някои функции. Ако възстановим функция от нейния пълен диференциал, ще намерим общия интеграл на диференциалното уравнение. По-долу ще говорим за метод за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал.

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0, ако условието е изпълнено.

защото пълна диференциална функция U(x, y) = 0Това , което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .

Тогава, .

От първото уравнение на системата получаваме . Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим желаната функция U(x, y) = 0.

Пример.

Ще намерим общо решение DU .

Решение.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:

Тогава лявата страна на първоначалното диференциално уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

защото е общият диференциал на функцията U(x, y) = 0, означава:

.

Ние се интегрираме от х 1-во уравнение на системата и диференцирайте по отношение на грезултат:

.

От второто уравнение на системата получаваме . означава:

Където СЪС- произволна константа.

По този начин и общият интеграл за дадено уравнениеще .

Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал. Състои се от вземане на линейния интеграл от фиксирана точка (x 0, y 0)до точка с променливи координати (x, y): . В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е като път на интегриране да се вземе прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси.

Пример.

Нека намерим общо решение на DE .

Решение.

Проверяваме изпълнението на условието:

Така лявата страна на диференциалното уравнение е пълният диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Нека намерим тази функция чрез пресмятане линеен интегралот точка (1; 1) преди (x, y). Като път на интегриране приемаме начупена линия: първият участък на начупената линия се прекарва по права линия y = 1от точка (1, 1) преди (x, 1), като втори участък от пътя вземаме отсечка от права линия от точката (x, 1)преди (x, y):

И така, общото решение на дистанционното управление изглежда така: .

Пример.

Нека определим общото решение на DE.

Решение.

защото , което означава, че условието не е изпълнено, тогава лявата страна на диференциалното уравнение няма да бъде пълен диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).

Със стандартната форма $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в която лявата страна е общият диференциал на някаква функция $F \left( x,y\right)$, се нарича уравнение в пълни диференциали.

Уравнението в общите диференциали винаги може да бъде пренаписано като $dF\left(x,y\right)=0$, където $F\left(x,y\right)$ е функция, такава че $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Нека интегрираме двете страни на уравнението $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интегралът на нулевата дясна страна е равен на произволна константа $C$. По този начин общото решение на това уравнение в неявна форма е $F\left(x,y\right)=C$.

За да бъде дадено диференциално уравнение уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно условието $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ Бъди доволен. Ако определеното условие е изпълнено, тогава има функция $F\left(x,y\right)$, за която можем да напишем: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, от което получаваме две отношения : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ и $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Интегрираме първото отношение $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ върху $x$ и получаваме $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, където $U\left(y\right)$ е произволна функция от $y$.

Нека го изберем така, че второто отношение $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ да е изпълнено. За да направим това, диференцираме получената връзка за $F\left(x,y\right)$ по отношение на $y$ и приравняваме резултата към $Q\left(x,y\right)$. Получаваме: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\надясно)$.

По-нататъшното решение е:

• от последното равенство намираме $U"\left(y\right)$;
• интегрирайте $U"\left(y\right)$ и намерете $U\left(y\right)$;
• заместете $U\left(y\right)$ в равенството $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ и накрая получаваме функцията $F\left(x,y\right)$.

\

Откриваме разликата:

Интегрираме $U"\left(y\right)$ върху $y$ и намираме $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Намерете резултата: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записваме общото решение във формата $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Намерете конкретно решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, където $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Частичното решение има формата: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Постановка на проблема в двумерен случай

Възстановяване на функция на няколко променливи от нейния общ диференциал

9.1. Постановка на проблема в двумерен случай. 72

9.2. Описание на решението. 72

Това е едно от приложенията на криволинейния интеграл от втори род.

Даден е изразът за общия диференциал на функция от две променливи:

Намерете функцията.

1. Тъй като не всеки израз на формата е пълен диференциал на някаква функция U(х,г), тогава е необходимо да се провери коректността на постановката на проблема, тоест да се провери необходимото и достатъчно условие за общия диференциал, който за функция от 2 променливи има формата . Това условие следва от еквивалентността на твърдения (2) и (3) в теоремата от предишния раздел. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава проблемът има решение, тоест функция U(х,г) могат да бъдат възстановени; ако условието не е изпълнено, тогава проблемът няма решение, тоест функцията не може да бъде възстановена.

2. Можете да намерите функция от нейния общ диференциал, например, като използвате криволинеен интеграл от втори вид, изчислявайки го от линия, свързваща фиксирана точка ( х 0 ,г 0) и променлива точка ( x;y) (Ориз. 18):

Така се получава, че криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал dU(х,г) е равно на разликата между стойностите на функцията U(х,г) в крайната и началната точка на линията на интегриране.

Знаейки този резултат сега, трябва да заместим dUв криволинейния интегрален израз и изчислете интеграла по прекъснатата линия ( ACB), като се има предвид неговата независимост от формата на линията на интегриране:

На ( A.C.): На ( NE) :

(1)

Така се получава формула, с помощта на която се възстановява функция на 2 променливи от общия й диференциал.

3. Възможно е да се възстанови функция от нейния пълен диференциал само до постоянен член, тъй като д(U+ const) = dU. Следователно в резултат на решаването на проблема получаваме набор от функции, които се различават една от друга с постоянен термин.

Примери (възстановяване на функция на две променливи от нейния общ диференциал)

1. Намерете U(х,г), Ако dU = (х 2 – г 2)dx – 2xydy.

Проверяваме условието за общия диференциал на функция от две променливи:

Пълното диференциално условие е изпълнено, което означава функцията U(х,г) могат да бъдат възстановени.

Проверка: – вярно.

Отговор: U(х,г) = х 3 /3 – xy 2 + ° С.

2. Намерете функция, такава че

Проверяваме необходимите и достатъчни условияобщ диференциал на функция от три променливи: , , , ако изразът е даден.

В проблема, който се решава

всички условия за пълен диференциал са изпълнени, следователно функцията може да бъде възстановена (задачата е формулирана правилно).

Ще възстановим функцията с помощта на криволинейния интеграл от втори вид, като го изчислим по определена линия, свързваща фиксирана точка и променлива точка, тъй като

(това равенство се извежда по същия начин, както в двумерния случай).

От друга страна, криволинейният интеграл от втори вид от пълен диференциал не зависи от формата на линията на интегриране, следователно е най-лесно да се изчисли по начупена линия, състояща се от сегменти, успоредни на оситекоординати В този случай като фиксирана точка можете просто да вземете точка със специфични числени координати, като следите само, че в тази точка и по цялата линия на интегриране е изпълнено условието за съществуване на криволинейна интегрална част (т.е. така че функциите и са непрекъснати). Като вземем предвид тази забележка, в тази задача можем да вземем например точката M 0 за неподвижна точка. Тогава на всяка от връзките на прекъснатата линия ще имаме

10.2. Изчисляване на повърхностен интеграл от първи род. 79

10.3. Някои приложения на повърхностния интеграл от първи род. 81

Може да се случи, че лявата страна на диференциалното уравнение

е общият диференциал на някаква функция:

и следователно уравнение (7) приема формата .

Ако функцията е решение на уравнение (7), тогава и, следователно,

където е константа и обратно, ако някаква функция превръща крайното уравнение (8) в идентичност, тогава, диференцирайки получената идентичност, получаваме и следователно, където е произволна константа, е общият интеграл на оригинала уравнение.

Ако са дадени първоначални стойности, тогава константата се определя от (8) и

е желаният частичен интеграл. Ако в точка , тогава уравнение (9) определя като неявна функцияот .

За да може лявата страна на уравнение (7) да бъде пълен диференциал на някаква функция, е необходимо и достатъчно, че

Ако това условие, определено от Ойлер, е изпълнено, тогава уравнение (7) може лесно да се интегрира. Наистина ли, . От друга страна, . следователно

При изчисляване на интеграла количеството се счита за константа, следователно е произволна функция на . За да определим функцията, диференцираме намерената функция по отношение на и, тъй като , получаваме

От това уравнение определяме и чрез интегриране намираме .

Както знаете от курса математически анализ, дори по-просто, можете да дефинирате функция чрез нейния общ диференциал, като вземете криволинейния интеграл на между някаква фиксирана точка и точка с променливи координати по произволен път:

Най-често като интеграционен път е удобно да се вземе прекъсната линия, съставена от две връзки, успоредни на координатните оси; в такъв случай

Пример. .

Лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция, тъй като

Следователно общият интеграл има формата

Може да се използва друг метод за дефиниране на функция:

Избираме например началото на координатите като начална точка и прекъсната линия като път на интегриране. Тогава

и общият интеграл има формата

Което съвпада с предишния резултат, което води до общ знаменател.

В някои случаи, когато лявата страна на уравнение (7) не е пълен диференциал, е лесно да се избере функция, след умножаване, по която лявата страна на уравнение (7) се превръща в пълен диференциал. Тази функция се нарича интегриращ фактор. Имайте предвид, че умножението с интегриращ фактор може да доведе до появата на ненужни частични решения, които превръщат този фактор в нула.

Пример. .

Очевидно след умножение с коефициент лявата страна се превръща в общ диференциал. Наистина, след умножаване по получаваме

или интегриране, . Умножавайки по 2 и потенцирайки, имаме .

Разбира се, интегриращият фактор не винаги се избира толкова лесно. IN общ случайза да се намери интегриращият фактор, е необходимо да се избере поне едно частично решение на частичното диференциално уравнение или в разширена форма, което не е идентично нула

което след разделяне на и прехвърляне на някои членове към друга част от равенството се свежда до формата

В общия случай интегрирането на това частично диференциално уравнение в никакъв случай не е по-проста задача от интегрирането на оригиналното уравнение, но в някои случаи изборът на конкретно решение на уравнение (11) не е труден.

В допълнение, като се има предвид, че интегриращият фактор е функция само на един аргумент (например, той е функция само или само , или функция само от , или само , и т.н.), може лесно да се интегрира уравнение (11) и посочете условията, при които съществува интегриращ фактор от разглеждания тип. Това идентифицира класове уравнения, за които интегриращият фактор може лесно да бъде намерен.

Например, нека намерим условията, при които уравнението има интегриращ фактор, който зависи само от , т.е. . В този случай уравнение (11) е опростено и приема формата , от където, като се има предвид непрекъсната функцияот , получаваме

Ако е функция само на , тогава интегриращ фактор, зависещ само от , съществува и е равен на (12), в противен случай интегриращ фактор на формата не съществува.

Условието за съществуване на интегриращ фактор, зависещ само от е изпълнено, например, за линейно уравнениеили . Наистина и следователно. Условията за съществуването на интегриращи фактори на формата и т.н. могат да бъдат намерени по напълно подобен начин.

Пример.Уравнението има ли интегриращ фактор от формата ?

Нека обозначим . Уравнение (11) при приема формата , откъдето или

За съществуването на интегриращ фактор от даден тип е необходимо и, при предположението за непрекъснатост, достатъчно той да бъде само функция. Следователно в този случай интегриращият фактор съществува и е равен на (13). Когато получаваме. Умножавайки оригиналното уравнение по , ние го редуцираме до формата

Интегрирайки, получаваме , а след потенциране ще имаме , или in полярни координати- семейство логаритмични спирали.

Пример. Намерете формата на огледало, което отразява успоредно на дадена посока всички лъчи, излизащи от дадена точка.

Нека поставим началото на координатите в дадена точка и насочим абсцисната ос успоредно на посоката, посочена в условията на задачата. Оставете лъча да падне върху огледалото в точка . Нека разгледаме разрез на огледалото с равнина, минаваща през абсцисната ос и точката . Нека начертаем допирателна към разглеждания участък от огледалната повърхност в точка . Тъй като ъгълът на падане на лъча равен на ъгълотражение, то триъгълникът е равнобедрен. следователно

получено хомогенно уравнениесе интегрира лесно чрез промяна на променливи, но е още по-лесно, освободено от ирационалност в знаменателя, да се пренапише във формата . Това уравнение има очевиден интегриращ фактор , , , (семейство от параболи).

Тази задача може да се реши още по-просто в координати и , където , а уравнението за сечението на търсените повърхнини приема формата .

Възможно е да се докаже съществуването на интегриращ фактор или, което е същото нещо, съществуването на ненулево решение на частично диференциалното уравнение (11) в някаква област, ако функциите и имат непрекъснати производни и поне една от тях функциите не изчезват. Следователно методът на интегриращия фактор може да се разглежда като общ методинтегриращи уравнения от формата , но поради трудността при намиране на интегриращия фактор, този метод най-често се използва в случаите, когато интегриращият фактор е очевиден.

Подобни статии