Predikátum (lat. praedicatum- kijelentette, említette, mondta) - minden olyan matematikai állítás, amelyben legalább egy változó szerepel. Az állítmány az elsőrendű logika vizsgálatának fő tárgya.

A predikátum olyan logikai változókkal rendelkező kifejezés, amelyek értelmet adnak e változók bármely megengedett értékéhez.

Kifejezések: x > 5, x > y – predikátumok.

Predikátum ( n-helyi, ill n-ary) egy függvény a halmazon meghatározott értékkészlettel (0,1) (vagy „hamis” és „igaz”). Így a halmaz minden elemkészlete M„igaz” vagy „hamis”-ként jellemezhető.

Egy predikátum matematikai összefüggéshez köthető: ha n A -ka relációhoz tartozik, akkor a predikátum 1-et ad vissza.

A predikátum az első és magasabb rendű logikai elemek egyike. A másodrendű logikából kiindulva a kvantorok a formulákban predikátumokra helyezhetők.

Az állítmányt ún ugyanúgy igazés írj:

ha bármely argumentumkészleten 1 értéket vesz fel.

Az állítmányt ún egyformán hamisés írj:

ha bármely argumentumhalmaznál 0 értéket vesz fel.

Az állítmányt ún megvalósítható, ha legalább egy argumentumkészleten 1 értéket vesz fel.

Mivel a predikátumoknak csak két jelentése van, a Boole-algebra összes művelete alkalmazható rájuk, például: tagadás, implikáció, konjunkció, diszjunkció stb.

A kvantor gyakori elnevezése logikai műveletek, korlátozza bármely predikátum igazságtartományát. Leggyakrabban említett:

Univerzális kvantor(megnevezése: így szól: „mindenkinek...”, „mindenkinek...” vagy „mindenki...”, „bármilyen...”, „bármilyen...”).

Létezési kvantor(megnevezése: , így szól: „létezik...” vagy „megtalál...”).

Példák

Jelöljük P(x) állítmány " x osztható 5-tel." Az általános kvantor használatával formálisan a következő állításokat írhatjuk fel (természetesen hamis):

Bármi természetes szám 5 többszöröse;

minden természetes szám 5 többszöröse;

a következő módon:

A következő (már igaz) állítások az egzisztenciális kvantort használják:

vannak természetes számok, amelyek 5 többszörösei;

van egy természetes szám, amely 5 többszöröse;

legalább egy természetes szám osztható 5-tel.

Formális jelölésük:

.A fogalom bemutatása

Legyen az X sorozat prímszámok a P(x) predikátum adott: „Az x prímszám páratlan.” Helyettesítsük az „bármilyen” szót az állítmány elé. Azt a hamis állítást kapjuk, hogy „bármely x prímszám páratlan” (ez az állítás hamis, mivel a 2 páros prímszám).

Az adott P(x) predikátum elé behelyettesítve a „létezik” szót, azt az igaz állítást kapjuk, hogy „Van olyan x prímszám, amelyik páratlan” (például x = 3).

Így állítmányból állítmányt állíthatunk, ha az állítmány elé helyezzük a logikában kvantoroknak nevezett „minden”, „létezik” stb. szavakat.

Kvantifikátorok a matematikai logikában

Az állítás azt jelenti, hogy a változó tartománya x szerepel az állítmány igazságtartományában P(x).

("Az (x) összes értékére az állítás igaz."

Az állítás azt jelenti, hogy az állítmány igazságának tartománya P(x) nem üres.

(„Van egy (x), amelyre az állítás igaz”).

31. kérdés Grafikon és elemei. Alapfogalmak. Előfordulás, többszörösség, hurok, szomszédság. A grafikonok típusai. Az útvonal a grafikonon és annak hossza. Útvonalak osztályozása. Irányított és irányítatlan gráfok szomszédsági mátrixai.

A matematikai gráfelméletben és a számítástechnikában a gráf csúcsok nem üres halmazának és csúcspárok halmazának gyűjteménye.

Az objektumok a gráf csúcsaiként vagy csomópontjaiként, a kapcsolatok pedig ívekként vagy élekként jelennek meg. A különböző alkalmazási területeken a gráfok típusai eltérőek lehetnek az irányultság, a kapcsolatok számának korlátozása és a csúcsokkal vagy élekkel kapcsolatos további adatok tekintetében.

A gráfban az útvonal (vagy lánc) egy véges csúcssorozat, amelyben minden csúcs (az utolsó kivételével) egy éllel kapcsolódik a csúcssorozat következő csúcsához.

A digráfban lévő irányított út csúcsok véges sorozata v i , amelyhez minden pár ( v i,v i+ 1) (orientált) élek.

A ciklus egy olyan út, amelyben az első és az utolsó csúcs egybeesik. Ebben az esetben egy út (vagy ciklus) hossza az összetevőinek száma borda. Vegye figyelembe, hogy ha a csúcsok uÉs v valamilyen élnek a végei, akkor aszerint ezt a meghatározást, utósorozat ( u,v,u) egy ciklus. Az ilyen „elfajzott” esetek elkerülése érdekében a következő fogalmakat vezetjük be.

Egy utat (vagy ciklust) egyszerűnek nevezünk, ha élei nem ismétlődnek; elemi, ha egyszerű és csúcsai nem ismétlődnek. Könnyű belátni, hogy:

Minden két csúcsot összekötő útvonal tartalmaz egy elemi utat, amely ugyanazt a két csúcsot köti össze.

Bármilyen egyszerű nem elemiútvonal elemi elemet tartalmaz ciklus.

Bármi egyszerű valamely csúcson (vagy élen) áthaladó ciklus tartalmazza alapvető ugyanazon a csúcson (vagy élen) áthaladó (al)ciklus.

A hurok egy elemi ciklus.

Grafikon vagy irányítatlan gráf G egy rendezett pár G: = (V,E

E ez csúcspárok (iránytalan gráf esetén rendezetlen) halmaza, amelyeket éleknek nevezünk.

V(és ezért E, különben multihalmazról lenne szó) általában figyelembe veszik véges halmazok. Sok véges gráfokra kapott jó eredmény nem igaz (vagy valamiben különbözik) a végtelen gráfok. Ennek az az oka, hogy számos megfontolás hamissá válik végtelen halmazok esetén.

A gráf csúcsait és éleit gráfelemeknek is nevezzük, a gráf csúcsainak száma | V| - sorrend, élek száma | E| - a grafikon mérete.

Csúcsok uÉs v egy él terminális csúcsainak (vagy egyszerűen végeinek) nevezzük e = {u,v). Egy él pedig összeköti ezeket a csúcsokat. Ugyanazon él két végpontját szomszédosnak nevezzük.

Két élt szomszédosnak mondunk, ha közös végcsúcsuk van.

Két élt többszörösnek nevezünk, ha a végpontjaik halmazai egybeesnek.

Egy élt huroknak nevezünk, ha a végei egybeesnek, azaz e = {v,v}.

fok fok V csúcsok V hívja meg a rá eső élek számát (ebben az esetben a hurkokat kétszer számolja).

Egy csúcsot izoláltnak mondunk, ha nem egy él vége; lógó (vagy levél), ha pontosan egy élnek a vége.

Irányított gráf (rövidítve digráf) G egy rendezett pár G: = (V,A), amelyre a következő feltételek teljesülnek:

V csúcsok vagy csomópontok nem üres halmaza,

A ez különálló csúcsok (rendezett) párjainak halmaza, amelyeket íveknek vagy irányított éleknek neveznek.

Ív egy rendezett csúcspár (v, w), hol van a csúcs v kezdetének nevezik, és w- az ív vége. Azt mondhatjuk, hogy az ív fentről vezet v a csúcsra w.

Vegyes grafikon

Vegyes grafikon G egy gráf, amelyben egyes élek irányíthatók, mások pedig irányítatlanok. Rendelt hármasként írva G: = (V,E,A), Ahol V, EÉs A a fentiekkel megegyezően határozzuk meg.

Az irányított és irányítatlan gráfok a vegyes gráfok speciális esetei.

Izomorf gráfok (?)

Grafikon G a gráf izomorfjának nevezzük H, ha van bijekció f gráf csúcsainak halmazából G a gráf csúcsainak halmazához H, amelynek a következő tulajdonsága van: ha a gráfban G van egy él a csúcsból A a csúcsra B, majd a grafikonon H f(A) a csúcsra f(B) és fordítva – ha a grafikonon H van egy él a csúcsból A a csúcsra B, majd a grafikonon Gélnek kell lennie a csúcsból f − 1 (A) a csúcsra f − 1 (B). Irányított gráf esetén ennek a bijekciónak meg kell őriznie az él orientációját is. Súlyozott gráf esetén a bijekciónak meg kell őriznie az él súlyát is.

Grafikon szomszédsági mátrix G véges számú csúcsgal n(1-től számozott n) – Ezt négyzetmátrix A méret n, amelyben az elem értéke a ij egyenlő az élek számával én a gráf csúcsa in j-edik csúcs.

Néha, különösen irányítatlan gráf esetén, egy hurok (egy él a én th csúcs önmagába) két élnek számít, azaz az átlós elem értéke a ii ebben az esetben a körülötte lévő hurkok számának kétszerese én th csúcs.

Szomszédsági mátrix egyszerű grafikon(nem tartalmaz hurkot vagy több élt) egy bináris mátrix, és nullákat tartalmaz a főátlón.

32. kérdés Funkció. Beosztás módszerei. A funkciók osztályozása. Alapvető elemi függvényekés a menetrendjüket. A függvények összetétele. Elemi funkciók.

A függvény egy matematikai fogalom, amely a halmazok elemei közötti kapcsolatot tükrözi. Azt mondhatjuk, hogy a függvény egy „törvény”, amely szerint egy halmaz minden eleme (úgynevezett definíciós tartomány ) egy másik halmaz valamely elemével (úgynevezett értéktartomány ).

A függvény matematikai fogalma azt az intuitív elképzelést fejezi ki, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. Tehát a változó értéke x egyedileg határozza meg egy kifejezés jelentését x 2, és a hónap értéke egyértelműen meghatározza az azt követő hónap értékét, továbbá bármely személy összehasonlítható egy másik személlyel - az apjával. Hasonlóképpen, néhány előre kidolgozott algoritmus különböző bemeneti adatok alapján állít elő bizonyos kimeneti adatokat.

Funkció megadásának módszerei

Analitikai módszer

Függvény matematikai objektum reprezentálja bináris reláció, bizonyos feltételeknek eleget tesz. Egy függvény közvetlenül megadható rendezett párok halmazaként, például: van egy függvény. Ez a módszer azonban teljesen alkalmatlan a végtelen halmazokon lévő függvényekre (amelyek a szokásos valós függvények: hatvány, lineáris, exponenciális, logaritmikus stb.).

Függvény megadásához használja a következő kifejezést: . ahol, x egy olyan változó, amely a függvény definíciós tartományán fut át, és y- értéktartomány. Ez a bejegyzés funkcionális kapcsolat meglétét jelzi a halmazok elemei között. xÉs yátfuthat bármilyen természetű tárgyhalmazon. Ezek lehetnek számok, vektorok, mátrixok, almák, a szivárvány színei. Magyarázzuk meg egy példával:

Legyen egy készlet alma, repülő, körte, székés sok ember, mozdony, tér. Határozzuk meg az f függvényt a következőképpen: (alma, személy), (repülőgép, mozdony), (körte, négyzet), (szék, személy). Ha bevezetünk egy x változót, amely a halmazon, és egy y változót, amely a halmazon fut, akkor a megadott függvény analitikusan a következőképpen definiálható: .

A numerikus függvények hasonlóképpen adhatók meg. Például: ahol x fut át a halmazon valós számok definiál valamilyen f függvényt. Fontos megérteni, hogy maga a kifejezés nem függvény. A függvény mint objektum (rendezett párok) halmaza. És ez a kifejezés mint objektum két változó egyenlősége. Meghatároz egy függvényt, de nem az.

A matematika számos ágában azonban lehetséges f(x)-el jelölni magát a függvényt és az azt meghatározó analitikus kifejezést is. Ez a szintaktikai konvenció rendkívül kényelmes és indokolt.

Grafikus módszer

Numerikus függvények grafikon segítségével is beállítható. Legyen n változó valós függvénye.

Tekintsünk valamilyen (n+1)-dimenziós lineáris teret a valós számok mezeje felett (mivel a függvény valós). Válasszunk bármilyen bázist () ebben a térben. A függvény minden pontjához egy vektor tartozik: . Tehát sok vektorunk lesz lineáris tér, amely a megadott szabály szerint ennek a függvénynek a pontjainak felel meg. A megfelelő affin tér pontjai egy bizonyos felületet alkotnak.

Ha az euklideszi szabad teret vesszük geometriai vektorok(irányított szegmensek), és az f függvény argumentumainak száma nem haladja meg a 2-t, a megadott ponthalmaz vizuálisan ábrázolható rajz (grafikon) formájában. Ha ezen felül az eredeti bázist ortonormálisnak vesszük, akkor megkapjuk egy függvény gráfjának „iskola” definícióját.

A 3 vagy több argumentumot tartalmazó függvények esetében ez az ábrázolás nem alkalmazható, mivel a személy nem rendelkezik geometriai intuícióval a többdimenziós terekkel kapcsolatban.

Az ilyen függvényekhez azonban jöhet egy vizuális félgeometrikus ábrázolás (például egy pont negyedik koordinátájának minden értéke hozzárendelhető egy bizonyos színhez a grafikonon)

Arányos mennyiségek. Ha a változók yÉs x egyenesen arányos

y = k x ,

Ahol k- állandó érték ( arányossági tényező).

Menetrend egyenes arányosság– a koordináták origóján áthaladó és a tengellyel egyenest képező egyenes x szög, amelynek érintője egyenlő k: tan = k(8. ábra). Ezért az arányossági együtthatót is nevezik lejtő. A 8. ábra három grafikont mutat be k = 1/3, k= 1 és k = 3 .

Lineáris függvény. Ha a változók yÉs x 1. fokú egyenlettel kapcsolódnak össze:

A x + B y = C ,

ahol legalább az egyik szám A vagy B nem egyenlő nullával, akkor ennek a funkcionális függőségnek a grafikonja az egyenes. Ha C= 0, akkor átmegy az origón, egyébként nem. Diagramok lineáris függvények különféle kombinációkhoz A,B,Cábrán láthatók.

Fordított arányosság. Ha a változók yÉs x fordítottan arányosak, Azt funkcionális függőség közöttük a következő egyenlettel van kifejezve:

y = k / x,

Ahol k- állandó érték.

Inverz arányos gráf - hiperbola(10. ábra). Ennek a görbének két ága van. Hiperbolákat akkor kapunk, ha egy körkúp metszi a síkot (a kúpszeletekre lásd a „Sztereometria” fejezet „Kúp” című részét). A 10. ábrán látható módon a hiperbolapontok koordinátáinak szorzata állandó érték, példánkban 1-gyel egyenlő. általános eset ez az érték egyenlő k, ami a hiperbola egyenletből következik: xy = k.

A hiperbola főbb jellemzői és tulajdonságai:

x 0, tartomány: y 0 ;

A függvény monoton (csökkenő) at x< 0 és at x> 0, de nem

a töréspont miatt összességében monoton x = 0);

Korlátlan függvény, nem folytonos egy ponton x= 0, páratlan, nem periodikus;

- A függvénynek nincsenek nullák.

Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, Ahol a, b, c- állandó, a b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - OY, ami az úgynevezett a parabola tengelye.Pont O a parabola csúcsa.

Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, Ahol a, b, c- állandó, a 0. A legegyszerűbb esetben: b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - koordináták origóján áthaladó görbe (11. ábra). Minden parabolának van szimmetriatengelye OY, ami az úgynevezett a parabola tengelye.Pont O parabola metszéspontját a tengelyével nevezzük a parabola csúcsa.

Egy függvény grafikonja y = fejsze 2 + bx + c- ugyanilyen típusú négyzetes parabola is y = fejsze 2, de a csúcsa nem az origóban, hanem egy koordinátákkal rendelkező pontban van:

A négyzetes parabola alakja és elhelyezkedése a koordinátarendszerben teljes mértékben két paramétertől függ: az együtthatótól a nál nél x 2 és diszkrimináns D:D=b 2 – 4ac. Ezek a tulajdonságok a gyökerek elemzéséből következnek másodfokú egyenlet(lásd a megfelelő részt az „Algebra” fejezetben). A négyzetes parabola összes lehetséges különböző esetét a 12. ábra mutatja.

A négyzetes parabola főbb jellemzői és tulajdonságai:

Funkciódefiníció hatóköre:  < x+ (azaz. x R), és a terület

értékek: … (Kérjük, válaszoljon erre a kérdésre saját maga!);

A függvény egésze nem monoton, hanem a csúcstól jobbra vagy balra

monotonan viselkedik;

A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, akkor is b = c = 0,

és nem időszakos;

- nál nél D< 0 не имеет нулей.

Exponenciális függvény. Funkció y = egy x, Ahol a- pozitív állandó számot hívunk exponenciális függvény.Érv x elfogadja bármilyen érvényes érték; függvényeket értéknek tekintjük csak pozitív számok, mivel egyébként többértékű függvényünk van. Igen, a funkció y = 81x rendelkezik x= 1/4 négy különböző jelentések: y = 3, y = 3, y = 3 énÉs y = 3 én(Ellenőrizze kérem!). De csak a függvény értékének tekintjük y= 3. Diagramok exponenciális függvény Mert a= 2 és a= 1/2 a 17. ábrán láthatók. Áthaladnak a ponton (0, 1). Nál nél a= 1 van egy egyenes gráfunk, párhuzamos tengely x, azaz a függvény válik állandó érték, egyenlő 1. Amikor a> 1 az exponenciális függvény növekszik, és 0-nál< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Funkciódefiníció hatóköre:  < x+ (azaz. x R);

hatótávolság: y> 0 ;

A függvény monoton: együtt növekszik a> 1, és 0-ra csökken< a < 1;

- A függvénynek nincsenek nullák.

Logaritmikus függvény. Funkció y= log egy x, Ahol a– 1-gyel nem egyenlő állandó pozitív számot hívunk logaritmikus. Ez a függvény az exponenciális függvény inverze; grafikonját (18. ábra) úgy kaphatjuk meg, hogy az exponenciális függvény grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjuk.

A logaritmikus függvény főbb jellemzői és tulajdonságai:

Funkciódefiníció hatóköre: x> 0 és értéktartomány:  < y+

(azaz. y R);

Ez egy monoton függvény: növekszik, mint a> 1, és 0-ra csökken< a < 1;

A funkció korlátlan, mindenhol folyamatos, nem periodikus;

A függvénynek egy nulla van: x = 1.

Trigonometrikus függvények.Építéskor trigonometrikus függvények használjuk radián szögek mértéke Ezután a függvény y= bűn x grafikonnal ábrázoljuk (19. ábra). Ezt a görbét ún szinuszos.

Egy függvény grafikonja y=cos x a 20. ábrán látható; ez is egy szinuszhullám, amely a gráf mozgatása következtében jön létre y= bűn x a tengely mentén x balra 2

Ezekből a grafikonokból jól láthatóak ezeknek a függvényeknek a jellemzői és tulajdonságai:

Tartomány:  < x+ értéktartomány: 1 y +1;

Ezek a függvények periodikusak: periódusuk 2;

Korlátozott funkciók (| y| , mindenhol folyamatos, nem monoton, hanem

miután ún a monotónia intervallumai, amelyen belül vannak

monoton függvényekként viselkednek (lásd a 19. és 20. ábra grafikonjait);

A függvényeknek végtelen számú nullája van (további részletekért lásd a

"Trigonometrikus egyenletek").

Függvénygrafikonok y= barna xÉs y= kiságy x a 21. és 22. ábrán láthatók.

A grafikonokból jól látható, hogy ezek a függvények: periodikusak (periódusuk ,

korlátlan, általában nem monoton, de vannak monoton intervallumok

(melyek?), nem folytonos (milyen diszkontinuitási pontjaik vannak ezeknek a függvényeknek?). Vidék

ezen függvények definíciói és értéktartománya:

Funkciók y= Arcsin x(23. ábra) és y= Arccos x(24. ábra) többértékű, korlátlan; definíciós tartományuk, illetve értéktartományuk: 1 x+1 és  < y+ . Mivel ezek a függvények többértékűek, ne

az elemi matematikában figyelembe véve fő értékeik inverz trigonometrikus függvények: y= arcsin xÉs y= arccos x; grafikonjaikat a 23. és a 24. ábrán vastag vonalak jelzik.

Funkciók y= arcsin xÉs y= arccos x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:

Mindkét függvénynek ugyanaz a definíciós tartománya: 1 x +1 ;

értéktartományuk:  /2 y/2 for y= arcsin xés 0 y Mert y= arccos x;

(y= arcsin x– funkció növelése; y= arccos x - csökkenő);

Minden függvénynek van egy nullája ( x= 0 a függvényre y= arcsin xÉs

x= 1 a függvényhez y= arccos x).

Funkciók y= Arctan x(25. ábra) és y= Arccot x(26. ábra) - többértékű, korlátlan funkciók; meghatározási területük:  x+ . Fő jelentésük y= arctan xÉs y= arccot x inverz trigonometrikus függvényeknek tekintendők; grafikonjaik a 25. és a 26. ábrán félkövér ágakkal vannak kiemelve.

Funkciók y= arctan xÉs y= arccot x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:

Mindkét függvénynek ugyanaz a definíciós tartománya:  x + ;

értéktartományuk:  /2<y < /2 для y= arctan xés 0< y < для y= arccos x;

A funkciók korlátozottak, nem periodikusak, folyamatosak és monotonok

(y= arctan x– funkció növelése; y= arccot x - csökkenő);

Csak funkció y= arctan x egyetlen nulla van ( x= 0);

funkció y= arccot x nincsenek nullák.

A függvények összetétele

Ha két leképezést adunk meg, és ahol , akkor a képlettel adott „végpontok közötti leképezés” van értelme, amit függvények összetételének nevezünk és és jelöli.

1.30. ábra Végtől-végig

Logika és érvelés: Tankönyv. kézikönyv egyetemek számára. Ruzavin Georgij Ivanovics

4.2. Kvantifikátorok

4.2. Kvantifikátorok

Lényeges különbség a predikátumlogika és a propozíciós logika között az is, hogy az előbbi bevezeti az állítások kvantitatív jellemzőjét, vagy ahogy a logikában mondják, számszerűsíti azokat. Az ítéleteket már a hagyományos logikában nemcsak minőség, hanem mennyiség szerint is osztályozták, i.e. az általános ítéletek különböztek az egyedi és az egyéni ítéletektől. De nem volt elmélet a köztük lévő kapcsolatról. A modern logika az állítások mennyiségi jellemzőit egy speciális kvantifikációs elméletben veszi figyelembe, amely az predikátumszámítás szerves részét képezi.

Az állítások számszerűsítésére (kvantitatív jellemzőire) ez az elmélet két fő kvantort vezet be: az általános kvantort, amelyet az (x) szimbólummal fogunk jelölni, és az egzisztenciális kvantort, amelyet a szimbólum (Ex) jelöl. Közvetlenül azon állítások vagy képletek elé kerülnek, amelyekre vonatkoznak. Abban az esetben, ha a kvantorok hatóköre szélesebb, zárójelek kerülnek a megfelelő képlet elé.

Az általános kvantor azt mutatja, hogy egy bizonyos szimbólummal jelölt predikátum egy adott osztály vagy gondolkodási univerzum összes objektumához tartozik.

Így a tétel: „Minden anyagi testnek tömege van” a következőképpen fordítható le szimbolikus nyelvre:

ahol x - az anyagi testet jelöli:

M - tömeg;

(x) egy általános kvantor.

Hasonlóképpen, az extraszenzoros jelenségek létezésére vonatkozó állítás kifejezhető egy létezési kvantor segítségével:

ahol x a jelenségeket jelöli:

E - az ilyen jelenségekben rejlő extraszenzoros észlelés tulajdonsága;

Az (Ex) egy egzisztenciális kvantor.

Az általánosság kvantor segítségével empirikus és elméleti törvényszerűségeket, jelenségek kapcsolatára vonatkozó általánosításokat, univerzális hipotéziseket és egyéb általános állításokat fejezhet ki. Például a testek hőtágulási törvénye szimbolikusan egy képlet formájában ábrázolható:

(x) (T(x) ? P(x)),

ahol (x) az általános kvantor;

T(x) - testhőmérséklet;

P(x) a kiterjesztése;

Az implikáció jele.

Az egzisztenciális kvantor az érvelés adott univerzumából származó tárgyaknak csak egy bizonyos részére vonatkozik. Ezért például olyan statisztikai törvények szimbolikus írására használják, amelyek kimondják, hogy egy tulajdonság vagy reláció csak a vizsgált objektumok egy bizonyos részének jellemzésére vonatkozik.

A kvantorok bevezetése lehetővé teszi mindenekelőtt a predikátumok határozott állításokká történő átalakítását. Maguk a predikátumok sem nem igazak, sem nem hamisak. Akkor válnak ilyenné, ha a konkrét állításokat vagy változókat helyettesítünk, vagy ha kvantorokkal kapcsoljuk össze, akkor számszerűsítjük őket. Ezen az alapon bevezetik a változók kötött és szabad felosztását.

Kötöttnek nevezzük azokat a változókat, amelyek az általánosság vagy a létezés kvantorok jeleinek hatása alá esnek. Például az (x) A (x) és (x) (P (x) ? Q (x)) képletek tartalmazzák az x változót. Az első képletben az általános kvantor közvetlenül az A(x) predikátum előtt áll, a másodikban a kvantor kiterjeszti a hatását az implikáció előző és következő tagjában szereplő változókra. Hasonlóképpen, az egzisztenciális kvantor utalhat mind egy külön predikátumra, mind azok kombinációjára, amelyeket a tagadás, a konjunkció, a diszjunkció stb. logikai műveleteivel hozunk létre.

Egy szabad változóra nem vonatkoznak kvantorjelek, tehát predikátumot vagy propozíciós függvényt jellemez, nem utasítást.

Kvantifikátorok kombinációjával elég bonyolult természetes nyelvi mondatokat lehet kifejezni a logika szimbolikus nyelvén. Ebben az esetben azokat az állításokat, amelyekben egy bizonyos feltételt kielégítő objektumok létezéséről beszélünk, a létezés-kvantifikátor segítségével vezetjük be. Például a radioaktív elemek létezésére vonatkozó kijelentés a következő képlettel írható:

ahol R a radioaktivitás tulajdonságát jelöli.

Az az állítás, hogy fennáll a dohányos rákos megbetegedésének veszélye, a következőképpen fejezhető ki: (Pl) (K(x) ? P(x)), ahol K a „dohányzó” tulajdonságot jelöli, és P - „ rákosodni”. Bizonyos fenntartásokkal ugyanez kifejezhető” általános kvantorral: (x) (K(x) ? P(x)). De az az állítás, hogy bárki, aki dohányzik, rákot kaphat, téves, ezért a legjobb, ha létezés-kvantifikátort használunk, nem pedig általánossági kvantort.

Az általános kvantort olyan állításokhoz használják, amelyek kimondják, hogy egy bizonyos A predikátumot bármely objektum kielégít az értéktartományában. A tudományban, amint már említettük, az általános kvantort olyan univerzális természetű állítások kifejezésére használják, amelyeket verbálisan olyan kifejezésekkel ábrázolnak, mint „mindenki számára”, „mindenki”, „bármilyen”, „bármilyen” stb. Az általánosság kvantorának tagadásával általánosságban negatív állításokat lehet kifejezni, amelyeket a természetes nyelvben a „nincs”, „nem egy”, „senki” stb. szavak vezetnek be.

Természetesen a természetes nyelvi kijelentések szimbolikus nyelvre fordítása során bizonyos nehézségekbe ütközik, de a szükséges pontosság és a gondolatok egyértelmű kifejezése megvalósul. Nem lehet azonban azt gondolni, hogy a formális nyelv gazdagabb a természetes nyelvnél, amelyben nemcsak a jelentés, hanem annak különböző árnyalatai is kifejeződnek. Ezért csak a természetes nyelvi kifejezések pontosabb ábrázolásáról beszélhetünk, mint a gondolatok kifejezésének és cseréjének univerzális eszközéről a kommunikáció folyamatában.

Leggyakrabban az általánosság és a létezés kvantorok együtt jelennek meg. Például a következő állítás szimbolikus kifejezésére: „Minden x valós számhoz van egy y szám, amelyre x kisebb lesz, mint y”, a „kisebbnek lenni” predikátumot a szimbólummal jelöljük.<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Már az általánosság és a létezés kvantorainak meghatározásából is azonnal következik, hogy van közöttük egy bizonyos kapcsolat, amelyet általában a következő törvények segítségével fejeznek ki.

1. A kvantorok permutációjának törvényei:

(x) (y) A - (y) (x) A;

(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;

2. A kvantorok tagadásának törvényei:

¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;

¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;

3. A kvantorok kölcsönös kifejezhetőségének törvényei:

(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;

(Pl.) A ~ ¬ (x) ¬ A.

Itt A egy objektum (alanyi) nyelv bármely képletét jelöli. A kvantorok tagadásának jelentése nyilvánvaló: ha nem igaz, hogy bármelyik x-re teljesül A, akkor vannak olyan x-ek, amelyekre A nem teljesül. Ebből az is következik, hogy ha bármelyik x-nek van A-ja, akkor nincs olyan x-nek, amelynek ne lenne-A-ja, ami szimbolikusan az inter-kifejezhetőség első törvényében van ábrázolva.

A predikátumlogikában két olyan műveletet veszünk figyelembe, amelyek egy egyhelyes állítmányt állítanak át erre a célra, speciális szavakat használnak, amelyek az állítmányok elé kerülnek. A logikában kvantoroknak nevezik őket.

Kétféle kvantor létezik:

1. Általános kvantor;

2. Létezési kvantor.

1. Általános kvantor.

Legyen az M halmazon definiált P(x) predikátum

A szimbólumot hívják univerzális kvantor(közösség). Ez az angol All - everything szó fordított első betűje. Azt olvassák, hogy „mindenki”, „mindenki”, „bármilyen”, „mindenki”. Változó x in állítmány P(x)-t hívjuk ingyenes ( különböző jelentéseket kaphat az M), -tól nyilatkozat x-nek hívják összefüggő univerzális kvantor.

1. példa: P(x) – „Az x prímszám páratlan”

Adjunk hozzá egy általános kvantort - "Minden x prímszám páratlan" - hamis állítás.

A kifejezés olyan állítás, amely akkor igaz, ha P(x) igaz az M halmaz minden x elemére, egyébként pedig hamis. Ez az állítás már nem függ x-től.

2. Létezési kvantor.

Legyen P(x) - állítmány az M halmazon definiált. Kifejezésen azt értjük nyilatkozat, ami igaz, ha van olyan elem, amelyre P(x) igaz, egyébként hamis. Ez az állítás már nem függ x-től. A megfelelő szóbeli kifejezés: "Van olyan x, amelyre P(x) igaz." A szimbólumot hívják a létezés kvantifikátora. Egy utasításban az x változót ez a kvantor köti (egy kvantor kapcsolódik hozzá).

(Olvassa el: „Van olyan x M-ben, hogy P az x-ben igaz”

A kifejezés olyan állítás, amely igaz, ha van olyan x€M elem (legalább egy), amelyre P(x) igaz, egyébként pedig hamis.

2. példa: P(x) „Az x szám 5 többszöröse”

Bármely természetes szám 5" többszöröse

Minden természetes szám 5"-es hamis állítások többszöröse

Minden természetes szám 5" többszöröse

Van 5-tel osztható természetes szám

Keress egy 5 igaz állítással osztható természetes számot!

Legalább egy természetes szám osztható 5-tel

A kvantorműveletek a többhelyes predikátumokra is vonatkoznak. Legyen például megadva az M halmazon egy P(x,y) kéthelyes predikátum. Egy kvantorművelet alkalmazása a P(x,y) predikátumra az x változóra vonatkozóan a P(x,y) kéthelyes predikátummal egy egyhelyű predikátumot (vagy egyhelyű predikátumot) állít összefüggésbe, attól függően, hogy az y változó, és nem függ az x változótól. Az y változón kvantorműveleteket alkalmazhat rájuk, amelyek a következő típusú utasításokhoz vezetnek:

A kvantorokkal való tagadások létrehozásához a következőkre lesz szüksége:

1) cserélje ki az általánosság kvantorát a létezés kvantorára, a létezés kvantorát pedig az általánosság kvantorára;

2) cserélje ki az állítmányt a tagadásával.

Így a következő képletek érvényesek:

A mondat tagadását így kell írni, a mondat tagadását pedig így kell írni. Nyilvánvaló, hogy a mondatnak ugyanaz a jelentése, és ezért ugyanaz az igazságértéke, mint a mondatnak, és a mondatnak ugyanaz a jelentése, mint a . Más szóval, egyenértékű a ; egyenértékű

3. PÉLDA. Szerkessze meg a „Néhány kétjegyű szám osztható 12-vel” állítás tagadását.

Megoldás Cseréljük le a létezés kvantorát (ezt a „néhány” szó fejezi ki) az általánosság „minden” kvantorával, és konstruáljuk meg a mondat tagadását a „néhány” szó mögé, a „nem” részecske elé helyezve. az igéből. Azt az állítást kapjuk, hogy „Nem minden kétjegyű szám osztható 12-vel.”

4. PÉLDA. Fogalmazd meg a „Minden osztályban legalább egy tanuló megbukott a teszten” állítás tagadását.

Megoldás: Ez az állítás tartalmaz egy általános kvantort, amelyet az „mindegyik” szó fejez ki, és egy létezési kvantort, amelyet a „legalább egy” szavak fejeznek ki. Az állítások kvantorokkal történő tagadásának konstruálására vonatkozó szabály szerint az általánosság kvantorát a létezés kvantorával, a létezés kvantorát pedig az általánosság kvantorával kell helyettesíteni, és el kell távolítani az igéből a „nem” partikulát. A következőt kapjuk: „Van egy osztály, amelyben minden diák sikeresen teljesítette a vizsgát.”

Bármely nemzeti nyelvben a hétköznapi beszédben használatosak az „és”, „vagy”, „ha ..., akkor ...”, „ha és csak akkor, ha ...” stb. lehetővé teszi, hogy a már megadott utasításokból új összetett utasításokat hozzon létre. Az így kapott állítások igazsága vagy hamissága az eredeti állítások igazságától és hamisságától és a megfelelő a konnektívumok állítások műveleteiként való értelmezése. Egy logikai művelet teljesen leírható igazságtáblázat, amely azt jelzi, hogy egy összetett állítás milyen jelentéssel bír az egyszerű állítások összes lehetséges jelentésére.

Logikai működés egy olyan módszer, amellyel összetett állítást állíthatunk össze elemi állításokból, amelyben az összetett állítás igazságértékét teljes mértékben az eredeti állítások igazságértékei határozzák meg (lásd a cikket " ”).

A logikai algebrában a logikai műveleteknek és a hozzájuk tartozó logikai konnektívumoknak speciális neveik vannak, és a következőképpen jelöljük őket:

A konjunkció egy logikai művelet, amely minden két elemi állítást egy új utasításhoz rendel, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás igaz 7 . Logikai működés kötőszó

Tekintsünk két állítást: p = “Holnap fagyos lesz"És q = “Holnap havazni fog" Nyilván új mondás p & q = “Holnap fagyos lesz, holnap pedig havazni fog” csak akkor igaz, ha az állítások egyszerre igazak pÉs q, nevezetesen, hogy holnap fagy és hó lesz. Nyilatkozat p & q minden más esetben hamis lesz: havazik, de lesz olvadás (azaz nem lesz fagy); fagy lesz, de hó nem lesz; nem lesz fagy, és nem lesz hó.

Diszjunkció- olyan logikai művelet, amely minden két elemi állítást új állítással társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét kezdeti állítás hamis, és igaz, ha az azt alkotó két állítás közül legalább az egyik igaz 8. Logikai működés diszjunkció a következő igazságtáblázat határozza meg:

Tekintsünk két állítást: p = “Kolumbusz Indiában volt"És q = “Kolumbusz Egyiptomban volt p q = “Kolumbusz Indiában vagy Egyiptomban volt” igaz akkor is, ha Kolumbusz Indiában volt, de nem Egyiptomban, és akkor is, ha nem Indiában, hanem Egyiptomban volt, és akkor is, ha Indiában és Egyiptomban is volt. De ez az állítás hamis lesz, ha Kolumbusz nem volt sem Indiában, sem Egyiptomban.

A „vagy” kötőszó a beszédben más, „kizárólagos” értelemben is használható. Ekkor egy másik állításnak felel meg – diszjunktív vagy szigorú diszjunkciónak.

Szigorú, vagy osztva,diszjunkció- olyan logikai művelet, amely két elemi állítást társít egy új kijelentéshez, amely csak akkor igaz, ha csak az egyik állítás igaz. Logikai működés diszjunktív záradék a következő igazságtáblázat határozza meg:

Tekintsünk két állítást: p = “A macska egerekre vadászik"És q = “Macska a kanapén alszik" Nyilvánvaló, hogy az új nyilatkozat pq csak két esetben igaz - amikor a macska egerekre vadászik, vagy amikor a macska nyugodtan alszik. Ez az állítás hamis lesz, ha a macska sem az egyiket, sem a másikat nem teszi, pl. amikor mindkét esemény nem következik be. De ez az állítás akkor is hamis lesz, ha feltételezzük, hogy mindkét állítás egyszerre fog előfordulni. Mivel ez nem történhet meg, az állítás hamis.

A logikában a „vagy” és a „vagy” kötőszó eltérő jelentést kap, de az oroszban néha a „vagy” kötőszót használják a „vagy” kötőszó helyett. Ezekben az esetekben az alkalmazott logikai művelet definíciójának egyértelműsége az állítás tartalmának elemzéséhez kapcsolódik. Például a „ Petya az A vagy a B dobogón ül" kicserélve " Petya az A vagy a B dobogón ül”, akkor az utolsó állítás elemzése egyértelműen logikai műveletet jelez osztva diszjunkció, mert egy személy nem lehet egyszerre két különböző helyen.

Következmény- egy logikai művelet, amely minden két elemi utasítást egy új utasítással társít, amely akkor és csak akkor hamis feltétel(feltevés) - igaz, és következmény(következtetés) hamis. Az események közötti függőségek túlnyomó része implicit módon leírható. Például a „ Ha az ünnepek alatt Szentpétervárra megyünk, meglátogatjuk a Szent Izsák-székesegyházat” Megerősítjük, hogy ha az ünnepek alatt Szentpétervárra érkezünk, mindenképpen meglátogatjuk a Szent Izsák-székesegyházat.

Logikai működés következmény

Egy implikáció csak akkor hamis, ha az előfeltevés igaz és a következtetés hamis, és minden bizonnyal igaz, ha a feltétele p hamis. Ráadásul egy matematikus számára ez teljesen természetes. Valójában egy hamis előfeltevésből kiindulva helyes érveléssel kaphatunk igaz és hamis állítást is.

Tegyük fel, hogy 1 = 2, majd 2 = 1. Ezeket az egyenlőségeket összeadva 3 = 3-at kapunk, azaz. hamis premisszából, azonos transzformációk révén igaz állítást kaptunk.

Kijelentésekből képzett implikáció AÉs BAN BEN, a következő mondatok használatával írható: „Ha A, Azt BAN BEN", "Tól től A kellene BAN BEN”, “A jár BAN BEN", "Azért, hogy A, ez szükséges BAN BEN", "Azért, hogy BAN BEN, elég A”.

Egyenértékűség- logikai művelet, amely két elemi állítást társít egy újhoz, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét kezdeti állítás egyszerre igaz vagy hamis. Logikai működés egyenértékűség a következő igazságtáblázat adja meg:

Tekintsük egy komplex állítás lehetséges jelentését, amely ekvivalencia: „ A tanár akkor és csak akkor ad 5-öst a tanulónak a negyedévben, ha a tanuló 5-öst kap a teszten.”.

1) A tanuló a teszten 5-öt, a negyedévben pedig 5-öt kapott, i.e. a tanár beváltotta ígéretét, ezért az állítás igaz.

2) A tanuló nem kapott 5-öst a teszten, a tanár pedig nem adott neki 5-öst a negyedben, i.e. a tanár betartotta ígéretét, az állítás igaz.

3) A tanuló nem kapott 5-öst a teszten, de a tanár 5-öst adott a negyedévben, i.e. a tanár nem tartotta be az ígéretét, az állítás hamis.

4) A tanuló 5-öst kapott a teszten, de a tanár nem adott neki 5-öt a negyedévben, i.e. a tanár nem tartotta be az ígéretét, az állítás hamis.

Vegyük észre, hogy a matematikai tételekben az ekvivalenciát a „szükséges és elégséges” kötőszó fejezi ki.

A fent tárgyalt műveletek dupla (bináris), azaz. két operanduson (utasításon) hajtották végre. A logika algebrájában az egyhelyes (unáris) művelet definiált és széles körben használatos tagadás.

Tagadás- logikai művelet, amely minden elemi állítást egy új kijelentéshez társít, amelynek jelentése ellentétes az eredetivel. Logikai működés tagadás a következő igazságtáblázat adja meg:

Az oroszban a „nem igaz, hogy...” kötőszót a tagadás megkonstruálására használják. Bár a „nem igaz, hogy…” konnektív két állítást nem köt egybe, a logikusok logikai műveletként értelmezik, hiszen egy tetszőleges állítás elé helyezve abból újat alkot.

Az állítás tagadásával "Van otthon számítógépem" nyilatkozat lesz "Nem igaz, hogy van otthon számítógépem" vagy ami oroszul ugyanaz, "Nincs otthon számítógépem". Az állítás tagadásával “Nem tudok kínaiul” nyilatkozat lesz „Nem igaz, hogy nem tudok kínaiul” vagy ami oroszul ugyanaz, “Tudok kínaiul”.

Kvantifikátorok

A matematikai logikában a logikai műveletek mellett kvantorokat is használnak. Kvantifikátor(a lat. kvantum- hány) egy logikai művelet, amely mennyiségi jellemzőt ad azon objektumok területének, amelyekre az alkalmazás eredményeként kapott kifejezés vonatkozik.

A hétköznapi nyelvben olyan szavak, mint Minden, minden, néhány, Bármi, Bármi, végtelenül sok, létezik, elérhető, az egyetlen, néhány, végső szám, valamint az összes kardinális szám. A formalizált nyelvekben, amelyeknek szerves része a predikátumszámítás, kétféle kvantor elegendő az összes ilyen jellemző kifejezésére: általános kvantorÉs létezés kvantor.

A kvantorok lehetővé teszik egy adott kifejező formától (lásd Nyilatkozatok. Logikai értékek") kisebb paraméterszámú kifejezőalak létrehozása, különösen egy egyhelyi kifejezőforma 9-es állítása.

Általános kvantor megengedi egy adott nyilatkozatformából egyetlen szabad változóval x kap egy nyilatkozatot a „Mindenki számára x…”. Az általános kvantor alkalmazásának eredménye az A() propozíciós alakra x) jelöli x A( x). Nyilatkozat x A( x) akkor és csak akkor lesz igaz, ha A( x) szabad változó helyett x a lehetséges értékek tartományából származó bármely objektumról mindig igaz állítást kapunk. Nyilatkozat x A( x) a következőképpen olvasható: „Bármilyen x A( x)”, „A( x) önkényesnek x", "Mindenkinek x igaz A( x)", "Minden x rendelkezik A( x)" stb.

Az egzisztenciális kvantor egy adott expresszív formától egyetlen szabad változóval enged x kap egy nyilatkozatot a konnektív „Van olyan x, Mit …". Az általános kvantor alkalmazásának eredménye az A() propozíciós alakra x) jelöli x A( x). Nyilatkozat
x A( x) akkor és csak akkor igaz, a változó lehetséges értékeinek tartományában x van egy olyan objektum, hogy ha behelyettesítjük a nevét, ahelyett, hogy egy szabad változó előfordulna x A( x) igaz állításnak bizonyul. Nyilatkozat x A( x) a következőképpen olvasható: „Egyesek számára x A( x)”, „Az alkalmas x igaz A( x)", "Létezik x, amelyre A( x)”, „Legalább egy x igaz A( x)" stb.

A kvantorok a matematikai logika formalizált nyelvei esetében ugyanazt a szerepet töltik be, mint az úgynevezett „kvantitatív” („kvantitáló”) szavak a természetes nyelv esetében - meghatározzák egy adott állítás (vagy kifejező forma) alkalmazhatósági körét.

Amikor egy kvantort tartalmazó állítás tagadását állítjuk össze, a következő szabály érvényesül: a predikátumhoz hozzáadódik a „nem” részecske, az általános kvantort egy egyediségi kvantor helyettesíti, és fordítva. Nézzünk egy példát. A „Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló” állítás tagadása az „Nem igaz, hogy minden 11. osztályos fiú kitűnő tanuló” vagy „Néhány 11. osztályos fiú nem kiváló tanuló”.

A számítástechnikában a kvantorokat logikai programozási nyelvekben használják (lásd Programozási nyelvek”) és adatbázis-lekérdezési nyelvek.

Az adatbázisokkal végzett munka, az internetes keresési lekérdezés felépítése, az algoritmusok összeállítása és a programok írása során bármilyen algoritmikus nyelven szükség van összetett utasítások készítésének képességére. Sőt, ez a készség az általános iskolai készségekhez sorolható, mert összetett következtetések (okoskodás, következtetések levonása) megalkotásával jár. Ez a készség az alapvető logikai műveletek ismeretén és az összetett állítások igazságtartalmának meghatározásán alapul.

Az iskolások az alapiskolában ismerkednek meg a logikai műveletek diszjunkciójával, konjunkciójával és tagadásával. Az igazságtábla fogalmát is bevezetik ott. Valószínűleg ezek a fogalmak a programozási nyelvekben merülnek fel, de táblázatokban is használhatók - ott a logikai műveletek a megfelelő VAGY, ÉS, NOT függvényeken keresztül valósulnak meg.

A bonyolultabb logikai műveleteket a középiskolában lehet lefedni. Az implikáció használatával kapcsolatos problémák a számítástechnika egységes államvizsga egyes közzétett változataiban találhatók. Például: milyen számra x igaz állítás (( x > 3) (x < 3)) –> (x < 1)? (A 2007-es egységes államvizsga bemutató verziója)

Az implikáció műveletének tanulmányozása során a hallgatóknak figyelniük kell arra, hogy a legtöbb matematikai tétel implikáció. Azok az implikációk azonban, amelyekben a premisszák (feltételek) és a következtetések (következmények) kölcsönös (lényegében) összefüggés nélküli mondatok, nem játszhatnak többé-kevésbé fontos szerepet a tudományban. Teljesen eredménytelen javaslatok, mert... ne vezessen mélyebb következtetésekre. Valójában a matematikában egyetlen tétel sem olyan implikáció, amelyben a feltétel és a következtetés tartalmilag ne kapcsolódna össze. A matematikai tételekben a konnektív „ha,... akkor...” mellett az implikációk csak szükséges vagy csak elégséges feltételek megfogalmazásai.

Az iskolások számára megfelelő és szükséges feltételek megteremtésének feladatai nehéznek bizonyulnak. Ennek a készségnek a fejlesztése során három pontot kell különösen megjegyezni:

a) a matematikai állításokban használt „szükséges és elégséges” alak megfelel a „ha és csak akkor” (ekvivalencia) kötőszónak;

b) az összekötő „annak érdekében, hogy…( A), szükséges, hogy...( B)” közvetlen ráutalás útján valósul meg A B. (Ahhoz, hogy egy másodfokú egyenletnek legyen megoldása, a diszkriminánsnak nem negatívnak kell lennie);

c) az inverz implikációval elégséges feltétel valósul meg B ® Aés oroszul például így fejezhető ki: „Ahhoz, hogy... (A), elég, ha... (B).”

A középiskolában (10–11. osztály) hasznos, ha a tanulók fejlesztik az orosz nyelvű állítás tagadásának megkonstruálásának képességét. Ez a készség szükséges például a tételek „ellentmondásos” módszerrel történő bizonyításához. Még egyszerű állításokra sem mindig könnyű tagadást alkotni. Például a nyilatkozatra Pirosak vannak a parkolóban“Zhiguli” a következő mondatok nem lesznek negatívak:

1) A parkolóban lévők nem pirosak “Zhiguli”;

2) Van egy fehér a parkolóban “Mercedes”;

3) Vörösök“Zhiguli” nem parkolnak.

Ennek az állításnak a tagadása az lenne, hogy „nincs piros zsigulis a parkolóban”. Ez így magyarázható az iskolásoknak: a mondat tagadása teljesen kizárja az eredeti állítás igazságát. Ha van egy fehér Mercedes a parkolóban, akkor semmi sem akadályozza meg a piros Zsiguli parkolását.

Az összetett állítás tagadásának felépítésére szolgáló algoritmusról E. Andreeva, L. Bosova, I. Falina „Mathematical Foundations of Computer Science” című könyvében olvashat.

Eddig a kvantorok tanulmányozása nem volt hagyományos az iskolai számítástechnikai kurzusoknál. Mára azonban bekerülnek a szakiskola színvonalába. A legegyszerűbb módja annak, hogy bemutassuk a kvantorok szerepét az orosz nyelvű állítások ugyanazon tagadásának megalkotásában, mind matematikai, mind tetszőlegesen. Az a szabály, hogy egy általános kvantort egzisztenciális kvantorral helyettesítsünk, és fordítva, könnyen igazolható De Morgan törvényeivel (lásd. "Logi kifejezések").

6 Latin szavakból idem- ugyanaz és potens- erős; szó szerint egyenértékű.

7 Ez a meghatározás könnyen kiterjeszthető az esetre n nyilatkozatok ( n > 2, n- természetes szám).

8 Ez a meghatározás az előzőhöz hasonlóan az esetre vonatkozik n nyilatkozatok ( n > 2, n- természetes szám).

9 Uszpenszkij V.A., Verescsagin N.K., Plisko V.E. Matematikai logika bevezető tanfolyam. M.: Fizmatlit, 2002.

A fentebb tárgyalt műveleteken kívül további két új műveletet fogunk alkalmazni a predikátumlogika jellemzőihez kapcsolódóan. Ezek a műveletek a közösség és a létezés kijelentéseit fejezik ki.

Kvantifikátor- valamilyen módon bármilyen tulajdonság jelenlétét objektumok egész halmazához rendelni: (általános kvantor) vagy egyszerűen (), (létezési kvantor).

1. Általános kvantor. Legyen R (x) egy jól definiált predikátum, amely valamely M mező minden x elemére felveszi az I vagy A értéket. Ekkor az (x)R(x) kifejezés alatt olyan állítást értünk, amely akkor igaz, ha R(x) igaz az M mező minden x elemére, egyébként hamis. Ez az állítás már nem függ x-től. A megfelelő szóbeli kifejezés a következő lesz: „minden x-re R (x) igaz”.

Most legyen U(x) egy predikátumlogikai képlet, amely akkor vesz fel egy bizonyos értéket, ha a benne szereplő változó objektumokat és változó predikátumokat teljesen határozott módon helyettesítjük. Az I(x) képlet x-en kívül más változókat is tartalmazhat. Ekkor az I(x) kifejezés, amikor mind az objektumok, mind a predikátumok összes változóját lecseréli, kivéve x, egy konkrét predikátumot jelent, amely csak x-től függ. Az (x)I(x) képlet pedig teljesen határozott kijelentéssé válik. Következésképpen ezt a képletet teljesen az x kivételével az összes változó értékének megadásával határozzák meg, és ezért nem függ x-től. Az (x) szimbólumot hívják általános kvantor .

2. Létezési kvantor. Legyen R(x) valamilyen predikátum. Az (x)R(x) képletet társítjuk hozzá, értékét igaznak definiáljuk, ha az M mezőnek van olyan eleme, amelyre R(x) igaz, egyébként pedig hamisnak. Akkor ha én(x) - konkrét képlet predikátum logika, akkor az (x)И(x) képlet is definiálva van, és nem függ x értékétől. Az (x) jelet hívják létezés kvantor .

Az (x) és (x) kvantorokat meghívjuk dupla egymás.

Azt fogjuk mondani, hogy az (x)I(x) és (x)I(x) képletekben az (x) és (x) kvantorok az x változóra vonatkoznak, vagy hogy az x változót a megfelelő kvantor határozza meg.

Olyan objektumváltozót fogunk meghívni, amely nem kapcsolódik kvantorhoz szabad változók. Így a predikátumlogika összes képletét leírtuk.

Ha két I és B képlet, amelyek egy bizonyos M mezőhöz kapcsolódnak, a változó predikátumok, változóutasítások és szabad objektumváltozók minden cseréjével az M-en definiált egyedi predikátumokkal, az egyes utasítások és az M-ből származó egyedi objektumok ugyanazok az értékekÉs vagy A, akkor azt mondjuk, hogy ezek a képletek ekvivalensek az M mezőben. (A változó predikátumok, utasítások és objektumok cseréjénél természetesen lecseréljük azokat, amelyek az I és B képletben azonos módon vannak megjelölve a ugyanilyen módon).

Ha két képlet egyenértékű bármely M mezőben, akkor egyszerűen ekvivalensnek nevezzük őket. Az egyenértékű képletek egymással helyettesíthetők.

A képletek egyenértékűsége lehetővé teszi, hogy különböző esetekben kényelmesebb formára redukálják őket.

Konkrétan a következők érvényesek: I → B ekvivalens AND B-vel.

Ezzel ekvivalens képletet találhatunk bármely olyan képlethez, amelyben a propozíciós algebra műveletei közül csak &, és - van.

Példa: (x)(A(x)→(y)B(y)) ekvivalens (x)(A(x)(y)B(y)).

Ezen túlmenően az predikátumlogikához a kvantorokhoz ekvivalenciák is kapcsolódnak.

Van egy törvény, amely a kvantorokat a negatív előjellel társítja. Tekintsük az (x)I(x) kifejezést.

Az „(x)I(x) hamis” állítás ekvivalens a következő állítással: „van olyan y elem, amelyre U(y) hamis”, vagy ami ugyanaz, „van egy y elem, amelyre U (y) igaz." Ezért az (x)I(x) kifejezés ekvivalens az (y)I(y) kifejezéssel.

Tekintsük az (x)I(x) kifejezést ugyanígy.

Ez az „(x) ÉS (x) hamis” állítás. De egy ilyen állítás egyenértékű a következő állítással: „mindenki számára az I(y) hamis” vagy „mindenki számára az I(y) igaz”. Tehát (x)I(x) ekvivalens az (y)I(y) kifejezéssel.

Így a következő szabályt kapjuk:

A tagadójel a kvantorjel alá vezethető be, a kvantor helyett kettős jelre.

Láttuk már, hogy minden képlethez van egy ekvivalens képlet, amely a propozíciós algebra műveletei közül csak a &-t és a -et tartalmazza.

Minden képlethez ekvivalenciákat használva találhat egy ekvivalenst, amelyben a tagadójelek elemi állításokra és elemi predikátumokra vonatkoznak.

A predikátumszámítás a predikátumlogika axiomatikus leírására szolgál.

Predikátumszámítás - valamilyen axiomatikus rendszer, amely egy bizonyos környezet modellezésére és a környezet tulajdonságaira vonatkozó hipotézisek tesztelésére szolgál a kidolgozott modell segítségével. A hipotézisek bizonyos tulajdonságok jelenlétét vagy hiányát állítják bizonyos tárgyakban, és logikai képlet formájában fejezik ki. A hipotézis igazolása tehát a logikai képlet levezethetőségének és kielégíthetőségének értékelésére redukálódik.