Görbevonalas integrál fogalma és példák megoldásokra. Zárt hurkú integrál, Green-képlet, példák

Arra az esetre, amikor az integráció tartománya egy bizonyos görbe egy síkban fekvő szakasza. A vonalintegrál általános jelölése a következő:

Ahol f(x, y) két változó függvénye, és L- görbe, egy szakasz mentén AB mely integráció megy végbe. Ha az integrandus egyenlő eggyel, akkor az egyenes integrál hosszával egyenlőív AB .

Mint az integrálszámításban mindig, a vonalintegrál alatt egy nagyon nagy dolog néhány nagyon kicsi része integrálösszegének határát értjük. Mit foglalunk össze görbe vonalú integrálok esetén?

Legyen egy szakasz a síkon AB valami görbe L, és két változó függvénye f(x, y) a görbe pontjain határozzuk meg L. Végezzük el a következő algoritmust a görbe ezen szegmensével.

Osztott görbe AB pontokkal ellátott részekre (képek lent).
Szabadon válasszon ki egy pontot minden részben M.
Keresse meg a függvény értékét a kiválasztott pontokban.
A függvényértékek szoroznak
- az alkatrészek hossza a tokban az első típusú görbe vonalú integrál ;
- részek vetületei a koordinátatengelyre az esetben a második típusú görbe vonalú integrál .
Keresse meg az összes termék összegét.
Határozzuk meg a talált integrálösszeg határát, feltéve, hogy a görbe leghosszabb részének hossza nullára hajlik.

Ha az említett határ létezik, akkor ez az integrálösszeg határa, és a függvény görbe vonalú integráljának nevezzük f(x, y) a görbe mentén AB .

első fajta

Görbevonalas integrál esete
második fajta

Vezessük be a következő jelölést.

Mén ( ζ én; η én)- egy pont az egyes helyszíneken kiválasztott koordinátákkal.

fén ( ζ én; η én)- függvény értéke f(x, y) a kiválasztott ponton.

Δ sén- egy görbeszakasz egy részének hossza (első típusú görbe vonalú integrál esetén).

Δ xén- a görbe szakasz egy részének a tengelyre vetítése Ökör(második típusú görbevonalú integrál esetén).

d= maxΔ sén- a görbeszakasz leghosszabb részének hossza.

Az első típusú görbe integrálok

Az integrálösszegek határára vonatkozó fentiek alapján az első típusú sorintegrált a következőképpen írjuk fel:

Görbe integrál az első típus minden tulajdonságával rendelkezik határozott integrál. Van azonban egy lényeges különbség. Határozott integrál esetén, ha az integráció határait felcseréljük, az előjel az ellenkezőjére változik:

Az első típusú görbe vonalú integrál esetén nem mindegy, hogy a görbe melyik pontja AB (A vagy B) tekinthető a szegmens kezdetének, és melyik a vége, vagyis

Második típusú görbe integrálok

Az integrálösszegek határáról elmondottak alapján egy második típusú görbe vonalú integrált a következőképpen írunk fel:

Második típusú görbe vonalú integrál esetén, amikor egy görbeszakasz elejét és végét felcseréljük, az integrál előjele megváltozik:

Második típusú görbe vonalú integrál integrálösszegének összeállításakor a függvény értékei fén ( ζ én; η én) megszorozható egy görbeszakasz részeinek a tengelyre vetítésével is Oy. Ezután megkapjuk az integrált

A gyakorlatban általában a második típusú görbe vonalú integrálok unióját használják, azaz két függvényt. f = P(x, y) És f = K(x, y) és integrálok

és ezen integrálok összege

hívott a második típusú általános görbe integrál .

Az első típusú görbe vonalú integrálok számítása

Az első típusú görbe vonalú integrálok számítása a határozott integrálok számítására redukálódik. Vegyünk két esetet.

Legyen adott egy görbe a síkon y = y(x) és egy görbeszegmens AB változó változásának felel meg x tól től a előtt b. Ezután a görbe pontjaiban az integránsfüggvény f(x, y) = f(x, y(x)) ("Y"-t "X"-en keresztül kell kifejezni), és az ív különbsége a sorintegrál pedig a képlet segítségével számítható ki

Ha az integrált könnyebb átintegrálni y, akkor a görbe egyenletéből kell kifejeznünk x = x(y) ("x" - "y"), ahol a képlet segítségével számítjuk ki az integrált

1. példa

Ahol AB- pontok közötti egyenes szakasz A(1; −1) és B(2; 1) .

Megoldás. Készítsünk egyenletet egy egyenesről AB, a képlet segítségével (két adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x1 ; y 1 ) És B(x2 ; y 2 ) ):

Az egyenes egyenletből fejezzük ki y keresztül x :

Akkor és most is ki tudjuk számolni az integrált, hiszen már csak „X”-ünk maradt:

Legyen adott egy görbe a térben

Ezután a görbe pontjain a függvényt a paraméteren keresztül kell kifejezni t() és ívdifferenciál , ezért a görbe integrált a képlet segítségével számíthatjuk ki

Hasonlóképpen, ha egy görbe adott a síkon

akkor a görbe integrált a képlet számítja ki

2. példa Vonalintegrál kiszámítása

Ahol L- egy körvonal része

első oktánsában található.

Megoldás. Ez a görbe a síkban elhelyezkedő körvonal negyede z= 3. Ez megfelel a paraméterértékeknek. Mert

majd az ívkülönbség

Adjuk meg a paraméteren keresztül az integrand függvényt t :

Most, hogy mindent egy paraméteren keresztül fejeztünk ki t, ennek a görbevonalas integrálnak a kiszámítását egy határozott integrálra redukálhatjuk:

Második típusú görbe integrálok számítása

Csakúgy, mint az első típusú görbe vonalú integrálok esetében, a második fajtájú integrálok számítása a határozott integrálok kiszámítására redukálódik.

A görbe derékszögű derékszögű koordinátákkal van megadva

Adjon meg egy görbét a síkon az „Y” függvény egyenlete, „X”-en keresztül kifejezve: y = y(x) és a görbe íve AB változásnak felel meg x tól től a előtt b. Ezután behelyettesítjük az „y” és „x” kifejezést az integrandusba, és meghatározzuk az „y” kifejezésének különbségét „x”-hez képest: . Most, hogy mindent „x”-szel fejezünk ki, a második típusú egyenes integrált határozott integrálként számítjuk ki:

A második típusú görbe vonalú integrált hasonlóan számítjuk ki, ha a görbét az „y”-n keresztül kifejezett „x” függvény egyenlete adja: x = x(y) , . Ebben az esetben az integrál kiszámításának képlete a következő:

3. példa Vonalintegrál kiszámítása

, Ha

A) L- egyenes szakasz O.A., Ahol RÓL RŐL(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- parabola ív y = x² tól RÓL RŐL(0; 0) to A(1; −1) .

a) Számítsuk ki a görbe integrált egy egyenes szakaszra (az ábrán kék). Írjuk fel az egyenes egyenletét, és fejezzük ki „Y”-t „X”-ig:

Kapunk dy = dx. Megoldjuk ezt a görbe integrált:

b) ha L- parabola ív y = x² , kapunk dy = 2xdx. Kiszámoljuk az integrált:

A most megoldott példában két esetben is ugyanazt az eredményt kaptuk. És ez nem véletlen, hanem egy minta eredménye, hiszen ez az integrál kielégíti a következő tétel feltételeit.

Tétel. Ha a funkciók P(x,y) , K(x,y) részleges származékaik pedig folytonosak a régióban D függvények és ennek a tartománynak a pontjaiban a parciális deriváltak egyenlőek, akkor a görbe integrál nem függ az integráció útvonalától az egyenes mentén L a területen található D .

A görbe paraméteres formában van megadva

Legyen adott egy görbe a térben

és az általunk behelyettesített integrandusokba

paraméterekkel kifejezve ezeket a függvényeket t. Megkapjuk a képletet a görbe integrál kiszámításához:

4. példa Vonalintegrál kiszámítása

Ha L- egy ellipszis része

megfelel a feltételnek y ≥ 0 .

Megoldás. Ez a görbe az ellipszisnek a síkban elhelyezkedő része z= 2. Ez megfelel a paraméter értékének.

ábrázolhatjuk a görbe integrált határozott integrál formájában és kiszámíthatjuk:

Ha adott egy görbe integrál és L zárt egyenes, akkor az ilyen integrált zárt hurkú integrálnak nevezzük, és ennek segítségével könnyebb kiszámítani Green képlete .

További példák a vonalintegrálok kiszámítására

5. példa Vonalintegrál kiszámítása

Ahol L- egy egyenes szakasz a koordinátatengelyekkel való metszéspontjai között.

Megoldás. Határozzuk meg az egyenes és a koordinátatengelyek metszéspontjait. Egyenes behelyettesítése az egyenletbe y= 0, kapjuk, . Helyettesítés x= 0, kapjuk, . Így a metszéspont a tengellyel Ökör - A(2; 0) , tengellyel Oy - B(0; −3) .

Az egyenes egyenletből fejezzük ki y :

, .

Most már ábrázolhatjuk az egyenes integrált határozott integrálként, és elkezdhetjük kiszámítani:

Az integrandusban kiválasztjuk a faktort, és az integráljelen kívülre helyezzük. A kapott integrandusban használjuk feliratkozás a különbözeti jelreés végre megkapjuk.

Meghatározás: Legyen egy sima görbe minden pontján L=AB a repülőben Oxy adott folyamatos funkció két változó f(x,y). Osszuk fel tetszőlegesen a görbét L tovább n pontokkal ellátott részek A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B. Ezután a kapott részeken $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ kiválasztunk egy tetszőleges pontot $\bar((M)_(i))\left (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)$és adja meg az összeget $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ ahol $\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)$ - ívív $\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))$ . A kapott összeget lehívják a függvény első típusú integrálösszege f(x,y) , az L görbén adva.

Jelöljük azzal d az ívhosszak közül a legnagyobb $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ (tehát d = $max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). Ha d-kor? 0 az S n integrálösszegeknek van határa (függetlenül az L görbe részekre bontásának módszerétől és a pontok megválasztásától \(\bar((M)_(i))$), akkor ezt a határértéket ún. elsőrendű görbe integrál funkcióból f(x,y) az L görbe mentén, és $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Bizonyítható, hogy ha a függvény f(x,y) folytonos, akkor létezik a $\int_(L)f(x,y)dl$ sorintegrál.

Az 1. típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai

Az első típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai hasonlóak a határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz:

additívitás,
linearitás,
modul értékelés,
középérték tétel.

Van azonban egy különbség: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ azaz. az első típusú egyenes integrál nem függ az integráció irányától.

Az első típusú görbe vonalú integrálok számítása

Az első típusú görbe vonalú integrál kiszámítása a számításra redukálódik határozott integrál. Ugyanis:

Ha az L görbét egy folytonosan differenciálható y=y(x), x $\in $ függvény adja, akkor $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \ jobb))^ 2)) dx) ;)$$ ebben az esetben a $dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2 ))) dx $ ívhossz-különbségnek nevezzük.
Ha az L görbe paraméteresen van megadva, azaz. x=x(t), y=y(t) formában, ahol x(t), y(t) folyamatosan differenciálható függvények valamilyen $\left [ \alpha ,\beta \right ]\ intervallumon), akkor $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right),) y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left() t \jobbra)) \jobbra))^2)) dt)) $$ Ez az egyenlőség egy paraméteresen definiált L térbeli görbe esetére is kiterjed: x=x(t), y=y(t), z=z( t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$. Ebben az esetben, ha f(x,y,z) egy folytonos függvény az L görbe mentén, akkor $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\bal (( z"\left(t \jobb)) \jobbra))^2)) dt)) $$
Ha egy L síkgörbét az r=r($\varphi $), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] $ poláris egyenlet adja meg, akkor $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

1. típusú görbe integrálok - példák

1. példa

Számítsunk ki egy első típusú egyenes integrált!

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ ahol L a (2,2) és (8,4) pontok közé zárt y 2 =2x parabola íve.

Megoldás: Keresse meg a dl ív differenciálját az \(y=\sqrt(2x)\ görbére). Nekünk van:

$(y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) $ $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \jobbra)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Ezért ez az integrál egyenlő : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

2. példa

Számítsa ki az első típusú \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \ görbe vonalú integrált, ahol L az x 2 +y 2 =ax (a>0) kör.

Megoldás: Vezessünk be polárkoordinátákat: $x = r\cos \varphi $, $y=r\sin \varphi $. Ekkor mivel x 2 +y 2 =r 2, a kör egyenlete a következő: $r^(2)=arcos\varphi $, azaz $r=acos\varphi $, és a differenciál az ív $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

Ebben az esetben a $\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] $. Ezért $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Elméleti minimum
A fizikában gyakran találhatók görbe vonalú és felületi integrálok. Két típusuk van, amelyek közül az elsőről itt lesz szó. Ez
az integrálok típusa az általános séma szerint épül fel, amely szerint határozott, kettős ill hármas integrálok. Emlékezzünk vissza röviden erre a sémára.
Van néhány objektum, amelyen az integrációt végrehajtják (egydimenziós, kétdimenziós vagy háromdimenziós). Ez a tárgy apró részekre oszlik,
minden részben ki van választva egy pont. Ezen pontok mindegyikében kiszámítjuk az integrandus értékét, és megszorozzuk annak a résznek a mértékével, amelyik
tartozik adott pont(szakasz hossza, részterület területe vagy térfogata). Ezután az összes ilyen terméket összeadják, és a limit teljesül
átmenet a tárgy végtelen kis részekre bontására. Az így kapott határértéket integrálnak nevezzük.
1. Az első típusú görbe vonalú integrál definíciója
Tekintsünk egy görbén definiált függvényt. A görbét egyenirányíthatónak feltételezzük. Emlékezzünk vissza, mit jelent ez durván szólva,
hogy tetszőlegesen kis hivatkozásokkal rendelkező szaggatott vonal írható egy görbébe, és a végtelenül sok hivatkozás határában a szaggatott vonal hosszának meg kell maradnia
végső. A görbét részleges hosszúságú ívekre osztjuk, és mindegyik íven kiválasztunk egy pontot. Egy mű összeállítása folyamatban van
az összesítés minden részíven megtörténik . Ezután a határhoz való áthaladás a legnagyobb hosszának tendenciájával történik
részívektől a nulláig. A határérték az első típusú görbe vonalú integrál
.
Ennek az integrálnak a definíciójából közvetlenül következő fontos jellemzője az integráció irányától való függetlensége, azaz.
.
2. Az első típusú felületi integrál definíciója
Tekintsünk egy sima vagy darabonként sima felületen meghatározott függvényt. A felület részterületekre oszlik
területekkel minden ilyen területen egy pont kerül kiválasztásra. Egy mű összeállítása folyamatban van , összegzés történik
minden részterületen . Ezután a határértékre való áthaladást az összes részleges legnagyobb átmérőjének tendenciájával hajtjuk végre
területek nullára. A határérték az első típusú felületi integrál
.
3. Az első típusú görbe vonalú integrál számítása
Az első típusú görbe vonalú integrál kiszámításának módszere már a formális jelöléséből látható, valójában azonban közvetlenül következik
definíciók. Az integrál egy határozott értékre redukálódik, csak fel kell írni a görbe ívének differenciálját, amely mentén az integrációt végrehajtjuk.
Kezdjük egy explicit egyenlet által adott síkgörbe mentén történő integráció egyszerű esetével. Ebben az esetben az ívkülönbség
.
Ekkor az integrandusban végrehajtódik a változó megváltoztatása, és az integrál alakot ölt
,
ahol a szegmens a változó változásának felel meg a görbe azon része mentén, amely mentén az integrációt végrehajtják.
Nagyon gyakran a görbe paraméteresen van megadva, pl. formaegyenletek Aztán az ívkülönbség
.
Ez a képlet nagyon egyszerűen indokolt. Lényegében ez a Pitagorasz-tétel. Az ívkülönbség valójában a görbe infinitezimális részének hossza.
Ha a görbe sima, akkor annak végtelenül kicsi része egyenes vonalúnak tekinthető. Egy egyenesre megvan az összefüggés
.
Ahhoz, hogy a görbe egy kis ívére végre lehessen hajtani, a véges növekményről a differenciálokra kell lépni:
.
Ha a görbe paraméteresen van megadva, akkor a különbségek egyszerűen kiszámíthatók:
stb.
Ennek megfelelően az integrandusban lévő változók megváltoztatása után a görbe integrál a következőképpen kerül kiszámításra:
,
ahol a görbe azon része, amely mentén az integrációt végrehajtják, megfelel a paraméterváltozás szegmensének.
Valamivel bonyolultabb a helyzet abban az esetben, ha a görbe görbe koordinátákkal van megadva. Ezt a kérdést általában a differenciál keretein belül tárgyalják
geometria. Adjunk meg egy képletet az integrál kiszámításához a megadott görbe mentén poláris koordináták egyenlet:
.
Indokolja meg az ív különbségét polárkoordinátákban. Polárkoordináta-rendszer rácsépítésének részletes tárgyalása
cm . Jelöljük ki a görbe egy kis ívét, amely a koordinátavonalakhoz viszonyítva az ábrán látható. 1. Az összes szereplő kicsinysége miatt
ív ismét alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt, és felírhatjuk:
.
Innen következik az ív differenciáljának kívánt kifejezése.
Pusztán elméleti szempontból meglehetősen egyszerű megérteni, hogy az első típusú görbe vonalú integrált az adott esetre kell redukálni -
határozott integrálhoz. Valójában annak a görbének a paraméterezése által diktált változtatással, amely mentén az integrált számítjuk, megállapítjuk,
egy-egy leképezés egy adott görbe egy része és a paraméterváltozás szegmense között. Ez pedig az integrál redukciója
-vel egybeeső egyenes mentén koordináta tengely- határozott integrál.
4. Az első típusú felületi integrál számítása
Az előző pont után egyértelművé kell tenni, hogy az első típusú felületi integrál számításának egyik fő része a felületelem felírása,
amelyen keresztül az integrációt végzik. Kezdjük ismét egy explicit egyenlettel meghatározott felület egyszerű esetével. Akkor
.
Az integrandusban behelyettesítés történik, és a felületi integrál duplájára csökken:
,
ahol annak a síknak a tartománya, amelybe a felület azon részét vetítjük, amelyre az integrációt végrehajtjuk.
Egy felületet azonban gyakran lehetetlen explicit egyenlettel definiálni, majd parametrikusan definiálják, pl. formaegyenletek
.
A felület elem ebben az esetben bonyolultabb:
.
A felületi integrál a következőképpen írható fel:
,
ahol a paraméterek változásának területe, amely megfelel a felület azon részének, amelyen az integrációt végrehajtják.
5. Az első típusú görbe vonalú és felületi integrálok fizikai jelentése
A tárgyalt integrálok nagyon egyszerű és világos fizikai jelentéssel bírnak. Legyen olyan görbe, amelynek lineáris sűrűsége nem
állandó, és a pont függvénye . Határozzuk meg ennek a görbének a tömegét. Bontsuk fel a görbét sok apró elemre,
amelyen belül a sűrűsége megközelítőleg állandónak tekinthető. Ha egy görbe egy kis darabjának hossza egyenlő -vel, akkor a tömege
, ahol a görbe kiválasztott darabjának bármely pontja (bármelyik, mivel a sűrűség belül van
ezt a darabot megközelítőleg állandónak tételezzük fel). Ennek megfelelően a teljes görbe tömegét az egyes részek tömegeinek összegzésével kapjuk meg:
.
Ahhoz, hogy az egyenlőség pontossá váljon, el kell jutni a görbe végtelen kis részekre való felosztásának határáig, de ez egy első típusú görbe integrál.

Hasonlóan oldódik meg a görbe össztöltésének kérdése is, ha ismerjük a lineáris töltéssűrűséget .
Ezek az érvek könnyen átvihetők egy felületi töltéssűrűségű, nem egyenletes töltésű felület esetére . Akkor
a felületi töltés az első típusú felületi integrál
.
Jegyzet. A paraméteresen meghatározott felületelem nehézkes képletét kényelmetlen megjegyezni. Egy másik kifejezést kapunk a differenciálgeometriában,
használja az ún első másodfokú forma felületek.
Példák az első típusú görbe vonalú integrálok kiszámítására
1. példa Integrál egy vonal mentén.
Integrál kiszámítása

pontokon áthaladó szakasz mentén és .
Először felírjuk annak az egyenesnek az egyenletét, amely mentén az integrációt végrehajtjuk: . Keressünk egy kifejezést:
.
Kiszámoljuk az integrált:
2. példa Egy görbe mentén egy síkban lévő integrál.
Integrál kiszámítása

parabolaív mentén pontról pontra.
Alapértékekés lehetővé teszi egy változó kifejezését a parabola egyenletből: .

Kiszámoljuk az integrált:
.
A számításokat azonban más módon is el lehetett végezni, kihasználva azt a tényt, hogy a görbét a változóhoz képest feloldott egyenlet adja.
Ha a változót paraméternek vesszük, ez az ívkülönbség kifejezésének enyhe változásához vezet:
.
Ennek megfelelően az integrál kissé megváltozik:
.
Ez az integrál könnyen kiszámítható a differenciál alatti változó helyettesítésével. Az eredmény ugyanaz, mint az első számítási módszernél.
3. példa Integrálás egy síkban lévő görbe mentén (paraméterezéssel).
Integrál kiszámítása

a kör felső fele mentén .
Természetesen az egyik változót a kör egyenletéből is kifejezhetjük, majd a többi számítást a szokásos módon elvégezhetjük. De használhatod azt is
parametrikus görbe specifikáció. Mint tudják, egy kör egyenletekkel definiálható. Felső félkör
belüli paraméter változásának felel meg. Számítsuk ki az ívkülönbséget:
.
És így,
4. példa Integrál egy görbe mentén egy polárkoordinátákkal megadott síkon.
Integrál kiszámítása

a lemniszkátus jobb lebenye mentén .

A fenti rajzon egy lemniszkát látható. Az integrációt a jobb lebeny mentén kell végrehajtani. Keressük meg a görbe ívkülönbségét :
.
A következő lépés a polárszög feletti integráció határainak meghatározása. Nyilvánvaló, hogy az egyenlőtlenséget ki kell elégíteni, és ezért
.
Kiszámoljuk az integrált:
5. példa Integrál egy térbeli görbe mentén.
Integrál kiszámítása

a paraméterváltozás határainak megfelelő csavarvonal fordulata mentén

1. fajta.

1.1.1. Az 1. típusú görbe vonalú integrál definíciója

Engedd fel a repülőre Oxy adott görbe (L). Legyen a görbe bármely pontjára (L) folytonos függvény meghatározása f(x;y). Törjük meg az ívet AB vonalak (L) pontok A=P 0, P 1, P n = B tovább n tetszőleges ívek P i -1 P i hosszakkal ( i = 1, 2, n) (27. ábra)

Válasszunk minden íven P i -1 P i tetszőleges pont M i (x i ; y i) , számítsuk ki a függvény értékét f(x;y) azon a ponton M i. Készítsünk integrál összeget

Hadd hol.

λ→0 (n→∞), független a görbe particionálási módszerétől ( L)elemi részekre, sem a pontválasztásból M i 1. típusú görbe vonalú integrál funkcióból f(x;y)(görbe vonalú integrál az ív hosszában), és jelölje:

Megjegyzés. A függvény görbe integráljának definícióját hasonló módon vezetjük be f(x;y;z) a térbeli görbe mentén (L).

Az 1. típusú görbe vonalú integrál fizikai jelentése:

Ha (L)- sík görbe lineáris síkkal, akkor a görbe tömegét a következő képlet határozza meg:

1.1.2. Az 1. típusú görbe vonalú integrál alapvető tulajdonságai:

3. Ha az integrációs út részekre van osztva úgy, hogy , és egyetlen közös pontjuk van, akkor .

4. Az 1. típusú görbe vonalú integrál nem függ az integrálás irányától:

5. , ahol a görbe hossza.

1.1.3. 1. típusú görbe vonalú integrál számítása.

A görbe vonalú integrál számítása egy határozott integrál kiszámítására redukálódik.

1. Hagyja a görbét (L) egyenlet adja meg. Akkor

Vagyis az ívkülönbséget a képlet segítségével számítjuk ki.

Példa

Számítsa ki egy pontból egy egyenes szakasz tömegét! A(1;1) lényegre törő B(2;4), Ha .

Megoldás

Két ponton átmenő egyenes egyenlete: .

Ekkor az egyenes egyenlete ( AB): , .

Keressük a származékot.

Akkor . = .

2. Hagyja a görbét (L) paraméteresen megadva: .

Ezután az ívkülönbséget a képlet segítségével számítjuk ki.

Görbe megadásának térbeli esetére: Akkor

Vagyis az ívkülönbséget a képlet segítségével számítjuk ki.

Példa

Határozza meg a görbe ívhosszát, .

Megoldás

Az ív hosszát a képlet segítségével találjuk meg: .

Ehhez megtaláljuk az ívkülönbséget.

Határozzuk meg a , , származékokat, majd az ív hosszát: .

3. Hagyja a görbét (L) a polárkoordináta-rendszerben meghatározott: . Akkor

Vagyis az ívkülönbséget a képlet segítségével számítjuk ki.

Példa

Számítsa ki az egyenes ív tömegét, 0≤ ≤, ha .

Megoldás

Az ív tömegét a következő képlettel találjuk meg:

Ehhez keressük meg az ívkülönbséget.

Keressük a származékot.

1.2. 2. típusú görbe integrál

1.2.1. A 2. típusú görbe vonalú integrál definíciója

Engedd fel a repülőre Oxy adott görbe (L). Bevall (L) folytonos függvény adott f(x;y). Törjük meg az ívet AB vonalak (L) pontok A = P 0, P 1, P n = B ponttól induló irányba A lényegre törő BAN BEN tovább n tetszőleges ívek P i -1 P i hosszakkal ( i = 1, 2, n) (28. ábra).

Válasszunk minden íven P i -1 P i tetszőleges pont M i (x i ; y i), számítsuk ki a függvény értékét f(x;y) azon a ponton M i. Készítsünk egy integrál összeget, ahol - ívvetítési hossz P i -1 P i tengelyenként Ó. Ha a vetület mentén a mozgás iránya egybeesik a tengely pozitív irányával Ó, akkor az ívek vetületét veszik figyelembe pozitív, másképp - negatív.

Hadd hol.

Ha az att integrál összegnek van határa λ→0 (n→∞), független a görbe particionálási módszerétől (L) elemi részekre, sem a pontválasztásból M i minden elemi részben, akkor ezt a határértéket nevezzük 2. típusú görbe vonalú integrál funkcióból f(x;y)(görbe vonalú integrál a koordináta felett x) és jelölje:

Megjegyzés. Az y koordináta feletti görbe integrált hasonló módon vezetjük be:

Megjegyzés. Ha (L) zárt görbe, akkor a felette lévő integrált jelöljük

Megjegyzés. Ha be van kapcsolva ( L) három függvény van megadva egyszerre és ezekből a függvényekből integrálok , , ,

akkor a: + + kifejezést hívjuk 2. típusú általános görbe integrálés írd le:

1.2.2. A 2. típusú görbe vonalú integrál alapvető tulajdonságai:

3. Az integráció irányának megváltozásakor a 2. típusú görbe vonalú integrál előjelét váltja.

4. Ha az integrációs útvonal olyan részekre van felosztva, hogy , és egyetlen közös pontjuk van, akkor

5. Ha a görbe ( L) a síkban fekszik:

Merőleges tengely Ó, akkor =0;

Merőleges tengely Oy, Az ;

Merőleges tengely Oz, akkor =0.

6. A zárt görbe feletti 2. típusú görbe integrál nem függ a kezdőpont megválasztásától (csak a görbe bejárásának irányától függ).