Nem mindig tudunk antiderivatív függvényeket kiszámítani, de a differenciálási probléma bármelyik függvényre megoldható. Éppen ezért nincs egyetlen integrálási módszer, amely bármilyen típusú számításhoz használható lenne.

Ebben az anyagban példákat tekintünk meg a határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák megoldására, és megnézzük, hogy az egyes módszerek milyen típusú integrandusokra alkalmasak.

Közvetlen integrációs módszer

Az antiderivatív függvény kiszámításának fő módszere a közvetlen integráció. Ez a művelet a határozatlan integrál tulajdonságain alapul, és a számításokhoz szükségünk van egy antiderivált táblázatra. Más módszerek csak abban segíthetnek, hogy az eredeti integrál táblázatos formába kerüljön.

1. példa

Számítsd ki az f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 függvény antideriváltjainak halmazát!

Megoldás

Először változtassuk meg a függvény alakját a következőre: f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Tudjuk, hogy a függvényösszeg integrálja lesz egyenlő az összeggel ezen integrálok közül ez azt jelenti:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Levezetjük a numerikus együtthatót az integráljel mögött:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Az első integrál megtalálásához az antiderivatívek táblázatára kell hivatkoznunk. vesszük belőle a ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1 értéket

A második integrál megtalálásához szüksége lesz egy táblázatra az antiderivatívákról teljesítmény funkció∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , valamint a ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C szabály.

Ezért ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

A következőket kaptuk:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

ahol C = C 1 + 3 2 C 2

Válasz:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Külön cikket szenteltünk a közvetlen integrációnak az antiderivált táblázatok segítségével. Javasoljuk, hogy ismerkedjen meg vele.

Helyettesítő módszer

Ez az integrációs módszer abból áll, hogy az integrandust egy kifejezetten erre a célra bevezetett új változón keresztül fejezzük ki. Ennek eredményeként az integrál táblázatos alakját kell kapnunk, vagy egyszerűen egy kevésbé összetett integrált.

Ez a módszer nagyon hasznos, ha függvényeket kell integrálni gyökök ill trigonometrikus függvények.

2. példa

Értékelje a ∫ 1 x 2 x - 9 d x határozatlan integrált.

Megoldás

Adjunk hozzá még egy z = 2 x - 9 változót. Most x-et z-ben kell kifejeznünk:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Vegyük az antiderivált táblázatot, és megtudjuk, hogy 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Most vissza kell térnünk az x változóhoz, és meg kell kapnunk a választ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Válasz:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ha x m (a + b x n) p alakú irracionalitású függvényeket kell integrálnunk, ahol az m, n, p értékek racionális számok, akkor fontos, hogy helyesen állítsuk össze a kifejezést egy új változó bevezetéséhez. Erről bővebben az irracionális függvények integrálása című cikkben olvashat.

Mint fentebb említettük, a helyettesítési módszer kényelmesen használható, ha trigonometrikus függvényt kell integrálni. Például univerzális helyettesítés segítségével egy kifejezést tört racionális formára redukálhat.

Ez a módszer megmagyarázza a ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C integrációs szabályt.

Hozzáadunk még egy z = k x + b változót. A következőket kapjuk:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Most vesszük a kapott kifejezéseket, és hozzáadjuk a feltételben megadott integrálhoz:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ha elfogadjuk C 1 k = C-t és visszatérünk az eredeti x változóhoz, akkor a következőt kapjuk:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

A különbözeti jelre való feliratkozás módja

Ez a módszer az integrandus f (g (x)) d (g (x)) formájú függvényévé alakításán alapul. Ezek után egy új z = g (x) változó beiktatásával helyettesítést végzünk, keresünk neki egy antideriváltat és visszatérünk az eredeti változóhoz.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

A problémák gyorsabb megoldásához ezzel a módszerrel, tartson kéznél egy derivált táblázatot differenciálok formájában és egy antiderivált táblázatot, hogy megtalálja azt a kifejezést, amelyre az integrandust redukálni kell.

Elemezzünk egy problémát, amelyben ki kell számítanunk a kotangens függvény antideriváltjainak halmazát.

3. példa

Számítsa ki a ∫ c t g x d x határozatlan integrált!

Megoldás

Alakítsuk át az eredeti kifejezést az integrál alatt az alapvető trigonometrikus képletekkel.

c t g x d x = cos s d x sin x

Megnézzük a derivált táblázatot, és azt látjuk, hogy a számlálót a cos x d x = d (sin x) differenciáljel alá foglalhatjuk, ami azt jelenti:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, azaz. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Tegyük fel, hogy sin x = z, ebben az esetben ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Az antiderivatívok táblázata szerint ∫ d z z = ln z + C . Most térjünk vissza az eredeti ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C változóhoz.

A teljes megoldás röviden a következőképpen írható le:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Válasz: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

A különbségi jelre való feliratkozás módszerét nagyon gyakran használják a gyakorlatban, ezért javasoljuk, hogy olvasson el egy külön cikket.

Alkatrészenkénti integráció módja

Ez a módszer az integrandus f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)) formájú szorzattá alakításán alapul, amely után az ∫ u (x) d képlet ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Ez egy nagyon kényelmes és általános megoldási módszer kívánt eredményt.

Elemezzünk egy problémát, amelyben ki kell számítanunk az arctangens antideriváltjainak halmazát.

4. példa

Számítsa ki a ∫ a r c t g (2 x) d x határozatlan integrált!

Megoldás

Tegyük fel, hogy u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, ebben az esetben:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Amikor a v (x) függvény értékét kiszámítjuk, ne adjunk hozzá tetszőleges C állandót.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

A kapott integrált a differenciáljel összesítésének módszerével számítjuk ki.

Mivel ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , akkor 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Válasz:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Ennek a módszernek a használatában a fő nehézséget az jelenti, hogy ki kell választani, hogy melyik részt vegyük differenciálnak, és melyik részt u(x) függvénynek. A részenkénti integráció módszeréről szóló cikk néhány tanácsot ad ebben a kérdésben, amelyeket érdemes megismerni.

Ha meg kell találnunk egy tört-racionális függvény antideriváltjainak halmazát, akkor először az integrandust egyszerű törtek összegeként kell ábrázolnunk, majd az így kapott törteket integrálnunk kell. További információkért tekintse meg az egyszerű törtek integrálásáról szóló cikket.

Ha integrálunk egy sin 7 x · d x vagy d x (x 2 + a 2) 8 alakú hatványkifejezést, akkor hasznunkra válik az ismétlődési képletek, amelyek fokozatosan csökkenthetik a hatványt. Ezeket részenkénti szekvenciális ismétlődő integrációval származtatják. Javasoljuk, hogy olvassa el az „Integráció ismétlődési képletekkel” című cikket.

Foglaljuk össze. A problémák megoldásához nagyon fontos a közvetlen integráció módszerének ismerete. Más módszerek (helyettesítés, helyettesítés, részenkénti integráció) szintén lehetővé teszik az integrál egyszerűsítését és táblázatos formába hozását.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ez a módszer a következő képleten alapul: (*)

Hadd És - x függvényei, amelyek folytonos deriváltjai és .

Ismeretes, hogy vagy ; vagy .

Integrálok és , mivel feltétel szerint az u és a v függvények differenciálhatók, ezért folytonosak.

A (*) képletet részenkénti integrációs képletnek nevezzük.

Az alkalmazásán alapuló módszert részenkénti integráció módszerének nevezzük.

A számítást egy másik integrálra redukálja: .

A részekkel történő integrálás módszerének alkalmazása az, hogy egy adott integrál integrál kifejezését próbálják szorzat formájában ábrázolni, ahol és vannak x egyes függvényei, és ezeket a függvényeket úgy választjuk meg, hogy könnyebb volt kiszámítani, mint az eredeti integrált. Mikor a számításhoz megtalálni és .

("v"-ként a dv-ből talált eredeti antideriváltak egyikét vesszük, így a jövőben a "v" kiszámításakor elhagyjuk a C konstanst a jelölésből).

Megjegyzés. Amikor egy integrál kifejezést faktorokra oszt fel, ezt meg kell értenie, és tartalmaznia kell.

Sajnos nem lehet általános szabályokat adni egy integrál kifejezés „u” és „dv” faktorokra való felbontására. Sok és átgondolt gyakorlat megtanít erre.

Mindezek mellett észben kell tartani, hogy egyszerűbb volt, mint az eredeti integrál.

Példa 6.6.22.

Néha a végeredmény elérése érdekében többször egymás után alkalmazzák az alkatrészek szerinti integráció szabályát.

Az alkatrészenkénti integráció módszere természetesen nem kényelmes minden alkalommal, és a használat lehetősége a tapasztalatoktól függ.

Az integrálok számításakor fontos helyesen meghatározni, hogy melyik integrációs módszert kell alkalmazni (mint az előző példában, a trigonometrikus helyettesítés gyorsabban vezet a célhoz).

Tekintsük a leggyakoribb integrálokat, amelyeket részenkénti integrációval számítunk ki.

1.Az űrlap integráljai :

ahol egy egész szám (x-hez viszonyítva) polinom; a egy állandó szám.

Ha az integráljel alatt trigonometrikus ill exponenciális függvény algebrai, akkor az „u”-t általában algebrai függvénynek tekintik.

Példa6.6.23.

Vegye figyelembe, hogy egy másik bontás a tényezőkre: nem vezet a célhoz.

Bebizonyosodott
.

Kapjunk egy összetettebb integrált.

2.Az űrlap integráljai :

hol van egy polinom.

Ha az integráljel alatt egy függvény logaritmusának vagy egy inverz trigonometrikus függvénynek és egy algebrainak a szorzata van, akkor a függvényeket „u”-nak kell venni.

Példa6.6.23.

3.Az űrlap integráljai:

Itt használhatja az integrál kifejezés 2 lehetséges faktorokra bontásának bármelyikét: az „u”-hoz használhatja mind a , mind a .

Ezen túlmenően, az ilyen integrálok kiszámítása a részenkénti integráció módszerével az eredeti integrálhoz vezet, azaz egy egyenletet kapunk a kívánt integrálhoz képest.

Példa 6.6.24.Számítsa ki .

.

Az integrálásnál gyakran szükséges a helyettesítési módszer és az alkatrészek szerinti integrálás módszerének egymás utáni alkalmazása.

6.6.25. példa.

Néhány másodfokú trinomot tartalmazó függvény integrálása

1)

.

ezek pedig táblaintegrálok.

2) valós szám együtthatók

a számlálóban kiválasztjuk a nevező deriváltját.

a,b,c – valós számok

A) ; akkor nálunk van:

b) . Ebben az esetben csak akkor van értelme figyelembe venni, ha a diszkrimináns háromtagú pozitív:

Most nálunk van:

Megjegyzés. A gyakorlatban általában nem használnak kész eredményeket, hanem inkább elvégzik hasonló számításokújra.

Példa.

4)

Alakítsuk át a számlálót úgy, hogy a deriváltot kinyerhessük belőle másodfokú trinomikus:

Tekintettel arra, hogy a gyakorlatban nem létezik kényelmes általános módszer a határozatlan integrálok kiszámítására, az egyes integrálási módszerek mellett (lásd az előző előadást) figyelembe kell venni bizonyos függvényosztályok integrálásának módszereit is, az integrálok integrálását. amelyekkel a gyakorlatban gyakran találkozunk.

Közülük a legfontosabb osztály a racionális függvények osztálya.

"Integráció tört racionális függvények»

A megfelelő racionális tört integrálása egy racionális tört elemi törtek összegére történő felbontásán alapul.

Elemi (legegyszerűbb) törtek és integrációjuk.

Meghatározás. A forma töredékei: ; (1)

(2), hol

(vagyis a trinomiális gyökei összetettek) eleminek nevezzük.

Tekintsük az elemi törtek integrálását

2)

(hol hagyjuk).

Számítsuk ki az integrált

(*)

Az utolsó integrál kiszámítása egy ismétlődési képlet segítségével történik.

Néha a részenkénti integráció lehetővé teszi, hogy összefüggést kapjunk egy bizonyos függvény fokát tartalmazó határozatlan integrál és egy hasonló, de ugyanazon függvény kisebb fokával rendelkező integrál között. Az ilyen összefüggéseket ismétlődő formuláknak nevezzük.

Jelöljük azzal .

Nekünk van:

Az utolsó integrálba beletesszük:

Ezért

ahol

Így egy ismétlődő képlethez érkeztünk: ennek ismételt alkalmazása végül egy „táblázatos” integrálhoz vezet:

Ekkor „t” és „k” helyett ezek értékét helyettesítjük.

Példa6.6.26.

(az ismétlődési képlet szerint).=

.

A racionális tört alakban reprezentálható függvény ; ahol és valós együtthatójú polinomok.

A racionális törtet akkor nevezzük megfelelőnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka.

Minden megfelelő racionális tört véges számú elemi tört összegeként ábrázolható.

A megfelelő tört elemire bontását a következő tétel határozza meg, amelyet bizonyítás nélkül fogunk figyelembe venni.

Tétel . Ha a tört helyes és , (ahol a trinomiálisnak nincs valódi gyökere), akkor az azonosság teljesül:

(ÉN)

Vegye figyelembe, hogy mindenki igazi gyökér Például a, a polinom " " multiplicitása ebben a bővítésben az (1) alak elemi törteinek összegének felel meg, és minden egyes összetett konjugált gyökpár és (olyan, hogy ) a multiplicitás " " - az elemi elemek összege. a forma töredékei (2).

Az (I) bővítés végrehajtásához meg kell tanulnia az együtthatók meghatározását .

Létezik különböző módokon helyüket. Megnézzük a meghatározatlan együtthatók módszerét és a parciális értékek módszerét.

Legyenek U(x) és V(x) differenciálható függvények. Ekkor d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Ezért U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Az utolsó egyenlőség mindkét oldalának integrálját kiszámítva, figyelembe véve, hogy ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, megkapjuk az összefüggést

Alkatrészenkénti integrációnak nevezik. Ez abban az értelemben értendő, hogy a bal oldalon lévő antiderivatívek halmaza egybeesik a jobb oldalról kapott antiderivált készlettel.

A részenkénti integráció módszerének alkalmazása

Bizonyos mennyiségek megtalálásának sajátosságai miatt a részenkénti integrálási képletet nagyon gyakran alkalmazzák a következő problémáknál:

1. Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása. Képlet a megtaláláshoz matematikai elvárásés a diszperzió folyamatos valószínűségi változó két tényezőt tartalmaz: x polinomiális függvényét és az f(x) eloszlássűrűséget.
2. Fourier-soros bővítés. Felbontáskor meg kell határozni az együtthatókat, amelyeket az f(x) függvény és a cos(x) vagy sin(x) trigonometrikus függvény szorzatának integrálásával kapunk.

Tipikus bontások részenként

A részenkénti integrálási képlet használatakor sikeresen kell kiválasztani az U és dV értékeket, hogy a képlet jobb oldalán kapott integrált könnyebben megtaláljuk. Tegyük az első példába U=e x , dV=xdx. Ekkor dU=e x dx , és Nem valószínű, hogy a ∫ x 2 e x dx integrál egyszerűbbnek tekinthető, mint az eredeti.
Néha többször is alkalmazni kell a részek képletével történő integrálást, például a ∫ x 2 sin(x)dx integrál kiszámításakor.

A ∫ e ax cos(bx)dx és ∫ e ax sin(bx)dx integrálokat ún. ciklikusés a részenkénti integráció képlettel számítják ki kétszer.

1. számú példa. Számítsa ki ∫ xe x dx .
Tegyük fel U=x, dV=e x dx. Ekkor dU=dx , V=e x . Ezért ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

2. példa. Számítsa ki ∫ xcos(x)dx .
Feltételezzük, hogy U=x, dV=cos(x)dx. Ekkor dU=dx, V=sin(x) és ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

3. példa. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Megoldás:

Válasz: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Bemutatunk egy módszert a határozatlan integrál részenkénti integrálására. Példák az ezzel a módszerrel számított integrálokra. A megoldásokra példákat tárgyalunk.

Tartalom

Lásd még: Határozatlan integrálok számítási módszerei
Határozatlan integrálok táblázata
Alapvető elemi függvények és tulajdonságaik

Az alkatrészek szerinti integrálási képlet így néz ki:
.

A részenkénti integráció módszere ennek a képletnek az alkalmazásából áll. Nál nél praktikus alkalmazásÉrdemes megjegyezni, hogy u és v az integrációs változó függvényei. Jelöljük az integrációs változót x-nek (az integráljelölés végén a d differenciáljel utáni szimbólum). Ekkor u és v x függvényei: u(x) és v(x) .
Akkor
, .
Az alkatrészek szerinti integráció képlete a következő:
.

Vagyis az integrand függvénynek két függvény szorzatából kell állnia:
,
amelyek közül az egyiket u-val jelöljük: g(x) = u, a másikhoz pedig az integrált kell kiszámítani (pontosabban meg kell találni az antiderivált):
, akkor dv = f(x) dx .

Egyes esetekben f(x) = 1 . Vagyis az integrálban
,
feltehetjük g(x) = u, x = v.

Összegzés

Tehát ebben a módszerben a részenkénti integráció képletét meg kell jegyezni, és két formában kell alkalmazni:
;
.

A részek szerinti integrálással számított integrálok

Logaritmusokat és inverz trigonometrikus (hiperbolikus) függvényeket tartalmazó integrálok

A logaritmusokat és inverz trigonometrikus vagy hiperbolikus függvényeket tartalmazó integrálokat gyakran részenként integrálják. Ebben az esetben a logaritmus vagy inverz trigonometrikus (hiperbolikus) függvényeket tartalmazó részt u-val, a fennmaradó részt dv-vel jelöljük.

Példák az ilyen integrálokra, amelyeket a részenkénti integráció módszerével számítanak ki:
, , , , , , .

Polinom és sin x, cos x vagy e x szorzatát tartalmazó integrálok

A részenkénti integráció képlet használatával az űrlap integráljai találhatók:
, , ,
ahol P(x) egy polinom x-ben. Integráláskor a P(x) polinomot u jelöli, és e ax dx, cos ax dx vagy sin ax dx- dv-n keresztül.

Íme néhány példa az ilyen integrálokra:
, , .

Példák integrálszámításra a részenkénti integrálás módszerével

Példák logaritmusokat és inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó integrálokra

Példa

Számítsa ki az integrált:

Részletes megoldás

Itt az integrandus tartalmaz egy logaritmust. Helyettesítések végrehajtása
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Akkor
,
.

Kiszámoljuk a maradék integrált:
.
Akkor
.
A számítások végén hozzá kell adni a C állandót, mivel a határozatlan integrál az összes antiderivált halmaza. A közbenső számításoknál is hozzá lehetne adni, de ez csak összezavarná a számításokat.

Rövidebb megoldás

A megoldást rövidebb változatban is bemutathatja. Ehhez nem kell u-val és v-vel helyettesíteni, hanem csoportosíthatjuk a tényezőket, és a második formában alkalmazhatjuk a részenkénti integrációt.

.

Egyéb példák

Példák egy polinom és sin x, cos x vagy ex szorzatát tartalmazó integrálokra

Példa

Számítsa ki az integrált:
.

Vezessük be a differenciáljel alatti kitevőt:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Integráljuk részenként.
.
Alkalmazzuk az alkatrészenkénti integráció módszerét is.
.
.
.
Végre megvan.

Az antiderivatív és határozatlan integrál fogalma. Tétel az antideriváltak gyűjteményéről. A határozatlan integrál tulajdonságai. Integrálok táblázata.

Az F(x) függvényt az f(x) függvény antideriváltjának nevezzük egy adott intervallumon, ha az F(x) függvény folytonos ezen az intervallumon, és minden belső pont intervallumra a következő egyenlőség érvényes: F’(x) = f(x)

1. tétel. Ha egy F(x) függvénynek van F(x) antideriváltja egy intervallumon, akkor az összes F(x)+C formájú függvény antideriváltja lesz ugyanabban az intervallumban. Fordítva, az y = f(x) függvény bármely Ф(x) antiderivatívája ábrázolható Ф(x) = F(x)+C-ként, ahol F(x) az egyik antiderivatív függvény, C pedig egy tetszőleges. állandó.

Bizonyíték:

Az antiderivált definíciója szerint F’(x) = f(x). Figyelembe véve, hogy az állandó deriváltja nulla, megkapjuk

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Ez azt jelenti, hogy F(x)+C az y = f(x) antideriváltja. Mutassuk meg most, hogy ha az y = f(x) függvény adott egy bizonyos intervallumon, és F(x) az egyik antideriváltja. , akkor Ф (x) így ábrázolható

Valójában az antiderivatív definíciója alapján rendelkezünk

Ф'(x) = F(x)+C és F'(x) = f(x).

De két függvény, amelynek egy intervallumon egyenlő deriváltja van, csak konstans taggal különbözik egymástól. Ez azt jelenti, hogy Ф(x) = F(x)+C, amit bizonyítani kellett.

Meghatározás.

Az y = f(x) függvény összes antideriváltjának halmazát egy adott intervallumon a függvény határozatlan integráljának nevezzük, és ∫f(x)dx = F(x)+C.

Az f(x) függvényt integrandusnak, az f(x)*dx szorzatot pedig integrandusnak nevezzük.

Gyakran mondják: „vegyük a határozatlan integrált” vagy „számítsuk ki a határozatlan integrált”, ami ez alatt a következőt jelenti: keresse meg az összes antiderivált halmazát az integrandus számára,

A határozatlan integrál tulajdonságai

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Integrálok táblázata

Integrálás helyettesítéssel és részenként a határozatlan integrálban.

Integrációs módszer helyettesítéssel egy új integrációs változó (azaz helyettesítés) bevezetéséből áll. Ebben az esetben az adott integrál egy új integrállá redukálódik, amely táblázatos vagy rá redukálható ("sikeres" helyettesítés esetén). Gyakori módszerek nincs kiválasztva a helyettesítések.

Legyen szükséges az ∫f(x)dx integrál kiszámítása. Tegyük meg az x =φ(t) behelyettesítést, ahol φ(t) olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van. Ekkor dx=φ"(t) dt és a határozatlan integrál integrálási képletének invariancia tulajdonsága alapján megkapjuk az integrációs képletet a ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Ezt a képletet a határozatlan integrálban lévő helyettesítési formula változóknak is nevezik. Miután megtaláltuk ennek az egyenlőségnek a jobb oldalának integrálját, az új t integrációs változóról vissza kell térnünk az x változóra.

Alkatrészenkénti integráció módja

Legyenek u=u(x) és ν=v(x) olyan függvények, amelyeknek folytonos deriváltjai vannak. Ekkor d(uv)=u dv+v du.

Ezt az egyenlőséget integrálva ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu vagy

∫udv =uv - ∫vdu

Az így kapott képletet részenkénti integrációs képletnek nevezzük. Lehetővé teszi az ∫udv integrál kiszámítását a ∫vdu integrál kiszámítására, ami lényegesen egyszerűbbnek bizonyulhat, mint az eredeti.

Hasonló cikkek