на етапа на проектиране на сложни системи. Основното средство за реализиране на симулационно моделиране е компютър, който позволява цифрово моделиране на системи и сигнали.

В тази връзка нека дефинираме фразата „ компютърно моделиране”, който все повече се използва в литературата. Да приемем, че компютърно моделиранее математическо моделиране с помощта на компютърни технологии. Съответно технологията за компютърно моделиране включва извършване на следните действия:

1) определяне на целта на моделирането;

2) разработване на концептуален модел;

3) формализиране на модела;

4) софтуерна реализация на модела;

5) планиране на моделни експерименти;

6) изпълнение на експерименталния план;

7) анализ и интерпретация на резултатите от моделирането.

При симулационно моделиранеизползваният ММ възпроизвежда алгоритъма („логиката“) на функционирането на изследваната система във времето за различни комбинации от стойности на параметрите на системата и външната среда.

Пример за най-простия аналитичен модел е уравнението на праволинейното равномерно движение. Когато се изучава такъв процес с помощта на симулационен модел, трябва да се приложи наблюдение на промените в изминатия път във времето. Очевидно в някои случаи е по-предпочитано аналитичното моделиране, в други - симулация (или комбинация от двете). За да направите успешен избор, трябва да отговорите на два въпроса.

Каква е целта на моделирането?

Към какъв клас може да се класифицира моделираното явление?

Отговорите и на двата въпроса могат да бъдат получени по време на първите два етапа на моделиране.

Симулационните модели не само по свойства, но и по структура съответстват на моделирания обект. В този случай има недвусмислено и очевидно съответствие между процесите, получени върху модела, и процесите, протичащи в обекта. Недостатъкът на симулацията е, че решаването на проблема отнема много време, за да се получи добра точност.

Резултатите от симулационното моделиране на работата на стохастична система са имплементации случайни променливиили процеси. Следователно, за да се намерят характеристиките на системата, са необходими многократни повторения и последваща обработка на данните. Най-често в този случай се използва вид симулация - статистически

моделиране(или метод Монте Карло), т.е. възпроизвеждане на случайни фактори, събития, количества, процеси, полета в модели.

Въз основа на резултатите от статистическото моделиране се определят оценки на вероятностни критерии за качество, общи и специфични, характеризиращи функционирането и ефективността на управляваната система. Статистическото моделиране се използва широко за решаване на научни и приложни проблеми в различни области на науката и технологиите. Методите за статистическо моделиране се използват широко при изследване на сложни динамични системи, оценка на тяхното функциониране и ефективност.

Последният етап на статистическото моделиране се основава на математическа обработка на получените резултати. Тук се използват методи на математическата статистика (параметрична и непараметрична оценка, проверка на хипотези). Пример за параметричен оценител е извадковата средна стойност на мярка за ефективност. Сред непараметричните методи, широко разпространени хистограмен метод.

Разглежданата схема се основава на многократни статистически тестове на системата и методи за статистика на независими случайни променливи. Тази схема не винаги е естествена на практика и оптимална по отношение на разходите. Намаляването на времето за тестване на системата може да се постигне чрез използването на по-точни методи за оценка. Както е известно от математическата статистика, ефективните оценки имат най-голяма точност за даден размер на извадката. Дават оптимално филтриране и метод на максимална вероятност общ методполучаването на такива оценки. При проблеми със статистическото моделиране прилагането на обработка на произволни процеси е необходимо не само за анализиране на изходни процеси.

Контролът на характеристиките на входните случайни влияния също е много важен. Контролът се състои в проверка на съответствието на разпределенията на генерираните процеси с дадените разпределения. Този проблем често се формулира като проблем с проверка на хипотеза.

Общата тенденция в компютърното моделиране на сложни контролирани системи е желанието да се намали времето за моделиране, както и да се провеждат изследвания в реално време. Удобно е изчислителните алгоритми да се представят в повтаряща се форма, което позволява тяхното изпълнение със скоростта на получаване на текуща информация.

ПРИНЦИПИ НА СИСТЕМНИЯ ПОДХОД В МОДЕЛИРАНЕТО

Основни принципи на теорията на системите

Основните принципи на теорията на системите възникват по време на изучаването на динамичните системи и техните функционални елементи. Системата се разбира като група от взаимосвързани елементи, които действат заедно, за да изпълнят предварително определена задача. Анализът на системите ни позволява да определим най-реалистичните начини за изпълнение на дадена задача, гарантиращи максимално задоволяване на заявените изисквания.

Елементите, които формират основата на теорията на системите, не се създават чрез хипотези, а се откриват експериментално. За да започне изграждането на система, е необходимо да има обща характеристика на технологичните процеси. Същото важи и по отношение на принципите за създаване на математически формулирани критерии, на които трябва да отговаря даден процес или неговото теоретично описание. Моделирането е един от най-важните методи за научно изследване и експериментиране.

При изграждането на модели на обекти се използва системен подход, който е методология за решаване на сложни проблеми, която се основава на разглеждането на обекта като система, работеща в определена среда. Системният подход включва разкриване на целостта на обекта, идентифициране и изучаване на неговата вътрешна структура, както и връзките с външната среда. В този случай обектът се представя като част от реалния свят, който се изолира и изучава във връзка с проблема за конструиране на модел. В допълнение, системният подход включва последователен преход от общото към конкретното, когато целта на дизайна е в основата на разглеждането, а обектът се разглежда във връзка с околната среда.

Сложен обект може да бъде разделен на подсистеми, които са части от обекта, които отговарят на следните изисквания:

1) подсистемата е функционално независима част от обект. Свързан е с други подсистеми, обменя информация и енергия с тях;

2) за всяка подсистема могат да се дефинират функции или свойства, които не съвпадат със свойствата на цялата система;

3) всяка от подсистемите може да бъде подложена на допълнително разделяне до ниво елементи.

В този случай елементът се разбира като подсистема от по-ниско ниво, чието по-нататъшно разделяне е непрактично от гледна точка на проблема, който се решава.

По този начин системата може да се определи като представяне на обект под формата на набор от подсистеми, елементи и връзки с цел неговото създаване, изследване или подобряване. В този случай разширеното представяне на системата, включително основните подсистеми и връзките между тях, се нарича макроструктура, а подробното разкриване на вътрешната структура на системата до нивото на елементите се нарича микроструктура.

Наред със системата обикновено съществува и суперсистема - система от по-високо ниво, която включва въпросния обект, като функцията на всяка система може да се определи само чрез суперсистемата.

Необходимо е да се подчертае концепцията за околната среда като набор от обекти на външния свят, които значително влияят върху ефективността на системата, но не са част от системата и нейната надсистема.

Във връзка със системния подход за изграждане на модели се използва концепцията за инфраструктура, която описва връзката на системата с нейната среда (среда). в рамките на конкретна задача се нарича стратификация на обекта, а всеки модел на обекта е неговото стратифицирано описание.

За системния подход е важно да се определи структурата на системата, т.е. набор от връзки между елементи на системата, отразяващи тяхното взаимодействие. За да направим това, първо разглеждаме структурните и функционалните подходи към моделирането.

При структурен подход се разкрива съставът на избраните елементи на системата и връзките между тях. Наборът от елементи и връзки ни позволява да преценим структурата на системата. Най-общото описание на една структура е топологично описание. Тя ви позволява да определите компонентите на системата и техните връзки с помощта на графики. По-малко общо е функционалното описание, когато се разглеждат отделни функции, т.е. алгоритми за поведение на системата. В този случай се прилага функционален подход, който дефинира функциите, които системата изпълнява.

Въз основа на системния подход може да се предложи последователност от разработване на модела, при която се разграничават два основни етапа на проектиране: макродизайн и микродизайн.

На етапа на макропроектирането се изгражда модел на външната среда, идентифицират се ресурси и ограничения, избира се системен модел и критерии за оценка на адекватността.

Етапът на микродизайн зависи до голяма степен от конкретния тип избран модел. IN общ случайвключва създаването на информационни, математически, технически и софтуерни системи за моделиране. На този етап се установяват основните технически характеристики на създадения модел, оценява се необходимото време за работа с него и разходите за ресурси за получаване на определеното качество на модела.

Независимо от вида на модела, при конструирането му е необходимо да се ръководите от редица принципи на систематичен подход:

1) последователно преминаване през етапите на създаване на модел;

2) съгласуване на информация, ресурс, надеждност и други характеристики;

3) правилното съотношение между различните нива на конструиране на модела;

4) целостта на отделните етапи на проектирането на модела.

Общо взето, модел е отражение на реален обект. Такова отражение на обект може да бъде представено чрез скица, диаграма, снимка, графика, таблица и др.

Ще разгледаме само математически модели на различни икономически процеси, които са описани с математически символи и решени с помощта на подходящи математически методи.

В икономиката те използват главно математически модели, които описват изследваното явление с помощта на математически апарат (функции, уравнения, неравенства и техните системи).

В теорията на оптималните решения основната роля се отдава на математическото моделиране. За изграждането на математически модел е необходимо да имате стриктно разбиране за целта на работа на изследваната система и да имате информация за ограниченията, които определят обхвата на допустимите стойности на контролираните променливи. Както целта, така и ограниченията трябва да бъдат представени като функции на контролираните променливи. Анализът на модела трябва да доведе до определяне на най-доброто управляващо действие върху обекта на управление при изпълнение на всички установени ограничения.

Изгражда се модел на управляван обект, за да се използва някакъв вид изчислително устройство за оптимизиране на функционирането на този обект (за да се увеличи максимално ефективността на неговата работа). Разработването на модел почти винаги е свързано с опит за постигане на две противоречиви цели: да се представи възможно най-точно реални процесии вземете модела възможно най-прост, така че да е лесен за работа.

За прилагане на количествени методи за изследване на икономическите процеси е необходимо да се изгради математически модел на обекта на оптимизация. При конструирането на модел обектът като правило се опростява, схематизира и диаграмата на обекта се описва с помощта на един или друг математически апарат.

Математически модел– това е приблизително описание на всеки обект или клас явления от външния свят, изразено с помощта на математически апарат и математическа символика.

Математическите модели имат редица предимства пред другите видове модели. Най-важните от тях включват следното:

· широка гама от приложения,

ниска цена за създаване на модел в сравнение с други видове,

· скорост на получаване на резултати от изследвания при използване на електронни компютърни технологии,

· възможността за експериментиране с изследвания икономически процес,

· способността да се проверява правилността на предложените предпоставки и условия на поставената икономическа задача.

Математическият модел на всеки икономически проблем включва целева функция, система от ограничения и критерий за оптималност.

Целевата функция свързва различни количества от модела едно с друго. По правило за цел се избира икономически показател (печалба, себестойност, рентабилност и др.). Следователно целевата функция понякога се нарича икономически критерий.

Целева функция– характеристика на обект от условието за по-нататъшно търсене на критерий за оптималност, математически свързващ определени фактори на обекта на изследване.

При решаване на оптимизационни задачи е необходимо да се определи критерият за оптималност, т.е. признак, по който се извършва сравнителна оценка на алтернативите и сред тях се избира най-добрата от гледна точка на поставената оптимизационна цел.

Критерий за оптималност- това е показател, който като правило има икономическо значение, което служи за формализиране на конкретната цел за управление на обекта на изследване и се изразява с помощта на целева функция.

Критерият за оптималност на операцията изпълнява такава важна функция като сравнителна оценка на избраните стратегии (решения) преди началото на тяхното изпълнение и на последния етап от операцията. Тя ви позволява да анализирате получените резултати и да направите заключение коя стратегия би била оптимална.

Величините, които се променят по време на оптимизацията и се включват в математическия модел на обекта на оптимизация, се наричат параметри за оптимизация, а връзките, които установяват границите на възможни промени в тези параметри, са ограничения.

Ограничения- това са отношения, които стесняват областта на възможните, приемливи или допустими решения и фиксират основните външни и вътрешни свойства на обекта. Тези ограничения могат да бъдат дадени под формата на равенства или неравенства (или техните системи).

С решениематематически модел на икономически проблем, или приемлив план е набор от неизвестни стойности, който удовлетворява неговата система от ограничения. Един модел може да има много решения или изпълними планове, сред които е необходимо да се намери единственото, което удовлетворява системата от ограничения и целевата функция.

Извиква се изпълним план, който удовлетворява целевата функция оптимален .

Ако проблемният модел има много оптимални планове, тогава за всеки от тях стойността на целевата функция е една и съща.

По този начин, за да се направи оптимално решение на всеки икономически проблем, е необходимо да се изгради негов математически модел, който по структура включва система от ограничения, целева функция, критерий за оптималност и решение.

Процесът на конструиране на математически модел се нарича математическо моделиране .

Изготвянето на модел на обект изисква разбиране на същността на описваното явление и познаване на математическия апарат.

Моделирането и конструирането на математически модел на икономически обект ни позволява да намалим икономическия анализ на производствените процеси до математически анализи вземане на ефективни (оптимални) решения.

При конструирането на математически модел е важно да се избягва, от една страна, прекомерното опростяване на икономическо явление или процес (тъй като прекомерното опростяване не отразява реалността), от друга страна, неговата прекомерна детайлност и сложност (тъй като това води до голям брой променливи и затруднява изграждането на модел).

Основни елементи на модела:

1) Изходни данни:

· детерминистичен,

· случаен.

2) Задължителни променливи:

· непрекъснато,

· отделен.

3) Зависимости:

· линейни (променливите са включени в първа степен и няма произведение от тях),

· нелинейни (променливите са включени в степени, по-високи от първата или са произведение на променливи).

Комбинацията от различни елементи на модела води до различни класове оптимизационни проблеми (тема 2), изискващи различни методи за решаване.

При решаването на конкретен икономически проблем използването на методи за оптимално решение включва:

· изграждане на математически модели за решаване на задачи в трудни ситуацииили в условия на несигурност,

· изследване на връзките, които впоследствие определят вземането на решения, и установяване на критерии за оптималност, които позволяват да се оцени предимството на един или друг вариант на действие.

Към основните методивземането на оптимални решения включва следното:

1) Методи за математическо програмиране:

· линейно програмиране,

нелинейно програмиране,

целочислено програмиране

· динамично програмиране,

Конвексно програмиране

геометрично програмиране

Параметрично програмиране

· стохастично програмиране,

· евристично програмиране.

2) Методи на теорията на масовото обслужване.

3) Методи на теорията на игрите.

4) Класически методиоптимизация (метод на Лагранж, градиентен метод).

5) Мрежови методи на планиране и управление.

Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на обект модел, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ние разбираме процеса на установяване на съответствие на даден реален обект с определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което ни позволява да получим характеристиките на реалния разглеждан обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея."

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често се изграждат под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение (по параметри), разпределени в друго и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

• Структурни или функционални модели

Структурните модели представят обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционалните модели не използват такива представяния и отразяват само външно възприеманото поведение (функциониране) на даден обект. В екстремния си израз те се наричат ​​още модели „черна кутия” Възможни са и комбинирани типове модели, които понякога се наричат ​​модели „сива кутия”.

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат ​​това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на даден смислен модел (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеални пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман формулира това много ясно:

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че вашата теория е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се признава за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на феномен. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не се вписва добре в съществуващите теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и търсенето на „истинските механизми“ трябва да продължи. Пайърлс включва например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици като втори тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето и може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статуса на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 към тип 2 и сега са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването идва под различни форми. Peierls идентифицира три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели тип 3). Между тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експерименти с въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича „въображаема геометрия“). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователността на квантовата механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Нека помислим механична система, състоящ се от пружина, фиксирана в единия край, и маса от маса мприкрепен към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието хот центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и използваното натоварване Закон на Хук (Е = − кх ) и след това използвайте втория закон на Нютон, за да го изразите под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на хпо време: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата външни сили, липса на триене, малки отклонения и др.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4 опростяване(„ще пропуснем някои подробности за яснота“), тъй като някои основни универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. До известно приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с ниско триене, за не много време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват на приложимост.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често по-простият модел позволява по-добро и по-задълбочено изследване на реална система от по-сложния (и формално „по-правилен“).

Ако приложим модела на хармоничния осцилатор към обекти, далеч от физиката, неговият съществен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да бъде класифициран като тип 6 аналогия(„нека вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения „твърд“ модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва „мекият“ модел, който се получава чрез малко смущение на „твърдия“. Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Ето някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. Явен тип функция fВ момента не се интересуваме. Ако докажем, че поведението на мекия модел не се различава фундаментално от поведението на твърдия (независимо от изричния тип смущаващи фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще бъде намален до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор е функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство многофункционалност: Фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в U-образен съд или промяна в силата на тока в колебателен кръг. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Именно този изоморфизъм на закони, изразени чрез математически модели в различни сегменти на научното познание, вдъхновява Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, трябва да излезете с основна диаграма на моделирания обект, да го възпроизведете в рамките на идеализациите на тази наука. Така вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, като всеки материал се определя като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения, по пътя някои детайлите се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измерванията, моделът се усъвършенства и т.н. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване ще издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния пряк проблем (задаването на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не се задават правилните въпроси, един мост може да се срути, дори ако е изграден добър модел за неговото поведение. И така, през 1879 г. в Англия се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратен коефициент на сигурност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, трябва да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителна информацияможе да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта ( проблем с дизайна). Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на вземане на решение обратна задача (пасивно наблюдение) или да бъде резултат от експеримент, специално планиран по време на решението ( активно наблюдение).

Един от първите примери за майсторско решение на обратна задача с най-пълното използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Допълнителни примери

Където х с- „равновесната” численост на населението, при която раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесна стойност х си това поведение е структурно стабилно.

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите на хармоничен осцилатор. Както при хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

1. „Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. . - 2-ро изд., преработено - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Уикиречник: математически модел
7. CliffsNotes
8. Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
9. „Една теория се счита за линейна или нелинейна в зависимост от вида на математическия апарат – линеен или нелинеен – и какъв вид линейни или нелинейни математически модели използва. ...без да отричам последното. Един съвременен физик, ако трябва да пресъздаде дефиницията на толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, давайки предпочитание на нелинейността като по-важната и широко разпространена от двете противоположности, би определил линейността като „не нелинейност." Данилов Ю., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия „Синергетика: от миналото към бъдещето“. издание 2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. „Динамичните системи, моделирани чрез краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат ​​концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Същата система в различни условияможе да се счита за концентриран или разпределен. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнениясъс закъснял аргумент. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и е необходим безкраен бройданни за определяне на състоянието му." Анищенко В. С., Динамични системи, Сорос образователен журнал, 1997, № 11, стр. 77-84.
11. „В зависимост от характера на процесите, които се изучават в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистичното моделиране отразява детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране изобразява вероятностни процеси и събития. ... Статичното моделиране служи за описване на поведението на обект във всеки момент от времето, а динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране се използва за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ни позволява да отразяваме непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. ” Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обикновено математическият модел отразява структурата (устройството) на моделирания обект, свойствата и връзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционален или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Очевидният, но най-важен начален етап от конструирането или избора на математически модел е получаването на възможно най-ясна картина за обекта, който се моделира, и усъвършенстването на неговия смислен модел въз основа на неформални дискусии. Не бива да пестите време и усилия на този етап, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаване на математически проблем, да се окаже неефективна или дори напразно изразходвана поради недостатъчно внимание към тази страна на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, стр. 35.
14. « Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на стандартни математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) изборът на процедура за приближаване на реални процеси при конструиране на модел е обоснован. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.
15. Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, особености на подходите. С примери от механиката: Урок. - 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

Компютърът твърдо навлезе в живота ни и практически няма област от човешката дейност, където да не се използва компютър. Сега компютрите се използват широко в процеса на създаване и изследване на нови машини, нови технологични процеси и търсене на техните оптимални възможности; при решаване на икономически проблеми, при решаване на проблеми на планирането и управлението на производството на различни нива. Създаването на големи обекти в ракетната техника, самолетостроенето, корабостроенето, както и проектирането на язовири, мостове и др., по принцип е невъзможно без използването на компютри.

За да се използва компютър за решаване на приложни проблеми, първо, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Думата "Модел" идва от латинския modus (копие, изображение, контур). Моделирането е замяната на някакъв обект A с друг обект B. Замененият обект A се нарича оригинален или моделиращ обект, а заместващият B се нарича модел. С други думи, моделът е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изследването на някои свойства на оригинала.

Целта на моделирането е получаване, обработка, представяне и използване на информация за обекти, които взаимодействат помежду си и с външната среда; и моделът тук действа като средство за разбиране на свойствата и моделите на поведение на даден обект.

Математическото моделиране е средство за изследване на реален обект, процес или система чрез замяната им с математически модел, който е по-удобен за експериментални изследванияизползване на компютър.

Математическото моделиране е процес на конструиране и изследване на математически модели на реални процеси и явления. Всички естествени и социални науки, които използват математически апарат, по същество се занимават с математическо моделиране: те заменят реален обект с неговия модел и след това изучават последния. Както при всяко моделиране, математическият модел не описва напълно изследваното явление и въпросите за приложимостта на получените по този начин резултати са много значими. Математическият модел е опростено описание на реалността с помощта на математически концепции.

Математическият модел изразява основните характеристики на обект или процес на езика на уравнения и други математически инструменти. В интерес на истината самата математика дължи съществуването си на това, което се опитва да отрази, т.е. моделирайте на вашия специфичен език моделите на околния свят.

При математическо моделиранеизследването на даден обект се извършва чрез модел, формулиран на езика на математиката с помощта на определени математически методи.

Пътят на математическото моделиране в наше време е много по-всеобхватен от пълномащабното моделиране. Огромен тласък на развитието на математическото моделиране беше даден от появата на компютрите, въпреки че самият метод възниква едновременно с математиката преди хиляди години.

Математическото моделиране като такова не винаги изисква компютърна поддръжка. Всеки специалист, който се занимава професионално с математическо моделиране, прави всичко възможно за аналитично изследване на модела. Аналитичните решения (т.е. представени чрез формули, изразяващи резултатите от изследването чрез оригиналните данни) обикновено са по-удобни и по-информативни от числените. Възможностите на аналитичните методи за решаване на сложни математически проблеми обаче са много ограничени и като правило тези методи са много по-сложни от числените.

Математическият модел е приблизително представяне реални обекти, процеси или системи, изразени в математически термини и запазващи основните характеристики на оригинала. Математическите модели в количествена форма, използвайки логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

1. истински,
2. перфектен.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

1. в пълен мащаб,
2. физически,
3. математически.

Идеалните модели могат да бъдат разделени на:

1. визуален,
2. емблематичен,
3. математически.

Истинските естествени модели са реални обекти, процеси и системи, върху които се извършват научни, технически и индустриални експерименти.

Реалните физически модели са модели, манекени, които възпроизвеждат физическите свойства на оригиналите (кинематични, динамични, хидравлични, термични, електрически, светлинни модели).

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните визуални модели са диаграми, карти, чертежи, графики, графики, аналози, структурни и геометрични модели.

Идеалните знакови модели са символи, азбука, езици за програмиране, подредена нотация, топологична нотация, мрежово представяне.

Идеалните математически модели са аналитични, функционални, симулационни и комбинирани модели.

В горната класификация някои модели имат двойна интерпретация (например аналогова). Всички модели, с изключение на пълномащабните, могат да бъдат комбинирани в един клас ментални модели, тъй като те са продукт на човешкото абстрактно мислене.

Елементи на теорията на игрите

В общия случай решаването на една игра е доста трудна задача и сложността на проблема и количеството изчисления, необходими за решаването му, рязко нарастват с увеличаване на . Тези трудности обаче не са от фундаментален характер и са свързани само с много голям обем изчисления, което в някои случаи може да се окаже практически невъзможно. Принципният аспект на метода за намиране на решение остава за всеки същата.

Нека илюстрираме това с примера на една игра. Нека да му дадем геометрична интерпретация – вече пространствена. Нашите три стратегии ще бъдат представени от три точки на равнината ; първият лежи в началото (фиг. 1). вторият и третият - на осите оИ OUна разстояния 1 от началото.

През точките, перпендикулярни на равнината, се прекарват оси I-I, II-II и III-III . На ос I-I са печалбите за стратегията; на осите II-II и III-III са печалбите за стратегиите. Всяка вражеска стратегия ще бъде представена от равнина, пресичаща при оси I-I, II-II и III-III, сегменти, равни на печалби

с подходяща стратегия и стратегия . След като по този начин конструираме всички стратегии на врага, получаваме семейство самолети над триъгълника (фиг. 2).

За това семейство можете също да конструирате долна граница за печалбата, както направихме в случая, и да намерите на тази граница точката N с максимална височина на равнината . Тази височина ще бъде цената на играта.

Честотите на стратегиите в оптималната стратегия ще се определят от координатите (x, y)точки N, а именно:

Такава геометрична конструкция, дори и за калъф, обаче не е лесна за изпълнение и изисква много време и усилия на въображението. В общия случай на играта, тя се прехвърля в -измерно пространство и губи всякаква яснота, въпреки че използването на геометрична терминология в редица случаи може да бъде полезно. При решаването на игри на практика е по-удобно да се използват не геометрични аналогии, а изчислени аналитични методи, особено след като тези методи са единствените подходящи за решаване на проблема на компютри.

Всички тези методи по същество се свеждат до решаване на проблем чрез последователни опити, но подреждането на последователността от опити ви позволява да изградите алгоритъм, който води до решение по най-икономичния начин.

Тук ще разгледаме накратко един изчислителен метод за решаване на игри - по така наречения метод " линейно програмиране».

За да направим това, първо даваме обща формулировка на проблема за намиране на решение на играта. Нека се даде игра с Tстратегии на играчите АИ нстратегии на играчите INи е дадена матрицата за плащане

Изисква се да се намери решение на играта, т.е. две оптимални смесени стратегии на играчи А и Б

където (някои от числата и могат да бъдат равни на нула).

Нашата оптимална стратегия S*Aтрябва да ни осигури печалба не по-малка от , за всяко поведение на врага, и печалба, равна на , за неговото оптимално поведение (стратегия S*B).Подобна стратегия S*Bтрябва да осигури на врага загуба не по-голяма от , за всяко наше поведение и равна на нашето оптимално поведение (стратегия S*A).

Стойността на играта в този случай не ни е известна; ще приемем, че то е равно на някакво положително число. Вярвайки по този начин, ние не нарушаваме общото разсъждение; За да бъде > 0, очевидно е достатъчно всички елементи на матрицата да са неотрицателни. Това винаги може да се постигне чрез добавяне на достатъчно голяма положителна стойност L към елементите; в този случай цената на играта ще се увеличи с L, но решението няма да се промени.

Нека изберем нашата оптимална стратегия S*A.Тогава нашата средна печалба при стратегията на опонента ще бъде равна на:

Нашата оптимална стратегия S*Aима свойството, че при всяко поведение на врага осигурява печалба не по-малка от; следователно нито едно от числата не може да бъде по-малко от . Получаваме редица условия:

(1)

Нека разделим неравенствата (1) на положителна стойност и означим:

Тогава условие (1) ще бъде записано като

(2)

Където - неотрицателни числа. защото количествата отговарят на условието

Искаме да направим нашите гарантирани печалби възможно най-високи; Очевидно в този случай дясната страна на равенството (3) приема минимална стойност.

Така проблемът с намирането на решение на играта се свежда до следното математически проблем: определяне на неотрицателни количества , удовлетворяващи условия (2), така че тяхната сума

беше минимален.

Обикновено при решаване на проблеми, свързани с намирането на екстремни стойности (максимуми и минимуми), функцията се диференцира и производните се задават равни на нула. Но такава техника е безполезна в този случай, тъй като функцията Ф, която трябва даминимизира, е линеен и неговите производни по отношение на всички аргументи са равни на единица, т.е. те не изчезват никъде. Следователно максимумът на функцията се постига някъде на границата на диапазона на промените в аргументите, който се определя от изискването за неотрицателност на аргументите и условията (2). Техниката за намиране на екстремни стойности с помощта на диференциация също е неподходяща в случаите, когато максимумът на долната (или минимумът на горната) граница на печалбата е определен за решаване на играта, както направихме. например, те го направиха при решаване на игри. Наистина, долната граница се състои от участъци от прави линии, а максимумът се постига не в точката, където производната е равна на нула (такава точка изобщо няма), но на границата на интервала или в точката на пресичане на прави участъци.

За решаването на такива задачи, които доста често се срещат в практиката, в математиката е разработен специален апарат линейно програмиране.

Проблемът с линейното програмиране се формулира по следния начин.

Като се има предвид системата линейни уравнения:

(4)

Изисква се да се намерят неотрицателни стойности на количествата, които отговарят на условията (4) и в същото време минимизират дадената хомогенна линейна функцияколичества (линейна форма):

Лесно е да се види, че проблемът на теорията на игрите, поставен по-горе, е специален случай на проблем с линейно програмиране с

На пръв поглед може да изглежда, че условия (2) не са еквивалентни на условия (4), тъй като вместо знаци за равенство те съдържат знаци за неравенство. Въпреки това е лесно да се отървете от знаците за неравенство чрез въвеждане на нови фиктивни неотрицателни променливи и условия за запис (2) във формата:

(5)

Формата Ф, която трябва да бъде минимизирана, е равна на

Апаратът за линейно програмиране позволява да се избират стойности, като се използва сравнително малък брой последователни проби , отговарящи на посочените изисквания. За по-голяма яснота тук ще демонстрираме използването на този апарат директно върху материала за решаване на конкретни игри.

В тази статия предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои проблеми, свързани с математическото моделиране.

Друг въпрос, който имаме, са математическите модели в икономиката, примери за които ще разгледаме дефиницията малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.

Понятието "модел"

Често чуваме думата „модел“. Какво е? Този термин има много определения, ето само три от тях:

• специфичен обект, който е създаден, за да получава и съхранява информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н., на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствено, описание с помощта на знаци и т.н.);
• Модел също означава представяне на конкретна ситуация, живот или управление;
• моделът може да бъде намалено копие на обект (те са създадени за по-подробно изследване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и връзките).

Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате подробно сложна система или обект.

Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица характеристики:

• по област на използване (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
• по динамика (статични и динамични);
• по отрасъл на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
• по метода на представяне (материален и информационен).

Информационните модели от своя страна се делят на символни и вербални. А символичните - на компютърни и некомпютърни. Сега нека да преминем към подробно разглеждане на примери за математическия модел.

Математически модел

Както може би се досещате, математическият модел отразява всякакви характеристики на обект или явление, използвайки специални математически символи. Математиката е необходима, за да се моделират моделите на заобикалящия свят на неговия специфичен език.

Методът на математическото моделиране е възникнал доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Въпреки това тласъкът за развитие този методмоделирането даде началото на появата на компютри (електронни компютри).

Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и според някои признаци. Те са представени в таблицата по-долу.

Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо най-новата класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.

Описателни модели

В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.

Нека започнем с факта, че този тип може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем по никакъв начин да повлияем на резултата от събитието.

Ярък пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта, разстоянието от Земята на комета, нахлула в нашите простори слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за всяка опасност. За съжаление не можем да повлияем на изхода от събитието. Въз основа на получените изчисления обаче е възможно да се предприемат всякакви мерки за запазване на живота на Земята.

Оптимизационни модели

Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да служат като различни текущи ситуации. В такъв случай ние говорим заза модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Определено имат някакви параметри. За да стане напълно ясно, нека да разгледаме един пример от селскостопанския сектор.

Имаме хамбар, но зърното много бързо се разваля. В този случай трябва да изберем правилния температурен режими оптимизирайте процеса на съхранение.

По този начин можем да дефинираме понятието „модел на оптимизация“. В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя: този тип принадлежи към класа на екстремните проблеми, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.

Нека отбележим още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).

Многокритериални модели

Сега ви каним да поговорим малко за математическия модел на многокритериалната оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес според всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?

Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене за големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищните столове, летните лагери, болниците и т.н.

Какви критерии са ни дадени в тази задача?

1. Храненето трябва да е здравословно.
2. Разходите за храна трябва да са минимални.

Както можете да видите, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаването на даден проблем е необходимо да се търси оптимално решение, баланс между два критерия.

Игрови модели

Когато говорим за модели на игри, е необходимо да разберем понятието „теория на игрите“. Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Просто трябва да разберете това, за разлика от истински конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.

Сега ще предоставим минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво представлява моделът на играта. И така, моделът задължително съдържа партии (две или повече), които обикновено се наричат ​​играчи.

Всички модели имат определени характеристики.

Моделът на играта може да бъде сдвоен или множество. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е сдвоен, ако са повече, той е множествен. Можете също така да различите антагонистична игра, тя се нарича още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на един от участниците е равна на загубата на другия.

Симулационни модели

В този раздел ще обърнем внимание на симулационните математически модели. Примерите за задачи включват:

• модел на динамика на популацията на микроорганизмите;
• модел на молекулярно движение и т.н.

В този случай говорим за модели, които са максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират някакво проявление в природата. В първия случай, например, можем да симулираме динамиката на броя на мравките в една колония. В същото време можете да наблюдавате съдбата на всеки отделен индивид. В този случай рядко се използва математическо описание, по-често присъстват писмени условия:

• след пет дни женската снася яйца;
• след двадесет дни мравката умира и т.н.

По този начин те се използват за описание на голяма система. Математически извод е обработката на получените статистически данни.

Изисквания

Много е важно да знаете, че този тип модели имат някои изисквания, включително тези, посочени в таблицата по-долу.

Универсалност	Това свойство ви позволява да използвате един и същ модел, когато описвате подобни групи от обекти. Важно е да се отбележи, че универсалните математически модели са напълно независими от физическата природа на изследвания обект
Адекватност	Тук е важно да се разбере, че това свойство ви позволява да възпроизвеждате реални процеси възможно най-точно. В оперативните задачи това свойство на математическото моделиране е много важно. Пример за модел е процесът на оптимизиране на използването на газова система. В този случай се сравняват изчислените и действителните показатели, в резултат на което се проверява коректността на съставения модел
точност	Това изискване предполага съвпадението на стойностите, които получаваме при изчисляване на математическия модел и входните параметри на нашия реален обект
Икономичен	Изискването за рентабилност за всеки математически модел се характеризира с разходи за внедряване. Ако се работи с модела ръчно, тогава е необходимо да се изчисли колко време ще отнеме решаването на една задача с помощта на този математически модел. Ако говорим за компютърно проектиране, след което се изчисляват показателите за време и потребление на компютърна памет

Етапи на моделиране

Като цяло математическото моделиране обикновено се разделя на четири етапа.

1. Формулиране на закони, свързващи части от модела.
2. Изучаване на математически проблеми.
3. Установяване на съвпадението на практически и теоретични резултати.
4. Анализ и модернизация на модела.

Икономически и математически модел

В този раздел ще подчертаем накратко проблема, като примерите за задачи включват:

• формиране на производствена програма за производство на месни продукти, която осигурява максимална производствена печалба;
• максимизиране на печалбата на организацията чрез изчисляване на оптималното количество маси и столове, произведени в мебелна фабрика и т.н.

Икономико-математическият модел отразява икономическата абстракция, която се изразява с помощта на математически терминии знаци.

Компютърен математически модел

Примери за компютърен математически модел са:

• хидравлични проблеми с помощта на блок-схеми, диаграми, таблици и др.;
• проблеми с механиката твърдо, и така нататък.

Компютърният модел е изображение на обект или система, представено във формата:

• маси;
• блокови схеми;
• диаграми;
• графики и така нататък.

Освен това този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.

Изграждане на икономико-математически модел

Вече говорихме за това какво е икономико-математически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерв за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.

Няма да разглеждаме цялостно проблема, а само ще изградим икономико-математически модел. Критерият на нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: А=р1*х1+р2*х2..., клоняща към максимума. В този модел p е печалбата на единица, а x е броят на произведените единици. След това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщят.

Пример за изграждане на прост математически модел

Задача.Рибарят се върна със следния улов:

• 8 риби - обитатели на северните морета;
• 20% от улова са жители на южните морета;
• От местната река не се намери нито една риба.

Колко риби е купил от магазина?

И така, пример за конструиране на математически модел на този проблем изглежда така. Означаваме общия брой риби с x. Следвайки условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математически модел на проблема: x=0,2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.

Подобни статии