Теорията на детерминантите. Теория на матриците и детерминантите

град Москва.

Ученик от 10 клас „Б” Горохов Евгений

Курсова работа (чернова).

Въведение в теорията на матриците и детерминантите .

1. Матрици..................................................... ......... ................................................ ............... ................................. ................... ......

1.1 Понятие за матрица ............................................. ...... ............................................ ............ ...................................

1.2 Основни операции с матрици ............................................. ......................................................... ............. .

2. Детерминанти ............................................. ......... ................................................ ............... ................................. ........

2.1 Концепцията за детерминанта..................................... ......................................................... .............. .........................

2.2 Изчисляване на детерминантите ............................................. ...... ............................................ ............ ..............

2.3 Основни свойства на детерминантите............................................. ......................................................... .............

3. Системи линейни уравнения................................................................................................

3.1 Основни дефиниции ............................................. .... .............................................. .......... ........................

3.2 Условие за съгласуваност за системи от линейни уравнения.................................................. .......... ...............

3.3 Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамър.................................................. ........... ..........

3.4 Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус. ............ .............

4. Обратна матрица............................................. ...... ............................................ ............ ...................................

4.1 Концепция обратна матрица................................................................................................................

4.2 Изчисляване на обратната матрица..................................... ......................................................... .......................

Библиография.................................................. ................................................. ..... ................................

Матрица е правоъгълна таблица с числа, съдържаща определено количество м редове и определен брой н колони. Числа м И н са наречени поръчкиматрици. Ако м = н , матрицата се нарича квадрат, а числото m = n -- нея в ред .

Основните аритметични операции с матрици са умножаване на матрица по число, събиране и умножение на матрици.

Нека да преминем към дефинирането на основните операции върху матрици.

Събиране на матрица: Сумата от две матрици, например: А И б , имащи еднакъв брой редове и колони, с други думи, еднакви поръчки м И н наречена матрица C = ( СЪС ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) същите поръчки м И н , елементи Cij които са равни.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

За означаване на сумата от две матрици се използва нотацията C = A + B. Операцията на сумиране на матрици се нарича техен допълнение

Така че по дефиниция имаме:

+ =

От дефиницията на сумата от матрици или по-точно от формулата ( 1.2 ) веднага следва, че операцията на събиране на матрици има същите свойства като операцията на събиране реални числа, а именно:

1) комутативно свойство: A + B = B + A

2) комбиниране на собственост: (A + B) + C = A + (B + C)

Тези свойства ви позволяват да не се притеснявате за реда на матричните членове, когато добавяте две или повече матрици.

Умножение на матрица по число :

Матричен продукт за реално число се нарича матрица C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , чиито елементи са равни

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

За означаване на произведението на матрица и число се използва нотацията C= А или C=A . Операцията за съставяне на произведението на матрица по число се нарича умножаване на матрицата по това число.

Директно от формула ( 1.3 ) ясно е, че умножаването на матрица по число има следните свойства:

1) разпределително свойство по отношение на сумата от матрици:

( A + B) = A+ б

2) асоциативно свойство по отношение на числов фактор:

() А= ( а)

3) разпределително свойство по отношение на сумата от числа:

( + ) А= А + А .

Коментирайте :Разлика на две матрици А И б от еднакви порядки е естествено да наречем такава матрица ° С от същите поръчки, които в сумата с матрицата б дава матрицата А . За да се обозначи разликата между две матрици, се използва естествена нотация: C = A – B.

Матрично умножение :

Матричен продукт A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , като поръчките са съответно равни м И н , на матрица B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , като поръчките са съответно равни н И стр , се нарича матрица C= (СЪС ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , като поръчките са съответно равни м И стр , и елементи Cij , определени по формулата

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

За означаване на произведението на матрица А към матрицата б използвайте запис

C=AB . Операцията за съставяне на матричен продукт А към матрицата б Наречен умножениетези матрици. От горното определение следва, че матрица А не може да се умножи по никаква матрица б : необходимо е броят на колоните на матрицата А беше равно наброй редове на матрицата б . За да работи и двете AB И Б.А. са били не само дефинирани, но и са имали същия ред, е необходимо и достатъчно и двете матрици А И б бяха квадратни матрици от един и същи ред.

формула ( 1.4 ) представлява правилото за съставяне на матрични елементи ° С ,

което е произведение на матрицата А към матрицата б . Това правило може да се формулира устно: елемент Cij , стоящ на кръстовището аз ти ред и j- та колона на матрицата C=AB , е равно сумата от произведенията по двойки на съответните елементи аз ти ред матрици А И j- та колона на матрицата б . Като пример за приложението на това правило представяме формулата за умножение на квадратни матрици от втори ред

От формулата ( 1.4 ) следват следните свойства на матричното произведение: А към матрицата б :

1) асоциативно свойство: ( AB) C = A(BC);

2) разпределително свойство по отношение на сумата от матрици:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Има смисъл да се повдига въпросът за пермутационното свойство на произведение от матрици само за квадратни матрици от същия ред. Елементарни примери показват, че произведението на две квадратни матрици от един и същи ред, най-общо казано, няма свойството комутация. Всъщност, ако сложим

A = , B = , Че AB = , А BA =

Обикновено се наричат същите матрици, за които произведението има свойството комутация пътуване до работното място.

Сред квадратните матрици изтъкваме класа на т.нар диагоналматрици, всяка от които има елементи, разположени извън главния диагонал, равни на нула. Сред всички диагонални матрици със съвпадащи елементи на главния диагонал две матрици играят особено важна роля. Първата от тези матрици се получава, когато всички елементи на главния диагонал са равни на единица и се нарича единична матрица н- д . Втората матрица се получава с всички елементи равни на нула и се нарича нулева матрица н- ред и се обозначава със символа О . Да приемем, че има произволна матрица А , Тогава

AE=EA=A , AO=OA=O .

Първата от формулите характеризира специалната роля на матрицата на идентичността д, подобно на ролята, която играе числото 1 при умножаване на реални числа. Що се отнася до специалната роля на нулевата матрица ОТНОСНО, то се разкрива не само от втората от формулите, но и от елементарно проверимо равенство: A+O=O+A=A . Концепцията за нулева матрица може да се въведе не за квадратни матрици.

На първо място, трябва да запомните, че детерминанти съществуват само за матрици от квадратен тип, тъй като няма детерминанти за матрици от други типове. В теорията на системите от линейни уравнения и в някои други въпроси е удобно да се използва понятието детерминант, или детерминант .

Нека разгледаме произволни четири числа, записани под формата на матрица от две в редове и две колони , Определящо или детерминант, съставен от числата в тази таблица, е числото ad-bc , означен по следния начин: .Такава детерминанта се нарича детерминанта от втори ред, тъй като за нейното компилиране е взета таблица от два реда и две колони. Числата, които съставляват определителя, се наричат негови елементи; същевременно казват, че елементите а И д грим главен диагоналдетерминанта и елементите b И ° С неговият страничен диагонал. Вижда се, че детерминантата е равна на разликата на произведенията на двойки елементи, разположени на неговия главен и вторичен диагонал. Детерминантата на третия и всеки друг ред е приблизително една и съща, а именно: Да кажем, че имаме квадратна матрица . Детерминантата на следната матрица е следният израз: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Както можете да видите, изчислява се доста лесно, ако запомните определена последователност. С положителен знак са главният диагонал и триъгълниците, образувани от елементите, които имат страна, успоредна на главния диагонал, в случая това са триъгълници a12a23a31, a13a21a32 .

Страничният диагонал и успоредните на него триъгълници са с отрицателен знак, т.е. a11a23a32, a12a21a33 . По този начин могат да бъдат намерени детерминанти от всякакъв ред. Но има случаи, когато този метод става доста сложен, например, когато има много елементи в матрицата и за да изчислите детерминантата, трябва да отделите много време и внимание.

Има още лесен начиндетерминантни изчисления н- о, ред, къде n2 . Нека се съгласим да наричаме всеки елемент второстепенен Aij матрици н- детерминанта от първи ред, съответстваща на матрицата, която се получава от матрицата в резултат на изтриване аз ти ред и j- та колона (онзи ред и тази колона, в пресечната точка на които има елемент Aij ). Минорен елемент Aij ще се обозначава със символа. В тази нотация горният индекс обозначава номера на реда, долният индекс номера на колоната, а лентата отгоре М означава, че посоченият ред и колона са зачеркнати. Детерминанта на реда н , съответстваща на матрицата, наричаме числото равно на и се обозначава със символа .

Теорема 1.1 Какъвто и да е номерът на реда аз ( i =1, 2..., n) , за определителя н- валидна е формулата от първи порядък

= det A =

Наречен аз- ти ред . Подчертаваме, че в тази формула степента, до която се повишава числото (-1), равно на суматаномера на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът Aij .

Теорема 1.2 Какъвто и да е номерът на колоната й ( j =1, 2..., n) , за определителя н формулата за th ред е валидна

= det A =

Наречен разширяване на тази детерминанта в j- та колона .

Детерминантите също имат свойства, които улесняват задачата за тяхното изчисляване. И така, по-долу установяваме редица свойства, които има произволен детерминант н -та поръчка.

1. Свойство за равенство на ред-колона . Транспониранена всяка матрица или детерминанта е операция, в резултат на която редовете и колоните се разменят, като се запазва редът им. В резултат на матрично транспониране А получената матрица се нарича матрица, наречена транспонирана по отношение на матрицата А и се обозначава със символа А .

Първото свойство на детерминантата се формулира по следния начин: по време на транспониране стойността на детерминантата се запазва, т.е. = .

2. Свойство на антисиметрия при пренареждане на два реда (или две колони). Когато два реда (или две колони) се разменят, детерминантата запазва своята абсолютна стойност, но променя знака на противоположния. За детерминанта от втори ред това свойство може да се провери по елементарен начин (от формулата за изчисляване на детерминанта от втори ред веднага следва, че детерминантите се различават само по знак).

3. Линейно свойство на детерминантата. Ще кажем, че някакъв низ ( а) е линейна комбинациядва други реда ( b И ° С ) с коефициенти и . Линейното свойство може да се формулира по следния начин: ако в детерминантата н някакъв ред аз Редът е линейна комбинация от два реда с коефициенти и , тогава = + , къде

- определител, който има аз -тият ред е равен на един от двата реда на линейната комбинация, а всички останали редове са същите като , a е детерминантата, за която аз- низът i е равен на втория от двата низа, а всички останали низове са същите като .

Тези три свойства са основните свойства на определителя, разкриващи неговата природа. Следните пет свойства са логични следствиятри основни свойства.

Следствие 1. Детерминанта с два еднакви реда (или колони) равно на нула.

Следствие 2. Умножаване на всички елементи на някой ред (или някаква колона) на детерминанта по число а е еквивалентно на умножаване на детерминантата по това число а . С други думи, общ множителвсички елементи на определен ред (или колона) на детерминанта могат да бъдат извадени от знака на тази детерминанта.

Следствие 3. Ако всички елементи на определен ред (или някаква колона) са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

Следствие 4. Ако елементите на два реда (или две колони) на детерминантата са пропорционални, то детерминантата е равна на нула.

Следствие 5. Ако към елементите на определен ред (или колона) на детерминанта добавим съответните елементи от друг ред (друга колона), умножени по произволен коефициент, тогава стойността на детерминантата не се променя. Следствие 5, подобно на линейното свойство, позволява по-обща формулировка, която ще дам за низове: ако към елементите на определен ред от детерминанта добавим съответните елементи на низ, който е линейна комбинация от няколко други реда на тази детерминанта (с всякакви коефициенти), тогава стойността на детерминантата няма да се промени. Следствие 5 се използва широко при конкретното изчисляване на детерминанти.

Известно е, че с помощта на матрици можем да решаваме различни системиуравнения, при което тези системи могат да бъдат от всякакъв размер и да имат толкова променливи, колкото желаете. С няколко извода и формули решаването на огромни системи от уравнения става доста бързо и по-лесно.

По-специално ще опиша методите на Крамер и Гаус. Най-лесният начин е методът на Крамер (за мен) или както още го наричат формулата на Крамер. И така, да кажем, че имаме някаква система от уравнения

, В матрична форма тази система може да бъде записана по следния начин: А= , където отговорите на уравненията ще бъдат в последната колона. Сега ще въведем концепцията за фундаментална детерминанта; в този случай ще изглежда така:

= . Основният детерминант, както вече забелязахте, е матрица, съставена от коефициентите на променливите. Те също се появяват в ред на колони, т.е. първата колона съдържа коефициентите, които се намират в х , във втората колона при г , и така нататък. Това е много важно, защото в следващите стъпки ще заменим всяка колона с коефициенти за променлива с колона с отговори на уравнението. И така, както казах, заменяме колоната при първата променлива с колоната за отговор, след това при втората, разбира се всичко зависи от това колко променливи трябва да намерим.

1 = , 2 = , 3 = .

След това трябва да намерите детерминантите 1, 2, 3. Вече знаете как да намерите детерминанта от трети ред. А Тук прилагаме правилото на Крамър. Изглежда така:

x1 = , x2 = , x3 = – за този случай, но като цяло изглежда така: х аз = . Извиква се детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни детерминанта на системата .

1. В. А. Илин, Е. Г. Позняк “Линейна алгебра”

2. Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “ Елементарни трансформациив линейната алгебра”

СЪС линейни проблемиС помощта на теорията на матриците се свързва апаратът на така наречените детерминанти, който е много ценен от гледна точка на широчината на приложенията към теоретичните въпроси.

1. Насочващи съображения.

Нека разгледаме в общ вид система от две линейни уравнения с две неизвестни

Нека приемем, че системата има решение и двойката x, y представлява решението, така че и двете уравнения вече са се превърнали в истински равенства. Нека умножим двете страни на първото равенство по второто и да извадим. Получаваме

Сега нека умножим първото равенство по второто и го съберем. Получаваме

Нека се преструваме, че. Тогава

Така, ако приемем, че решение съществува, успяхме да го намерим. Сега имаме алтернатива - или решението съществува и тогава е дадено с формули (2), или решението не съществува. За да се отървете от втората възможност, трябва само да установите, че формулите (2) наистина дават решение на системата, за което трябва да замените x и y от (2) в система (1). Хайде да го направим:

Виждаме, че и двете уравнения са станали истински равенства.

Ако иначе разсъжденията ни не доведат до пълен резултат, засега ще оставим този случай настрана.

Във формули (2) знаменателят е един и същ. Числителите са много подобни по форма на знаменателя.

Има специално име за израза

матрична детерминанта и специална нотация:

Използвайки нотация за детерминанти, формули (2) са записани във формата

Прилагайки, например, тези формули за решаване на системата

Разбира се, понятието детерминанта не би било необходимо, ако говорим само за системи от две уравнения с две неизвестни. Резултатът може да се обобщи за линейни системи от уравнения с неизвестни.

Нека разгледаме друг случай: нека системата е дадена

Нека веднага изключим неизвестните y и . За да направите това, умножете първото уравнение по второто по третото по и добавете. Получаваме

Ясно е, че коефициентите на y и z са равни на нула.

Коефициентът при играе тук същата роля, както при системите от втори ред. Нарича се детерминанта на матрицата и се означава:

В тази нотация, ако детерминантата не е нула,

по същия начин

Нашето заключение има смисъл при предположението, че съществува решение. Въпреки това, ако заместите намерените изрази за x, y, z в оригиналната система, можете да се уверите, че и трите уравнения ще се превърнат в правилни равенства.

И така, ние показахме, че формулите за решението в общ вид линейни системиуравненията за и имат сходна структура и основна роля в тях играят детерминантите от втори ред

и трети ред

И двата израза са алгебрични суми от продукти на матрични елементи и тези продукти са съставени от един елемент от всеки ред и един от всяка колона. Всички такива продукти са включени в детерминанта. Творбите се обозначават със знаци + и - съгласно правилата

На тези фигури елементите на матрицата, които съставят продуктите, включени в детерминанта със знаци, са свързани с линии

Нека сега се обърнем към обобщение на детерминанта за квадратни матрици от всякакъв ред, въз основа на формата на тези изрази за

Тук е удобно да обозначим елементите на матрицата с една буква, като й присвоим два индекса - номера на реда и номера на колоната. Нека дадем формална дефиниция на детерминантата за квадратна матрица от ред, както следва:

Детерминантата на квадратна матрица на реда (или детерминантата на реда) е алгебричната сума на всички възможни произведения на матрични елементи, взети по един от всеки ред, по един от всяка колона и оборудвани със знаци плюс и минус според някакво специфично правило.

Ще се обърнем към въпроса какво е това правило в близко бъдеще, но засега ще се опитаме да запишем символично формулираното по-горе определение. Във всеки член на детерминантата ще запишем факторите по реда на редовете. Номерата на колоните ще съберат всички числа от 1 до , в различни редове и във всички възможни редове, тъй като детерминантата, според това определение, се състои от всички произведения на елементите, взети по един от всеки ред и по един от всяка колона. В буквени обозначения:

Тук индексите преминават през всички възможни пермутации на числа. Всички пермутации трябва да бъдат разделени на два класа, така че единият клас да съответства на термини със знак "плюс", а другият - със знак "минус".

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Елементи на теорията на детерминантите

Детерминантата е число, записано под формата на квадратна таблица с числа, изчислено по определени правила.

Например, всяка от таблиците (1.1) се състои от равен брой редове и колони и представлява число, чиито правила за изчисление ще бъдат разгледани по-долу.

Броят на редовете и колоните определя реда на детерминантата. Така детерминанта 1.1a) е от трети ред, детерминанта 1.1b) е от втори ред, 1.1c) е от първи ред. Както можете да видите, детерминантата от първи ред е самото число.

Правите вертикални скоби в краищата на таблицата са знакът и символът на определителя. Детерминантата обозначена ли е с главна буква от гръцката азбука? (делта).

В общ вид детерминантата от n-ти ред се записва, както следва:

Всеки елемент А ijдетерминантата има два индекса: първият индекс азпоказва номера на реда, второ й- номер на колоната, в пресечната точка на която се намира елементът. Така че за детерминанта 1.1a) елементи А 11 , А 22 , А 23 , А 32 са съответно равни на 2, 5, 4, 3.

Детерминантата от 2-ри ред се изчислява по формулата

Детерминантът от 2-ри ред е равен на произведението на елементите на главния диагонал минус произведението на елементите на второстепенния диагонал.

За изчисляване на детерминанта от 3-ти ред се използват "методът на триъгълника" и методът на Sarrus. Но обикновено на практика за изчисляване на детерминанта от 3-ти ред се използва така нареченият метод на ефективна редукция на реда, който ще бъде разгледан по-долу.

Метод на триъгълника

При изчисляване на детерминантата по този метод е удобно да се използва нейното графично представяне. На фиг. 1.1 и 1.2 елементите на детерминанта от 3-ти ред са представени схематично с точки.

Ориз. 1.1 Фиг. 1.2

При изчисляване на детерминантата произведението на елементите, свързани с прави линии, следва диаграмата на фиг. 1.1, вземете със знак плюс и произведението на елементите, свързани съгласно диаграмата на фиг. 1.2, вземете със знак минус. В резултат на тези действия формулата, използвана за изчислението, приема формата:

Изчислете детерминанта от 3-ти ред.

Метод на Sarrus

За да го приложите, трябва да зададете първите две колони вдясно от детерминантата, да съставите продуктите на елементите, разположени на главния диагонал и на успоредни на него линии, и да ги вземете със знак плюс. След това съставете продуктите от елементи, разположени на страничния диагонал и успоредни на него със знак минус.

Схема за изчисляване на детерминанта по метода на Сарус.

Изчислете детерминантата, дадена в пример 1.2, като използвате метода на Sarrus.

Минор и алгебрично допълнение на детерминантния елемент

Незначителен М ijелемент А ijсе нарича детерминанта ( н-1) -ти ред, получен от детерминантата н-ти ред чрез задраскване аз-ти ред и йта колона (т.е. чрез задраскване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът А ij).

Намерете минора на елементите А 23 И А 34 детерминанта от 4-ти ред.

елемент А 23 е във 2-ри ред и 3-та колона. IN в този пример А 23 =4. Зачерквайки 2-ри ред и 3-та колона в пресечната точка на този елемент (показан за методически цели с вертикални и хоризонтални пунктирани линии), получаваме второстепенното M 23 на този елемент. Това вече ще бъде детерминанта от 3-ти ред.

При изчисляване на непълнолетни, операцията по задраскване на ред и колона се извършва мислено. След като направим това, получаваме

Алгебрично допълнение А ijелемент А ijдетерминант нТитият ред е второстепенният на този елемент, взет със знака (-1) аз + й, Където аз+ й- сумата от номерата на редовете и колоните, към които принадлежи елементът А ij. Тези. а-приорен А ij=(-1) аз + йМ ij

Ясно е, че ако сумата аз+ й- тогава числото е четно А ij=М ij, Ако аз+ й- значи числото е нечетно А ij= - М ij.

За детерминанта намерете алгебричните допълнения на елементите А 23 И А 31 .

За елемент А 23 аз=2, й=3 и аз+ й=5 е нечетно число, следователно

За елемент А 31 аз=3, й=1 и аз+ й=4 е четно число, което означава

Свойства на детерминантите

1. Ако всеки два успоредни реда (два реда или две колони) се разменят в детерминантата, знакът на детерминантата се променя на противоположния

Разменете 2 успоредни колони (1-ва и 2-ра).

Разменете 2 успоредни линии (1-ва и 3-та).

2. Общият фактор на елементите на всеки ред (ред или колона) може да бъде изваден от детерминантния знак.

Свойства на детерминанта, равна на нула

3. Ако всички елементи от определена серия в детерминанта са равни на нула, такава детерминанта е равна на нула.

4. Ако в детерминанта елементите на някоя серия са пропорционални на елементите на успоредна серия, детерминантата е равна на нула.

Свойства на инвариантност (неизменност) на детерминантата.

5. Ако редовете и колоните в детерминантата са разменени, детерминантата няма да се промени.

6. Детерминантата няма да се промени, ако елементи от която и да е паралелна серия се добавят към елементите на която и да е серия, като първо се умножат по определено число.

Свойство 6 се използва широко при изчисляване на детерминанти, използвайки така наречения метод за намаляване на ефективния ред. При прилагането на този метод е необходимо да се приведат всички елементи освен един до нула в един ред (един ред или колона). Ненулев елемент от детерминантата ще бъде равен на нула, ако се добави към число с еднаква величина, но с противоположен знак.

Нека покажем с пример как се прави това.

Използвайки свойства 2 и 6, редуцирайте детерминантата до детерминанта, която има две нули във всеки ред.

Използвайки свойство 2, ние опростяваме детерминантата, като премахваме 2 от 1-ви ред, 4 от 2-ри ред и 2 от 3-ти ред като общи множители.

защото елемент А 22 е равно на нула, тогава за решаване на задачата е достатъчно да се намали който и да е елемент във 2-ри ред или 2-ра колона до нула. Има няколко начина да направите това.

Например, нека вземем елемента А 21 =2 към нула. За да направите това, въз основа на свойство 6, умножете цялата трета колона по (-2) и я добавете към първата. След като извършихме тази операция, получаваме

Възможно е да нулирате елемент А 12 =2, тогава ще получим два елемента, равни на нула във втората колона. За да направите това, трябва да умножите третия ред по (-2) и да добавите получените стойности към първия ред

Изчисляване на детерминанта от произволен ред

Правилото за изчисляване на детерминантата на всеки ред се основава на теоремата на Лаплас.

Теорема на Лаплас

Детерминантата е равна на сумата от произведенията по двойки на елементите на всеки ред (ред или колона) с техните алгебрични допълнения.

Съгласно тази теорема детерминантата може да бъде изчислена чрез разлагането й върху елементите на всеки ред или колона.

Като цяло детерминантата от n-ти ред може да бъде разширена и изчислена по следните начини:

Изчислете детерминантата, като използвате теоремата на Лаплас, като я разложите на елементите от 3-ти ред и елементите от 1-ва колона.

Изчисляваме детерминантата, като я разширяваме по 3-тия ред

Нека изчислим детерминантата, като я разширим върху първата колона

Ефективен метод за намаляване на поръчките

Сложността на изчисляването на детерминантата с помощта на теоремата на Лаплас ще бъде значително по-малка, ако има само един член в нейното разширение в ред или в колона. Такова разгъване ще се получи, ако в реда (или колоната), по който се разгръща детерминантата, всички елементи с изключение на един са равни на нула. Методът за „нулиране“ на елементите на детерминантата беше обсъден по-рано.

Изчислете детерминантата, като използвате метода за ефективна редукция на поръчката.

защото детерминанта от 3-ти ред, тогава ние „нулираме“ всеки 2 елемента от детерминантата. За тази цел е удобно да вземете 2-ра колона, чийто елемент А 22 = - 1. В ред за елемента А 21 беше равно на нула, първата колона трябва да се добави към втората. За да може елементът А 23 беше равно на нула, трябва да умножите втората колона по 2 и да я добавите към третата. След извършване на тези операции дадената детерминанта се преобразува в детерминанта

Сега разширяваме този детерминант по втория ред

Изчисляване на детерминантатаизрязвайки го в триъгълна форма

Детерминанта, за която всички елементи над или под главния диагонал са равни на нула, се нарича триъгълна детерминанта. В този случай детерминантата е равна на произведението на нейните елементи от главния диагонал.

Намаляването на детерминантата до триъгълна форма винаги е възможно въз основа на нейните свойства.

Дадена е детерминанта. Намалете го до триъгълна форма и изчислете.

Да "нулираме" например всички елементи, разположени над главния диагонал. За да направите това, трябва да извършите три операции: 1-ва операция - добавяме първия ред с последния, получаваме А 13 = 0. 2-ра операция - умножавайки последния ред по (-2) и събирайки с 2-рата, получаваме А 23 = 0. Последователното изпълнение на тези операции е показано по-долу.

За нулиране на елемент А 12 добавете 1-ви и 2-ри ред

Елементи на теорията на матриците

Матрицата е таблица с числа или всякакви други елементи, съдържащи млинии и нколони.

Обща формаматрици

Матрицата, подобно на детерминантата, има елементи, оборудвани с двоен индекс. Значението на индексите е същото като на детерминантите.

Ако детерминантата е равна на число, тогава матрицата не се приравнява на друг по-прост обект.

Скобите отстрани на матрицата са нейният знак или символ (но не и правите скоби, които обозначават детерминантата). За краткост матрицата се обозначава с главни букви А, Б, Ви т.н.

Матрицата има размер, който се определя от нейния брой редове и колони, който се записва като - А м н.

Например числова матрица с размер 23 има формата, размер 31 има формата, размер 14 има формата и т.н.

Матрица, в която броят на редовете е равен на броя на колоните, се нарича квадратна. В този случай, що се отнася до детерминантите, говорим за реда на матрицата.

Например числова матрица от 3-ти ред има формата

Видове матрици

Матрица, състояща се от един ред, се нарича матрица на ред

Матрица, състояща се от една колона, се нарича колонна матрица

Матрицата се нарича квадратна н-ти ред, ако броят на неговите редове е равен на броя на колоните и е равен на н.

Например квадратна матрица от 3-ти ред.

Диагоналната матрица е квадратна матрица, в която всички елементи са нула, с изключение на тези на главния диагонал. Главният диагонал е диагоналът, който минава от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл.

Например диагонална матрица от трети ред.

Диагонална матрица, всички елементи на която са равни на единица, се нарича идентичност и се обозначава с буквата дили номер 1

Нулевата матрица е матрица, в която всички елементи са равни на нула.

Горна триъгълна матрица е матрица, в която всички елементи, разположени под главния диагонал, са равни на нула.

Долна триъгълна матрица е матрица, в която всички елементи, разположени над главния диагонал, са равни на нула.

Например

Горна триъгълна матрица

Долна триъгълна матрица

Ако в матрицата Аразменяме редове с колони, получаваме транспонирана матрица, която се обозначава със символа А*.

Например, дадена матрица,

матрица, транспонирана по отношение на нея А*

Квадратна матрица Аима детерминанта, която се означава с дет А(det е съкратена френска дума за "определящ фактор").

Например за матрицата А

записваме детерминантата му

Всички операции с детерминанта на матрица са същите, както беше обсъдено по-рано.

Матрица, чийто детерминант е равен на нула, се нарича специална, или изродена, или сингулярна. Матрица, за която нейният детерминант не е равен на нула, се нарича неособена или неособена.

Обединена или приложена матрица.

Ако за дадена квадратна матрица Аопределят алгебричните допълнения на всички негови елементи и след това ги транспонират, тогава така получената матрица ще се нарича съюзна или присъединена към матрицата Аи се обозначава със символа А

За намиране на матрица А.

Съставяне на детерминанта на матрицата А

Определяме алгебричните допълнения на всички елементи на детерминанта с помощта на формулата

Транспонирайки получените алгебрични добавки, получаваме съюзната или присъединената матрица Апо отношение на дадена матрица А.

Действия върху матрици

Матрично равенство

Две матрици АИ INсе считат за равни, ако:

а) и двете имат еднакъв размер;

б) съответните елементи на тези матрици са равни помежду си. Съответстващите елементи са елементи с еднакви индекси.

Събиране и изваждане на матрици

Можете да добавяте и изваждате само матрици с едно и също измерение. Сумата (разликата) на две матрици АИ INще има трета матрица СЪС, чиито елементи СЪС ijравна на сумата (разликата) на съответните матрични елементи АИ IN. Според дефиницията матрични елементи СЪСса според правилото.

Например ако

Концепцията за сбор (разлика) от матрици се простира до всеки краен брой матрици. В този случай сумата от матрици се подчинява на следните закони:

а) комутативен A + B = B + A;

б) асоциативен СЪС + (А + Б) = (B + C)+ А.

Умножение на матрица по число.

За да умножите матрица по число, трябва да умножите всеки елемент от матрицата по това число.

Последица. Общият множител на всички елементи на матрицата може да бъде изваден от знака на матрицата.

Например, .

Както можете да видите, действията по събиране, изваждане на матрици и умножаване на матрица по число са подобни на действията с числа. Матричното умножение е специфична операция.

Произведение на две матрици.

Не всички матрици могат да бъдат умножени. Произведение от две матрици АИ INв посочения ред А INвъзможно само когато броят на колоните на първия фактор Аравен на броя на редовете на втория фактор IN.

Например, .

Размер на матрицата А 33, размер на матрицата IN 23. Работа А INневъзможно, работа IN АМоже би.

Продуктът на две матрици A и B е третата матрица C, чийто елемент C ij е равен на сумата от произведенията по двойки на елементите на i-тия ред на първия фактор и j-тата колона на втория фактор фактор.

Беше показано, че в този случай произведението на матриците е възможно IN А

От правилото за съществуване на произведението на две матрици следва, че произведението на две матрици в общ случайне се подчинява на комутативния закон, т.е. А ВЪВ? IN А. Ако в конкретен случай се окаже, че А B = B а,тогава такива матрици се наричат пермутабилни или комутативни.

В матричната алгебра произведението на две матрици може да бъде нулева матрица, дори когато никоя от фактор матриците не е нула, противно на обикновената алгебра.

Например, нека намерим произведението на матриците А IN, Ако

Можете да умножите множество матрици. Ако можете да умножавате матрици А, INи произведението на тези матрици може да бъде умножено по матрицата СЪС, тогава е възможно да съставите продукта ( А IN) СЪСИ А(IN СЪС). В този случай действа комбинационният закон по отношение на умножението ( А IN) СЪС = А(IN СЪС).

обратна матрица

Ако две матрици АИ INсъщия размер и техния продукт А INе единичната матрица E, тогава матрица B се нарича обратна на A и се обозначава А -1 , т.е. А А -1 = Е.

обратна матрица А -1 равно на съотношението на обединителната матрица Акъм детерминантата на матрицата А

От това става ясно, че за да съществува обратната матрица А -1 необходимо и достатъчно е матрицата дет А? 0, т.е. така че матрицата Абеше неизроден.

За намиране на матрица А -1 .

Определяне на стойността на детерминантата на матрицата А

защото дет А? 0, обратната матрица съществува. В пример 2.1. за даден детерминант е намерена съюзническата матрица

А-приорат

Ранг на матрицата

За решаването и изучаването на редица математически и приложни проблеми концепцията за ранг на матрицата е важна.

Помислете за матрицата Аразмер м н

Изберете на случаен принцип в матрицата Аклинии и кколони. Елементите в пресечната точка на избрани редове и колони образуват квадратна матрица к- от този ред. Детерминантата на тази матрица се нарича минор к-порядък на матрица А. Изберете клинии и квъзможни колони различни начини, като резултат получаваме различни непълнолетни к- от този ред. Малките от 1-ви ред са самите елементи. Очевидно най-големият възможен ред от малки е равен на най-малкото от числата мИ н. Сред образуваните минори от различен порядък ще има такива, които са равни на нула и не са равни на нула.

Най-висок порядък на ненулеви матрични минори Асе нарича ранг на матрицата.

Ранг на матрицата Аобозначен с ранг Аили r( А).

Ако рангът на матрицата Аравно на r, тогава това означава, че матрицата има ненулев минор на ред r, но всеки минор е от по-голям порядък от rравно на нула.

От определението за ранг на матрицата следва, че:

а) ранг на матрицата А м нне надвишава по-малкия от своите размери, т.е. r(А) ? min(m, n);

б) r(А) = 0 тогава и само ако всички елементи на матрицата са равни на нула, т.е. А = 0;

в) за квадратна матрица н-та поръчка r(А) = н, ако матрицата е неединична.

Нека да разгледаме пример за определяне на ранга на матрица, използвайки метода на граничещи второстепенни. Същността му се състои в последователно изброяване на минорите на матрицата и намиране най-висок порядъкненулев минор.

Изчислете ранга на матрицата.

За матрица А 3 4 r(А) ? min (3,4) = 3. Нека проверим дали рангът на матрицата е равен на 3, за да направим това, изчисляваме всички второстепенни (има само 4 от тях, те се получават чрез изтриване на един); на колоните на матрицата).

Тъй като всички минори от трети ред са нула, r(А) ? 2. Тъй като има нулев минор от втори ред, например

Че r(А) = 2.

Всеки ненулев минор на матрица, чийто ред е равен на нейния ранг, се нарича базис минор на тази матрица.

Матрицата може да има повече от един основен минор, но няколко. Поредностите на всички базисни минори обаче са еднакви и равни на ранга на матрицата.

Редовете и колоните, които формират базис минор, се наричат базис.

Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от базовите редове (колони).

Подобни документи

Понятието и същността на детерминантите от втори ред. Разглеждане на основите на система от две линейни уравнения с две неизвестни. Изследване на детерминанти от n-ти ред и методи за тяхното изчисляване. Характеристики на система от n линейни уравнения с n неизвестни.

презентация, добавена на 14.11.2014 г

Детерминанти от втори и трети ред. Пермутации и замествания. Минори и алгебрични допълнения. Приложение на методи за редуциране на детерминантата до триъгълна форма, представяне на детерминантата като сума от детерминанти и изолиране на линейни фактори.

курсова работа, добавена на 19.07.2013 г

Концепцията за матрица и линейни действиянад тях. Свойства на операцията събиране на матрици. Детерминанти от втори и трети ред. Приложение на правилото на Сарус. Основни методи за решаване на детерминанти. Елементарни матрични трансформации. Свойства на обратна матрица.

урок, добавен на 04.03.2010 г

Цели и методи линейна алгебра. Свойства на детерминантите и реда на тяхното изчисляване. Намиране на обратната матрица по метода на Гаус. Разработване на изчислителен алгоритъм в Програма Паскал ABC за изчисляване на детерминанти и намиране на обратната матрица.

курсова работа, добавена на 01.02.2013 г

Концепцията и предназначението на детерминантите, техните основни характеристики, метод на изчисление и свойства. Матрична алгебра. Системи линейни уравнения и тяхното решение. Векторна алгебра, нейните закони и принципи. Свойства и приложения на кръстосано произведение.

тест, добавен на 01/04/2012

Елементи на линейната алгебра. Видове матрици и операции върху тях. Свойства на матричните детерминанти и тяхното изчисляване. Решаване на системи от линейни уравнения в матрична форма с помощта на формулите на Крамер и метода на Гаус. Елементи на диференциалното и интегралното смятане.

урок, добавен на 11/06/2011

Число, характеризиращо квадратна матрица. Изчисляване на детерминанта от първи и втори ред на матрица. Използване на правилото на триъгълника. Алгебрично допълнение на някой елемент от детерминантата. Пренареждане на два реда или колони на детерминанта.

презентация, добавена на 21.09.2013 г

Концепцията за ранг на матрицата. Модел Леонтиев диверсифицирана икономика. Имоти точков продукт. Векторно разлагане по координатни оси. Минор и алгебрично допълнение. Детерминанти от втори и трети ред. Равнина и права линия в пространството.

курс от лекции, добавен на 30.10.2013 г

Теорията на детерминантите в трудовете на П. Лаплас, О. Коши и К. Якоби. Детерминанти от втори ред и системи от две линейни уравнения с две неизвестни. Детерминанти от трети ред и свойства на детерминантите. Решаване на система от уравнения с помощта на правилото на Крамер.

презентация, добавена на 31.10.2016 г

Детерминанти от втори и трети ред, свойства на детерминантите. Два начина за изчисляване на детерминанта от трети ред. Теорема за разлагане. Теорема на Крамър, която предоставя практически начин за решаване на системи от линейни уравнения с помощта на детерминанти.

Тема 1. Матрици и матрични детерминанти

Какво научаваме:

Основни понятия на линейната алгебра: матрица, детерминанта.

Какво ще научим:

Извършване на операции с матрици;

Изчислете с детерминанти от втори и трети ред.

Тема 1.1. Концепцията за матрица. Действия върху матрици

∆ Матрица е правоъгълна таблица, състояща се от редове и колони, изпълнени с някои математически обекти.

Матриците се обозначават с главни латински букви, самата таблица е оградена в скоби (по-рядко в квадратна или друга форма).

Елементи А ijНаречен матрични елементи . Първи индекс аз– номер на ред, вторий– номер на колона. Най-често елементите са числа.

Запис "матрица" Аима размера м× н» означава, че ние говорим заза матрица, състояща се отмлинии и нколони.

Ако м = 1, а н > 1, тогава матрицата ематрица - ред . Ако м > 1, а н = 1, тогава матрицата ематрица - колона .

Матрица, в която броят на редовете съвпада с броя на колоните (m= n), Наречен квадрат .

Елементи а 11 , а 22 ,…, а nn квадратна матрицаА (размер н× н) форма главен диагонал , елементи а 1 н , а 2 н -1 ,…, а н 1 - страничен диагонал .

В матрицата
елементи 5; 7 образуват главния диагонал, елементи –5; 8 – страничен диагонал.

Матрици А И б са наречени равен (А= б), ако имат еднакъв размер и елементите им в еднакви позиции съвпадат, т.е.А ij = б ij .

Идентификационна матрица се нарича квадратна матрица, в която елементите на главния диагонал са равни на единица, а останалите елементи са равни на нула. Идентификационната матрица обикновено се обозначава с E.

Матрица транспониран към матрица А с размерм× н, се нарича матрица АТ размер н× м, получена от матрица A, ако нейните редове са записани в колони, а нейните колони в редове.

Аритметични операциинад матрици.

Да намеря сбор от матрици А И б от една и съща размерност е необходимо да се добавят елементи с еднакви индекси (стоящи на едни и същи места):

Събирането на матрици е комутативно, тоест A + B = B + A.

Да намеря матрична разлика А И б от една и съща размерност е необходимо да се намери разликата на елементи с еднакви индекси:

Да се умножена матрица Ана брой к, Необходимо е всеки елемент от матрицата да се умножи по това число:

работа матрици AB може да се дефинира само за матрициА размер м× н И б размер н× стр, т.е. брой колони на матрицатаА трябва да бъде равен на броя на редовете на матрицатаIN. При което А· б= ° С, матрица ° Сима размера м× стр, и неговия елемент ° С ij се намира като скаларен продуктазthматрични редове АНа йth матрична колонаб: ( аз=1,2,…, м; й=1,2,…, стр).

!! Всъщност всеки ред е необходимматрици А (стои отляво) умножете скаларно по всяка колона на матрицата б (стои отдясно).

Продуктът на матриците не е комутативен, т.е.А·В ≠ В·А . ▲

☺ Необходимо е да се анализират примери за консолидиране на теоретичния материал.

Пример 1. Определяне на размера на матрици.

Пример 2. Дефиниране на матрични елементи.

В матричния елемент А 11 = 2, А 12 = 5, А 13 = 3.

В матричния елемент А 21 = 2, А 13 = 0.

Пример 3: Извършване на транспониране на матрица.

Пример 4. Извършване на операции върху матрици.

намирам 2 А- б, Ако , .

Решение. .

Пример 5. Намерете произведението на матрици И .

Решение. Размер на матрицатаА – 3 × 2 , матрици IN – 2 × 2 . Следователно продуктътA·B можете да го намерите. Получаваме:

работа Вирджинияне може да бъде намерен.

Пример 6. Намерете А 3 ако А =
.

Решение. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Пример 6. Намерете 2 А 2 + 3 А + 5 дпри
,
.

Решение. ,

,
,

,
.

Задачи за изпълнение

1. Попълнете таблицата.

Матрица	Размер	Матричен тип	Матрични елементи
Матрица	Размер	Матричен тип		а 12	а 23	а 32	а 33

2. Извършване на операции върху матрици
И
:

3. Извършете умножение на матрицата:

4. Транспониране на матрици:

? 1. Какво е матрица?

2. Как да различим една матрица от другите елементи на линейната алгебра?

3. Как да определим размера на матрицата? Защо е необходимо това?

4. Какво означава записът? А ij ?

5. Дайте обяснение на следните понятия: главен диагонал, второстепенен диагонал на матрицата.

6. Какви операции могат да се извършват върху матрици?

7. Обяснете същността на операцията на матрично умножение?

8. Могат ли да се умножават всякакви матрици? Защо?

Тема 1.2. Детерминанти от втори и трети ред : м методи за тяхното изчисляване

∆ Ако A е квадратна матрица н-ти ред, тогава можем да свържем с него номер, наречен детерминант n-ти реди се обозначава с |A|. Тоест детерминантата се записва като матрица, но вместо в скоби се поставя в прави скоби.

!! Понякога детерминантите се наричат детерминанти по английски начин, т.е = детайл А.

Детерминанта от 1-ви ред (детерминанта на матрица A с размер1 × 1 ) е самият елемент, който матрица A съдържа, т.е.

Детерминанта от 2-ри ред (детерминанта на матрицатаРазмер 2 × 2 ) е число, което може да се намери с помощта на правилото:

(произведението на елементите по главния диагонал на матрицата минус произведението на елементите по второстепенния диагонал).

Детерминанта от 3-ти ред (детерминанта на матрицатаРазмер 3 × 3 ) е число, което може да се намери с помощта на правилото за „триъгълници“:

За да изчислите детерминанти от 3-ти ред, можете да използвате по-просто правило - правилото на посоките (успоредни линии).

Правило за указания : С дясната част на детерминантата се добавя към първите две колони, продуктите на елементи на главния диагонал и на диагоналите, успоредни на него, се вземат със знак плюс; а произведенията на елементите на вторичния диагонал и успоредните му диагонали са със знак минус.

!! За да изчислите детерминанти, можете да използвате техните свойства, които са валидни за детерминанти от всякакъв ред.

Свойства на детерминантите:

1° . Детерминантата на матрица А не се променя по време на транспониране, т.е. |A| = |А T |. Това свойство характеризира равенството на редове и колони.

2° . При пренареждане на два реда (две колони) детерминантата запазва предишната си стойност, но знакът се обръща.

4° . Ако някой ред или колона съдържа общ фактор, тогава той може да бъде изваден от детерминантния знак.

Следствие 4.1. Ако всички елементи от която и да е серия от детерминанта са равни на нула, то детерминантата е равна на нула.

Следствие 4.2. Ако елементите на някоя серия от детерминанта са пропорционални на съответните елементи от успоредна на нея серия, то детерминантата е равна на нула.▲

☺ Необходимо е да се анализират правилата за изчисляване на детерминанти.

Пример 1: Изчислениедетерминанти от втори ред,
.

Решение.

Детерминанти от втори и трети ред.

Числата m и n се наричат размериматрици.

Матрицата се нарича квадрат, ако m = n. Числото n в този случай се нарича в редквадратна матрица.

Всяка квадратна матрица може да бъде свързана с число, определено от единствения начинизползване на всички матрични елементи. Това число се нарича детерминанта.

Детерминанта от втори реде число, получено с помощта на елементите на квадратна матрица от 2-ри ред, както следва: .

В този случай от произведението на елементите, разположени на така наречения основен диагонал на матрицата (минаващ от горния ляв до долния десен ъгъл), се изважда произведението на елементите, разположени на втория или вторичен диагонал .

Детерминанта от трети реде число, определено с помощта на елементите на квадратна матрица от 3-ти ред, както следва:

Коментирайте. За да улесните запомнянето на тази формула, можете да използвате така нареченото правило на Крамер (на триъгълниците). Той е следният: елементите, чиито продукти са включени в детерминантата със знака „+“, се подреждат, както следва:

Образуващи два триъгълника, симетрични спрямо главния диагонал. Елементите, чиито продукти са включени в детерминантата със знака "-", са разположени по подобен начин спрямо вторичния диагонал:

14. Детерминанти от ти ред. (детерминанти от по-висок порядък)

Детерминант nти ред, съответстващ на матрицата не,номерът се нарича:

Основни методи за изчисляване на детерминанти:

1) Метод за намаляване на поръчката Детерминантата се основава на връзката: (1)

Където се нарича алгебрично допълнение на th елемент. Незначителентият елемент се нарича детерминанта n-1ред, получен от оригиналната детерминанта чрез изтриване аз-тази линия и йта колона.

Съотношението (1) се нарича разширение на детерминантата в аз- тази линия. По същия начин можем да запишем разширението на детерминантата по колона:

Теорема:За всяка квадратна матрица равенството е в сила ,

където и е символът на Кронекер

2) Метод на редукция до триъгълна форма въз основа на седмото свойство на детерминантите.

Пример: Изчислете детерминантата: Извадете първия ред от всички останали.

3) Метод на рекурентната връзка позволява да се изрази дадена детерминанта чрез детерминанта от същия тип, но от по-нисък порядък.

Пермутации, инверсии.

Всякакво подреждане на числата 1, 2, ..., нв определен ред, наречен пренареждане от нзнаци (цифри).

Общ изглед на пермутацията: .

Нито един от тях не се среща два пъти при пермутация.

Пермутацията се нарича дори , ако елементите му съставляват четен брой инверсии, и странно в противен случай.

Числата k и p в пермутацията са инверсия (разстройство), ако k > p, но k е преди p в тази пермутация.

Три свойства на пермутациите.

Свойство 1:Броят на различните пермутации е равен на ( , се чете: “ нфакториел").

Доказателство.Броят на пермутациите съвпада с броя на начините, по които могат да бъдат съставени различни пермутации. При съставяне на пермутации като й 1 можете да вземете всяко от числата 1, 2, ..., н, Какво дава нвъзможности. Ако й 1 вече е избрано, след това като й 2 можете да вземете един от останалите н– 1 числа и броя начини, които можете да изберете й 1 и й 2 ще бъде равно и т.н. Последното число в пермутацията може да бъде избрано само по един начин, което дава начини и следователно пермутации.

Свойство 2:Всяко транспониране променя паритета на пермутацията.

Доказателство.Случай 1.Числата, които се транспонират, се поставят едно до друго в пермутация, т.е. изглежда като (..., к,стр, ...), тук многоточие (...) маркира числа, които остават на местата си по време на транспониране. Транспонирането го превръща в пермутация на формата (..., стр, к,...). В тези пермутации всяко от числата к,Рправи същите инверсии, като числата остават на мястото си. Ако числата кИ стрне са компилирали преди това инверсии (т.е. к < Р), тогава в новата пермутация ще се появи друга инверсия и броят на инверсиите ще се увеличи с една; ако кИ Рпредставлява инверсия, тогава след транспонирането броят на инверсиите ще намалее с една. Във всеки случай паритетът на пермутацията се променя.

Свойство 3:При пренареждане детерминантата променя знака.

17. Свойства на детерминантите: детерминант на транспонирана матрица, размяна на редове в детерминантата, детерминант на матрица с еднакви редове.

Имот 1.Детерминантата не се променя при транспониране, т.е.

Доказателство.

Коментирайте. Следните свойства на детерминантите ще бъдат формулирани само за низове. Освен това от свойство 1 следва, че колоните ще имат еднакви свойства.

Имот 6. При пренареждане на два реда от детерминанта, тя се умножава по –1.

Доказателство.

Имот 4.Детерминантата с два равни низа е 0:

Доказателство:

18. Свойства на детерминантите: разлагане на детерминанта в низ.

Незначителенелемент на детерминанта е детерминанта, получена от даден елемент чрез задраскване на реда и колоната, в които се появява избраният елемент.

Обозначение: избраният елемент от детерминантата, неговият минор.

Пример. За

Алгебрично допълнениеелемент от детерминантата се нарича негов минор, ако сумата от индексите на този елемент i+j е четно число, или числото, противоположно на минора, ако i+j е нечетно, т.е.

Нека разгледаме друг начин за изчисляване на детерминанти от трети ред - така нареченото разширение на ред или колона. За да направим това, доказваме следната теорема:

Теорема:Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на който и да е от неговите редове или колони и техните алгебрични допълнения, т.е.: където i=1,2,3.

Доказателство.

Нека докажем теоремата за първия ред на детерминантата, тъй като за всеки друг ред или колона може да се извърши подобно разсъждение и да се получи същия резултат.

Нека намерим алгебрични допълнения към елементите на първия ред: