Az (1) egyenletet a koordinátatengelyekre vetítve, és figyelembe véve a megadott erők koordinátáktól, sebességektől és időtől való függését, differenciálegyenleteket kapunk egy pont dinamikájára. Tehát a derékszögű koordinátákhoz a következőket találjuk:

A mozgás differenciálegyenletei egy hengeres koordinátarendszerben a következő formában lesznek

;

Befejezésül egy pont dinamikájának differenciálegyenleteit mutatjuk be egy természetes triéder tengelyére vonatkozó vetületekben; Ezek az egyenletek különösen alkalmasak olyan esetekben, amikor a pont pályája ismert. A (3.1) egyenletet a pálya érintőjére, főnormáljára és binormálisára vetítve megkapjuk

, ,

Nézzük most egy pont dinamikai egyenleteinek példáját Derékszögű koordináták(3.2) pontdinamikai feladatok megfogalmazása és megoldási folyamata. A pontdinamika két fő problémája van: egyenesÉs fordított. A dinamika első (közvetlen) problémája a következő: adott a tömeggel rendelkező pont mozgása , azaz függvények adottak

meg kell találni a mozgást okozó erőket. A probléma megoldása nem nehéz. A (3.1) és (3.3) egyenlet alapján megtaláljuk azokat a vetületeket, amelyekre kétszer differenciálunk meghatározott funkciókat (3.3).

, , (3.4)

A (3.4) kifejezések a pontra ható összes erő eredőjének vetületeit jelentik; az erők egy része (vagy a vetületek egy része) ismert lehet, a többi (de nem több három vetület) megtalálható a (3.4) egyenletekből. Ez a probléma formálisan a statika feladat megoldására redukálható, ha a (3.1) egyenletet átírjuk a formába

Itt van annak a pontnak a tehetetlenségi ereje, amelynek vetülete a tengelyre x, y, z egyenlők a (3.3) ellentétes előjelű kifejezésekkel. A dinamika problémájának formális redukálását a statika problémájára tehetetlenségi erők bevezetésével, amit a mechanikai feladatokban meglehetősen gyakran gyakorolnak, ún. kinetosztatikus módszer.

A pontdinamika második (inverz) problémája a következőképpen fogalmazódik meg: tömegponton T, amelynek a kezdeti időpillanatbeli helyzete és sebességvektora ismert, az adott erők hatnak; meg kell találnia ennek a pontnak a mozgását (koordinátáit x,y,z) az idő függvényében. Mivel a (2) egyenletek jobb oldalai erők vetületei a tengelyre x, y, z- A koordináták ismert függvényei, ezek első deriváltjai és az idő, akkor a kívánt eredmény eléréséhez három másodrendű közönséges differenciálegyenletből álló rendszert kell integrálni. Egy ilyen probléma analitikus megoldása csak bizonyos speciális esetekben lehetséges. A numerikus módszerek azonban lehetővé teszik a probléma szinte bármilyen szükséges pontossággal történő megoldását. Tegyük fel, hogy integráltuk a differenciálegyenlet-rendszert (3.2) és kifejezéseket találtunk a koordinátákra x, y, z az idő függvényében. Mivel a (3.2) rendszer hatodrendű, integrálásakor hat tetszőleges állandó jelenik meg, és a koordinátákra a következő kifejezéseket kapjuk:

Állandók meghatározására (i = 1, 2,... 6) ebben a határozatban hivatkozni kell kezdeti feltételek feladatokat. Felírva a megadott feltételeket derékszögű koordinátákkal kapcsolatban, megvan, hogy mikor t= 0

A talált kifejezésbe (3.5) behelyettesítve a kezdeti feltételek első csoportját (3.6) at t=0, három egyenletet kapunk az integrációs állandókra vonatkozóan:

A hiányzó három összefüggést a következőképpen találjuk meg: differenciáljuk a (3.5) mozgásegyenleteket az idő függvényében, és behelyettesítjük a kezdeti feltételek második csoportját (3.6) a kapott kifejezésekbe t= 0; nekünk van

Most ezt a hat egyenletet együtt megoldva megkapjuk hat tetszőleges integrációs állandó kívánt értékét (i = 1, 2,... 6), amelyeket behelyettesítve a (3.5) mozgásegyenletekbe, megtaláljuk a probléma végső megoldását.

Egy pont mozgási differenciálegyenleteinek felállításakor egy adott esetre mindenekelőtt különféle tényezők hatását kell értékelni: figyelembe kell venni a fő erőket, és el kell vetni a másodlagos erőket. Különböző műszaki problémák megoldása során gyakran figyelmen kívül hagyják a légellenállási és a száraz súrlódási erőket; ezt teszik például a sajátfrekvenciák kiszámításakor oszcillációs rendszerek, melynek értékeit az említett erők elenyésző mértékben befolyásolják. Ha egy test a Föld felszíne közelében mozog, akkor a gravitációját állandónak, a Föld felszínét pedig laposnak tekintjük; amikor a földfelszíntől a sugarával összemérhető távolságra távolodunk, figyelembe kell venni a gravitáció magasságbeli változását, ezért az ilyen feladatoknál a Newton-féle gravitációs törvényt alkalmazzuk.

A légellenállás ereje nem elhanyagolható nagy testmozgási sebességnél; ilyenkor általában elfogadják másodfokú törvény ellenállás (az ellenállás erejét a test mozgási sebességének négyzetével arányosnak tekintjük).

(3.6)

Itt van a sebesség nyomása, ρ – a közeg sűrűsége, amelyben a pont mozog, – légellenállási együttható, – jellemző keresztirányú méret. Azonban, amint az alább látható lesz, bizonyos problémáknál figyelembe kell venni a folyadékban (gázban) a belső súrlódást, ami egy általánosabb képlethez vezet az ellenállási erő meghatározásához.

Ha a test viszkózus közegben mozog, akkor már kis sebességnél is számolni kell az ellenállási erővel, de ennél a feladatnál elég a sebesség első hatványával arányosnak tekinteni.

Példa. Tekintsük egy pont egyenes vonalú mozgásának problémáját egy ellenállással rendelkező közegben, az ellenállási erőt a (3.6) kifejezés adja meg. A pont kezdeti sebessége , a végsebessége . Meg kell határozni az átlagos mozgási sebességet egy adott sebességintervallumban. A (3.2) képletből megkaptuk

(3.7)

Ez egy elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet, melynek megoldása a következőképpen ábrázolható

,

melynek megoldása a formába lesz írva

(3.8)

A megtett távolság meghatározásához térjünk át új koordinátákra, ehhez szorozzuk meg a (3.7) egyenlet bal és jobb oldalát ; Ugyanakkor megjegyezzük, hogy

,

akkor itt is elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletet kapunk

,

formában bemutatható megoldása

(3.9)

A (3.8) és (3.9) képletekből megkapjuk az átlagsebesség kifejezését

.

Az átlagsebesség ugyanis az .

De ha tesszük, akkor könnyen belátható, hogy ebben az esetben és , vagyis a mozgó test soha nem fog megállni, ami egyrészt ellentmond a józan észnek, másrészt nem világos, hogy mekkora lesz az átlagsebesség . A meghatározásához bal oldali integrálokat veszünk a tól végtelenig terjedő tartományba ε, akkor kapunk

Általános és Műszaki Szakképzési Minisztérium

Moszkva állam Technikai Egyetem MAMI

Osztály: Elméleti mechanika

Absztrakt a témában :

Differenciál egyenletek pont mozgása.

Pontdinamikai feladatok megoldása.

Diák: Zinovjev M.Yu.

Csoport: 3-AiU-1

Tanár:

Bevezetés a dinamikába. A dinamika törvényei.

Alapfogalmak és definíciók.

Dinamika A mechanikának az az ága, amely az anyagi testek mozgását vizsgálja erők hatására.

Mozgás tiszta geometriai pont a látást a kinematika veszi figyelembe. A dinamika közötti különbség az, hogy a testek mozgásának tanulmányozásakor mind a rájuk ható erőket, mind maguknak az anyagi testeknek a tehetetlenségét figyelembe veszik.

Az erő fogalmát, mint az anyagi testre kifejtett mechanikai hatás fő mértékét, a statikában vezették be. A statika azonban nem vonatkozik a ható erők időbeli változásának kérdésére, és a problémák megoldása során minden erőt állandónak tekintettek. Eközben az állandó erők mellett a mozgó testre általában változó erők hatnak, amelyek moduljai és irányai a test mozgásával változnak. Ebben az esetben adott (aktív) erők ( Aktíváltalában olyan erőnek nevezik, amely a nyugalomban lévő testre hatva mozgásba tudja hozni) és az összefüggések reakciói.

A tapasztalat azt mutatja, hogy a változó erők bizonyos módon függhetnek az időtől, a test helyzetétől és sebességétől. Különösen az időtől függ az elektromos mozdony vonóereje, amikor a reosztátot fokozatosan ki- vagy bekapcsolják, vagy az az erő, amely az alap rezgéseit okozza, amikor a motor rosszul központosított tengellyel működik; Newton gravitációs ereje vagy egy rugó rugalmas ereje a test helyzetétől függ; A közeg ellenállási erői a sebességtől függenek. Végezetül megjegyezzük, hogy a statikában bevezetett összes fogalom és az ott kapott eredmények egyformán érvényesek a változó erőkre, mivel az erők állandóságának feltételét a statikában sehol nem használták.

A test tehetetlensége abban nyilvánul meg, hogy mozgását ható erők hiányában is fenntartja, és amikor egy erő elkezd hatni rá, a test pontjainak sebessége nem azonnal, hanem fokozatosan, és minél inkább megváltozik. lassan, annál nagyobb ennek a testnek a tehetetlensége. Az anyagi test tehetetlenségének kvantitatív mértéke egy fizikai mennyiség, ún tömeg test (A tömeg a test gravitációs tulajdonságainak mértéke is), A klasszikus mechanikában tömeg T skaláris, pozitív és állandó mennyiségnek tekintendő minden adott testre.

A teljes tömegen kívül egy test mozgása is attól függ általános eset a test formáján, pontosabban azon relatív pozíció az azt alkotó részecskék, azaz. a testtömegek eloszlásáról.

Annak érdekében, hogy a dinamika kezdeti tanulmányozása során elvonatkoztassunk a test alakjának (tömegeloszlás) figyelembevételétől, egy absztrakt koncepció anyagi pont, tömeges pontként, és kezdje a dinamika tanulmányozását a dinamikával anyagi pont.

A kinematikából ismert, hogy a test mozgása általában transzlációs és forgási folyamatokból áll. Konkrét problémák megoldása során az anyagi test olyan esetekben tekinthető anyagi pontnak, amikor a probléma körülményei szerint megengedhető, hogy a test mozgásának forgó részét figyelmen kívül hagyjuk. Például egy bolygót anyagi pontnak tekinthetjük a Nap körüli mozgásának tanulmányozásakor, vagy tüzérségi lövedéket a repülési hatótávolság meghatározásakor stb. Ennek megfelelően egy transzlációsan mozgó test mindig tömeges anyagi pontnak tekinthető, egyenlő tömegű az egész testről.

A dinamika tanulmányozása általában egy anyagi pont dinamikájával kezdődik, hiszen természetes, hogy egy pont mozgásának vizsgálata megelőzi egy pontrendszer és különösen egy merev test mozgásának vizsgálatát.

A DINAMIKA TÖRVÉNYEI.

AZ ANYAGPONT DINAMIKÁJÁNAK PROBLÉMÁI

A dinamika a testek mozgásának tanulmányozásával foglalkozó számos kísérlet és megfigyelés eredményeinek összegzésével megállapított törvényeken alapul, amelyeket az emberiség kiterjedt társadalmi és ipari gyakorlata igazol. A dinamika törvényeit először I. Newton fejtette ki szisztematikusan „Mathematical Principles of Natural Philosophy” című, 1687-ben megjelent klasszikus művében. (Van egy kiváló orosz fordítás, amelyet A.N. Krymov készített. Lásd: A.N. Krylov akadémikus összegyűjtött munkái, VII. M.-L. köt., 1936). Ezeket a törvényeket a következőképpen lehet megfogalmazni.

Első törvény(tehetetlenségi törvény):

a külső hatásoktól elszigetelt anyagi pont megőrzi nyugalmi vagy egyenletes állapotát egyenes vonalú mozgás amíg az alkalmazott erők ezen állapot megváltoztatására nem kényszerítik. Azt a mozgást, amelyet egy pont erők hiányában hajt végre, mozgásnak nevezzük tehetetlenség által.

A tehetetlenség törvénye az anyag egyik alapvető tulajdonságát tükrözi – hogy változatlanul mozgásban maradjon. Fontos megjegyezni, hogy a dinamika mint tudomány fejlődése csak azután vált lehetségessé, hogy Galilei felfedezte ezt a törvényt (1638), és ezzel megcáfolta azt az Arisztotelész óta uralkodó nézetet, hogy egy test mozgása csak erő hatására történhet meg.

Fontos kérdés, hogy a tehetetlenségi törvény milyen vonatkoztatási rendszerre vonatkoztatva érvényes. Newton feltételezte, hogy van valami rögzített (abszolút) tér, amelyre vonatkozóan ez a törvény igaz. De a modern nézetek szerint a tér az anyag létformája, és nem létezik valamiféle abszolút tér, amelynek tulajdonságai nem függnek a benne mozgó anyagtól. Mindeközben, mivel a törvény kísérleti eredetű (Galileo rámutatott, hogy ez a törvény egy golyó mozgásának figyelembevételével érhető el ferde sík folyamatosan csökkenő dőlésszöggel), létezniük kell referenciarendszereknek, amelyekben a közelítés különböző fokaiig ez a törvény teljesül. Ezzel kapcsolatban a mechanikában, szokás szerint a tudományos absztrakció felé haladva bevezetik a referenciarendszer fogalmát, amelyben érvényes a tehetetlenségi törvény, feltételezik annak létezését és felhívják inerciális referenciarendszer.

Azt, hogy egy adott valós vonatkoztatási rendszer inerciálisnak tekinthető-e bizonyos mechanikai problémák megoldása során, annak ellenőrzésével állapítható meg, hogy a rendszer tehetetlenségének feltételezésével kapott eredményeket mennyiben erősíti meg a tapasztalat. A mi tapasztalataink szerint Naprendszer inerciális -val magas fokozat pontosság referenciarendszernek tekinthető, melynek origója a Nap középpontjában van, a tengelyek pedig az úgynevezett állócsillagokra irányulnak. A legtöbb műszaki probléma megoldása során a tehetetlenségi keret a gyakorlathoz kellő pontossággal a Földhöz mereven kapcsolódó referenciarendszernek tekinthető.

Második törvény(a dinamika alaptörvénye)

meghatározza, hogyan változik egy pont sebessége, amikor valamilyen erő hat rá, nevezetesen: az anyagi pont tömegének és az adott erő hatására kapott gyorsulásnak a szorzata nagyságrendileg egyenlő ezzel az erővel, és a gyorsulás iránya egybeesik az erő irányával.

Matematikailag ezt a törvényt a vektoregyenlőség fejezi ki

Ebben az esetben kapcsolat van a gyorsító és az erő modulok között

ta= F. (1")

A dinamika második főtétele az elsőhöz hasonlóan csak az inerciális vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva játszódik le. Ebből a törvényből azonnal kiderül, hogy egy anyagi pont tehetetlenségi foka a tömege, mivel egy adott erő hatására az a pont, amelynek tömege nagyobb, azaz tehetetlenebb, kisebb gyorsulást kap, és fordítva.

Ha egy pontra egyszerre több erő hat, akkor az erők paralelogramma törvényéből következően ezek egy erővel, azaz az eredővel lesznek ekvivalensek. , egyenlő geometriai összeg adott erőket. A dinamika alaptörvényét kifejező egyenlet ebben az esetben formát ölt

Ugyanezt az eredményt kaphatjuk a paralelogramma törvény helyett az erők független működésének törvénye, miszerint ha egy pontra egyszerre több erő hat, akkor mindegyik ugyanazt a gyorsulást adja a pontnak, mint amennyit egyedül hatna.

Harmadik Törvény(a cselekvés és a reakció egyenlőségének törvénye) megállapítja az anyagi testek közötti mechanikai kölcsönhatás természetét. Két lényeges pontnál ez áll:

két anyagi pont egyenlő nagyságú erőkkel hat egymásra, amelyek az ezeket a pontokat egymással ellentétes irányban összekötő egyenes mentén irányulnak.

Ezt a törvényt a statikában használják. Nagy szerepet játszik egy anyagi pontrendszer dinamikájában, mivel kapcsolatot létesít az ezekre a pontokra ható belső erők között.

Amikor két szabad anyagi pont kölcsönhatásba lép, a dinamika harmadik és második törvénye szerint a tömegükkel fordítottan arányos gyorsulásokkal mozognak.

Dinamikai problémák. Egy szabad anyagpont esetében a dinamika problémái a következők:

1) egy pont mozgástörvényének ismeretében határozza meg a rá ható erőt (a dinamika első problémája);

2) 2) a pontra ható erők ismeretében határozza meg a pont mozgástörvényét (második, vagy a dinamika fő feladata).

Egy nem szabad anyagi pontnál, vagyis olyan pontnál, amelyre egy adott felületen vagy görbén való mozgásra kényszerítő kényszer vonatkozik, a dinamika első feladata általában az, hogy meghatározza a kényszer reakcióját, ismerve a kényszer mozgását. a pont és a rá ható aktív erők. A nem szabad mozgás során felmerülő dinamika második (fő) problémája két részre oszlik, és abból áll, hogy a pontra ható aktív erők ismeretében meghatározzuk: a) a pont mozgástörvényét, b) a rákapcsolt kapcsolat reakcióját. .

EGYSÉGRENDSZEREK

Az összes mechanikai mennyiség méréséhez elegendő bevezetni három egymástól független mennyiség mértékegységét. Közülük kettőt tekintünk hosszúság és idő mértékegységének. Harmadikként a legkényelmesebb a tömeg vagy az erő mértékegységének kiválasztása. Mivel ezeket a mennyiségeket az (1) egyenlőség köti össze, lehetetlen mindegyikhez önkényesen mértékegységet választani. Ez magában foglalja annak lehetőségét, hogy a mechanikában két, egymástól alapvetően eltérő egységrendszert vezessünk be.

Az első típusú egységrendszerek.

Ezekben a rendszerekben a hossz, az idő és a tömeg mértékegységeit veszik alapnak, az erőt pedig egy derivált mértékegységgel mérik.

E rendszerek közé tartozik a Nemzetközi Mértékegységrendszer fizikai mennyiségek(SI), amelyben a mechanikai mennyiségek alapmértékegységei a méter (m), a tömegkilogramm (kg) és a másodperc (s). Az erő mértékegysége a származtatott mértékegység - 1 newton (N);

1 N az az erő, amely 1 m/s 2 gyorsulást kölcsönöz 1 kg tömegnek (1 N = 1 kg-m/s 2). Hogy mi az 1 m, 1 kg és 1 s, az egy fizika tantárgyból ismert. A Nemzetközi Mértékegységrendszert (SI) 1961 óta preferált rendszerként vezették be Oroszországban

A második típusú egységrendszerek.

Ezekben a rendszerekben a hossz, az idő és az erő mértékegységeit veszik alapnak, a tömeget pedig egy derivált mértékegységgel mérik.

Ilyen rendszerek közé tartozik a technológiában széles körben használt MKGSS rendszer, amelyben a fő mértékegységek a méter (m), az erő kilogramm (kg) és a másodperc (s). A tömeg mértékegysége ebben a rendszerben 1 kgf 2 / m, azaz az a tömeg, amelyre 1 kg erő 1 m/s 2 gyorsulást kölcsönöz.

Az SI és MKGSS rendszerekben az erőegységek közötti összefüggés a következő: 1 kg = 9,81 N vagy 1 N = 0,102 kg.

Végezetül meg kell jegyezni, hogy különbséget kell tenni a fogalmak között dimenzió nagysága és Mértékegység neki mérések. A dimenziót csak az adott mennyiség értékét kifejező egyenlet típusa határozza meg, a mértékegység az alapegységek megválasztásától is függ. Például, ha szokás szerint a hossz, az idő és a tömeg méreteit L, T és M szimbólumokkal jelöljük. , akkor az L/T sebesség dimenziója , a mértékegység pedig lehet 1 m/s, 1 km/h stb.

AZ ERŐK FŐ TÍPUSAI

Tekintsük a következő állandó vagy változó erőket (a változó erők változásának törvényeit általában kísérleti úton állapítjuk meg).

Gravitáció. Ez egy állandó erő , a földfelszín közelében elhelyezkedő bármely testre hatva. A gravitációs modulus megegyezik a test súlyával.

A tapasztalatok azt mutatják, hogy az erő hatására bármely testnek, amely szabadon esik a Földre (kis magasságból és levegőtlen térben), azonos a gyorsulása , hívott gyorsulás szabadesés, és néha gravitációs gyorsulás ( A testek szabadesésének törvényét Galilei fedezte fel. A q értéke a földfelszín különböző helyein eltérő; ez a hely tengerszint feletti földrajzi szélességétől függ. Moszkva szélességi fokán (tengerszinten) q = 9,8156 m/s2

Ekkor az (1") egyenletből az következik

P=t q vagy t=P/ q. (3)

Ezek az egyenlőségek lehetővé teszik egy test tömegének ismeretében a súlyának (a rá ható gravitációs erő modulusának) meghatározását, vagy a test tömegének ismeretében a tömegének meghatározását. A testtömeg vagy a gravitáció, valamint a q értéke , változás a szélesség és magasság változásával; A tömeg egy adott test állandó mennyisége.

Súrlódási erő . Ezt nevezzük röviden a mozgó testre (folyékony kenőanyag hiányában) ható csúszósúrlódási erőnek. Modulusát az egyenlőség határozza meg

ahol f a súrlódási együttható, amelyet állandónak tekintünk;

N- normális reakció.

Gravitáció . Ez az az erő, amellyel két anyagi test vonzódik egymáshoz a Newton által felfedezett egyetemes gravitáció törvénye szerint. A gravitációs erő a távolságtól függ, és két, egymástól r távolságra elhelyezkedő tömegű anyagi pont esetében az egyenlőséggel fejezzük ki

ahol f a gravitációs állandó (SI/=6,673* ).

Rugalmas erő . Ez az erő a távolságtól is függ. Értéke a Hooke-törvény alapján határozható meg, mely szerint a feszültség (területegységre jutó erő) arányos az alakváltozással. Különösen a rugó rugalmas erejére kapjuk az értéket

ahol l a rugó nyúlása (vagy összenyomása); Val vel - az úgynevezett rugómerevségi együttható (SI-ben N/m-ben mérve).

Kényszerítés viszkózus súrlódás . Ez a sebességtől függő erő akkor hat a testre, amikor az nagyon viszkózus közegben (vagy folyékony kenőanyag jelenlétében) lassan mozog, és az egyenlőséggel fejezhető ki.

Ahol v- testsebesség; m , - ellenállási együttható. A (7) alak függését a viszkózus súrlódás Newton által felfedezett törvénye alapján kaphatjuk meg.

Aerodinamikai (hidrodinamikus) légellenállási erő . Ez az erő a sebességtől is függ, és olyan testre hat, amely például olyan közegben mozog, mint a levegő vagy a víz. Általában az értékét az egyenlőség fejezi ki

(8)

ahol p a közeg sűrűsége; S a test vetületének területe a mozgás irányára merőleges síkra (középső terület);

Cx: egy dimenzió nélküli légellenállási együttható, amelyet általában kísérleti úton határoznak meg, és a test alakjától és mozgás közbeni orientációjától függően.

Inert és gravitációs tömeg.

Egy adott test tömegének kísérleti meghatározásához az (1) törvényből indulhatunk ki, ahol a tömeg a tehetetlenség mértékeként szerepel, ezért tehetetlenségi tömegnek nevezzük. De kiindulhatunk az (5) törvényből is, ahol a tömeg a test gravitációs tulajdonságainak mértékeként szerepel, és ennek megfelelően gravitációs (vagy nehéz) tömegnek nevezzük. Elvileg sehonnan nem következik, hogy a tehetetlenségi és a gravitációs tömegek ugyanazt a mennyiséget képviselik. Számos kísérlet azonban megállapította, hogy mindkét tömeg értéke nagyon nagy pontossággal esik egybe (a szovjet fizikusok (1971) kísérletei szerint, pontossággal). Ezt a kísérletileg megállapított tényt az ekvivalencia elvének nevezzük. Einstein általános relativitáselméletére (gravitációs elméletére) alapozta.

A fentiek alapján a mechanikában a tömeg fogalmát használják, a tömeget a test tehetetlenségének és gravitációs tulajdonságainak mértékeként határozzák meg.

EGY PONT MOZGÁSÁNAK DIFFERENCIAEGYENLETEI. MEGOLDÁSI PONT DINAMIKA PROBLÉMÁK

AZ ANYAGI PONT MOZGÁSÁNAK DIFFERENCIAEGYENLETEI

A pontdinamikai problémák megoldásához a következő két egyenletrendszer egyikét használjuk.

Egyenletek derékszögű koordinátákkal .

A kinematikából ismert, hogy egy pont mozgását derékszögű derékszögű koordinátákban a következő egyenletek adják meg:

Egy pont dinamikájának feladata a pontra ható erő meghatározása a pont mozgásának ismeretében, azaz a (9) egyenlet, vagy fordítva, a pontra ható erők ismeretében meghatározni mozgásának törvényét, azaz (9) egyenlet. Következésképpen egy pont dinamikájával kapcsolatos problémák megoldásához szükség van a koordinátákra vonatkozó egyenletekre. x, y, zg ez a pont és a rá ható erő (vagy erők). Ezek az egyenletek adják a dinamika második főtételét.

Tekintsünk egy anyagi pontot, amely erők hatására mozog a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez képest Ohug. Az egyenlőség (2) mindkét oldalát vetítve, azaz. tengely egyenlőség x, y, zg és tekintve, hogy stb., megkapjuk

(10)

vagy a második derivált időre vonatkoztatva két ponttal jelölve,

Ezek lesznek a szükséges egyenletek, pl. pont mozgásának differenciálegyenlete derékszögű derékszögű koordinátákban. Mivel a ható erők függhetnek az időtől t, a pont helyzetére, azaz a koordinátáira x, y, z,és a sebességen, azaz -on, akkor általános esetben a (10) egyenletek mindegyikének jobb oldala lehet mindezen változó függvénye, azaz. t, x, y, z, egyidejűleg.

Egyenletek a természetes háromszög tengelyeire való vetületekben . Ahhoz, hogy megkapjuk ezeket az egyenleteket, az egyenlőség mindkét oldalát a tengelyre vetítjük M t nb, azok. érintőn M t: to pontpályák, fő normál képviselő, a pálya homorúsága felé irányul, és a binormális Mb

Ekkor, figyelembe véve, hogy , , kapunk

(11)

(11) egyenletek, ahol v=ds!dt, képviselni pont mozgásának differenciálegyenletei a természetes háromszög tengelyére vonatkozó vetületekben.

AZ ELSŐ DINAMIKAI PROBLÉMA MEGOLDÁSA

(AZ ERŐK MEGHATÁROZÁSA ADAT MOZGÁSSAL)

Ha egy mozgó pont gyorsulása adott, akkor az (1) vagy (2) egyenlet segítségével azonnal megtaláljuk a kapcsolat ható erejét vagy reakcióját. Ebben az esetben a reakció kiszámításához ismerni kell az aktív erőket. Ha a gyorsulás nincs közvetlenül megadva, de a pont mozgástörvénye ismert, akkor a (10) vagy (11) egyenlet felhasználható az erő meghatározására.

A DINAMIKA FŐ PROBLÉMÁJÁNAK MEGOLDÁSA EGY PONT EGYENES MOZGÁSÁVAL

Egy anyagi pont mozgása akkor lesz egyenes vonalú, ha a rá ható erő (vagy az alkalmazott erők eredője) állandó irányú, és a pont sebessége a kezdeti időpillanatban nulla vagy az erő mentén irányul.

Ha az egyenes vonalú mozgás során a koordinátatengely a pálya mentén irányul Ó, akkor a pont mozgását a (10) egyenlet közül az első határozza meg, azaz az egyenlet

vagy (12)

A (12) egyenletet nevezzük pont egyenes vonalú mozgásának differenciálegyenlete. Néha kényelmesebb két olyan egyenlettel helyettesíteni, amelyek az első deriváltokat tartalmazzák:

(13)

Azokban az esetekben, amikor egy probléma megoldása során a sebesség függését az x koordinátától kell keresni, és nem a t időtől (vagy amikor maguk az erők függenek x-től), a (13) egyenletet az x változóvá alakítjuk. . Mivel dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, akkor (13) helyett kapjuk

(14)

A dinamika fő problémájának megoldása abban rejlik, hogy ezekből az egyenletekből meg kell találni egy pont mozgástörvényét, ismerve az erőket, i.e. x=f(t). Ehhez integrálni kell a megfelelő differenciálegyenletet. Hogy érthetőbb legyen, miből áll ez matematikai feladat, emlékeztetünk arra, hogy a (12) egyenlet jobb oldalán szereplő erők függhetnek az időtől t, a pont helyzetéből, azaz onnan X,és a sebességétől, T. e Vy=x. Ezért általános esetben a (12) egyenlet matematikai szempontból egy másodrendű differenciálegyenlet, amelynek alakja .

Ha erre a konkrét problémára a (12) differenciálegyenletet integráljuk, akkor a kapott megoldás két integrációs állandót és és közös döntés a (12) egyenlet alakja lesz

(15)

Az egyes problémák megoldásának befejezéséhez meg kell határozni az állandók értékét. Erre a célra az ún kezdeti feltételek.

Minden mozgás tanulmányozását egy bizonyos időponttól kezdjük, ún kezdő pillanat. Ettől a pillanattól kezdve számoljuk a mozgás idejét, figyelembe véve ezt a kezdeti pillanatban t=0.Általában az adott erők hatására bekövetkező mozgás kezdeti pillanatát tekintjük kezdeti momentumnak. Azt a pozíciót, amelyet egy pont a kezdeti pillanatban elfoglal, nevezzük kezdeti helyzet, és sebessége ebben a pillanatban az kezdeti sebesség(egy pont kezdősebessége lehet azért is, mert a t=0 pillanat előtt tehetetlenséggel elmozdult, vagy a t pillanatig ható cselekvés eredményeként =0 néhány más erő). A dinamika fő problémájának megoldásához a ható erők mellett azt is tudni kell kezdeti feltételek, azaz a pont helyzete és sebessége az idő kezdeti pillanatában.

Egyenes vonalú mozgás esetén a kiindulási feltételeket az űrlap tartalmazza

t=0-nál, . (16)

A kezdeti feltételek segítségével meghatározhatja az állandók konkrét értékeit, és megtalálhatja privát megoldás a (12) egyenlet, amely megadja egy pont mozgásának törvényét az alakban

A mozgási differenciálegyenletek segítségével megoldódik a dinamika második problémája. Az ilyen egyenletek összeállításának szabályai attól függnek, hogyan akarjuk meghatározni egy pont mozgását.

1) Egy pont mozgásának meghatározása koordináta módszerrel.

Tekintsünk egy szabad anyagi pontot, amely erők hatására mozog , ,.., . Rajzoljunk rögzített koordináta tengelyeket Oxyz(4. ábra). Az egyenlőség mindkét oldalát ezekre a tengelyekre vetítve és figyelembe véve azt stb., azt kapjuk pont görbe vonalú mozgásának differenciálegyenletei a téglalap tengelyére vonatkozó vetületekben Descartes-rendszer koordináták:

4. ábra

Mivel a pontra ható erők függhetnek az időtől, a pont helyzetétől és sebességétől, az egyenletek jobb oldalai tartalmazhatnak időt t, pont koordinátái x, y, zés sebességének előrejelzései. Ezenkívül minden egyenlet jobb oldala tartalmazhatja ezeket a változókat.

A dinamika fő problémájának ezen egyenletek felhasználásával történő megoldásához a ható erők mellett szükséges ismerni a kezdeti feltételeket, pl. a pont helyzete és sebessége a kezdeti pillanatban. BAN BEN koordináta tengelyek Oxyz a kezdeti feltételeket a következő formában adjuk meg: at

A ható erők ismeretében az egyenletek integrálása után megtaláljuk a koordinátákat x, y, z mozgó pont az idő függvényében t, azok. Keressük meg egy pont mozgástörvényét.

3. példa Vizsgáljuk meg a horizonttal szöget bezáró kezdeti sebességgel dobott test mozgását, anyagi tömegpontnak tekintve. T. Ebben az esetben a légellenállást figyelmen kívül hagyjuk, és a gravitációs teret egységesnek tekintjük ( R=const), feltételezve, hogy a repülési távolság és a pálya magassága kicsi a Föld sugarához képest.

Helyezzük el az eredetet RÓL RŐL a pont kiinduló helyzetében. Irányítsuk a tengelyt függőlegesen felfelé; vízszintes tengely Ököráthaladó síkban helyezze el Ó valamint vektor és tengely Oz Rajzoljuk meg az első két tengelyre merőlegesen (5. ábra). Ezután a vektor és a tengely közötti szög Ökör egyenlő lesz .

5. ábra

Ábrázoljunk egy mozgó pontot M valahol a pálya mentén. A pontra csak a nehézségi erő hat, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei egyenlők: , , .

Ezeket a mennyiségeket differenciálegyenletekre cseréljük, és megjegyezzük, hogy stb. általi csökkentés után vagyunk m kapunk:

Ezen egyenletek mindkét oldalát megszorozva ezzel dtés integrálva a következőket találjuk:

Problémánk kezdeti feltételei a következőképpen alakulnak:

nál nél t=0:

A kezdeti feltételeknek eleget teszünk:

, , .

Ezeket az értékeket helyettesítve VAL VEL 1 , VAL VEL 2 és VAL VEL 3 a fent talált megoldásba és kicserélve , , Térjünk az egyenletekhez:

Ezeket az egyenleteket integrálva a következőket kapjuk:

A kiindulási adatok helyettesítése ad VAL VEL 4 =VAL VEL 5 =VAL VEL 6 =0, és végül megtaláljuk a pont mozgásegyenleteit M mint:

Az utolsó egyenletből az következik, hogy a mozgás a síkban történik Oxy.

Egy pont mozgásegyenletének birtokában kinematikai módszerekkel meg lehet határozni egy adott mozgás összes jellemzőjét.

1. Egy pont pályája. A t időt az első két (1) egyenletből kizárva a pontpálya egyenletét kapjuk:

Ez a parabola egyenlete egy tengellyel, párhuzamos tengely Ó.És így, A horizonttal szögben bedobott nehéz pont levegőtlen térben egy parabola (Galileo) mentén mozog.

2. Vízszintes tartomány. Határozzuk meg a vízszintes tartományt, azaz. tengely mentén mérve Ó távolság OS=X. Feltételezve az egyenlőséget (2) y=0, keresse meg a pálya metszéspontjait a tengellyel Ó. Az egyenletből:

kapunk

Az első megoldás adja meg a lényeget RÓL RŐL, második pont VAL VEL. Ennélfogva, X=X 2és végül

A (3) képletből egyértelmű, hogy ugyanaz a vízszintes tartomány x olyan szögben kapjuk meg, amelyre pl. ha szög . Következésképpen egy adott kezdeti sebességnél ugyanaz a C pont két pályán érhető el: sík () és szerelt ().

Adott kezdeti sebességnél a legnagyobb vízszintes tartományt levegőmentes térben akkor kapjuk, ha pl. szögben

3. Pályamagasság. Ha betesszük a (2) egyenletet

Ezután megtaláljuk a pálya magasságát N:

4. Repülési idő. Az (1) rendszer első egyenletéből következik, hogy a teljes repülési idő T az egyenlőség határozza meg. Csere itt xértékét kapjuk

A legnagyobb tartomány szögénél minden talált érték egyenlő:

A kapott eredmények gyakorlatilag jól alkalmazhatók 200...600 km nagyságrendű lövedékek (rakéták) repülési jellemzőinek közelítő meghatározására. , mivel ezeken a távolságokon (és -on) a lövedék útja fő részét a sztratoszférában haladja át, ahol a légellenállás elhanyagolható. Rövidebb hatótávolságon az eredményt nagymértékben befolyásolja a légellenállás, 600 feletti tartományban km a gravitáció már nem tekinthető állandónak.

4. példa Magasban szerelt ágyúból h, a vízszinteshez képest szögben adott le egy lövést (6. ábra). Az ágyúgolyó nagy sebességgel kirepült a fegyvercsőből u. Határozzuk meg az atommag mozgásegyenleteit.

6. ábra

A mozgásdifferenciálegyenletek helyes összeállításához az ilyen problémákat egy bizonyos séma szerint kell megoldani.

a) Rendeljen koordinátarendszert (tengelyek száma, iránya és origója). A jól megválasztott tengelyek leegyszerűsítik a megoldást.

b) Mutasson meg egy pontot egy közbenső helyzetben. Ebben az esetben gondoskodni kell arról, hogy ennek a pozíciónak a koordinátái feltétlenül pozitívak legyenek (6. ábra).

c) Mutassa be a pontra ható erőket ebben a köztes helyzetben (ne mutasson tehetetlenségi erőket!).

Ebben a példában ez csak az erő, a mag súlya. A légellenállást nem vesszük figyelembe.

d) Alkoss differenciálegyenleteket a következő képletekkel: . Innen két egyenletet kapunk: és .

e) Oldjon meg differenciálegyenleteket!

Amint ebből a példából látható, a problémamegoldó séma meglehetősen egyszerű. Nehézségek csak a differenciálegyenletek megoldásánál merülhetnek fel, ami nehézkes lehet.

2) Egy pont mozgásának meghatározása természetes úton.

A koordináta módszer általában egy olyan pont mozgását határozza meg, amelyet semmilyen feltétel vagy összefüggés nem korlátoz. Ha egy pont mozgására, sebességére vagy koordinátáira korlátozások vonatkoznak, akkor az ilyen mozgás koordinátamódszerrel történő meghatározása egyáltalán nem egyszerű. Kényelmesebb a mozgásmeghatározás természetes módja.

Határozzuk meg például egy pont mozgását egy adott fix vonal mentén, egy adott pálya mentén (7. ábra).

7. ábra

Lényegre törő M Az adott aktív erők mellett a vonal reakciója működik. A reakció összetevőit természetes tengelyek mentén mutatjuk be

A mechanika alaptörvénye, amint jeleztük, egy anyagi pont számára kapcsolatot létesít a kinematikai (w - gyorsulás) és a kinetikai (- tömeg, F - erő) elemek között a következő formában:

A fő rendszernek választott inerciarendszerekre érvényes, ezért a benne megjelenő gyorsulást ésszerűen nevezhetjük egy pont abszolút gyorsulásának.

Amint jeleztük, a pontra ható erő általános esetben a pont pozíciójának időpontjától függ, amit a sugárvektor és a pont sebessége határoz meg, a pont gyorsulását a ponton keresztüli kifejezéssel helyettesítve sugárvektor, a dinamika alaptörvényét a következő formában írjuk fel:

Az utolsó bejegyzésben a mechanika alaptörvénye egy másodrendű differenciálegyenlet, amely egy pont véges alakú mozgásegyenletének meghatározására szolgál. A fent megadott egyenletet egy differenciális és vektor alakú pont mozgásegyenletének nevezzük.

Egy pont mozgásának differenciálegyenlete derékszögű koordinátákra vetítésben

A differenciálegyenlet integrálása (lásd fent) általános esetben összetett probléma, és ennek megoldására általában a vektoregyenletről a skaláris egyenletekre kell elmozdulni. Mivel a pontra ható erő függ a pont időbeli helyzetétől vagy koordinátáitól és a pont sebességétől vagy a sebesség vetületétől, akkor az erővektor vetületét jelölve téglalap alakú rendszer koordináták, illetve egy pont mozgási differenciálegyenletei skaláris formában a következők lesznek:

Egy pont mozgási differenciálegyenleteinek természetes alakja

Azokban az esetekben, amikor egy pont pályája előre ismert, például amikor a pályáját meghatározó pontra kényszer van érvényben, célszerű a mozgás vektoregyenletének az érintő mentén irányított természetes tengelyekre vetítését használni. , a pálya fő normálja és binormálisa. Az erő vetületei, amelyeket ennek megfelelően fogunk nevezni, ebben az esetben a t időtől, a pont helyzetétől függenek, amelyet a pálya íve és a pont sebessége határoz meg, vagy mivel a gyorsulás a következőre vetítéseken keresztül. természetes tengelyek a következő formában íródnak:

akkor a természetes tengelyekre vetített mozgásegyenletek a következő alakúak:

Ez utóbbi egyenleteket természetes mozgásegyenleteknek nevezzük. Ezekből az egyenletekből az következik, hogy a pontra ható erő vetülete a binormálisra nulla, és az erő vetülete a főnormálra az első egyenlet integrálása után kerül meghatározásra. Valójában az első egyenletből a t idő függvényében lesz meghatározva egy adott akkor, a második egyenletbe behelyettesítve azt találjuk, hogy egy adott pályára a görbületi sugara ismert.

Egy pont mozgásának differenciálegyenlete görbe vonalú koordinátákban

Ha egy pont helyzetét görbe vonalú koordinátái határozzák meg, akkor vetítéssel vektor egyenlet pont mozgása a koordinátaegyenesek érintőinek irányában, a mozgásegyenleteket a formában kapjuk meg.

Hasonló cikkek