Egy síkon lévő vonalat úgy fogunk tekinteni, mint locus M(x, y) pontok, amelyek valamilyen feltételt teljesítenek.
Ha be Descartes-rendszer koordináták, írjuk fel azt a tulajdonságot, amivel az egyenes minden pontja rendelkezik, a koordinátákat és néhány állandót összekapcsolva egy F(x, y) = 0 vagy formájú egyenletet kaphatunk.
Példa. Írja fel a C(x 0 , y 0) pontban lévő középpontú és R sugarú kör egyenletét!
A kör a C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok geometriai helye. Vegyük az M pontot aktuális koordinátákkal. Ezután |CM| = R vagy 
vagy .
Ha a kör középpontja az origóban van, akkor x 2 + y 2 = R 2 .
Nem minden F(x, y) = 0 alakú egyenlet határoz meg egyenest a jelzett értelemben: x 2 + y 2 = 0 egy pont.
Egyenesen egy repülőn.
Az adott síkon lévő egyenesek a térbeli vonalak speciális esetei. Ezért egyenleteik a térbeli vonalak megfelelő egyenleteiből nyerhetők.
Egy síkon lévő egyenes általános egyenlete. Egy egyenes egyenlete szögegyütthatóval.
Bármilyen közvetlen XOY repülőgép az Ax + By + Cz + D = 0 sík és az XOY sík metszésvonalaként adható meg: z = 0.
- egyenes az XOY síkban: Ax + By + D = 0.
A kapott egyenletet ún általános egyenlet egyenes. A jövőben a következő formában írjuk:
Ax + By + C = 0 (1)
1) Legyen , akkor vagy y = kx + b (2) – szögegyütthatós egyenes egyenlete. találjuk ki geometriai jelentése k és b.
Tegyük fel x = 0-t. Ekkor y = b az egyenes kezdő ordinátája.
Tegyük fel y = 0-t. Ekkor ; - egy egyenes meredekségi együtthatója.
Speciális esetek: a) b = 0, y=kx – az egyenes átmegy az origón; b) k = 0, y = b – az OX tengellyel párhuzamos egyenes; b) ha B = 0, akkor Ax + C = 0, ,
Ez azoknak a pontoknak a lokusza, amelyeknek állandó abszcisszája egyenlő a-val, i.e. az egyenes merőleges az OX tengelyre.
Egyenes egyenlete szakaszokban.
Legyen adott az egyenes általános egyenlete: Ax + By + C = 0, és . Osszuk el mindkét oldalt –C-vel:
vagy (3),
Ahol ; . Ez egy vonal egyenlete szakaszokban. Az a és b számok a koordinátatengelyeken levágott szakaszok értékei.
Egy átmenő egyenes egyenlete ez a pont adott lejtéssel.
Legyen adott egy L egyenesen fekvő M 0 (x 0, y 0) pont és egy k szögegyüttható. Írjuk fel az egyenletet:
Itt b ismeretlen. Keressük meg, figyelembe véve, hogy M 0 L:
y 0 = kx 0 + b (**).
Vonja ki kifejezésenként az (1) (2) pontból:
y – y 0 = k(x – x 0) (4).
Egy adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete.
Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete.
Legyen adott két M 1 (x 1 , y 1) és M 2 (x 2 , y 2) L pont. Írjuk fel a (4) egyenletet a következő alakban: y – y 1 = k(x – x 1). Mert M 2 L, akkor y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1). Osszuk el kifejezésekkel:
(5),
Ennek az egyenletnek akkor van értelme, ha , . Ha x 1 = x 2, akkor M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 1, y 2). Ha y 2 = y 1, akkor M 1 (x 1, y 1); M 2 (x 2, y 1).
Így, ha az (5) egyik nevezője nullává válik, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani.
Példa. M 1 (3, 1) és M 2 (-1, 4). Írja fel az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenletét! Keresse meg k.
Egy síkon lévő egyenes egyenlete.
Mint ismeretes, a sík bármely pontját két koordináta határozza meg valamilyen koordinátarendszerben. A koordinátarendszerek a bázis és az eredet megválasztásától függően eltérőek lehetnek.
Meghatározás. Vonalegyenlet aránynak nevezzük y = f(x ) az ezt az egyenest alkotó pontok koordinátái között.
Megjegyzendő, hogy egy egyenes egyenlete kifejezhető paraméteresen, azaz minden pont minden koordinátája valamilyen független paraméteren keresztül van kifejezve.t.
Tipikus példa egy mozgó pont pályája. Ebben az esetben a paraméter szerepét az idő játssza.
Egy síkon lévő egyenes egyenlete.
Meghatározás. A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel
Ax + Wu + C = 0,
Ráadásul az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával, azaz. A 2 + B 2¹ 0. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete.
Az értékektől függően A, B állandóés C a következő speciális esetek lehetségesek:
C = 0, A¹0, B¹ 0 – egyenes halad át az origón
A = 0, B 1 0, C 1 0 ( + C-vel = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes
B = 0, A ¹ 0, C 1 0 ( Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes
B = C = 0, A1 0 – egyenes egybeesik az Oy tengellyel
A = C = 0, B1 0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel
Az egyenes egyenlete ábrázolható különféle formákban az adott kezdeti feltételektől függően.
Távolság egy ponttól egy vonalig.
Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Bу + C = 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:
.
Bizonyíték. Legyen M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:
(1)
Koordináták x 1 és y 1 az egyenletrendszer megoldásaként:
A rendszer második egyenlete egy adott egyenesre merőleges M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 szerint + C = 0,
majd megoldva kapjuk:
Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:
.
A tétel bizonyítást nyert.
Példa. Határozza meg az egyenesek közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
K1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4.
Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x – 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y – 3 = 0 egyenesek merőlegesek.
Találjuk: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, ezért az egyenesek merőlegesek.
Példa. Adott az A(0; 1) háromszög csúcsai, B (6; 5), C (12; -1). Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!
10.1. Alapfogalmak
Egy síkon lévő egyenest olyan pontok halmazának tekintjük (meghatározva), amelyeknek valamilyen geometriai tulajdonsága van, amely csak rájuk jellemző. Például egy R sugarú kör a sík összes pontjának halmaza, amelyek - R - távolságra helyezkednek el valamely rögzített O ponttól (a kör középpontjától).
A koordináta-rendszer bevezetése egy síkon lehetővé teszi egy pont helyzetének meghatározását a síkon két szám megadásával - a koordinátáit, és egy egyenes helyzetét a síkon, amelyet egyenlet (vagyis összekötő egyenlőség) segítségével kell meghatározni. az egyenes pontjainak koordinátái).
Vonalegyenlet(vagy görbe) az Oxy síkon egy olyan F(x;y) = 0 egyenlet két változóval, amely teljesül az egyenes minden pontjának x és y koordinátáival, és nem teljesül egyetlen pont koordinátái sem. ezen a vonalon fekszik.
Az egyenes egyenletben szereplő x és y változókat a vonalpontok aktuális koordinátáinak nevezzük.
Az egyenes egyenlete lehetővé teszi, hogy egy egyenes geometriai tulajdonságainak tanulmányozását az egyenletének tanulmányozásával helyettesítsük.
Tehát annak megállapításához, hogy az A(x 0 ; y 0) pont egy adott egyenesen fekszik-e, elegendő (geometriai konstrukciók igénybevétele nélkül) ellenőrizni, hogy az A pont koordinátái kielégítik-e ennek az egyenesnek az egyenletét a választott koordinátán. rendszer.
Az F 1 (x 1 ;y 1) = 0 és F 2 (x 2 ;y) = 0 egyenletek által adott két egyenes metszéspontjainak megtalálásának problémája lecsökkenti azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik mindkét egyenletet. vonalak, azaz két egyenletrendszer megoldására redukálódik két ismeretlennel:
Ha ennek a rendszernek nincsenek valós megoldásai, akkor az egyenesek nem metszik egymást.
Hasonló módon vezetjük be a poláris koordináta-rendszerben az egyenes egyenletének fogalmát.
Az F(r; φ)=O egyenletet egy adott egyenes egyenletének nevezzük a polárkoordináta-rendszerben, ha bármely ezen az egyenesen található pont koordinátái teljesítik ezt az egyenletet.
Egy síkon lévő egyenes két egyenlettel definiálható:
ahol x és y egy adott egyenesen fekvő tetszőleges M(x; y) pont koordinátái, t pedig egy paraméternek nevezett változó; a t paraméter határozza meg az (x; y) pont helyzetét a síkon.
Például, ha x = t + 1, y = t 2, akkor a t = 1 paraméter értéke a síkon lévő (3; 4) pontnak felel meg, mivel x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.
Ha a t paraméter változik, akkor a síkon lévő pont elmozdul, leírva ezt az egyenest. Ezt a vonal meghatározásának módszerét ún parametrikus, és a (10.1) egyenletek - parametrikus egyenletek vonalak.
Ahhoz, hogy egy egyenes parametrikus egyenleteiről egy F(x;y) = 0 alakú egyenletre lépjünk át, a t paramétert valahogyan ki kell távolítani a két egyenletből.
Például az egyenletekből t = x behelyettesítésével
a második egyenletbe könnyen beszerezhető az y = x 2 egyenlet; vagy y-x 2 = 0, azaz F(x; y) = 0 alakú. Azonban vegye figyelembe, hogy egy ilyen átmenet nem mindig lehetséges.
Egy síkon lévő egyenes vektoregyenlettel adható meg r =r(t), ahol t egy skaláris változó paraméter. Minden t 0 érték egy adott vektornak felel meg r =r(t) repülőgép. Amikor a t paraméter megváltozik, a vektor vége r =r(t) egy bizonyos sort fog leírni (lásd 31. ábra).
Vektoros egyenlet r =r(t) az Oxy koordinátarendszerben két skaláris egyenletnek (10.1) felel meg, azaz az egyenes vektoregyenletének koordinátatengelyeire vonatkozó vetületek egyenletei parametrikus egyenletek. I A vektoregyenletnek és az I egyenes paraméteres egyenleteinek mechanikai jelentése van. Ha egy pont egy síkon mozog, akkor a jelzett egyenleteket mozgásegyenleteknek, az egyenest pedig a pont pályájának nevezzük, a t paraméter az idő. Tehát a síkon minden egyenes megfelel valamilyen F(x; y) = 0 alakú egyenletnek.
Bármely F(x; y) = 0 alakú egyenlethez általánosságban szólva megfelel egy bizonyos egyenes, amelynek tulajdonságait ez az egyenlet határozza meg (az „általánosan szólva” kifejezés azt jelenti, hogy a fentiek kivételeket tesznek lehetővé. Így a az (x-2) 2 + (y- 3) 2 = 0 egyenlet nem az egyenesnek, hanem a (2; 3) pontnak felel meg, az x 2 + y 2 + 5 = 0 egyenlet nem felel meg semmilyen geometriai képnek a repülőn).
BAN BEN analitikus geometria két fő probléma merül fel a gépen. Először is: tudni geometriai tulajdonságok görbe, keresse meg az egyenletét) második: a görbe egyenletének ismeretében tanulmányozza annak alakját és tulajdonságait.
A 32-40. ábrák néhány görbére és azok egyenleteire mutatnak példákat.
10.2. Egy síkon lévő egyenes egyenletei
A legegyszerűbb vonal az egyenes. Egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes megadásának különböző módjai felelnek meg különböző típusok az egyenleteit.
A meredekségű egyenes egyenlete
Legyen adott egy tetszőleges egyenes az Oxy síkon, ne a tengellyel párhuzamos OU. Helyét teljesen meghatározza az Oy tengellyel metsző N(0; b) pont b ordinátája, valamint az Ox tengely és az egyenes közötti a szög (lásd 41. ábra).
Szögben a (0 A szög érintőjének meghatározásából az következik Vezessük be a tg a=k jelölést, megkapjuk az egyenletet amelyet az egyenes bármely M(x;y) pontjának koordinátái teljesítenek. Győződjön meg arról, hogy az ezen az egyenesen kívül eső P(x;y) pont koordinátái nem felelnek meg a (10.2) egyenletnek. A k = tga számot az egyenes meredekségének nevezzük, a (10.2) egyenlet pedig az egyenes és a meredekség egyenlete. Ha egy egyenes átmegy az origón, akkor b = 0, és ezért ennek az egyenesnek az egyenlete y=kx lesz. Ha az egyenes párhuzamos az Ox tengellyel, akkor a = 0, ezért k = tga = 0 és a (10.2) egyenlet y = b alakot ölt. Ha az egyenes párhuzamos az Oy tengellyel, akkor a (10.2) egyenlet értelmét veszti, mivel számára a szögegyüttható Ebben az esetben az egyenes egyenletének alakja lesz Ahol a- az egyenes és az Ox tengellyel való metszéspont abszcisszán. Vegye figyelembe, hogy a (10.2) és (10.3) egyenletek elsőfokú egyenletek. Az egyenes általános egyenlete. Tekintsünk egy elsőfokú egyenletet x és y általános formában ahol A, B, C tetszőleges számok, és A és B nem egyenlő nullával egyszerre. Mutassuk meg, hogy a (10.4) egyenlet egy egyenes egyenlete. Két eset lehetséges. Ha B = 0, akkor a (10.4) egyenlet alakja Ax + C = O, és A ¹ 0, azaz. Ez az Oy tengellyel párhuzamos és a ponton áthaladó egyenes egyenlete Ha B ¹ 0, akkor a (10.4) egyenletből kapjuk Tehát a (10.4) egyenlet egy egyenes egyenlete, az úgynevezett az egyenes általános egyenlete. A vonal általános egyenletének néhány speciális esete: 1) ha A = 0, akkor az egyenletet a formára redukáljuk. Ez az Ox tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete; 2) ha B = 0, akkor az egyenes párhuzamos az Oy tengellyel; 3) ha C = 0, akkor . Az egyenletet az O(0;0) pont koordinátái teljesítik, az egyenes átmegy az origón. Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete Hagyjon át egy egyenest egy ponton, és irányát a k lejtő határozza meg. Ennek a sornak az egyenlete felírható alakban, ahol b egy jelenleg ismeretlen mennyiség. Mivel az egyenes átmegy a ponton, a pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét:. Innen. A b értékét behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk az egyenes kívánt egyenletét: , azaz. A különböző k értékekkel rendelkező (10.5) egyenletet a pontban középponttal rendelkező vonalak egyenleteinek is nevezik. Ebből a ceruzából nem lehet csak az Oy tengellyel párhuzamos egyenest meghatározni. Két ponton átmenő egyenes egyenlete Hagyja, hogy a vonal áthaladjon a pontokon és . Az M 1 ponton átmenő egyenes egyenlete a következő alakú ahol k egy még ismeretlen együttható. Mivel az egyenes áthalad a ponton, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: . Itt találjuk. A k talált értékét a (10.6) egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a pontokon átmenő egyenes egyenletét. M 1 és M 2. Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben Ha x 2 = x 1 a pontokon átmenő és az ordinátával párhuzamos egyenes. Az egyenlete így néz ki. Ha y 2 = y 1, akkor az egyenes egyenlete felírható alakba, sorba M 1 M 2 párhuzamos az x tengellyel. Egy vonal egyenlete szakaszokban Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mivel az α és b számok azt jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken. Adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen Határozzuk meg egy adott ponton átmenő egyenes egyenletét egy adott nem nulla vektorra merőlegesen. A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen. Az egyenesre merőleges vektort az egyenes normálvektorának nevezzük. A (10.8) egyenlet átírható így ahol A és B a normálvektor koordinátái, és a szabad tag. A (10.9) egyenlet egy egyenes általános egyenlete (lásd (10.4)). Egy egyenes poláris egyenlete Egy adott egyenes bármely pontjára a következőt kapjuk: A másik oldalon, Ennélfogva, A kapott (10.10) egyenlet egy egyenes egyenlete poláris koordinátákban. Egy egyenes normálegyenlete Határozzuk meg az egyenest p és α megadásával (lásd 45. ábra). Tekintsünk egy téglalap alakú koordináta-rendszert. Mutassuk be a poláris rendszert a pólus és a poláris tengely alapján. Az egyenes egyenlete úgy írható fel De a téglalap- és polárkoordinátákat összekötő képletek miatt van: , . Következésképpen a (10.10) egyenlet egy téglalap alakú koordinátarendszerben a következő alakot ölti: A (10.11) egyenletet nevezzük egy egyenes normálegyenlete. Szorozzuk meg a (10.4) egyenlet összes tagját valamilyen tényezővel. Megkapjuk. Ennek az egyenletnek a (10.11) egyenletté kell alakulnia. Ezért az egyenlőségeket teljesülni kell: , , . Az első két egyenlőségből azt találjuk, i.e. e. Mint ismeretes, a sík bármely pontját két koordináta határozza meg valamilyen koordinátarendszerben. A koordinátarendszerek a bázis és az eredet megválasztásától függően eltérőek lehetnek. Meghatározás. Vonalegyenlet Ezt az egyenest alkotó pontok koordinátái közötti y = f(x) összefüggésnek nevezzük. Megjegyzendő, hogy egy egyenes egyenlete kifejezhető paraméteresen, azaz minden pont minden koordinátája valamilyen független paraméteren keresztül van kifejezve. t. Tipikus példa egy mozgó pont pályája. Ebben az esetben a paraméter szerepét az idő játssza. Egy síkon lévő egyenes egyenlete. Meghatározás.
A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel Ax + Wu + C = 0, Ráadásul az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával, azaz. A 2 + B 2 ¹ 0. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete. Az A, B és C állandók értékétől függően a következő speciális esetek lehetségesek: C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – az egyenes átmegy az origón A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes B = C = 0, A ¹ 0 – az egyenes egybeesik az Oy tengellyel A = C = 0, B ¹ 0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel Az egyenes egyenlete az adott kezdeti feltételektől függően különböző formában is bemutatható. Egy pontból induló egyenes és egy normálvektor egyenlete. Meghatározás.
A derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy (A, B) komponensű vektor merőleges az Ax + By + C = 0 egyenlet által adott egyenesre. Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) ponton átmenő egyenes egyenletét a (3, -1) vektorra merőlegesen! Ha A = 3 és B = -1, állítsuk össze az egyenes egyenletét: 3x – y + C = 0. A C együttható megtalálásához behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit a kapott kifejezésbe. Kapjuk: 3 – 2 + C = 0, ezért C = -1. Összesen: a szükséges egyenlet: 3x – y – 1 = 0. Két ponton átmenő egyenes egyenlete. Legyen két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pont adott a térben, akkor az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenlete: Ha bármelyik nevező nulla, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani. A síkon a fent leírt egyenes egyenlete leegyszerűsödik: ha x 1 ¹ x 2 és x = x 1, ha x 1 = x 2. A = k törtet nevezzük lejtő egyenes. Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét! A fent leírt képlet alkalmazásával a következőt kapjuk: Egy egyenes egyenlete pont és meredekség felhasználásával. Ha az Ax + By + C = 0 egyenes általános egyenletét a következő alakra redukáljuk: és jelölje, akkor a kapott egyenletet nevezzük k meredekségű egyenes egyenlete. Egy pontból induló egyenes és egy irányvektor egyenlete. A normálvektoron áthaladó egyenes egyenletét figyelembe vevő ponthoz hasonlóan megadhatja az egyenes definícióját egy ponton keresztül és az egyenes irányítóvektorát. Meghatározás.
Minden olyan nem nulla vektort (a 1 , a 2), amelynek összetevői teljesítik az Aa 1 + Ba 2 = 0 feltételt, az egyenes irányító vektorának nevezzük. Ax + Wu + C = 0. Példa. Határozzuk meg egy (1, -1) irányvektorral és az A(1, 2) ponton áthaladó egyenes egyenletét! A kívánt egyenes egyenletét a következő formában fogjuk keresni: Ax + By + C = 0. A definíció szerint az együtthatóknak meg kell felelniük a feltételeknek. A síkon lévő egyenes olyan pontok összessége ezen a síkon, amelyeknek bizonyos tulajdonságai vannak, míg a nem egy adott egyenesen lévő pontok nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal. Az egyenes egyenlete analitikusan kifejezett összefüggést határoz meg az ezen az egyenesen fekvő pontok koordinátái között. Adjuk meg ezt az összefüggést az egyenlet F( x,y)=0. (2.1) A (2.1)-et kielégítő számpár nem tetszőleges: ha x akkor adott nál nél nem lehet semmi, jelentése nál nél társult, összekapcsolt, társított valamivel x. Amikor megváltozik x változtatások nál nél, és egy pont koordinátákkal ( x,y) írja le ezt a sort. Ha az M 0 pont koordinátái ( x 0 ,nál nél 0) teljesíti a (2.1) egyenletet, azaz. F( x 0 ,nál nél 0)=0 valódi egyenlőség, akkor az M 0 pont ezen az egyenesen található. Ennek fordítva is igaz. Meghatározás. Egy síkon lévő egyenes egyenlete olyan egyenlet, amely teljesül az ezen az egyenesen fekvő bármely pont koordinátáival, és nem teljesül azon pontok koordinátáival, amelyek nem ezen az egyenesen helyezkednek el.. Ha egy bizonyos egyenes egyenlete ismert, akkor ennek az egyenesnek a geometriai tulajdonságainak tanulmányozása az egyenlet tanulmányozására redukálható - ez az analitikus geometria egyik fő gondolata. Az egyenletek tanulmányozására jól kidolgozott matematikai elemzési módszerek állnak rendelkezésre, amelyek leegyszerűsítik a vonalak tulajdonságainak vizsgálatát. A vonalak mérlegelésekor a kifejezést használják aktuális pont egyenes – változó pont M( x,y), ezen a vonalon haladva. Koordináták xÉs nál nél aktuális pontot hívják aktuális koordináták vonalpontok. Ha a (2.1) egyenletből explicit módon kifejezhetjük nál nél 1. Az egyenlet adott: , vagy . Ha x akkor tetszőleges értékeket vesz fel nál nél egyenlő értékeket vesz fel x. Következésképpen az ezzel az egyenlettel definiált egyenes az Ox és Oy koordinátatengelyektől egyenlő távolságra lévő pontokból áll – ez az I–III koordinátaszögek felezőpontja (egyenes a 2.1. ábrán). A vagy egyenlet határozza meg a II–IV koordinátaszögek felezőjét (egyenes a 2.1. ábrán). 0 x 0 x C 0 x rizs. 2.1 ábra. 2.2 ábra. 2.3 2. Adott egyenlet: , ahol C valamilyen állandó. Ez az egyenlet másképp is felírható: . Ezt az egyenletet ezek és csak azok a pontok, ordináták teljesítik nál nél amelyek bármely abszcissza érték esetén egyenlők C-vel x. Ezek a pontok az Ox tengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek (2.2. ábra). Hasonlóképpen, az egyenlet az Oy tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg (2.3. ábra). Nem minden F( alakú egyenlet x,y A )=0 egy egyenest határoz meg a síkon: az egyenletet egyetlen pont – O(0,0) – teljesíti, és az egyenletet a síkon egyetlen pont sem teljesíti. A megadott példákban egy adott egyenletet használtunk az egyenlet által meghatározott egyenes felépítésére. Tekintsük az inverz problémát: készítsük el az egyenletét egy adott egyenes segítségével. 3. Hozzon létre egyenletet egy körre, amelynek középpontja a P( a,b) És ○ Az a kör, amelynek középpontja a P pontban van és sugara R, olyan pontok halmaza, amelyek R távolságra helyezkednek el a P ponttól. Ez azt jelenti, hogy bármely, a körön fekvő M pontra MP = R, de ha M pont nem a kör, majd MP ≠ R.. ●
(10.2)
nem létezik.
(10.4)
. Ez egy szögegyütthatós egyenes egyenlete 
|.
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Az egyenes metsze a pontban az Ox tengelyt, a pontban az Oy tengelyt (lásd 42. ábra). Ebben az esetben a (10.7) egyenlet a következő alakot veszi fel
Vegyünk egy tetszőleges M(x;y) pontot az egyenesen, és vegyük figyelembe a vektort (lásd 43. ábra). Mivel a és vektorok merőlegesek, a skaláris szorzatuk egyenlő nullával: , azaz
(10.9)
Keressük meg az egyenes egyenletét poláris koordinátákban. Helyét úgy határozhatjuk meg, hogy megadjuk az O pólustól egy adott egyenesig mért ρ távolságot, valamint az OP poláris tengely és a tengely közötti α szöget. l, áthaladva az O póluson erre az egyenesre merőlegesen (lásd 44. ábra).
(10.10)
(10.11)
Mutassuk meg, hogyan lehet egy egyenes (10.4) egyenletét a (10.11) alakra redukálni.
. A λ tényezőt ún normalizáló tényező. A harmadik egyenlőség szerint a normalizáló tényező előjele ellentétes az egyenes általános egyenletének C szabad tagjának előjelével.
keresztül x, azaz a (2.1) egyenletet alakba írjuk, akkor az ilyen egyenlettel meghatározott görbét ún. menetrend funkciókat f(x).
sugár R .
Hasonló cikkek
