Geometriai progresszió. Geometriai progresszióval alkotott sorozatok Geometriai sorozatok összege

8. TÉMAKÖR

NUMERIKUS SOROZAT

2. Geometriai progressziós sorozat.

3. A konvergens sorozatok alapvető tulajdonságai. A sor többi része.

4. Egy számsor konvergenciájának szükséges jele.

5. Harmonikus sorozat.

A sorok az egyik legfontosabb eszköz matematikai elemzés. Sorok segítségével a függvények, integrálok és megoldások hozzávetőleges értékeit találjuk meg differenciál egyenletek. Az alkalmazásokban található összes táblázat sorok segítségével van összeállítva.

Történelmi hivatkozás

Számelmélet és funkcionális sorozat fejlődését a 17. és 18. században kapta. Ekkor még nem voltak pontos definíciók a matematikai elemzés alapfogalmait illetően. Lehetségesnek tartották, hogy egy sorozatot, függetlenül annak konvergenciájától és divergenciájától, egyszerű összegként kezeljenek. Bár ezt az összeget „végtelen számú tagból állónak” tekintették, bizonyos (véges) számú tagból álló összegként kezelték. Ez időnként számítási hibákhoz vezetett, amelyek megmagyarázhatatlanok a matematikai tudomány akkori állapotában.

Az egynél kisebb nevezővel rendelkező végtelen geometriai progressziók összegzését már az ókorban végezték (Arkhimédész).

A harmonikus sorozat divergenciáját Meng olasz tudós állapította meg 1650-ben, majd szigorúbban Jacob és Nicholas Bernoulli testvérek. A hatványsorokat Newton (1665) vezette be, aki megmutatta, hogy ezek bármilyen függvény ábrázolására használhatók. Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann és sok más kiváló matematikus sok erőfeszítést fordított a sorozatelmélet továbbfejlesztésére.

E tudósok közé minden kétséget kizáróan fel kell sorolni Newton tanítványát, Taylort, aki kiadta fő munkáját „A direkt és inverz növelések módszere” címmel 1715-ben. Ebben a könyvben Taylor először adja meg egy tetszőleges analitikus függvény sorozatkiterjesztésének levezetését. Ezáltal teljesítmény sorozat a régióból kiengedő „híd” lett racionális függvények lépjen tovább a transzcendentális funkciók tanulmányozására.

Ennek a matematikához való hozzájárulásának alapvető jelentőségét azonban nem ismerték fel azonnal. 1742-ben megjelent Colin Maclaurin híres „Treatise on Fluxions”, amelyben Maclaurin új módon szerezte meg a nevét viselő sorozatot, és jelezte, hogy ez a sorozat megtalálható a „Növekedés módszerében”. Mivel Maclaurin számos funkción megmutatta, hogy ennek a sorozatnak a használata mérhetetlenül leegyszerűsíti a funkciók bővítésének problémáját, ez a sorozat, és így a Taylor sorozat is nagy népszerűségnek örvendett.

A Taylor-sorozat jelentősége még tovább nőtt, amikor 1772-ben Lagrange minden differenciálszámítás alapjává tette. Úgy vélte, hogy a függvények sorozatbővítésének elmélete tartalmazza a differenciálszámítás valódi alapelveit, megszabadítva az infinitezimálisoktól és a határértékektől.

1. kérdés A számsorok alapfogalmai

A végtelen sorozat fogalma alapvetően nem új. A végtelen sorozat csak egy sajátos formája egy numerikus sorozatnak. Azonban ez új forma rendelkezik néhány olyan funkcióval, amelyek kényelmesebbé teszik a sorok használatát.

Adott legyen végtelen sorozat számok

a 1, a 2, …, a n,…

O.1.1. A forma kifejezése

(1)

hívott számsorozat vagy egyszerűen közel.

Az a 1, a 2, …, a n,… számokat hívjuk egy szám tagjai, és a tetszőleges n számmal rendelkező a n számot hívjuk sorozat közös tagja (1).

Az (1) sorozatot adottnak tekintjük, ha az a n sorozat általános tagja ismert, n számának függvényében kifejezve:

a n = f(n), n = 1,2,…

1. példa. Egy közös kifejezéssel rendelkező sorozatnak van formája

O.1.2. Az (1) sorozat első n tagjának összegét nevezzük n-sorozat részösszegeés S n jelöli, azaz.

S n = a 1 + a 2 + …+ a n .

Tekintsük az (1) sorozat részösszegeinek sorozatát:

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ……., S n = a 1 + a 2 + …+ a n, …… (2)

O.1.3. Az (1) sort hívják konvergens, ha a (2) részösszegei sorozatának van véges S határa, azaz. . Ebben az esetben az S számot hívják a sorozat összege (1).

Rögzítve:

Az O.1.3 definícióból az következik, hogy a sorozat összege nem feltétlenül létezik. Ez a fő különbség a végtelen sorozatok és a véges összegek között: minden véges számhalmaznak szükségszerűen van összege, „de a végtelen számhalmaz összeadása nem mindig lehetséges”.

Ha nem létezik, vagy akkor az (1) sorozat hívódik meg divergens. Ennek a sorozatnak nincs összege.

Példa 2.

1. Sor konvergál, és összege S = 0.

2. Sor eltér, mert

2. kérdés Geometriai progressziós sorozat

O.2.1. Egy geometriai progresszió tagjaiból felépített sorozat, azaz. az űrlap sorozata

, a¹ 0, (3)

Egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele.

Harmonikus sorozat

Tétel a sorozat konvergenciájához szükséges feltételről.

Ha egy sorozat konvergál, akkor ennek a sorozatnak a közös tagok sorozatának határa nulla:

. (1.11)

Egy másik megfogalmazás. Ahhoz, hogy egy sorozat konvergáljon, szükséges (de nem elégséges!), hogy a sorozat közös tagjainak sorozatának határa nullával egyenlő legyen.

Megjegyzés. Néha a rövidség kedvéért kihagyják a „szekvencia” szót, és azt mondják: „a sorozat közös tagjának határa nulla”. Ugyanez a részösszegek sorozatára („részösszegkorlát”).

A tétel bizonyítása. Jelenítsük meg a sorozat általános tagját az (1.10) formában:

Feltétel szerint a sorozat konvergál, ezért Nyilvánvaló, hogy , mert PÉs P-1 hajlamos egyszerre a végtelenbe . Határozzuk meg a sorozat közös tagjainak sorozatának határát:

Megjegyzés. A fordított állítás nem igaz. A sorozatnak megfelelő feltétel (1.11) nem feltétlenül konvergál. Ezért a feltétel vagy előjel (1.11) szükséges, de nem elégséges jele a sorozatok konvergenciájának.

1. példa. Harmonikus sorozat. Fontolja meg a sorozatot

(1.12)

Ezt a sorozatot harmonikusnak nevezik, mert minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok harmonikus átlaga:

Például:

1.3.1. ábra 1.3.2

A harmonikus sorozat általános tagja kielégíti a sorozat (1.11) konvergenciájához szükséges feltételt: (1.3.1. ábra). A későbbiekben azonban (a Cauchy-féle integrálteszt segítségével) kiderül, hogy ez a sorozat divergál, i.e. összege egyenlő a végtelennel. Az 1.3.2. ábra azt mutatja, hogy a részösszegek a szám növekedésével korlátlanul nőnek.

Következmény. A sorozatok konvergenciájához szükséges feltételből az következik elegendő bizonyíték eltérések sor: ha vagy nem létezik, akkor a sorozat eltér.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. (vagy nem létezik), de a sorozat konvergál. De a sorozat konvergenciájának szükséges feltételére vonatkozó tétel szerint a közös tag határának nullával kell egyenlőnek lennie: . Ellentmondás.

2. példa Vizsgáljunk konvergencia szempontjából egy közös tagú sorozatot .

Ez a sorozat így néz ki:

Keressük meg a sorozat általános tagjának határát:

. A következmény szerint ez a sorozat eltér egymástól.

Geometriai haladással képzett sorozat

Tekintsünk egy geometriai progresszióból álló sorozatot. Emlékezzünk vissza, hogy a geometriai progressziót ún számsor, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal, nem egyenlő nullávalés e progresszió nevezőjének nevezték. A geometriai progresszió így néz ki:

és a tagjaiból álló sorozat:

Az ilyen sorozatokat geometriai sorozatnak nevezik, de néha a rövidség kedvéért egyszerűen geometriai sorozatnak. A „geometriai” progresszió elnevezést azért kaptuk, mert minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a geometriai átlag szomszédos tagjai:

, vagy .

Tétel. Egy geometriai progresszióból álló sorozat

at és konvergál a , és at sorozatok összege

Bizonyíték. A sorozat általános tagjának, akárcsak a geometriai progresszió általános tagjának, a következő alakja van: .

1) Ha , akkor , mert ebben az esetben – végtelenül nagy érték.

2) Amikor a sor másként viselkedik, mert különböző típusokat vesz fel.

Nál nél ;

Mert egy állandó határértéke megegyezik magával az állandóval. Mert tétel feltételei szerint , a sorozat közös tagja nem hajlik nullára.

Nál nél ; nincs határ.

Így amikor nem tart szükséges feltétel sorozat konvergencia:

Következésképpen az (1.13) sorozat eltér.

3) Ha , akkor a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük. Az iskolai tanfolyamból ismert, hogy n Az (1.13) sorozat negyedik részösszege a következőképpen ábrázolható:

Keressük meg a sorozat összegét. Mióta (végtelen kicsi érték), akkor

Így mikor sorozat (1.13) konvergál, és összege egyenlő

. (1.16)

Ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege.

1. példa.

1.4.1. ábra

=2.

Becsüljük meg az összegét, pl. Próbáljuk meg meghatározni, mire hajlik a részösszegeinek sorrendje.

Látható, hogy a részösszegek sorozata a 2-es számra hajlik (1.4.1. ábra).

Most pedig bizonyítsuk be. Használjuk ki azt a tényt, hogy ez a sorozat egy geometriai progresszió tagjaiból összeállított sorozat, ahol . Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege

2. példa.

Hasonlóan számítják ki. Mivel a sorozat számos tagjának az előző példától eltérően mínusz előjele van, az összeg kisebbnek bizonyult.

3. példa.

Ez egy geometriai sorozat, ahol >1. Ez a sorozat eltér egymástól.

A konvergens sorozatok tulajdonságai

Tekintsünk két konvergens sorozatot:

, (1.17)

. (1.18)

1. Két konvergens sorozat tagonkénti összeadásával (kivonásával) kapott sorozat is konvergál, és összege megegyezik az eredeti sorozat algebrai összegével, azaz.

. (1.19)

Bizonyíték.Állítsuk össze az (1.17) és (1.18) sorozatok részösszegeit:

Mert Feltétel szerint ezek a sorozatok konvergálnak, és vannak korlátai ezeknek a részösszegeknek:

, .

Állítsuk össze az (1.19) sorozat részösszegét, és keressük meg a határértékét:

Példa.

;

Megjegyzés. A fordított állítás hamis, i.e. az (1.19) egyenlőség bal oldalán lévő sorozatok konvergenciája nem jelenti az és a sorozatok konvergenciáját. Például a 4. példában vizsgált sorozat konvergál, és összege 1; ennek a sorozatnak az általános kifejezése a következőre változott:

Ezért a sorozat így írható:

Most fontoljuk meg külön sorok:

Ezek a sorozatok eltérnek, mert harmonikus sorozatok. Így a sorozatok algebrai összegének konvergenciája nem jelenti a tagok konvergenciáját.

2. Ha egy konvergens sorozat minden tagja az összeggel S szorozzuk meg ugyanazzal a számmal Val vel, akkor a kapott sorozat is konvergál, és megvan az összeg cS:

. (1.20)

A bizonyítás hasonló az első tulajdonsághoz (bizonyítsd be magad).

Példa.c= 10000;

Mindkét sorozat összefolyik, mert összegük véges.

Így a konvergens sorozatokat tagonként összeadhatjuk, kivonhatjuk és szorozhatjuk egy állandó tényezővel.

3. Tétel egy sorozat első néhány tagjának elvetéséről.

Egy sorozat első néhány tagjának eltávolítása (vagy hozzáadása) nem befolyásolja a sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját. Más szóval, ha a sorozat konvergál

akkor a sorozat konvergál

. (1.22)

(de az összeg ettől eltérő lehet). És fordítva, ha az (1.22) sorozat konvergál, akkor az (1.21) sorozat is konvergál.

1. megjegyzés. A matematikában a "több" kifejezés "véges számot" jelent, azaz. lehet 2, 100, 10 100 vagy több.

Jegyzet 2. Ebből a tulajdonságból következik, hogy a sorozatok közös kifejezésekkel és a konvergencia értelmében egyenértékűek. Például egy harmonikus sorozatnak van egy közös kifejezése, és egy sorozatnak közös kifejezésekkel és - harmonikus is.

4. A sor többi része. A tulajdonát. Ha a sor elsőit eldobjuk k tagok, ez menni fog új sor, hívott a sorozat többi része után k- th tagja.

Meghatározás. k- a sorozat hátralévő része

sornak nevezik

(1.23),

az első eldobásával kapott k az eredeti sorozat tagjai.

Index k azt jelenti, hogy a sorozatból hány első tagot vetünk el. És így,

stb.

1.5.2. ábra

Összeállíthat egy maradék sorozatot, és megvizsgálhatja a konvergenciáját

, ellentétben az előző tétellel, ahol a végtelenbe hajlott P. Ennek a sorozatnak minden következő tagjában „kevesebb” kifejezés található (sőt, mindegyik többi részében). végtelen szám). Azt is mondhatjuk, hogy itt a dinamika a sorozat elején játszódik, és nem a végén.

A sorozat maradéka a sorozat összege és részösszege közötti különbségként is meghatározható (1.5.1. ábra):

. (1.24)

1.5.2. ábra

Határozzuk meg a sorozat határát egy konvergens sorozatra az összeggel S nál nél . A sorozat összegének meghatározásából az következik:

Ezután az (1.24)-ből a következő:

Azt találtuk, hogy a konvergens sorozat maradéka egy végtelenül kicsi mennyiség , azaz amikor a sorozat eldobott tagjainak száma a végtelenbe hajlik. Ez látható az 1.5.1. és 1.5.2. ábrákon.

Megjegyzés. A sorozat több tagjának elvetésére vonatkozó tétel a következőképpen fogalmazható meg: ahhoz, hogy egy sorozat konvergáljon, szükséges és elégséges, hogy a maradéka nullára hajlik.

§ 1.6. Pozitív sorozat

Vegyünk egy sorozatot nem negatív kifejezésekkel

Az ilyen sorozatokat hívjuk pozitív előjel. Tekintsük egy pozitív sorozat (1.26) részösszegeinek sorozatát. Ennek a sorozatnak a viselkedése különösen egyszerű: monoton módon növekszik, mint n, azaz . (mivel minden következő részösszeghez hozzáadódik egy nem negatív szám).

Weierstrass tétele szerint bármely monoton korlátos sorozat konvergál (lásd az első év I. szemeszterét). Ez alapján fogalmazzuk meg általános kritérium pozitív tagokkal rendelkező sorozatok konvergenciája.

Tétel(pozitív sorozatok konvergenciájának általános kritériuma). Ahhoz, hogy egy pozitív sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy részösszegeinek sorozata korlátos legyen.

Emlékezzünk vissza egy sorozat korlátosságának definíciójára: egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha létezik M>0 olyan, hogy azért (1.6.1. ábra). Pozitív sorozatokhoz , és fentről beszélhetünk korlátoltságról, mert alatta nulla határolja.

Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Konvergáljon az (1.26) sorozat, és legyen határa a részösszegek sorozatának, azaz. konvergál. A konvergens sorozat korlátosságának tétele szerint bármely konvergens sorozat korlátos Þ korlátos.

2) Elegendőség. Legyen az (1.26) sorozatok részösszegeinek sorozata korlátos.

Mert , azaz monoton. A monoton korlátos sorozatokra vonatkozó Weierstrass-tétel szerint ez konvergál és az (1.26) sorozat konvergál.

Ismered a sakktáblán lévő gabonákról szóló csodálatos legendát?

A sakktáblán lévő gabonák legendája

Amikor a sakk megalkotója (egy Sessa nevű ősi indiai matematikus) bemutatta találmányát az ország uralkodójának, annyira megtetszett neki a játék, hogy megengedte a feltalálónak, hogy maga válassza ki a jutalmat. A bölcs megkérte a királyt, hogy fizessen neki egy búzaszemet a sakktábla első mezőjéért, kettőt a másodikért, négyet a harmadikért stb., minden következő mezőn megduplázva a szemek számát. Az uralkodó, aki nem értett a matematikához, gyorsan beleegyezett, még ha kissé meg is sértette a találmány ilyen alacsony értékelése, és megparancsolta a pénztárosnak, hogy számolja ki és adja meg a feltalálónak a szükséges gabonamennyiséget. Amikor azonban egy héttel később a kincstárnok még mindig nem tudta kiszámítani, mennyi gabonára van szükség, az uralkodó megkérdezte, mi volt a késés oka. A kincstárnok megmutatta neki a számításokat, és azt mondta, hogy nem lehet fizetni. A király csodálkozva hallgatta a vén szavait.

Mondd el nekem ezt a szörnyű számot – mondta.

18 kvintimillió 446 kvadrillió 744 billió 73 milliárd 709 millió 551 ezer 615, ó Uram!

Ha feltételezzük, hogy egy búzaszem tömege 0,065 gramm, akkor a sakktáblán lévő búza össztömege 1200 billió tonna lesz, ami több, mint az emberiség teljes történelme során betakarított teljes búzamennyiség!

Meghatározás

Geometriai progresszió- számsor ( a progresszió tagjai), amelyben a másodiktól kezdődően minden következő számot az előzőből kapunk, megszorozva egy bizonyos számmal ( progresszió nevezője):

Például az 1, 2, 4, 8, 16, ... sorozat geometriai ()