Геометричните модели се класифицират на предметни, изчислителни и когнитивни. Сред геометричните модели могат да се разграничат плоски и триизмерни модели. Предметните модели са тясно свързани с визуалното наблюдение. Информацията, получена от модели на субекти, включва информация за формата и размера на даден обект и неговото местоположение спрямо другите. Чертежите на машини, технически устройства и техните части се извършват в съответствие с редица символи, специални правила и определен мащаб. Чертежите могат да бъдат инсталационни, общ изглед, сглобяване, таблични, оразмерителни, външни изгледи, оперативни и др. Чертежите се разграничават и по отрасли на производството: машиностроене, уредостроене, строителство, минно-геоложки, топографски и др. Чертежите на земната повърхност се наричат ​​карти. Чертежите се разграничават според метода на изображението: ортогонално чертане, аксонометрия, перспектива, проекции с цифрови знаци, афинни проекции, стереографски проекции, кинематографична перспектива и др. Предметните модели включват чертежи, карти, снимки, оформления, телевизионни изображения и др. Предметните модели са тясно свързани с визуалното наблюдение. Сред геометричните модели на обекти могат да се разграничат плоски и триизмерни модели. Обектните модели се различават значително по метода на изпълнение: чертежи, чертежи, картини, снимки, филми, радиографии, оформления, модели, скулптури и др. В зависимост от етапа на проектиране чертежите се разделят на чертежи на техническо предложение, предварителни и технически проекти и работни чертежи. Чертежите също се разграничават в оригинали, оригинали и копия.

Графичните конструкции могат да се използват за получаване на числени решения на различни задачи. Графично можете да извършвате алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение, деление), диференциране, интегриране и решаване на уравнения. При изчисляване на алгебрични изрази числата се представят чрез насочени сегменти. За да се намери разликата или сумата на числата, съответните сегменти се начертават на права линия. Умножението и делението се извършват чрез построяване на пропорционални отсечки, които се отрязват от страните на ъгъла с прави успоредни линии. Комбинацията от умножение и събиране ви позволява да изчислявате суми от продукти и претеглени средни стойности. Графичното повдигане на цяло число се състои от последователно повторение на умножението. Графичното решение на уравненията е стойността на абсцисата на пресечната точка на кривите. Графично можете да изчислите определен интеграл, да построите графика на производната, т.е. диференцират и интегрират и решават уравнения. Геометричните модели за графични изчисления трябва да се разграничават от номограмите и изчислителните геометрични модели (CGM). Графичните изчисления изискват последователност от конструкции всеки път. Номограмите и RGM са геометрични изображения функционални зависимостии не изискват нови конструкции за намиране на числени стойности. Номограмите и RGM се използват за изчисления и изследвания на функционални зависимости. Изчисленията върху RGM и номограмите се заменят с четене на отговорите с помощта на елементарни операции, посочени в ключа на номограмата. Основните елементи на номограмите са скали и двоични полета. Номограмите се делят на елементарни и съставни номограми. Номограмите се отличават и с операцията в ключа. Основната разлика между RGM и номограма е, че те се използват за конструиране на RGM геометрични методи, и се използват аналитични методи за конструиране на номограми. Номографията е преходът от аналитична машина към геометрична машина.

Когнитивните модели включват функционални графики, диаграми и графики. Графичен модел на зависимост на някои променливиот други се нарича функционална графика. Графиките на функции могат да бъдат построени от дадена част от нея или от графиката на друга функция с помощта на геометрични трансформации. Графично изображение, което ясно показва връзката на всякакви количества, е диаграма. Стълбовата диаграма, която е съвкупност от съседни правоъгълници, изградени на една права линия и представляващи разпределението на всякакви количества според количествена характеристика, се нарича хистограма. Геометричните модели, изобразяващи връзките между елементите на множество, се наричат ​​графики. Графиките са модели на ред и начин на действие. При тези модели няма разстояния, ъгли, няма значение дали точките са свързани с права линия или крива. В графите се разграничават само върхове, ръбове и дъги. Графиките са използвани за първи път при решаване на пъзели. В момента графите се използват ефективно в теорията на планирането и контрола, теорията на графика, социологията, биологията, при решаването на вероятностни и комбинаторни проблеми и др.

Теоретичните геометрични модели са от особено значение. IN аналитична геометриягеометричните образи се изучават с помощта на алгебра на базата на координатния метод. В проективната геометрия се изучават проективни трансформации и непроменливи свойства на фигури, независими от тях. В дескриптивната геометрия пространствените фигури и методите за решаване на пространствени задачи се изучават чрез построяване на изображенията им върху равнина. Свойствата на равнинните фигури се разглеждат в планиметрията, а свойствата на пространствените фигури се разглеждат в стереометрията. Сферичната тригонометрия изучава връзките между ъглите и страните на сферичните триъгълници. Теорията на фотограметрията и стерео- и фотограметрията дава възможност да се определят формите, размерите и позициите на обектите от техните фотографски изображения във военното дело, изследването на космоса, геодезията и картографията. Съвременни топологични изследвания непрекъснати свойствафигури и техните относителна позиция. Фракталната геометрия (въведена в науката през 1975 г. от Б. Манделброт), която изучава общите закономерности на процесите и структурите в природата, благодарение на съвременните компютърни технологии, се превърна в едно от най-плодотворните и красиви открития в математиката. Фракталите биха били още по-популярни, ако се основаваха на постиженията на съвременната теория на дескриптивната геометрия.

Задачите на класическата дескриптивна геометрия могат да бъдат разделени на позиционни, метрични и конструктивни задачи.

В техническите дисциплини се използват статични геометрични модели, които помагат да се формират идеи за определени обекти, техните конструктивни характеристики, елементите, които ги съставят, и динамични или функционални геометрични модели, които позволяват да се демонстрира кинематика, функционални връзкиили технически и технологични процеси. Много често геометричните модели позволяват да се проследи хода на явления, които не подлежат на обикновено наблюдение и могат да бъдат представени въз основа на съществуващите знания. Изображенията ви позволяват не само да представите структурата на определени машини, инструменти и оборудване, но в същото време да характеризирате техните технологични характеристики и функционални параметри.

Чертежите предоставят не само геометрична информация за формата на частите на сглобката. Той разбира принципа на действие на възела, движението на частите една спрямо друга, трансформацията на движенията, възникването на сили, напрежения, преобразуването на енергията в механична работа и др. В техническия университет чертежите и диаграмите се провеждат във всички изучавани общотехнически и специални дисциплини ( теоретична механика, съпротивление на материалите, конструкционни материали, електромеханика, хидравлика, технология на машиностроенето, металорежещи машини и инструменти, теория на машините и механизмите, машинни части, машини и съоръжения и др.). За да предадат различна информация, чертежите се допълват с различни знаци и символи и се използват нови понятия за устното им описание, чието формиране се основава на основните понятия на физиката, химията и математиката.

Особено интересно е използването на геометрични модели за начертаване на аналогии между геометрични закони и реални обекти, за анализиране на същността на дадено явление и оценка на теоретичното и практическото значение на математическите разсъждения и анализиране на същността на математическия формализъм. Нека отбележим, че общоприетите средства за предаване на придобития опит, знания и възприятия (говор, писане, рисуване и др.) очевидно са хомоморфен проекционен модел на реалността. Понятията проекционен схематизъм и проектна операция се отнасят до дескриптивната геометрия и имат своето обобщение в теорията на геометричното моделиране. Проекционните геометрични модели, получени в резултат на проекционната операция, могат да бъдат перфектни, несъвършени (различни степени на несъвършенство) и свити. СЪС геометрична точказрение, всеки обект може да има много проекции, различаващи се както по позицията на центъра на проекцията и картината, така и по размерите си, т.е. Реалните явления на природата и социалните отношения позволяват различни описания, различаващи се едно от друго по степен на достоверност и съвършенство. база научно изследванеи източникът на всичко научна теорияе наблюдение и експеримент, който винаги има за цел да идентифицира някакъв модел. Всички тези обстоятелства послужиха като основа за използването на аналогии между различни видове проекционни геометрични модели, получени чрез хомоморфно моделиране и модели, възникващи в резултат на изследването.

При решаването на повечето проблеми в областта на автоматизираното проектиране (СА) и технологичната подготовка на производството (ТЕП) е необходимо да има модел на проектния обект.

Под обектен моделразбира неговото някакво абстрактно представяне, което отговаря на условието за адекватност към този обект и позволява неговото представяне и обработка с помощта на компютър.

Че. модел– набор от данни, отразяващи свойствата на даден обект и набор от връзки между тези данни.

В зависимост от естеството на неговото изпълнение PR обектният модел може да включва редица различни характеристики и параметри. Най-често обектните модели съдържат данни за формата на обекта, неговите размери, допуски, използвани материали, механични, електрически, термодинамични и други характеристики, методи на обработка, цена, както и микрогеометрия (грапавини, отклонения във формата, размерите).

За обработката на модел в графични CAD системи е от съществено значение не цялото количество информация за даден обект, а частта, която определя неговата геометрия, т.е. форми, размери, пространствено разположение на предметите.

Описанието на обект от гледна точка на неговата геометрия се нарича геометричен модел на обекта.

Но геометричният модел може да включва и някаква технологична и спомагателна информация.

Информация относно геометрични характеристики ah на обект се използва не само за получаване на графично изображение, но и за изчисляване на различни характеристики на обект (например с помощта на FEM), за изготвяне на програми за CNC машини.

В традиционния процес на проектиране информацията се обменя на базата на скици и работни чертежи, като се използва нормативна, справочна и техническа документация. В CAD този обмен се осъществява на базата на вътрешномашинно представяне на обекта.

Под геометрично моделиранеразбират целия многоетапен процес - от вербално (вербално) описание на обект в съответствие с поставената задача до получаване на вътрешномашинно представяне на обекта.

Системите за геометрично моделиране могат да обработват 2-измерни и 3-измерни обекти, които от своя страна могат да бъдат аналитично описуеми и неописуеми. Аналитично неописуемите геометрични елементи, като криви и повърхности със свободна форма, се използват предимно при описанието на обекти в автомобилостроенето, самолетостроенето и корабостроенето.

Основни видове GM

2D модели, които ви позволяват да създавате и променяте чертежи, бяха първите използвани модели. Такова моделиране често се използва и до днес, т.к той е много по-евтин (по отношение на алгоритми и употреба) и е доста подходящ за индустриални организации при решаване на различни проблеми.

В повечето системи за 2D геометрично моделиране описанието на обект се извършва интерактивно в съответствие с алгоритми, подобни на тези на традиционния метод на проектиране. Разширение на такива системи е, че на контурите или плоските повърхности се задава постоянна или променлива дълбочина на изображението. Системите, работещи на този принцип, се наричат 2,5-измерен.Те ви позволяват да получавате аксонометрични проекции на обекти в чертежи.

Но двумерното представяне често не е удобно за доста сложни продукти. При традиционните методи за проектиране (без CAD) се използват чертежи, където продуктът може да бъде представен в няколко вида. Ако продуктът е много сложен, той може да бъде представен под формата на модел. 3D моделът служи за създаване на виртуално представяне на продукта във всичките 3 измерения.

Има 3 вида 3D модели:

· рамка (тел)

повърхност (многоъгълна)

· обемни (модели на твърди тела).

· Исторически първият появил се телени модели. Те съхраняват само координатите на върховете ( x,y,z) и ръбовете, които ги свързват.

Фигурата показва как кубът може да се възприема двусмислено.

защото Известни са само ръбове и върхове; възможни са различни интерпретации на един модел. Рамковият модел е прост, но с негова помощ е възможно да се представи в пространството само ограничен клас части, в които апроксимиращите повърхности са равнини. Въз основа на каркасния модел могат да се получат проекции. Но е невъзможно автоматично да се премахнат невидимите линии и да се получат различни секции.

· Повърхностни моделиви позволяват да описвате доста сложни повърхности. Поради това те често отговарят на нуждите на промишлеността (самолетостроене, корабостроене, автомобилостроене), когато описват сложни форми и работят с тях.

При конструирането на повърхностен модел се приема, че обектите са ограничени от повърхности, които ги отделят от околната среда. Повърхността на обекта също става ограничена от контури, но тези контури са резултат от 2 докосващи се или пресичащи се повърхности. Върховете на даден обект могат да бъдат определени чрез пресичане на повърхности, чрез набор от точки, които отговарят на някакво геометрично свойство, в съответствие с което се определя контурът.

Възможни са различни видове дефиниции на повърхности (равнини, повърхности на въртене, повърхности с линейка). За сложни повърхности се използват различни математически модели за апроксимация на повърхността (методи на Кунс, Безие, Ермит, B-spline). Те ви позволяват да промените естеството на повърхността, като използвате параметри, чието значение е достъпно за потребител, който няма специално математическо обучение.

Апроксимацията на общи повърхнини чрез плоски лица дава предимство:За обработка на такива повърхности, просто математически методи. недостатък:запазването на формата и размера на обекта зависи от броя на лицата, използвани за приближения. > Броят на лицата,< отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Ако за един модел на обект е съществено да се разграничат точките на вътрешни и външни, тогава говорим за обемни модели. За да се получат такива модели, първо се определят повърхностите около обекта и след това се сглобяват в обеми.

Понастоящем са известни следните методи за конструиране на триизмерни модели:

· ВЪВ гранични моделиобемът се определя като набор от повърхности, които го ограничават.

Структурата може да бъде усложнена чрез въвеждане на действия за транслация, ротация и мащабиране.

Предимства:

¾ гаранция за генериране на правилния модел,

¾ големи възможности за моделиране на форми,

¾ бърз и ефективен достъп до геометрична информация (например за чертане).

недостатъци:

¾ по-голям обем първоначални данни, отколкото при CSG метода,

¾ моделирайте логично< устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложност на конструиране на варианти на форми.

· ВЪВ CSG моделиобектът се дефинира чрез комбинация от елементарни обеми с помощта на геометрични операции (обединение, пресичане, разлика).

Елементарният обем се разбира като набор от точки в пространството.

Моделът за такава геометрична структура е дървовидна структура. Възлите (нетерминалните върхове) са операции, а листата са елементарни обеми.

Предимства :

¾ концептуална простота,

¾ малко количество памет,

¾ последователност на дизайна,

¾ възможност за усложняване на модела,

¾ простота на представяне на части и секции.

недостатъци:

¾ ограничение до булеви операции,

¾ изчислително интензивни алгоритми,

¾ невъзможност за използване на параметрично описани повърхности,

¾ сложност при работа с функции > от 2-ри ред.

· Клетъчен метод.Ограничена област от пространството, покриваща целия моделиран обект, се счита за разделена на голям брой дискретни кубични клетки (обикновено с единичен размер).

Симулационна систематрябва просто да записва информация за собствеността на всеки куб върху обект.

Структурата на данните е представена от триизмерна матрица, в която всеки елемент съответства на пространствена клетка.

Предимства:

¾ простота.

недостатъци:

¾ голямо количество памет.

За да се преодолее този недостатък, се използва принципът на разделяне на клетките на подклетки в особено сложни части на обекта и на границата.

Триизмерен модел на обект, получен по произволен метод, е правилен, т.е. в този модел няма противоречия между геометричните елементи, например сегментът не може да се състои от една точка.

Wireframe представяне m.b. използва се не при моделиране, а при отразяване на модели (обемни или повърхностни) като един от методите за визуализация.

Геометричен модел Моделът е представяне на данни, което най-адекватно отразява свойствата на реален обект, които са от съществено значение за процеса на проектиране. Геометричните модели описват обекти, които имат геометрични свойства. По този начин геометричното моделиране е моделиране на обекти от различно естество, използвайки геометрични типове данни.

Класификация по метод на формиране По метод на формиране Твърдо-дименсионално моделиране или с изрична спецификация на геометрията (аналитични модели) Параметричен модел Кинематичен модел (издигане, изместване, екструдиране, въртене, удължаване, измитане) Модел на структурна геометрия (използване основни елементиформи и булеви операции върху тях - пресичане, изваждане, обединение) Хибриден модел

Параметрични модели Параметричният модел е модел, представен от набор от параметри, които установяват връзката между геометричните и размерните характеристики на моделирания обект. Видове параметризация Йерархична параметризация Вариационна (размерна) параметризация Геометрична параметризация Таблична параметризация

Геометрия, базирана на структурни и технологични елементи (характеристики) ХАРАКТЕРИСТИКИТЕ са единични или съставни структурни геометрични обекти, които съдържат информация за техния състав и лесно се променят по време на процеса на проектиране (фаски, ръбове и др.) ХАРАКТЕРИСТИКИТЕ запомнят своята среда, независимо от въведената в геометричен модел на промяната. ХАРАКТЕРИСТИКИТЕ са параметризирани обекти, свързани с други елементи на геометричния модел.

Йерархична параметризация Параметризация въз основа на история на строителството. По време на конструирането на модела цялата последователност на конструиране, например редът на извършените геометрични трансформации, се показва под формата на строително дърво. Извършването на промени на един от етапите на моделиране води до промени в целия модел и дървото на конструкцията. Въвеждането на циклични зависимости в модел ще доведе до невъзможност на системата да създаде такъв модел. Възможностите за редактиране на такъв модел са ограничени поради липсата на достатъчна степен на свобода (възможност за редактиране на параметрите на всеки елемент на свой ред)

Йерархичната параметризация може да се класифицира като твърда параметризация. При твърда параметризация всички връзки са напълно посочени в модела. При създаването на модел, използващ твърда параметризация, редът на дефиниране и естеството на наложените връзки, които ще контролират промяната в геометричния модел, са много важни. Такива връзки най-пълно се отразяват от строителното дърво. Твърдата параметризация се характеризира с наличието на случаи, когато при промяна на параметрите на геометричния модел решението изобщо не може да бъде решено. намерени, защото Някои параметри и установени връзки са в конфликт помежду си. Същото може да се случи и при промяна на отделни етапи от строителното дърво

Връзка родител/дете. Основният принцип на йерархичната параметризация е записването на всички етапи на изграждане на модела в дървото на конструкцията. Това е определението за връзка родител/дете. Когато създадете нова функция, всички други функции, посочени от създадената функция, стават нейни родители. Промяната на родителска функция променя всички нейни деца.

Вариационна параметризация Създаване на геометричен модел с помощта на системни ограничения алгебрични уравнения, който определя връзката между геометричните параметри на модела. Пример за геометричен модел, изграден на базата на вариационна параметризация

Геометрична параметризация Геометричната параметризация се основава на преизчисляване на параметричния модел в зависимост от геометричните параметри на родителските обекти. Геометрични параметри, влияещи върху модела, изграден на базата на геометрична параметризация Успоредност Перпендикулярност Допирателност Концентричност на окръжности и др. Геометричната параметризация използва принципите на асоциативната геометрия

Геометричната и вариационната параметризация могат да бъдат класифицирани като мека параметризация Защо? меката параметризация е метод за конструиране на геометрични модели, който се основава на принципа на решението нелинейни уравнения, описващи връзките между геометричните характеристики на обекта. Връзките от своя страна се определят чрез формули, както при вариационните параметрични модели, или чрез геометрични връзки на параметри, както при моделите, създадени на базата на геометрична параметризация.

Методи за създаване на геометрични модели в съвременните CAD Методи за създаване на модели на базата на триизмерни или двумерни заготовки (основни елементи на формата) - създаване на примитиви, булеви операции Създаване на обемен модел на тяло или повърхност според кинематичния принцип - измитане, издигане, метене и др. Често се използва принципът на параметризиране. Промяна на тела или повърхности чрез плавно съчетаване, заобляне, екструдиране - манипулиране на компонентите на обемни тела (върхове, ръбове, лица и др.). Използва се за добавяне, изтриване, промяна на елементи от триизмерно тяло или плоска фигура. Методи за моделиране на тялото чрез свободни форми. Обектно-ориентирано моделиране. Използване на структурни елементи на формата - характеристики (фаски, дупки, закръгляния, жлебове, вдлъбнатини и др.) (например, направете такава и такава дупка на такова и такова място)

Класификация на съвременните CAD системи Класификационни параметри степен на параметризация Функционално богатство Области на приложение (самолети, автомобили, приборостроене) Съвременни CAD системи 1. Ниско ниво (малки, леки): AutoCAD, Compass и др. 2. Средно ниво (средно): Pro Desktop, Solid Works, Power Shape и др. 3. Високо ниво(голям, тежък): Pro/E, Creo (PTC), Catia, Solid Works (Dassault Systemes), Siemens PLM софтуер (NX - Unigraphics) 4. Специализирани: SPRUT, Icem Surf

Проблеми, решавани от CAD на различни нива 1. Решаване на проблеми на основното ниво на проектиране, параметризацията или липсва, или се прилага на най-ниското, най-просто ниво 2. Те имат доста силна параметризация, фокусирани са върху индивидуалната работа, невъзможно е за различни разработчиците да работят заедно по един проект едновременно. 3. Позволява паралелна работа на проектанти. Системите са изградени на модулен принцип. Целият цикъл на работа се извършва без загуба на данни и параметрични връзки. Основният принцип е параметризация от край до край. В такива системи промените в модела на продукта и самия продукт са разрешени на всеки етап от работата. Поддръжка на всяко ниво от жизнения цикъл на продукта. 4. Проблемите за създаване на модели за тясна област на използване са решени. Всичко може да се реализира възможни начинисъздаване на модели

Основните концепции на моделирането в момента 1. Гъвкав инженеринг (гъвкав дизайн): Параметризация Дизайн на повърхности с всякаква сложност (свободни повърхности) Наследяване на други проекти Моделиране в зависимост от целта 2. Поведенческо моделиране Създаване на интелигентни модели (интелигентни модели) - създаване на модели, адаптирани към средата за разработка. В геометричния модел м.б. включват се интелектуални концепции, например функции Включване на изискванията за производство на продукта в геометричния модел Създаване на отворен модел, който позволява да бъде оптимизиран 3. Използване на идеологията на концептуалното моделиране при създаване на големи сглобки Използване на асоциативни връзки (набор от параметри на асоциативната геометрия) Разделяне на параметрите на модела на различни етапи от проектирането на сглобката

Резултатът от геометричното моделиране на даден обект е математически модел на неговата геометрия. Математическият модел ви позволява да изобразите графично моделирания обект, да получите неговите геометрични характеристики, да проучите много от физическите свойства на обекта чрез създаване на числени експерименти, да подготвите за производство и накрая да произведете обекта.

За да видите как изглежда даден обект, трябва да симулирате потока от светлинни лъчи, падащи и връщащи се от повърхностите му. В този случай ръбовете на модела могат да получат необходимия цвят, прозрачност, текстура и други физически свойства. Моделът може да се осветява от различни страни със светлина с различен цвят и интензитет.

Геометричният модел ви позволява да определите центрирането на масата и инерционните характеристики на проектирания обект и да измерите дължините и ъглите на неговите елементи. Позволява да се изчислят размерните вериги и да се определи сглобяемостта на проектирания обект. Ако обектът е механизъм, тогава върху модела можете да проверите неговата производителност и да изчислите кинематичните характеристики.

С помощта на геометричен модел е възможно да се проведе числен експеримент за определяне на напрегнато-деформираното състояние, честотите и режимите на естествените вибрации, стабилността на конструктивните елементи, топлинните, оптичните и други свойства на обекта. За да направите това, трябва да допълните геометричния модел с физически свойства, да симулирате външните условия на неговата работа и, като използвате физични закони, направете съответното изчисление.

С помощта на геометричния модел е възможно да се изчисли траекторията на режещия инструмент за обработка на обект. Като се има предвид избраната технология за производство на обект, геометричният модел ви позволява да проектирате оборудване и да извършите производствена подготовка, както и да проверите самата възможност за производство на обект по този метод и качеството на това производство. Освен това е възможна графична симулация на производствения процес. Но за да произведете един обект, освен геометрична информация, ви е необходима информация за технологичния процес, производствено оборудване и много други, свързани с производството.

Много от изброените проблеми образуват самостоятелни раздели на приложната наука и не са по-ниски по сложност, а в повечето случаи надхвърлят проблема за създаване на геометричен модел. Геометричният модел е отправна точка за по-нататъшни действия. Когато конструираме геометричен модел, ние не използвахме физически закони; радиус-векторът на всяка точка на интерфейса между външната и вътрешната част на моделирания обект е известен, следователно, когато конструираме геометричен модел, трябва да съставим и решим алгебрично уравнения.

Задачи, които използват физични закони, водят до диференциални и интегрални уравнения, чието решение е по-трудно от решаването на алгебрични уравнения.

В тази глава ще се съсредоточим върху извършването на изчисления, които не са свързани с физически процеси. Ще разгледаме изчисляването на чисто геометричните характеристики на телата и техните плоски сечения: повърхност, обем, център на масата, инерционни моменти и ориентация на главните инерционни оси. Тези изчисления не изискват участие Допълнителна информация. Освен това ще разгледаме проблемите числено интегриране, които трябва да бъдат решени при определяне на геометрични характеристики.

Определянето на площта, центъра на масата и инерционните моменти на плоско сечение на тяло води до изчисляване на интеграли върху площта на напречното сечение. За равнинните сечения имаме информация за техните граници. Намаляваме интегралите върху площта на равнинно сечение до криволинейни интеграли, които от своя страна се свеждат до определени интеграли. Определянето на повърхнината, обема, центъра на масата и инерционните моменти на тялото води до изчисляване на повърхностни и обемни интеграли. Ще разчитаме на представянето на тяло с помощта на граници, т.е. на описанието на тялото чрез набор от повърхности, които го ограничават, и топологична информация за взаимната близост на тези повърхности. Ще редуцираме интегралите върху обема на тялото до повърхностни интеграли върху повърхностите на лицата на тялото, които от своя страна се редуцират до двойни интеграли. IN общ случайдомейнът на интегриране е свързан двуизмерен домейн. Изчисляване двойни интеграли числени методиможе да се направи за области прости типове- четириъгълна или триъгълна форма. В тази връзка, в края на главата, методите за изчисление определени интегралии двойни интеграли върху четириъгълни и триъгълни области. Методите за разделяне на зоните за определяне на параметрите на повърхността на набор от триъгълни подзони са обсъдени в следващата глава.

В началото на главата ще разгледаме редуцирането на интегралите на площта до интеграли на кривите и редуцирането на интегралите на обема до интеграли на повърхността. Въз основа на това ще се правят изчисления на геометричните характеристики на моделите.

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Публикувано на http://www.allbest.ru/

Системи за геометрично моделиране

Системите за геометрично моделиране ви позволяват да работите с форми в триизмерно пространство. Те са създадени, за да преодолеят проблемите, свързани с използването на физически модели в процеса на проектиране, като например трудността при получаване на сложни форми с точни размери, както и трудността при извличане на необходимата информация от реални модели за точното им възпроизвеждане.

Тези системи създават среда, подобна на тази, в която се създават физическите модели. С други думи, в система за геометрично моделиране, дизайнерът променя формата на модела, добавяйки и премахвайки части от него, детайлизирайки формата на визуалния модел. Визуалният модел може да изглежда по същия начин като физическия, но е нематериален. Въпреки това, триизмерният визуален модел се съхранява в компютъра заедно с неговото математическо описание, като по този начин се елиминира основният недостатък на физическия модел - необходимостта от извършване на измервания за последващо прототипиране или масово производство. Системите за геометрично моделиране се разделят на телени, повърхностни, твърди и неструктурирани.

Рамкови системи

В системите за телено моделиране формата се представя като набор от линии и крайни точки, които я характеризират. Линиите и точките се използват за представяне на триизмерни обекти на екрана, а промените във формата се извършват чрез промяна на позицията и размера на линиите и точките. С други думи, визуалният модел е телена рамка на фигура, а съответното математическо описание е набор от уравнения на криви, координати на точки и информация за свързаността на криви и точки. Информацията за свързаност описва принадлежността на точки към конкретни криви, както и пресичането на кривите една с друга. Системите за телено моделиране бяха популярни по времето, когато GM едва започваше да се появява. Тяхната популярност се обяснява с факта, че в системите за телено моделиране създаването на форми се извършва чрез последователност прости действия, така че за потребителите беше сравнително лесно да създават формуляри сами. Въпреки това визуален модел, състоящ се само от линии, може да бъде двусмислен. Освен това съответното математическо описание не съдържа информация за вътрешните и външните повърхности на моделирания обект. Без тази информация е невъзможно да се изчисли масата на даден обект, да се определят пътищата на движение или да се създаде мрежа за анализ на крайните елементи, въпреки че обектът изглежда триизмерен. Тъй като тези операции са неразделна част от процеса на проектиране, системите за телено моделиране постепенно бяха заменени от системи за повърхностно и твърдо моделиране.

Системи за повърхностно моделиране

В системите за повърхностно моделиране математическото описание на визуалния модел включва не само информация за характерните линии и техните крайни точки, но и данни за повърхностите. Когато работите с модел, показан на екрана, уравненията на повърхността, уравненията на кривата и координатите на точката се променят. Математическото описание може да включва информация за свързаността на повърхностите - как повърхностите се свързват една с друга и по какви криви. В някои приложения тази информация може да бъде много полезна.

Има три стандартни метода за създаване на повърхности в системите за моделиране на повърхности:

1) Интерполация на входни точки.

2) Интерполация на извити точки.

3) Транслация или ротация на дадена крива.

Системите за повърхностно моделиране се използват за създаване на модели със сложни повърхности, тъй като визуалният модел ви позволява да оцените естетиката на проекта, а математическото описание ви позволява да изграждате програми с точни изчисления на траекториите на движение.

Системи за твърдо моделиране

Проектиран за работа с обекти, състоящи се от затворен обем или монолит. В системите за моделиране на твърдо тяло, за разлика от системите за каркасно и повърхностно моделиране, създаването на набор от повърхности или характерни линии не е разрешено, ако те не образуват затворен обем. Математическо описание на обект, създаден в система за солидно моделиране, съдържа информация, чрез която системата може да определи къде се намира дадена линия или точка: вътре в обема, извън него или на неговата граница. В този случай можете да получите всякаква информация за обема на тялото, което означава, че могат да се използват приложения, които работят с обекта на ниво обем, а не върху повърхности.

Системите за солидно моделиране обаче изискват Повече ▼входни данни в сравнение с количеството данни, даващи математическо описание. Ако системата изисква от потребителя да въведе всички данни за пълно математическо описание, това би станало твърде сложно за потребителите и те биха я изоставили. Ето защо разработчиците на такива системи се опитват да представят прости и естествени функции, така че потребителите да могат да работят с триизмерни форми, без да навлизат в детайлите на математическото описание.

Функциите за моделиране, поддържани от повечето солидни системи за моделиране, могат да бъдат разделени на пет основни групи:

1) Функции за създаване на примитиви, както и функции за добавяне и изваждане на обем - булеви оператори. Тези функции позволяват на дизайнера бързо да създаде форма, която е близка до крайната форма на детайла.

2) Функции за създаване на обемни тела чрез преместване на повърхността. Функцията за метене ви позволява да създадете триизмерно тяло чрез преместване или завъртане на област, определена в равнина.

3) Функции, предназначени основно за модифициране на съществуваща форма. Типични примери са функциите за филиране или гладко филиране и повдигане.

4) Функции, които ви позволяват директно да манипулирате компонентите на обемни тела, тоест по върхове, ръбове и лица.

5) Функции, чрез които дизайнерът може да моделира твърдоизползване на безплатни форми.

Различни системи за моделиране

Системите за моделиране на твърди тела позволяват на потребителя да създава твърди тела със затворен обем, т.е., в математически термини, твърди тела, които представляват многообразия. С други думи, такива системи забраняват създаването на структури, които не са разнообразни. Нарушения на условието за разнообразие са например допирането на две повърхности в една точка, допирането на две повърхности по протежение на отворена или затворена крива, два затворени обема с общо лице, ръб или връх, както и повърхности, образуващи пчелна пита. -тип структури.

Забраната за създаване на малки модели се счита за едно от предимствата на системите за твърдо моделиране, тъй като благодарение на това всеки модел, създаден в такава система, може да бъде произведен. Ако потребителят иска да работи със системата за геометрично моделиране през целия процес на разработка, това предимство се оказва обратната страна.

Абстрактен модел със смесица от размери е удобен, защото не ограничава творческата мисъл на дизайнера. Модел със смесени размери може да съдържа свободни ръбове, наслоени повърхности и обеми. Абстрактният модел също е полезен, защото може да служи като основа за анализ. Всеки етап от процеса на проектиране може да има свои собствени аналитични инструменти. Например, използвайки метода на крайните елементи, директно върху представянето на оригиналния модел, което ви позволява да автоматизирате обратна връзкамежду етапите на проектиране и анализ, който в момента се изпълнява от дизайнера самостоятелно. Малките модели са незаменими като етап от развитието на един проект от непълно описание на ниски нива до завършено триизмерно тяло. Системите за мулти-моделиране позволяват телени, повърхностни, твърди и клетъчни модели да се използват едновременно в една и съща среда за моделиране, разширявайки обхвата на наличните модели.

Описание на повърхностите

Важен компонент на геометричните модели е описанието на повърхностите. Ако повърхностите на частта са плоски лица, тогава моделът може да бъде изразен доста просто чрез определена информация за лицата, ръбовете и върховете на частта. В този случай обикновено се използва методът на конструктивната геометрия. Представяне с помощта на плоски повърхности се среща и в случай на по-сложни повърхности, ако тези повърхности са апроксимирани от набори от плоски области - многоъгълни мрежи. Тогава повърхностният модел може да бъде определен в една от следните форми:

1) моделът е списък от лица, всяко лице е представено от подреден списък от върхове (цикъл от върхове); тази форма се характеризира със значително излишък, тъй като всеки връх се повтаря в няколко списъка;

2) моделът е списък от ръбове, за всеки ръб са посочени инцидентни върхове и лица. Въпреки това, апроксимацията чрез полигонални мрежи при големи размери на клетките на мрежата дава забележими изкривявания на формата, а при малки размери на клетките се оказва неефективна по отношение на изчислителните разходи. Следователно описанията на неравнинни повърхности са по-популярни кубични уравненияпод формата на Безие или 5-сплайна.

Удобно е да се въведат тези форми, като се покаже тяхната употреба за описание геометрични обектипърво ниво - пространствени криви.

Забележка. Геометричните обекти от нулево, първо и второ ниво се наричат ​​съответно точки, криви и повърхности.

Подсистемите MG&GM използват параметрично дефинирани кубични криви

повърхност за геометрично конструктивно моделиране

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx;

y(t) = ay t3 +X чрез t2 + cy t + dy;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

където 1 > t > 0. Такива криви описват сегменти от апроксимираната крива, т.е. апроксимираната крива е разделена на сегменти и всеки сегмент се апроксимира с уравнения (3.48).

Използването на кубични криви осигурява (чрез подходящ избор на четири коефициента във всяко от трите уравнения) изпълнението на четири условия за свързване на сегменти. В случай на криви на Безие тези условия са преминаването на сегментната крива през две дадени крайни точки и равенството на допирателните вектори на съседни сегменти в тези точки. В случай на 5-сплайнове, условията за непрекъснатост на допирателния вектор и кривината (т.е. първа и втора производни) в двете крайни точки са изпълнени, което гарантира висока степенгладкост на кривата, въпреки че преминаването на апроксимиращата крива през дадени точкине е предоставена тук. Не се препоръчва използването на полиноми, по-високи от трета степен, тъй като има голяма вероятност от вълнообразност.

В случая на формата на Безие, коефициентите в (3.48) се определят, първо, чрез заместване в (3.48) на стойностите (=0k(=1i) на координатите на дадените крайни точки P и P4, съответно , и второ, чрез заместване на производните в изразите

dx/dt = За t2 + 2b + s, X X x"

dy/dt = За, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

същите стойности / = 0 и / = 1 и координатите на точките P2 и P3, които определят посоките на допирателните вектори (фиг. 3.27). В резултат на това за формата на Безие получаваме

Крива на Безие. (3,27)

за които матрицата M има различен вид и е представена в табл. 3.12, а векторите Gx, Gy, G съдържат съответните координати на точките P, 1; R, R, + 1, R, + 2.

Нека покажем, че в точките на спрежение за първата и втората производни на апроксимиращия израз са изпълнени условията за непрекъснатост, което се изисква от дефиницията на B-сплайн. Нека означим участъка от апроксимиращия B-сплайн, съответстващ на участъка [P, P +1] от оригиналната крива с . Тогава за този участък и координатите x в точката на спрежение Q/+ имаме t = 1 и

За участък в същата точка Qi+| имаме t = 0 и

тоест равенството на производните в точката на конюгиране в съседни секции потвърждава непрекъснатостта на допирателния вектор и кривината. Естествено, x стойността на x координатата на точката Qi+1 от апроксимиращата крива в участъка .

равна на стойността x, изчислена за същата точка на участъка, но координатните стойности на възловите точки x и x+] на апроксимиращите и апроксимираните криви не съвпадат.

По подобен начин могат да се получат изрази за форми на Безие и 5-сплайнове, приложени към повърхности, като се вземе предвид фактът, че вместо (3.48) се използват кубични зависимости от две променливи.

Публикувано на Allbest.ru

Подобни документи

Статични и динамични модели. Анализ симулационни системимоделиране. Система за моделиране "AnyLogic". Основни видове симулационно моделиране. Непрекъснати, дискретни и хибридни модели. Изграждане на модел на кредитна банка и неговия анализ.

дисертация, добавена на 24.06.2015 г


Проблеми на оптимизацията на сложни системи и подходи за тяхното решаване. Софтуерно изпълнение на анализа на сравнителната ефективност на метода за промяна на вероятностите и генетичен алгоритъм с двоично представяне на решения. Метод за решаване на проблем със символна регресия.

дисертация, добавена на 02.06.2011 г


Характеристики на основните принципи на създаване математически моделихидроложки процеси. Описание на процесите на дивергенция, трансформация и конвергенция. Запознаване с основните компоненти на хидроложки модел. Същност на симулационното моделиране.

презентация, добавена на 16.10.2014 г


Основната теза на формализацията. Моделиране на динамични процеси и симулация на сложни биологични, технически, социални системи. Анализ на моделирането на обекта и идентифициране на всички негови известни свойства. Избор на формата за представяне на модела.

резюме, добавено на 09.09.2010 г


Ефективността на макроикономическото прогнозиране. Историята на възникването на икономическото моделиране в Украйна. Характеристики на моделирането на сложни системи, направления и трудности на икономическото моделиране. Развитие и проблеми на съвременната икономика на Украйна.

резюме, добавено на 01/10/2011


Основни проблеми на иконометричното моделиране. Използване на фиктивни променливи и хармонични тенденции. Метод на най-малките квадрати и дисперсия на извадката. Значението на коефициента на детерминация. Изчисляване на функцията на еластичност. Свойства на линейния модел.

тест, добавен на 11/06/2009


Теоретични и методологични основи за моделиране на развитието на фирми с рентоориентирано управление. Икономически и математически основи на моделирането на динамично сложни системи. Заемаща функция: понятие, същност, свойства, аналитичен поглед.

дисертация, добавена на 02/04/2011


Създаване на комбинирани модели и методи като съвременен метод за прогнозиране. Базиран на ARIMA модел за описване на стационарни и нестационарни времеви редове при решаване на проблеми с групирането. Авторегресивни AR модели и приложения на корелограми.

презентация, добавена на 01.05.2015 г


Методология за получаване на оценки, използвани в процедурите за проектиране на управленски решения. Приложно използване на многомерен линеен регресионен модел. Създаване на ковариационна матрица от данни и модели за проектиране на решения, извлечени от нея.

статия, добавена на 03.09.2016 г


Анализ на сложни системи. Провеждане на икономически изследвания с помощта на технологии компютърно моделиране. Изграждане на блокови диаграми и маршрути на потока от съобщения. Разработване на оперативен модел на автобусен маршрут. Изчисления на многовариантния модел.

Подобни статии