КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека комплексното число a + bi съответства вектор О.А.> с координати ( а, б ) (виж Фиг. 332).

Нека означим дължината на този вектор с r , и ъгъла, който сключва с оста х , през φ . По дефиниция на синус и косинус:

а / r =cos φ , b / r = грях φ .

Ето защо А = r cos φ , b = r грях φ . Но в този случай комплексното число a + bi може да се запише като:

a + bi = r cos φ + ir грях φ = r (тъй като φ + аз грях φ ).

Както е известно, квадратът на дължината на всеки вектор равно на суматаквадрати на неговите координати. Ето защо r 2 = а 2 + b 2, от къде r = √a 2 + b 2

Така, всяко комплексно число a + bi могат да бъдат представени във формата :

a + bi = r (тъй като φ + аз грях φ ), (1)

където r = √a 2 + b 2 и ъгъла φ се определя от условието:

Тази форма на записване на комплексни числа се нарича тригонометричен.

Номер r във формула (1) се нарича модул, и ъгълът φ - аргумент, комплексно число a + bi .

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава модулът му е положителен; ако a + bi = 0, тогава a = b = 0 и след това r = 0.

Модулът на всяко комплексно число е еднозначно определен.

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава неговият аргумент се определя от формули (2) определенодо ъгъл, делим на 2 π . Ако a + bi = 0, тогава a = b = 0. В този случай r = 0. От формула (1) е лесно да се разбере, че като аргумент φ в този случай можете да изберете всеки ъгъл: в крайна сметка за всеки φ

0 (cos φ + аз грях φ ) = 0.

Следователно нулевият аргумент е недефиниран.

Модул на комплексно число r понякога се обозначава | z |, а аргументът е arg z . Нека да разгледаме няколко примера за представяне на комплексни числа в тригонометрична форма.

Пример. 1. 1 + аз .

Да намерим модула r и аргумент φ този номер.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следователно грях φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, откъдето φ = π / 4 + 2нπ .

По този начин,

1 + аз = √ 2 ,

Където П - произволно цяло число. Обикновено от безкрайния набор от стойности на аргумента на комплексно число се избира една, която е между 0 и 2 π . В този случай тази стойност е π / 4 . Ето защо

1 + аз = √ 2 (cos π / 4 + аз грях π / 4)

Пример 2.Запишете комплексно число в тригонометрична форма √ 3 - аз . Ние имаме:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, грях φ = - 1 / 2

Следователно до ъгъл, разделен на 2 π , φ = 11 / 6 π ; следователно,

√ 3 - аз = 2(cos 11 / 6 π + аз грях 11/6 π ).

Пример 3Запишете комплексно число в тригонометрична форма аз

Комплексно число аз съответства вектор О.А.> , завършваща в точка А на оста при с ордината 1 (фиг. 333). Дължината на такъв вектор е равна на 1, а ъгълът, който сключва с оста x, е равен на π / 2. Ето защо

аз =cos π / 2 + аз грях π / 2 .

Пример 4.Запишете комплексното число 3 в тригонометрична форма.

Комплексното число 3 съответства на вектора О.А. > х абциса 3 (фиг. 334).

Дължината на такъв вектор е 3, а ъгълът, който сключва с оста x, е 0. Следователно

3 = 3 (cos 0 + аз грях 0),

Пример 5.Запишете комплексното число -5 в тригонометрична форма.

Комплексното число -5 съответства на вектор О.А.> завършваща в точка на ос х с абциса -5 (фиг. 335). Дължината на такъв вектор е 5, а ъгълът, който сключва с оста x, е равен на π . Ето защо

5 = 5(cos π + аз грях π ).

Упражнения

2047. Запишете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

1) 2 + 2√3 аз , 4) 12аз - 5; 7).3аз ;

2) √3 + аз ; 5) 25; 8) -2аз ;

3) 6 - 6аз ; 6) - 4; 9) 3аз - 4.

2048. Посочете на равнината набор от точки, представляващи комплексни числа, чиито модули r и аргументи φ отговарят на условията:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Могат ли числата едновременно да бъдат модули на комплексно число? r И - r ?

2050. Може ли аргументът на комплексно число да бъде едновременно ъгли? φ И - φ ?

Представете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

2051*. 1 + cos α + аз грях α . 2054*. 2(cos 20° - аз грях 20°).

2052*. грях φ + аз cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - аз грях 15°).

Операции с комплексни числа, записани в алгебрична форма

Алгебрична форма на комплексно число z =(а,b).се нарича алгебричен израз на формата

z = а + би.

Аритметични действия с комплексни числа z 1 =а 1 + б 1 азИ z 2 =а 2 + б 2 аз, записани в алгебрична форма, се извършват по следния начин.

1. Сбор (разлика) на комплексни числа

z 1 ±z 2 = (а 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

тези. събирането (изваждането) се извършва по правилото за добавяне на полиноми с редукция на подобни членове.

2. Произведение на комплексни числа

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙a 2 -б 1 ∙b 2) + (а 1 ∙b 2 + а 2 ∙b 1)∙i,

тези. умножението се извършва съгласно обичайното правило за умножаване на полиноми, като се вземе предвид фактът, че аз 2 = 1.

3. Разделянето на две комплексни числа се извършва по следното правило:

, (z 2 ≠ 0),

тези. делението се извършва чрез умножаване на делителя и делителя по спрегнатото число на делителя.

Степенуването на комплексни числа се дефинира, както следва:

Лесно е да се покаже това

Примери.

1. Намерете сбора на комплексните числа z 1 = 2 – азИ z 2 = – 4 + 3аз

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3аз) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) аз = –2+2аз

2. Намерете произведението на комплексни числа z 1 = 2 – 3азИ z 2 = –4 + 5аз

= (2 – 3аз) ∙ (–4 + 5аз) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3аз)+ 2∙5аз– 3i∙ 5аз = 7+22аз

3. Намерете частното zот разделяне z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – аз

z = .

4. Решете уравнението: , хИ г Î Р.

(2x+y) + (x+y)аз = 2 + 3аз

Поради равенството на комплексните числа имаме:

където x =–1 , г= 4.

5. Изчислете: аз 2 ,аз 3 ,аз 4 ,аз 5 ,аз 6 ,аз -1 ,i -2 .

6. Пресметнете ако .

.

7. Изчислете реципрочната стойност на число z=3-и.

Комплексни числа в тригонометрична форма

Сложна равнинанаречена равнина с декартови координати ( x, y), ако всяка точка с координати ( а, б) е свързано с комплексно число z = a + bi. В този случай се извиква абсцисната ос реална ос, а ординатната ос е въображаем. След това всяко комплексно число а+бигеометрично изобразен върху равнина като точка А (а, б) или вектор.

Следователно позицията на точката А(и, следователно, комплексно число z) може да се определи чрез дължината на вектора | | = rи ъгъл й, образувана от вектора | | с положителната посока на реалната ос. Дължината на вектора се нарича модул на комплексно числои се означава с | z |=r, и ъгълът йНаречен аргумент комплексно числои е обозначен j = arg z.

Ясно е, че | z| ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

От фиг. 2 е ясно, че.

Аргументът на комплексно число се определя нееднозначно, но с точност до 2 pk,kÎ З.

От фиг. 2 също така е ясно, че ако z=a+biИ j=arg z,Че

cos j =, грях j =, tg j = .

Ако zÎРИ z> 0, тогава arg z = 0 +2pk;

Ако z ОРИ z< 0, тогава arg z = p + 2pk;

Ако z = 0,arg zнеопределен.

Основната стойност на аргумента се определя на интервала 0 £ arg z£2 п,

или -стр£ arg z £ p.

Примери:

1. Намерете модула на комплексните числа z 1 = 4 – 3азИ z 2 = –2–2аз

2. Определете области на комплексната равнина, определени от условията:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+аз) | £3; 4) £6 | z – аз| £7.

Решения и отговори:

1) | z| = 5 Û Û - уравнение на окръжност с радиус 5 и център в началото.

2) Окръжност с радиус 6 с център в началото.

3) Окръжност с радиус 3 с център в точка z 0 = 2 + аз.

4) Пръстен, ограничен от окръжности с радиуси 6 и 7 с център в точка z 0 = аз.

3. Намерете модула и аргумента на числата: 1) ; 2) .

1) ; А = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2аз; а =–2, b =-2 Þ ,

.

Съвет: Когато определяте основния аргумент, използвайте комплексната равнина.

По този начин: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Лекция

Тригонометрична форма на комплексно число

Планирайте

1. Геометрично представяне на комплексни числа.

2.Тригонометрична нотациякомплексни числа.

3. Действия върху комплексни числа в тригонометрична форма.

Геометрично представяне на комплексни числа.

а) Комплексните числа се представят чрез точки на равнина съгласно следното правило: а + би = М ( а ; b ) (Фиг. 1).

Снимка 1

б) Комплексно число може да бъде представено чрез вектор, който започва в точкатаОТНОСНО и край в дадена точка (фиг. 2).

Фигура 2

Пример 7. Конструирайте точки, представляващи комплексни числа:1; - аз ; - 1 + аз ; 2 – 3 аз (фиг. 3).

Фигура 3

Тригонометричен запис на комплексни числа.

Комплексно числоz = а + би може да се посочи с помощта на радиус вектор с координати( а ; b ) (фиг. 4).

Фигура 4

Определение . Дължина на вектора , представляващо комплексно числоz , се нарича модул на това число и се обозначава илиr .

За всяко комплексно числоz неговия модулr = | z | се определя еднозначно по формулата .

Определение . Големината на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора , представляващо комплексно число, се нарича аргумент на това комплексно число и се обозначаваА rg z илиφ .

Аргумент на комплексното числоz = 0 неопределен. Аргумент на комплексното числоz≠ 0 – многозначна величина и се определя с точност до член2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Арг z = арг z + 2πk , Къдетоарг z – основната стойност на аргумента, съдържащ се в интервала(-π; π] , това е-π < арг z ≤ π (понякога стойност, принадлежаща на интервала, се приема като основна стойност на аргумента .

Тази формула, когатоr =1 често наричана формула на Моавър:

(cos φ + i sin φ) н = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11: Изчислете(1 + аз ) 100 .

Нека напишем комплексно число1 + аз в тригонометрична форма.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (тъй като + съгрешавам )] 100 = ( ) 100 (тъй като 100 + грях ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извличане на корен квадратен от комплексно число.

При извличане на корен квадратен от комплексно числоа + би имаме два случая:

Акоb >o , Че ;

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека векторът е зададен на комплексната равнина с числото .

Нека означим с φ ъгъла между положителната полуос Ox и вектора (ъгълът φ се счита за положителен, ако се измерва обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен в противен случай).

Нека означим дължината на вектора с r. Тогава . Ние също обозначаваме

Записване на ненулево комплексно число z във формата

се нарича тригонометрична форма на комплексното число z. Числото r се нарича модул на комплексното число z, а числото φ се нарича аргумент на това комплексно число и се означава с Arg z.

Тригонометрична форма на запис на комплексно число - (формула на Ойлер) - експоненциална форма на запис на комплексно число:

Комплексното число z има безкрайно много аргументи: ако φ0 е произволен аргумент на числото z, тогава всички останали могат да бъдат намерени по формулата

За комплексно число аргументът и тригонометричната форма не са дефинирани.

По този начин аргументът на ненулево комплексно число е всяко решение на системата от уравнения:

(3)

Стойността φ на аргумента на комплексно число z, удовлетворяващ неравенствата, се нарича главна стойност и се означава с arg z.

Аргументите Arg z и arg z са свързани с

, (4)

Формула (5) е следствие от система (3), следователно всички аргументи на комплексно число удовлетворяват равенство (5), но не всички решения φ на уравнение (5) са аргументи на числото z.

Основната стойност на аргумента на ненулево комплексно число се намира по формулите:

Формулите за умножение и деление на комплексни числа в тригонометрична форма са както следва:

. (7)

При повдигане на комплексно число на естествена степен се използва формулата на Moivre:

При извличане на корена на комплексно число се използва формулата:

, (9)

където k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Пресметнете къде .

Нека представим решението на този израз в експоненциална форма на запис на комплексно число: .

Ако, тогава.

Тогава , . Следователно, тогава И , Където .

Отговор: , при .

Задача 55. Запишете комплексните числа в тригонометрична форма:

А) ; б) ; V) ; G) ; д) ; д) ; и) .

Тъй като тригонометричната форма на комплексно число е , тогава:

а) В комплексно число: .

,

Ето защо

б) , Където ,

G) , Където ,

д) .

и) , А , Че .

Ето защо

Отговор: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Намерете тригонометричната форма на комплексно число

.

Позволявам , .

Тогава , , .

Тъй като и , , след това и

Следователно, , следователно

Отговор: , Където .

Задача 57. Използвайки тригонометричната форма на комплексно число, изпълнете следните действия: .

Нека си представим числата и в тригонометрична форма.

1), където Тогава

Намерете стойността на главния аргумент:

Нека заместим стойностите и в израза, получаваме

2) , къде тогава

Тогава

3) Нека намерим частното

Ако приемем k=0, 1, 2, получаваме три различни значенияжелания корен:

Ако, тогава

ако , тогава

ако , тогава .

Отговор: :

:

: .

Задача 58. Нека , , , са различни комплексни числа и . Докажи това

номер е реално положително число;

б) важи равенството:

а) Нека представим тези комплексни числа в тригонометрична форма:

защото .

Нека се преструваме, че. Тогава

.

Последният израз е положително число, тъй като синусите съдържат числа от интервала.

тъй като броят истински и положителен. Наистина, ако a и b са комплексни числа и са реални и по-големи от нула, тогава .

Освен това,

следователно търсеното равенство е доказано.

Задача 59. Запишете числото в алгебрична форма .

Нека представим числото в тригонометрична форма и след това да намерим алгебричната му форма. Ние имаме . За получаваме системата:

Това предполага равенството: .

Прилагайки формулата на Moivre: ,

получаваме

Намерена е тригонометричната форма на даденото число.

Нека сега запишем това число в алгебрична форма:

.

Отговор: .

Задача 60. Намерете сбора , ,

Нека помислим за сумата

Прилагайки формулата на Moivre, намираме

Тази сума е сумата от n членове геометрична прогресиясъс знаменател и първият член .

Прилагайки формулата за сумата от членовете на такава прогресия, имаме

Изолирайки въображаемата част в последния израз, намираме

Изолирайки реалната част, получаваме и следната формула: , , .

Задача 61. Намерете сумата:

а) ; б) .

Според формулата на Нютон за степенуване имаме

Използвайки формулата на Moivre намираме:

Приравнявайки реалните и въображаемите части на получените изрази за , имаме:

И .

Тези формули могат да бъдат записани в компактна форма, както следва:

,

, Където - цяла частчисла а.

Задача 62. Намерете всички , за които .

Тъй като , след това, използвайки формулата

, За да извлечем корените, получаваме ,

следователно , ,

, .

Точките, съответстващи на числата, са разположени във върховете на квадрат, вписан в окръжност с радиус 2 с център в точката (0;0) (фиг. 30).

Отговор: , ,

, .

Задача 63. Решете уравнението , .

По условие; Ето защо дадено уравнениеняма корен и следователно е еквивалентно на уравнението.

За да може числото z да бъде корен на дадено уравнение, числото трябва да е корен n-та степенот номер 1.

От тук заключаваме, че първоначалното уравнение има корени, определени от равенствата

,

По този начин,

,

т.е. ,

Отговор: .

Задача 64. Решете уравнението в множеството от комплексни числа.

Тъй като числото не е коренът на това уравнение, тогава за това уравнение е еквивалентно на уравнението

Тоест уравнението.

Всички корени на това уравнение се получават от формулата (виж задача 62):

; ; ; ; .

Задача 65. Начертайте върху комплексната равнина набор от точки, които удовлетворяват неравенствата: . (2-ри начин за решаване на задача 45)

Позволявам .

Комплексните числа с еднакви модули съответстват на точки в равнината, разположени върху окръжност с център в началото, следователно неравенството отговарят на всички точки на отворен пръстен, ограничен от окръжности с общ център в началото и радиуси и (фиг. 31). Нека някаква точка от комплексната равнина съответства на числото w0. Номер , има модул няколко пъти по-малък от модула w0 и аргумент, по-голям от аргумента w0. СЪС геометрична точкаОт гледна точка точката, съответстваща на w1, може да бъде получена чрез хомотетия с център в началото и коефициент , както и завъртане спрямо началото на ъгъл обратно на часовниковата стрелка. В резултат на прилагането на тези две трансформации към точките на пръстена (фиг. 31), последният ще се трансформира в пръстен, ограничен от окръжности с еднакъв център и радиуси 1 и 2 (фиг. 32).

Преобразуване реализирани с помощта на паралелен трансферкъм вектор. Прехвърляйки пръстена с център в точката към посочения вектор, получаваме пръстен със същия размер с център в точката (фиг. 22).

Предложеният метод, който използва идеята за геометрични трансформации на равнина, вероятно е по-малко удобен за описание, но е много елегантен и ефективен.

Задача 66. Намерете дали .

Нека , тогава и . Първоначалното равенство ще приеме формата . От условието за равенство на две комплексни числа получаваме , , от което , . По този начин, .

Нека запишем числото z в тригонометрична форма:

, Където , . Според формулата на Moivre намираме .

Отговор: – 64.

Задача 67. За комплексно число намерете всички комплексни числа, така че , и .

Нека представим числото в тригонометрична форма:

. Оттук, . За числото, което получаваме, може да бъде равно на или.

В първия случай , във втория

.

Отговор: , .

Задача 68. Намерете сбора на такива числа, че . Моля, посочете един от тези номера.

Обърнете внимание, че от самата формулировка на задачата може да се разбере, че сумата от корените на уравнението може да се намери без да се изчисляват самите корени. Всъщност сборът от корените на уравнението е коефициентът за , взет с обратен знак (обобщена теорема на Виета), т.е.

Ученици, училищна документация, правят изводи за степента на овладяване тази концепция. Обобщете изучаването на характеристиките на математическото мислене и процеса на формиране на концепцията за комплексно число. Описание на методите. Диагностика: I етап. Разговорът се проведе с учителка по математика, която преподава алгебра и геометрия в 10 клас. Разговорът се проведе след известно време от началото...

Резонанс" (!)), което включва и оценка на собственото поведение. 4. Критична оценка на разбирането на ситуацията (съмнения). 5. И накрая, използването на препоръки от правната психология (адвокатът взема предвид психологическата аспекти на извършените професионални действия - професионална психологическа подготвеност).

Математика на тригонометричното заместване и проверка на ефективността на разработената методика на обучение. Етапи на работа: 1. Разработване на факултативен курс на тема: „Приложение на тригонометрична субституция за решаване на алгебрични задачи” с ученици в паралелки с напреднал математика. 2. Провеждане на разработената избираема дисциплина. 3. Извършване на диагностичен тест...

Познавателните задачи са предназначени само да допълват съществуващите учебни помагала и трябва да бъдат в подходяща комбинация с всички традиционни средства и елементи на образователния процес. Разликата между учебните задачи в обучението по хуманитарни и точни науки, от математически задачиЕдинственият проблем е, че в историческите проблеми липсват формули, строги алгоритми и т.н., което усложнява тяхното решаване. ...

Подобни статии