аз Наборът е съвкупност от някои обекти или числа, съставени според някои общи свойства или закони (много букви на страница, много правилни дроби със знаменател 5 , много звезди в небето и др.).

За да напишете набор, използвайте фигурни скоби: «{ "- комплектът се отваря; "}" — много се затварят. А самият комплект се нарича с главни латински букви: А, Б, Ви така нататък.

Примери.

1 . Комплект за писане А, състоящ се от всички гласни в думата "математика".

Решение. A=(a, e, i). Виждате ли: въпреки факта, че в словото "математика"има три букви "А"- не се допускат многократни повторения в записа и буквата "А"се записва само веднъж. Няколко Асе състои от три елемента.

2. Запишете множеството от всички правилни дроби със знаменател 5 .

Решение.Нека запомним: правилният се нарича обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя. Нека означим с INжелания комплект. Тогава:

Няколко INсе състои от четири елемента.

II. Наборите се състоят от елементи и могат да бъдат крайни или безкрайни. Множество, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно множество и се означава с Ø.

III. Няколко INнаречено подмножество на множество А, ако всички елементи на множеството INса елементи на комплекта А.

3. Кой от двата дадени комплекта INИ СЪС ДА СЕ,

Ако IN={-1; 3; 4}, ° С={0; 3; 4; 5), К={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Решение. Всички елементи от комплекта СЪСсъщо са елементи на комплекта ДА СЕ, следователно много СЪСе подмножество на множеството ДА СЕ.Записвам:

IV. Пресечна точка на множества АИ INе множество, чиито елементи принадлежат на множеството Аи много IN.

4. Покажете пресечната точка на две множества МИ Еизползвайки кръгове на Ойлер.

Решение.

Понятието множество е едно от основните математически понятия. Това е недефинирано понятие и може да бъде описано или обяснено само чрез примери. Така можем да говорим за набор от букви в латинската азбука, набор от всички книги в дадена библиотека, набор от ученици в дадена група, набор от всички точки на дадена линия. За да дефинирате набор, просто избройте елементите или посочете Характеристикасвойства на елементите, т.е. свойство, което притежават всички елементи на дадено множество и само те.

Определение 1.1.Елементите (обектите), които съставляват определен набор, се наричат негови елементи.

Прието е множеството да се обозначава с главни латински букви, а елементите на множеството - с малки букви. Какво хе елемент от множеството А, се записва така: xA(хпринадлежи А). Тип запис xA(xA) означава, че хне принадлежи А, т.е. не е елемент от множеството А.

Елементите на набор обикновено се записват във фигурни скоби. Например ако А –набор, състоящ се от първите три букви на латинската азбука, тогава се изписва, както следва: А={a,b,c} .

Едно множество може да съдържа безкраен брой елементи (множество от точки на права, множество от естествени числа), краен брой елементи (множество от ученици в клас) или изобщо да не съдържа никакъв елемент (множество ученици в празна класна стая).

Определение 1.2.Извиква се множество, което не съдържа нито един елемент празен комплект, означена с Ø.

Определение 1.3.Няколко АНаречен подмножествокомплекти б, ако всеки елемент от множеството Апринадлежи на много б. Това е посочено А Б(А –подмножество б).

Празното множество се счита за подмножество на всяко множество. Ако наборът Ане е подмножество на множеството б, тогава пишат А Б.

Определение 1.4.Два комплекта АИ бНаречен равен, ако са подмножества едно на друго. Определете А = Б.Това означава, че ако xA, Че х Би обратно, т.е. ако и , тогава .

Определение 1.5.Пресечна точкакомплекти АИ бобадете се на набор М, чиито елементи са едновременно елементи и на двете множества АИ Б.Определете М=А Б.Тези. xA б, Че xAИ х Б.

Записвам А B={x | xAИ х Б). (Вместо съюз И -знаци , &).

Определение 1.6.Ако А B=Ø, тогава казват, че наборите АИ B не се пресичат.

По подобен начин можете да дефинирате пресечната точка на 3, 4 и всеки краен брой множества.

Определение 1.7.Асоциациякомплекти АИ бобадете се на набор М, чиито елементи принадлежат към поне едно от тези множества М=А Б.Че. А B={x | xAили х Б). (Вместо съюз или -поставен е знак).

Наборът се определя по подобен начин A 1 А 2 … A n .Състои се от елементи, всеки от които принадлежи към поне едно от множествата A 1,А 2,…,A n(и може би няколко наведнъж) .

Пример 1.8. 1) ако А=(1;2;3;4;5) и B=(1;3;5;7;9), тогава А B=(1;3;5) и А B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) ако А=(2;4) и B=(3;7), тогава А B=Ø и А B={2;3;4;7}.

3) ако А=(летни месеци) и B=(месеци с 30 дни), след това А B=(юни) и А B=(април; юни; юли; август; септември; ноември).

Определение 1.9.Естественосе наричат числата 1,2,3,4,..., използвани за броене на предмети.

Множеството от естествени числа се означава с N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Той е безкраен, има най-малък елемент 1 и няма най-голям елемент.

Пример 1.10. А– множеството от естествените делители на числото 40. Избройте елементите на това множество. Вярно ли е, че 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

А= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Пример 1.11.Избройте елементите на множества, определени от характерни свойства.

Тук на преден план излиза точно това, което досега фундаментално оставяхме настрана, а именно въпросът как връзките на реда, съществуващи в множества с една и съща кардиналност, разграничават тези множества. В края на краищата, тези съпоставяния едно към едно на общ изглед, което досега предполагахме, нарушава всички тези отношения - просто си спомнете картографирането на квадрат върху сегмент! Бих искал специално да подчертая важността на този втори раздел от учението за множествата; в края на краищата това учение не може да има за цел премахване чрез въвеждане на нови, повече общи понятияонези разлики, които отдавна се използват в математиката; по-скоро, напротив, това учение може и трябва да служи за разпознаване на тези различия в тяхната най-дълбока същност с помощта на общи понятия.

Ординални типове изброими множества.

Нашата цел сега е да илюстрираме, чрез някои добре известни примери, концепцията за различните възможни подредби на елементите на набор в определен ред. Ако започнем с изброими множества, тогава вече знаем три напълно различни примера за подреждане на елементи в такива множества, толкова различни един от друг, че равенството на техните мощности представлява, както видяхме, специален и в никакъв случай самоочевиден теорема; това са следните комплекти:

1) набор от естествени числа;

2) множеството от всички (отрицателни и положителни) цели числа;

3) набор от всички рационални числаи множеството от всички алгебрични числа.

Подреждането на елементите във всички тези три комплекта има едно обща собственост, поради което се нарича линеен редв изобилие. Това свойство е следното: от всеки два елемента единият винаги предшества другия, т.е. изразено алгебрично, винаги се знае кой елемент е по-малък и кой е по-голям, и освен това, ако от трите елемента a, b, c елемент a предхожда елемент b и елемент b предхожда елемент c, тогава a винаги предхожда елемент c (ако , тогава

Но, от друга страна, в разглежданите примери има такива характерни разлики: в първото множество има първи елемент (нула), който предхожда всички останали, но няма последен елемент, който следва всички останали; второто множество няма нито първия, нито последния елемент. Но и двете групи имат това общо, че всеки елемент е непосредствено последван от определен най-близък елемент и всеки елемент е непосредствено предшестван от определен друг елемент.

За разлика от това, третото множество винаги има, както видяхме по-горе, между всеки два елемента безкрайно много други елементи; Ние обозначихме такова свойство на набор с термина „навсякъде плътно множество“, така че по-специално сред всички рационални или алгебрични числа, разположени между a и b, освен самите тези числа, няма нито най-малкото, нито най-голямото номер. По този начин начините за подреждане на елементи в тези три набора, т.е. техните порядъчни типове, са различни един от друг, въпреки че самите набори имат еднакви мощности. С това може да се свърже - и това всъщност се прави от представители на теорията на множествата - въпросът за всички общовъзможни ординални типове изброими множества.

Непрекъснатост на континуума. Нека сега се обърнем към разглеждането на континуумните мощностни множества; тук познаваме едно множество с линеен ред в него, а именно континуумът на всички реални числа. Но заедно с това, в двумерни и многомерни случаи, имаме примери за множества с подредба на елементи, различна от това, което нарекохме „линейно“. Така че, в случай на набор, за да се определи взаимно споразумениеизискват се две точки, не една, а две релации от типа на неравенствата.

Тук е най-важно да се анализира концепцията за непрекъснатост на едномерен континуум; откритието, че тази концепция наистина се основава само на простите свойства на реда, присъщи на множеството, е първото забележително достойнство на учението за множествата при изясняването на основните математически понятия, а именно, оказва се, че всички свойства на континуумния ствол от факта, че последният е линеен подреден набор със следните две свойства:

1. Ако разделим множеството на произволни две части A, B, но по такъв начин, че всеки елемент да принадлежи към която и да е от тези части и че всички елементи, включени в част A, предхождат всички елементи от част B, тогава в такъв случай или A има последния елемент или B има първия елемент.

Припомняйки дефиницията на Дедекинд за ирационални числа, можем да изразим това свойство по следния начин: всеки „секция“ в нашето множество е произведен от един от неговите елементи.

2. Между всеки два елемента от едно множество има безкрайно много други елементи.

Това второ свойство се притежава не само от континуума, но и от изброимото множество от всички рационални числа; първото свойство показва значителна разлика между тези подредени набори. Всяко линейно подредено множество, което има и двете от тези свойства, се нарича непрекъснато в теорията на множествата поради причината, че за него наистина е възможно да се докажат всички теореми, които са валидни за континуум поради неговата непрекъснатост.

Искам също да отбележа, че тези свойства на непрекъснатостта могат да бъдат формулирани и малко по-различно, а именно въз основа на така наречените „основни“ серии на Кантор. Основната серия е такава изброима последователност от елементи на дадено множество, така че в самото множество или или Някой елемент a от множеството се нарича граничен елемент на основната серия, ако - в първия случай - в основната серия има винаги елементи, по-големи от всеки елемент, лежащ в даденото множество до a, но изобщо няма елементи, bblpih поне един елемент, разположен след граничния елемент във втория случай, се определя по подобен начин. Ако едно множество има свойството, че всяка основна серия, включена в неговия състав, съответства на граничен елемент, тогава множеството се нарича затворено; ако, напротив, всеки елемент от множеството е граничен елемент на някаква изолирана от него основна серия, тогава множеството се нарича плътно. Непрекъснатостта на наборите, които имат силата на континуума, се състои основно в комбинацията от двете свойства.

По пътя искам да ви напомня тук, че когато говорихме за диференциално и интегрално смятане, говорихме и за друг континуум - континуума

Veronese, което възниква от обикновения континуум чрез добавяне на всъщност безкрайно малки количества. Въпреки че по този начин се получава и линейно подредено множество, въпреки това този континуум има, разбира се, напълно различен тип подреждане от обичайния континуум; теоремата, че всяка основна серия има ограничаващ елемент, не е приложима тук.

Множеството е фундаментално понятие в математиката и следователно не се дефинира чрез други.

Обикновено наборът се разбира като колекция от обекти, обединени от обща характеристика. Така че можем да говорим за много ученици в група, много букви от руската азбука и т.н. В ежедневието вместо думата „комплект” се използват думите „комплект”, „колекция”, „група” и др. Наборите обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: А, IN, СЪС, ..., З.

За набори от числаВ математиката се използват специални обозначения:

н– набор от естествени числа;

н 0 – набор от неотрицателни цели числа;

З– набор от цели числа;

Q– набор от рационални числа;

Р– набор от реални числа.

Обектите, от които се образува едно множество, се наричат негови елементи. Например септември е елемент от множеството от месеци в годината, числото 5 е елемент от множеството от естествени числа. Елементите на набора обикновено се обозначават с малки букви от латинската азбука. Елементите на едно множество могат да бъдат множества. Това може да се каже за много групи в института. Елементите на това множество са групи, които от своя страна са множества от ученици.

Връзката между набор и неговия елемент се изразява с думата „принадлежи“. Твърдението „Елемент Апринадлежи на много А“ се пише така: А  А, а този запис може да се чете по различен начин: „ А– елемент от комплекта А", "няколко Асъдържа елемент А" Твърдението „Елемент Ане принадлежи към комплекта А“ се пише така: А  А(в противен случай: " Ане е елемент от множеството А", "няколко Ане съдържа елемент А»).

Ако в ежедневната реч думата „множество“ се свързва с голям брой обекти, то в математиката това не се изисква. Наборът може да съдържа един елемент или да не съдържа никакви елементи.

Множество, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно и се означава със символа . Има само един празен комплект. Примери за празно множество са множеството от хора на Слънцето, множеството от естествени корени на уравнението х+ 8 = 0.

Наборите могат да бъдат крайни или безкрайни.

Едно множество се нарича крайно, ако има естествено число П, така че всички елементи на множеството могат да бъдат номерирани от 1 до П. в противен случай множеството се нарича безкрайно. Пример за краен набор е наборът от цифри, а пример за безкраен набор е наборът от естествени числа.

§ 2. Методи за дефиниране на множества

Едно множество се счита за дадено, ако е възможно да се каже за всеки обект дали принадлежи към това множество или не.

Едно множество може да бъде дефинирано чрез изброяване на всички негови елементи. Записвайте СЪС= (a, b, c, d) означава, че множеството СЪСсъдържа елементи a, b, c, d.

Всеки елемент се появява в набора само веднъж. Например много различни букви в думата „математика“ ще бъдат написани така: (m, a, t, e, i, k).

Този метод е приложим за крайни множества, които съдържат малък брой елементи.

Понякога използвайки този метод, можете също да зададете крайно множество. Например наборът от естествени числа може да бъде представен като: н= (1, 2, 3, 4, ...). Този метод на запис е възможен само когато от записаната част от комплекта е ясно какво се крие под многоточието.

Друг начин за дефиниране на множества е следният: посочете характерното свойство на неговите елементи. Характеристично свойство е свойство, което притежава всеки елемент, принадлежащ към набор, и нито един елемент, който не му принадлежи.

Случва се едно и също множество да бъде определено чрез посочване на различни характерни свойства на неговите елементи. Например множеството от двуцифрени числа, делящи се на 11, и множеството от естествените числа от първата стотица, записани с две еднакви цифри, съдържат едни и същи елементи.

С този метод на уточняване набор може да бъде написан по следния начин: първо напишете обозначението на елемента във къдрави скоби, след това нарисувайте вертикална линия, след което запишете свойството, което имат елементите на този набор. Например мн Аестествените числа по-малки от 5 ще бъдат записани по следния начин: А = {х хн, х < 5}.

Множества. Операции върху множества.
Показване на комплекти. Сила на комплекта

Приветствам ви в първия урок по висша алгебра, който се появи... в навечерието на петата годишнина на сайта, след като вече бях създал повече от 150 статии по математика и материалите ми започнаха да се събират в завършен курс. Надявам се обаче, че не съм закъснял - в края на краищата много студенти започват да се ровят в лекции само за държавни изпити =)

Университетският курс по vyshmat традиционно се основава на три стълба:

– математически анализ (граници, производнии т.н.)

– и накрая, учебният сезон 2015/16 започва с уроци Алгебра за манекени, Елементи на математическата логика, на който ще анализираме основите на раздела, както и ще се запознаем с основни математически понятия и общи означения. Трябва да кажа, че в други статии не прекалявам с „завъртулките“ , но това е просто стил и, разбира се, те трябва да бъдат разпознати във всяко състояние =). Информирам новодошлите читатели, че моите уроци са ориентирани към практиката и следващият материал ще бъде представен в този дух. За по-пълна и академична информация, моля, вижте учебната литература. Отивам:

Няколко. Примери за набори

Множеството е фундаментално понятие не само за математиката, но и за целия заобикалящ свят. Вземете всеки предмет в ръката си точно сега. Тук имате комплект, състоящ се от един елемент.

В широк смисъл, множеството е колекция от обекти (елементи), които се разбират като едно цяло(според определени характеристики, критерии или обстоятелства). Освен това това са не само материални обекти, но и букви, цифри, теореми, мисли, емоции и т.н.

Наборите обикновено се обозначават с главни букви (по избор, с индекси: и т.н.), а елементите му са написани във фигурни скоби, например:

– много букви от руската азбука;
– набор от естествени числа;

Е, време е да се опознаем малко:
– много ученици на 1-ви ред

... радвам се да ви видя сериозните и съсредоточени лица =)

Комплектите са финал(състоящ се от краен брой елементи), а наборът е пример безкраенмножества. Освен това, т.нар празен комплект:

– множество, в което няма нито един елемент.

Примерът ви е добре известен - комплектът в изпита често е празен =)

Членството на елемент в набор се обозначава със символа, например:

– буквата „бе“ принадлежи към много букви от руската азбука;
- буква "бета" Непринадлежи към много букви от руската азбука;
– числото 5 принадлежи към множеството на естествените числа;
– но числото 5,5 вече го няма;
– Волдемар не седи на първия ред (и освен това не принадлежи към множеството или =)).

В абстрактната и не много алгебра елементите на множеството се означават с малки латински букви и съответно фактът на собственост е формализиран в следния стил:

– елементът принадлежи на множеството.

Горните набори са написани директен трансферелементи, но това не е единственият начин. Удобно е да се дефинират много набори, като се използват някои знак (с), което е присъщо всички негови елементи. Например:

– множеството от всички естествени числа, по-малки от сто.

Помня: дълга вертикална пръчка изразява глагола „който“, „такъв, който“. Доста често вместо това се използва двоеточие: - нека прочетем записа по-официално: „множеството от елементи, принадлежащи на множеството от естествени числа, такова, че » . Много добре!

Този набор може да бъде записан и чрез директно изброяване:

Още примери:
– и ако има доста студенти на 1-ви ред, тогава такъв запис е много по-удобен, отколкото директното им изброяване.

– набор от числа, принадлежащи на сегмента . Моля, имайте предвид, че това означава множество валиденчисла (повече за тях по-късно), които вече не могат да бъдат изброени разделени със запетаи.

Трябва да се отбележи, че не е необходимо елементите на набора да бъдат „хомогенни“ или логически свързани помежду си. Вземете голяма чанта и започнете произволно да поставяте различни предмети в нея. В това няма закономерност, но въпреки това говорим за различни теми. Образно казано, комплектът е отделен „пакет“, в който „по волята на съдбата“ е попаднала определена колекция от предмети.

Подмножества

Почти всичко е ясно от самото име: комплект е подмножествомножество, ако всеки елемент от множеството принадлежи на множеството. С други думи, множеството се съдържа в множеството:

Иконата се нарича икона включване.

Нека се върнем към примера, в който това е набор от букви от руската азбука. Нека означим с – множеството от неговите гласни. Тогава:

Можете също така да изберете подмножество от съгласни букви и, като цяло, произволно подмножество, състоящо се от произволен брой произволно (или неслучайно) взети кирилски букви. По-специално, всяка буква на кирилица е подмножество от множеството.

Удобно е да се изобразят връзките между подмножествата с помощта на конвенционална геометрична диаграма, наречена кръгове на Ойлер.

Нека е множеството от студенти в 1-ви ред, е множеството от студенти в групата и е множеството от студенти. Тогава връзката на включване може да бъде изобразена по следния начин:

Наборът от студенти от друг университет трябва да бъде изобразен като кръг, който не пресича външния кръг; много студенти на страната - кръг, който съдържа и двата кръга и т.н.

Виждаме типичен пример за включвания, когато разглеждаме числови множества. Нека повторим училищния материал, който е важно да имате предвид, когато изучавате висша математика:

Набори от числа

Както знаете, исторически първите се появиха естествени числа, предназначени за броене на материални обекти (хора, пилета, овце, монети и др.). Този набор вече е срещан в статията, единственото нещо е, че сега леко променяме неговото обозначение. Факт е, че числовите набори обикновено се обозначават с удебелени, стилизирани или дебели букви. Предпочитам да използвам удебелен шрифт:

Понякога нулата е включена в набора от естествени числа.

Ако добавим същите числа с противоположен знак и нула към множеството, получаваме набор от цели числа:

Новатори и мързеливи хора записват елементите му с икони "плюс минус":))

Съвсем ясно е, че множеството от естествени числа е подмножество от множеството от цели числа:
– тъй като всеки елемент от множеството принадлежи на множеството. Така всяко естествено число може безопасно да се нарече цяло число.

Името на набора също е „показателно“: цели числа – това означава, че няма дроби.

И тъй като те са цели числа, нека веднага да си припомним важните знаци за тяхната делимост на 2, 3, 4, 5 и 10, които ще се изискват в практическите изчисления почти всеки ден:

Цяло число се дели на 2 без остатък, ако завършва на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. всяка четна цифра). Например числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – дели се на 2 без остатък.

И нека веднага да разгледаме знака „свързани“: цяло числоделимо на 4, ако число, съставено от последните му две цифри (в реда, в който се появяват)делимо на 4.

400 – дели се на 4 (тъй като 00 (нула) се дели на 4);
-1502 – не се дели на 4 (тъй като 02 (две) не се дели на 4);
-24, разбира се, се дели на 4;
66996 – дели се на 4 (тъй като 96 се дели на 4);
818 – не се дели на 4 (тъй като 18 не се дели на 4).

Направете сами проста обосновка на този факт.

Делимост на 3 е малко по-трудна: цяло число се дели на 3 без остатък ако сумата от цифрите, включени в негоделимо на 3.

Нека проверим дали числото 27901 се дели на 3. За да направите това, сумирайте цифрите му:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не се дели на 3
Извод: 27901 не се дели на 3.

Нека обобщим цифрите на -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – дели се на 3
Извод: числото -825432 се дели на 3

Цяло число, делимо на 5, ако завършва с пет или нула:
775, -2390 – делимо на 5

Цяло число, делимо на 10ако завършва на нула:
798400 – дели се на 10 (и очевидно със 100). Е, вероятно всички си спомнят, че за да разделите на 10, просто трябва да премахнете една нула: 79840

Има и знаци за делимост на 6, 8, 9, 11 и т.н., но практически няма практическа полза от тях =)

Трябва да се отбележи, че изброените признаци (на пръв поглед толкова прости) са строго доказани в теория на числата. Този раздел от алгебрата като цяло е доста интересен, но теоремите му... са точно като съвременна китайска екзекуция =) И това беше достатъчно за Волдемар на последното бюро... но няма страшно, скоро ще правим животворно физическо упражнения =)

Следващият числов набор е набор от рационални числа:
– тоест всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цяло число числители естествено знаменател.

Очевидно наборът от цели числа е подмножествонабор от рационални числа:

И всъщност всяко цяло число може да бъде представено като рационална дроб, например: и т.н. По този начин едно цяло число може съвсем законно да се нарече рационално число.

Характерна „идентифицираща“ черта на рационалното число е фактът, че при разделянето на числителя на знаменателя резултатът е или
– цяло число,

или
– финалдесетична,

или
- безкраен периодичендесетичен знак (повторението може да не започне веднага).

Насладете се на разделението и се опитайте да правите това действие възможно най-малко! В организационната статия Висша математика за манекении в други уроци многократно съм повтарял, повтарям и ще повтарям тази мантра:

IN висша математикаНие се стремим да извършваме всички действия в обикновени (правилни и неправилни) дроби

Съгласете се, че работата с дроб е много по-удобна, отколкото с десетичното число 0,375 (да не говорим за безкрайни дроби).

Да продължим. В допълнение към рационалните числа има много ирационални числа, всяко от които може да бъде представено като безкрайно НЕПЕРИОДИЧЕН десетичен знак. С други думи, няма модел в „безкрайните опашки“ на ирационалните числа:
(„годината на раждане на Лев Толстой“ два пъти)
и т.н.

Има много информация за известните константи „pi” и „e”, така че няма да се спирам на тях.

Комбинацията от рационални и ирационални числа образува набор от реални числа:

– икона асоциациикомплекти.

Геометричната интерпретация на набор ви е позната - това е числовата линия:

Всяко реално число отговаря на определена точка от числовата ос и обратно – всяка точка от числовата ос задължително отговаря на определено реално число. По същество вече формулирах свойство на непрекъснатостреални числа, което, въпреки че изглежда очевидно, е строго доказано в хода на математическия анализ.

Числовата линия също се обозначава с безкраен интервал, а нотацията или еквивалентна нотация символизира факта, че тя принадлежи към набора от реални числа (или просто "x" е реално число).

С вгражданията всичко е прозрачно: множеството от рационални числа е подмножествонабори от реални числа:
, следователно всяко рационално число може безопасно да се нарече реално число.

Много ирационални числа също са подмножествореални числа:

В същото време подмножества и не се пресичат- тоест нито едно ирационално число не може да бъде представено като рационална дроб.

Има ли други бройни системи? съществувам! това е например комплексни числа, с които препоръчвам да се запознаете буквално в следващите дни или дори часове.

Междувременно преминаваме към изучаване на операции върху множества, чийто дух вече се материализира в края на този раздел:

Действия върху комплекти. Диаграми на Вен

Диаграмите на Вен (подобни на кръговете на Ойлер) са схематично представяне на действия с множества. Отново ви предупреждавам, че няма да взема предвид всички операции:

1) Пресечна точка Ии се обозначава с иконата

Пресечната точка на множества е множество, всеки елемент от което принадлежи на Имного, Иза мнозина. Грубо казано, пресичането е общата част на множествата:

Така например за комплекти:

Ако множествата нямат еднакви елементи, то тяхното пресичане е празно. Току-що попаднахме на този пример, когато разглеждахме числови набори:

Наборите от рационални и ирационални числа могат да бъдат схематично представени с две несвързани окръжности.

Операцията на пресичане е приложима и за повече количествокомплекти, особено в Уикипедия има добър пример за пресичане на набори от букви от три азбуки.

2) Асоциациямножествата се характеризират с логическа връзка ИЛИи се обозначава с иконата

Обединение на множества е множество, всеки елемент от което принадлежи на множеството илиза мнозина:

Нека напишем обединението на множества:
– грубо казано, тук трябва да изброите всички елементи на множествата и , и същите елементи (в този случай единицата е в пресечната точка на множества)трябва да се посочи веднъж.

Но множествата, разбира се, може да не се пресичат, както е в случая с рационалните и ирационалните числа:

В този случай можете да нарисувате два непресичащи се защриховани кръга.

Операцията за обединение е приложима и за по-голям брой множества, например, ако , тогава:

В този случай не е необходимо числата да са подредени във възходящ ред. (Направих това чисто от естетически причини). Без повече шум, резултатът може да бъде написан така:

3) По разлика Ине принадлежи към комплекта:

Разликата се чете по следния начин: „a без be“. И можете да разсъждавате по абсолютно същия начин: разгледайте множествата. За да запишете разликата, трябва да „изхвърлите“ от комплекта всички елементи, които са в комплекта:

Пример с набори от числа:
– тук всички естествени числа са изключени от набора от цели числа, а самият запис гласи така: „набор от цели числа без набор от естествени числа“.

огледално: разликамножества и се наричат множество, всеки елемент от което принадлежи на множеството Ине принадлежи към комплекта:

За същите комплекти
– това, което е в комплекта, се „изхвърля“ от комплекта.

Но тази разлика се оказва празна: . И всъщност, ако изключите цели числа от набора от естествени числа, тогава всъщност няма да остане нищо :)

Освен това понякога се счита симетриченразлика, която обединява двата „полумесеца“:
– с други думи, това е „всичко освен пресечната точка на множества“.

4) Декартово (пряко) произведениемножества и се нарича множество всеки поръчандвойки в кой елемент и елемент

Нека запишем декартовото произведение на множествата:
– удобно е да се изброят двойки, като се използва следният алгоритъм: „първо последователно прикрепяме всеки елемент от множеството към 1-вия елемент от множеството, след това прикачваме всеки елемент от множеството към 2-рия елемент от множеството, след което прикрепяме всеки елемент от множеството към 3-тия елемент от множеството”:

огледално: Декартов продуктмножества и множеството на всички се нарича поръчандвойки, в които В нашия пример:
– тук схемата за запис е подобна: първо добавяме последователно всички елементи от множеството към „минус едно“, след това към „de“ добавяме същите елементи:

Но това е само за удобство - и в двата случая двойките могат да бъдат изброени в произволен ред - важно е да запишете тук всичковъзможни двойки.

И сега акцентът на програмата: декартовият продукт не е нищо повече от набор от точки на нашия роден Декартова координатна система .

Упражнениеза самозакрепване на материала:

Извършвайте операции, ако:

Няколко Удобно е да се опише чрез изброяване на елементите му.

И малко нещо с интервали от реални числа:

Нека ви напомня, че квадратната скоба означава включванечислата в интервала, а кръглото - неговото невключване, тоест „минус едно“ принадлежи на множеството, а „три“ Непринадлежи към комплекта. Опитайте се да намерите какъв е декартовият продукт на тези множества. Ако имате затруднения, следвайте чертежа ;)

Кратко решение на задачата в края на урока.

Показване на комплекти

Дисплеймного в много е правило, според който всеки елемент от множеството е свързан с елемент (или елементи) от множеството. В случай, че кореспонденцията се осъществи единственияелемент, тогава това правило се извиква ясно определенифункция или просто функция.

Функцията, както много хора знаят, най-често се обозначава с буква - тя поставя в кореспонденция за всекиелементът има една стойност, принадлежаща на множеството.

Е, сега отново ще безпокоя много ученици от 1-ви ред и ще им предложа 6 теми за есета (много):

Инсталиран (доброволно или принудително =))Правилото присвоява на всеки ученик от групата една тема от есето на групата.

...и вероятно дори не сте могли да си представите, че ще играете ролята на аргумент на функция =) =)

Елементите на зададената форма домейнфункции (означени с ), а елементите на множеството са диапазонфункции (означени с ).

Конструираното картографиране на множества има много важна характеристика: то е едно към едноили биективно(биекция). IN в този примерозначава, че за всекиученикът е съпоставен един уникалентема на есето и обратно - за всекиТемата на есето се възлага на един и само един ученик.

Не бива обаче да се мисли, че всяко преобразуване е биективно. Ако добавите 7-ми ученик към 1-ви ред (към набора), тогава кореспонденцията едно към едно ще изчезне - или един от учениците ще остане без тема (изобщо няма да има дисплей), или някоя тема ще отиде при двама студенти наведнъж. Обратната ситуация: ако към набора се добави седма тема, тогава съпоставянето едно към едно също ще бъде загубено - една от темите ще остане непотърсена.

Уважаеми студенти на 1-ви ред, не се разстройвайте - останалите 20 души след часовете ще отидат да почистят територията на университета от есенна зеленина. Пазачът ще раздаде двадесет голика, след което ще се установи кореспонденция едно към едно между основната част от групата и метлите ..., а Волдемар също ще има време да изтича до магазина =)). зоната на дефиниция съответства на неговата собствена единствен по рода си“y”, и обратно – за всяка стойност на “y” можем недвусмислено да възстановим “x”. Така че това е биективна функция.

! За всеки случай ще премахна всяко евентуално недоразумение: постоянната ми резерва относно обхвата на дефиницията не е случайна! Една функция може да не е дефинирана за всички „X“ и освен това може да бъде едно към едно и в този случай. Типичен пример:

Но при квадратична функциянищо подобно не се наблюдава, първо:
- това е, различни значения"x" се появи в един и същкоето означава "ура"; и второ: ако някой е изчислил стойността на функцията и ни е казал, че , тогава не е ясно дали това „y“ е получено при или при ? Излишно е да казвам, че тук няма дори намек за взаимна недвусмисленост.

Задача 2: изглед графики на основни елементарни функциии запишете биективните функции на лист хартия. Контролен списък в края на този урок.

Сила на комплекта

Интуицията подсказва, че терминът характеризира размера на набора, а именно броя на неговите елементи. И интуицията ни не ни лъже!

Мощността на празно множество е нула.

Мощността на набора е шест.

Силата на набора от букви на руската азбука е тридесет и три.

И като цяло - силата на всяка финална множество е равно на броя на елементите на дадено множество.

...може би не всички разбират напълно какво е това финалмножество – ако започнете да броите елементите на това множество, рано или късно броенето ще приключи. Както се казва, китайците в крайна сметка ще свършат.

Разбира се, множествата могат да бъдат сравнявани по отношение на кардиналността и тяхното равенство в този смисъл се нарича еднаква мощност. Еквивалентността се определя, както следва:

Две множества са с еднаква мощност, ако между тях може да се установи едно-към-едно съответствие.

Наборът от ученици е еквивалентен на набора от теми за есе, наборът от букви на руската азбука е еквивалентен на всеки набор от 33 елемента и т.н. Забележете какво точно всекинабор от 33 елемента - в случая има значение само техният брой. Буквите на руската азбука могат да се сравняват не само с много числа
1, 2, 3, …, 32, 33, но обикновено със стадо от 33 крави.

Ситуацията с безкрайните множества е много по-интересна. Безкрайностите също са различни! ...зелено и червено Най-малките безкрайни множества са броенемножества. Много просто, елементите на такъв набор могат да бъдат номерирани. Референтният пример е набор от естествени числа . Да – безкраен е, но всеки негов елемент по ПРИНЦИП си има номер.

Има много примери. По-специално, множеството от всички четни естествени числа е изброимо. Как да докажа това? Трябва да установите съответствието му едно към едно с множеството от естествени числа или просто да номерирате елементите:

Установено е съответствие едно към едно, следователно множествата са с еднаква мощност и множеството е изброимо. Парадоксално, но от гледна точка на степента има толкова четни естествени числа, колкото и естествени числа!

Множеството от цели числа също е изброимо. Неговите елементи могат да бъдат номерирани, например, така:

Освен това множеството от рационални числа също е изброимо . Тъй като числителят е цяло число (и те, както току-що беше показано, могат да бъдат номерирани), а знаменателят е естествено число, тогава рано или късно ще „стигнем“ до всяка рационална дроб и ще й присвоим число.

Но наборът от реални числа вече е такъв неизброим, т.е. неговите елементи не могат да бъдат номерирани. Този факт, макар и очевиден, е строго доказан в теорията на множествата. Мощността на множеството от реални числа също се нарича континууми в сравнение с изброимите множества това е „по-безкрайно“ множество.

Тъй като има взаимно еднозначно съответствие между множеството и числовата линия (виж по-горе), тогава наборът от точки на числовата ос също е неизброим. И нещо повече, има еднакъв брой точки както на километричния, така и на милиметровия сегмент! Класически пример:

Чрез въртене на лъча обратно на часовниковата стрелка, докато се изравни с лъча, ние ще установим едно към едно съответствие между точките на сините сегменти. По този начин има толкова точки на сегмента, колкото има на сегмента и !