Частни производни и диференциали. Частична производна, пълен диференциал FNP

Частична производнафункции z = f(x, y по променлива xПроизводната на тази функция при постоянна стойност на променливата y се нарича, обозначава се с или z" x.

Частична производнафункции z = f(x, y) по променлива yсе нарича производна по y при постоянна стойност на променливата y; той е обозначен или z" y.

Частната производна на функция на няколко променливи по отношение на една променлива се определя като производната на тази функция по отношение на съответната променлива, при условие че останалите променливи се поддържат постоянни.

Пълен диференциалфункция z = f(x, y) в някаква точка M(X, y) се нарича израз

Където и се изчисляват в точката M(x, y) и dx =, dy = y.

Пример 1

Изчисли пълен диференциалфункции.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 в точка M(1; 2)

Решение:

1) Намерете частични производни:

2) Изчислете стойността на частичните производни в точка M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Въпроси за самоконтрол:

1. Какво се нарича антидериват? Избройте свойствата на антипроизводното.

2. Какво се нарича неопределен интеграл?

3. Избройте имоти не определен интеграл.

4. Избройте основните формули за интегриране.

5. Какви методи за интегриране познавате?

6. Каква е същността на формулата на Нютон–Лайбниц?

7. Дайте дефиницията на определен интеграл.

8. Каква е същността на изчисляването на определен интеграл чрез метода на заместване?

9. Каква е същността на метода за изчисляване на определен интеграл по части?

10. Коя функция се нарича функция на две променливи? Как се обозначава?

11. Коя функция се нарича функция на три променливи?

12. Какво множество се нарича област на дефиниране на функция?

13. С помощта на какви неравенства можете да зададете затворена зона D в самолет?

14. Каква е частната производна на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата x? Как се обозначава?

15. Каква е частната производна на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата y? Как се обозначава?

16. Какъв израз се нарича общ диференциал на функция

Тема 1.2 Обикновени диференциални уравнения.

Проблеми, водещи до диференциални уравнения. Диференциални уравнения с разделими променливи. Общи и конкретни решения. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Линеен хомогенни уравнениявтори ред с постоянни коефициенти.

Практически урок№ 7 „Намиране на общи и частни решения диференциални уравненияс разделими променливи"*

Практическо занятие № 8 „Линейни и хомогенни диференциални уравнения”

Практическо занятие № 9 „Решаване на диференциални уравнения от 2-ри ред с постоянни коефициенти»*

L4, глава 15, стр. 243 – 256

Насоки

Нека функцията е дефинирана в някакъв (отворен) домейн д точки
пространствено пространство и
– точка в тази област, т.е.
д.

Частично увеличение на функциятаот много променливи за всяка променлива е увеличението, което функцията ще получи, ако дадем увеличение на тази променлива, като приемем, че всички други променливи имат постоянни стойности.

Например, частично увеличение на функция по променлива ще

Частична производна по отношение на независимата променлива в точката
на функция се нарича граница (ако съществува) на коефициента на частично нарастване
функции за увеличаване
променлива докато се стремим
до нула:

Частичната производна се обозначава с един от символите:

;
.

Коментирайте.Индекс по-долу в тези обозначения само показва коя от променливите е взета производната и не е свързана към коя точка
тази производна се изчислява.

Изчисляването на частични производни не е нищо ново в сравнение с изчисляването на обикновената производна; просто трябва да запомните, че когато диференцирате функция по отношение на която и да е променлива, всички други променливи се приемат като константи. Нека покажем това с примери.

Пример 1.Намерете частични производни на функция
.

Решение. При изчисляване на частната производна на функция
по аргумент разгледайте функцията като функция само на една променлива , т.е. ние вярваме в това има фиксирана стойност. На фиксирана функция
е степенна функция на аргумента . Използвайки формулата за диференциране на степенна функция, получаваме:

По същия начин при изчисляване на частната производна приемаме, че стойността е фиксирана и разгледайте функцията
как експоненциална функцияаргумент . В резултат получаваме:

Пример 2. нИТ частични производни И функции
.

Решение.При изчисляване на частната производна по отношение на дадена функцияще го разглеждаме като функция на една променлива , и изрази, съдържащи , ще бъдат постоянни фактори, т.е.
действа като постоянен коефициент при степенна функция(
). Разграничавайки този израз от , получаваме:

Сега, напротив, функцията разглежда като функция на една променлива , докато изразите, съдържащи , действат като коефициент
(
).Разграничаване съгласно правилата за диференциране на тригонометрични функции, получаваме:

Пример 3. Изчисляване на частни производни на функции
в точката
.

Решение.Първо намираме частните производни на тази функция в произволна точка
неговата област на дефиниция. При изчисляване на частната производна по отношение на ние вярваме в това
са постоянни.

при разграничаване по ще бъде постоянно
:

и при изчисляване на частни производни по отношение на и от , по подобен начин, ще бъде постоянен, съответно,
И
, т.е.:

Сега нека изчислим стойностите на тези производни в точката
, замествайки специфични стойности на променливи в техните изрази. В резултат получаваме:

11. Частични и пълни диференциални функции

Ако сега към частичното увеличение
приложете теоремата на Лагранж върху крайните нараствания на променлива , тогава, като се има предвид непрекъснато, получаваме следните отношения:

Където
,
– безкрайно малко количество.

Частична диференциална функцияпо променлива се нарича главната линейна част на частичния прираст
, равна на произведението на частната производна по отношение на тази променлива и нарастването на тази променлива и се означава

Очевидно частичният диференциал се различава от частичното увеличение с безкрайно малко от по-висок порядък.

Пълно увеличение на функциятана много променливи се нарича увеличението, което ще получи, когато дадем увеличение на всички независими променливи, т.е.

къде са всички
, зависят и заедно с тях клонят към нула.

Под диференциали на независими променливи се съгласи да намекне произволеннараствания
и ги обозначете
. Така изразът за частичния диференциал ще приеме формата:

Например частичен диференциал от се определя така:

Пълен диференциал
функция на няколко променливи се нарича главна линейна част от общото увеличение
, равно, т.е. сумата от всички негови частични диференциали:

Ако функцията
има непрекъснати частни производни

в точката
тогава тя диференцируеми в дадена точка.

Когато е достатъчно малък за диференцируема функция
има приблизителни равенства

с които можете да направите приблизителни изчисления.

Пример 4.Намерете пълния диференциал на функция
три променливи
.

Решение.Първо, намираме частичните производни:

Забелязвайки, че те са непрекъснати за всички стойности
, намираме:

За диференциали на функции на много променливи всички теореми за свойствата на диференциалите, доказани за случая на функции на една променлива, са верни, например: ако И – непрекъснато функции на променливи
, имащи непрекъснати частни производни по отношение на всички променливи, и И са произволни константи, тогава:

(6)

Нека помислим за промяна на функция, когато указваме увеличение само на един от нейните аргументи - x i, и нека го наречем .

Определение 1.7.Частична производнафункции по аргумент x iНаречен .

Обозначения: .

По този начин частната производна на функция на няколко променливи всъщност се дефинира като производна на функцията една променлива – x i. Следователно всички свойства на производните, доказани за функция на една променлива, са валидни за нея.

Коментирайте. При практическото изчисляване на частични производни ние използваме обичайните правила за диференциране на функция на една променлива, като приемаме, че аргументът, чрез който се извършва диференцирането, е променлив, а останалите аргументи са постоянни.

1. z = 2х² + 3 xy –12г² + 5 х – 4г +2,

2. z = xy,

Геометрична интерпретация на частни производни на функция на две променливи.

Разгледайте уравнението на повърхността z = f(x,y)и начертайте равнина x =конст. Изберете точка от пресечната линия на равнината и повърхността M(x,y). Ако дадете аргумента приувеличение Δ прии разгледайте точка T на кривата с координати ( x, y+Δ y, z+Δy z), тогава тангенса на ъгъла, образуван от секанса MT с положителната посока на оста O при, ще бъде равно на . Преминавайки към границата при , намираме, че частичната производна е равна на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към получената крива в точката Мс положителна посока на оста О u.Съответно, частната производна е равна на тангенса на ъгъла с оста O хдопирателна към кривата, получена в резултат на разрязване на повърхността z = f(x,y)самолет y=конст.

Определение 2.1. Пълното нарастване на функция u = f(x, y, z) се нарича

Определение 2.2. Ако нарастването на функцията u = f (x, y, z) в точката (x 0 , y 0 , z 0) може да бъде представено във формата (2.3), (2.4), тогава функцията се нарича диференцируема при тази точка и изразът се нарича главна линейна част от нарастването или общия диференциал на въпросната функция.

Обозначения: du, df (x 0, y 0, z 0).

Точно както в случая на функция на една променлива, диференциалите на независимите променливи се считат за техните произволни увеличения, следователно

Забележка 1. Така че твърдението „функцията е диференцируема“ не е еквивалентно на твърдението „функцията има частични производни“ - за диференцируемостта се изисква също и непрекъснатостта на тези производни във въпросната точка.

4. Допирателна равнина и нормала към повърхността. Геометрично значение на диференциала.

Нека функцията z = f (x, y)е диференцируема в околност на точката M (x 0, y 0). Тогава неговите частични производни са ъгловите коефициенти на допирателните към линиите на пресичане на повърхността z = f (x, y)със самолети y = y 0И x = x 0, която ще бъде допирателна към самата повърхност z = f (x, y).Нека съставим уравнение за равнината, минаваща през тези прави. Векторите на допирателната посока имат формата (1; 0; ) и (0; 1; ), така че нормалата към равнината може да бъде представена като векторен продукт: н = (- ,- , 1). Следователно уравнението на равнината може да бъде написано, както следва:

Където z 0 = .

Определение 4.1.Равнината, определена от уравнение (4.1), се нарича допирателна равнинакъм графиката на функцията z = f (x, y)в точка с координати (x 0, y 0, z 0).

От формула (2.3) за случая на две променливи следва, че нарастването на функцията fв близост до точка Мможе да се представи като:

Следователно разликата между приложенията на графиката на функция и допирателната равнина е безкрайно малка повече от висок ред, как ρ, при ρ→ 0.

В този случай диференциалната функция fима формата:

което съответства на нарастването на допирателната равнина се прилага към графиката на функция. Това е геометричен смисълдиференциал.

Определение 4.2.Ненулев вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в точка M (x 0, y 0)повърхности z = f (x, y), Наречен нормалнона повърхността в тази точка.

Удобно е да вземете вектора -- н = { , ,-1}.

Линеаризация на функция. Допирателна равнина и нормала към повърхността.

Производни и диференциали от по-високи разряди.

1. Частични производни на FNP *)

Помислете за функцията И = f(P), РÎDÌR нили, което е същото,

И = f(х 1 , х 2 , ..., x n).

Нека коригираме стойностите на променливите х 2 , ..., x nи променливата х 1 да дадем увеличение D х 1 . След това функцията Ище получи увеличение, определено от равенството

= f (х 1 +D х 1 , х 2 , ..., x n) – f(х 1 , х 2 , ..., x n).

Това увеличение се нарича частно увеличениефункции Ипо променлива х 1 .

Определение 7.1.Функция частна производна И = f(х 1 , х 2 , ..., x n) по променлива х 1 е границата на съотношението на частичното нарастване на функция към нарастването на аргумента D х 1 в Д х 1 ® 0 (ако тази граница съществува).

Частната производна по отношение на х 1 знака

Така по дефиниция

Частичните производни по отношение на други променливи се определят по подобен начин х 2 , ..., x n. От определението става ясно, че частната производна на функция по отношение на променлива x iе обичайната производна на функция на една променлива x i, когато други променливи се считат за константи. Следователно всички изучени преди това правила и формули за диференциране могат да се използват за намиране на производната на функция на няколко променливи.

Например за функцията u = х 3 + 3xy – z 2 имаме

Така, ако функция на няколко променливи е дадена изрично, тогава въпросите за съществуването и намирането на нейните частни производни се свеждат до съответните въпроси относно функцията на една променлива - тази, за която е необходимо да се определи производната.

Нека разгледаме имплицитно дефинирана функция. Нека уравнението F( х, г) = 0 дефинира неявна функцияедна променлива х. Справедлива

Теорема 7.1.

Нека F( х 0 , г 0) = 0 и функции F( х, г), F¢ х(х, г), F¢ при(х, г) са непрекъснати в някаква околност на точката ( х 0 , при 0) и F¢ при(х 0 , г 0) ¹ 0. Тогава функцията при, дадено имплицитно от уравнението F( х, г) = 0, има в точката ( х 0 , г 0) производна, която е равна на

Ако условията на теоремата са изпълнени във всяка точка от областта DÌ R 2, то във всяка точка от тази област .

Например за функцията х 3 –2при 4 + ъъъ+ 1 = 0 намираме

Нека сега уравнението F( х, г, z) = 0 дефинира неявна функция на две променливи. Да намерим и. От изчисляването на производната по отношение на хпроизведени при фиксирана (постоянна) при, то при тези условия равенството F( х, г=конст, z) = 0 дефинира zкато функция на една променлива хи съгласно теорема 7.1 получаваме